Конспект лекций по функциям многих переменных

Министерство образования и науки Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
==================================================================
Э.Г. СОСНИНА
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Конспект лекций по математическому анализу
для студентов I-го курса факультета Бизнеса
экономической специальности
НОВОСИБИРСК
2015
1
I ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
I.I ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Пусть задано множество G, элементами
упорядоченные наборы действительных чисел (.
которого
являются
Определение 1. Говорят, что на множестве G задана функция многих
переменных 𝑧 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) со значениями на множестве Z, если задан
закон, по которому каждому набору чисел из множества G ставится в
соответствие одно определённое значение переменной z из множества Z.
Множество G называется областью определения функции 𝑧 =
𝑓(𝑥1 , 𝑥 , … , 𝑥𝑛 ) . Если переменные (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) рассматривать как
координаты некоторой точки М∈G, то функцию многих переменных можно
записать в виде 𝑧 = 𝑓(𝑀).
В настоящем курсе мы будем рассматривать только функции двух и трёх
переменных.
Функция двух переменных
задаётся формулой
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), где
независимые переменные (𝑥, 𝑦) можно рассматривать как координаты
точки на плоскости. Областью определения G функции двух переменных
может быть как вся плоскость , так и часть плоскости, ограниченная одной
или несколькими линиями, которые образуют границу области . Точки
области, не принадлежащие границе, называются внутренними, а область,
состоящяя из одних внутренних точек, называется открытой. Область,
содержащая все свои граничные точки, называется замкнутой и
̅
обозначается 𝐺.
Функция трёх переменных задаётся формулой 𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧), где
аргументы (𝑥, 𝑦, 𝑧) являются координатами точки М трёхмерного
пространства . Областью определения функции трёх переменных может
быть как всё пространство, так и часть его, ограниченная одной или
несколькими поверхностями, которые образуют границу области.
Аналогично двумерному случаю определяются понятия открытой и
замкнутой областей.
2
I.2
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Функции двух и трёх переменных, как и функция одной переменной, могут
быть заданы различными способами: аналитическим, графическим, с
помощью таблиц (функция двух переменных). Как правило, мы будем
пользоваться аналитическими способами задания, т.е. с помощью формул.
1. ЯВНОЕ ЗАДАНИЕ ФУНКЦИЙ
Функция двух переменных: 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). Например: 𝑧 = 𝑒 𝑥𝑦 .
Функция трёх переменных: 𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, ). Например: 𝑢 = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑧 2
2. НЕЯВНОЕ ЗАДАНИЕ ФУНКЦИЙ
Функция двух переменных: 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0. Например: 𝑒 𝑥𝑦 + 𝑒 𝑦𝑧 − 𝑎 = 0
𝑥𝑦𝑧
Функция трёх переменных 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑢) = 0. Например:
𝑢
− 𝑥 2 𝑢2 = 0
I.3 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Графиком функции двух переменных, заданной уравнением 𝑧 =
𝑓(𝑥, 𝑦) или
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0, является
поверхность в пространстве,
проектирующаяся в область определения G функции 𝑧 на плоскости 𝑥𝑂𝑦.
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1. Эллипсоиды
2 Гиперболоиды :
𝑥2
𝑦2
𝑧2
𝑎
𝑏
𝑐2
+
2
+
2
=1
однополостный
двуполостный
3.Конусы:
3 Параболоиды:
𝑥2
𝑦2
𝑧2
𝑎
𝑏
𝑐2
+
2
−
2
𝑥2
𝑦2
𝑧2
𝑎
𝑏
𝑐2
+
2
−
2
𝑥2
𝑦2
𝑧2
𝑎
𝑏
𝑐2
−
2
−
2
=0
эллиптический
2z =
гиперболический
2z =
3
𝑥2
𝑦2
𝑎
𝑏2
+
2
𝑥2
𝑦2
𝑎
𝑏2
−
2
=1
=1
ii. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Для функции многих переменных понятия предела и непрерывности
вводятся аналогично случаю функции одной переменной.
Определение 2. Расстоянием между точками М и М0 называется модуль
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
вектора 𝑀
0 𝑀, соединяющего эти точки.
В пространстве и на плоскости соответственно расстояние между точками
в координатной форме имеет вид
𝜌 (M, 𝑀0 ) = √(𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2 + (𝑧 − 𝑧0 )2
𝜌 (M, 𝑀0 ) = √(𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2
Определение 3. Множество точек М называется 𝛿 − окрестностью тсчки
М0 ,если они удовлетворяют неравенству 𝜌 (M, 𝑀0 ) < 𝛿 или в координатах
√(𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2 + (𝑧 − 𝑧0 )2 < 𝛿
√(𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2 < 𝛿
Таким образом, 𝛿 −окрестность точки М0 – это все внутренние точки шара в
пространстве или круга на плоскости с центром в точке М0 и радиусом 𝛿.
Определение 4. Говорят, что точка М стремится к точке М0 {М → М0 },
если 𝜌(М, М0 ) → 0 . В координатах ( например, для функции двух
переменных) это означает, что 𝑥 → 𝑥0 , 𝑦 → 𝑦0 .
Пусть функция 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) определена в некоторой окрестности точки
М0 за исключением быть может самой точки.
Определение 5. Число А называется пределом функции 𝑧 = 𝑓(𝑀) при
М → М0 , если для любого 𝜀 > 0 найдётся такое 𝛿 > 0, что для всех точек М,
удовлетворяющих условию
𝜌 ( 𝑀, 𝑀0 )< 𝛿, выполняется неравенство
|𝑓 ( 𝑀 ) − 𝐴| < 𝜀. Запись: lim 𝑓 ( 𝑀 ) = 𝐴 .
𝑀→𝑀0
Сформулируем определение предела для функции двух переменных
через координаты точек.
Число А называется пределом функции 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), если для любого
сколь угодно малого 𝜀 > 0 найдётся такое 𝛿 > 0, что для всех точек,
удовлетворяющих условиям |𝑥 − 𝑥0 | < 𝛿, |𝑦 − 𝑦0 | < 𝛿,
выполняется
неравенство |𝑓 ( 𝑥, 𝑦 ) − 𝐴| < 𝜀. Запись: 𝑥→𝑥
lim 𝑓 ( 𝑥, 𝑦 ) = 𝐴.
0
𝑦→𝑦0
4
Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от
пути, по которому точка М стремится к точке М0 . В отличие от функции одной
переменной для функции двух и трёх переменных таких направлений
бесконечно много, что усложняет процесс вычисления пределов. Однако
предел функции многих переменных обладает свойствами, аналогичными
свойствам предела функции одной переменной. Остаются справедливыми
все основные теоремы теории пределов, в том числе теоремы об
алгебраических операциях с пределами и о переходе в неравенствах к
пределу.
III. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Определение 6. Функция 𝑧 = 𝑓(𝑀, 𝑀0 ) называется непрерывной в
точке М0 , если выполнены следующие три условия:
1. Функция 𝑧 = 𝑓(𝑀) определена в точке М0 , т.е. ∃ 𝑓(𝑀0 ).
2. ∃ lim 𝑓(𝑀) = 𝐴 < ∞.
𝑀→𝑀0
3. lim 𝑓(𝑀) = 𝑓(𝑀0 ).
𝑀→𝑀0
Сформулируем определение непрерывности функции двух переменных на
языке 𝜀 − 𝛿.
Определение 7. Функция 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) называется непрерывной в точке
(𝑥9 , 𝑦0 ), если она задана в этой точке и для ∀𝜀 > 0 ∃𝛿 > 0 такое, что для
|𝑦 − 𝑦0 | < 𝛿,
∀(𝑥, 𝑦),
удовлетворяющих условиям |𝑥 − 𝑥0 | < 𝛿,
выполняется неравенство |𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0 )| < 𝜀
Введём обозначения: ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0 , ∆𝑦 = 𝑦 − 𝑦0 , ∆𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0 ).
Величины ∆𝑥 и ∆𝑦 называются приращениями аргументов, а ∆𝑧 −
полным приращением функции
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)в точке (𝑥0 , 𝑦0 ). Тогда
определение 7 можно. сформулировать на языке приращений.
Определение 8. Функция 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) непрерывна в точке (𝑥0 , 𝑦0 ), если
она определена в этой точке и бесконечно малым приращениям аргументов
соответствует бесконечно малое приращение функции.
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ В ЗАМКНУТОЙ
ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ
Определение 9. Функция 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) называется непрерывной в области,
если она непрерывна в каждой точке этой области.
5
Пусть функция 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)непрерывна в некоторой замкнутой
ограниченной области плоскости.
Тогда она обладает свойствами,
аналогичными свойствам функции одной переменной, непрерывной на
замкнутом промежутке.
Свойство 1. Функция в заданной области ограничена, т.е. существует
такое число 𝑅 > 0, что для всех точек (𝑥, 𝑦) в этой области выполняется
неравенство |𝑓( 𝑥, 𝑦 )| < 𝑅.
Свойство 2. Функция 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)достигает в данной области своего
наибольшего M и наименьшего m значений, т.е. для всех точек(𝑥, 𝑦)
области выполняются неравенства 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑀.
Свойство 3. Функция 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) принимает хотя бы в одной точке области
любое численное значение, заключённое между m и M ( теорема о
сплошности значений, принимаемых непрерывной функцией).
IV. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
IV.1 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Рассмотрим функцию двух переменных 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)Пусть переменная
𝑥 получает приращение ∆𝑥 , а переменная 𝑦 остаётся постоянной. Тогда
функция получит приращение, которое называется частным приращением
функции по x и обозначается символом ∆𝑥 𝑧 . Таким образом,
∆𝑥 𝑧 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦)
Аналогично определяется частное приращение функции по 𝑦 :
∆𝑦 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦)
Определение 1. Если существует конечный предел отношения частного
приращения функции ∆𝑥 z к приращению аргумента ∆𝑥 при ∆𝑥 → 0. то он
называется частной производной функции 𝑧 по 𝑥 и обозначается символом
𝜕𝑧
𝜕𝑥
или 𝑧𝑥′ . Таким образом, по определению:
𝑧𝑥′ = lim
∆𝑥 𝑧
∆𝑥→0 ∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥+∆𝑥,𝑦)−𝑓(𝑥,𝑦)
∆𝑥
Аналогично даётся определение частной производной функции 𝑧 по 𝑦 :
6
𝑧𝑦′ = lim
∆𝑦 𝑧
∆𝑦→0 ∆𝑦
= lim
∆𝑦→0
𝑓(𝑥,𝑦+∆𝑦)−𝑓(𝑥,𝑦)
∆𝑦
Отметим, что функция трёх переменных 𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) имеет три частных
производных 𝑢𝑥′ , 𝑢𝑦′ , 𝑢𝑧′ .
Таким образом, частная производная функции нескольких переменных
определяется как производная по одной переменной при условии, что
остальные переменные остаются постоянными .
IV.2 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Графиком функции двух переменных 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), как было установлено
ранее, является некоторая поверхность. Графиком функции 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦0 )
является линия пересечения этой поверхности с плоскостью 𝑦 = 𝑦0 . Зная
геометрическую интерпретацию
производной
функции одной
′ (𝑥
переменной, делаем вывод, что 𝑧𝑥 0 𝑦0 ) = 𝑡𝑔𝛼, где 𝛼 − угол между осью
Оx и касательной, проведённой к линии 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦0 ) в точке 𝑀(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ),
где 𝑧0 = 𝑓(𝑥0, 𝑦0 ). Аналогично, 𝑧𝑦′ (𝑥0 , 𝑦0 ) = 𝑡𝑔𝛽, где 𝛽 − угол между
касательной и осью O𝑦.
IV.3
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ И ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Рассмотрим функцию двух переменных. Пусть функция 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
задана
в
некоторой
окрестности
точки 𝑀(𝑥, 𝑦). Запишем полное приращение функции в этой точке
∆𝑧 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦)
Определение 2. Функция 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) называется дифференцируемой в
точке 𝑀(𝑥, 𝑦), если её полное приращение можно представить в виде
∆𝑧 = 𝐴 ∙ ∆𝑥 + 𝐵 ∙ ∆𝑦 + 𝛼 ∙ ∆𝑥 + 𝛽 ∙ ∆𝑦,
(1)
где 𝛼(∆𝑥, ∆𝑦) → 0 и 𝛽(∆𝑥, ∆𝑦) → 0 при ∆𝑥 → 0 и ∆𝑦 → 0.
Определение 3. Главная часть приращения функции, линейная
относительно приращений аргументов ∆𝑥, ∆𝑦, называется полным
дифференциалом этой функции и обозначается символом 𝑑𝑧:
𝑑𝑧 = 𝐴 ∙ ∆𝑥 + 𝐵 ∙ ∆𝑦
Величины 𝑑𝑥 𝑧 = 𝐴 ∙ ∆𝑥 и
𝑑𝑦 𝑧 = 𝐵 ∙ ∆𝑦
дифференциалами функции 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦).
7
называются
частными
Теорема 1. Если функция 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) дифференцируема в точке 𝑀(𝑥, 𝑦),
то она в этой точке непрерывна.
Справедливость этого утверждения следует из формулы (1) для
приращения функции: бесконечно малому приращению аргументов
соответствует бесконечно малое приращение функции.
Теорема 2. (необходимое условие дифференцируемости ) Если функция
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) дифференцируема в точке 𝑀(𝑥, 𝑦), то она в этой точке имеет
частные производные
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 𝐴,
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 𝐵.
Теорема 3. (достаточное условие дифференцируемости) Если функция
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) в некоторой точке 𝑀(𝑥, 𝑦) имеет непрерывные частные
производные , то она дифференцируема в этой точке и для полного
приращения функции имеет место формула
∆𝑧 =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
∙ ∆𝑥 +
𝜕𝑧
𝜕𝑦
∙ ∆𝑦 + 𝛼(∆𝑥, ∆𝑦) ∙ ∆𝑥 + 𝛽(∆𝑥, ∆𝑦) ∙ ∆𝑦
(2)
Соответственно, выражение для полного дифференциала принимает
вид:
𝑑𝑧 =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
∙ ∆𝑥 +
𝜕𝑧
𝜕𝑦
∙ ∆𝑦
(3)
ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА
В ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ
Из определения полного дифференциала следует, что при достаточно
малых приращениях аргументов следует приближённое неравенство
∆𝑧 ≈ 𝑑𝑧(𝑀)
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
Для функции двух переменных
записать в виде
это равенство можно
𝑓(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 + ∆𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑓𝑥′ (𝑥, 𝑦) ∙ ∆𝑥 + 𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) ∙ ∆𝑦
Полученная формула используется для приближённого вычисления
значения функции.
ОБОБЩЕНИЕ НА СЛУЧАЙ ФУНКЦИИ ТРЁХ ПЕРЕМЕННЫХ
Пусть функция 𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) в некоторой точке M (𝑥, 𝑦, 𝑧) имеет
непрерывные частные производные 𝑢𝑥′ , 𝑢𝑦′ , 𝑢𝑧′ . Тогда в этой точке функция
дифференцируема и её полное приращение задаётся формулой:
8
∆𝑢 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 + ∆𝑦, 𝑧 + ∆𝑧) − 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
=
𝑢𝑥′ ∙ ∆𝑥 + 𝑢𝑦′ ∙ ∆𝑦 + 𝑢𝑧′ ∙ ∆𝑧 + 𝛼 ∙ ∆𝑥 + 𝛽 ∙ ∆𝑦 + 𝛾 ∙ ∆𝑧,
где 𝛼, 𝛽, 𝛾 −бесконечно малые величины, которые стремятся к нулю при
∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑧 → 0. Соответственно, полный дифференциал функции трёх
переменных имеет вид:
𝑑𝑢 = 𝑢𝑥′ ∙ ∆𝑥 + 𝑢𝑦′ ∙ ∆𝑦 + 𝑢𝑧′ ∙ ∆𝑧
Величины 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑢𝑥′ ∙ ∆𝑥, 𝑑𝑦 𝑢 = 𝑢𝑦′ ∙ ∆𝑦, 𝑑𝑧 𝑢 = 𝑢𝑧′ ∙ ∆𝑧 называются
частными дифференциалами функции трёх переменных.
IV.4 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
МНОГИХ ПЕРЕМЕННВХ
Пусть задана функция двух переменных 𝑧 = 𝑓(𝑢, 𝑣), причём 𝑢 и 𝑣
являются функциями переменных 𝑥 и 𝑦. Тогда функция
𝑧=
𝑓(𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣(𝑥, 𝑦)) называется сложной функцией 𝑥 и 𝑦, причём 𝑢 и 𝑣
называются промежуточными переменными.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 4. Пусть функции 𝑢(𝑥, 𝑦) и 𝑣(𝑥, 𝑦) дифференцируемы в
некоторой точке (𝑥0 , 𝑦0 ), а функция 𝑧 = 𝑓(𝑢, 𝑣) дифференцируема в
соответствующей точке (𝑢0 , 𝑣0 ), где 𝑢0 = 𝑢(𝑥0 , 𝑦0 ) и 𝑣0 = 𝑣(𝑥0 , 𝑦0 ). Тогда
сложная функция 𝑧 = 𝑓(𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣(𝑥, 𝑦)) дифференцируема в точке
(𝑥0 , 𝑦0 ), причём производные по 𝑥 и 𝑦 вычисляются по формулам:
𝜕𝑧
𝜕𝑥
=
𝜕𝑧
∙
𝜕𝑢
𝜕𝑢 𝜕𝑥
+
𝜕𝑧 𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑣 𝜕𝑥
𝜕𝑦
∙
=
𝜕𝑧
∙
𝜕𝑢
𝜕𝑢 𝜕𝑦
+
𝜕𝑧
∙
𝜕𝑣
𝜕𝑣 𝜕𝑦
Доказательство
Для доказательства дифференцируемости сложной функции 𝑧 =
𝑓(𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣(𝑥, 𝑦)) в некоторой точке достаточно доказать существование у
неё в этой точке частных производных 𝑧𝑥′ и 𝑧𝑦′ . Пусть переменная
𝑥 получает приращение ∆𝑥, а 𝑦 остаётся постоянной. Тогда функции 𝑢 и 𝑣
получат частные приращения ∆𝑥 𝑢 и ∆𝑥 𝑣, а функция 𝑧 − полное приращение
∆𝑧 =
𝜕𝑧
𝜕𝑢
∙ ∆𝑥 𝑢 +
𝜕𝑧
𝜕𝑣
∙ ∆𝑥 𝑣 + 𝛼 ∙ ∆𝑥 𝑢 + 𝛽 ∙ ∆𝑥 𝑣, где 𝛼 и 𝛽 → 0 при ∆𝑢, ∆𝑣 → 0.
Разделим обе части равенства на ∆𝑥 и перейдём к пределу при ∆𝑥 → 0.
Используя свойства пределов, получим
9
∆𝑧 𝜕𝑧
∆𝑥 𝑢 𝜕𝑣
∆𝑥 𝑣
∆𝑥 𝑢
∆𝑥 𝑣
=
∙ lim
+
∙ lim
+ 𝛼 ∙ lim
+ 𝛽 ∙ lim
∆𝑥→0 ∆𝑥
∆𝑥→0 ∆𝑥
∆𝑥→0 ∆𝑥
𝜕𝑢 ∆𝑥→0 ∆𝑥 𝜕𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥
lim
Так как функции 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) и 𝑣 = 𝑣(𝑥, 𝑦) дифференцируемы в точке
(𝑥0 , 𝑦0 ), то они непрерывны в этой точке и следовательно ∆𝑥 𝑢, ∆𝑥 𝑣 → 0 при
∆𝑥 → 0. В этом случае равенство примет вид:
𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑢 𝜕𝑧 𝜕𝑣
=
∙
+
∙
𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑥
Аналогично доказывается справедливость второго равенства.
IV.5
ПОЛНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Пусть задана функция двух переменных 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) , причём 𝑥 и 𝑦
являются функциями одной переменной 𝑡. Тогда сложная функция z=
𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) зависит только от одной переменной . Её производная
𝑑𝑧
𝑑𝑡
называется полной производной и вычисляется по формуле
𝑑𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑥 𝜕𝑧 𝑑𝑦
=
∙
+
∙
𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑦 𝑑𝑡
Рассмотрим частный случай: 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), где 𝑦 = 𝑦(𝑥), т.е. 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥))
Таким образом,
𝑥 является одновременно
и промежуточной, и
независимой переменной. Полная производная функции 𝑧 по 𝑥 в этом
случае имеет вид
𝑑𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑥 𝜕𝑧 𝑑𝑦
=
∙
+
∙
𝑑𝑥 𝜕𝑥 𝑑𝑥 𝜕𝑦 𝑑𝑥
⟹
𝑑𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑦
=
+
∙
𝑑𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑑𝑥
IV. 6 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ
Рассмотрим сначала случай неявно заданной функции одной
переменной. Функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) называется неявной, если она задаётся
уравнением
𝐹(𝑥, 𝑦) = 0, неразрешённым относительно 𝑦.
Найдём
производную функции
𝑑𝑦
𝑑𝑥
. Для этого подставим в уравнение 𝐹(𝑥, 𝑦) =
0 вместо 𝑦 функцию 𝑓(𝑥) и получим тождество 𝐹(𝑥, 𝑓(𝑥)) ≡ 0. Очевидно,
что производная функции, тождественно равной нулю, также равна нулю.
Следовательно:
10
𝑑
𝜕𝐹 𝜕𝐹 𝑑𝑦
𝐹 (𝑥, (𝑓(𝑥))) =
+
∙
=0
𝑑𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝐹𝑥′
= − ′ , (𝐹𝑦′ ≠ 0)
𝑑𝑥
𝐹𝑦
⟹
Неявная функция двух переменных
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
задаётся
уравнением 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0, неразрешённым относительно переменной 𝑧.
Чтобы найти частные производные
𝜕𝑧
𝜕𝑥
и
𝜕𝑧
𝜕𝑦
, подставим в это уравнение
вместо 𝑧 функцию 𝑓(𝑥, 𝑦) и получим тождество 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦)) ≡ 0. Так
как тождественно равная нулю функция имеет равные нулю частные
производные, то получим следующие равенства:
𝜕
𝜕𝐹 𝜕𝐹 𝜕𝑧
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦)) =
+
∙
=0
𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝐹 𝜕𝐹 𝜕𝑧
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦)) =
+
∙
=0
𝜕𝑦
𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑦
Разрешив эти уравнения относительно
𝜕𝑧
𝜕𝑥
и
𝜕𝑧
𝜕𝑦
, получим формулы для
вычисления частных производных
𝐹𝑦′
𝜕𝑧
=− ′
𝜕𝑦
𝐹𝑧
𝜕𝑧
𝐹𝑥′
=− ′
𝜕𝑥
𝐹𝑧
V. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
V.I ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Частные производные
𝜕𝑧
𝜕𝑥
и
𝜕𝑧
функции 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) называются
𝜕𝑦
частными производными первого порядка и также зависят от переменных
(𝑥, 𝑦).
Частные производные от производных первого порядка называются
производными второго порядка и определяются следующим образом
𝜕 𝜕𝑧
𝜕2𝑧
( ) = 2 = 𝑧𝑥′′2 = 𝑓𝑥′′2 (𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕 𝜕𝑧
𝜕2𝑧
′′
′′ (𝑥,
= 𝑧𝑥𝑦
= 𝑓𝑥𝑦
𝑦)
( )=
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕 𝜕𝑧
𝜕2𝑧
′′
′′ (𝑥,
= 𝑧𝑦𝑥
= 𝑓𝑦𝑥
𝑦)
( )=
𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝜕𝑦𝜕𝑥
11
𝜕 𝜕𝑧
𝜕2𝑧
( ) = 2 = 𝑧𝑦′′2 = 𝑓𝑦′′2 (𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦 𝜕𝑦
𝜕𝑦
Аналогично определяются производные третьего, четвёртого порядка и
т.д. Частные производные высших порядков, взятые по различным
переменным, называются смешанными. Для функции двух переменных
′′
′′
смешанными являются частные производные 𝑧𝑥𝑦
и 𝑧𝑦𝑥
.Имеет место
следующая теорема, которую приведём без доказательства.
Теорема 5. Если производные второго порядка непрерывны в некоторой
точке, то смешанные производные равны между собой, т.е. значение
производной в данной точке не зависит от порядка дифференцирования.
′′
′′
Таким образом, 𝑧𝑥𝑦
= 𝑧𝑦𝑥,
V.2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Полный дифференциал функции многих переменных называют также
дифференциалом первого порядка. Для функции двух переменных
дифференциал первого порядка имеет вид
𝑑𝑧 =
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕
𝜕
𝑑𝑥 +
𝑑𝑦 = ( 𝑑𝑥 +
𝑑𝑦) 𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
Здесь вторая формула – это операторная запись первого
дифференциала, где 𝑑𝑥 = ∆𝑥, 𝑑𝑦 = ∆𝑦. Найдём выражение второго
дифференциала через частные производные функции.
𝜕𝑧
𝜕𝑧
∙ 𝑑𝑥 +
∙ 𝑑𝑦)
𝜕𝑥
𝜕𝑦
′
′
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑧
= ( ∙ 𝑑𝑥 +
∙ 𝑑𝑦) ∙ 𝑑𝑥 + ( ∙ 𝑑𝑥 +
∙ 𝑑𝑦) ∙ 𝑑𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝑥
𝑦
𝑑 2 𝑧 = 𝑑(𝑑𝑧) = 𝑑 (
𝜕2𝑧
𝜕2𝑧
𝜕2𝑧
𝜕2𝑧
= ( 2 ∙ 𝑑𝑥 +
∙ 𝑑𝑦) ∙ 𝑑𝑥 + (
∙ 𝑑𝑥 + 2 ∙ 𝑑𝑦) ∙ 𝑑𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦𝜕𝑥
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕𝑦
Отсюда получим
𝜕2𝑧
𝜕2𝑧
𝜕2𝑧
2
𝑑 𝑧 = 2 ∙ 𝑑𝑥 + 2
∙ 𝑑𝑥𝑑𝑦 + 2 ∙ 𝑑𝑦 2
𝜕𝑥
𝑑𝑥𝑑𝑦
𝜕𝑦
2
В операторной форме
𝑑2𝑧 = (
𝜕
𝜕𝑥
∙ 𝑑𝑥 +
𝜕
𝜕𝑦
2
∙ 𝑑𝑦) 𝑧
12
Аналогично можно получить формулу для дифференциала любого порядка
𝑑𝑛 𝑧 = (
𝜕
𝜕𝑥
∙ 𝑑𝑥 +
𝑛
𝜕
𝜕𝑦
∙ 𝑑𝑦) 𝑧
Отметим, что полученные формулы справедливы лишь в том случае,
если 𝑥 и 𝑦 являются независимыми переменными.
Для функции трёх переменных 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) соответственно имеем
𝑑𝑢 =
𝜕𝑢
∙ 𝑑𝑥 +
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑑2𝑢 = (
∙ 𝑑𝑦 +
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑧
∙ 𝑑𝑥 +
𝜕
∙ 𝑑𝑧 = (
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
∙ 𝑑𝑦 +
𝜕
𝜕𝑧
𝑑𝑥 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑑𝑦 +
𝜕
𝜕𝑧
𝑑𝑧) 𝑢
2
∙ 𝑑𝑧) 𝑢.
VI. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Приведём сначала формулу Тейлора для функции одной переменной.
Ранее было показано, что если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) в точке𝑀(𝑥0 ) M имеет
непрерывные производные до n – ого порядка включительно, то для неё
можно записать формулу Тейлора
𝑓 ′ (𝑥0 )
𝑓 ′′
(𝑥 − 𝑥0 ) +
(𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 )2 + ⋯
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) +
1!
2!
(𝑛)
𝑓 (𝑥0 )
(𝑥 − 𝑥0 )𝑛 + 𝑅𝑛 (𝑥).
+
𝑛!
Принимая во внимание, что 𝑥0 − координата точки 𝑀0 , 𝑥 − 𝑥0 =
∆𝑥 и 𝑓 (𝑛) (𝑥0 ) ∙ (∆𝑥)𝑛 = 𝑑 𝑛 𝑓(𝑥0 ), где 𝑛 = 1,2, …, формулу Тейлора можно
переписать через дифференциалы
𝑓(𝑀) = 𝑓(𝑀0 ) +
𝑑𝑓(𝑀0 )
1!
+
𝑑 2 𝑓(𝑀0 )
2!
+⋯+
𝑑 (𝑛) 𝑓(𝑀0 )
𝑛!
+ 𝑅𝑛 (𝑀)
В таком виде формула Тейлора применима к функции любого числа
переменных. Запишем например формулу Тейлора второго порядка для
функции двух переменных 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) в точке (𝑥0 , 𝑦0 ):
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) +
2
1
𝜕2 𝑓(𝑥0 ,𝑦0 )
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕𝑓(𝑥0 ,𝑦0 )
(
1!
𝜕𝑥
∙ ∆𝑥∆𝑦 +
∙ ∆𝑥 +
𝜕𝑓(𝑥0 ,𝑦0 )
𝜕2 𝑓(𝑥0 ,𝑦0 )
𝜕𝑦 2
𝜕𝑦
1
𝜕2 𝑓(𝑥0 ,𝑦0 )
∙ ∆𝑦) + (
2!
𝜕𝑥 2
∙ (∆𝑥)2 +
∙ (∆𝑦)2 ) + 𝑅2 (𝑥, 𝑦)
Аналогично можно записать формулу Тейлора для функции трёх
переменных.
13
VII. ЛОКАЛЬНЫЕ ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫ
Определение 1. Говорят, что функция 𝑧 = 𝑓(𝑀) имеет в точке М0
максимум ( минимум), если существует некоторая окрестность этой точки, в
которой имеет место неравенство𝑓(𝑀) < 𝑓(𝑀0 ) (𝑓(𝑀) > 𝑓(𝑀0 )).
Следовательно, в точке М0 функция имеет максимум, если в некоторой
её окрестности приращение ∆𝑓(𝑀0 ) < 0 и минимум, если ∆𝑓(𝑀0 ) > 0.
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМКМА
Теорема 1. Пусть функция 𝑓(𝑀) дифференцируема в точке 𝑀0 и имеет
в этой точке экстремум. Тогда все частные производные функции в точке
равны нулю.
Доназательство
Проведём доказательство для функции двух переменных 𝑧 =
𝑓(𝑥, 𝑦). Пусть функция дифференцируема в точке (𝑥𝑜 , 𝑦0 ) и имеет в ней
экстремум. Тогда в этой точке имеют экстремумы функции одной
переменной 𝑓(𝑥, 𝑦0 ) и 𝑓(𝑥0 , 𝑦). Следовательно, производные этих функций
𝜕𝑓
𝜕𝑥
и
𝜕𝑓
𝜕𝑦
в точке (𝑥0 , 𝑦0 ) обращаются в ноль. Таким образом, необходимые
условия экстремума функции двух переменных имеют вид:
𝜕𝑓(𝑥0 , 𝑦0 )
= 0,
𝜕𝑥
𝜕𝑓(𝑥0 , 𝑦0 )
=0
𝜕𝑦
или 𝑑𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) = 0.
Точки, в которых частные производные первого порядка функции
обращаются в ноль, называются стационарными.
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
Пусть функция 𝑓(𝑀) имеет в стационарной точке М0 непрерывные
частные производные до второго порядка включительно. Запишем для
функции 𝑓(𝑀) формулу Тейлора второго порядка
𝑑𝑓(𝑀0 ) 𝑑 2 𝑓(𝑀0 )
𝑓(𝑀) = 𝑓(𝑀0 ) +
+
+ 𝑅2
1!
2!
Учитывая, что точка М0 стационарная и значит 𝑑𝑓(𝑀0 ) = 0, получим
𝑑 2 𝑓(𝑀0 )
𝑓(𝑀) − 𝑓(𝑀0 ) = ∆𝑓(𝑀0 ) =
+ 𝑅2
2!
14
Так как остаточный член формулы Тейлора мал по сравнению с
последним членом, то знак приращения функции определяется знаком
второго дифференциала. Таким образом, делаем вывод: в стационарной
точке М0 функция имеет максимум, если 𝑑 2 𝑓(𝑀0 ) < 0 и минимум, если
𝑑 2 𝑓(𝑀0 ) > 0.
Получим
достаточные условия экстремума для функции двух
переменных. Запишем дифференциал второго порядка функции в виде:
𝑑 2 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) = 𝐴 ∙ (∆𝑥)2 + 2𝐵 ∙ ∆𝑥∆𝑦 + 𝐶 ∙ (∆𝑦)2 ,
где введены обозначения
𝜕 2 𝑓(𝑥0 . 𝑦0 )
𝐴=
,
𝜕𝑥 2
𝜕 2 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 )
𝐵=
,
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕 2 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 )
𝐶=
𝜕𝑦 2
Очевидно, дифференциал представляет собой квадратичную форму от
переменных ∆𝑥 и ∆𝑦. Следовательно, функция в точке (𝑥0 , 𝑦0 ) имеет
максимум, если данная квадратичная форма отрицательно определённая и
минимум, если она положительно
определённая.
Установить
положительную или отрицательную определённость квадратичной формы
можно с помощью критерия Сильвестра. Сформулируем этот критерий.
Теорема 2. ( Сильвестра) Квадратичная форма является положительно
определённой, если все угловые миноры её матрицы положительны, и
отрицательно определённой, если знаки угловых миноров чередуются,
начиная со знака минус.
Запишем матрицу полученной квадратичной формы и её угловые
миноры
𝐴
𝐷=(
𝐵
𝐵
),
𝐶
∆1 = 𝐴 ,
∆2 = 𝐴𝐶 − 𝐵2
Таким образом, функция двух переменных в стационарной точке имеет
максимум ,если выполняются условия: 𝐴 < 0 ; 𝐴𝐶 − 𝐵2 > 0 и минимум,
если 𝐴 > 0; 𝐴𝐶 − 𝐵2 > 0.
VIII. УСЛОВНЫЕ ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
Пусть функция 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) определена в некоторой области D.
Поставим задачу: найти экстремумы функции, если переменные 𝑥 и 𝑦 не
15
являются независимыми, а связаны уравнением 𝜑(𝑥, 𝑦) = 0.
экстремумы называются условными.
Такие
Уравнение 𝜑(𝑥, 𝑦) = 0 задаёт неявно функцию 𝑦 = 𝑦(𝑥) , производная
которой находится по формуле
𝜕𝑦
𝜑𝑥′
=− ′
𝜕𝑥
𝜑𝑦
(1)
Отсюда следует, что выполняется условие:
𝑑𝜑 = 𝜑𝑥′ ∙ 𝑑𝑥 + 𝜑𝑦′ ∙ 𝑑𝑦 = 0
(2)
Рассмотрим функцию 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) и подставим в неё 𝑦 = 𝑦(𝑥),
заданную уравнением 𝜑(𝑥, 𝑦) = 0. Получим функцию 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥)),
зависящую от одной переменной. Необходимым условием экстремума
функции одной переменной является равенство нулю её производной. В
данном случае должна обращаться в ноль полная производная функции 𝑧 =
𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥)).
𝑑𝑓
𝑑𝑦
= 𝑓𝑥′ + 𝑓𝑦′ ∙
=0
𝑑𝑥
𝑑𝑥
⟹
𝑑𝑦
𝑓𝑥′
=− ′
𝑑𝑥
𝑓𝑦
(3)
Таким образом, в точке экстремума должны выполнятся оба равенства
(1) и (3), откуда следует, что
𝑓𝑥′ 𝜑𝑥′
=
𝑓𝑦′ 𝜑𝑦′
𝑓𝑦′
𝑓𝑥′
=
= −𝜆
𝜑𝑥′ 𝜑𝑦′
⟺
Здесь введённый коэффициент 𝜆 является константой, так как
𝑓(𝑥, 𝑦) и 𝜑(𝑥, 𝑦) − произвольные функции и поэтому отношения их
частных производных не зависят от координат точки. Таким образом,
необходимые условия экстремума можно записать в виде:
𝑓𝑥′ + 𝜆𝜑𝑥′ = 0, 𝑓𝑦′ + 𝜆𝜑𝑦′ = 0,
𝜑(𝑥, 𝑦) = 0
(4)
Необходимые условия экстремума (4) можно получить другим
способом, который называется методом неопределённых множителей
Лагранжа.
Введём функцию, называемую функцией Лагранжа, которая зависит от
трёх переменных 𝑥, 𝑦 и 𝜆:
𝐿(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝜆𝜑(𝑥, 𝑦)
16
Будем искать локальный
экстремум этой функции.
необходимые условия экстремума:
𝜕𝐿
= 𝑓𝑥′ + 𝜆𝜑𝑥′ = 0,
𝜕𝑥
𝜕𝐿
= 𝑓𝑦′ + 𝜑𝑦′ = 0
𝜕𝑦
Запишем
𝜕𝐿
= 𝜑(𝑥, 𝑦) = 0
𝜕𝜆
(5)
Очевидно, они в точности совпадают с условиями (4). Решая полученную
систему, найдём стационарные точки функции и значения 𝜆, которым эти
точки соответствуют.
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
Заметим, что для точек, удовлетворяющих условию 𝜑(𝑥, 𝑦) = 0, функция
Лагранжа совпадает с исследуемой функцией 𝑓(𝑥, 𝑦), поэтому достаточные
условия экстремума можно записать через второй дифференциал функции
Лагранжа. Необходимо также учесть дополнительное условие (3),
связывающее дифференциалы 𝑑𝑥 и 𝑑𝑦.
Тогда достаточные условия
экстремума можно сформулировать следующим образом. Функция двух
переменных 𝑓(𝑥, 𝑦) имеет в стационарной точке условный максимум, если
в этой точке выполняются соотношения:
𝑑2 𝐿(𝑥, 𝑦) < 0,
𝑑𝜑 = 𝜑𝑥′ ∙ 𝑑𝑥 + 𝜑𝑦′ ∙ 𝑑𝑦 = 0
и условный минимум, если
𝑑 2 𝐿(𝑥, 𝑦) > 0,
𝑑𝜑 = 𝜑𝑥′ ∙ 𝑑𝑥 + 𝜑𝑦′ ∙ 𝑑𝑦 = 0
IX. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ГРАДИЕНТ.
ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ
IX. 1 СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ, ЛИНИИ УРОВНЯ, ГРАДИЕНТ
Определение 1. Говорят, что в некоторой области D задано скалярное
поле, если в этой области задана функция нескольких переменных.
В данном разделе будем рассматривать случаи функций двух и трёх
переменных.
Определение 2. Линиями уровня скалярного поля, заданного функцией
двух переменных 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), называются линии, соединяющие точки, в
которых функция принимает постоянные значения.
Таким образом, уравнения линий уровня имеют вид 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐.
17
В случае функции трёх переменных 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) уравнения 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑐
задают поверхности уровня.
Определение 3. Градиентом скалярного поля называется вектор,
координатами которого являются значения частных производных функции,
задающей поле. Следовательно:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑧 = ∇
⃗𝑧=(
𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢 = ∇
⃗𝑢=(
𝑔𝑟𝑎𝑑
𝜕𝑓 𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
, )=
∙𝑖+
∙𝑗
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢
⃗
, , )=
∙𝑖+
∙ 𝑗̇ +
∙𝑘
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
Сформулируем ( без доказательства ) важное свойство градиента.
Теорема 1. Градиент скалярного поля в каждой точке области
перпендикулярен линии или поверхности уровня поля , проходящей через
эту точку.
IX.2 ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ
Пусть скалярное поле в некоторой области D задано функцией трёх
переменных 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧), дифференцируемой в каждой точке области.
Заметим, что частные производные
𝜕𝑢
𝜕𝑥
,
𝜕𝑢
𝜕𝑦
,
𝜕𝑢
𝜕𝑧
− это скорости изменения
функции в направлении координатных осей.
Поставим задачу: найти скорость изменения функции в точке
𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) в направлении заданного вектора
𝑎 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ).
Напомним, что ортом вектора называется единичный вектор,
сонаправленный заданному. Таким образом, ортом вектора 𝑎 является
𝑎
𝑎2 𝑎3
𝑎
𝑎
вектор 𝑎0 = ( 1 ,
, ) = (cos 𝛼 , cos 𝛽 , cos 𝛾),
𝑎
где 𝑎 = |𝑎| − модуль, а
cos 𝛼 , cos 𝛽 , cos 𝛾
направляющие косинусы вектора 𝑎.
⃗⃗⃗
Сместимся из точки 𝑀0 (, 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) в точку 𝑀(𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0 + ∆𝑦, 𝑧0 + ∆𝑧)
так, чтобы вектор ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀0 𝑀 = ⃗⃗⃗⃗⃗
∆𝑎 = (∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑧) был сонаправлен с вектором 𝑎.
⃗⃗⃗
В этом случае совпадут орты векторов и следовательно
𝑎0 = (
∆𝑥 ∆𝑦 ∆𝑧
,
, ) = (cos 𝛼 , cos 𝛽 , cos 𝛾),
∆𝑎 ∆𝑎 ∆𝑎
∆𝑎 = √(∆𝑥)2 + (∆𝑦)2 + (∆𝑧)2
Запишем формулу полного приращения функции 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) в точке 𝑀0
18
∆𝑢 =
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢
∙ ∆𝑥 +
∙ ∆𝑦 +
∙ ∆𝑧 + 𝛼 ∙ ∆𝑥 + 𝛽 ∙ ∆𝑦 + 𝛾 ∙ ∆𝑧,
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
где 𝛼, 𝛽, 𝛾 → 0 при ∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑧 → 0. Разделим обе части равенства на ∆𝑎 и
перейдём к пределу при ∆𝑎 → 0. Этот предел называется производной
функции 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) по направлению вектора 𝑎 и обозначается символом
𝜕𝑢
𝜕𝑎.
.
Получим
𝜕𝑢
∆𝑢 𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢
= lim
=
∙ cos 𝛼 +
∙ cos 𝛽 +
∙ cos 𝛾
𝜕𝑎 ∆𝑎→0 ∆𝑎 𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
Или , используя скалярное произведение, можно производную по
направлению представить в виде
𝜕𝑢
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢 ∙ 𝑎0 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢 ∙ cos 𝜑,
= 𝑔𝑟𝑎𝑑
𝜕𝑎
где 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢 → модуль градиента функции, а 𝜑 → угол между градиентом и
вектором 𝑎.
⃗⃗⃗ Таким образом, видим, что производная функции по
направлению вектора 𝑎 равна проекции градиента на вектор.
СВОЙСТВА ПРОИЗВОДНОЙ ПО НАПРАВЛЕНИЮ
Свойство 1.
Производная по направлению имеет наибольшее
значение, равное 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢,
если направление вектора совпадает с
направлением градиента, так как в этом случае 𝜑 = 0 и cos 𝜑 = 1.
Свойство 2.
Производная по направлению равна нулю, если
направление вектора перпендикулярно направлению градиента. В этом
𝜋
случае 𝜑 = и cos 𝜑 = 0.
2
X. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ
Рассмотрим поверхность, заданную уравнением 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0
Определение 1. Точка 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) называется обыкновенной точкой
поверхности, если производные 𝐹𝑥′ , 𝐹𝑦′ , 𝐹𝑧′ функции 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) в этой точке
существуют и не равны нулю одновременно.
Определение 2. Точка 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧)
называется особой точкой
поверхности, если хотя бы одна из производных 𝐹𝑥′ , 𝐹𝑦′ , 𝐹𝑧′ функции
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) не существует или все три обращаются в ноль одновременно.
19
Определение 3. Касательной прямой к поверхности в некоторой точке
𝑀0 называется
касательная к кривой, лежащей на поверхности и
проходящей через эту точку.
Так как кривых, лежащих на поверхности и проходящих через точку 𝑀0,
бесконечно много, то и касательных к поверхности в точке 𝑀0 также
бесконечно много. Имеет место следующая теорема:
Теорема 1, Все касательные к поверхности в её обыкновенной точке
лежат в одной плоскости, которая называется касательной плоскостью.
УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ
И НОРМАЛИ К ПОВЕРХНОСТИ
Пусть уравнение 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 задаёт некоторую поверхность 𝑆 и
𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) → обыкновенная точка этой поверхности. Рассмотрим
скалярное поле 𝑢 = 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧). Поверхности уровня данного поля задаются
уравнением 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐶,
где С → произвольная постоянная.
Следовательно, поверхность 𝑆 является поверхностью уровня этого поля
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹(𝑀0 ) перпендикулярен поверхности
при 𝐶 = 0 . Отсюда следует, что 𝑔𝑟𝑎𝑑
𝑆, т.е. является нормалью касательной плоскости, проведённой к
поверхности 𝑆 в точке 𝑀0 . Поэтому уравнение касательной плоскости имеет
вид:
𝐹𝑥′ (𝑀0 ) ∙ (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝐹𝑦′ (𝑀0 ) ∙ (𝑦 − 𝑦0 ) + 𝐹𝑧′ (𝑀0 ) ∙ (𝑧 − 𝑧0 ) = 0
Определение 4. Нормалью к поверхности в точке 𝑀0 называется
прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная касательной
плоскости к поверхности в точке 𝑀0.
Из данного определения следует, что направляющим вектором
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹(𝑀0 ).
нормали является нормаль к касательной плоскости, т.е. вектор 𝑔𝑟𝑎𝑑
Следовательно, канонические уравнения нормали к поверхности имеют вид:
𝑥 − 𝑥0
𝑦 − 𝑦0
𝑧 − 𝑧0
=
=
𝐹𝑥′ (𝑀0 ) 𝐹𝑦′ (𝑀0 ) 𝐹𝑧′ (𝑀0 )
Получим уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
для явного задания 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) в точке 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ), где 𝑧0 = 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ).
Запишем уравнение поверхности в неявном виде:
𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝑧 = 0
⇒ 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝑧
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹(𝑀0 ) = (𝑓𝑥′ (𝑥0 , 𝑦0 ), 𝑓𝑦′ (𝑥0 , 𝑦0 ); −1)
𝑔𝑟𝑎𝑑
20
Уравнения касательной плоскости и нормали в этом случае примут вид:
𝑧 − 𝑧0 = 𝑓𝑥′ (𝑥0 , 𝑦0 ) ∙ (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑓𝑦′ (𝑥0 , 𝑦9 ) ∙ (𝑦 − 𝑦0 )
𝑥 − 𝑥0
𝑦 − 𝑦0
𝑧 − 𝑧0
=
=
𝑓𝑥′ (𝑥0 , 𝑦0 ) 𝑓𝑦′ (𝑥0 , 𝑦0 )
−1
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА
ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Пусть задана функция двух переменных 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) и точка 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ),
где 𝑧0 = 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ). Найдём дифференциал функции в точке 𝑀0 :
𝑑𝑧 = 𝑓𝑥′ (𝑥0 , 𝑦0 ) ∙ ∆𝑥 + 𝑓𝑦′ (𝑥0 , 𝑦0 ) ∙ ∆𝑦,
∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0, ∆𝑦 = 𝑦 − 𝑦0
Сравнивая выражение для дифференциала с уравнением касательной
плоcкости к поверхности, заданной функцией 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) в точке 𝑀0 , делаем
вывод: дифференциал функции двух переменных в точке (𝑥0 , 𝑦0 ) равен
приращению аппликаты касательной плоскости
∆𝑧 = 𝑧 − 𝑧0 в точке
(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ).
РЕКОМЕНДУКМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления, ч. II.
2. Д.Т. Письменный. Конспект лекций по высшей математике, ч. I.
→
21
22
23