Олимпиада по М-5

Олимпиадные задачи в 5 классе.
Материал взят на сайте http://www.5egena5.ru/5klass-v3.html
ВАРИАНТ1.
Задача 1 Стороны четырёхугольника ABCD равняются: AB = 11, BC = 7, CD = 9, AD
= 3, а углы A и C – прямые. Чему равна площадь четырёхугольника?
А : 30; Б : 44; В : 48; Г : 52; Д :60
Задача 2 Коробку размером 30 х 30 х 50 нужно наполнить одинаковыми кубиками.
Какое минимальное количество кубиков позволит это сделать?
А : 15; Б : 30; В : 45; Г : 75;
Д : 150
Задача 3 Восемь карточек, занумерованных числами от 1 до 8, положили в коробки А
и В так, что суммы чисел в коробках равны. Если известно, что в коробке А всего 3
карточки, то можно быть уверенным, что:
А : три карточки в коробке В с нечётными номерами;
Б : 4 карточки в В имеют чётные номера;
В : карточка с номером 1 не в коробке В;
Г : карточка с номером 2 в коробке В;
Д : число 5 в коробке В
Задача 4 Комнаты отеля пронумерованы тремя цифрами. Первая цифра обозначает
этаж, а следующие две – номер комнаты. Например, 125 означает 25 ю комнату на
первом этаже.
В отеле 5 этажей, они пронумерованы от 1 до 5, с 35 комнатами, пронумерованными
от 101 до 135 на первом этаже и аналогичным образом – на остальных.
Сколько раз при нумерации комнат использовали цифру 2?
А : 60; Б : 65;
В : 95; Г : 100;
Д : 105
Решение задач
Задача 1 :
Четырёхугольник разбивается ABCD диагональю BD на два прямоугольных
треугольника, для каждого из которых вычисляется площадь как полупроизведение
катетов. Итого искомая площадь составит – 48
Ответ В - 48.
Задача 2
Сторона кубика должна быть наибольшим общим делителем чисел 30 и 50. НОД
(30;50) = 10, значит, кубиков в коробку войдёт 45.
Ответ В - 45.
Задача 3
Сумма всех чисел на карточках равна 36, следовательно, на трёх карточках из А
сумма 18.
Такую сумму можно получить тремя способами: 18 = 8 + 4 + 6 = 8 + 7 + 3 = 7 + 6 + 5.
Значит, у нас есть три варианта для карточек в коробке В: 1, 2, 3, 5, 7 или 1, 2, 4, 5, 6
или 1, 2, 3, 4, 8. Убеждаемся, что из всех утверждений только утверждение Г всегда
будет верным.
Ответ Г- карточка с номером 2 в коробке В.
Задача 4
На каждом этаже двойка четырежды использовалась для нумерации единиц, и десять
раз – в десятках. К тому же, номера второго этажа дают ещё 35 двоек.
Всего их будет 14 х 5 + 35 = 105
Ответ Д - 105.
Задача 5
Ваня, Коля и Антон могут одинаково быстро вскопать землю лопатой.
Если любые два из этих мальчиков будут работать вместе, то справятся с земельным
участком за полтора часа. За какое время ребята вскопают тот же участок, если будут
работать все трое вместе.
Решение:
Любые две мальчика справляются с уборкой за полтора часа (90 минут). Каждый из
этих мальчиков вскопает одну вторую часть земельного участка. Если двое мальчиков
за 90 мин копают участок, то по отдельности они вскопают в 2 раза дольше:
90 x 2 = 180 минут. Нам надо узнать, за какое время они вместе втроем справятся с
заданием. Вместе им придется вскопать каждому одну треть земельного участка, то
есть выполнить задание в 3 раза быстрее
180 : 3 = 60 минут.
Ответ: Втроем ребята перекопают земельный участок за 1 час.
Задача 6
Задания для школьной олимпиады: примеры и выражения. В записи (88888888) нужно
поставить знаки сложения таким образом, чтобы получилась сумма, которая будет
равна 1000.
Решение:
Способ 1: 88+8+8+8+888=1000
Способ 2: 8+8+888+88+8=1000.
Задача 7
В детском магазине продают трехколесные и двухколесные велосипеды,
причем и тех и других поровну. Сколько колес может быть у всех этих велосипедов
вместе: 1) 16; 2) 24; 3) 25; 4) 28; 5) 33 ?
Решение:
Надо сложить между собой количество колес двух видов велосипедов, так как нужно
сравнивать кратность общего числа колес велосипедов к количеству суммы колес двух
видов:
3+2=5
3 - это количество колес трехколесного велосипеда, 2 - это количество колес
двухколесного велосипеда.
Далее рассуждаем так: если количество велосипедов одинаковое (и 2-х и 3-х
колесных), то общее число колес должно делится на 5 обязательно без остатка.
- при варианте 1) 16 : 5 = 3 (остаток 1).
- при варианте 2) 24 : 5 = 4 (остаток 4) – то есть опять остались лишние колеса.
- при варианте 3) 25 : 5 = 5 . Без остатка – значит вариант подходит,
- при варианте 4) 28 : 5 = 5.(в остатке 3 колеса) – не подходит,
- при варианте 5) 33 : 5 = 6 (остаток 3).
Ответ: Правильный вариант ответа 3), так как 25 делится на 5 без остатка (25 : 5 = 5).
ВАРИАНТ2.
Задача 1 В пещере старый пират разложил свои сокровища в 3 цветных сундука,
стоящих вдоль стены: в один - драгоценные камни, а в другой - золотые монеты, а в
третий - оружие. Он помнит, что :
- красный сундук правее, чем драгоценные камни
- оружие правее, чем красный сундук. В сундуке какого цвета лежит оружие, если
зелёный сундук стоит левее, чем синий?
Решение
ДК – зелёный ЗC - красный
О - синий
Задача 2 Девять осликов за 3 дня съедают 27 мешков корма. Сколько корма надо
пяти осликам на 5 дней?
Решение
1 шаг 9 осликов в 1 день - 27 : 3= 9м.
2 шаг 1 ослик в 1 день - 9 : 9 = 1 м.
3 шаг 5 осликов в 1 день - 5 * 1 = 5 м.
4 шаг 5 осликов за 5 дней - 5 * 5 = 25 м.
Задача 3
Кенгуру мама прыгает за 1 секунду на 3 метра, а её маленький сынишка прыгает на 1
метр за 0,5 секунды.
Они одновременно стартовали от бассейна к эвкалипту по прямой.
Сколько секунд мама будет ждать сына под деревом, если расстояние от бассейна до
дерева 240 метров
Решение
1 шаг 240 : 3 = 80 (с) скакала мама Кенгуру
2 шаг сын за 0,5 с - 1 м, за 1 с - 2 м
3 шаг 80 * 2 = 160 (м) проскачет кенгурёнок за 80 с
4 шаг 240 - 160 = 80 (м) осталось проскакать кенгурёнку когда, мама уже под
эвкалиптом, 5 шаг 80 : 2 = 40 (с)
Ответ: 40 секунд.
Задача 4 На скотном дворе гуляли гуси и поросята.
Мальчик сосчитал количество голов, их оказалось 30, а затем он сосчитал количество
ног, их оказалось 84. сколько гусей и сколько поросят было на школьном дворе?
Решение
1 шаг Представьте, что все поросята подняли по две ноги вверх
2 шаг на земле осталось стоять 30 * 2 = 60 ног
3 шаг подняли вверх 84 - 60 = 24 ноги
4 шаг подняли 24 : 2 = 12 поросят
5 шаг 30 - 12 = 18 гусей
Ответ: 12 поросят и 18 гусей.
ВАРИАНТ 3.
Задача 1 На книжной полке можно разместить либо 25 одинаковых
толстых книг, либо 45 тонких книг. Можно ли разместить на этой полке 20
толстых книг и 9 тонких книг?
Решение
1 шаг. Заметим, что и 25 и 45 делятся на 5
25: 5 = 5(к) толстых
45 : 5 = 9 (к) тонких
2 шаг обратить внимание на то, что 5 толстых книг занимает столько же
места сколько 9 тонких, 3 шаг вывод на 20 толстых книг и 9 тонких - места
хватит.
Задача 2 Имеются двое песочных часов: на 3 минуты и на 7 минут.
Яйцо варится 11 минут. Как отмерить это время при помощи имеющихся
часов?
Решение Перевернуть обои часы. Когда пройдёт 3 минуты в семиминутных
часах останется 4 минуты. Поставьте яйца в это время вариться.
Когда 4 минуты закончатся, перевернуть семиминутные часы обратно 4 + 7
+ 11 мин.
Задача 3 В ящике лежат шары: 5 красных, 7 синих и 1 зелёный.
Сколько шаров надо вынуть, чтобы достать два шара одного цвета?
Решение Подумайте сколько всего шаров различных цветов можно достать
не повторяясь
Ответ: надо вынуть 4 шара.
Задача 4 Известно, что P - 2 = Q + 2 = X - 3 = Y + 4 = Z - 5. Найти самое
маленькое из них.
Решение В каждом случае Р уменьшили на 2, чтобы сравнять с остальными
числами и т.д. В ходе дальнейших рассуждений видим, что Y увеличили на
4, т.е. оно было самым маленьким.
Задача 5 Двум парам молодоженов нужно переправиться на другой берег.
Для этого имеется двуместная лодка, но сложность состоит в том, что
молодые жены отказались оставаться в обществе незнакомого мужчины без
своего мужа.
Как осуществить переправу всех четверых, соблюдая это условие?
Решение
М1 М2
М1
Ж1 Ж2
Ж1
М1 Ж1
Ответ: за 5 переездов.
ВАРИАНТ 4.
Задача. У филателиста Васи большое количество марок. Однажды он решил
разместить их в большом альбоме, состоящем из 1000 страниц, так, чтобы на всех
заполненных страницах марок было поровну (какие-то страницы в конце альбома
могут остаться пустыми).
Но когда Боря попробовал раскладывать по 7 марок на странице, то у него 5 марок
осталось (но не все страницы были заполнены).
Тогда он стал раскладывать сначала по 11 марок на странице, затем – по 13 марок на
странице.
Но снова у него оба раза осталось 5 марок.
Наконец, когда Боря решил разложить по 23 марки на странице, то на этот раз у него
осталось 6 марок. Сколько марок в коллекции у Васи?
Решение задачи
Пусть у Васи х марок.
Согласно условию х – 5 делится на 7, на 11 и на 13.
Следовательно, поскольку 7,11 и 13 – простые числа,
то х – 5 делится на их произведение, т. е. на 7 • 11 • 13 = 1001.
Поэтому х – 5 = 1001k для некоторого натурального k, откуда х = 1001k +5 .
Далее, согласно условию х – 6 делится на 23.
Поэтому х – 6 = 23m для некоторого натурального m.
В результате, получим 1001k – 1 =23m.
Остается только найти натуральные k и m, удовлетворяющие этому равенству.
При этом, поскольку согласно условию
х/7<1000 и, значит, х<7000,
то достаточно рассмотреть k = 1,2,..., 6.
Нетрудно убедиться, что только при k = 2
из уравнения получится натуральное значение m = 87.
Поэтому находим единственное значение х = 1001•2 + 5 = 2007.