8.2 Тематика заданий итогового контроля

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
П р а в ит е л ь с т во Р о с с и йс ко й Фе д е р а ци и
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Ф а ку л ь т е т М и р о во й э ко но м и ки и м и р о во й по л ит и к и
Программа дисциплины
Математический анализ
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
специализация «Мировая экономика»
Автор программы: к. пед. н., доцент Салимова Альфия Фаизовна
Одобрена на заседании кафедры высшей математики на факультете экономики 28.08.2012г.
Зав. кафедрой
Алескеров Ф.Т.
Рекомендована секцией УМС
Председатель
«___»____________ 20 г.
Утверждена Ученым Советом факультета экономики «___»_____________20 г.
Ученый секретарь
Москва, 2012
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов. Курс предназначен для студентов по направлению 080100.62 «Экономика», специализация «Мировая экономика», подготовки бакалавра, изучающих дисциплину
«Математический анализ».
Программа разработана в соответствии с:
 образовательным стандартом государственного образовательного бюджетного учреждения высшего профессионального образования «Государственный университет –
Высшая школа экономики», в отношении которого установлена категория «Национальный исследовательский университет»;
 образовательной программой 080100.62, направление «Экономика» подготовки бакалавра;
 рабочим учебным планом университета по направлению подготовки 080100.62 «Экономика» специализации «Мировая экономика», утвержденным в 2012г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Математический анализ» являются
 ознакомление студентов с основами математического анализа;
 формирование навыков работы с абстрактными понятиями математики;
 знакомство с прикладными задачами дисциплины.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 знать формулировки основных понятий и теорем математического анализа, необходимые для дальнейшего изучения дисциплин, предусмотренных базовым и рабочим учебными планами;
 уметь интерпретировать основные понятия математического анализа на простых
модельных примерах, применять методы дисциплины при решении задач, возникающих в других дисциплинах;
 владеть навыками применения современного инструментария дисциплины при
решении задач, возникающих в других дисциплинах.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция
Инструментальная
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
ИК-1
Способность
самостоятельно
работать на компьютере с использованием
современного
общего и профессионального
Стандартные (лекционно-семинарские)
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
Компетенция
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
прикладного ПО
Социальноличностная и общекультурная
Социальноличностная и общекультурная
Профессиональная
Профессиональная
Профессиональная
Профессиональная
Профессиональная
Способность понимать сущность и значение информации в
СЛК-12
развитии современного информационного общества
Владение основными методами,
способами и средствами получения, хранения, переработки
информации, навыками работы
СЛК-13 с компьютером как средством
управления информацией, способность работать с информацией в глобальных компьютерных сетях
Способность собрать и проанализировать исходные данные,
необходимые для расчета
ПК-1 экономических и социальноэкономических показателей,
характеризующих деятельность
хозяйствующих субъектов
Способность на основе типовых
методик и действующей нормативно-правовой базы рассчиПК-2 тать экономические и социально-экономические показатели,
характеризующие деятельность
хозяйствующих субъектов
Способность выполнять необходимые для составления экономических разделов планов
ПК-3 расчеты, обосновывать их и
представлять результаты работы в соответствии с принятыми
в организации стандартами
Способность
осуществлять
сбор, анализ и обработку статистических данных, информаПК-4 ции, научно-аналитических материалов, необходимых для решения поставленных экономических задач
Способность выбрать инструментальные средства для обраПК-5 ботки экономических данных в
соответствии с поставленной
задачей, проанализировать ре-
Стандартные (лекционно-семинарские)
Стандартные (лекционно-семинарские)
Стандартные (лекционно-семинарские)
Стандартные (лекционно-семинарские)
Стандартные (лекционно-семинарские)
Стандартные (лекционно-семинарские)
Стандартные (лекционно-семинарские)
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
Компетенция
4
Код по
ФГОС /
НИУ
Профессиональная
ПК-6
Профессиональная
ПК-10
Профессиональная
ПК-12
Профессиональная
ПК-14
Профессиональная
ПК-15
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
зультаты расчетов и обосновать
полученные выводы
Способность на основе описания экономических процессов и
явлений строить теоретические
и эконометрические модели,
анализировать и содержательно
интерпретировать полученные
результаты
Способность использовать для
решения аналитических и исследовательских задач современные технические средства и
информационные технологии
Способность использовать для
решения коммуникативных задач современные технические
средства и информационные
технологии
Способность преподавать экономические дисциплины в образовательных учреждениях
различного уровня
Способность принять участие в
совершенствовании и разработке учебно-методического обеспечения экономических дисциплин
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
Стандартные (лекционно-семинарские)
Стандартные (лекционно-семинарские)
Стандартные (лекционно-семинарские)
Стандартные (лекционно-семинарские)
Стандартные (лекционно-семинарские)
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу дисциплин ОПД.00 «Общие профессиональные дисциплины направления» и блоку дисциплин СД.00 «Специальные дисциплины» и является базовой. Курс предназначен для студентов по направлению 080100.62 «Экономика, специализация «Мировая экономика» подготовки бакалавра, читается в первом, втором, третьем и
четвертом модулях первого курса. От слушателей не требуется никаких предварительных знаний сверх программы средней школы. Программа соответствует требованиям ГОС. В данном
курсе рассматриваются основные разделы математического анализа, образующие элемент базового образования студентов по данной специальности. Сведения, полученные при изучении
данного курса, будут использоваться в теории вероятностей, математической статистике, методах оптимальных решений, теории игр, математической экономике, эконометрике. Они могут
быть использованы для разработки и применения численных методов решения задач из многих
областей знания, для построения математических моделей таких задач. Программа предусматривает чтение лекций (64 часа) и проведение семинарских занятий (64 часа). Программой
предусмотрена самостоятельная работа студента в объеме 88 часов, включающая в себя изучение теоретического материала, подготовку к семинарским занятиям, выполнение домашнего
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
задания, подготовку к четырем промежуточным контрольным работам и к заключительному
экзамену по данной дисциплине. В результате изучения курса студенты должны: знать точные
формулировки основных понятий, уметь интерпретировать их на простых модельных примерах; в том числе свободно использовать навыки дифференцирования и интегрирования функций одной и нескольких переменных, исследовать поведение функций, строить эскизы графиков функций, проводить экономические исследования, используя вошедшие в курс методы оптимизации, решать возникающие в процессе анализа экономических ситуаций простейшие
дифференциальные уравнения, в математической статистике, теории вероятностей и эконометрике, обладать навыками работы и быть готовыми понимать разделы учебной и научной литературы, связанные с применением теории дифференцирования и интегрирования, методов оптимальных решений, анализом рядов.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
 математика в объеме средней школы.
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
 знаниями основных понятий и теорем математики в объеме средней школы;
 навыками решения типовых задач математики в объеме средней школы.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:
 теория вероятностей и математическая статистика;
 эконометрика;
 методы оптимальных решений;
 теория игр;
 математическая экономика.
5
Тематический план учебной дисциплины
№
Название раздела
Всего
часов
Аудиторные часы
Лекции
Семинары
Самостоятельная
Практич.
работа
занятия
1.
Предел и непрерывность функции одной переменной
20
6
6
8
2.
Производная и дифференциал функции одной переменной
16
4
4
8
3.
Исследование дифференцируемых
функций одной переменной
22
6
6
10
4.
Дифференциальное исчисление функций многих переменных
24
8
8
8
5.
Классические методы оптимизации
28
8
8
12
6.
Интегрирование функций одной переменной
34
10
10
14
7.
Интегрирование простейших обыкновенных дифференциальных уравнений
32
10
10
12
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
Интегрирование функций многих переменных
Числовые, функциональные и степенные ряды
Итого
8.
9.
6
20
6
6
8
20
6
6
8
216
64
64
0
88
Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Текущий
(неделя)
Промежуточный
Итоговый
1 год
Форма контроля
Контрольные
работы
1
2
3
4
1
2
3
4
6
7
9
8
Домашнее задание
Зачет
Экзамен
Параметры
Письменная работа 80 минут
Письменная работа. Задание выдается
на 5 неделе 2 модуля. Работа сдается на
последней неделе 2 модуля
5
Письменная зачетная работа 120 минут
*
*
Письменная экзаменационная работа
120 минут
Критерии оценки знаний, навыков
Для прохождения контроля студент должен, как минимум, продемонстрировать знания
основных определений и формулировок теорем; умение решать типовые задачи, предлагаемые
в типовых вариантах контрольных работ, разобранные на семинарских занятиях. При этом для
получения зачета необходимо предоставить, как минимум, 80 % решенных в домашнем задании
задач.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
6.1
6.2
Порядок формирования оценок по дисциплине
Преподаватель оценивает работу студентов на семинарских занятиях по следующим позициям: правильность решения задач на семинарах, правильность выполнения аудиторных самостоятельных работ, активность работы студента на семинарских занятиях. Оценки за работу
на семинарских занятиях и самостоятельную работу студента (а именно, решение нестандартных задач и выполнение текущих домашних заданий) преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за работу студента на семинарских занятиях определяется перед итоговым контролем - Оаудиторная.
Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов по следующим позициям:
правильность, своевременность и полнота выполнения домашних заданий. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за самостоятельную работу студента определяется перед итоговым
контролем – Осам. работа.
Накопленная оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему
контролю следующим образом:
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
Онакопленная = 0,8·Отекущая + 0,1·Оаудиторная + 0,1·Осам. работа ,
где Отекущая рассматривается как взвешенная оценка за формы текущего контроля, предусмотренные в РУП.
Способ округления накопленной оценки и оценки текущего контроля производится по
правилам арифметики округления.
Результирующая оценка за дисциплину рассчитывается следующим образом:
Онакопленная 1 = 0,8·Отекущая 1 + 0,1· Оаудиторная 1 + 0,1·Осам. работа 1 ,
где Отекущая 1 = Ок.р. 1,
Опромежуточная 1 = 0,8·Озачет + 0,2· Онакопленная 1,
где Озачет – оценка за работу непосредственно на зачете;
Онакопленная 2 = 0,8· Отекущая 2 + 0,1· Оаудиторная 2 + 0,1·Осам. работа 2 ,
где Отекущая 2 = 0,7·Ок.р. 2 +0,3·Од.з.,
Онакопленная 3 = 0,8· Отекущая 3 + 0,1· Оаудиторная 3 + 0,1·Осам. работа 3 ,
где Отекущая 3 = Ок.р. 3 ,
Онакопленная 4 = 0,8· Отекущая 4 + 0,1· Оаудиторная 4 + 0,1·Осам. работа 4,
где Отекущая 4 = Ок.р. 4 ,
Онакопленная итоговая= (Опромежуточная 1 + Онакопленная 2 + Онакопленная 3 + Онакопленная 4):4.
Здесь Опромежуточная 1 - итоговая оценка после зачета в 1 модуле; Онакопленная 2 , Онакопленная 3 ,
Онакопленная 4 - накопленные оценки за 2, 3 и 4 модули соответственно.
Способ округления накопленной итоговой оценки производится по правилам арифметики округления.
Результирующая оценка за итоговый контроль в форме экзамена выставляется по следующей формуле, где Оэкзамен – оценка за работу непосредственно на экзамене:
Орезульт = 0,6·Оэкзамен + 0,4·Онакопленная итоговая.
Способ округления результирующей оценки итогового контроля производится по правилам арифметики округления.
При этом оценка за работу непосредственно на экзамене является блокирующей. При
неудовлетворительной оценке за экзаменационную работу она равна результирующей.
Перевод в 5-балльную шкалу осуществляется по правилу:
Оценка по 10-балльной шкале
1
2
3
4
5
Оценка по 5-балльной шкале
неудовлетворительно/незачет
удовлетворительно
зачет
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
6
7
8
9
10
хорошо
отлично
На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить дополнительный балл
для компенсации оценки за текущий контроль.
В диплом выставляется результирующая оценка по учебной дисциплине.
7
Содержание дисциплины
Тема I. Предел и непрерывность функции одной переменной
Множества, операции объединения, пересечения, дополнения. Отображения
множеств (функции). Числовые функции. Область определения, множество значений функции. Элементарные функции. Числовая прямая, расстояние между точками числовой прямой. Промежутки, окрестность точки, проколотая окрестность точки. Предел числовой последовательности.
Предел функции одной переменной в точке. Односторонние пределы. Предел
функции на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Арифметические свойства пределов. Функции одной переменной, не имеющие предела в точке и на
бесконечности. Свойства операции предельного перехода. Первый и второй замечательные
пределы.
Сравнение функций. Символы о-малое и О-большое и их использование для раскрытия неопределенностей. Эквивалентные бесконечно малые.
Непрерывность функции в точке и на множестве. Точки разрыва функции, их
классификация. Арифметические свойства непрерывных функций. Непрерывность основных
элементарных функций. Непрерывность сложной функции.
Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теоремы Вейерштрасса и БольцаноКоши о непрерывной на отрезке функции. Теорема о существовании, монотонности и непрерывности обратной функции у строго монотонной функции, непрерывной на отрезке.
Лит-ра: основная: [1], с. 59-61, 65-121, 127-189.
Тема II. Производная и дифференциал функции одной переменной
Понятие производной функции одной переменной в точке. Геометрический смысл
производной. Уравнение касательной и нормали к графику функции в точке. Понятие эластичности функции и ее интерпретация.
Понятие дифференцируемости функции в точке. Связь дифференцируемости
функции одной переменной с ее непрерывностью, необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
Правила дифференцирования. Теорема о дифференцируемости и производной
сложной функции. Формула логарифмического дифференцирования. Теорема о дифференцируемости и производной обратной функции. Таблица производных основных элементарных функций. Производная функции, заданной параметрически. Производная функции, заданной неявно. Формула Лейбница для производных произведения двух функций.
Понятие дифференциала функции в точке. Геометрический смысл дифференциала.
Инвариантность формы первого дифференциала.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
Производные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной в
точке и их свойства.
Лит-ра: основная: [1], с. 189-222.
Тема III. Исследование дифференцируемых функций одной переменной
Понятие об экстремумах функции одной переменной. Локальный экстремум
функции одной переменной. Необходимое условие внутреннего локального экстремума
(теорема Ферма). Основные теоремы о дифференцируемых функций на отрезке (теоремы
Ролля, Лагранжа и Коши). Правило Лопиталя.
Многочлен Тейлора и формула Тейлора для функций одной переменной с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа. Формулы Маклорена для основных элементарных
функций. Использование формулы Тейлора для представления и приближенного вычисления значений функции.
Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции на промежутке.
Достаточные условия локального экстремума для функции одной переменной. Выпуклые
(вогнутые) функции одной переменной. Достаточные условия выпуклости (вогнутости).
Точки перегиба. Необходимые и достаточные условия точки перегиба. Асимптоты графика
функции одной переменной. Определение глобального максимума (минимума) функции одной переменной в области ее определения. Общая схема исследования функции одной переменной и построение ее графика.
Лит-ра: основная: [1], с. 224-290.
Тема IV. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
n-мерное арифметическое пространство R n . Расстояние между точками пространства. Неравенство треугольника. Окрестности точек, предельные и внутренние точки. Прямые, лучи, отрезки и кривые в пространстве R n . Связные, несвязные, ограниченные, неограниченные множества. Замкнутые и открытые множества. Компакт, область.
Понятие функции многих переменных. Линии равного уровня. Определение предела функции многих переменных. Арифметические свойства пределов. Предел функции по
направлению.
Понятие непрерывности функции многих переменных в точке. Арифметические
свойства непрерывных функций. Непрерывность функции по направлению. Теорема о непрерывности сложной функции. Непрерывность элементарных функций многих переменных. Свойства непрерывных на компакте функций (теоремы Вейерштрасса). Теорема Коши
о промежуточных значениях непрерывной на связном открытом множестве функции.
Определение частных производных функции многих переменных в точке. Определение дифференцируемости функции в точке. Связь дифференцируемости функции в точке с
непрерывностью и существованием частных производных. Достаточное условие дифференцируемости функции в точке. Арифметические свойства дифференцируемых функций. Теорема о дифференцируемости сложной функции. Касательная плоскость к графику функции
двух переменных в точке. Уравнение касательной плоскости.
Дифференциал функции многих переменных в точке. Частные дифференциалы.
Геометрический смысл первого дифференциала для функции двух переменных. Инвариантность формы первого дифференциала. Градиент функции в точке и производная по направлению. Геометрический смысл градиента функции в точке, его свойства.
Частные производные и дифференциалы высших порядков функции многих переменных. Теорема о равенстве смешанных производных. Многочлен Тейлора. Формула Тейлора для функций многих переменных с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
Понятие неявной функции. Теорема о существовании и непрерывности неявной
функции, определяемой одним уравнением. Теорема о дифференцируемости неявной функции. Формула для производных неявной функции. Повторное дифференцирование неявной
функции.
Понятие системы неявных функций, определяемых системой уравнений. Условия
их существования и дифференцируемости. Частные производные неявных функций. Отображения области n-мерного пространства. Матрица Якоби. Матрица Якоби композиции
отображений. Условия обратимости отображения. Якобиан.
Лит-ра: основная: [1], с.442-504,610-632.
Тема V. Классические методы оптимизации
Локальный экстремум функций многих переменных. Необходимое условие локального экстремума. Знакоопределенность второго дифференциала. Достаточное условие
локального экстремума функции многих переменных. Теорема об экстремуме неявной
функции, определяемой уравнением и системой уравнений.
Условный экстремум функции многих переменных. Функция Лагранжа и множители Лагранжа для задачи на условный экстремум. Необходимое условие условного экстремума. Исследование достаточных условий условного экстремума.
Лит-ра: основная: [1], с. 504-534, 632-638.
Тема VI. Интегрирование функций одной переменной
Понятие первообразной функции одной переменной на интервале. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных
элементарных функций. Табличные интегралы. Замена переменной и формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
Понятие о рациональной функции. Элементарные (простейшие) дроби I и II рода.
Правильные и неправильные рацинальные дроби. Выделение из неправильной рациональной
дроби целой части в виде многочлена. Интегрирование рациональных функций. Основные
классы функций, интегрирование которых сводится к интегрированию рациональных функций. Интегрирование иррациональных функций. Интегрирование тригонометрических
функций. Универсальная тригонометрическая подстановка.
Понятие интегральной суммы. Верхняя и нижняя интегральные суммы. Понятие
определенного интеграла и его геометрическая интерпретация. Необходимое и достаточное
условие интегрируемости функции на отрезке. Свойства определенного интеграла. Теорема
о среднем для определенного интеграла. Определенный интеграл с переменным верхним
пределом. Теоремы о непрерывности и дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
Замена переменной и формула интегрирования по частям для определенного интеграла. Основные классы интегрируемых функций.
Приложения определенного интеграла. Понятие длины дуги плоской кривой. Понятие площади плоской фигуры. Площадь криволинейной трапеции. Вычисление длин дуг
плоских кривых и площадей плоских фигур. Вычисление объема тела.
Несобственные интегралы 1 и 2 рода. Абсолютная и условная сходимость несобственного интеграла. Замена переменной и формула интегрирования по частям в несобственном интеграле. Эталонные интегралы. Признаки сравнения несобственных интегралов
от положительных функций.
Лит-ра: основная: [1], с. 291-329, 330-365, 370-382, 431-441.
Тема VII. Интегрирование простейших дифференциальных уравнений
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
Понятие дифференциального уравнения первого порядка. Понятие общего решения.
Задача Коши. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, однородные, в полных дифференциалах. Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка. Метод вариации произвольной постоянной. Уравнения Бернулли.
Дифференциальные уравнения старших порядков. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Действительная и мнимая часть комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Решение квадратных уравнений.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение линейного однородного уравнения с постоянными
коэффициентами. Задача Коши. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида. Метод подбора
частного решения.
Тема VIII. Интегрирование функций многих переменных
Понятие двойного интеграла и его геометрическая интерпретация. Свойства двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Замена переменных в двойном интеграле. Переход в двойном интеграле к полярным
координатам. Якобиан преобразования. Вычисление площади плоской фигуры с помощью
двойного интеграла. Понятие тройного интеграла и его свойства. Расстановка пределов интегрирования.
Лит-ра: основная: [1], с. 405-421; [2], с. 117-151.
Тема IX. Числовые, функциональные и степенные ряды
Понятие о числовых рядах. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Признаки сравнения для знакопостоянных рядов. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак Коши. Эталонные положительные ряды.
Критерий Коши сходимости ряда. Понятие абсолютной и условной сходимости числового
ряда. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.
Функциональные последовательности, их сходимость в точке и на множестве.
Функциональные ряды. Равномерная сходимость функциональных последовательностей,
критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей.
Равномерная сходимость функционального ряда, критерий Коши равномерной
сходимости функционального ряда. Непрерывность суммы функционального ряда, почленное дифференцирование и интегрирование функциональных рядов.
Степенной ряд. Теорема Абеля, интервал и радиус сходимости степенного ряда.
Вычисление радиуса сходимости степенного ряда при помощи признаков Коши и Даламбера. Непрерывность суммы степенного ряда. Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда.
Разложение функций в степенные ряды. Теорема о единственности представления.
Ряд Тейлора (Маклорена) функции. Разложения в ряд Маклорена основных элементарных
функций. Приближенные вычисления с помощью рядов Тейлора.
Понятие о рядах Фурье. Теорема о представлении функции в виде ее ряда Фурье.
Лит-ра: основная: [2], с. 7-108, 287-309.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
8
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего и промежуточного контроля
Типовой вариант контрольной работы №1 (зачетной работы)
1. Пользуясь определением предела последовательности, покажите, что lim
8.1
5𝑛+15
𝑛→∞ 𝑛−6
= 5. Укак-
жите 𝑁(𝜀).
2. Вычислите пределы:
а) lim
(4−𝑛)3 −(2−𝑛)3
𝑛→∞ (1−𝑛)2 −(2+𝑛)4
3
; б) lim
4
𝑛 √3𝑛3 + √4𝑛8 +1
𝑛→∞ (𝑛+√𝑛)√7−𝑛+𝑛2
.
3. Пользуясь определением предела функции в точке, обоснуйте равенство, укажите 𝛿(𝜀):
lim
2𝑥 2 +11𝑥+15
𝑥+3
𝑥→−3
4.
= −1.
Вычислите пределы:
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑥
а) lim
𝑥2
𝑥→−∞
; б) lim
𝑥 3 +3𝑥 2 +7𝑥+5
𝑥 2 −𝑥−2
𝑥→−1
;
в) lim 𝑥(√𝑥 4 + 7𝑥 + 2 − √𝑥 4 − 3𝑥 + 1);
𝑥→+∞
4
3
√16𝑥−4
г) lim
;
𝑥→4 √𝑥+4−√2𝑥
д) lim
√16𝑥 4 +2𝑥 2 +3
3
√𝑥 3 +𝑥
𝑥→±∞
.
5. Вычислите пределы, используя первый и второй замечательные пределы, а также свойства
эквивалентных бесконечно малых, из них следующие:
а) lim
𝑥→0
6 𝑥/2
45𝑥 2
; б) lim (1 + )
sin 3𝑥∙sin 5𝑥
𝑥
𝑥→+∞
в) lim (4𝑥 2 + 3𝑥 − 1) ∙ 𝑡𝑔
𝑥→−1
д) lim
𝑥 3 −1
𝑥→1 ln 𝑥
𝜋𝑥
2
; г) lim
𝑥→0
1/𝑥 2
2
; е) lim(2 − 5𝑠𝑖𝑛 𝑥 )
𝑥→0
;
ln(1+sin 2𝑥)
sin 6𝑥
;
.
6. Что означает равенство 𝑜(1) + 𝑜(1) = 𝑜(1) при 𝑥 → 0? Докажите это утверждение.
7. Докажите, что 𝑜(𝑥 2 ) ∙ 𝑜(𝑥 3 ) = 𝑜(𝑥 5 ) при 𝑥 → 0.
8. Укажите все значения γ, при которых 𝑜(𝑥 3 ) + 𝑜(𝑥 5 ) = 𝑜(𝑥 𝛾 ); 𝑥 → +0.
9. Не пользуясь ни правилом Лопиталя, ни формулой Тейлора, обоснуйте, что √1 − 𝑥 = 1 −
𝑥
2
−
𝑥2
8
+ 𝑜(𝑥 2 ), 𝑥 → 0.
10. Вычислите пределы, используя асимптотические формулы:
а) lim
sin 3𝑥−sin 2𝑥−𝑡𝑔 𝑥
𝑥3
𝑥→0
3
√1+2𝑥−√1+3𝑥
;
𝑥
𝑥→0
√𝑥 2 + 3𝑥 + 5).
; б) lim
в) lim (√𝑥 2 + 7𝑥 + 2 −
𝑥→+∞
В пунктах а) и б) также вычислите пределы, используя правило Лопиталя.
11. Классифицируйте точки разрыва графика функции:
а) 𝑓(𝑥) =
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑥2
; б) 𝑓(𝑥) =
𝑒 1/(𝑥−1)
𝑥+2
.
12. Напишите уравнения касательной и нормали к графику функции
𝑓(𝑥) = 𝑥 4 в точке с абсциссой x=2.
13. Вычислите производную функции 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔√𝑥 − 1 в точке x=5.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
14. Найдите производные следующих функций, не упрощая ответ:
3
а) 𝑓(𝑥) = 𝑒 cos 𝑥 ∙ (√𝑥 5 + ln 𝑥 ); б) 𝑓(𝑥) =
𝑠𝑖𝑛2 (2𝑥 4 )
√𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔3𝑥 2
;
4
𝑥+ √𝑥 4 +1
в) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 4
√𝑥 4 +1−𝑥
.
15. Вычислите первый и второй дифференциалы функции 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 25, если x=0, dx=11.
16. Используя правило логарифмического дифференцирования, вычислите производные следующих функций:
2
а) 𝑓(𝑥) = (𝑥 3 + cos 𝑥)√2𝑥+3 ; б) 𝑓(𝑥) = (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛√𝑥)𝑐𝑡𝑔 5𝑥 .
17. Вычислите производную функции 𝑦(𝑥), заданной неявно уравнением
5𝑥 2 + 5𝑥𝑦 + 3𝑦 2 − 3𝑥 − 2𝑦 − 2 = 0.
18. Вычислите производную 𝑦 ′ (𝑥) функции 𝑦(𝑥), заданной параметрически: 𝑥(𝑡) =
ln 𝑡𝑔 𝑡, 𝑦(𝑡) =
1
𝑠𝑖𝑛2 𝑡
, 0 < 𝑡 < 𝜋 /2 при значении параметра 𝑡0 = 𝜋/4.
19. Постройте график функции 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 (2𝑥 − 1)2 с помощью производной первого порядка.
Типовой вариант контрольной работы №2
1. Изобразите линии равного уровня функции 𝑢(𝑥; 𝑦) = min(𝑥 2 + 𝑦 2 ; 1 − 2𝑥𝑦).
2. Вычислите первый полный дифференциал функции 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑥−𝑦
𝑥+𝑦+𝑧
в точке
𝑀0 (1, 2, 1). В этой точке найдите вектор градиента и производную по направлению вектора
𝑙⃗ = (3; −4; 0).
3. Исследуйте на экстремум функцию 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 + 𝑦 3 − 𝑥 2 − 2𝑥𝑦 − 𝑦 2 .
4. Исследуйте на экстремум функцию 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 при условии 𝑥 2 + 𝑦 2 = 2𝑥.
5. Найдите производные сложной функции, если 𝑢 =
𝜕𝑢
𝜕𝑡
𝑥
𝑦+4𝑡
; 𝑥 = 𝑡𝑣 2 ; 𝑦 =
𝑣
𝑡3
;
𝜕𝑢
𝜕𝑣
=?
=?
6. Найдите 𝑧"𝑥𝑦 в точке 𝑀0 (2, 0, 0) для функции, заданной неявно уравнением 𝑧 − 𝑥 2 +
𝑒 𝑦+𝑧 = 0.
7. Вычислите производные 𝑦′𝑥 и 𝑦"𝑥𝑥 функции 𝑦(𝑥), заданной параметрически: 𝑥 = 𝑡 +
sin 𝑡; 𝑦 = 3 − cos 𝑡. Вычислите 𝑦′𝑥 и 𝑦"𝑥𝑥 при 𝑡 = 0.
8. Найдите n-ую производную функции: 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1)2 ∙ sin 4𝜋𝑥.
𝑓 (5) (1).
Укажите значение
3
9. Вычислите предел с помощью правила Лопиталя:
10. Вычислите
предел
𝑥∙𝑒 −2𝑥 −ln(1+3𝑥)+2 sin 𝑥
lim
.
√1+4𝑥 2 +cos 3𝑥−2
𝑥→0
с
помощью
lim
3− √4𝑥 2 +5𝑥+1
𝑥 2 +2𝑥−8
𝑥→2
асимптотических
.
формул:
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
Проведите полное исследование и постройте график функции
11.
𝑓(𝑥) =
3
√𝑥 3 − 3𝑥 2 .
Типовой вариант контрольной работы №3
Вычислите интегралы:
cos 𝑥
𝑑𝑥
𝑒 2 ln 𝑥
3𝑥 2 +8𝑥+6
1.
∫ 3 2 𝑑𝑥 . 2. ∫ 1+cos2 𝑥 . 3. ∫𝑒 𝑥4 𝑑𝑥 4. ∫ (𝑥2+16)(𝑥+5) 𝑑𝑥.
√sin 𝑥
5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями 𝑦 = −𝑥 2 + 4𝑥 + 1, 𝑦 − 𝑥 − 1 − 0.
6. Исследуйте на экстремум функцию 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 − 2𝑦 3 − 3𝑥 + 6𝑦.
7. Исследуйте на экстремум функцию 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 при условии 𝑥 2 = 2𝑦.
8. Найдите частные производные
𝜕𝑓
𝜕𝑥
,
𝜕𝑓 𝜕2 𝑓
𝜕2 𝑓
𝜕2 𝑓
𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥 𝜕𝑦
,
,
2
,
2
для каждой функции, задан-
ной неявно уравнением 2𝑥 2 + 2𝑦 2 + 𝑓 2 + 8𝑓𝑦 − 𝑓 + 8 = 0. Исследуйте эту функцию на
экстремум. Найдите вектор градиента и производную функции f по направлению вектора
3 4
𝑙⃗ = (− ; ) в точке 𝐴(0; −2).
5 5
9. Представьте формулой Маклорена с 𝑜(𝑥 ) функцию 𝑓 (𝑥 )
3
𝑒 2𝑥 +sin 3𝑥
=
𝑥 2 +𝑥+4
10. Найдите производные функций (ответ не упрощайте):
.
4
𝑓(𝑥 ) =
(𝑡𝑔 3𝑥−𝑠𝑖𝑛2 𝑥)
;
𝑓(𝑥) = (ln 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥)√𝑥
2 +4𝑥
.
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛√5𝑥+1
11. Вычислите производные 𝑦 ′ (𝑥) и 𝑦 ′′ (𝑥) функции 𝑦(𝑥), заданной параметрически:
𝑥 = ln 𝑡𝑔 𝑡; 𝑦 =
1
𝑠𝑖𝑛2 𝑡
𝜋
. Вычислите 𝑦 ′ (𝑥) и 𝑦 ′′ (𝑥) при 𝑡 = .
4
12. Найдите n-ую производную функции: 𝑓(𝑥) = (3𝑥 + 2)2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 5𝜋𝑥.
𝑓 (4) (1).
Укажите значение
4
13. Вычислите предел с помощью правила Лопиталя:
lim
𝑥→−2
14. Вычислите предел с помощью асимптотических формул:
Типовой вариант контрольной работы №4
1.
Найдите решения дифференциальных уравнений:
(𝑒 𝑥 +3)𝑡𝑔2 4𝑦
′
𝑦 =
.
𝑒𝑥
2. 𝑥 𝑦′ − 𝑦 =
√𝑦2 − 8𝑥2 .
3.
𝑥 2 𝑦 ′ − 4𝑥 2 − 𝑦 2 = 3𝑥𝑦, 𝑦(1) = 0.
4.
𝑥 𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑦 2 ln 𝑥.
𝑥
𝑦
5.
𝑦 ′ = 2√ 3 − .
𝑦
𝑥
6.
𝑥 𝑦 ′ = 3𝑦 +
𝑥4
1+𝑥 2
, 𝑦(1) =
ln 2
2
.
1− √𝑥 3 +2𝑥+13
.
𝑥 2 +6𝑥+8
𝑥∙√1+𝑥+tg 2x −3 sin 𝑥
lim
𝑥→0 ln(1+5𝑥)+𝑒 5𝑥 +cos 𝑥−2
.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
7. 𝑦"𝑦 = 2(𝑦′)2 , 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 1.
8. 𝑥 + 𝑦"√1 + 𝑥 2 =
1
√1+𝑥 2
.
9. Решите задачу Коши 𝑦" − 2𝑦′ + 5𝑦 = 0, 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = −7 и вычислите для реше𝜋
ния этой задачи значение 𝑦 ( ).
4
Исследуйте на сходимость несобственные интегралы
10.
+∞
∫1
1
𝑑𝑥
5
√𝑥 4 +𝑥 5 √𝑥+ln(cos 𝑥+2)
; ∫0
𝑑𝑥
.
4
√𝑡𝑔 𝑥 6 +𝑥 3 √ln(1+2 sin 3𝑥)
Вычислите (с полным объяснением) несобственный интеграл
+∞
𝑑𝑥
11. ∫
.
3
𝑥 3 −3𝑥 2 −4𝑥+12
12.
Исследуйте на сходимость числовые ряды:
∞
√𝑛3 + 4
∑
3
3𝑛2 + √𝑛8 − 1
𝑛=1
13.
∞
; ∑
(𝑛!)2
𝑛=1
2𝑛
2
∞
∞
2𝑛
; ∑
; ∑
.
2+1
𝑛 2𝑛 + 3
ln(𝑛
+
1)
+
1)
√(𝑛
𝑛=1
𝑛=1
1
Исследуйте на сходимость знакопеременные числовые ряды:
∞
∞
𝑛=1
𝑛=1
𝑛2 + 4
1
𝑛+1
;
arcsin
.
∑
∑(−1)
(−3)𝑛
2𝑛
14.
∞
Найдите область сходимости функционального ряда ∑𝑛=1
𝑛3 𝑥 𝑛
5𝑛 +1
.
15. Вычислите двойной интеграл
𝐷 = {(𝑥; 𝑦): 0 ≤ 𝑥 ≤ 2,
∬ 𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦,
2 − √4 − 𝑥 2 ≤ 𝑦 ≤ 2} .
𝐷
8.2 Тематика заданий итогового контроля
Экзаменационная контрольная работа по математическому анализу
ВАРИАНТ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ
Найдите производные функций (ответ не упрощайте)
3
5 sin(𝑥 2 )
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (4𝑙𝑛 (𝑐𝑡𝑔√𝑥)) ; 𝑓(𝑥) = (√3−𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 4𝑥 + √2𝑥 )
.
2. Вычислите производные 𝑦′𝑥 и 𝑦"𝑥𝑥 функции 𝑦(𝑥), заданной параметрически: 𝑥 =
𝜋
cos 4𝑡; 𝑦 = 3 − cos 2𝑡. Вычислите 𝑦′𝑥 и 𝑦"𝑥𝑥 при 𝑡 = .
1.
5
8
3. Вычислите пределы
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
lim
𝑥→0
𝑥∙𝑒 −2𝑥 −ln(1+3𝑥)+2 sin 𝑥
√1+4𝑥 2 +cos 3𝑥−2
3
;
lim
3− √4𝑥 2 +5𝑥+1
𝑥→2
𝑥 2 +2𝑥−8
.
Исследуйте на экстремум функцию 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑒 2𝑦 (𝑦 + 𝑥 2 + 𝑥).
4.
5. Исследуйте на экстремум функцию 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 3𝑦 2 + 5 при условии 𝑥 + 𝑦 = 4.
6.
Найдите производные функции 𝑢(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑥 3 + 𝑦 2 − 𝑦𝑧 + 2𝑦𝑧 в точке 𝑀0 (1; 0; 2) по
направлению вектора 𝑴𝟎 𝑴, если 𝑀(−1; −1; 0), а также производную в точке 𝑀0 по направлению градиента.
7. Найдите решение уравнения
(3𝑥 2 + 𝑦 cos(𝑥𝑦))𝑑𝑥 + (4𝑦 3 + 3𝑥 cos(𝑥𝑦))𝑑𝑦 = 0.
Вычислите интегралы
8.
1 𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥
∫0 1+𝑥 2 𝑑𝑥.
ln 2
9. ∫0
𝑒
𝑒 𝑥 sin 𝑒 𝑥 𝑑𝑥. 10. ∫1 𝑙𝑛3 𝑥 𝑑𝑥.
+∞
11. Вычислите несобственный интеграл ∫1
𝑥 2 −1
(𝑥 3 +4𝑥 2 +4𝑥)
𝑑𝑥.
1
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛( 2 )
∞
𝑛
∑
12. Исследуйте на сходимость числовой ряд 𝑛=1
; исследуйте на
3
√𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑛4 +𝑛5 √𝑛2 +sin 𝑛
0,1
tg(√𝑥)𝑑𝑥
сходимость несобственный интеграл ∫
.
0 5
6
5
3
3
√ln(1+𝑠𝑖𝑛 2𝑥)+𝑥 ∙√𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑥 +𝑥
13. Вычислите двойной интеграл
𝑦
𝑥
∬𝐷 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦, 𝐷 = {𝑥 2 + 𝑦 2 ≥ 1, 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 9, 𝑦 ≥ √3 , 𝑦 ≤ 𝑥√3} .
Решите уравнения
′
4
14. 𝑦 + 𝑦 𝑡𝑔 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0, 𝑦(0) = 1.
15. (𝑥 + 3𝑦)𝑑𝑥 = (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦.
2
16. 𝑦 ′ − 4𝑥𝑦 = 𝑒 2𝑥 +𝑥 .
17.
𝑥𝑦′ + 𝑦 = 𝑦2 ln 𝑥.
Решите задачи Коши
18. 𝑦𝑦" + 5𝑦 4 (𝑦′)4 = 3(𝑦′)2 , 𝑦(−2) = −1, 𝑦′(−2) = 1.
19. 𝑥𝑦 2 𝑦" + 5𝑥 4 (𝑦′)3 = 3𝑦 2 𝑦′ + 𝑥𝑦(𝑦′)2 , 𝑦(−2) = −4, 𝑦′(−2) = 1.
20. Решите задачу Коши 𝑦" + 4𝑦′ + 5𝑦 = 0, 𝑦(0) = 2, 𝑦′(0) = 3 и вычислите для решения
𝜋
этой задачи значение 𝑦 ( ).
2
9
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
9.1 Базовый учебник
[1] Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ 1. М.: Изд-во
Моск. Ун-та, 1985.-662с.
[2] Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ 2. М.: Изд-во
Моск. Ун-та, 1987.-358с.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Математический анализ»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
9.2 Основная литература
[1] Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ 1. М.: Изд-во
Моск. Ун-та, 1985.-662с.
[2] Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ 2. М.: Изд-во
Моск. Ун-та, 1987.-358с.
[3] Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.:
Наука, 1997.
[4] Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. М.: Физматлит, 2003.-716с
9.3 Дополнительная литература
[1] Кудрявцев Л.Д. Математический анализ в двух томах. М.: «Высшая школа», 1981
(имеется также переработанное трехтомное издание М.: Дрофа, 2006).
[2] Егоров В.И., Салимова А.Ф. Определенный и кратные интегралы. Элементы теории поля. – М.: Физматлит, 2004.
[3] Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям – М.: Наука, 2000.
[4] Математический анализ. Примеры и задачи / под ред. А.Ф. Салимовой, Ч.1. М.: ВУНЦ
ВВС «ВВА им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», 2010.
[5] Математический анализ. Примеры и задачи / под ред. А.Ф. Салимовой, Ч.2. М.: ВУНЦ
ВВС «ВВА им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», 2010.
[6] Математический анализ. Примеры и задачи / под ред. А.Ф. Салимовой, Ч.2. М.: ВУНЦ
ВВС «ВВА им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», 2011.