Файл19

Занятие 19
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
Учебная цель: на основе молекулярно-кинетической теории сформировать понимание физической сущности явлений переноса. Привить навыки самостоятельного решения задач на данную тему.
Литература
Основная: Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. - М.: Высшая
школа, 1989. - Гл. 10, § 10.6 - 10.9.
Дополнительная: Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука,
1987. - Т.1. - Гл.16, § 128 - 132.
Контрольные вопросы для подготовки к занятию
1. Назовите и охарактеризуйте известные Вам явления переноса.
2. Какова причина возникновения любого из явлений переноса: диффузии, внутреннего трения, теплопроводности?
3. Каков физический смысл явления диффузии?
4. Сформулируйте и запишите закон переноса массы вещества (закон
Фика).
5. Запишите выражение для определения массы вещества, перенесенной в результате диффузии через площадку S за время t.
6. Каков физический смысл явления теплопроводности?
7. Запишите и сформулируйте закон теплопроводности Фурье.
8. Запишите выражение для определения теплоты, прошедшей посредством теплопроводности через площадку S за время t.
9. Каков физический смысл явления внутреннего трения (вязкости)?
10. Запишите и поясните уравнение внутреннего трения.
11. Как вычисляется каждый из коэффициентов переноса? Запишите
связь коэффициентов переноса друг с другом.
Краткие теоретические сведения и основные формулы
В термодинамически неравновесных системах возникают особые необратимые процессы, называемые явлениями переноса, в результате которых происходит перенос либо массы вещества, либо теплоты, либо импульса (количества движения).
К явлениям переноса относятся диффузия, теплопроводность и внутреннее трение.
Все явления переноса обусловлены одним молекулярным механизмом
– хаотическим движением и перемешиванием молекул.
1. Диффузия. Явление диффузии заключается в том, что происходит
самопроизвольное проникновение и перемешивание частиц двух соприкасающихся газов, жидкостей и даже твердых тел. Диффузия сводится к обмену масс частиц этих тел, возникает и продолжается, пока существует
градиент плотности
d
. Перенос массы вещества подчиняется закону Фиdx
ка: масса вещества m, переносимая за единицу времени через единицу
площади, прямо пропорциональна градиенту плотности:
m  D
d
,
dx
(19.1)
где D – коэффициент диффузии. Знак минус показывает, что перенос массы происходит в направлении убывания плотности.
Коэффициент диффузии D равен массе вещества, переносимого через
единицу площади за единицу времени при градиенте плотности, равном
единице. Согласно кинетической теории газов,
D
1
 V   ,
3
где <V> - средняя арифметическая скорость теплового движения молекул,
<> - средняя длина свободного пробега.
Масса М вещества, перенесенная в результате диффузии через площадь S за время t, пропорциональна площади S, времени t и градиенту
плотности
d
:
dx
M  D
d
 S t .
dx
(19.2)
2. Теплопроводность. Явление теплопроводности заключается в передаче энергии от более нагретого тела к менее нагретому.
Процесс передачи энергии в форме теплоты подчиняется закону теплопроводности Фурье: количество теплоты q, которое переносится за единицу времени через единицу площади, прямо пропорционально
dT
- граdx
диенту температуры, равному скорости изменения температуры на единицу длины х в направлении нормали к этой площади:
q=æ
dT
,
dx
(19.3)
где æ - коэффициент теплопроводности. Знак минус показывает, что при
теплопроводности энергия переносится в сторону убывания температуры.
Коэффициент теплопроводности æ равен количеству теплоты, переносимой через единицу площади за единицу времени при температурном
градиенте, равном единице.
Можно показать, что
1
3
æ  cV   V   ,
(19.4)
где cV – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме (количество
теплоты, необходимое для нагревания 1 кг газа на 1 К при постоянном
объеме),  – плотность газа, <V> – средняя арифметическая скорость теплового движения молекул, <> – средняя длина свободного пробега.
Теплота Q, прошедшая посредством теплопроводности через площадку S за время t, пропорциональна площади S, времени t и градиенту температуры:
Q = - æ
dT
St.
dx
3. Внутреннее трение (вязкость) – это явление возникновения силы
трения между слоями газа (или жидкости), перемещающимися параллельно друг другу с разными по величине скоростями.
Внутреннее трение подчиняется закону Ньютона:
f  
dV
,
dx
(19.5)
где f – сила внутреннего трения, действующая на единицу площади поверхности слоя,  – коэффициент внутреннего трения,
dV
– градиент скоdx
рости. Знак минус указывает, что сила трения направлена против скорости.
Коэффициент внутреннего трения  равен силе внутреннего трения,
действующей на единицу площади поверхности слоя при градиенте скорости, равном единице. Он вычисляется по формуле
1
3
    V    .
(19.6)
Сила F, действующая на площадь S, пропорциональна этой площади и
градиенту скорости
dV
:
dx
F  
dV
S.
dx
Формулы (19.1), (19.4) и (19.6) связывают коэффициенты переноса и
характеристики теплового движения молекул. Их этих формул вытекают
простые зависимости между æ, D и :
 =  D;
æ
 1.
cv
Примеры решения задач
Задача 1. Найти коэффициент диффузии водорода при нормальных
условиях, если средняя длина свободного пробега молекул при этих условиях равна 1,6 . 10–7 м.
Дано:
Решение
кг
моль
.
<> = 1,6 10–7 м
р = 105 Па
Т = 273 К
 = 2 . 10–3
D
1
 V    - коэффициент диффузии зави3
сит от средней длины свободного пробега и средней арифметической скорости молекулы.
 V 
D-?
 V  1,6
8 RT

 1,6
RT

;
м
8,3  273
;
 1,7  10 3
3
2  10
с
м
1
D  1,7  10 3  1,6  10 7  0,9  10  4
.
3
с
2
Ответ: D = 0,9 10
.
–4
м2
.
с
Задача 2. Найти количество азота, прошедшего вследствие диффузии
через площадку 100 см2 за 10 с, если градиент плотности в направлении,
перпендикулярном площадке, равен 1,26
<> = 10–5 см.
кг
. Температура азота 27 0С,
4
м
Дано:
Решение
кг
моль
2
S = 100 см = 10–2 м2
кг

 1,26 4
х
м
t0 = 27 0C; T = 300 К
<> = 10–5 см = 10–7 м
t = 10 с
М-?
 = 28 . 10–3
Уравнение диффузии
M  D

S t,
x
где D – коэффициент диффузии.
1
 V    ;
3
м
RT
8,3  300
 1,6
 4,8  10 2 ;
3

28  10
с
D
 V  1,6
1
M   4,8  10 2  10 7  1,26  10  2  10  2  10 6 кг.
3
Ответ: через указанную площадку пройдет 2 мг азота за 10 с.
Задача 3. Найти коэффициент внутреннего трения азота при нормальсм2
ных условиях, если его коэффициент диффузии равен 0,142
.
с
Дано:
 = 28 . 10–3
Решение
кг
моль
р = 105 Па
Т = 273 К
D = 0,142 . 10–4
R = 8,31
 -?
м
с
Дж
моль  К
2
Сравним выражение коэффициента диффузии и внутреннего трения:
D
1
 V    ;
3
1
V     .
3
Из сравнения видно, что
  D.
Из уравнения Менделеева - Клапейрона

Тогда

p
.
RT
D
p
.
RT
Подставляя числовые значения, получим
  0,142  10
Ответ:  = 1,75 . 10–2
4
кг
10 5  28  10 3
.
 1,75  10 2
8,3  273
мс
кг
.
мс
Задача 4. Найти коэффициент теплопроводности водорода, если известно, что коэффициент внутреннего трения для него в этих условиях раНс
вен 8,6 . 10–6
.
м2
Дано:
Решение
кг
Коэффициент теплопроводности равен
моль
Нс
1
 = 8,6 . 10–6
æ   V      cV ,
3
м2
æ-?
где cV – массовая изохорная теплоемкость газа, cV
может быть вычислена через мольную теплоемкость и молярную массу:
 = 2 . 10–3
CV = cV  ,
где CV 
i
R , i – число степеней свободы молекулы. Для водорода i = 5.
2
Тогда
æ 
i R
;
2 
Ответ: æ = 89,4
5
2
æ  8,6  10 6   8,31 
Н
10 3
= 89,4
.
2
Кс
Н
.
Кс
Качественные задачи
Задача 1. Почему калориметры делают из металла, а не из стекла?
(Металл с большой теплопроводностью, малым излучением с поверхности).
Задача 2. В калориметре два слоя воды: горячая и холодная. Изменится ли объем воды, когда температуры выравняются?
Задача 3. Почему дерево на ощупь теплее металла? Когда они будут
на ощупь одинаковы?
Задача 4. Какие свойства красной меди делают ее удобной для паяльников? Есть ли другой материал, обладающий столь же высокими качествами?
Задача 5. На подоконнике стоит мутная вода. Утром муть собралась у
стенки, расположенной со стороны комнаты. Когда это было – летом или
зимой?
Задача 6. Какие термосы выгоднее при одной и той же высоте и вместительности: круглого или квадратного сечения?
Задача 7. Два цилиндра одинаковых размеров – железный и серебряный – стоят один на другом. Нижнее основание серебряного цилиндра
поддерживается при температуре 0 0С, а верхнее основание железного цилиндра - при температуре 100 0С. Теплопроводность серебра в 11 раз
больше теплопроводности железа. Чему равна температура соприкасающихся оснований, если считать, что теплота через боковые поверхности
цилиндров не уходит в окружающую среду?
Ответ: Т2 = 8,3 0С.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Найти коэффициент диффузии гелия при нормальных условиях
Ответ: D = 8,4 10
.
–5
м2
.
с
Задача 2. Найти среднюю длину свободного пробега молекул гелия
при температуре 0 0С и давлении 105 Па, если при этих условиях коэффиг
циент внутреннего трения равен 1,3 . 10–4
.
см  с
Ответ: <> = 1,84 . 10–7 м.
Задача 3. Два сосуда А и В соединены трубкой, диаметр которой
d = 1 см и длина l = 1,5 см. Трубка снабжена краном. При закрытом кране
давление в сосуде А рано p1 ; сосуд В откачан до давления p2 << p1 . Найти
массу воздуха, который продиффундирует из сосуда А в сосуд В в первую
секунду после того, как открыли кран. Температуру воздуха считать равной 17 0С, диаметр молекулы воздуха   3 . 10–10 м.
Ответ: М = 9,7 . 10–8 кг.
Задача 4. Найти диаметр молекулы кислорода, если известно, что для
Нс
кислорода коэффициент внутреннего трения при 0 0С равен 18,8 .10–6 2 .
м
.
–10
Ответ:  = 3 10 м.
Задача 5. Найти коэффициент диффузии и коэффициент внутреннего
трения воздуха при давлении 105 Па и температуре 10 0С. Диаметр молекулы воздуха принять равным 3 . 10–10 м.
2
кг
.
–5 м
Ответ: D = 1,48 10
;  = 1,85 . 10–5
.
мс
с
Задача 6. Во сколько раз коэффициент внутреннего трения кислорода
больше коэффициента внутреннего трения азота? Температура газов одинакова.
Ответ: в 1,07 раза.
Задача 7. Коэффициенты диффузии и внутреннего трения водорода
см2
при некоторых условиях равны соответственно D = 1,42
и  =
с
Нс
=8,5 . 10–6 2 . Найти число молекул в 1 м3 при этих условиях.
м
Ответ: п = 1,8 . 1025 м–3.
Задача 8. Коэффициенты диффузии и внутреннего трения кислорода
кг
м2
равны соответственно D = 1,22 . 105
и  = 1,95 . 10–5
. Найти при
мс
с
этих условиях: 1) плотность кислорода; 2) среднюю длину свободного
пробега его молекул; 3) среднюю арифметическую скорость его молекул.
Т= 273 К.
кг
м
Ответ: 1)  = 1,6 3 ; 2) <> = 8,35 . 10–8 м; 3) <V> = 424 .
с
м
Задача 9*. Какой наибольшей скорости может достичь дождевая капля
диаметром 0,3 мм. Диаметр молекулы воздуха считать равным 3 . 10–10 м.
Температура воздуха 0 0С. Считать, что для дождевой капли справедлив закон Стокса.
м
Ответ: V = 2,72 .
с
км
. Считая, что слой
ч
воздуха у крыла самолета, увлекаемый вследствие вязкости, равен 4 см,
найти касательную силу, действующую на каждый метр площади крыла.
Диаметр молекулы воздуха принять равным 3 . 10–10 м. Температура воздуха 0 0С.
Ответ: F = 0,045 H.
Задача 10*. Самолет летит со скоростью 360
Задача 11*. Какое количество тепла теряется ежечасно через окно за
счет теплопроводности воздуха, заключенного между рамами? Площадь
рамы 4 м2, расстояние между рамами 30 см. Температура помещения 18 0С,
температура наружного пространства –20 0С. Диаметр молекулы воздуха
3 . 10–10 м. Температуру между рамами можно считать равной среднему
арифметическому температур помещения и наружного пространства. Давление равно 105 Па.
Ответ: Q = 23,8 кДж.
Задача 12*. Между пластинами, находящимися на расстоянии 1 мм
друг от друга, находится воздух. Между пластинами поддерживается разность температур Т = 1 К. Площадь каждой пластины S = 100 см2. Какое
количество тепла передается за счет теплопроводности от одной пластины
к другой за 10 мин. Считать, что воздух находится при нормальных условиях. Диаметр молекулы воздуха принять равным 3 . 10–10 м.
Ответ: Q = 78 Дж.
Задача 13. Во сколько раз коэффициент внутреннего трения кислорода больше коэффициента внутреннего трения водорода при одинаковой
температуре?
Ответ:
1
 4.
2
Задача 14. Во сколько раз коэффициент диффузии азота больше коэффициента диффузии водорода при одинаковой температуре?
D
Ответ: 2  3,74.
D1
Задача 15. Вычислить коэффициент внутреннего трения азота при
нормальных условиях?
Ответ:  = 1,77 . 10–5 Па.с.
Задача 16. Вычислить коэффициент внутреннего трения кислорода,
кг
давление которого 7,8 . 104 Па, а плотность 1,5 3 .
м
.
–5
.
Ответ:  = 1,4 10 Па с.
Задача 17. Вычислить коэффициент внутреннего трения водорода,
м2
температура которого 27 0С, а коэффициент диффузии равен 10–4
. Давс
ление нормальное.
Ответ:  = 8 . 10–6 Па.с.
Задача 18. Вычислить коэффициент диффузии гелия при нормальных
условиях.
м2
Ответ: D = 8,49 . 10–4
.
с
Задача 19. Вычислить коэффициент диффузии азота, давление котокг
рого 105 Па, а плотность 1,25 3 .
м
2
м
Ответ: D = 1,3 . 10–6
.
с
Задача 20. Определить массу азота, диффундирующего через площадку 10–2 м2 за 5 с при нормальных условиях и градиенте плотности, равкг
ном 1,26 4 .
м
Ответ: М = 9 . 10–7 кг.
Задача 21. Через площадку 10 см2 за 2 мин диффундирует 2,5 . 10–6 кг
кислорода, температура которого 27 0С. Определить градиент плотности
кислорода, если средняя длина свободного пробега его молекул 10–5 см.
кг

 1,42 4 .
Ответ:
х
м
Задача 22. Вычислить концентрацию молекул аргона, если коэффи2
–5 м
циент диффузии равен 10
, а коэффициент внутреннего трения
с
кг
2 . 10–5
.
мс
Ответ: n = 3 . 1025 м–3.
Задача 23. Вычислить температуру азота, давление которого 1,34.105 Па,
м2
коэффициент диффузии 10–5
, коэффициент внутреннего трения
с
кг
2 . 10–5
.
мс
Ответ: Т = 225 К.
Задача 24. Определить давление кислорода, если средняя квадратич2
м
–5 м
ная скорость его молекул равна 450 , коэффициент диффузии 10
,
с
с
кг
коэффициент внутреннего трения 2 . 10–5
.
мс
Ответ: р = 1,35 . 105 Па.
Задача 25. Средняя длина свободного пробега молекул некоторого газа
м2
при 0 0С равна 1,6 . 10–7 м, а коэффициент диффузии этого газа 0,91 . 10–4
.
с
Что это за газ?
кг
Ответ:  = 2 . 10–3
(водород).
моль
Задача 26. В баллоне емкостью 1 дм3 находится 8,9 . 10–2 кг водорода,
2
–4 м
коэффициент диффузии которого равен 10
. Определить коэффициент
с
Дж
теплопроводности газа СV = 2075
.
кмоль  К
Вт
Ответ: æ = 9,2 . 10–3
.
мК
Задача 27. Вычислить коэффициент теплопроводности гелия для
г
условий, когда его коэффициент внутреннего трения равен 1,3 . 10–4
.
см  с
Дж
СV = 1275
.
кмоль  К
Вт
Ответ: æ = 4 . 10–2
.
мК
Задача 28. Коэффициент внутреннего трения водорода равен
Нс
8,5 . 10–6
. Найти коэффициент теплопроводности водорода при этих
м2
Дж
условиях. СV = 2075
.
кмоль  К
Вт
Ответ: æ = 8,81 . 10–3
.
мК
Задача 29*. Определить среднюю длину пробега и коэффициент диффузии ионов в водородной плазме, температура которой  107 К, а концен1
трация ионов 1015
. Эффективный диаметр иона водорода принять
см3
равным 2,26 . 10–10 м.
2
.
6 м
Ответ: <> = 45 м; D  7 10
.
с
Задача 30. Вычислить коэффициент диффузии водорода, плотность
кг
которого при 17 0С равна 0,1 3 . Эффективный диаметр молекулы водом
рода d = 2,3 10-10м.
м2
Ответ: D = 8,35 . 10–5
.
с
Задача 31*. Определить внутреннюю энергию 0,1 кмоль водорода, ко2
.
–4 м
эффициент диффузии которого равен 0,9 10
, а средняя длина свос
бодного пробега молекул равна 1,8 . 10–7 м.
Ответ: U = 3,5 . 106 Дж.
Задача 32*. Как изменится коэффициент диффузии водорода при двукратном увеличении его объема в адиабатном процессе?
Ответ:
D1
 0,54 .
D2
Задача 33*. Как изменится коэффициент диффузии водорода при двукратном увеличении его давления в изотермическом процессе?
Ответ:
D1
 2.
D2
Задача 34. Как изменится коэффициент диффузии водорода при двукратном увеличении его давления в изохорном процессе?
Ответ:
D2
 1,41 .
D1
Задача 35*. Вычислить среднюю энергию теплового движения одной
молекулы идеального газа, коэффициенты диффузии и внутреннего трения
см2
которого при нормальных условиях соответственно равны 0,142
;
с
кг
1,78 . 10–5
.
мс
Ответ: < wк > = 9,4 . 10–21 Дж.
Задача 36. Определите среднюю длину свободного пробега l молекул кислорода, находящегося при температуре 0 С, если среднее число
z столкновений, испытываемых молекулой в 1 с, равно 3,7109.
Ответ: l = 115 нм.
Задача 37. При каком давлении средняя длина свободного пробега
молекул водорода равна 2,5 см, если температура газа равна 67 С? Диаметр молекулы водорода примите равным 0,28 нм.
Ответ: р = 0,539 Па.
Задача 38. Определите среднюю продолжительность  свободного
пробега молекул водорода при температуре 27 С и давлении 0,5 кПа.
Диаметр молекулы водорода примите равным 0,28 нм.
Ответ:  = 13,3 нс.
Задача 39. Определите коэффициент теплопроводности  азота, находящегося в некотором объеме при температуре 280 К. Эффективный диаметр молекул азота примите равным 0,38 нм.
Ответ:  = 8,25
мВт
.
(м  К)
Задача 40. Кислород находится при нормальных условиях. Определите коэффициент теплопроводности  кислорода, если эффективный диаметр его молекул равен 0,36 нм.
мВт
Ответ:  = 8,49
.
(м  К)
Задача 41. Пространство между двумя параллельными пластинами
площадью 150 см2 каждая, находящимися на расстоянии 5 мм друг от друга, заполнено кислородом. Одна пластина поддерживается при температуре 17 С, другая – при температуре 27 С. Определите количество теплоты,
прошедшее за 5 мин посредством теплопроводности от одной пластины к
другой. Кислород находится при нормальных условиях. Эффективный
диаметр молекул кислорода считать равным 0,36 нм.
Ответ: Q = 76,4 Дж.
Задача 42. Определите коэффициент диффузии D кислорода при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул кислорода примите
равным 0,36 нм.
2
-6 м
Ответ: D = 9,1810
.
с
Задача 43. Определите массу азота, прошедшего вследствие диффузии через площадку диаметром 50 см2 за 20 с, если градиент плотности в
кг
направлении, перпендикулярном площадке, равен 1 4 . Температура азом
та 290 К, а средняя длина свободного пробега его молекул равна 1 мкм.
Ответ: m = 15,6 мг.
Задача 44. Определите, во сколько раз отличаются коэффициенты динамической вязкости  углекислого газа и азота, если оба газа находятся
при одинаковой температуре и одном и том же давлении. Эффективные
диаметры молекул этих газов равны.
Ответ:
1
 1,25 .
2
Задача 45. Определите коэффициент теплопроводности  азота, если
коэффициент динамической вязкости  для него при тех же условиях равен 10 мкПас.
мВт
Ответ: 7,42
.
(м  К)
Задача 46. Азот находится под давлением 100 кПа при температуре
290 К. Определите коэффициент диффузии D и внутреннего трения . Эффективный диаметр молекул азота принять равным 0,38 нм.
кг
м2
Ответ: D = 9,7410-6
;  = 1,1310-5
.
мс
с