Методы решения текстовых задач на смеси и сплавы
advertisement
Работа выполнена учителем математики высшей квалификационной категории МОУ «СОШ №77» г. Саратова Ежовой Еленой Сергеевной. Методы решения текстовых задач на смеси и сплавы Введение. Стратегическая задача развития российского образования заключается в повышении качества образования за счет организации профильного обучения. Введение новых образовательных стандартов требует не только знаний у учащихся, но и умение их применять. Это нашло отражение в новой демоверсии КИМ – 2013 по математике, в которой заметно увеличилось количество задач практической направленности. В связи с этим появилась необходимость в усилении практической направленности обучения, включая в работу с учащимися соответствующие задания на проценты, пропорции, графики реальных зависимостей, текстовые задачи с построением математических моделей реальных ситуаций. Достижение учащимися таких качеств усвоения содержания математического образования, как осознанность, прочность, глубина, системность, обобщенность, возможно лишь при реализации деятельностного подхода в обучении. Важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой усваивается система математических знаний, умений и навыков, является решение задач. Именно задачи являются тем средством, которое в значительной степени направляет и стимулирует учебно-познавательную активность школьников. Особое место в обучении математике занимают сюжетно-текстовые задачи, в частности задачи на проценты, которые являются традиционным средством обучения. Текстовые задачи традиционно считаются для учащихся одними из самых сложных. Это объясняется в значительной степени тем, что если задачи другого рода требуют для своего решения формально-технического аппарата, применение которого алгоритмизируемо, то решение текстовых сюжетных задач требует от учащихся еще и этапа составления уравнения или системы уравнений, который в значительно меньшей степени формализуем и требует от решающего понимания имеющихся в задаче условий и перевода их на язык математики; и этот этап в большей степени, чем все остальные, носит эвристический характер. Существуют различные подходы к определению самой задачи. Остановимся на точке зрения Л.М. Фридмана: «Задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче»1. Роль текстовых задач в процессе обучения математике многообразна, и она сводится главным образом к следующим функциям: − служат усвоению математических понятий и отношений между ними; − обеспечивают усвоение учащимися специфических понятий, входящих в предметную область задач; − способствуют более глубокому усвоению идеи функциональной зависимости; − повышают вычислительную культуру учащихся; − учат школьников применению такого метода познания действительности, как моделирование; − способствуют более полной реализации межпредметных связей; − развивают у учащихся способность анализировать, рассуждать, обосновывать; − развивают логическое мышление школьников; − развивают познавательные способности учащихся через усвоение способов решения задач; − формируют универсальные качества личности, такие как привычка к систематическому интеллектуальному труду, стремление к познанию, потребность в контроле и самоконтроле и т. п.; 1 Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся ст. классов сред. школы. – 3-е изд., доработанное. М.: Просвещение, 1989 − прививают и укрепляют интерес школьников к математике; − осуществляют предпрофильную и профильную подготовку учащихся. Всесторонне функции задач, в том числе и текстовых, охарактеризовал Е.С. Ляпин: «Путем решения задач формируются различные математические понятия, осмысливаются различные арифметические операции. Задачи часто служат основой для вывода некоторых теоретических положений. Задачи содействуют обогащению и развитию правильной речи учащихся. Задачи помогают учащимся понять количественные соотношения различных жизненных фактов. Задачи соответствующего содержания содействуют воспитанию учащихся. Особенно важна роль задач как средства развития логического мышления учащихся, их умения устанавливать зависимости между величинами, делать правильные умозаключения»2. В числе текстовых задач особое место занимают задачи на смеси, растворы и сплавы. Задачи эти включены в кодификаторы ЕГЭ и по химии, и по математике, причем в структуре экзаменационной работы считаются заданиями повышенного уровня сложности. Некоторые старшеклассники, увидев задачу на смеси, сплавы и растворы, сразу отказываются их решать. Их можно понять: темы 10-11 класса далеки от этих задач. В учебниках их мало, а в вариантах экзаменов они есть. Задачи на смеси и сплавы при первом знакомстве с ними вызывают у учащихся общеобразовательных классов затруднения. Самостоятельно справиться с ними могут немногие. Задач мало, а вся «теория» разбросана по учебникам математики 5-6 классов. Никаких подсказок и системных приемов в учебниках не описывается. Одни примеры решенных задач и готовые тексты с пояснениями к составленным уравнениям. И все! Расчет составителей различных экзаменов по математике, включающих задачи на растворы и сплавы делается на прочность знаний о процентах, полученных в 5-6 классе. Ох, как далеко это от ЕГЭ по математике. Промежуток в целых 5 лет. 2 Ляпин С.Е. Методика преподавания математики. М.; Л., 1952. В данной работе рассмотрены теоретические основы решения задач на растворы, смеси, сплавы, привели различные методики решения. В работе использовались открытые варианты контрольных измерительных материалов (КИМ) ЕГЭ 2010-2013г. Цель: рассмотреть и систематизировать различные методы решения задач на смеси, сплавы, растворы. Задачи: -рассмотреть сущность каждого метода; -рассмотреть решение одной задачи несколькими методами; -разработать план-конспект урока защиты задач. Глава 1. Теоретико-методические аспекты изучения темы «Решение задач на смеси и сплавы » в школьном курсе математики Сравнительная характеристика учебников математики 5-6 классов по количеству сюжетных задач Название учебника Количество текстовых задач, в% 5 6 класс класс Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов и др. Математика. УМК для 32 27 5-6 классов Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон. Математика. Учебник для 29 28 5 кл в 2-х частях. Учебник для 6 кл. в 2-х частях Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин. Математика. УМК для 5- 30 22 6 классов И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. Математика.5,6кл. 37 15 Общее количество сюжетных задач в учебниках авторов Н.Я. Виленкина, В.И. Жохова и Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсона незначительно больше и они распределены по всему изучаемому материалу. Текстовые задачи в этих учебниках содержатся в каждом пункте, они могут предлагаться ученикам на любом этапе урока: в устной работе, при изучении нового материала, при закреплении, при повторении ранее изученного и как задание для домашней работы. В других двух учебниках количество задач немногим меньше. Причем задач, где упоминается процентное содержание вещества, в учебнике И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. Математика.,6кл. всего 4! Общий прием решения задач включает: знание этапов решения, методов (способов) решения, типов задач, обоснование выбора способа решения на основании анализа текста задачи, а также владение предметными знаниями: понятиями, определениями терминов, правилами, формулами, логическими приемами и операциями. К этапам решения можно отнести: 1) анализ текста задачи; 2) перевод текста на язык математики; 3) установление отношений между данными и вопросом; 4) составление плана решения задачи; 5) осуществление плана решения; 6) проверка и оценка решения задачи. 1.1. Теоретические основы решения задач Разберем теоретические основы, определения, допущения при решении задач на смеси, сплавы, растворы. В числе текстовых задач особое место занимают задачи на смеси, растворы и сплавы, называемые еще задачами на процентное содержание или концентрацию. Концентрацией называется величина, равная отношению массы (объема) вещества, входящего в смесь к массе (объему) смеси. Это отношение может быть выражено либо в дробях, либо в процентах (например 20%, или 0,2). При решении задач о смесях, сплавах, растворах используют следующие допущения: 1) все полученные смеси, сплавы, растворы считаются однородными; 2) не делается различия между литром как мерой вместимости сосуда и литром как мерой количества жидкости (или газа); 3) смешивание различных растворов происходит мгновенно; 4) объем смеси равен сумме объемов смешиваемых растворов; 5) объемы растворов и массы сплавов не могут быть отрицательными. Если смесь (сплав, раствор) имеет массу т и состоит из веществ А, В и С, массы которых соответственно (соответственно òÂ òÑ ) , ò ò то величину 𝜔А= ò À тА , тв , тс , называют ò концентрацией вещества (соответственно В, С) в смеси (сплаве, растворе) или массовой А долей растворенного вещества в растворе, а величину ò À 100% (соответственно ò ò òÂ 100%, Ñ 100% ) ò ò – процентным содержанием вещества А (соответственно В, С) в смеси (сплаве, растворе). При этом выполняется равенство ò À òÂ òÑ 1 ò ò ò Определения и обозначения. Введем обозначения: ω1 – массовая доля растворенного вещества в первом растворе; ω2 – массовая доля растворенного вещества во втором растворе; ω – массовая доля растворенного вещества в новом растворе, полученном при смешивании первого и второго растворов; m1в - ва , m2в - ва , mв - ва – массы растворенных веществ в соответствующих растворах; m1р - ра , m2 р - ра , m р - ра – массы соответствующих растворов. Основными методами решения задач на смешивание растворов являются: с помощью расчетной формулы, правило смешения, правило креста, графический метод, алгебраический метод. Задачи на смеси (сплавы) можно разделить на два вида: 1.Задаются, например, две смеси (сплава) с массами m1 и m2 и с концентрациями в них некоторого вещества. Смеси (сплавы) сливают (сплавляют). Требуется определить массу этого вещества в новой смеси (сплаве) и его новую концентрацию. 2.Задается некоторый объем смеси (сплава) и от этого объема начинают отливать (убирать) определенное количество смеси (сплава), а затем доливать (добавлять) такое же или другое количество смеси (сплава) с такой же концентрацией данного вещества или с другой концентрацией. Эта операция проводится несколько раз. 1.2.Решение задач с помощью расчетной формулы. Получим формулу для вычисления массовой доли вещества в смеси. 1. Масса полученного при смешивании раствора равна: ò ð ðà ò 1ð ðà ò 2 ð ðà 2. Определим массы растворенных веществ в первом и втором растворах: ò 1ââà 1ò 1 ð ðà , ò 2ââà 2 ò 2 ð ðà 3. Следовательно, масса растворенного вещества в полученном растворе вычисляется как сумма масс веществ в исходных растворах: ò ââà ò 1ââà ò 2ââà 1ò 1ð ðà 2 ò 2 ð ðà 4. Таким образом, массовая доля растворенного вещества в полученном растворе равна: 1ò 1 ( ð ðà) 2 ò 2 ( ð ðà) ò 1 ( ð ðà ) ò 2 ( ð ðà ) или 1т1 2 т2 т1 т2 . Задача 1.В колбе было 200 г 80%-ного спирта. Провизор отлил из колбы некоторое количество этого спирта и затем добавил в неё столько же воды, чтобы получать 60%-ный спирт. Сколько граммов воды добавил провизор? Решение. Воспользуемся формулой 1ò 1 2 ò 2 0,6 ò1 ò 2 , 1,8(200 õ) 0 õ 200 Находим значение х = 50. Ответ: 50 г. 1.3.Решение задач с использованием «правила смешения». Воспользуемся формулой: 1ò 1 2 ò 2 ò1 ò 2 , тогда 1ò 1 2 ò 2 (ò 1 ò 2 ); 1ò 1 2 ò 2 ò 2 2 ò 2 ; ò 1 (1 ) ò 2 ( 2 ). ò 1 2 ò 2 1 Таким образом, отношение массы первого раствора к массе второго равно отношению разности массовых долей смеси и второго раствора к разности массовых долей первого раствора и смеси. Эта формула удобна тем, что на практике, как правило, массы веществ не отвешиваются, а берутся в определенном отношении. 1.4. Старинный метод решения задач или «метод креста». Впервые о нем было упомянуто в первом печатном учебнике математики Леонтия Ввиду Магницкого. большой предложенный способ купцами и решении различных простоты применялся ремесленниками при практических задач. Но в задачниках и различных руководствах для мастеров и торговцев никаких обоснований и разъяснений не приводилось. Просто давался рецепт решения: либо, как в предыдущей задаче, рисовалась схема, либо словесно описывалась последовательность действий — поступай так и получишь ответ. «Правилом креста» называют диагональную схему правила смешения для случаев с двумя растворами. Слева на концах отрезков записывают исходные массовые доли растворов (обычно слева вверху – большая), на пересечении отрезков – заданная, а справа на их концах записываются разности между исходными и заданной массовыми Получаемые массовые долями. части показывают, в каком отношении надо слить исходные растворы. Задача 2. (смешивание двух веществ, предлагалась на экзамене в 2006 году). Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 35%, а во втором 60% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40% золота? 1.5. Графический метод. В ряде случаев крайне полезным оказывается геометрическое решение задач на проценты [6], [7], [8]. Отрезок прямой (основание графика) представляет собой массу смеси, а на осях ординат откладывают точки, соответствующие массовым долям растворенного вещества в исходных растворах. Соединив прямой точки на осях ординат, получают прямую, которая отображает функциональную зависимость массовой доли растворенного вещества в смеси от массы смешанных растворов в обратной пропорциональной зависимости ( 1ò 1 2 ò 2 ò1 ò 2 Полученная ê , ó ). õ функциональная прямая позволяет решать задачи по определению массы смешанных растворов и обратные, по массе смешанных растворов находить массовую долю полученной смеси. Построим график зависимости массовой доли растворенного вещества от массы смешанных растворов. На одной из осей ординат откладывают точку, соответствующую массовой доле ω1, а на другой – ω2. Обозначим на оси абсцисс точки с координатами (0,0) и (ml + m2,0). В направлении от одной точки к другой возрастает содержание в смеси второго раствора от 0 до ml + m2 и убывает содержание первого раствора от ml + m2 до 0. Таким образом, любая точка на отрезке будет представлять собой смесь, имеющую одну и ту же массу с определенным содержанием каждого раствора, которое влияет на массовую долю растворенного вещества в смеси. Данный способ является наглядным и дает приближенное решение. При использовании миллиметровой бумаги можно получить достаточно точный ответ. Покажем решение задачи 1 графическим методом. Ответ: 50 г. 1.6 Арифметический метод. Задача 3.В сосуд, содержащий 5 литров 12 процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Рассмотрим три способа решения этой задачи. Первый способ. Представим, что раствор отстоялся. 5 7 12( л) объем получившегося раствора 5 0,12 0,6( л) объем чистого вещества в первом растворе. 0,6 100 5% концентрация получившегося раствора. 12 Второй способ. По формуле. 1V1 2V2 V1 V2 12 5 0 7 60 5% 57 12 где 1; 2 концентрация первого и второго растворов соответственно. V1;V2 объемы первого и второго растворов соответственно Третий способ. Объем раствора увеличился в 2,4 раза (было 5 л., стало 12 л. 12:5 = 2,4), содержание вещества не изменилось, поэтому процентная концентрация получившегося раствора уменьшилась в 2,4 раза.12:2,4=5(%) Ответ: 5 %. 1.7. Алгебраический метод. Под алгебраическим методом решения задач понимается такой метод решения, когда неизвестные величины находятся в результате решения уравнения или системы уравнений, решения неравенства или систем неравенств, составленных по условию задачи. Иногда алгебраическое решение задачи бывает очень сложным3 Задачи на смешивание растворов решают с помощью составления уравнения или системы уравнений. Главное внимание при обучении учащихся способу решения текстовых задач методом составления уравнений должно быть обращено на сознательную отработку этапности решения. 3 Виноградова Л.П. Обучение решению задач // Фестиваль педагогических идей «Открытый урок». – М.: Первое сентября, 2004. С. 29. В процессе решения каждой такой задачи целесообразно действовать по следующей схеме. 1. Изучение условия задачи. Выбор неизвестных величин (их обозначаем буквами х, у и т.д.), относительно которых составляем пропорции. Выбирая неизвестные параметры, мы создаем математическую модель ситуации, описанной в условии задачи. 2. Поиск плана решения. Используя условия задачи, определяем все взаимосвязи между данными величинами. 3. Осуществление плана, т.е. оформление найденного решения – переход от словесной формулировки к составлению математической модели. 4. Изучение полученного решения, критический анализ результата. Обратим внимание на семь критериев полноценности решения задачи, сформулированных В. М. Брадисом: безошибочность, обоснованность, исчерпывающий характер, простота, ясность пути, приведшего к решению задачи, рациональность записи, завершающее обобщение решения. При решении задач удобно составлять следующую таблицу, которая помогает зрительно воспринимать задачу. 1–й 2–й Смесь раствор раствор растворов двух Масса растворов Массовая доля растворённого вещества Масса вещества в растворе Задача 4.В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5 % железа, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20 %. Определите, какое количество железа осталось ещё в руде? Решение. Сначала составим таблицу, в которой напишем массу руды, массу железа, концентрацию (долю железа в руде) до и после удаления примесей. Концентрация Масса руды, кг Масса железа, кг (доля железа в руде) Руда Руда 500 х х 500 500-200=300 х-0,125200=x-25 х 25 300 после удаления примесей Пусть х кг – масса железа в руде. Так как масса всей руды равна 500 кг, то концентрация железа в ней равна x %. 500 Так как масса железа в 200 кг примесей равна 0,125200=25 (кг), то его масса в руде после удаления примесей равна (х-25) кг. Из того, что масса оставшейся руды равна 500-200=300 кг следует, что концентрация железа в ней равна х 25 . 300 По условию, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20%=1/5. Составим уравнение: x 25 1 x , 300 5 500 5( x 25) 300 3 x 5 x 125 300 3 x 2 x 425 x 212,5 Найдём, что 212,5 кг – масса железа в руде. Найдём остаток железа в руде после удаления примесей: 212,5-25=187,5 (кг) Ответ: 187,5 кг. Задача5.Имеются два сплава меди со свинцом. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди? Наименование % содержание Масса веществ, меди (доля раствора Масса вещества растворов, смесей, содержания (смеси, сплавов вещества) сплава) Первый сплав 15%=0,15 хг 0,15х Второй раствор 65%=0,65 (200 – х)г 0,65(200–х)=130– 0,65х Получившийся 30%=0,3 200 г 200∙0,3=60 раствор 1 способ решения. Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть в первых двух строчках) равна массе меди в полученном сплаве (третья строка таблицы): 0,15x 130 0,65х 60. Решив это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение 200 – х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго 60г. Ответ:140г. 60г. 2 способ решения. Рассмотрим решение этой же задачи с помощью следующей модели. Изобразим каждый из растворов в виде прямоугольника, разбитого на два фрагмента (по числу составляющих элементов). Для того, чтобы показать, что происходит смешивание веществ поставим знак «+» между первым и вторым прямоугольниками, а знак «=» между вторым и третьим прямоугольниками показывает, что третий раствор получен в результате смешивания первых двух. Полученная схема имеет следующий вид: Решение. Пусть хг – масса первого сплава. Тогда, (200-х)г – масса второго сплава. Дополним последнюю схему этими выражениями. Получим следующую схему: медь 15% медь + хг 65% (200-х) г медь = 30% 200 г Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть слева от знака равенства) равна массе меди в полученном третьем сплаве (справа от знака равенства): 0,15 x 0,65 200 x 0,3 200. Решив это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение 200х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго-60г. Ответ:140г. 60г. Ответ: 140 г меди и 60 г свинца. Задача №6. (Типовые тестовые задания ЕГЭ 2012 п/р А.Л.Семенова, И.В.Ященко). Смешав 70%-й и 60%-й растворы кислоты и добавив 2 кг чистой воды, получили 50%-й раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили 2 кг 90%го раствора той же кислоты, то получили бы 70%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 70%-го раствора использовали для получения смеси? Решение. Задача содержит два неизвестных, поэтому необходимо решить систему двух уравнений с двумя неизвестными. Составим эти уравнения. Обозначим через х кг – массу первого раствора, через у кг- массу второго раствора. Рассмотрим первую ситуацию: Составим первое уравнение: 70х 100 60у + 0∙2 + 100 100 = 50( 2+х+у) 100 . После упрощения уравнение примет вид: 2х +у = 10. Рассмотрим вторую ситуацию: Составим второе уравнение: 70х 100 + 60у 100 + 90∙2 100 = 70( 2+х+у) 100 . После упрощения уравнение примет вид: у = 4. Тогда х = 3 Ответ: 3 кг использовали 70%-й кислоты Задача 7. Первый раствор содержит 40% кислоты, а второй - 60% кислоты. Смешав эти растворы и добавив 5 л воды, получили 20 процентный раствор. Если бы вместо воды добавили 5 л 80 процентного раствора, то получился бы 70 процентный раствор. Сколько литров 60 процентного раствора кислоты было первоначально? Пусть х л было 40 процентного, а у л – 60 процентного. Тогда нового, 20 процентного раствора – (х + у + 5) л. 0,4х (л) – кислоты в первом растворе; 0,6у (л) – кислоты во втором растворе; 0,2·(х + у + 5) (л) – кислоты в новом растворе. Получим уравнение 0,4 х 0,6 у 0,2( х у 5). 0,8 5 4( л) кислоты в 80 процентном растворе; 0,7 ( х у 5)( л) кислоты в новом, 70 процентном растворе. Получим второе уравнение 0,4 х 0,6 у 0,7( х у 5). Получим систему уравнений: 0,4 х 0,6 у 0,2( х у 5), 0,4 х 0,6 у 0,2 х 0,2 у 1, х 1, 0,4 х 0,6 у 4 0,7( х у 5). 0,4 х 0,6 у 4 0,7 х 0,7 у 3,5. у 2. 2 л 60 процентного раствора было первоначально. Ответ: 2 л. 1.8. Сравнение решения задач алгебраическим методом и химическим методом. Задача 8. Смешали 10%-й и 25%-й растворы соли и получили Зкг 20%го раствора. Какое количество каждого раствора в кг было использовано? Алгебраическое решение Если было использовано х кг 1-го раствора, у кг 2-го раствора, то получаем систему уравнений: 0 0,1х+ 0,25у =0,6; х+у=3 , откуда х=1,у=2. Решение, предлагаемое на уроках химии: Задачу решаем по формуле нахождения массовой доли растворенного вещества в растворе ω %=m (растворенного вещества)/m(раствора)∙100% 10%= m(соли)/m(раствора)∙100% 0,1= m1(соли)/m1(раствора) (1) 0,25= m2(соли)/m2(раствора)∙100% (2) Отсюда m1(соли)=0,1 m1(раствора) m2(соли)=0,25m2(раствора) m1(соли)+ m2(соли)= m3(соли) m3(соли)=3∙0,2=0,6кг 0,1 m1(раствора)+ 0,25m2(раствора) =0,6 m2(раствора) +m2(раствора)=3 m1=3- m2 0,1(3- m2)+ 0,25m2=0,6 0,3-0,1 m2+0,25m2=0,6 О,15m2=0,3 m1=2кг, m2=1кг. Ответ:1кг, 2кг. Задача 9. Сплав содержит 32% олова и 38% свинца. В куске такого сплава олова содержится на 7,2г. меньше, чем свинца. Сколько гр. свинца в этом куске? Алгебраическое решение: Пусть масса сплава х г, тогда 0,38х-0,32х= 7,2; х=120(г); 0,38∙120=45,6(г). Решение, предлагаемое на уроках химии: 32%=m(Sn)/m(сплава)∙100% 38%=m(Pb)/m(сплава)∙100% m(Sn)=0,32 m(сплава) m(Pb)=0,38m(сплава) m(Pb)- m(Sn)=7,2 0,32 m(сплава)- 0,38m(сплава)=7,2 0,06m(сплава)=7,2 m(сплава)=7,2/0,06=120 m(Sn)=0,32∙120=38,4 m(Pb)=0,38∙120=45,6 Ответ:45,6г. Заключение. Решение текстовых задач не случайно всегда волновало учителей, методистов, да и самих учащихся и их родителей. Умение решать текстовые задачи свидетельствует об одной из самых важных способностей человека способности понимать текст. Правы те учителя, которые добиваются понимания текста не только на уроках чтения, но и на уроках математики. Критерием понимания задачи является факт решения задачи. Поэтому решение текстовых задач - это деятельность, весьма важная для общего развития. Обучая решать текстовые задачи, мы приучаем ориентироваться в ситуациях, делаем человека более компетентным. Конечно, для этого нужно расширить тематику задач, давать детям задачи, разнообразные по тематике, а не только «на скорость», «на работу», «на покупки». Решение текстовых задач способствует, с одной стороны, закреплению на практике приобретённых умений и навыков, с другой стороны, развитию логического мышления учащихся4. Наблюдается активизация их мыслительной деятельности. При правильной организации работы у учащихся развивается активность, наблюдательность, находчивость, сообразительность, смекалка, развивается абстрактное мышление, умение применять теорию к решению конкретных задач . Задачи на смеси и сплавы, ранее встречающиеся практически только на вступительных экзаменах в ВУЗы и олимпиадах, сейчас включены в КИМы для подготовки и проведения экзамена по математике за курс основной школы. Эти задачи, имеющие практическое значение, являются также хорошим средством развития мышления учащихся. При решении задач данного типа очевидны межпредметные связи математики с химией, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся. Задачи на нахождение процентной концентрации представляют в настоящее время интерес для всех людей. В жизни каждый из нас постоянно встречается с растворами, смесями, сплавами. Немаловажным является тот факт, что 4 такие задачи выразительно демонстрируют практическую Епишева О.Б. Общая методика преподавания математики в средней школе: Курс лекций. - Тобольск: Изд. ТГПИ им. Д.И.Менделеева, 1997. С. 56. ценность математики и химии. Задачи «на смеси и сплавы» решаются множеством способов. Анализ результатов проведения итоговой аттестации по алгебре в новой форме позволяет сделать вывод, что большинство учащихся не в полной мере владеют техникой решения текстовых задач. По этой причине необходимо более глубоко изучать этого традиционный раздел математики. Для любой возрастной категории учащихся небольшим мини-проектом может стать составление и решение «шитых» задач. С помощью различных по сюжету задач («лоскутков»), составляется новая, «сшитая» из них. Еще продуктивнее будет работа школьников, если «лоскутками» в основной задаче будут вопросы из физики, химии, черчения, биологии и т.д. Результативность такой деятельности подтверждается практикой. Изменяется микроклимат в классе, формируются и развиваются толерантные, доброжелательные взаимоотношения. Совместная деятельность воспитывает самостоятельность, ответственность за себя и товарищей, взаимопомощь, взаимовыручку. Отношение к предмету переходит на более высокий, практический уровень – школьники начинают действительно осознавать прикладной характер математики как части общечеловеческой культуры. Развивается критичность мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности. А.В. Шевкин в своей статье «Текстовые задачи в школьном курсе математики» так обозначил значение изучения текстовых задач в школе: 1. Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических (или правдоподобных) задач. 2. Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению. 3. Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учетом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи, то есть формировать и развивать важные общеучебные умения. 4. Арифметические способы решения текстовых задач приучают детей к первым абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать созданию благоприятного эмоционального фона обучения, развитию у школьников эстетического чувства применительно к решению задачи (красивое решение!) и изучению математики, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом и к изучаемому предмету. 5. Использование исторических задач и разнообразных старинных (арифметических) способов их решения не только обогащают опыт мыслительной деятельности учащихся, но и позволяют им осваивать важное культурно-историческое наследие человечества, связанный с поиском решения задач. Это важный внутренний (связанный с предметом), а не внешний (связанный с отметками, поощрениями и т.п.) стимул к поиску решений задач и изучению математики. Список использованной литературы. 1. Иванов М.А. Математика без репетитора. 800 задач с ответами и решениями для абитуриентов Учебное пособие. – М.: Издательский центр «Вентана – Граф», 2002г. 2. Кац М. Проценты // Математика. Приложение к газете «Первое сентября». М.: Издат. дом «Первое сентября», 2004. № 20, 22, 23, 25−26. 3. Кузнецова Л.В. Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе. - М.: Просвещение, 2010. 4. Прокопенко Н.И. Задачи на смеси и сплавы.- М. :Чистые пруды, 2010 (Библиотечка «Первого сентября». Выпуск 31 ) 5. Лурье М.В., Александров Б.И. Задачи на составление уравнений. Учебное руководство. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1990г. 6. Малахова Н. А., Орлов В. В. и др. Методика работы с сюжетными задачами: Учебно-методич. пособие. СПб.: Изд-во РГПУ, 1992. 46 с. 7. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся ст. классов сред.школы. Просвещение, 1989 9. www.mathege.ru 10. www.fipi.ru 11. www. festival.1september.ru 12. http://www.shevkin.ru/ 13. http://mat-ege.ru – 3-е изд., доработанное. М.:
