z - alenn.ru

Комплексные - задачи

1. Докажите, что для любого натурального n из условия a  b 2

рациональные числа следует, что a  b 2
2. а) Докажите, что если
x1  1  2

n

n
 p  q 2 , где a, b, p, q –
 pq 2 .
– корень многочлена
P( x)
с рациональными
коэффициентами, то x2  1  2 также является корнем этого уравнения.
б) Докажите, что если x1  1  2 – корень многочлена P ( x ) с целыми коэффициентами, то
P ( x ) делится на x 2  2 x  1 .

3. Докажите, что ни для каких натуральных чисел k и n равенство 5  3 2
может выполняться.

4. Найдите десятый знак после запятой в десятичной записи числа 6  35

  3  5 2 
k
2013
n
не
.
5. а) Найдите формулу, корней n –ой степени из комплексного числа z  r (cos( )  i sin( )) .
б) Докажите, что корни уравнения wn  z при любом z располагаются в вершинах
правильного n–угольника
2 k
2 k
 i sin
(0  k  n)
Корни степени из 1 принято обозначать  k , то есть  k  cos
n
n
6. Вычислите все корни 3  1 . Нарисуйте их на комплексной плоскости. Какую фигуру будут
образовывать 4  1 ; 6  1 ? Аналогичный вопрос для 4 1 ; 6 1 .
7. Найдите все значения выражений а)
4
1 ; б)
8
i 3 1 .
8. Докажите следующие свойства корней из 1
а) wk  w0ek , то есть для получения всех корней из комплексного числа необходимо
взять какой-то корень и постепенно умножать его на все корни из 1;
б)  k  1k , то есть всякий корень из1 является степенью первого корня.


в) корни k и n  k взаимно сопряжены
г) сумма всех корней степени из 1 равна 0 (докажите это и алгебраическим и
геометрическим способом).
9. Решите уравнение x 6  x5  x 4  x3  x 2  x  1  0
10. Вычислите сумму трех чисел, изображенных точками z1=0, z2=–1+2i, z3=2+i.
11. Какое множество комплексной плоскости задается условием:
a. |z–2| = |z+4i|
b.
 z  a z  a  r 2 ;
c.
arg
z  z1
 0;
z  z2
d. z  z  iz  i z
12. Выразить с помощью формулы Муавра cos через cos и sin.
13. Какие множества на плоскости описываются условиями
а) | z | z ;б) |z+1|<1;в)

 arg( z  i ) 

.
6
3
14. Решить уравнение z 3   z
15. Найдите а) произведение, б) сумму квадратов всех корней из 1
16. Докажите, что если сумма трех комплексных чисел равна 0, и они равны по модулю, то
точки, соответствующие им, являются вершинами правильного треугольника.
17. Найдите сумму cos( )  cos(2 )  ...  cos(n ) .
18. Какое комплексное число изображает четвертая вершина параллелограмма, у которого
тремя вершинами являются точки z1=0, z2=–1+2i, z3=2+i?
19. Критерий коллинеарности трех точек. Докажите, что три точки z 2 , z1 , z 0 лежат на
одной прямой тогда и только тогда, когда
z2  z0 z2  z0

.
z1  z 0 z1  z 0
20. Какое преобразование плоскости определяет функция
a. f(z) = z+m (m – заданное комплексное число);
b. f(z) = tz (t – заданное действительное число);
c. f(z) = mz (m – заданное комплексное число);
2
2
 i sin
d. f(z) = a(z–m)+m, где a  cos
, m = 3–i;
3
3
21. Докажите, что C pk делится на p при k  0, p .
22. а) Докажите, что C pk 2 делится на p при k  0, p 2 .
23. б) Докажите, что C pk 2 делится на p 2 при k  0, p, 2 p,...,( p 1) p, p 2 .
24. Докажите, что если a  b p , то a p  b p p 2 .
25. а) На какую максимальную степень пятерки делится 615  1
26. б) На сколько нулей заканчивается 11100  1 ?
27. в) На сколько нулей заканчивается 4  6 ?.
28. Все ли понимают, что формула для решения уравнения x2+px+q=0 в комплексных числах
остается такой же?
29. Решите уравнение x3-37x-84=0.
30. Где расположены числа вида (1-i)z-3+i, если z  3i  2 ?
56
54
31. Решите уравнение z  2  2iz .
32. Докажите, что для любого натурального функция cos  может быть представлена в виде
многочлена с целыми коэффициентами от cos.
33. Докажите, что cos 310 – иррациональное число.
34. Указать на плоскости множество точек, для которых сумма квадратов расстояний до
вершин заданного правильного многоугольника равна d.
35. Разложить на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами
многочлен x-1.
36. Натуральное число k является делителем натурального числа тогда и только тогда, когда
корень степени k из 1 является корнем степени из 1.
3
37. Решить уравнение z   z

0
38. Решить систему  z 5  w
11
3
7
z  w  1
39. a) Докажите, что число Cnk нечетно тогда и только тогда, когда числа n, k удовлетворяют
условию: если в каком-то разряде двоичной записи числа k стоит 1, то в том же разряде
двоичной записи числа n также стоит 1.
б) А как обобщить предыдущий пункт и получить критерий того, что Cnk делится на p?
40. Докажите, что количество чисел k = 0,1,2,…,, для которых число Cnk нечетно, есть степень
двойки.
Все это – следствие теории групп
1. Одна из вершин правильного n–угольника, вписанного в окружность с центром O, покрашена в
красный цвет. Его поворачивают на угол . После n таких поворотов оказалось, что красная точка
побывала во всех вершинах многоугольника и вернулась в исходное положение. а) Найдите все
возможные значения  если n = 7; б) Найдите все возможные значения  если n = 10; в) Сколько таких
значений  найдется для произвольного n?
2. Докажите, что по p – простое, то любой корень степени p из 1 является первообразным.
3. Сколько корней -й степени из 1 являются первообразными?
Определение Корень  i имеет порядок d если d – наименьшее натуральное число такое, что  i d  1
4. а) Сколько корней уравнения x d  1  0 есть среди чисел  1 ,  2 , …,  n ?
б) Для каких d есть хотя бы один элемент порядка d среди чисел  1 ,  2 , …,  n ?
в) Сколько элементов порядка d есть среди чисел  1 ,  2 , …,  n ?
Мир остатков.
Определение Число g называется первообразным корнем по модулю m, если все a   m являются
различными степенями g. (Более правильно говорить что первообразным корнем является не число, а
его остаток, вычет)

Определение При НОД(a,m)=1 существуют положительные d такие, что ad ≡ 1 (mod m), (например, по
теореме Эйлера  (m) ) Наименьшее из них называется порядком числа a (Обычно еще говорят, что x
принадлежит показателю d)
5. Если число a имеет порядок d, то числа a0,a1,…,ad-1 по модулю m дают разные остатки.
6. Если число а имеет порядок d, то  (m) делится на d.
7. Докажите, что если существует вычет а имеющий порядок d по модулю m, то сравнению хd≡1(mod m)
удовлетворяют по крайней мере d элементов Z *p .(Рассмотрите все степени а).
Далее мы некоторое время будем заниматься случаем простого модуля. Основная цель – понять есть
ли вообще первообразный корень.
8. Пусть Р(х) – многочлен степени , со старшим коэффициентом равным 1. Докажите, что при простом р
сравнению Р(х) ≡0(mod p) удовлетворяет не более, чем различных остатков (классов вычетов).
(Указание – воспользуйтесь теоремой Безу для остатков)
Вопрос на понимание как раскладывается на простые множители с многочлен x p 1  1 (как многочлен с
коэффициентами в остатках по модулю p).
9. Докажите, что если существует вычет а имеющий порядок d по модулю p, то все решения сравнения
хd≡1 (mod p) являются степенями a.
*
10. Докажите, что порядок d имеет не более φ(d) элементов Z p .
*
11. Пусть р – простое число , а d – делитель числа р–1 Тогда ровно φ(d) элементов Z p имеет порядок d.
Следствие Для каждого простого р существует φ(р –1) первообразных корней.
12. Найдите все первообразные корни в модулю а) по модулю 7 б) по модулю 13
13. Докажите, что для любого простого р первые (р-1) натуральных чисел можно расставить по кругу так,
чтобы для любых трех подряд идущих чисел a, b, c разность b2 – ac делилась на р.
14. Докажите, что существует первообразный корень по модулю 2p.
Еще задачи.
15. Пусть x имеет порядок a, а y имеет порядок b. Докажите, что если НОД(a,b)=1, то xy имеет порядок ab.
16. а) Пусть a целое, a>1. Докажите, что простые нечетные делители ap-1 или делят a-1 или имеют вид
px+1.
б) Докажите, что простых чисел вида px  1 бесконечно много.
17. Найдите а) произведение всех вычетов по модулю p б)сумму их k-х степеней.
6
5
4
3
2
18. Решите сравнение x  x  x  x  x  x  1  0(mod 101) .
ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Будем обозначать точки плоскости большими LATINSKIMI буквами, а комплексные числа –
маленькими соответствующими latinskimi буквами.
Факты
1. Деление отрезка. Cередина отрезка с концами в точках A и B выражается как (a+b)/2. Если
1
𝜆
точка Z делит отрезок AB так, что AZ:ZB = , то 𝑧 = 𝜆+1 𝑎 + 𝜆+1 𝑏.
2. Параллелограмм. ABCD является параллелограммом тогда и только тогда, когда a+c= b+d.
1
3. Условие того, что точка Z лежит на единичной окружности. 𝑧̅ = 𝑧.
4. Условие коллинеарности. Три точки A, B, C лежат на одной прямой тогда и только тогда,
bc bc

когда
.
ac ac
4. Условие того, что четыре точки лежат на одной окружности. Четыре точки A, B, C, D лежат
на одной окружности, если они не лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда
bc bc

.
ac ac
Задачи.
1.
2.
3.
4.
5.