Вариант задания.

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана
Кафедра «Теоретические основы электротехники»
Курсовой проект по дисциплине
«Теоретические основы электротехники»
Тема: Анализ установившихся и переходных процессов
в линейных электрических цепях
Вариант № 18а
студента группы ИУ6-41
Платонова Вадима.
Руководитель:
______________ (Судаков В. Ф.)
Москва
2004
ОГЛАВЛЕНИЕ.
Техническое задание. ..................................................................................................................3
Вариант задания. .........................................................................................................................6
1.
Расчет источника гармонических колебаний ..............................................................7
1.1.
Определение всех токов, показаний вольтметра и амперметра электромагнитной системы. .......... 7
1.2.
Расчет баланса мощностей. ................................................................................................................... 10
1.3.
Мгновенные значения тока и напряжения первичной обмотки трансформатора Т1 и их волновая
диаграмма. .............................................................................................................................................................. 10
1.4.
Расчет ИГК методом эквивалентного источника относительно первичной обмотки
трансформатора. .................................................................................................................................................... 12
1.5.
Определение индуктивностей и взаимных индуктивностей. ............................................................. 13
2.
Расчет четырехполюсника.............................................................................................14
2.1.
Расчет токов и напряжений методом входного сопротивления, построение векторной диаграммы
токов и напряжений............................................................................................................................................... 14
2.2.
Определение мгновенных значений uвх, iвх и uвых, фазового сдвига между входным и выходным
напряжением, а также отношения их действующих значений.......................................................................... 15
2.3.
Определение реактивного сопротивления, которое необходимо подключить к выходным
зажимам четырехполюсника, чтобы uвх и iвх совпадали по фазе. ...................................................................... 16
2.4.
Определение передаточных функций. .................................................................................................. 17
2.5.
Амплитудно- и фазочастотные характеристики, определение uвых при заданном uвх. ................. 18
2.6.
Построение годографа. .......................................................................................................................... 19
3.
Расчет установившихся значений напряжений и токов в электрических цепях
при несинусоидальном воздействии. .....................................................................................20
3.1.
Расчет iвх(t ) и uвых(t) частотным методом, представив входное напряжение u4 (t ) в виде ряда
Фурье. 20
3.2.
Построение графиков напряжения и тока. ........................................................................................... 21
3.3.
Определение действующих значений несинусоидальных токов, активной мощности, реактивной
мощности, коэффициента формы кривых. .......................................................................................................... 21
3.4.
Эквивалентные синусоиды. ................................................................................................................... 22
4.
Расчет переходных процессов классическим методом. ...........................................24
4.1.
Переходная и импульсная характеристика для входного тока и выходного напряжения. .............. 24
4.2.
Расчет входного тока и выходного напряжения. ................................................................................. 26
4.2.1
На интервале t [0..T]. ......................................................................................................................... 26
4.2.2
С использованием ЭВМ на интервале t [0..nT]. .............................................................................. 28
4.3.
Расчёт напряжения на выходе и входного тока в квазиустановившемся режиме на интервале
t  [4T ;5T ] методом «припасовывания». ......................................................................................................... 30
Список использованной литературы: ...................................................................................33
2
Техническое задание.
1. Расчет источника гармонических колебаний (ИГК).
1.1. Определить все токи, показания вольтметра и амперметра электромагнитной
системы.
1.2. Составить и рассчитать баланс мощностей.
1.3. Записать мгновенные значения тока и напряжения первичной обмотки
трансформатора ТР и построить их волновую диаграмму.
1.4. Представить исходную схему ИГК относительно первичной обмотки
трансформатора эквивалентным источником (напряжения или тока).
Определить его параметры и значение тока в первичной обмотке
трансформатора. Сравнить значение тока со значением, полученным в п.1.1.
1.5. Определить значения M28, M29, L8, L9 ТР из условия, что индуктивность
первичной обмотки L2 известна, U1=5В, U2=10В, а коэффициент магнитной
связи обмоток k следует выбрать самостоятельно из указанного диапазона:
0,5<k<0,95.
2. Расчет четырехполюсника.
2.1. Рассчитать токи и напряжения методом входного сопротивления (или
входной проводимости), построить векторную диаграмму токов и
напряжений.
2.2. Записать мгновенные значения u1=u3=uвх, iвх и uвых, определить сдвиг по фазе
между выходным и входным напряжениями, а также отношение их
действующих значений.
2.3. Определить, какое реактивное сопротивление нужно подключить к выходным
зажимам четырехполюсника, чтобы uвх и iвх совпадали по фазе. Если при
заданных значениях элементов схемы не удается получить требуемый
результат (это должно быть теоретически обосновано), то для его
достижения следует подключить реактивное сопротивление к входным
зажимам параллельно четырехполюснику. В обоих случаях при этом
необходимо определить входное сопротивление (проводимость), входной ток
и добротность колебательного контура. Сравнить полученные результаты с
полученными в п. 2.1.
2.4. Определить передаточные функции W(s)=Uвых(s)/Uвх(s), W(j)=Uвых/Uвх.
3
2.5. Определить и построить амплитудно- и фазочастотные характеристики.
Используя частотные характеристики, определить uвых при заданном uвх.
Сравнить этот результат с полученным в п. 2.2.
2.6. Построить годограф – линию семейства точек комплексной передаточной
функции при разных частотах в диапазоне частот от 0 до  на комплексной
плоскости.
3. Расчет установившихся значений напряжений и токов в
электрических цепях при несинусоидальном воздействии.
Переключатель Кл перевести в положение 2 (см. рис. 2) в момент времени, когда
входное напряжение u3(t)=0, du3/dt>0, т.е. в момент начала положительного
импульса напряжения u4(t). Это условие будет выполнено при равенстве
аргумента входного напряжения (t+u3)=2k, где k=0, 1, 2, 3, …
3.1. Рассчитать законы изменения тока iвх(t) и напряжения uвых(t) частотным
методом, представив напряжение uвх(t)=u4(t) в виде ряда Фурье до 5-й
5
гармоники: u’вх(t)=  (4Um/k)sin kt, где k – целое нечетное число.
1
3.2. Построить графики uвх(t), u~вх (t ) , iвх(t), uвых(t) в одном масштабе времени один
под другим, где u~вх (t ) , iвх(t) и uвых(t) – суммарные мгновенные значения.
3.3. Определить действующие значения несинусоидальных токов и напряжений
из расчетов п. 3.1, полную (кажущуюся) мощность, а также активную
мощность, потребляемую четырехполюсником, реактивную мощность,
коэффициенты формы кривых u~ (t ) , iвх(t), uвых(t).
вх
3.4. Заменить несинусоидальные кривые uвх(t), iвх(t) эквивалентными
синусоидальными.
4. Расчет переходных процессов классическим методом.
4.1. Определить и построить переходную и импульсную характеристики цепи для
входного тока и выходного напряжения. Показать связь этих характеристик с
передаточными функциями, с АЧХ.
4.2. Рассчитать и построить графики изменения тока iвх и напряжения uвых
четырехполюсника при подключении его к клеммам с напряжением u4(t) в
4
момент времени t=(2k - u3)/ с учетом запаса энергии в элементах цепи от
предыдущего режима:
4.3. на интервале t [0+, T], где T – период изменения напряжения u4;
4.4. с использованием ЭВМ на интервале t [0+, nT], где n – количество периодов,
при котором наступает квазиустановившийся режим. Построить uвых, iвх в
интервале t [nT, (n+1)T]. Сравнить графики uвых(t), iвх(t) с соответствующими в
п.3.2., сделать выводы.
4.5. Рассчитать и построить графики напряжения на выходе uвых(t) и на емкостях,
а также токи на входе iвх(t) и в индуктивностях в квазиустановившемся
режиме на интервале t [nT, (n+1)T] методом припасовывания. Сравнить
результаты с полученными в п. 3.1 и п.4.2.б.
5
Вариант задания.
ИГК:
E 3  100  300  j
J 5  2  sin(10 3  t  90)
E 6  100  2  sin10 3  t
L1  400 мГн
Четырехполюсник:
R 1  20 Ом
R 2  28 Ом
R 3  2 Ом
L  50 мГн
C1  10/3 мкФ
C 2  10 мкФ
R 3  0 Ом
L 3  200 мГн
C 3  2 мкФ
R 4  R 5  100 Ом
R 6  50 Ом
L 6  50 Ом
6
1. Расчет источника гармонических колебаний
1.1. Определение всех токов, показаний вольтметра и амперметра
электромагнитной системы.
Исходная схема источника гармонических колебаний (ИГК) и данные к курсовой
работе.
Рис 1. Схема ИГК.
ИГК:
E 3  100  300  j
J 5  2  sin(10 3  t  90)
E 6  100  2  sin10 3  t
L1  400 мГн
C1  10/3 мкФ
C 2  10 мкФ
R 3  0 Ом
L 3  200 мГн
C 3  2 мкФ
R 4  R 5  100 Ом
R 6  50 Ом
L 6  50 мГн
7
Перевод исходных данных в комплексную форму:
E 3  100  300  j
J   j
5
E 6  100
Z1  jwL 1  j
Z2   j
1
 100j
wC 1
1
 100j
wC 2
Z 3  R 3  jwL 3  j
1
 300j
wC 3
Z 4  R 4  100
Z 5  R5  100
Z 6  R6  jwL6  50  50 j
Соответствующая эквивалентная схема:
Рис 2. Эквивалентная комплексная схема.
8
Расчет токов методом контурных токов:
 I 22  J 5

 I11 ( Z1  Z 3  Z 6 )  I 22 Z 6  I 33 ( Z 6  Z 3 )  E6  E3
I (Z  Z )  I (Z  Z )  I (Z  Z  Z  Z )  E  E
3
22
2
6
33
2
3
4
6
6
3
 11 6
 I 22   j

(50  150 j ) I11  (50  250 j ) I 33  150  250 j
(50  250 j ) I  (150  350 j ) I  250  250 j
11
33

 I 22   j

150  250 j  (50  250 j ) I 33

 I11 
50  150 j

(15000  15000 j ) I 33  30000
 I 22   j

 I11   j
I  1  j
 33
Расчет токов в ветвях схемы:
I1  I11   j
I2  I33  I22  1
I  I  I  1
3
11
33
I4  I33  1  j
I5  I22   j
I6  I11  I22  I33  1  j
Амперметр включенный в ветвь с J 5 показывает действующие значение тока
I5 : A  I 5  0  1  1 А .
Для определения показания вольтметра рассчитаем комплексное действующее
 :
значение напряжения U
dp
  I Z  I Z  I Z  E
U
dp
5 5
2 2
6 6
6
  E  I Z  I Z  I Z
U
dp
6
2 2
5 5
6 6
  100  100j  100j  (1  j)(50  50j)  200j
U
dp
  200 В
Вольтметр измерят действующее значение: U v  U
dp
9
1.2. Расчет баланса мощностей.
Полная
комплексная
мощность
источников
комплексной мощности потребителей:
*
*
должна
быть
равна
полной
 S   S ;
и
п
*
 E k  I k  U k  J k   I k2  Z k ; где
E k  I k
-
произведение
комплексного
напряжения на источнике ЭДС на комплексно сопряженный ток этого источника,
*
U k  J k
- произведение комплексного напряжения на источнике тока на
комплексно сопряженный ток этого источника,
I k2  Z k
- произведение квадрата
действующего значения тока k-го пассивного элемента на его активное
сопротивление.
S
S
u
 E 3 I3*  E 6 I6*  J5*U dp  ( 100  300 j)  100( 1  j)  j  200 j  400  200 j Вт
п
 I12 Z1  I 22 Z 2  I 32 Z3  I 42 Z 4  I 52 Z5  I 62 Z 6  1  ( 100 j )  1  (  100 j)  1  (  300 j) 
 2  100  100  2  ( 50  50 j)  400  200 j Вт
Расчет баланса мощностей сходится, значит токи определены верно.
1.3. Мгновенные значения тока и напряжения первичной обмотки
трансформатора Т1 и их волновая диаграмма.
Рассчитаем мгновенные значения тока и напряжения на индуктивности L 6 :
I 6 m  2  (1  j )  2e  j 45
0
i6 (t )  2  sin( 103 t  45o )
U L6 m  2 I 6 Z L6  2 (1  j )  50 j  100e j 45
o
u L6 (t )  100  sin( 103 t  45o )
10
2
A
1
i( t )
0
0.005
0.01
0.015
0.02
1
2
t
c
Рис 3. Волновая диаграмма тока на катушке
L6 .
100
B
50
u( t )
0
0.005
0.01
0.015
50
100
t
c
Рис 4. Волновая диаграмма напряжения на катушке
L6 .
11
1.4. Расчет ИГК методом эквивалентного источника относительно
первичной обмотки трансформатора.
Схема для определения напряжения холостого хода:
Рис 5. Схема для определения
U xx .
Для определения токов воспользуемся методом контурных токов:

 I11  J 5
 


 I11Z 4  I 22 ( Z1  Z 2  Z 4 )  0

 I11   j




 100 I11  100 I 22  0

 I11   j


 I 22   j
I1   I22  j
I3   I11  j
Для определения напряжения запишем ЗКН:
U xx  I3 Z 3  I1 Z 1  E 3  E 6
U xx  j  (300 j )  j  (100 j )  100  300 j  100
U  300 j
xx
Теперь определим входное сопротивление:
12
Рис 6. Схема для определения
Zвх .
Тогда для Z в х получаем:
Z вх 
(Z 4  Z 2 )Z1
 Z 3  R6
Z 4  Z 2  Z1
Z вх 
(100  100 j )  100 j
 300 j  50  150  200 j
100  100 j  100 j
Зная U xx и Z в х , можно определить ток на индуктивности L 6 :
I6 
U xx
Z вх  Z L6
I6 
 300 j
 1 j
150  200 j  50 j
Итак, полученное значении тока I6  1  j полностью совпадает со значением,
полученным в пункте 1.1.
1.5. Определение индуктивностей и взаимных индуктивностей.
U1 = 5 В U2 = 10 В k = 0,5
Расчет взаимных индуктивностей и индуктивностей катушек:
U1
5
 3
 2.5  2 мГн
wI 6 10  2
U
 2  5  2 мГн
wI 6
M 68 
M 69
k 68 
M 68
k 69 
M 69
L6 L8
L6 L9
L8 
Пусть k=0.5, тогда:
2
M 68
 10( 3) Гн
2
k68 L6
2
M 69
L9  2  4  10( 3) Гн
k69 L6
13
2. Расчет четырехполюсника.
2.1. Расчет токов и напряжений методом входного сопротивления,
построение векторной диаграммы токов и напряжений.
R 1  20 Ом
Рис 7. Схема четырехполюсника.
R 2  28 Ом
R 3  2 Ом
L  50 мГн
Определим входное сопротивление четырехполюсника:
Z вх  R1 
R1 ( R2  jwL  R3 )
R1  R2  jwL  R3
Z вх  20 
20(30  j  10 3  50  10 ( 3) )
 36  4 j
50  j  10 3  50  10 ( 3)
Определим входное напряжение и ток ( U 1 и I 1 ):
o
U 1  jwM 68 I6  j  10 3  2.5  2  10 ( 3)  (1  j )  2.5  2  2.5  2 j  5e j 45  5 2 sin( 10 3 t  45 o )
o
U
2.5 2  2.5 2 j
I1  1 
 0.1  0.086 j  0.13e j 40  0.13 2 sin( 10 3 t  40 o )
Z вх
36  4 j
Найдем токи и напряжения:
o
I1 Z 3
(0.1  0.086 j )  (2  28  50 j )

 0.0628  0.0888 j  0.1e j 54.7
Z2  Z3
20  2  28  50 j
o
I Z
(0.1  0.086 j )  20
I3  1 2 
 0.0372  0.0028 j  0.037e  j 4.3
Z 2  Z 3 20  2  28  50 j
I2 
o
U ed  I1 R1  2.6e j 40
o
U da  I2 R1  2e j 54.7
o
U dc  I3 R3  0.074e  j 4.3
o
U ba  I3 R2  1.036e  j 4.3
o
U cb  I3 jwL  1.85e j 85.7
o
U 2  U dc  U cb  I3 ( R3  jwL)  1.87e j 83.4
14
Векторные диаграммы токов и напряжений выглядят следующим образом:
I3
I2
I1
Рис 8. Векторная диаграмма токов.
b
a
d
c
e
Рис 9. Векторная диаграмма напряжений.
2.2. Определение мгновенных значений uвх, iвх и uвых, фазового сдвига
между входным и выходным напряжением, а также отношения их
действующих значений.
Мгновенные значения:
U в х  5e j 45  5 2 sin( 10 3 t  45 o )
o
I 1  0.13e j 40  0.13 2 sin( 10 3 t  40 o )
o
U в ых  1.87e j 83.4  1.87 2 sin( 10 3 t  83.4 o )
o
Фазовый сдвиг и отношение действующих значений входного и выходного
напряжения:
   вых   вх  83.4o  450  38.4o
U вых 1.87

 0.374
U вх
5
15
2.3. Определение реактивного сопротивления, которое необходимо
подключить к выходным зажимам четырехполюсника, чтобы uвх и
iвх совпадали по фазе.
Для получения резонанса подключим к выходным клеммам реактивную нагрузку:
Рис 10. Четырехполюсник с дополнительной реактивной нагрузкой.
Входное сопротивление в этом случае будет иметь вид:
( R3  jwL)  jX
 R2 ]  R1
R3  jwL  jX
Z вх  R1 
( R3  jwL)  jX
 R2  R1
R3  jwL  jX
[
(2  50 j )  jX
 28]  20
2  50 j  jX
Z вх  20 
 20 
(2  50 j )  jX
 28  20
2  50 j  jX
[
[30 X 2  2800 X  70112  j (50 X 2  2504 X )]  [50 X 2  4800 X  120192  j (50 X 2  2504 X )]

 20
(50 X 2  4800 X  120192) 2  (50 X 2  2504 X ) 2
Условием
резонанса
является
равенство
нулю
мнимой
части
входного
сопротивления:
(50 X 2  2504 X )(50 X 2  4800 X  120192  30 X 2  2800 X  70112)  0
 X (50 X  2504)  0

2
20 X  2000 X  50080  0
D  16  0

X  0
 X  50.08

Значит, для того чтобы входной ток и напряжение совпали по фазе можно просто
закоротить выходные клеммы (шунтировать индуктивность) или подсоединить к
выходным клеммам емкость C1 , реактивное сопротивление которой равно 50 Ом:
16
X c  50.08
 C1 
1
1

 20 мкФ
X c  w 50.08  10 3
Тогда:
Z вх (С1 )  39.7 Ом
j 45o

o
I  U вх  5e
 0.126e j 45
вх
Z вх
39.7
Определим добротность, в данном случае в схеме происходит резонанс токов, так
как реактивные элементы соединены параллельно, тогда:
Q
Ic
U

wC
 c m  c  o 1  wo C1 Rвх
I вх GвхU m Gвх 1 / Rвх
Q  1000  20  10 6  39.7  0.794
 c - характеристическая проводимость.
2.4. Определение передаточных функций.
U вх ( s )  I 1 ( s ) R1  I 3 ( R3  SL  R2 )
I3 
U вых
R3  SL
I1 
R1  R3  SL  R2
I3
R1
U вх ( s ) 
W ( s) 
U вых ( R1  2 R3  2 SL  2 R2 )
R3  SL
U вых
R3  SL
0.05S  2


U вх
R1  2 R3  2 SL  2 R2
0.1S  80
W ( jw) 
0.05 jw  2 160  0.005w 2
3.8w


j
0.1 jw  80 0.01w 2  6400
0.01w 2  6400
17
2.5. Амплитудно- и фазочастотные характеристики, определение uвых
при заданном uвх.
W ( jw) 
160  0.005w 2
3.8w
j
2
0.01w  6400
0.01w 2  6400
АЧХ: W ( w) 
(160  0.005w 2 ) 2  (3.8w) 2
0.01w 2  6400
3.8w
ФЧХ:  ( w)  arctg (
)
160  0,005w 2
0.5
0.4
0.3
W(  )
0.2
0.1
0
500
1000
1500
2000
2500
3000

Рис 11. АЧХ.
1.2
1
0.8
(  ) 0.6
0.4
0.2
0
500
1000
1500

2000
2500
3000
Рис 12. ФЧХ.
Определим Uвых:
o
o
o
U вых  U вх  W (1000)  e j (1000)  5e j 45  0.39  e j 36  1.87e j 81
Полученное значение выходного напряжения совпадает с найденным в п. 2.2.
18
2.6. Построение годографа.
АЧХ: W ( w) 
(160  0.005w 2 ) 2  (3.8w) 2
0.01w 2  6400
3.8w
ФЧХ:  ( w)  arctg (
)
160  0,005w 2
90
120
60
150
30
W(  )
180
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4
210
330
240
300
270
(  )
Рис 13. Годограф.
19
3. Расчет установившихся значений напряжений и токов
в электрических цепях при несинусоидальном
воздействии.
3.1. Расчет iвх(t ) и uвых(t) частотным методом, представив входное
напряжение u4 (t ) в виде ряда Фурье.
Входное напряжение задано формулой (ряд Фурье):
5
4U
u~в х (t )   ( m ) sin( kt ), где k – целое нечетное число.
k
1
Входное воздействие можно записать в виде:
40
40
40
u~вх (t ) 
sin( 1000t ) 
sin( 3000t ) 
sin( 5000t ) 

3
5
 12.73 sin( 1000t )  4.24 sin( 3000t )  2.55 sin( 5000t ) ( B)
Рассчитаем выходное напряжение частотным методом:
40
8
 0.48 sin( 3000t  14 o )   0.49 sin( 5000t  8.6 o ) 

3

o
o
o
 5 sin( 1000t  36 )  2 sin( 3000t  14 )  1.25 sin( 5000t  8.6 )
U вых 
40
 0.39 sin( 1000t  36 o ) 
Определим входное сопротивление:
Z вх 
( R3  jwL  R2 ) R1
(30  0.05 jw)20
 R1 
 20
R3  jwL  R2  R1
50  0.05 jw
Z вх (1000)  36  4 j
Z вх (3000)  39.2  2.4 j
Z вх (5000)  39.7  1.54 j
Рассчитаем входной ток:
Iвх 
U вх
Z вх ( jw)
Iвх  (0.25  0.03 j )  (0.07  0.0046 j )  (0.045  0.0017 j ) 
 0.25e  j 6.3  0.078e  j 3.5  0.045e  j 2.2
o
o
o
iвх (t )  0.35 sin( 100t  6.3 o )  0.11sin( 3000t  3.5 o )  0.064 sin( 5000t  2.2 o )
Итак:
u~ (t )  12.73 sin( 1000t )  4.24 sin( 3000t )  2.55 sin( 5000t )
вх
iвх (t )  0.35 sin( 100t  6.3o )  0.11sin( 3000t  3.5 o )  0.064 sin( 5000t  2.2 o )
u вых (t )  5 sin( 1000t  36 o )  2 sin( 3000t  14 o )  1.25 sin( 5000t  8.6 o )
20
3.2. Построение графиков напряжения и тока.
15
7.5
Uвх( t )
Uвых( t )
0.005
0
0.01
0.015
0.02
7.5
15
t
Рис 14. Графики входного и выходного напряжений.
0.4
0.2
Iвх( t )
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.2
0.4
t
Рис 15. График входного тока.
3.3. Определение действующих значений несинусоидальных токов,
активной мощности, реактивной мощности, коэффициента формы
кривых.
Действующие значения сигналов:
U вх.д 
(40 /  ) 2 (40 / 3 ) 2 (8 /  ) 2


 9.66
2
2
2
I вх.д 
0.35 2 0.112 0.06 2


 0.26
2
2
2
U вых.д 
5 2 2 2 1.25 2


 3.9
2
2
2
21
Активная мощность:
P
U
k 1, 3, 5

(k )
вх
I вх( k ) cos  k 
12.73 0.35
4.24 0.11
2.55 0.064

 cos 6.30 

 cos 3.5 0 

 cos 2.2 0  2.5 ( Вт )
2
2
2
2
2
2
Полная мощность: S  U вхI вх  9.66  0.26  2.5 (ва)
Реактивная мощность:
Q
U
k 1, 3, 5

I вх sin  k 
(k ) (k )
вх
12.73 0.35
4.24 0.11
2.55 0.064

 sin 6.30 

 sin 3.50 

 sin 2.20  0.26 (вар)
2
2
2
2
2
2
Рассчитаем коэффициенты формы кривых:
T
K ф (u~вх ) 
1
  [u~вх (t )] 2 dt
T 0
T 2
1 40 1 40 2 1 8 2
( ) ( )  ( )
2 
2 3
2 
 1.55
1 40 1 40 1 8


   3  

2
  u~вх (t )dt
T 0
T
K ф (u вых ) 
1
  [u вых (t )] 2 dt
T 0
T 2
2
 u вых (t )dt
T 0
1 2 1 2 1
5  2  1.25 2
2
2
2

 0.85
o
o
2 cos 36
2 cos 14
2 cos 8.6 o
5
2
1.25



T
K ф (iвх ) 
1
 [iвх (t )] 2 dt
T 0
T 2
2
 iвх (t )dt
T 0
1
1
1
0.35 2  0.112  0.064 2
2
2
2

 0.79
o
o
2 cos 6.3
2 cos 3.5
2 cos 2.2 o
0.35 
0.11 
0.064



3.4. Эквивалентные синусоиды.
Определим коэффициент мощности:

P
2.5

 0.995
U вх I вх 9.66  0.26
arccos   arccos( 0.995)  6 0
Тогда соответствующие эквивалентные синусоиды будут иметь вид:
u~вх.экв . (t )  9.66 2 sin( 10 3 t ) ( B)
iвх.экв . (t )  0.26 2 sin( 10 3 t  6 0 ) ( A)
22
0.4
0.2
iвх( t )
iвхэкв ( t )
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.2
0.4
t
Рис 16. Графики несинусоидального входного тока и его эквивалентной синусоиды.
15
7.5
uвх( t )
uвхэкв ( t )
0
0.005
0.01
0.015
0.02
7.5
15
t
Рис 17. Графики несинусоидального входного напряжения и его эквивалентной синусоиды.
23
4. Расчет переходных процессов классическим методом.
4.1. Переходная и импульсная характеристика для входного тока и
выходного напряжения.
Рис 18. Схема четырехполюсника.
Применим метод входного переходного сопротивления. Характеристическое
уравнение при заданных параметрах элементов схемы:
Z в х ( p )  R1 
( R3  R2  pL) R1
0
R3  R2  pL  R1
p  800
Решение будет иметь вид: i L (t )  Ae 800t  iLввы
Найдем начальные и вынуждения значения тока на катушке:
iL (0 )  0 ( A)
iLввы 
R1
R1
U1 (t )
i1 (t ) 
R2  R3  R1
R2  R3  R1 ( R3  R2 ) R1  R
1
R3  R2  R1
iLввы 
1
( A)
80
Определим постоянную A из начальных условий:
1
1
0 A
80
80
1

80
iL (0 )  A  iLв в ы  A 
 iL (t )  
1 800t
e
80
24
Тогда согласно законам Кирхгофа:
u 2 (t )  i L (t ) R3  L
di L (t ) 19 800t 1

e

В
dt
40
40
i1 (t )  i L (t )  i2 (t )  i L (t ) 

i L (t )  ( R3  R2 )  L
R1
di L (t )
dt   1 e 800t  1  1 e 800t  3 
80
80 160
160
1 800t
5
e

А
160
160
Определим переходные и импульсные характеристики схемы:
i1 (t )
1 800t
5

e

1(t )
160
160
u (t ) 19 800t 1
hu (t )  2 
e

1(t )
40
40
1
См
k i (t )   (t )  5e 800t (
)
40
с
1
1
k u (t )   (t )  380e 800t ( )
2
с
hi (t ) 
(Cм)
0.06
0.08
0.05
0.06
0.04
hi( t ) 0.03
ki( t ) 0.04
0.02
0.02
0.01
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0
0.005
0.01
t
0.015
0.02
t
Рис 19. Переходная и импульсная характеристики для тока.
0.6
100
0.5
0
0.005
0.01
0.015
0.4
100
hu( t ) 0.3
ku( t )
200
0.2
300
0.1
0
0.01
t
0.02
400
t
Рис 20. Переходная и импульсная характеристики для напряжения.
25
Покажем связь между переходной и передаточной функциями:
0.05S  2
 380e 800t
0.1S  80
19
1
L[ e 800t  ]
L[hu (t )]
1
0.5s  20
40  S  19 ( 1 
 40
)
 380e 800t
1S
1S
40 19S 800  S
800  s
W ( s) 
Полученные значения совпадают.
L[
L[hi (t )]

1S
1 800t
5
e

]
1
25  0.025s
160
160  S  1 ( 5 
)
 5e 800t
1S
160 S 800  S
800  s
Полученное значение должно совпадать с
1
. Покажем это:
Zв х (S )
(30  0.05S )
1000  600  S
800  S
20 

50  0.05S
50  0.05S
25  0.025S
1
25  0.025S

 5e 800t
Z вх
800  S
Z вх  20 
Действительно, значения совпадают.
Покажем связь импульсной характеристики с АЧХ:
1
 380
20  0.5S
2  0.5S
W ( S )  L[k u (t )]  L[  (t )  380e 800t ]  0.5 


2
800  S
800  S
80  0.1S
Данное выражение совпадает с выражением для W(S), полученным в п. 2.4.
4.2. Расчет входного тока и выходного напряжения.
4.2.1 На интервале t [0..T].
 u  45 0
3
2 

4  7

4
3
T  6.28  10
(c )
После коммутации на схему подаются прямоугольные импульсы с амплитудой
t0 
10В.
Для интервала [0  ;
T
] uв х  10 В
2
Из п. 2.1. известно мгновенное значение тока в индуктивности:
i L (t )  0.037 sin( 1000t  4.3o ) ( A)
Определим значение тока в индуктивности в момент коммутации:
26
i L (0  )  0.037 sin(
7
 4.30 )  0.028 ( A)
4
Ищем решение в виде: i L (t )  Ae pt  i Lвв ы
Из предыдущего расчета нам известно:
p  800
U
1
iLввы  вх  А
80 8
Определим постоянную A из начальных условий:
i L (0  )  0.028  A 
1
8
А  0.153
Тогда:
i L (t )  0.153e 800t 
1
8
Для определения uвых и iвх воспользуемся законами Кирхгофа:
di L
1
 5.814e 800t 
dt
4
di
( R3  R2 )i L  L L
dt  i  0.0765e 800t  5
iв х 
L
R1
16
u вых  i L R3  L
T
Аналогично для интервала [ ; T ] , учитывая, что знак входного напряжения
2
меняется и, следовательно, меняется знак вынужденного тока.
По закону
коммутации:
T
T
)  i L ( )  0.113 А
2
2
U
1
i Lв в ы  в х   A
80
8
iL (
Определим постоянную A из начальных условий:
T
1
)  A   0.113
2
8
A  0.238
iL (
 i L (t )  0.238e
T
800( t  )
2

1
8
Для определения uвых и iвх воспользуемся законами Кирхгофа:
27
u вых  9.044e
iвх  0.119e
T
800( t  )
2
T
800( t  )
2

1
4
5
16

6
3
0
( t  0.00314)U1( t )
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
( t  0.00314)U2( t )
3
6
9
t
Рис 21. График выходного напряжения для первого периода.
0.4
0.2
( t  0.00314)i1( t )
( t  0.00314)i2( t )
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.2
0.4
tt
Рис 22. Графики входного тока для первого периода.
4.2.2 С использованием ЭВМ на интервале t [0..nT].
Для моделирования процессов, протекающих в ветвях цепи, будем использовать
программу Electronics Workbench v5.12.
28
На рис. 23 показана схема для получения требуемых графиков.
Рис 23. Схема для моделирования в WorkBench.
На рис. 24 и рис. 25 показаны полученные при моделировании графики входного
тока и выходного напряжения соответственно.
Рис 24. График входного тока.
Рис 25. График выходного напряжения.
Внешний
вид
полученных
графиков
напоминает
внешний
вид
графиков,
полученных в п.3.2. Различия проявляются из-за того, что при раскладывании в
ряд Фурье функции входного напряжения мы использовали только три гармоники.
29
4.3. Расчёт напряжения на выходе и входного тока в
квазиустановившемся режиме на интервале t  [4T ;5T ] методом
«припасовывания».
Составим систему уравнений по законам Ома и Кирхгофа:
iвх (t )  i1 (t )  i2 (t )

u вх (t )  i2 (t ) R1  iвх (t ) R1
Вычтем из уравнения для t = 0+ уравнение для t = T- и получим разности токов и
напряжений, характеризующие их изменения:
iв х (0  )  iв х (T )  i2 (0  )  i2 (T )
(i1  0)

2u в х  R1 (i2 (0  )  i2 (T ))  R1 (iв х (0  )  iв х (T ))
iв х1  i21
u
 iв х1  в х

R1
2u в х  R1 iв х1  R1 i21
Найдем таким же образом изменения токов и напряжений на границе второй
коммутации t = T/2, учитывая, что i1  0 :
T
T
T
 T
i
(
)

i
(
)

i
(
)

i
(
)
вх
вх
2
2
 2 
2
2
2

2u  R (i ( T )  i ( T ))  R (i ( T )  i ( T ))
1 2
2
1 вх
вх
 вх
2
2
2
2
iвх2  i22
u
 iвх2   вх

R1
 2u вх  R2 iвх2  R3 i22
1
Ток i1(t) на интервале [4T+;4.5T-] ищем в виде: i1 (t )  A1e 800t  ,
8
а на интервале [4.5T+;5T-] – в виде: i1 (t )  A2 e
T
 500( t  )
2

1
8
Тогда:
1
1

 400T

0  A1  8  A2 e
i11  0
 A  0.231
8

 1

i12  0 0  A e  400T  1  A  1
 A2  0.231
1
2

8
8
На интервале [4T+;4.5T-]: i1 (t )  0.231e 800t 
На интервале [4.5T+;5T-]: i1 (t )  0.231e 800t 
1
8
1
8
Определим ток iвх(t) :
30
На интервале [4T+;4.5T-]: iв х (t )  0.1155e 800t 
На интервале [4.5T+;5T-]: iв х (t )  0.1155e
T
800( t  )
2
5
16

( A)
5
16
( A)
Определим uвых(t):
На интервале [4T+;4.5T-]: u в ых (t )  8.778e 800t 
На интервале [4.5T+;5T-]: u вых (t )  8.778e
1
4
T
800( t  )
2
( B)
1
4

( B)
Итак, найденные выражения для uвых(t) и iвх(t) полностью совпали с аналогичными
выражениями, полученными в п. 4.2.
Графики изображены на рисунке:
9
6
3
( t  0.00314)uвых1( t )
( t  0.00314)uвых2( t )
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
3
6
9
t
Рис 26. График выходного напряжения.
31
1
0.5
( t  0.00314)iвх1( t )
( t  0.00314)iвх2( t )
( t  0.00314)iL1( t )
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
( t  0.00314)iL2( t )
0.5
1
t
Рис 27. Графики входного тока и тока на катушке.
32
Список использованной литературы:
1. Бычков Ю.А. Основы теории электрических цепей: Учебник для
вузов. -М.: «Лань», 2002.
2. Стрелков Б.В., Шерстняков Ю.Г. Анализ установившихся и
переходных режимов в линейных электрических цепях. - М.: Изд-во МГТУ,
2001.
33