Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Олимпиада школьников «Шаг в будущее»

Московский государственный технический университет
имени Н.Э.Баумана
Олимпиада школьников «Шаг в будущее»
XVII физико-математическая олимпиада для учащихся 8-10 классов
МАТЕМАТИКА
1 тур (заочный)
2013-2014 учебный год
8 класс
Задача 1. Сравнить числа
291563  1 291564  1
и
.
291564  1 291565  1
(15 баллов)
Задача 2. Сумма положительных чисел a  b  c  1580 . Вычислите значение суммы
1
1
1
с
b
a
, если




 76 .
ас аb cb
аb ac bc
(15 баллов)
Задача 3. В школе 400 учащихся ежедневно покупают завтрак, стоимость которого
30 рублей. Если столовая поднимет цену на завтрак, то повышение на каждые 5
рублей приведет к тому, что 10 школьников начнут носить завтрак из дома. Если,
однако, цена станет выше 100 рублей, то никто из учащихся не будет завтракать в
столовой. Когда цена была поднята, столовая получила за день на 3200 рублей
больше, чем обычно. Сколько школьников перестали покупать завтрак в столовой?
(15 баллов)
Задача 4. Решите в целых числах уравнение 𝑥 3 + 𝑦 − 2013 = 𝑦𝑥 2 + 𝑥 .
(15 баллов)
Задача 5. Известно, что прямая l проходит через точку c координатами (2;1) и
1
1
площадь треугольника, ограниченного на плоскости прямой l, прямой y  x  и
3
3
осью OX равна 4. Найдите уравнение прямой l.
(20 баллов)
Задача 6. На сторонах АВ и СВ произвольного треугольника ABC построили произвольные параллелограммы ABQG и CBEF так, что прямые GQ и EF пересекаются
в точке Х. Докажите, что сумма площадей этих параллелограммов равна площади
параллелограмма, одна сторона которого совпадает с отрезком АС, а другая параллельна и равна отрезку ВХ.
(20 баллов)
Московский государственный технический университет
имени Н.Э.Баумана
Олимпиада школьников «Шаг в будущее»
XVII физико-математическая олимпиада для учащихся 8-10 классов
МАТЕМАТИКА
1 тур (заочный)
2013-2014 учебный год
9 класс
Задача 1.Вычислите без помощи калькулятора
2007  2009  2011 2013  16 .
(15 баллов)
Задача 2.Остаток от деления числа а на 6 и 7 равен 2 и 3, соответственно. Найдите
остаток от деления числа а на 42.
(15 баллов)
Задача 3. Из пункта по одному шоссе выезжают одновременно 2 автомобиля, а через час вслед за ними выезжает третий. Еще через час расстояние между третьим и
первым автомобилем уменьшилось в два раза, а между третьим и вторым - в три
раза. Во сколько раз скорость первого автомобиля больше скорости второго? (Известно, что третий автомобиль не обогнал первых двух.)
(15 баллов)
Задача 4. В треугольник, две из трёх сторон которого равны 9 и 15, вписан параллелограмм так, что одна из его сторон, равная 6, лежит на третьей стороне треугольника, а диагонали параллелограмма параллельны двум данным сторонам треугольника. Найдите другую сторону параллелограмма и третью сторону треугольника.
(15 баллов)
Задача 5. Известно, что прямая l проходит через точку с координатами (2;1) , и
1
1
площадь треугольника, ограниченного прямой l, прямой y  x  и осью OX равна
3
3
4. Найдите уравнение прямой l.
(20 баллов)
Задача 6. Действительные числа х, у, а таковы, что x  y  a  1 и xy  a2  7a  16 .
При каком значении параметра а сумма x 2  y 2 принимает наибольшее значение?
(20 баллов)
Московский государственный технический университет
имени Н.Э.Баумана
Олимпиада школьников «Шаг в будущее»
XVII физико-математическая олимпиада для учащихся 8-10 классов
МАТЕМАТИКА
1 тур (заочный)
2013-2014 учебный год
10 класс
Задача 1. Вычислите без помощи калькулятора
2007  2009  2011 2013  16
(15 баллов)
Задача 2. Действительные числа х, у, а таковы, что x  y  a  1 и xy  a2  7a  16 .
При каком значении параметра а сумма x 2  y 2 принимает наибольшее значение?
(15 баллов)
Задача 3. Даны четыре отрезка с длинами a, b, c, d . При помощи циркуля и
линейки постройте отрезок длины
ab  cd .
(15 баллов)
Задача 4. Найдите наименьшее значение выражения
p2  1 
q  p
2
1 
r  q
2
1 
s  r
2
1 
12  s 
2
1
(15 баллов)
Задача 5. Пусть x и y удовлетворяют системе неравенств
2 x  y  12,

 x  10  2 y  12,

2
5 x  y  35  0.
1
Какие значения может принимать выражение 2
?
x  y2
(20 баллов)
Задача 6. Докажите, что любую треугольную призму с достаточно большой высотой можно пересечь плоскостью так, чтобы в сечении её боковой поверхности получился равносторонний треугольник.
(20 баллов)