Гравиметрия лекции

Основы гравиметрии
1.
2.
3.
4.
Введение
Предмет гравиметрии;
Определение поверхности земли по измерениям силы тяжести;
Задачв Стокса;
Задача Молодецкого.
1. Гравиметрия – это наука об измерениях силы тяжести Земли – g. Основной формулой, из которой можно
определить ускорение силы тяжести является: F=mg, если принять m=1, то F=g.
2. Сила тяжести необходима для определения поверхности Земли относительно земного эллипсоида. Что бы
определить поверхность Земли необходимо знать координаты любой её точки. Для определения любой точки
необходимо знать широту и долготу (B,L), а также геодезическую высоту (Н). Обычным нивелированием мы
определяем нормальную высоту относительно геоида. Нормальная высота определяется относительно уровня
моря геометрическим нивелированием, однако геодезические высоты, во-первых отсчитываются от поверхности
эллипсоида по нормали к А.
А
Up
p А
U
физическая поверхность
w
𝜁
U0
А
геоид
B,L
эллипсоид
А равно: Н = Н𝛾 + 𝜁, где 𝜁 – высота геоида над эллипсоидом.
Задачей физической геодезии было определение значения 𝜁. Высота геоида над эллипсоидым определяется
по формуле Брумса. Для записи формулы Брумса зададимся потенциалом А0 = 𝑈0 .
Пусть в А∙ известен потенциал реальной силы тяжести W. Геоид совпадает с уровнем моря. С увеличением
высоты потенциал эллипсоида меняется, а именно уменьшается. Тогда потенциал силы притяжения эллипсоида
в А∙ будет равен:
𝜕𝑈
Н = 𝑈0 − ∙ 𝜁
𝜕ℎ
«-» указывает на то, что с увеличением высоты потенциал уменьшается. Для определения высоты геоида над
эллипсоидом находят разность W-U=T, где Т – возмущающий потенциал.
𝜕𝑈
W-𝑈0 − ∙ 𝜁 =T. Проанализировав формулу, производная потенциала по любому направлению ровна силе
𝜕ℎ
𝜕𝑈
вдоль этого направления.
= 𝛾, тогда
𝜕ℎ
W-𝑈0 − 𝛾 ∙ 𝜁 =T, отсюда можно записать высоту 𝜁:
𝑇−W+𝑈0
𝑇
𝜁=
при W=𝑈0 , то 𝜁 = – формула высоты геоида над эллипсоидом.
𝛾
𝛾
𝛾 – ускорение силы притяжения породнённая эллипсоидом, масса которого равна массе Земли.
Т – потенциал, который необходимо определить.
Возмущающий потенциал определяется из решения так называемых краевых задач. Задачи называются
краевыми, потому что на краях поверхности или по контурам фигур в точках 1, 2 и т.д. заданы значения по всем
контурам или поверхностям . Всего существует 3 задачи.
I краевая задача: пусть на поверхности измерено значение возмущающего потенциала Т, тогда можно найти
значение функции этого потенциала от широты и долготы:
Т=f(B,L) – задача Дирехле
II краевая задача: пусть в точке А известен реальный потенциал притяжения W, а также потенциал
притяжения эллипсоида U. Тогда W-U=T. Продифференцируем это вырожение:
𝜕𝑊 𝜕𝑈 𝜕𝑇
−
=
𝜕ℎ 𝜕ℎ 𝜕ℎ
𝜕𝑇
𝑔−𝛾 =
𝜕ℎ
𝜕𝑊
𝜕𝑈
= 𝑔,
=𝛾
𝜕ℎ
𝜕ℎ
𝑔 − 𝛾 = 𝛿𝑔
Тогда запишем краевое условие II краевой задачи:
𝜕Т
𝛿𝑔 =
𝜕ℎ
В этой задаче необходимо решить дифференциальное уравнение относительно Т в каждой точке Земли.
Также измерить силу тяжести g, вычислить 𝛿𝑔 и тогда можно определить функцию Т в зависимости от 𝛿𝑔 и
координат точек зная Т по формуле Брумса.
В настоящее время решение II краевой задачи является актуальным вопросом, так как имеется возможность
определить значение 𝛾 в точке А. в общем случае значение f(A):
𝛾 = 𝑓(𝐵, 𝐿, 𝐻)
Геодезическая высота определяется спутниковыми методами, например GPS-Методом.
III краевая задача. Также допускается, что известна реальный потенциал W, потенциал U земного эллипсоида в А.
W-U=T, но до XXI века значения U и А нельзя было определить. Задавались значения U0 на поверхности
𝜕𝑈
земного эллипсоида в А0, высотой А𝛾 из геометрического нивелирования и тогда вычисляется 𝑈𝑝, = 𝑈0 − 0H. В
𝜕ℎ
результате получаем Up силы притяжения в точке Р0, которые отстоят от а на расстояние 𝜁тогда записываем
W-U=T
𝜕𝑈
𝑊 − 𝑈𝑃 +
𝜁=𝑇
𝜕ℎ
𝜕𝑈
𝑈 = 𝑈𝑃 −
𝜁
𝜕ℎ
𝜕𝑊 𝜕𝑈 𝜕𝑇
𝜕𝑇
𝜕𝛾
−
=
→ 𝑔−𝛾 =
→ 𝛾 = 𝛾𝑃
𝜁
𝜕ℎ 𝜕ℎ 𝜕ℎ
𝜕ℎ
𝜕ℎ
𝜕𝛾
𝜕𝑇
𝑔 − 𝛾𝑃 +
𝜁=
𝜕ℎ
𝜕ℎ
Величину 𝑔 − 𝛾𝑝 - смешенная аномалия силы тяжести (∆𝑔)
𝜕𝛾
𝜕𝑇
∆𝑔 +
𝜁=
𝜕ℎ
𝜕ℎ
𝑇
𝜁 = - условие III краевой задачи. Именно из её решения до XXI века находили возмущающий потенциал
𝛾
T=f(∆𝑔,B,L,H), а по формуле Брумса вычисляли высоту геоида над эллипсоидом.
При выводе формулы возмущающего потенциала требовалось, что бы эта функция во внешнем пространстве
удовлетворяла следующему условию:
𝜕2𝑇 𝜕2𝑇 𝜕2𝑇
+
+
=0
𝜕2𝑋 𝜕2𝑌 𝜕2𝑍
Это выражение называется выражением Лапласа, а функция удовлетворяющая данному уравнению
называется гармоническим.
Проблемой решения краевых задач занимается раздел математики. Основоположником определения фигуры
Земли по возмущающему потенциалу является Стокс. Продолжил решение советский учёный М.С.
Молоденский.
3. Задача Стокса.
Задача стокса базируется на решении второй и третьей краевой задачи. Теорема Стокса как условие задачи
формулируется так: если известна общая масса тела М,угловая скорость его вращения Ɯ около неизменной оси и
форма внешней уровенной поверхности Ɠ целеком охватывающей все притягивающие массы, то потенциал силы
тяжести V и сама сила тяжести g определяется однозначно как во всем внешнем пространстве, так и на самой
уровенной поверхности Ɠ. Это прямая задача физической геодезии.
Обратная задача заключается в том, что известны сила тяжести в каждой точке ,общая масса, то можно
определить форму внешней уровенной поверхности.
4. Задача Молодинского.
Поскольку задача Стокса как краевая задача решалась на уровенной поверхности, тоесть на геоиде, то в
результате её решения определялось форма геода. Это имеет теоретический смысл и некоторый практический,
определяющий высоту геоида (моря) над эллипсоидом. Задача Молодинского формулируется так же как и задача
Стокса, но основное отличие заключается в том, что измерения силы тяжести выполняются не на уровенной
поверхности, а на физической поверхности земли. Поэтому решение Стокса является нулевым приближением.
Вычисление возмущенного потенциала по формулам Стокса и Молодинского приведены в учебниках по
«Теории Земли» и без вывода в методическом комплексе по дисциплине.
1.
2.
3.
4.
5.
Общее понятие о гравитационном поле земли
Формулы определения нормальной силы тяжести;
Вторые производные нормального потенциала силы тяжести;
Нормальное гравитационное поле земли;
Еденицы измерения силы тяжести;
Методы измерения ускорения силы тяжести.
1. Теоретической основой гравиметрии является закон всемирного тяготения сформулированный
Ньютоном. Согласно этому закону две массы (хотя R1 и R2 разное, но Wцент=Uцент).
W=Wпр+Wцент
U=Uпр+Uцент
𝐹=𝑓
𝑚1 𝑚2
𝑟2
где
;
F – гравитационное постоянное;
m1, m2 – массы тел притягивающих друг
друга;
r – расстояние между ними.
На точку расположенную на земной поверхности действуют следующие силы:
1) Сила притяжения (F);
2) Центробежная сила(Pц);
3) Притяжения небесных тел (F1).
𝑀
𝐹 = 𝑓 2;
где
M – масса земли;
𝑟
r – расстояние от точки до центра масс земли
𝑃ц = 𝜌𝜔.
В дальнейшем будем выражать силу тяжести через ускорение силы тяжести.
𝐺 = 𝑚𝑔;
где m – масса притягиваемого тела
g – общепризнанная величина
𝐺
𝑔=
𝑚
Вопрос заключается в разработке способов определения величины g. При этом притягиваемая точка может
находиться в стационарном положении, а так же и в движении.
Для каждой точки единичной массы существует единственный вектор g силы тяжести. Совокупность этих
векторов образует поле силы тяжести. Для вычисления силы тяжести в произвольной точке необходимо найти её
составляющие по осям прямоугольных координат. Это удобно делать введя понятие потенциалов.
Потенциал называется функция координат частные производные которых по ним равны составляющим силы
тяжести по ним.
Потенциал – это математическое понятие и в математике оно определяется как потенциал вектора.
2. Как известно, первые производные потенциалов, это и есть сама сила тяжести, а вторые производные, это
уже производные силы тяжести по осям.
𝑞𝑥
Если (q),то 𝑔 = ( 𝑞𝑦 ) -составляющие по осям координат.
𝑞𝑧
В соответствии с теорией потенциалов
𝑑𝑊
𝑑ℎ
𝑑𝑊
𝑔𝑧 =
𝑑𝑧
𝑑𝑊
𝑔𝑦 =
𝑑𝑦
𝑑𝑊
𝑔𝑥 =
𝑑𝑥
Величины gx, gy, gz мало малоинформативные. Большую информацию дают вторые производные, а именно
𝑞=
𝑔𝑥𝑥 =
𝑔𝑦𝑥 =
𝑔𝑧𝑥 =
𝑑2𝑊
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑2 𝑊
, 𝑔𝑥𝑦 =
𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑑2𝑊
𝑑𝑧 𝑑𝑥
, 𝑔𝑦𝑦 =
, 𝑔𝑧𝑦 =
𝑑2 𝑊
𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑑2 𝑊
𝑑𝑦 𝑑𝑦
𝑑2𝑊
𝑑𝑧 𝑑𝑦
, 𝑔𝑥𝑧 =
, 𝑔𝑦𝑧 =
, 𝑔𝑧𝑧 =
𝑑2𝑊
𝑑𝑥 𝑑𝑧
𝑑2𝑊
𝑑𝑦 𝑑𝑧
𝑑2𝑊
𝑑𝑧 𝑑𝑧
Настоящие величины объединяют в матрицы
𝑔𝑥𝑥 𝑔𝑥𝑦 𝑔𝑥𝑧
( 𝑔 𝑔 𝑔 ) = ∇g
𝑦𝑥 𝑦𝑦 𝑦𝑧
𝑔𝑧𝑥 𝑔𝑧𝑦 𝑔𝑧𝑧
Матрица называется градиентом вектора ускорения силы тяжести. Ее еще называют градиентом от градиента
потенциала силы тяжести.
∇g -градиент
𝑊 𝑊
𝑊
𝑥𝑥 𝑥𝑦 𝑥𝑧
Вторые обозначения ( 𝑊𝑦𝑥
𝑊𝑦𝑦 𝑊𝑦𝑧 ) = ∇(∇𝑊)
𝑊𝑧𝑥 𝑊𝑦𝑧 𝑊𝑧𝑧
Задача гравиметрии и является в определении этих составляющих. Разработаны приборы, которые могут
измерять приращения силы тяжести по осям. Такие приборы называются вариометры. Благодаря этому развился
новый предмет градиентрометрия.
3. Нормальное гравитационное поле.
Для решения гравиметрических задач нормальное поле определяется как поле гравитационного элипсоида,
поверхность которого является уровенной. Такой элипсоид называется уровенным или нормальной землей. По
известным параметрам нормальной земли (массе, форме поверхности, угловой скорости вращения) в любой
𝑑𝛾
точке можно вычислить нормальный потенциал U. По значению U можно найти γ; γ= . В нормальном поле:
𝑑ℎ
γ=𝛾𝑒 (1+β𝑠𝑖𝑛2 B + 𝛽1 𝑠𝑖𝑛2 2B), где 𝛾𝑒 - ускорение силы тяжести на эллипсоиде, В- геодезическая широта, а β и 𝛽1 –
коэффициент, который определяется экспериментальным путем. Ускорение силы тяжести на высоте будет
зависеть:
𝑑𝛾
γ= 𝛾0 - H
𝑑ℎ
γ- сила тяжести
𝑑𝛾 𝑑𝛾
=
𝑑ℎ 𝑑𝑧
𝑑𝛾
➢ γ=𝛾0 - H
𝑑𝑧
𝛾𝑥
через потенциал т.к γ= {𝛾𝑦
𝑑𝑧
𝛾𝑧
Полный градиент силы тяжести будет
Выразим
𝑑𝛾
𝑑𝑈
γ=
𝑑𝑈 𝑑𝛾𝑧
𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
𝑑𝛾𝑥 𝑑𝛾𝑥 𝑑𝛾𝑥
;
;
;
;
;
;
𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
𝑑𝛾𝑦 𝑑𝛾𝑦 𝑑𝛾𝑦
γ=
В данном случае =
; Поскольку γz=
𝑑𝑧 𝑑𝑧
Тогда в теории потенциала:
𝑑𝑈 𝑑𝑈 𝑑𝑈
γ= ( ; ; )
𝑑𝑛
𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
𝑑𝛾𝑧 𝑑𝛾𝑧 𝑑𝛾𝑧
𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
𝑑𝑈 𝑑𝛾𝑧
𝑑𝑈 𝑑 2 𝑈
𝑑𝑧
=
𝑑𝑧
=γ =
𝑑𝑧 𝑑𝑧𝑑𝑧
𝑑2𝑈
γ= 𝛾0 = 𝑈𝑧𝑧
𝑑𝑧𝑑𝑧
γ= 𝛾0 -𝑈𝑧𝑧 H
Замечания по аномальному гравитационному полю: аномальное гравитационное поле описывается
численными или смешанными аномалиями силы тяжести.
Чистая аномалия δg=g-γ; γ=𝛾0 -𝑈𝑧𝑧 H
Δg=g-𝛾0 +𝑈𝑧𝑧 H
4. Единицы измерения силы тяжести:
G=mg, m-маса.
G=g
1) м/с2
2) см/с2 =гал
В международной практике в качестве единицы измерения силы тяжести применяется мгал=10−3 гал.
Градиенты силы тяжести т.е производные силы тяжести по высоте измеряются в 1/с2
Мгал/10км= 1Э (этвем)
1Э – это единица предложенная Этвемом, который предложил градиент градиента потенциала силы тяжести.
5.
Методы измерения ускорения силы тяжести.
Методы измерений силы силы тяжести бывают:
1. Динамические, наблюдают движение тела в гравитационном поле.
2. Статистические, измеряется вес тела.
К динамическим методам относятся:
1. Маятниковый
2. Балистический
3. Струнный
Статистический метод базируется на измерении веса одного и того же тела в разных точках земли. Кроме
того, все эти методы подразделяют на две группы:
1. Относительные определения
2. Абсолютные определения
В относительном определяется приращение силы тяжести между двумя точками.
Абсолютные измерения силы тяжести
1.
2.
Маятниковый способ (метод)
Балистический способ
1. Маятниковый способ базируется на измерении в периодах колебания маятника.
Пусть дана длина маятника «a», его масса «m», и направление силы тяжести «mg». На основе теории
движения маятника, установлена зависимость периода колебаний от угловой величины амплитуды и
𝐼
1
𝛼
4
2
независимых параметров. 𝑇 = 𝑛√ 𝑎𝑀 (1 + 𝑠𝑖𝑛2 + ⋯ )
𝑔
Из этого выражния находим g:
2 𝐼
1
𝜋2 (1+ 𝑠𝑖𝑛2 +⋯ )
4
𝑎𝑚
g=
Место для формулы.
𝑇2
l-приведённая длина маятника
I-моиент инерции маятника
𝐼
L=
𝑎𝑚
2 𝐼
1
𝜋2 (1+ 𝑠𝑖𝑛2 +⋯ )
4
𝑎𝑚
g=
𝑇2
Применяют ещё некоторые модификации этого метода приизмерении периодов
для различных положений маятника,тоесть когда меняется его длина
𝑙
𝑇1 =𝜋√ 1
𝑔
𝑙2
𝑇2 =𝜋√
𝑔
Пусть необходимо определить период маятника T с известным l.
T выразим через 𝑇1 и 𝑇2 .Разделив T на𝑇1 и 𝑇2 запишем 2-ое уравнения:
𝑇2
𝐿
=
⇒ 𝑇 2 𝐿1 = 𝑇12 𝐿1
𝑇12 𝐿1
𝑇2
𝐿 2
2
2 = 𝐿 𝑇 𝐿2 = 𝑇2 𝐿1
𝑇2
2
Эти два уравнения являются основой для вычисления периода Т.
𝐿
𝐿
𝐿1
𝐿2
T=𝜋√ =𝑇2 =√
2. В соответствии с этим балистический меьод разделяют на 2вида:
1)Несеметричный
2)Симетричный
Внесеметричном наблюдение ведётся за свободно падающим телом.
На момент времени Т0 тело прошло путь S0
At 2
𝑆 = S0 + 2
t
S=l; S0=l0;a=g
(𝑙 − 𝑙0)
𝑔=
𝑡2
Использование в приборах слеедуйщим образом в гравиметрических наблюдениях 2 периода t1 и t2
Т1=l1-l0
T2=t2-t1
L1=l1-l0
L1=V0T1+
gt2
1
t2
+𝜑1
( 𝑇1 )
gt2
L2=V0T2+ 12 +𝜑1 ( 𝑇2 )
t
Для повышения точности определяют(g)делают следующее комбинации первое уравнение умножают T2,а
второе на T1 и от первого отнимем второе.
g=
2(𝐿1 𝑇2−𝐿2 𝑇2)
(𝑇12 𝑇2 −𝑇22 𝑇1 )+𝜑1 𝑇1 𝑇2 −𝜑1 𝑇2 𝑇1
Балистический метод:
В этом случае тело подбрасывается вверх достигая кульминационной точки О и возвращается вниз.В
результате на каждой станции оно фиксируется дважды :при подъёме и при падении
Тогда для отрезка l1 запишем:
L1=(g/2)(t/2)2+𝜑1 T
L2=(g/2)(t/2)2+𝜑1 t
В приборе заданно расстояние H
H=(L1-L2) , тогда
(𝐻−(𝜑1 (𝑇)−𝜑1 (𝑡)))∗8
𝑔=
𝑇 2 −𝑡 2
К примеру такой же подход применяется и в маятниковом методе:
𝑇12 𝐿 + 𝑇22 𝐿
𝑇2 =
𝐿1 + 𝐿2
Относительные измерения силы тяжести
1. Маятниковый метод;
2. Спутниковый метод;
3. Относительное измерение гравиметрами.
1. Маятниковый метод.
Он (метод) основан на наблюдении свободных колебаний одного и
того же маятника на разных пунктах.
Пусть на исходном пункте измеряется период измерений
Т1=π√
𝑙
𝑔₁
Считается, что известно Т1 и 𝑔₁ Т12
Т=π√
Т2
1
Т2
=
𝑙
𝑔
𝑔
𝑔₁
=> g =
𝑔₁Т2
1
Т2
При относительных маятниковых определениях: 1)не надо знать
точного значения длины маятника; 2)длина маятника должна быть
постоянной. Обычно на практике измеряют приращение периода
∆Т=Т – Т1 ; Т1=Т - ∆Т ;
g = g₁
(Т−∆Т)2
2
Т
g - g₁ = g₁(-
; g = g₁
2∆Т
Т
+
∆Т2
Т2
Т2 −2Т∆Т+∆Т2
2
Т
) ; ∆g = g₁(-
; g = g₁(1 2∆Т
Т
+
∆Т2
Т2
);
2∆Т
Т
∆𝑔
𝑔1
+
=-
∆Т2
2
) ; g = g₁ + g₁(-
Т
2∆Т
Т
+(
∆Т 2
)
Т
2∆Т
Т
+
∆Т2
Т2
);
.
Можно определить как ∆g, так и относительную величину этого
приращения. Достоинством способа является то, что нет
необходимости знать ускорение силы тяжести в населённом пункте.
Покажем, что не смотря на то, что здесь присутствует g₁ на исходном
пункте, с высокой точностью его знать не надо, выполним для этого
упрощённый анализ.
∆𝑔
2∆Т
2∆Т
∆𝑔
=пренебрегая вторым членом = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ; тогда
=
𝑔1
Т
Т
c ; ∆g = cg₁ ; m∆g = cmg₁ ;
𝑚∆𝑔
∆𝑔
=
𝑚𝑔₁
𝑔₁
; m∆g =
∆𝑔
𝑔1
𝑔1
mg₁ .
Зададимся предельной величиной m∆g=0,01 мгал. Допустим, что
приращение силы тяжести может достигать величины порядка 100
мгал (∆g=100 мгал).
g₁ = 9,8 м/сек ; 1 гал = 1 см/сек2 ; g₁ = 980 гал = 980 000 мгал
Исходя из m∆g и g₁, определим с какой точностью необходимо знать mg₁
𝑚𝑔₁
𝑚𝑔₁
980000∗0,01
m∆g = ∆g
; 0,01=100
; mg₁=
= 98 мгал.
𝑔₁
980000
100
В формуле относительного определения силы тяжести присутствуют значения ∆Т и Т, которые необходимо
измерять с высокой точностью. В формуле определения силы тяжести абсолютным методом в скобках
присутствует член, зависящий от амплитуды колебаний. Очевидно, что в
период колебаний необходимо вводить поправки:
- за амплитуду;
- за температуру;
- за плотность окружающей среды;
- за частоту генератора колебаний;
- за влияние кривизны оси колебаний маятника;
- за влияние вибраций штатива и других факторов.
Само измерение периода колебаний осуществляется по их набору или по
их большому числу.
Пусть в некоторый момент маятник находится в положении θ0
С момента Т0 маятник коснулся целое N раз
𝜏
τ = tк – tн ; N' = N+θ0+ θn , тогда T =
𝑁′
Поскольку поправка за амплитуду самая основная, то необходимо
определять ещё и амплитуду колебаний. Амплитуда колебаний определяется
из формулы гармонических колебаний.
3. Модель гравиметрического метода определяется приращением силы тяжести. Это можно
продиманстрировать на примере пружины. По закону Гука
(𝑙 − 𝑙0 )𝔣 = 𝔪𝔤
где 𝑙0 – очевидное состояние пружины к которой приложена нулевая сила. Путем дифференцирования
найдем зависимость между приращении длины пружины и приращении силы тяжести.
𝑚𝑔
𝑙 = 𝑙0 +
𝑓
𝑚
𝑑𝑙 = 𝑑𝑔
𝑓
𝑚
△𝑙 = △𝑔
𝑓
𝑚𝑔
𝑙 − 𝑙0 =
𝑓
△𝑙
△𝑔
=
𝑙 − 𝑙0
𝑔
△𝑙
△𝑔 =𝑔
𝑙 − 𝑙0
В зависимости от подвески гравиметры могут быть - механические, в зависимости от компенсации mg
гравиметры могут быть газовые и электро-магнитные, в которых газ и электромагнитное поле заменяют
пружину. На точность гравиметра оказывают влияние следующие факторы: температура, влияющая на упругую
среду гравиметра; плотность окружающей среды, наклон гравиметра, микросейсмическое колебание магнитного
и электрических полей. Чувствительность гравиметра определяется названными факторами. △ 𝜑 - это изменение
△𝜑
показаний отсчета вызванное изменением силы тяжести. Чувствительность =
△𝑔
Вся конструкция гравиметра должна быть направлена на повышение чувствительности. Повышение
чувствительности может осуществляться как учетом названных факторов, так и устройством дополнительных
конструктивных элементов. Повышение чувствительности гравиметра с помощью дополнительных устройств,
называемых астанированием. Устройства должны быть такими, чтобы они выполняли:
1. Свои конструктивные функции
2. Повышали чувствительность гравиметра
Пусть на некой опоре коромысла с двумя одинаковыми массами g1 и g2 с его помощью определяют
приращение ∆g.
△𝑔
Это есть принципиальная схема вариометра, измеряющего
= 𝑊. Коромысла приводит в равновесие с
△𝑥
помощью цилиндрического уровня. Пусть при перемещении этой конструкции в другую точку определяется
разность g2 – g1=∆g. Уровень наклонился, содержимое уровня переместилось в сторону наклона и усилила
эффект разности силы тяжести.
Градиентометрия
𝑔𝑥
Значение силы тяжести 𝑔 = 𝑔𝑦 . Можно измерять приращение силы тяжести на определённом пути,
𝑔𝑧
значит можно измерять производные силы тяжести на определённом интервале.
∆𝑔
𝑔 −𝑔
= 2 1
∆𝑙
∆𝑙
𝑔1
∆𝑙
𝑔2
Это нужно для того чтобы вычислить силу тяжести в любой точки зная значение силы тяжести в точке 𝑔1 и
расстояние до точки P – l. Тогда сила тяжести в точке P:
∆g
∆𝑔
𝑔2 = 𝑔1 + ∙ 𝑙 - фундаментальное уравнение. В соответствии с ним
– градиент силы тяжести можно
1.
∆𝑙
∆𝑙
∆g
найти в любой точки. Очевидно, что можно кроме силы тяжести ещё измеряется её градиент . Вопрос
∆𝑙
измерения градиента силы тяжести и является предметом темы.
Известно, что сила тяжести имеет составляющие по осям координат. Сила тяжести связана с потенциалом
силы тяжести Земли. Поскольку потенциал это функция, производные которой по направлениям равна силе,
можно переписать
𝑔=
𝜕𝑊
𝜕𝑥
𝜕𝑊
𝜕𝑦
𝜕𝑊
𝜕𝑧
;
∆𝑔
∆𝑙
=
𝜕𝑔
𝜕𝑙
.
Это можно представить в виде производных по осям 𝑥, 𝑦, 𝑧:
𝜕𝑔
𝜕𝑙
=
𝜕𝑔𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑔𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑔𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑔𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑔𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑔𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑔𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑔𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑔𝑧
𝜕𝑧
; 𝑔𝑥 =
𝜕𝑊𝑥
𝜕𝑥
.
𝜕𝑔𝑥
𝜕𝑥
Очевидно, что
тяжести
𝜕𝑔
𝜕𝑙
=
𝜕2 𝑊𝑥
𝜕𝑥2
𝜕2 𝑊𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕2 𝑊𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑧
𝜕2
𝜕𝑖 𝜕𝑗
2
= 𝜕𝜕𝑥𝑊2𝑥
𝜕𝑔𝑥 𝜕2 𝑊𝑥
=
𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕𝑔𝑥 𝜕2 𝑊𝑥
=
𝜕𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕2 𝑊𝑥
𝜕2 𝑊𝑥
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑧
𝜕2 𝑊𝑦
𝜕2 𝑊𝑦
𝜕𝑦𝜕𝑧
𝜕𝑦2
𝜕2 𝑊𝑧
𝜕2 𝑊𝑧
𝜕𝑧𝜕𝑦
𝜕𝑧2
, т.е. градиент силы тяжести по оси x равны вторым производным потенциала силы
.
– оператор второй производной силы тяжести 𝑊𝑖𝑗 .
𝑊𝑥𝑥 𝑊𝑥𝑦 𝑊𝑥𝑧
∇𝑔 = 𝑊𝑦𝑥 𝑊𝑦𝑦 𝑊𝑦𝑧
∆𝑙
𝑊𝑧𝑥 𝑊𝑧𝑦 𝑊𝑧𝑧
Предмет градиентометрии – определение вторых производных потенциала силы тяжести 𝑊𝑖𝑗 и применение
их 1) для вычисления силы тяжести в произвольной точки Земли, 2) для определения самого потенциала силы
тяжести Земли, 3) для навигации.
Вычисление силы тяжести в произвольной точке Земли. В том случае, когда известно значение в точке
𝑔1 , известно 𝑙, 𝑊𝑥𝑥 , можно определить силу тяжести в точке 𝑔2 .
𝑔1
𝑙
2
4𝑥
𝑥
𝑔2 = 𝑔1 + 𝑊𝑥𝑥 ∙ 𝑙
𝑙
𝑚
𝑔3 = 𝑔1 + 𝑊𝑧𝑧 ∙ 𝑙
∆𝑔
3
– оператор Набла - ∇𝑔.
4
𝑧
Если точка в пространстве между осей (точка 4), то необходимо вычислить значение в точке 4𝑥 : 𝑔4 = 𝑔4𝑥 +
𝑊4𝑥∙𝑧𝑧 ∙ 𝑚.
2. Потенциалом земли выражают функции,которые являются аналогом разложения функции в ряд кие
Фурье. Из математики известно,что любую функцию можно разложить в ряд Фурье.Так как земля является
круглым телом в трехмерном пространстве то обозначается из одномерногопространства в трехмерное,такое
разложение называется разложением по шаровым функциям.В общих чертах млжно записать решения
гравиметрического поля земли в виде
𝑀
𝑀
𝑟0
U(r,Q,λ)= + ∑𝑁
( ) ∑𝑖𝑚=0/𝐶𝑖𝑚 ∗ cos 𝑚 𝜆 + 𝑆𝑖𝑚 sin 𝑚𝜆) 𝑃𝑖𝑚(cos 𝑄)
𝑟
𝑟0 𝑖=1 𝑟
M=fM ,где f-гравитационная постоянная
M -масса Земли
r 0 – экваторный радиус земли
r,Q,λ –геоцентрические координаты текущей точки
В самом выражении неизвестными являются коэффициенты Cim Sim,для их
определения используются вторые производные потенциала (g). Для прстоты
запишем потенциал гравитационного поля.
U=f(Cim Sim)
Неизвестными величинами являются Cim Sim.
Пусть изестны их приближенные значения Cim0 Sim0.
По вторым производным потенциала (g) необходимо определить
поправкиΔ𝐶𝑖𝑚 Δ𝑆𝑖𝑚 с тем найти
Cim=Cim0-ϭlim
0
Sim=Sim -ϭlim
Очевидно,что для решения задачи необходимо найти вторые производные
даннной функции U, по координатам r,λ,Q, приравнять их к измеренным значениям двух производных и
вычислить
ϭCim и ϭSim.При этом число уравний должно быть равным чмслу неизвестных.
Из вычислений:
Пусть задана функция U
U=f(Cim, Sim, r,λ,Q),ттогда производную можно обозначить
Uzz=f”zz
Uλz=f” λz
UQz=f” Qz
Uzλ=f” zλ
Uλλ=f” λλ
UQλ =f” Qλ
UzQ=f” zQ
UQλ=f” Qλ
UQQ =f”QQ
f”zz
f” λz
f” Qz
f” zλ
f” λλ
f” Qλ
f” zQ
f” Qλ
f”QQ
Очевидно,что матрица является производной,здесь
f”ij= f”ij
Значения производных вычисляются при заданных значения производных
Cim0 Sim0
Получим значение fij0 .С учетом этого осуществляется разложение каждой призводной в ряд Тейлора
𝜕 0 𝑓2
𝑓𝑖𝑗 = 𝑓𝑖𝑗0 + (
) ∆𝑙
𝜕𝑙𝑖𝑚
𝑘
𝑓𝑖𝑗 =
𝑓𝑖𝑗0
𝑁
+ ∑ ∑(
𝑚=1 𝐾=1
𝜕𝑓𝑖𝑗′′
𝜕𝑓 ′′
∆𝑐𝑘𝑚 +
∆𝑠
𝜕𝑐𝑘𝑚
𝜕𝑠𝑘𝑚 𝑘𝑚
𝑚я решения задачи в левой части вместо f”ij ставят измеренное значение второго производного сил тяжести
𝑘
𝑊𝑖𝑗′′
+ 𝜕𝑤 =
𝑓𝑖𝑗′′
𝑘
𝑁
𝑁
+ ∑ ∑(
𝑚=1 𝑘=1
𝜕𝑓𝑖𝑗′′
𝑣𝑤 = ∑ ∑ (
𝑚=1 𝑘=1
𝜕𝑐𝑘𝑚
𝜕𝑓𝑖𝑗′′
𝜕𝑓𝑖𝑗′′
∆𝑐𝑘𝑚 +
∆𝑆 )
𝜕𝑐𝑘𝑚
𝜕𝑠𝑘𝑚 𝑘𝑚
∆𝑐𝑘𝑚 +
𝜕𝑓𝑖𝑗′′
∆𝑠 ) + 𝑙𝑤
𝜕𝑠𝑘𝑚 𝑘𝑚
Где lw= f”ij -w”ij
f”ij0 –вычисленное значение второй производной потенциалов по приближенным значениям коэффициента
0
C km,Skm
w”ij-измеренное значение второй производной потенциала земли или примерное значение градиента (g)
Обычно число уравнений больше числа неизвестных,тогда их решают по методу наименьших квадратов
2
Φ=∑𝑁
1 𝑉𝑤𝑖 = 𝑚 in
Из решения наименьших квадратов находят поправки ΔCkn, ΔSkn и вычисляют значения
Ckm=Cm+ΔCkm
Skm=S0+ΔSkm
И получают уточненное значение для потенциала гравитационного поля земли.
0
3. Практика определения вторых производных потенциалов силы тяжести земли или градиентов силы
тяжести.
В настоящее время вторые производные потенциалы силы тяжести определяют следующие методы:
1)Метод наземной градиентометрии в котором при помощи градиентонометра измеряют градиенты
ускорения силы тяжести гравитационного поля земли. Основной проблемой таких определений является
точность учета измерений градиентов силы тяжести на больших растояниях определения точки.
2)Метод самолетной градиентометрии. В данном методе основной сложностью является выделение
ускорений сили тяжести от изменения ускорений на борту самолета.
3)Спутниковая градиентометрия-здесь основной проблемой является повышение точности измерения.Это
вызвано тем, что спутники находятся на большом растоянии от земли, где сложно почувствовать разность силы
тяжести. Эти методы являются относительными методами, так как измеряем разность воздействия силы тяжести
на пробные массы на пробные массы расположенные по соответствующим осям. По каждой оси распологаем по
две массы (градиентонометра). Для вычисления разности силы тяжести используется два паралельно летящих
спутника. Такая система называется спутник-спутник. В спутниковой градиентометрии различают два метода:
1)Диференциальный по использованию градиентометра, так как растояние между массами принебрежено
мало по сравнению с растаянием до земли.
2)Разностный-применяемый в системе «спутник-спутник». Расстояние между спутниками сотни км, что
зрительно повышает точность силы тяжести.
Расмотрим коротко каждый из методов. Первые два метода построены на двух принципах.
1)Инерциальная гравиметрия.
2)Гравитационная гравиметрия.
В инерциальной используется аксилерометр поступательного типа. По каждой из осей X,Y,Z размещаем
три аксилерометра, где М пробная масса.Порядок работы состоит в
следующем:
1)Прогрев измерительного блока до рабочей температуры.
2)Ориентировка в течении одного часа платформы относительно
отвесной линии и направлении на север
3)Движение по трассе на определяемую точку. Ускорение
измеряют через 20 м/сек, за одно измеряются скорость путем
интегрирования в течении 10 сек.
𝑑𝑣
a= , dv=adt
𝑑𝑡
4)Привязка к точкам стояния на первом исходном пункте. На контрольном (исходном) пункте должны быть
измерены координаты точки уклонения отвесной линии и должна быть известна сила тяжести.
5)Дальнейшее иследование по маршруту по определенной точке.
6)Привязка к исходному пункту на конце маршрута
7)Обратный ход с конца маршрута в начальный пункт.
В гравитационной градиентометрии по каждой расположено по два
аксилерометра.
По такой схеме определяются градиенты силы тяжести по осям X,Y,Z,Wxx,Wyy,Wzz.
Для того что бы определить смешанные вторые производные потенциала силы тяжести …….. или элементы
вторых производных аксилерометра следует распологать не вдоль осей, а поперек.
Пример: Wx2 – аксилерометр расположен перпендикулярно оси Z.
Иногда в гравитационной градиентометрии используется гравитационный вариометр. Сам вариометр
подвешен на нитке, которая еле чувствительная к вращению и под действием изменений силы тяжести нить
вращается на определенный угол величина угла соответственно W.
4.Спутниковая градиентометрия
Целью спутниковой градиентометрии является определение тоже
прадиентов силы тяжести или вторых производных потенциалов. Отличие в
том, что градиентометры установлены на борту спутника. При этом
возможны следующие варианты:
- градиентометры на борту спутника;
- градиентометр в подвешенном состоянии на борту космической станции.
В основном существуют проекты на борту искусственных спутников Земли. При этом возможен следующий
случай:
- спутник с градиентометром на орбите;
- два спутника на орбите;
- два спутника на различных орбитах.
Наиболее эффективным является случай с двумя
спутниками на различных орбитах.
Поскольку они находятся на расстоянии ≈100 км, то
𝑓2−𝑓1
ясно, что отсчеты будут различны
𝑊𝑧𝑧 =
.
∆𝑟
Чувствителен как к большой так и к малой волнам геоида.
В способе с одним спутником и в способе с двумя
спутниками
на
одной
орбите
осуществляется
чувствительность только к коротким волнам геоида. А с
вариометром на одном спутнике чувствительность к
микроволнам.
Недостатки спутниковых методов, особенно со спутником
на одной орбите является слабая чувствительность
вариометра.
Существуют следующие проекты спутниковой градиентометрии: GRACE (2002), GOCE (2009), CHAMP
(2002). В этих проектах с помощью GPS определяются координаты спутника X,Y,Z градиентометров, а сами
градиентометры непрерывно через 0,001 сек с помощью акселерометров измеряют силу тяжести.
5.Математические модели спутниковой градиентометрии
Модель градиентометра на борту спутника.
На борту спутника размещены две точечные массы (m1 и m2 ), расстояние между вариометрами 1м, r1 и r2 –
расстояние от центра земли.
Очевидно можно записать, что ускорение спутника, его притяжение равно r1!!, ускорение в точке 2 равно V2!!.
В курсе физике обозначено r- расстояние, r!! – ускорение, r! – скорость.
𝑟𝑥
Поскольку ускорение есть сила тяжести для материальной точки, то можно записать 𝑟1 = 𝑟𝑦 . Сила тяжести
𝑟𝑧
𝜕𝑈
это есть произведение потенциалов по соответствующему направлению
𝜕𝑥
𝜕𝑈
𝜕𝑦
𝜕𝑈
𝜕𝑧
𝑈𝑥
= 𝑈𝑦. Поскольку в спутниковой
𝑈𝑧
гравиметрии сила тяжести определяется менее точно чем разность сил тяжести, то записывают разность r1!!- r2!!
∆𝑈𝑥
∆𝑥
=∆𝑈𝑦. ∆S расписывают как ∆S = ∆𝑦. Поскольку вектор ∆S выражается через ∆x,∆y,∆z, то ∆r!! =
∆𝑈𝑧
∆𝑧
𝑈𝑥𝑥
∆𝑈𝑥
𝜕𝑈𝑥
𝑈𝑦𝑥
=
= Uxx – производная U по х. Т.О. ∆r=
∆𝑥
𝜕𝑥
𝑈𝑧𝑥
𝑈𝑥𝑦
𝑈𝑦𝑦
𝑈𝑧𝑦
∆𝑈𝑥
∆𝑈𝑥
∆𝑈𝑥
∆𝑥
∆𝑈𝑦
∆𝑦
∆𝑈𝑦
∆𝑧
∆𝑈𝑦
∆𝑥
∆𝑈𝑧
∆𝑦
∆𝑈𝑧
∆𝑧
∆𝑈𝑧
∆𝑥
∆𝑦
∆𝑧
𝑈𝑥𝑧
𝑈𝑦𝑧 .
𝑈𝑧𝑧
Надо иметь 6 пар аксилерометров, чтобы определить составляющие градиенты силы тяжести.
Математическая модель градиентометра в системе спутник-спутник:
Пусть вариометры m1 и m2 находятся на разных
спутниках на расстоянии 100 км.
𝜕U1
Тогда 𝑟̈ =
𝜕𝑥
𝜕U1
𝜕𝑦
𝜕U1
( 𝜕𝑧 )
Можем найти разность Δ𝑟̈ :
𝜕U2
𝑟̈ =
𝜕𝑥
𝜕U2
𝜕𝑦
𝜕U2
( 𝜕𝑧 )
𝛥𝑟̈ =
𝜕U1
𝜕𝑥
𝜕U1
𝜕𝑦
𝜕U1
( 𝜕𝑧
−
−
−
𝜕U2
𝜕𝑥
𝜕U2
𝜕𝑦
𝜕U2
)
𝜕𝑈𝑖
= 𝑈𝑖𝑥
𝜕𝑥𝑖
U1 x − U2 x
𝛥𝑈𝑥
𝑟̈ = (U1 y − U2 y) = (𝛥𝑈𝑦)
U1 z − U2 z
𝛥𝑈𝑧
𝛥𝑈𝑥
𝛥𝑆
𝛥𝑟̈
𝛥𝑈𝑦
=
𝛥𝑆
𝛥𝑆
𝛥𝑈𝑧
( 𝛥𝑆 )
𝛻𝑟̈ = 𝛻(𝛥𝑈)
𝑟2 = 𝑟1 + 𝛥𝑟
𝑈2 = 𝑈(𝑟2 ) = 𝑈(𝑟1 + 𝛥𝑟)
𝜕𝑓
𝑓(𝑥 + 𝛥𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝛥𝑥
𝜕𝑥
𝑓(𝑥 + 𝛥𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑓𝛥𝑥
𝑈2 = 𝑈(𝑟1 + 𝛥𝑟) = 𝑈(𝑟1 ) + 𝛥𝑟𝛻𝑈(𝑟1 )
𝑈2 − 𝑈1 = 𝑈(𝑟2 ) − 𝑈(𝑟1 )
𝛥𝑈 = 𝛥𝑟𝛻𝑈(𝑟1 )
𝛻𝑟̈ = 𝛻(𝛥𝑟𝛻𝑈(𝑟1 ))
𝛻𝑟̈ = 𝛥𝑟𝛻(𝛻𝑈(𝑟1 ))
𝑈𝑥𝑥 𝑈𝑥𝑦 𝑈𝑥𝑧
𝛻(𝛻𝑈(𝑟1 )) = (𝑈𝑦𝑥 𝑈𝑦𝑦 𝑈𝑦𝑧 )
𝑈𝑧𝑥 𝑈𝑧𝑦 𝑈𝑧𝑧
𝛥𝑥
𝛥𝑟 = (𝛥𝑦) − прирощения координат
𝛥𝑧
𝑈𝑥𝑥 𝑈𝑥𝑦 𝑈𝑥𝑧
𝛥𝑥
т
𝑈
𝛥𝑟 𝛻(𝛻𝑈(𝑟1 )) = ( 𝑦𝑥 𝑈𝑦𝑦 𝑈𝑦𝑧 ) (𝛥𝑦)
𝑈𝑧𝑥 𝑈𝑧𝑦 𝑈𝑧𝑧
𝛥𝑧
𝑈𝑥𝑥 𝛥𝑥 + 𝑈𝑥𝑦 𝛥𝑦 + 𝑈𝑥𝑧 𝛥𝑧
𝛥𝑟 т 𝛻(𝛻𝑈(𝑟1 )) = (𝑈𝑦𝑥 𝛥𝑥 + 𝑈𝑦𝑦 𝛥𝑦 + 𝑈𝑦𝑧 𝛥𝑧)
𝑈𝑧𝑥 𝛥𝑥 + 𝑈𝑧𝑦 𝛥𝑦 + 𝑈𝑧𝑧 𝛥𝑧
𝜕𝑧
𝑈𝑥𝑥 𝛥𝑥 + 𝑈𝑥𝑦 𝛥𝑦 + 𝑈𝑥𝑧 𝛥𝑧 = 𝛥𝑟𝑥̈
𝑈𝑦𝑥 𝛥𝑥 + 𝑈𝑦𝑦 𝛥𝑦 + 𝑈𝑦𝑧 𝛥𝑧 = 𝛥𝑟𝑦̈ - базовое уравнение градиентометрии в системе спутник-спутник
𝑈𝑧𝑥 𝛥𝑥 + 𝑈𝑧𝑦 𝛥𝑦 + 𝑈𝑧𝑧 𝛥𝑧 = 𝛥𝑟𝑧̈
Здесь измеряется Δ𝒙 Δ𝒚 Δ𝒛 и вычисляется 𝑈𝑖𝑗
.