1 ЛЕКЦИЯ 4 ГИДРОДИНАМИКА План: 4.1. Течение идеальной

1
ЛЕКЦИЯ 4
ГИДРОДИНАМИКА
План:
4.1.
Течение идеальной жидкости. Уравнение неразрывности потока.
4.2.
Уравнение Бернулли и следствия из него. Аэрация почвы.
4.3.
Течение вязкой жидкости. Формула Ньютона. Коэффициент внутреннего
трения.
4.4.
Закон Стокса.
4.1
Гидродинамика – раздел гидромеханики, изучающий движение
несжимаемых жидкостей.
Гемодинамика – раздел биомеханики, в котором исследуется движение
крови по сосудистой системе. Физической основой гемодинамики является
гидродинамика. Течение крови зависит как от свойств крови, так и от свойств
кровеносных сосудов.
Идеальной называется жидкость, лишенная вязкости. В природе
идеальных жидкостей не существует. При достаточно высоких температурах
многие реальные жидкости (вода, эфир, ацетон, спирт) обладают очень малой
вязкостью, поэтому их можно рассматривать как идеальные. Движение
жидкостей называется течением, а совокупность частиц движущейся жидкости
– потоком.
Различают два режима течения жидкостей: ламинарное (слоистое) и
турбулентное (вихревое). В случае ламинарного течения каждый слой потока
перемещается, не перемешиваясь с другими слоями. При турбулентном течении
происходит образование вихрей и перемешивание различных слоев жидкостей
или газов.
Опытным путем было установлено, что важнейшей характеристикой
течения является безразмерная величина, называемая числом Рейнольдса:
   d
Re 
,
(4.1)

где  - плотность жидкости,  - средняя (сечению трубы) скорость потока, d диаметр круглой трубы,  - коэффициент вязкости (коэффициент внутреннего
трения).
При достаточно малых значениях Re наблюдается ламинарное течение.
При Re>Reкрит (критическое значение) ламинарное течение переходит в
турбулентное. Для гладких труб, например Re крит  2300 .
2
1
S1
2
S2
Рисунок 4.1 – Скорости движения жидкости по трубке тока переменного
сечения.
Рассмотрим какую – либо трубку тока. Выберем два ее сечения S1 и S2 ,
перпендикулярные направлению скорости.
При стационарном течении масса жидкости, протекающая за единицу
времени через любое поперечное сечение трубки тока, есть величина
постоянная, если жидкость несжимаема (ρ-const):
m1  m2 ;
m    V ; V  S  l ; l    t ;
1  S1 1   2  S 2 2 ;
S1 1  S 2  2  const .
(4.2)
Следовательно, произведение скорости течения несжимаемой жидкости
на поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная. Последнее
уравнение называется уравнением неразрывности струи.
Из уравнения неразрывности струи следует, что в более узких сечениях
трубки тока скорость должна быть больше, чем в широких сечениях.
Ткани получают кислород вследствие его диффузии в капиллярах из
эритроцитов в ткани по разности концентраций
О2 эритр О2 ткани . Процесс
диффузии протекает во времени, и если бы эритроциты двигались быстро, они
не успели бы отдать кислород тканям. Организм «использует» закон
неразрывности струи для замедления движения эритроцитов в тканевых
капиллярах за счет того, что суммарное сечение всех работающих
одновременно капилляров в сотни раз больше площади сечения аорты,
составляющей около 6 см2 .
В организме примерно 60  10 9 капилляров. Сечение каждого капилляра примерно
30  10 12 м2 . Одновременно работает одна треть, то есть 20  10 9 капилляров. Их суммарное
сечение равно 6  10 3 см2 , то есть примерно в 1000 раз больше площади сечения аорты (6
см 2 ). Скорость течения крови в аорте 0,5 м/с, а скорость течения крови в капиллярах около
0,75 мм/с. Малая скорость увеличивает время прохождения эритроцитов по капиллярам и
обеспечивает диффузию кислорода в ткани.
4.2
Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока,
ограниченную сечениями S1 и S2 , по которой слева направо течет жидкость.
3
S1
S1
S 2
S2
2
1
2
1
h1
h2
Рисунок 4.2 – Движение жидкости по трубке тока переменного сечения
за малый промежуток времени t .
Пусть в месте сечения S1 скорость течения v1 , давление p1 и высота, на которой это
сечение расположено, h1 . Аналогично, в месте сечения S2 скорость течения v2 , давление p2 и
высота сечения h2 . За малый промежуток времени t жидкость перемещается от сечений


S1 и S2 к сечениям S1 и S 2 .
Если совершить некоторую работу А над жидкостью, это вызовет изменение
потенциальной и кинетической энергии жидкости: А  Еп  Ек (1).
Результирующая
работа,
затраченная на перемещение
F
p ,
F  pS
Так
как
то
А  F1  l1  F2  l2 .
S
A  p1  S1  l1  p2  S 2  l2  p1  V  p2  V   p1  p2   V (2).
и
равна:
получим
E п  m  g  h . Так как
Изменение потенциальной энергии жидкости равно:
m    V , то Eп    V  g  h    V  g  h2  h1  (3).
Изменение кинетической энергии жидкости равно: E к 
жидкости


m   2   V   22  12

(4).
2
2
Подставляя (2), (3) и (4) в (1), получим:
 p1  p2   V    V  g  h2  h1     V   2
2
 12
.
2
Разделив на объем V и перегруппировав члены уравнения, получим
  12
2
   g  h1  p1 
   22
2
   g  h2  p 2
Итак, мы доказали, что
  2
2
   g  h  p  сonst .
(4.3)
Это выражение называется уравнением Бернулли.
Величина p в этом уравнении есть статическое давление – оно не
связано с движением жидкости и может быть измерено, например, манометром,
перемещающимся вместе с жидкостью; величина
  2
2
- динамическое
давление – давление, вызванное движением жидкости и проявляется при ее
4
торможении; величина   g  h – гидростатическое давление (весовое), в
состоянии невесомости оно отсутствует, а при перегрузках - увеличивается.
1) Из уравнения Бернулли для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности
струи следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные
сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в
более широких местах, то есть там, где скорость меньше. Это можно продемонстрировать,
установив вдоль трубы ряд манометров.
А
В
Рисунок 4.3 – Высота жидкости, текущей по горизонтальной трубе
переменного сечения, в манометрах (статическое давление).
В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в манометрической
трубке В, прикрепленной в узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в
манометрической трубке А, прикрепленной в широкой части.
Можно сделать столь узкое сечение трубки, что вследствие малого давления (ниже
атмосферного) в это сечение будет засасываться воздух или жидкость. Это используется в
ингаляторах и пульверизаторах.
В организме человека система разветвляющихся капилляров не только уменьшает
скорость кровотока, но и снижает давление. Реально падение давления в артериях составляет
25 %, в артериолах и капиллярах – 75 % от общего падения давления в системе.
2) Истечение жидкости из отверстия сосуда (рис.4.4). Покажем истечение жидкости из
небольшого отверстия широкого сосуда.
5
S1
h
S2
Рисунок 4.4 – Истечение жидкости из отверстия, находящегося вблизи
дна сосуда
Так как S1  S 2 , то по уравнению неразрывности струи 1  2 . Приближенно считаем
1  0 , p1  p2 - значение атмосферного давления на уровнях вершины и дна сосуда.
Тогда
 2  2  g  h -
(4.4)
формула Торричелли.
3) Рассмотрим вспаханное поле, которое можно представить как систему
чередующихся борозд и валов (рис.4.5). Пусть ветер дует перпендикулярно к
направлению борозд.
Рисунок 4.5 – Движение воздуха над вспаханным полем
При этом приземной слой представляет собой трубку тока переменного
сечения, ограниченную снизу поверхностью земли, а сверху – ближайшей
горизонтальной поверхностью, образованной невозмущенными линиями
тока. Из уравнения неразрывности струи и уравнения Бернулли следует, что
давление воздуха над бороздами больше, чем над валами, поскольку v1  v2 .
Поэтому в поверхностном слое почвы возникает движение почвенного
воздуха, которое направлено от оснований борозд к вершинам валов. В
результате этого обеспечивается аэрация (газообмен между почвой и
атмосферой). Аэрация обогащает почвенный воздух кислородом, а
приземный воздух – углекислотой, создавая тем самым благоприятные
условия для развития растений. При сильном ветре скорость воздуха в почве
6
становится настолько интенсивной, что может вызвать размельчение
почвенных частиц. Таким образом, создается мелкокомковая структура
почвы.
4.3
Во всех реальных жидкостях и газах при перемещении одного слоя
относительно другого возникают силы трения. Со стороны слоя,
движущегося более быстро, на слой,
z
движущийся медленнее, действует
ΔS
ускоряющая сила. Наоборот, со
V
стороны
слоя,
движущегося
2
медленнее, на более быстрый слой
Δz
Δ
действует тормозящая сила. Эти силы,
S V
носящие название сил внутреннего
1
трения, направлены по касательной к
поверхности слоёв.
Пусть два слоя (рис.4.6) площади
x
Рис.4.6
S , отстоящих друг от друга на
расстояние
движутся
со
z ,
скоростями v1 и v2 соответственно, Δv=v2–v1. Направление, в котором
отсчитывается расстояние между слоями (ось z), перпендикулярно вектору
скорости движения слоев. Величина
dv
v
,
 lim
dz z  0 z
которая показывает, как быстро меняется скорость при переходе от слоя к
слою,
называется градиентом скорости. Величина силы внутреннего трения

действующей
между
слоями,
пропорциональна
площади
F,
соприкосновения движущихся слоёв и градиенту скорости (закон Ньютона):


dv
(4.5)
F   S ,
dz
где  – коэффициент вязкости (динамическая вязкость). Знак «–»
показывает, что сила направлена противоположно градиенту скорости, то
есть быстрый слой тормозится, а медленный – ускоряется.
Единицей измерения коэффициента вязкости в СИ служит такая
вязкость, при которой градиент скорости, равный 1 м/с на 1м, приводит к
силе внутреннего трения в 1 Н на 1 м2 площади слоев. Эта единица
называется паскаль-секундой (Па.с). В некоторые формулы (например, число
Рейнольдса, формула Пуазейля) входит отношение коэффициента вязкости к
плотности жидкости ρ. Это отношение получило название коэффициента
кинематической вязкости  :


.

(4.6)
7
Для жидкостей, течение которых подчиняется уравнению Ньютона (4.6),
вязкость не зависит от градиента скорости. Такие жидкости называются
ньютоновскими. К неньютоновским (то есть не подчиняющимся уравнению
(4.6)) жидкостям относятся жидкости, состоящие из сложных и крупных
молекул, например, растворы полимеров.
Вязкость данной жидкости сильно зависит от температуры: при
изменениях температуры, которые сравнительно нетрудно осуществить на
опыте, вязкость некоторых жидкостей может изменяться в миллионы раз.
При понижении температуры вязкость некоторых жидкостей настолько
возрастает, что жидкость теряет текучесть, превращаясь в аморфное твердое
тело.
Я.И. Френкель вывел формулу, связывающую коэффициент вязкости
жидкости с температурой:
 E 
  Aexp
(4.7)
,
 kT 
где А – множитель, который зависит от расстояния между
соседними положениями равновесия молекул в жидкости
и от частоты колебаний молекул, ΔЕ – энергия, которую
надо сообщить молекуле жидкости, чтобы она могла
перескочить из одного положения равновесия в другое,
соседнее (энергия активации). Величина ΔЕ обычно
имеет порядок (2÷3).10-20 Дж. При нагревании жидкости
на 10 0С вязкость её уменьшается на 20÷30 %.
Значения коэффициентов вязкости газов
существенно меньше, чем жидкостей. С повышением
температуры вязкость газа увеличивается (рис.4.7) и при
Рис.4.7
критической температуре становится равной вязкости
жидкости.
Отличие в характере поведения вязкости при изменении температуры
указывает на различие механизма внутреннего трения в жидкостях и газах.
Молекулярно-кинетическая теория объясняет вязкость газов переносом
импульса из одного слоя в другой слой, происходящим за счет переноса
вещества при хаотическом движении молекул газа. В результате в слое
газа, движущемся медленно, увеличивается доля быстрых молекул, и его
скорость (средняя скорость направленного движения молекул) возрастает.
Слой газа, движущийся медленно, увлекается более быстрым слоем, а слой
газа, движущийся с большей скоростью, замедляется. С повышением
температуры интенсивность хаотического движения молекул газа возрастает,
и вязкость газа увеличивается.
Вязкость жидкости имеет другую природу. В силу малой подвижности
молекул жидкости перенос импульса из слоя в слой происходит из-за
взаимодействия молекул. Вязкость жидкости в основном определяется
силами взаимодействия молекул между собой (силами сцепления). С
повышением температуры взаимодействие молекул жидкости уменьшается,
8
и вязкость также уменьшается.
Несмотря на различную природу, вязкость жидкостей и газов с
макроскопической точки зрения описывается одинаковым уравнением (4.6).

Величину импульса p , перенесенного из одного слоя газа или жидкости в
другой слой за время Δt, можно найти из второго закона Ньютона:

(4.8)
p  Ft .
Из (4.5) и (4.8) получим:

dv

(4.9)
p  
 S  t .
dz
Тогда физический смысл коэффициента динамической вязкости можно
сформулировать так: коэффициент вязкости численно равен импульсу,
перенесенному между слоями жидкости или газа единичной площади за
единицу времени при единичном градиенте скорости. Знак «минус»
показывает, что импульс переносится из более быстрого слоя в более
медленный.
4.4
При движении тела в вязкой среде возникают силы сопротивления.
Происхождение этого сопротивления двояко.
При небольших скоростях, когда за телом нет вихрей (то есть обтекание
тела ламинарное), сила сопротивления обуславливается вязкостью среды.
Между движущимся телом и средой существуют силы сцепления, так что
непосредственно вблизи поверхности тела слой газа (жидкости) полностью
задерживается, как бы прилипая к телу. Он трется о следующий слой,
который слегка отстает от тела. Тот, в свою очередь, испытывает силу трения
со стороны еще более удаленного слоя и т.д. Совсем далекие от тела слои
можно считать покоящимися. Для ламинарного потока сила трения
пропорциональна скорости тела: F ~ v . Теоретический расчет внутреннего
трения для движения шарика в вязкой среде с небольшой скоростью, когда
нет вихрей, приводит к формуле Стокса:
Fc  6      r  v ,
(4.10)
где r – радиус шарика, v – скорость его движения,  – коэффициент
динамической вязкости среды.
Второй механизм сил сопротивления включается при больших
скоростях движения тела, когда поток становится турбулентным. При
увеличении скорости тела вокруг него возникают вихри. Часть работы,
совершаемой при движении тела в жидкости или газе, идет на образование
вихрей, энергия которых переходит во внутреннюю энергию. При
турбулентном потоке в некотором интервале скоростей сила сопротивления
пропорциональна квадрату скорости тела: F ~ v 2 .
9
Метод Стокса основан на измерении скорости установившегося
движения твердого шарика в вязкой среде под действием постоянной
внешней силы, в простейшем случае – силы тяжести.
Выведем рабочую формулу для определения коэффициента вязкости методом Стокса. Если
взять шарик большей плотности, чем плотность жидкости, то он будет тонуть, опускаясь на дно
сосуда. На падающий шарик действуют три силы (рис.6.8):
1. сила вязкого трения FС по закону Стокса, направленная вверх, навстречу скорости:
Fc  6     r  v ;
4. сила тяжести, направленная вниз:
(4.11)
Fтяж  mg ,
где m  шV – масса шарика;  ш – плотность шарика;
g
– ускорение
свободного падения; V – объем шарика, равный:
V
l0
(4.12)
1. выталкивающая сила FАрх, согласно закону Архимеда, равная весу
вытесненной жидкости
FАрх.  V   ж  g ,
(4.13)
FC
h
4
  r3 ;
3
где  ж – плотность жидкости.
Запишем уравнение движения (второй закон Ньютона)
падающего шарика в проекциях на вертикальную ось:
FA
ma=Fтяж–FАрх–FС.
Fтяж
для
(4.14)
Сила тяжести и выталкивающая сила не зависят от скорости
движения шарика. Сила трения в законе Стокса прямо пропорциональна
скорости. Поэтому на некотором начальном участке l0 (рис.4.8) падения
шарика в жидкости, пока скорость мала, сила трения меньше разности сил
тяжести и выталкивающей, и шарик в результате движется с ускорением.
Рис.4.8
Величину участка l0 можно оценить из уравнения движения.
По мере нарастания скорости падения шарика растет сила вязкого трения. С момента
достижения равенства
FС = Fтяж – FАрх
(4.15)
сумма сил, действующих на шарик, становится равной нулю, и шарик, в соответствии с первым
законом Ньютона, движется по инерции равномерно, с набранной им к этому моменту скоростью.
По измеренной скорости установившегося падения шарика можно найти коэффициент вязкости
жидкости η.
После подстановки получим:
4
6   r  v   ш   ж     r 3  g .
3
Сократим на радиус
r
и сделаем замену
r
d
(d
2
– диаметр шарика):
2
3   v 
2 d 
     ш   ж   g ;
3 2
10
3   v 
d2
  ш   ж   g .
6
(4.16)
Из (4.16) выразим коэффициент динамической вязкости:

d 2 g  ш   ж 
.
18  v
Далее скорость v шарика выражаем через пройденный путь

h
и время падения t :
d 2  g  ( ш   ж )  t
.
18h
(4.17)
v
h
:
t
(4.18)
Выведенная формула (4.18) для расчета коэффициента вязкости, как и формула Стокса,
получены в предположении, что шарик движется в сосуде неограниченного объема.