МОДЕЛИРОВАНИЕ – ВЕДУЩИЙ МЕТОД ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ

МОДЕЛИРОВАНИЕ – ВЕДУЩИЙ МЕТОД ОБУЧЕНИЯ
РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ
ПРИЕМОВ РАБОТЫ С ЗАДАЧАМИ
Одним из основных приемов в анализе задачи является моделирование,
которое помогает ученику не только понять задачу, но и самому найти
рациональный способ ее решения.
Моделирование в широком смысле слова – это замена действий с
реальными предметами действиями с их уменьшенными образцами:
моделями, муляжами, макетами, а также с их графическими заменителями:
рисунками, чертежами, схемами и т. п. В роли моделей выступают не
конкретные предметы, о которых идет речь в задаче, а их обобщенные
заменители (например, круги, квадраты, отрезки, точки и т. п.). Показывая
взаимоотношения величин с помощью отрезков с соблюдением масштаба,
мы используем чертеж. Если же взаимосвязи и взаимоотношения передаются
приблизительно, без точного соблюдения масштаба, то мы работаем со
схематическим чертежом или схемой.
Как отмечает Л. Ш. Левенберг, «…рисунки, схемы и чертежи не только
помогают учащимся в сознательном выявлении скрытых зависимостей
между величинами, но и побуждают активно мыслить, искать наиболее
рациональные пути решения задач, помогают не только усваивать знания, но
и овладевать умением применять их». (Рисунки, схемы и чертежи в
начальном курсе математики. – М., 1978).
Моделирование – это один из ведущих методов обучения решению задач
и важное средство познания действительности.
Модели являются эффективным средством поиска решения задачи. В
процессе решения детям приходится переходить от одной формы записи к
другой и находить среди них оптимальную. Однако не всякая запись будет
являться моделью задачи. Для построения задачи и ее дальнейшего
преобразования необходимо научиться выделять в задаче цель, данные
величины,
все
отношения
между
величинами,
пренебрегать
несущественными связями для того, чтобы с опорой на эту модель можно
было продолжить анализ, позволяющий найти пути решения.
Процесс моделирования текстовой задачи повышает мыслительную
активность детей, способствует развитию вариативности мышления, а
значит, делает решение задач более приятным и интересным.
Чтобы самостоятельно решать задачи, ученик должен освоить различные
виды моделей, научиться выбирать модель, соответствующую предложенной
задаче, и переходить от одной модели к другой.
Построению графической модели следует специально учить детей. Для
этого можно использовать «Памятку».
1. Что будем изображать?
2. Как будем изображать?
3. Что в первую очередь будем изображать?
4. Как числа, данные в задаче, помогут построить модель?
5. Как расположим модель?
6. Как на модели обозначим данные?
7. Что теперь полезно изобразить (до тех пор, пока не будут отражены все
данные и все отношения между данными и искомыми параметрами)?
8. Как на модели обозначим вопрос задачи? (И. И. Целищева, С. А.
Зайцева.)
Чтобы проверить, все ли данные задачи отражены на модели, можно
прочитать задачу, показывая все на модели.
В процессе обучения графическому моделированию можно использовать
следующие упражнения:
1. Сделай рисунок (чертеж) данной задачи.
2. Я прочитаю две задачи, а вы определите, к какой из них полезно
сделать рисунок (чертеж).
3. Прочитайте задачу, показывая все данные на чертеже (рисунке).
4. Объясните, как построили чертеж (рисунок) к задаче.
5. Соответствует ли рисунок (чертеж) задаче? Что в нем лишнее (чего в
нем недостает)? Что нужно сделать, чтобы рисунок (чертеж) соответствовал
задаче?
Составления только одной модели к задаче недостаточно. Следует
включать и обратные задания, а именно: составление текстов различных
задач по модели, что будет способствовать развитию творческого мышления
каждого ребенка.
Для формирования умения решать задачи у всех школьников можно
предлагать следующие задания:
– на постановку различных вопросов к условию;
– на составление условия по данному вопросу;
– на подбор числовых данных или их изменение;
– на составление задач по данному решению;
– на выбор нужной модели к данной задаче.
На основе построенной модели целесообразно включать задания на
разнообразные преобразования задач:
– преобразование текстов, не являющихся задачами, в задачи;
– изменение вопроса так, чтобы действий в решении стало больше
(меньше);
– изменение условия так, чтобы действий в решении стало больше
(меньше);
– изменение вопроса (условия, данных) так, чтобы задача стала
нерешаемой;
– внесение в задачу таких изменений, чтобы в ней появились лишние
(недостающие) данные;
– внесение в задачу таких изменений, чтобы в ней исчезли лишние
(недостающие) данные;
– изменение текста задачи так, чтобы в ее решении появилось обратное
действие.
Помимо заданий, требующих преобразований текстов задач на основе
модели, следует уделять внимание обучению детей:
– подбору и самостоятельному составлению обратных задач;
– сравнению задач с одинаковой фабулой, но различным математическим
содержанием;
– сравнению задач с разной фабулой и одинаковым содержанием.
Постоянное использование всех этих аспектов работы с задачами дает
хорошие результаты, способствует формированию умения их решать.
К сожалению, в целях экономии времени мало уделяется внимания р е
ш е н и ю з а д а ч р а з н ы м и с п о с о б а м и. Это может быть объяснено
тем, что такие задания в школьных учебниках встречаются от случая к
случаю и в силу этого не воспринимаются как важные. Однако опыт
показывает, что постоянная работа в этом направлении очень важна как с
точки зрения развития школьников, так и с точки зрения формирования
умения решать задачи. Наряду с этим необходимо отметить, что решение
задач разными способами – чрезвычайно увлекательное занятие для
учащихся младших классов. Составление моделей к задаче – незаменимый
этап в поиске различных способов ее решения.
Решение задач разными способами осуществляет право ученика на выбор
решения (даже если оно не является традиционным), у него появляется
дополнительная возможность самореализации. Когда есть выбор при
решении задачи, встает вопрос о нахождении рационального пути ее
решения.
Модель способна помочь не только найти рациональный способ решения,
но и проверить правильность ее решения, поскольку решение задачи
разными способами – это один из видов такой проверки.
Использование графического моделирования при решении текстовых
задач обеспечит более качественный анализ задачи, осознанный поиск ее
решения, обоснованный выбор арифметических действий и предупредит
многие ошибки в решении задач.
Модель задачи может быть использована для составления и решения
обратных задач, для проведения исследования задачи. Модель помогает
установить условия, при которых задача имеет решение или не имеет
решения, помогает увидеть, как изменяется значение искомой величины в
зависимости от изменения данных величин, помогает сделать обобщение
теоретических знаний, выводит ребенка на теоретическое осмысление
проделанной учебной деятельности.
Моделирование – это необходимый компонент умения учиться.
Моделирование как учебное действие направлено на формирование
умственных операций, необходимых для освоения правил построения и
использования моделей в процессе научно-теоретического мышления.
Модель всегда есть результат некоторого этапа исследования, один из
способов категоризации. Модель не обладает внешним сходством с реальным
объектом, поскольку призвана отражать не внешние, а существенные его
стороны.
Модель может выполнять функцию мотивировки – создавать условия для
осознания необходимости нового способа представления своего опыта.
Моделирование, помимо всего прочего, еще является тем учебным
действием и средством, без которого невозможно полноценное обучение. Но
следует помнить, что одного составления модели к задаче недостаточно.
Необходимо использовать при решении математических текстовых задач
различные приемы, которые способствуют формированию умения их решать.
Решение задачи двумя способами.
Задача. Купец отправлялся в гости к царю, а в это время навстречу ему из
царского дворца выехал почетный караул. Через два часа они встретились.
Какое расстояние между домом купца и царским дворцом, если купец шел
со скоростью 9 км/ч, а почетный караул – 7 км/ч?
После пересказа задачи составляется краткая запись:
Решение задачи записывается самостоятельно, по
выражением.
1-й с п о с о б: 9 · 2 + 7 · 2 = 32 (км).
2-й с п о с о б: (9 + 7) · 2 = 32 (км).
Какой способ решения задачи рациональнее и почему?
возможности,
Составим уравнения к задаче:
х – 9 · 2 = 7 · 2,
х–7·2=9·2
Это делается для того, чтобы дети не были ограничены в плане выбора
способа решения задачи.
Задача.
Составить по краткой записи условие задачи и решить ее (можно с
комментированием):
(П р и м е р. Два всадника выехали одновременно навстречу друг другу из
двух городов, расстояние между которыми 592 км. Скорость одного всадника
– 25 км/ч, другого – 23 км/ч. Какое расстояние было между всадниками через
3 часа?)
Составить различные формы записи условия задачи.
Это задание дается для того, чтобы учащиеся выбрали наиболее
целесообразную форму записи.
Задача.
Составить по схемам взаимно обратные задачи и решить их.
П р и м е р:
Задачи подбираются по нарастанию сложности.
Поскольку фактически вокруг одной задачи при таком подходе
поднимается весь прилегающий «пласт», то есть при решении одной задачи
деятельность учащихся является максимально разнообразной, тогда она
будет давать более высокие результаты, чем решение нескольких
однотипных задач без подобного углубления.
Чтобы добиться высоких результатов при решении текстовых задач на
движение, прежде всего, у обучаемых надо сформировать систему понятий:
время, скорость, расстояние; отношения между понятиями; условие;
требование; кроме того, научить анализировать задачу. Дать метод
составления схемы ситуации и плана решения. Это дается в условиях
совместного действия (где участники процесса могут как помогать, так и
мешать друг другу) и, конечно же, применительно к одному участнику.
С другой стороны, необходимо включать в урок математические
текстовые задачи, которые предполагают столкновение разных точек зрения,
коллективного учебного диалога; создания отношения сотрудничества и
делового партнерства между учителем и учениками. Задача должна
рассматриваться как «объект для анализа, для исследования, а ее решение –
как конструирование и изобретение способа решения». (Л. М. Фридман.)
На четвертом году учебы акцент должен перемещаться от групповых
форм работы к индивидуальным.
Теперь предметом беспокойства учителя становятся дети, которые не
предпринимают попыток к самостоятельному выполнению заданий.
Важно понять причину, по которой ребенок не хочет отделяться от
группы, а значит, учителю необходимо найти педагогические приемы,
позволяющие помочь ребенку преодолеть тот или иной психологический
барьер. Главное – не заставлять ребенка работать в одиночку, а помочь ему.
Большую помощь могут оказать листы на печатной основе,
охватывающие целую тему. Лист представляет собой несколько заданий.
Лист – «долгосрочное задание», сроки выполнения которого
индивидуализированы в соответствии с желанием и возможностями ученика.
Такой лист можно предлагать на уроке или вместо домашнего задания в виде
задания с «отложенным сроком» исполнения, который учитель либо
устанавливает индивидуально, либо позволяет ученику (этот путь более
продуктивен) самому установить его для себя срок (2–3 дня). Это путь
формирования самодисциплины, это основа самовоспитания человека.
Ученик работает на листе. Такая организация обучения вызывает у
ребенка положительные эмоции – ему нравится работать на печатной основе.
Многие дети просят новый лист каждый день! Иными словами, они
перевыполняют рабочую норму урока и домашнего задания в несколько раз,
испытывая при этом положительные эмоции и работая по собственному
желанию.
ЛИСТ – ДОЛГОСРОЧНОЕ ЗАДАНИЕ
1. Сравни:
5 ч 6 мин * 56 мин
108 мин *1 ч 8 мин
1 сут 15 ч * 115 ч
9 мин 20 с * 560 с
734 с * 7 мин 34 с
206 ч * 2 сут 6 ч
2. Найди:
а) Скорость космического корабля, если он пролетел 56 км за 8 с.
б) Скорость плота на реке, если он за 4 ч проплыл 16 км.
в) Расстояние, которое проплыл окунь за 8 мин, если он будет плыть со
скоростью 80 м/мин.
г) Время космического корабля, если при скорости 9 км/ч он пролетит 441
км.
3. Задача.
От двух пристаней, расстояние между которыми 117 км, отправились
одновременно навстречу друг другу по реке два катера. Один шел со
скоростью 17 км/ч, другой – 24 км/ч. Какое расстояние будет между катерами
через 2 часа после начала движения?
Закончи чертеж к задаче. Обозначь на нем данные и искомое.
Пользуясь чертежом, найди другой способ решения задачи и запиши его
выражением.
4. Выполнив чертеж, реши задачу.
Задача.
Два поезда отправились с одной станции в противоположных
направлениях. Один из них прошел 175 км, другой на 62 км меньше. На
каком расстоянии один от другого находились поезда в это время?
5. Выполнив чертеж, реши задачу.
Задача.
Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Первые 2 часа он шел со
скоростью 4 км/ч, а затем один час со скоростью 2 км/ч и оставшиеся 3 часа
со скоростью 6 км/ч. Найди расстояние между пунктами А и В. На каком
расстоянии от пункта А пешеход был через 6 часов?
6. Выполнив чертеж, реши задачу.
Задача.
Из города А со скоростью 5 км/ч вышел Ваня. Спустя 3 часа в том же
направлении из города А выехал Женя на велосипеде со скоростью 10 км/ч.
Через какое время Женя догонит Ваню?
7. Реши задачу разными способами.
Задача.
Поезд, отправившись со станции А, прошел до станции В за 3 часа 210 км,
после чего он снизил скорость на 10 км/ч. Со сниженной скоростью поезд
шел от станции В до следующей станции С в 2 раза дольше, чем от А до В.
Определите расстояние АС.
Использование на уроках
положительные результаты.
математики
блицтурниров
тоже
дает
П р и м е р:
а) Стрекоза пролетает а км за 2 часа. Какое расстояние она пролетит за 5
часов, если будет лететь с той же скоростью?
б) Заяц пробежал в км за 3 часа, а волк пробежал то же расстояние за 4
часа. У кого из них скорость больше и на сколько?
в) Лыжники были в походе 7 дней. Каждый день они шли по 6 часов со
скоростью 9 км/ч. Сколько километров прошли лыжники?
И т. д.
Такие задания не только учат детей решать задачи, но и отрабатывают
вычислительные навыки устного счета.
Решением проблемы, которая возникает на уроке при работе над
текстовой задачей, является организация разноуровневой работы по
карточкам. Ведь в то время, когда большая часть учащихся класса только
приступает к осмысливанию содержания задачи вместе с учителем, другая,
пусть меньшая, часть уже знает, как ее решать. Одни учащиеся способны
видеть разные способы решения, другим необходима значительная помощь
для того, чтобы просто решить задачу. Да и потребность в помощи различна
у учеников. При этом определенная часть учащихся класса так и остается
недогруженной, так как предлагаемые задачи слишком для них просты.
Для того чтобы организовать разноуровневую работу над задачей в одно и
то же время, отведенное для этого на уроке, можно использовать
индивидуальные карточки. Карточки содержат системы заданий, связанные с
анализом и решением одной и той же задачи, но на разных уровнях. В
размноженном виде они предлагаются учащимся в виде печатной основы.
Ученик выполняет задание письменно в специально отведенном для этого
месте. Предлагая ученику вариант оптимального для него уровня сложности,
можно осуществлять дифференциацию поисковой деятельности при решении
задачи.
П р и м е р.
Задача.
Из двух городов, расстояние между которыми 770 км, вышли
одновременно навстречу друг другу два поезда. Скорость первого поезда 50
км/ч, скорость второго – 60 км/ч. Через сколько часов поезда встретятся?
После решения задачи на индивидуальных карточках ставится цель:
продолжить формирование умения составлять задачу, обратную данной по
выражению.
З а д а н и е. Составить обратную задачу к данной по выражению 770 : 7 –
50.
Работа проводится
деятельности ученика.
по
карточкам
с
учетом
уровня
умственной
1-й у р о в е н ь.
Рассмотри данное выражение. Оно показывает, что должно быть известно
в задаче. Догадайся, каким будет ее вопрос.
Для выполнения задания используй этот текст: «Из двух городов,
расстояние между которыми … , вышли одновременно навстречу друг другу
два поезда. Скорость первого поезда … км/ч, скорость второго поезда – …
км/ч. Через сколько часов поезда встретятся?»
Представь нужные числа и запиши вопрос задачи.
2-й у р о в е н ь.
Для выполнения задания воспользуйся чертежом. Обозначь на нем то, что
дано. Подумай, каким будет вопрос задачи, и укажи его на чертеже.
3-й у р о в е н ь.
Составленную тобой задачу изобрази с помощью чертежа.
Этот факт, что учащиеся решают одну и ту же задачу в разных вариантах,
создает благоприятные условия для обсуждения задачи сразу же после ее
решения. Это, с одной стороны, служит необходимой обратной связью для
учителя, который получает таким образом общее представление о
выполнении работы учащимися уже на уроке. С другой стороны, обратная
связь осуществляется и для ученика: он еще помнит, какие имел трудности и
сомнения, и получает либо подтверждение, либо опровержение своей
деятельности и результатов. Кроме того, в ходе обсуждения результатов
работы каждый ученик имеет возможность увидеть деятельность более
высокого уровня.
Достижение более высокого уровня математической подготовки,
необходимой для выполнения более сложного задания, становится целью
каждого ученика.
Такая работа повышает самостоятельность учащихся.
К сожалению, в традиционном обучении в настоящее время практически
отсутствует на уроках математики алгебраический способ решения задачи, а
преобладает в основном арифметический, да и то только в виде решения
задач по действиям. Поэтому дети весьма ограничены в плане выбора
способа решения – они решают задачи по действиям или составляют
математическое выражение, хотя в программе по математике есть решение
простейших уравнений, но это не проходит пропедевтической нитью через
решение задач за все годы начального обучения, у многих младших
школьников так и не сформировано представление о том, что задачи могут
решаться алгебраическим способом.
В. В. Давыдов говорил, что «ребенок не должен получать готовых знаний,
должен напрягать свой ум и волю, должен чувствовать себя соавтором в
решении возникающих проблем».
Отсюда напрашивается вывод: уже в 1 классе целесообразно при решении
задач на нахождение неизвестного слагаемого показать детям на уровне
первичных представлений, что данную задачу можно решить и с помощью
уравнения, не вводя, естественно, это умение в ранг обязательных
требований. Задуманную линию алгебраической пропедевтики можно
реализовать на уровне творчески работающих учеников, не вводя эти
вопросы в обязательные программные требования и государственные
стандарты.