МОСКОВСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО И КОМПЬЮТЕРНОГО

МОСКОВСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ
КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО И КОМПЬЮТЕРНОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ
Ю.А. Повещенко
профессор, доктор физ.-мат. наук
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
для выполнения заданий
по математическому анализу за I семестр
студентом I курса заочного отделения
факультета экономики и управления
Ф.И.О
Курс, группа
Москва 2006
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РАБОТЕ С
ТЕТРАДЬЮ
Рабочая тетрадь предназначена для подготовки студентов
заочного отделения к сдаче недифференцированного зачета по итогу
занятий в I семестре по математическому анализу.
Для подготовки к зачету необходимо выполнить 30 заданий из
приведенных ниже 18 теоретических и 80 практических заданий.
Заполненная
тетрадь
предъявляется
на
зачете
студентом
преподавателю. Умение решать предъявленные задания является
необходимым минимумом для успешной сдачи зачета.
ВОПРОСЫ
1. Предел функции. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих
предел.
2. Первый и второй замечтельный пределы.
3. Предел числовой последовательности. Свойства сходящихся
последовательностей.
4. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Сравнение бесконечно
малых.
5. Применение эквивалентных бесконечно малых при нахождении пределов.
6. Непрерывность в точке, на интервале, на отрезке. Свойства функций
непрерывных на отрезке.
7. Классификация точек разрыва.
8. Производная, ее геометрический смысл.
9. Дифференциал функии. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью
функции.
10. Логарифмическая производная, ее применение.
11. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.
12. Формулы Тейлора и Маклорена. Оценка остаточного члена.
13. Разложения по формуле Маклорена для основных элементарных функций.
14. Исследование функций на монотонность и экстремумы.
15. Исследование функции на выпулость, вогнутость, точки перегиба.
16. Вертикальные и наклонные асимптоты к графику функции, их нахождение.
17. Функции двух переменных: предел, непрерывность, частные производные,
полный дифференциал.
18. Нахождение экстремума функции двух переменных.
ЗАДАЧИ
1. Утверждение lim f ( x)  5 означает, что 
x2

такое, что
________________________________________________
x 2 ln(1  x )
.
x 2
x2  2
Вычислить предел lim
2.
А)
0
В) 2ln3
C) 3ln2
2
D) 4ln3
Вычислить предел lim
3.
x2 1
x 1 x 3  1
.
A)
0
B) ½
C) -⅔
D) 2
4.
Перечислить свойства сходящихся последовательностей:
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
2n 3  n  1
.
n  3  2 n 4
Вычислить предел lim
5.
0
B) ⅔
C) -1
D) ∞
6.
Первый замечательный предел:
_______________________________________________________________
A)
arctg 4 x
.
x 0 sin 2 x
Вычислить предел lim
7.
A)
0
B) 2
C) -½
D) ∞
8.
Функция f ( x) непрерывна в точке x = а означает, что
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
9.
Сформулировать свойства функций, непрерывных на отрезке:
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
При каких значениях a функция
10.
ax  1, x  1
y 2
непрерывна во всей
 x , x 1
области определения?
(D)
A)
0
B) 1
C) -1
D) 2
11.
Точки разрыва функции бывают следующих типов:
1)___________________________________________________________________
________________________________________________________________________
2)___________________________________________________________________
________________________________________________________________________
3)___________________________________________________________________
________________________________________________________________________
 5  3x 
Вычислить предел lim 

x   1  3 x 
12.
4 x 5
(С)
.
1
B) 0
C) e 16 3
D) e 4 3
13.
Cформулировать определение производной функции.
________________________________________________
A)
3
Какая связь существует между непрерывностью и дифференцируемостью
функции (привести примеры).
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________
15.
Найти производные функций:
14.
cos x
y
,
1  2 sin x
16.
17.
18.
19.
20.
2
y
3
1  ln x 
3
1  e x
y  tg
,
1  ex
,
y  3x 
1 ln 3 x
.
Найти производную функции, заданной неявно:
log 2 x  y   x 2  y 2 .
Найти производную функции, заданной параметрически:
 y  a 2t
.

x

ctg
ln
t

Вычислить приближенное значение arctg 1.02 .
Сформулировать правило Лопиталя.
Найти асимптоты графика функции y 
2 x 2  3x  1
.
x2
21. Определение одностороннего предела функции в точке.
arctg x
.
x 3 x 2  2
x2 1
lim
23. Вычислить предел
.
x 1 x 2  5 x  4
22. Вычислить предел lim
24. Предел числовой последовательности.
2n 5  n 2  5
25. Вычислить предел lim 5
.
n 3n  2n 4  2
26. Второй замечательный предел.
2
2x 1
27. Вычислить предел lim
.
x 0 1  cos x
28. Бесконечно малые и бесконечно большие величины.
29. Свойства непрерывных функций.
ln( x 2  1), x  2
30. При каких значениях a функция y  
непрерывна во
2
a

x
,
x

2

всей области определения?
 5  3x 
31. Вычислить предел lim 

x   1  3 x 
4 x 5
.
32. Геометрический смысл производной.
33. Понятие дифференциала функции.
34. Найти производные функций:
35. y  ctg 3 1  x 2 ,
x
y  ex
y  23 ,
2
 ln x
36. Найти производную функции, заданной неявно:
4

1
,
x
y  ln x 
cos x
.
y  cosx  y  .
37. Найти производную функции, заданной параметрически:
 y  e 2 t
.

 x  e 3t
3
38. Вычислить приближенное значение 9 .
39. Исследование функции на монотонность и экстремумы.
x3  x  5
40. Найти асимптоты графика функции y 
.
x2  4
41.Найдите область определения функции y  x  5 .
42.Четной или нечетной является функция y 
x2
?
1 x4
43.Укажите множество значений функции y  sin x .
44.Какие последовательности называются бесконечно малыми величинами?
x 2  3x  2
100 x
45.Вычислите пределы: 1) lim
; 2) lim
.
2
x 1
x  1  x 2
x 1
46.Какие из перечисленных функций имеют разрыв:
1
x
4
а) y  x 2 (1  x 3 ) ; б) y 
; в) y  e ?
1 x
47.Дайте определение производной функции.
48.Напишите правило вычисления производной произведения двух функций.
49.Вычислите производные функций:
cos x
а) y  3 x  2 ; б) y  2 ; в) y  (1  2 x) 3 .
x
50.Найдите дифференциал функции: y  arctg x .
51.Дайте определение функции, возрастающей на интервале (a; b) .
52.Назовите достаточное условие возрастания функции.
53.Найдите точки экстремума и экстремумы функции y  x e  x .
54.Дайте определение линии, выпуклой на интервале (a; b) .
55.Найдите промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции
y  ln( 1  x 2 ) .
sin x  x
56.Найдите предел функции, используя правило Лопиталя: lim
.
x 0 tg x  x
2
57.Найдите производную неявно заданной функции: x 3  cos y  x  y  0 .
58.Найдите y x , если x  at 3 , y  bt 4 .
59.Найдите наклонную асимптоту функции y 
3x 2  1
.
x
60. Найдите стационарные точки функции u( x, y)  3x 2  2 y  xy .
1
61.Найдите область определения функции y 
.
3 x
62.Четной или нечетной является функция y  2 x 3  x ?
5
63.Укажите множество значений функции y  tg x .
64.Какие последовательности называются бесконечно большими величинами?
x 2  5x  4
x 2  3x  2
65.Вычислите пределы: 1) lim
; 2) lim
.
x 1
x 2 x 2  1
x 1
66.Какие из перечисленных функций имеют разрыв:
1
1
x
2 1 ?
; б) y  2 x (1  x ) ; в) y 
x2 1
67.Сформулируйте геометрический смысл производной функции в точке x0 .
68.Напишите правило вычисления производной частного двух функций.
69.Вычислите производные функций:
1
а) y  2  3 2 ; б) y  x 2 lg x ; в) y  (5  3x) 4 .
x
70.Найдите дифференциал функции: y  sin x .
71.Дайте определение функции, убывающей на интервале (a; b) .
72.Назовите достаточное условие убывания функции.
73.Найдите точки экстремума и экстремумы функции y  x 2 e  x .
74.Дайте определение линии, вогнутой на интервале (a; b) .
75.Найдите промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции
y  2x 2  x 4 .
а) y 
3
2
76.Найдите предел функции, используя правило Лопиталя: lim
x3
x e x
.
77.Найдите производную неявно заданной функции: y 2  xy  x  0 .
78.Найдите y x , если x  ln t , y  t 2  1 .
1  4x 2
79.Найдите наклонную асимптоту функции y 
.
2x
80. Найдите стационарные точки функции u( x, y)  4 x  2 xy  9 y 2 .
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Ю.Н. Карамзин, Е.В. Шильников. Краткий курс высшей математики для
экономических специальностей в четырех частях. Часть вторая: Дифференциальное
исчисление. Учеб. пособие. М: Изд-во МГСА, 2005.
2. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш. Кремера.  М.: ЮНИТИ,
2000.
3. Общий курс высшей математики для экономистов. Под ред. В.И. Ермакова.  М.:
ИНФРА-М, 1999.
6