Решение. Используя механический смысл производной и

Механический смысл производной
Рассмотрим прямолинейное движение тела. Каждому моменту времени t
ставится в соответствие путь s(t), пройденный телом за время t. Тогда путь,
пройденный телом за отрезок времени от t0 до t0+Δt, равен s(t0+Δt)-s(t0)=Δs. А
время, за которое пройден этот путь, равно Δt.
Средняя скорость тела на отрезке времени [t0; t0+Δt] определяется как
отношение пройденного пути ко времени Δt, за которое этот путь пройден:
𝑣ср =
∆𝑠
∆𝑡
.
Когда промежуток времени Δt стремится к нулю, то значение средней
скорости vср стремится к некоторому числу. Это число считается значением
скорости в момент времени t0 (в механике ее называют мгновенной скоростью)
∆𝑠
и обозначается v(t0): → 𝑠 ′ (𝑡0 ) при Δt0.
∆𝑡
Таким образом, при Δt, стремящемся к нулю, левая часть равенства 𝑣ср =
∆𝑠
∆𝑡
стремится к v(t0), а правая – к 𝑠 ′ (𝑡0 ). Значит, 𝑣(𝑡0 ) = 𝑠 ′ (𝑡0 ).
В этом равенстве и заключается механический (физический) смысл
производной: скорость тела есть производная от пройденного пути по времени.
𝑎𝑡 2
Уравнение движения тела записывается формулой: 𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 + ,
2
где 𝑥0 - начальное положение тела, 𝑣0 - начальная скорость, 𝑎 - ускорение, с
которым движется тело.
𝑥 ′ (𝑡) = 𝑣0 + 𝑎𝑡 = 𝑣 - уравнение скорости тела в любой момент времени.
Найдем производную функции v: 𝑣 ′ (𝑡) = (𝑣0 + 𝑎𝑡)′ = 𝑎. Т.е. ускорение
тела есть производная скорости.
Примеры решения задач
Пример 1. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v0.
Чему равна его скорость в момент времени t0?
Решение. Закон движения тела, брошенного вертикально вверх с
начальной скоростью v0, задается формулой ℎ(𝑡) = 𝑣0 𝑡 −
𝑔𝑡 2
2
.
Используя механический смысл производной и формулу производной
квадратичной функции, получаем: v(t0)=h'(t0)=v0 – gt0.
Ответ: v(t0)=v0 – gt0.
Пример 2. Закон движения тела, брошенного вертикально вверх с
начальной скоростью v0=70 м/с, задается формулой ℎ(𝑡) = 𝑣0 𝑡 −
скорость будет иметь тело на высоте 240 м от поверхности Земли?
𝑔𝑡 2
2
. Какую
Решение. Используя механический смысл производной и формулу
производной квадратичной функции, находим: v(t0)=h'(t0)=v0 – gt0=70-10t0.
Поскольку h(t0)=240, то имеем уравнение 240=70𝑡0 −
14𝑡0 + 48 = 0.
10𝑡0 2
2
, т.е. 𝑡02 −
Решая его, находим t0=6 или t0=8. При t0= получим v(6)=10, а при t0=8
получим v(8)= -10.
Таким образом, на высоте 240 м от поверхности Земли тело будет иметь
скорость 10 м/с. Знак «минус» показывает, что на 8-й секунде тело будет уже
падать вниз, а на 6-й – лететь вверх.
Ответ: 10 м/с
Упражнения
1. Решите задачу:
1) Точка движется прямолинейно по закону s(t)=2t2-8t-9. Вычислите скорость
движения точки в момент времени t=5 с.
2) Движение точки происходит по закону s(t)=t2+4t+2. В какой момент времени
скорость движения точки равна 12?
3) Тело движется прямолинейно по закону s(t)=3t2+2t-6. Найдите скорость в
момент времени t=2 с
1
4) Материальная точка движется прямолинейно по закону 𝑥(𝑡) = 𝑡 3 + 2𝑡 2 +
3
5𝑡. Через сколько секунд после начала движения точка остановится?
5) Тело движется прямолинейно по закону 𝑥(𝑡) = 2𝑡 3 + 𝑡 − 1. В какой момент
времени ускорении будет равно 2 м/с2?
6) Тело движется прямолинейно по закону s(t)=t2+2t+1. Найдите скорость в
момент времени t=3 с.
7) Материальная точка движется прямолинейно по закону 𝑥(𝑡) = 𝑡 3 − 4𝑡 2 .
Найдите скорость и ускорение в момент времени t=5 c.
8) Тело движется прямолинейно по закону s(t)=2t2-3t+4. Найдите скорость в
момент времени t=2 с
9) Тело движется прямолинейно по закону 𝑥(𝑡) = −
момент времени, когда ускорение точки равно нулю.
𝑡3
6
+ 3𝑡 2 − 5. Найдите
1
10) Материальная точка движется прямолинейно по закону 𝑥(𝑡) = 𝑡 3 + 2𝑡 2 +
3
5𝑡. Найдите скорость тела в момент времени t=2 c.
2. Решите задачу:
1) Маховик вращается вокруг оси по закону (t)=t2-1 ((t) – угол вращения в
радианах, t – время в секундах). Найдите угловую скорость вращения маховика
ω в момент времени 2 с.
2) Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени.
Первый оборот был сделан колесом за 8 с. Найдите угловую скорость колеса
через 48 с после начала вращения.
3) Вращение тела вокруг оси совершается по закону (t)=3t2—4t+2. Найдите
угловую скорость ω(t) в момент времени t=4 с.
4) Маховик, задерживаемый тормозом, за время t поворачивается на угол
(t)=4t-0,3t2. Найдите угловую скорость ω(t) вращения маховика в момент
времени t=2 с. Найдите момент времени, когда маховик остановится.
5)
6)
7)
8)
9)
10)
3. Решите задачу:
1) Две материальные точки движутся прямолинейно по законам s1=2,5t2-6t+1 и
s2=3,5t2+t-12. В какой момент времени их скорости равны?
2) Две материальные точки движутся прямолинейно по законам 𝑠1 =
13 и 𝑠2 = 1 − 7𝑡 − 4𝑡 2 . В какой момент времени их скорости равны?
3𝑡 2
2
+ 5𝑡 −
3) Две материальные точки движутся прямолинейно по законам 𝑠1 = 𝑡 2 − 8𝑡 +
4 и 𝑠2 = 5𝑡 2 − 4𝑡 − 9. В какой момент времени скорость первой точки в три
раза больше скорости второй?
4) Две материальные точки движутся прямолинейно по законам 𝑠1 = 9𝑡 − 7 и
𝑠2 = 0,5𝑡 2 + 8𝑡 + 1. В какой момент времени скорость первой точки в два раза
меньше скорости второй?
5) По прямой движутся две материальные точки по законам 𝑠1 = 4𝑡 2 − 3 и 𝑠2 =
𝑡 3 . В какой промежуток времени скорость первой точки больше скорости
второй точки?
6)
7)
8)
9)
10)
4. Температура тела в зависимости от времени задается формулой 𝑇 = 0,3𝑡 2 (Т
– температура в градусах, t – время в секундах). С какой скоростью изменяется
температура тела в момент времени:
1) 5
2) 17
3) 12
4) 8
5) 1,5
6) 4
7) 3
8) 0
9) 11
10) 2
5. Решите задачу:
1) Тело брошено вертикально вверх и движется по закону ℎ(𝑡) = 4 + 8𝑡 − 5𝑡 2 .
Найдите скорость тела в момент соприкосновения с поверхностью Земли.
2) Тело брошено вертикально вверх и движется по закону ℎ(𝑡) = 6 + 7𝑡 − 5𝑡 2 .
Найдите скорость тела в момент соприкосновения с поверхностью Земли.
3) Тело брошено вертикально вверх с высоты 20 м от поверхности Земли с
начальной скоростью 50 м/с2. В какой момент времени скорость брошенного
тела будет равна нулю?
4) Тело брошено вертикально вверх с высоты 20 м от поверхности Земли с
начальной скоростью 50 м/с2. Найдите высоту тела над поверхностью Земли в
момент времени, равный нулю.
5) Тело с высоты 10 м брошено вертикально вверх с начальной скоростью 40
м/с. На какой высоте от поверхности Земли оно будет через 5 с?
6) Тело брошено вертикально вверх с высоты 10 м с начальной скоростью 40
м/с. Через сколько секунд тело достигнет наивысшей точки и на каком
расстоянии от Земли?
7) Высота тела, брошенного вертикально вверх, изменяется по закону
H (t )  200t  4,9t 2 . Определите наибольшую высоту, которой оно достигнет,
округлив результат до целого значения.
брошенное
вертикально
вверх,
движется
по
закону
S (t )  4,905t  981t  950 (S – в метрах, t – в секундах). Найдите момент времени,
при котором скорость тела станет равной нулю.
8)
Тело,
2
9)
10)
6. Решите задачу:
1) Изменение силы тока I в зависимости от времени t задано уравнением 𝐼 =
4𝑡 2 − 9𝑡 (I – в амперах, t – в секундах). Найдите скорость изменения силы тока
в момент времени t=10 с.
2) Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента
t=0, задается формулой 𝑞 = 3𝑡 2 + 𝑡 + 2. Найдите силу тока в момент времени
t=3.
3) В какие моменты времени ток в цепи равен нулю, если количество
𝑘
электричества, протекающего через проводник, задается формулой 𝑞 = 𝑡 + ?
𝑡
4) Изменение величины заряда на обкладках конденсатора показали, что заряд q
0,8
меняется со временем по закону 𝑞 = 3,05 + 6,11𝑡 −
(t10). Найдите закон
𝑡+1
изменения силы тока.
5) В какие моменты времени ток в цепи равен нулю, если количество
электричества, протекающего через проводник задается формулой 𝑞 = 𝑡 − √𝑡 +
1?
6)
7)
8)
9)
10)
7. Решите задачу:
1) Известно, что тело массой m=6 кг движется прямолинейно по закону 𝑠(𝑡) =
3𝑡 2 − 14. Найдите кинетическую энергию тела через 4 с после начала
движения.
2) Тело массой m=4 кг движется прямолинейно по закону 𝑠(𝑡) = 4𝑡 2 − 5𝑡 − 1.
Найдите скорость тела и его кинетическую энергию тела через 4 с после начала
движения. Какая сила действует на тело в этот момент времени?
3) Тело массой m=1 кг движется прямолинейно по закону 𝑠(𝑡) = 2 + 6𝑡 − 2𝑡 2 .
Найдите скорость тела и его кинетическую энергию тела через 3 с после начала
движения. Какая сила действует на тело в этот момент времени?
4) Тело массой m=2 кг движется прямолинейно по закону 𝑠(𝑡) = 𝑡 2 + 𝑡 + 1.
Найдите кинетическую энергии тела через 2 с после начала движения.
5) Тело массой 5 кг движется прямолинейно по закону 𝑠(𝑡) = 𝑡 2 − 3𝑡 + 2.
Найдите кинетическую энергию тела через 10 с после начала движения.
6) В какой момент времени будет иметь максимальную кинетическую энергию
1
тело, движущееся прямолинейно по закону 𝑠(𝑡) = 𝑘(𝑡 + )?
𝑡
7)
8)
9)
10)
8. Решите задачу:
1) Точка движется по параболе у=16х-х2 так, что ее абсцисса изменяется по
закону 𝑥 = 2√𝑡 (х – путь в метрах, t – время в секундах). Укажите скорость
изменения ординаты точки через 8 с после начала движения.
2) Точка движется по параболе 𝑦 = 4𝑥 2 + 2 так, что ее абсцисса изменяется по
закону 𝑥 = 0,5√𝑡 (х – путь в метрах, t – время в секундах). Укажите скорость
изменения ординаты точки через 2 с после начала движения.
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)