Теория вероятностей - Учебно

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тюменский государственный университет»
Кафедра физики, математики и методик преподавания
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
____________________ ФИО
«___» __________ 2014 г.
Учебно-методический комплекс дисциплины
«Теория вероятностей»
Код и направление подготовки
050100 Профессиональное обучение
Профили подготовки
Информатика и вычислительная техника
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
заочная
Тобольск
2014
ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ УМК
(сайт для загрузки УМК umk.utmn.ru)
Рег. номер:
_____________________________________________________________________
Дисциплина:
Теория вероятностей________________________
Учебный план:
050100 Профессиональное
вычислительная техника
Автор:
Кушнир Таисья Ивановна_________________________________________________
обучение
Профиль
Информатика
и
ФИО полностью
Кафедра:
физики, математики и методик преподавания
ФИО
СОГЛАСОВАНО:
дата
подпись
Председатель УМК (4)
Вертянкина Н.В.
_____________
____________________
Зам. начальника УМО (3)
Яркова Н.Н.
_____________
____________________
Зав. библиотекой (2)
Осипова Л.Н.
_____________
____________________
Зав. кафедрой (1)
Шебанова Л.П.
_____________
____________________
Исполнитель (ответственное лицо)
Кушнир Таисья Ивановна, доцент кафедры физики,
математики и методик преподавания
ФИО (полностью), должность, конт. телефон
_____________
_______
дата
подпись
2
Содержание
Рабочая программа дисциплины …………………………………...…………….................. 3
Руководство по организации обучения дисциплине ………………………………………13
Приложения ………………………………………………………………………………..….. 16
Приложение 1. Лекционные материалы …………………………………………………..…..16
Приложение 2. Практические занятия …………………………………………………….….19
2.1. Планы практических занятий ………………………………………………………….…..19
2.2. Методические указания к практическим занятиям ………………………………….….. 22
Приложение 3. Самостоятельная работа студентов ………………………………….….…... 23
3.1. Задания для самостоятельной работы ……………………………………………………. 23
3.2. Методические указания к выполнению самостоятельной работы ………………………26
Приложение 4. Контролирующие и оценочно-диагностические материалы по дисциплине 27
4.1. Технологическая карта …………………………………………………………………..... 27
4.2. Тестовые задания для текущего контроля знаний по дисциплине ……………………. 28
4.3. Тестовые задания для итогового контроля знаний по дисциплине …………………….28
4.4. Вопросы к зачету ………………………………………………………………................... 30
Приложение 5. Глоссарий ………………………………………………………………..…..... 31
3
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тюменский государственный университет»
Кафедра физики, математики и методик преподавания
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
____________________ ФИО
«___» __________ 2014 г.
Рабочая программа дисциплины
«Теория вероятностей»
Код и направление подготовки
050100 Профессиональное обучение
Профили подготовки
Информатика и вычислительная техника
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная
Тобольск
2014
4
Рабочая программа дисциплины «Теория вероятностей» /сост. канд. пед. наук,
доцент Т.И. Кушнир – Тобольск: 2014.
Рабочая программа предназначена для преподавания дисциплины базовой части
профессионального цикла дисциплин направления студентам очной формы обучения по
направлению подготовки Код и направление подготовки 050100 Профессиональное
обучение Профиль Информатика и вычислительная техника
.
Составитель ____________________ Т.И. Кушнир
(подпись)
 Кушнир Т.И., 2014

5
Содержание
1
2
3
4
4.1
4.2
5
6
7
7.1
7.2
7.3
8
9
Стр
Цели и задачи освоения дисциплины……………………………………………
4
Место дисциплины в структуре ООП ВПО.......……………………………..........
4
Требования к результатам освоения содержания дисциплины.............................
5
Содержание и структура дисциплины ……….......………………………….........
7
Структура дисциплины..........................................................................
7
Содержание разделов дисциплины.........................................................................
8
Образовательные технологии...................................................................................
10
Самостоятельная работа студентов……………………………………………….. 12
Компетентностно-ориентированные оценочные средства………………………
14
Оценочные средства диагностирующего контроля……………………………… 14
Оценочные средства текущего контроля: модульно-рейтинговая технология 14
оценивания работы студентов……………………………………………………..
Оценочные средства промежуточной аттестации ..………………………..........
17
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины………….
21
Материально-техническое обеспечение дисциплины…………………………… 23
6
1. Цели и задачи освоения дисциплины
Цели освоения дисциплины (модуля): формирование систематизированных знаний
в области стохастического анализа, его месте и роли в системе математических наук,
использование в естественных науках, в школьном курсе математики.
Задачи: развивать математическое мышление обучающихся, познакомить с
современными направлениями развития теории вероятностей, случайных процессов и
математической статистики; научить применять методы теории вероятностей, случайных
процессов и математической статистики для решения задач в различных сферах.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Теория вероятностей» относится к базовой части профессионального
цикла дисциплин направления. Она характеризуется содержательными связями с
дисциплиной «Математический анализ». Изучение стохастического анализа следует за
изучением математического анализа.
Для изучения стохастического анализа необходимы знания из некоторых разделов
геометрии и математического анализа, например: «Введение в математический анализ»,
«Теория пределов», «Теория функции нескольких переменных», «Дифференциальное
исчисление для функции одной и нескольких переменных», «Интегральное исчисление
для функции одной и нескольких переменных», «Ряды», «Аналитическая геометрия».
Обучающийся должен знать основные элементарные функции и их свойства, понятия
производной, неопределенного и определенного интегралов, геометрические фигуры на
плоскости, тела в пространстве, должен уметь дифференцировать, интегрировать
функции, исследовать функции с помощью производной, находить сумму числового ряда,
разлагать функцию в степенной ряд, уметь находить площади фигур, объемы тел.
3. Требования к результатам освоения содержания дисциплины
3.1 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих
а) общепрофессиональных компетенций:
- готовность использовать фундаментальные знания в области математического
анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии,
дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной
математики и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и
случайных процессов, численных методов, теоретической механики в будущей
профессиональной деятельности (ОПК-1).
3.2. В результате изучения студент должен:
знать:
- основные понятия и методы теории вероятностей, случайных процессов и
математической статистики;
- различные подходы к определению вероятности (классический, аксиоматический,
геометрический, статистический);
- классические методы математической статистики, используемые при планировании,
проведении и обработке результатов экспериментов в педагогике и психологии;
- прикладной характер дисциплины;
уметь:
- использовать математический аппарат при изучении и количественном описании
реальных случайных явлений и процессов;
- использовать точные и приближенные формулы теории вероятностей при решении
конкретных задач;
-решать задачи, относящиеся к этому курсу;
- проводить исследование основных понятий, вычислять вероятности, числовые
характеристики;
7
- доказывать основные свойства и теоремы теории вероятностей и математической
статистики;
- планировать процесс математической обработки экспериментальных данных;
- проводить практические расчеты по имеющимся экспериментальным
данным при использовании статистических таблиц и компьютерной поддержки
(включая пакеты прикладных программ);
- анализировать полученные результаты, формировать выводы и заключения;
владеть:
- вероятностными, статистическими методами мышления и исследования;
- основными технологиями статистической обработки экспериментальных данных на
основе теоретических положений классической теории вероятности;
- навыками использования современных методов статистической обработки информации
для диагностирования достижений обучающихся и воспитанников.
приобрести опыт:
- распознавания в реальной ситуации вероятностных черт;
- в оценке точности полученного решения;
- в обработке эмпирических данных;
- в принятии правильных решений на основе результатов этой обработки.
8
4. Структура и содержание дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетные единицы (144 часа).
4.1. Структура дисциплины
Таблица 1
Количество часов
№
1
2
3
4
5
6
Наименование разделов
Введение в теорию вероятностей.
Правила сложения и умножения
вероятностей. Полная вероятность.
Повторение испытаний. Схема
Бернулли.
Асимптотические формулы.
Нормальная функция распределения.
Случайные величины. Примеры
распределений.
Числовые характеристики случайных
величин.
Итого:
Семестр
Всего
Аудиторные
занятия
Л
ПЗ
СР
11
2
2
3
9
4
6
1
7
2
2
1
9
2
2
1
13
2
2
3
15
2
4
3
144
32
32
80
4.2. Содержание дисциплины
Таблица 2
№
Наименование
раздела
1
Введение в теорию
вероятностей.
2
Правила сложения
и умножения
вероятностей.
Полная
вероятность.
Повторение
испытаний. Схема
Бернулли.
3
4
5
Асимптотические
формулы.
Нормальная
функция
распределения.
Случайные
величины.
Содержание раздела
6 семестр
Основные понятия теории вероятностей. Классическое
определение вероятности. Другие определения вероятности
(геометрическое, аксиоматическое, статистическое).
Комбинаторные формулы и их применение к подсчету
вероятности.
Правила сложения и умножения вероятностей. Условная
вероятность. Зависимые и независимые события, их
вероятности. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Повторение испытаний. Схема Бернулли. Наиболее
вероятное число успехов. Среднее число успехов.
Обобщение схемы Бернулли. Задача о безвозвратной
выборке.
Локальная теорема Муавра-Лапласа. Нормальная функция
распределения. Теорема Пуассона. Интегральная теорема
Муавра - Лапласа.
Дискретные и непрерывные случайные величины. Функция
распределения и плотность вероятности. Основные примеры
9
6
Примеры
распределений.
Числовые
характеристики
случайных
величин.
дискретных и непрерывных распределений.
Числовые
характеристики
случайных
величин.
Математическое ожидание, дисперсия и их свойства.
Степень неопределенности дискретного распределения.
Понятие об энтропии.
5. Образовательные технологии
Номер
заняти
я
Номер
раздела
Тема занятия
Таблица 3
Количест
во
часов
Виды
образовательных
технологий
6 семестр
Лекция
№1
1
Основные понятия теории вероятностей.
Классическое определение вероятности.
Лекция-визуализация
2
Лекция
№5
3
Проблемное обучение
2
Лекция
№ 10
6
Беседа
2
Практ.
зан. №2
Практ.
зан. №3
Практ.
зан. №7
Практ.
зан. №10
Практ.
зан. №15
1
Повторение испытаний. Схема Бернулли.
Наиболее вероятное число успехов.
Обобщение схемы Бернулли. Задача о
безвозвратной выборке.
Числовые характеристики случайных
величин. Математическое ожидание,
дисперсия и их свойства.
Комбинаторные
формулы
и
их
применение к подсчету вероятности.
Сложение и умножение вероятностей.
2
4
5
7
Асимптотические формулы в теории
вероятностей.
Случайная величина, ее функция
распределения и плотность вероятности.
Числовые характеристики двумерных
случайных величин.
Групповые
работы.
Групповые
работы.
Групповые
работы.
Групповые
работы.
Групповые
работы.
формы
2
формы
2
формы
2
формы
2
формы
2
6. Самостоятельная работа студентов
Таблица 4
№
Наименование
раздела дисциплины
Вид самостоятельной работы
Трудоемкость
6 семестр
Введение в теорию
вероятностей.
1
2
3
4
Правила сложения и
умножения вероятностей.
Полная вероятность.
Повторение испытаний.
Схема Бернулли.
Асимптотические формулы.
Нормальная функция
распределения.
Самостоятельное изучение и конспектирование
по теме: «Разные определения вероятности
(геометрическое, аксиоматическое,
статистическое)».
Коллоквиум по теме: «Случайные события и их
вероятности».
Домашние задания: решение задач.
Коллоквиум по теме: «Случайные события и их
вероятности».
Домашние задания: решение задач.
Коллоквиум по теме: «Случайные события и их
вероятности».
Домашние задания: решение задач.
Коллоквиум по теме: «Случайные события и их
вероятности».
Домашние задания: решение задач.
3
1
1
1
10
Случайные величины.
Примеры распределений.
5
Числовые характеристики
случайных величин.
6
Многомерные случайные
величины.
7
8
9
10
11
12
Закон больших чисел и
центральная предельная
теорема.
Основные понятия
математической статистики.
Самостоятельное изучение и конспектирование
по теме: «Законы распределения случайных
величин (закон Коши, закон арксинуса)».
Домашние задания: решение задач.
3
Самостоятельное изучение и конспектирование
по теме: «Числовые характеристики случайных
величин, распределенных по закону Коши и
закону арксинуса».
Домашние задания: решение задач.
3
Самостоятельное изучение и конспектирование
по теме: «Теоремы о математическом ожидании
и дисперсии случайных величин».
Домашние задания: решение задач.
3
Домашние задания: решение задач.
1
Самостоятельное изучение и конспектирование
по теме: «Числовые характеристики
статистического распределения».
Домашние задания: решение задач.
6
Теория оценок. Нахождение
неизвестных параметров
распределения.
Самостоятельное изучение и конспектирование
по теме: «Метод наименьших квадратов для
оценки параметров функциональной зависимости
между переменными».
Домашние задания: решение задач.
6
Элементы теории
корреляции.
Проверка статистических
гипотез.
Домашние задания: решение задач.
2
Самостоятельное изучение и конспектирование
по теме: «Проверка статистических гипотез с
помощью критерия согласия Романовского».
Домашние задания: решение задач.
6
7. Компетентностно - ориентированные оценочные средства
7.1. Оценочные средства диагностирующего контроля
Не предусмотрены.
7.2. Оценочные средства текущего контроля: модульно-рейтинговая
технология оценивания работы студентов
7.2.1. Распределение рейтинговых баллов по модулям и видам работ
7.2.2. Оценивание аудиторной работы студентов
Таблица 6 (в 5, 6, 7 семестрах)
Наименование
№
раздела
Формы оцениваемой работы
дисциплины
Работа на лекциях
1 1,2,3 –
Посещение лекций, участие в
обсуждении проблемных
вопросов
2 4,5 –
Посещение лекций, участие в
обсуждении проблемных
вопросов
Максимальное
Модуль
количество
(аттестация)
баллов
0-5
Модуль №1
0-5
Модуль №2
11
Посещение лекций, участие в
0-5
обсуждении проблемных
вопросов
Работа на практических (семинарских, лабораторных) занятиях
Участие в решении задач
0-5
Модуль №3
3
6,7,8–
1
1,2,3 –
2
3,4,5 –
Участие в решении задач;
контрольная работа
0-10
Модуль №2
3
6,7,8 –
Участие в решении задач;
0-5
Модуль №3
Модуль №1
7.2.3. Оценивание самостоятельной работы студентов
Таблица 7
№
Наименование
раздела (темы)
дисциплины
Формы оцениваемой
работы
Максимальное
количество
баллов
Модуль
(аттестация)
0-15
Модуль №1
0-15
Модуль №2
0-15
Модуль №3
0-15
Модуль №1
0-15
Модуль №2
0-15
Модуль №3
6 семестр
1
1,2,3
2
4,5,6
3
6,7,8
4
9,10
5
10,11
6
12
Самостоятельное изучение и
конспектирование по теме:
«Разные определения вероятности
(геометрическое, аксиоматическое,
статистическое)».
Коллоквиум по теме: «Случайные
события и их вероятности».
Домашние задания: решение задач.
Самостоятельное изучение и
конспектирование по теме:
«Законы распределения случайных
величин (закон Коши, закон
арксинуса)».
Самостоятельное изучение и
конспектирование по теме:
«Числовые характеристики
случайных величин,
распределенных по закону Коши и
закону арксинуса».
Домашние задания: решение задач.
Самостоятельное изучение и
конспектирование по теме:
«Теоремы о математическом
ожидании и дисперсии случайных
величин».
Домашние задания: решение задач.
Самостоятельное изучение и
конспектирование по теме:
«Числовые характеристики
статистического распределения».
Домашние задания: решение задач.
Самостоятельное изучение и
конспектирование по теме: «Метод
наименьших квадратов для оценки
параметров функциональной
зависимости между переменными».
Домашние задания: решение задач.
Самостоятельное изучение и
конспектирование по теме:
12
«Проверка статистических гипотез
с помощью критерия согласия
Романовского».
Домашние задания: решение задач.
7.2.4. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости
Примерный вариант контрольной работы
1) Охотники Александр, Виктор и Павел попадают в летящую утку с вероятностями,
соответственно равными 2/3, ¾, 1/4. Все одновременно стреляют по пролетающей утке.
Какова вероятность того, что утка будет подбита?
2) Вероятность попадания в цель равна 0,003. Сколько нужно произвести выстрелов,
чтобы с вероятностью, большей 0,94, можно было утверждать, что цель будет поражена?
3) Какова вероятность того, что два носка, взятые наудачу из ящика, содержащего шесть
красных и три синих носка, будут одного цвета?
4) 30 % изделий предприятия – продукция высшего сорта. Некто приобрел 6 изделий.
Чему равна вероятность того, что 4 изделия из них высшего сорта?
5) Учебник издан тиражом 10000 экземпляров. Вероятность того, что экземпляр учебника
сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найдите вероятность того, что тираж содержит
ровно 5 бракованных книг.
Примерный вариант контрольной работы
1) Производятся независимые испытания с одинаковой, но с неизвестной вероятностью p
появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки р с
надежностью 0,95, если в 400 испытаниях событие А появилось 80 раз.
2) Распределение признака Х (случайной величины Х) в выборке задано следующей
таблицей:
Х
00,1-0,2 0,2-0,3 0,3-0,4 0,4-0,5 0,5-0,6 0,6-0,7 0,7-0,8
0,8-0,9
0,9-1
0,1
95
100
100
102
98
104
96
105
95
n i 105
При уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о равномерном распределении случайной
величины.
7.3. Оценочные средства промежуточной аттестации
7.3.1. Рубежные баллы рейтинговой системы оценки успеваемости студентов
7.3.2. Оценочные средства для промежуточной аттестации
Вопросы к коллоквиуму по теме:
«Случайное событие и вероятность»
1) Основные понятия теории вероятностей. Классическое определение вероятности
(примеры).
2) Сложение вероятностей. Расширенная теорема сложения (примеры).
3) Условная вероятность. Умножение вероятностей (примеры).
4) Полная вероятность. Формула Байеса (примеры).
5) Повторение испытаний. Схема Бернулли (примеры).
6) Наиболее вероятное число успехов (примеры).
7) Обобщения схемы Бернулли (примеры).
13
8) Аксиоматическое, геометрическое, статистическое определения вероятности
(примеры).
9) Плотность вероятности и ее свойства. Нормальная функция распределения, ее свойства.
10) Локальная теорема Муавра – Лапласа и ее применение.
11) Теорема Пуассона и ее применение.
12) Интегральная теорема Муавра – Лапласа и ее применение.
Примерный перечень задач к зачету по дисциплине
1) В лотерее 1000 билетов, из них на 1 билет падает выигрыш 500 рублей, на 10 билетов –
по 100 рублей, на 50 билетов – по 20 рублей, на 100 рублей – по 5 рублей, остальные
билеты невыигрышные. Некто покупает 1 билет. Найдите вероятность выигрыша не менее
20 рублей.
2) Бросаются четыре игральные кости. Найти вероятность того, что на них выпадет по
одинаковому числу очков.
3) Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, причем каждый
из них делает по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка
– 0,8, для второго - 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти
вероятность того, что она принадлежит первому стрелку.
4) Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет хотя бы 3 раза.
5) Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и
равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 75 раз и не более 90
раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз.
6) Производят последовательные испытания 5 приборов на надежностью Каждый
следующий прибор испытывают только в том случае, если предыдущий оказался
надежным. Построить ряд распределения случайного числа испытанных приборов, если
вероятность выдержать испытание для каждого из них равна 0,8.
7) Случайная величина Х может принимать два возможных значения: x1 с вероятностью
0,3 и x 2 с вероятностью 0,7, причем x 2 > x1 . Найти x1 , x 2 , зная, что M(X)=2,7 и D(X)=0,21.
8) Случайная величина задана законом распределения
X 2
4
8
p 0,1 0,5 0,4
Найти среднее квадратичное отклонение этой величины.
9) Найти функцию распределения случайной величины, плотность вероятности которой
1 x
имеет вид f ( x)  e .
2
10) Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью
f(x,y)=24xy в области D и f(x,y)=0 вне этой области. Область D – треугольник,
ограниченный прямыми x+y-1=0, x=0, y=0. Найти математические ожидания этих
случайных величин.
11) Дана таблица, определяющая закон распределения системы двух случайных величин
(X, Y):
X\Y 20 40 60
10
3λ λ 0
20
2λ 4λ 2λ
30
λ 2λ 5λ
Найти коэффициент λ и математические ожидания этих случайных величин.
12) Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью
f(x,y)=a(x+y) в области D и f(x,y)=0 вне этой области. Область D – треугольник,
ограниченный осями координат и прямой x+y=2. Требуется определить коэффициент а.
14
13) Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью
f(x,y)=x+y в области D и f(x,y)=0 вне этой области. Область D – треугольник,
ограниченный осями координат и прямой x+y=2. Требуется найти математические
ожидания этих случайных величин.
Примерный перечень теоретических вопросов к зачету:
1) Основные понятия математической статистики. Эмпирический закон распределения и
гистограмма.
2) Эмпирические оценки параметров распределения.
3) Доверительные вероятности и доверительные интервалы.
4) Оценка неизвестной вероятности по частоте.
5) Общие принципы проверки статистических гипотез.
6) Подбор теоретического распределения, критерий  2 Карла Пирсона.
7) Корреляция и регрессия.
8) Линейная корреляция. Метод наименьших квадратов.
Примерный перечень задач для зачета (6 семестр):
xi
1) Дано распределение признака
1
3
5
7
9
4
8
14
48
26
ni
Построить: полигон частот, гистограмму относительных частот, график эмпирической
функции распределения.
2) Произведено 800 наблюдений над случайной величиной:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
25
81
124
146
175
106
80
35
16
6
6
ni
Пользуясь критерием Пирсона требуется оценить правдоподобие гипотезы, состоящей в
том, что случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром а, равным
ai
статистическому среднему наблюдаемых значений случайной величины Х ( pi  e  a ).
i!
Число степеней свободы в данном случае r=9. В качестве уровня значимости принять
α=0,1.
3) В результате 79 опытов получена корреляционная таблица величин X 
S
и Y:
B
X\Y
0,5 0,6 0,7 0,8
0,5
0
2
0
8
0,6
0
4
2
9
0,7
2
12 3
1
0,8
21 14 0
0
0,9
1
0
0
0
Где  s - предел текучести стали,  в - предел прочности стали, Y – процентное
содержание углерода в стали. Целые числа, приведенные в таблице, являются
кратностями значений соответствующих случайных точек. Определить коэффициент
корреляции и уравнения линий регрессий.
4) В следующей таблице представлены отчетные данные 189 организаций по фонду
заработной платы.
Заработная плата
Абсолютные частоты (число
Относительные частоты
(тыс. руб.)
организаций)
15
10-20
50
20-30
59
30-40
29
40-50
22
50-60
4
60-70
10
70-80
1
80-90
6
90-100
3
100-110
2
Заполнить последний столбец таблицы, построить гистограмму относительных частот;
заменить интервальный ряд точечным и построить для последнего график распределения
частот; найти эмпирическую функцию распределения случайной величины X – фонда
заработной платы и построить ее график.
5) В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без систематических
ошибок) получены следующие результаты (в мм): 92, 94, 100, 105, 106. Найти
выборочную среднюю длину стержня; выборочную и исправленную дисперсии ошибок
прибора.
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) Основная литература
1. Андрухаев Х.М. Сборник задач по теории вероятностей. - М.: Просвещение, 2005.
2. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения / Е.С Вентцель,
Л.А. Овчаров - М., «Академия», 2003.
3. Вентцель, Е.С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения / Е.С.
Вентцель, Л.А. Овчаров - М., "Академия", 2003.
4. Письменный, Д. Конспект лекций по теории вероятностей, математической
статистике и случайным процессам / Д. Письменный. - М.: Айрис-пресс, 2010.
б) Дополнительная литература
1. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. – М., Высшая школа, 2000.
2. Гутер, Р.С., Овчинский Б.В. Основы теории вероятностей. – М.: Просвещ., 1967.
3. Леви, П. Стохастические процессы и броуновское движение. – М., «Наука», 1972.
4. Невельсон М.Б., Хасьминский Р.З. Стохастическая аппроксимация и реккурентное
оценивание. – М., «Наука», 1972.
5. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика.- М.: Наука, 1979.
6. Прохоров А.В., Ушаков В.Г. Ушаков Н.Г. Задачи по теории вероятностей:
Основные понятия. предельные теоремы. Случайные процессы.- М.: Наука, 1986.
7. Солодовников А.С. Теория вероятностей.- М.: Просвещ., 1978.
в) Периодические издания
Теория вероятностей и ее применения. – М., Изд-во «ТВП».
г) Мультимедийные средства
Microsoft Office Power Point, Excel.
д) Интернет-ресурсы
1. http://www.math.ru
2. http://www.edu.ru
3. http://www.exponenta.ru
4. http://www.problems.ru
5. http://www.bymath.net
16
6. http://www.mathem.h1.ru
7. http://www.allmath.ru
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины
ПК, проектор, экран.
Руководство по организации обучения дисциплине
Преподавателю, читающему дисциплину «Теория вероятностей», важно знать
структуру дисциплины, умело выделяя в разделах основные, базовые понятия. Организуя
учебные занятия, учитывать их порядок, последовательность и технологические приемы,
отражая научно-методические основы дисциплины.
Аудиторная работа включает: лекции, практические занятия, самостоятельную
работу.
Материал дисциплины излагается на лекциях, но некоторые вопросы студентами
изучаются самостоятельно. Лекция – учебное занятие, составляющее основу
теоретического обучения и дающее систематизированные научные знания по дисциплине,
раскрывающее состояние и перспективы развития соответствующей области науки и
техники, концентрирующее внимание обучающихся на её наиболее значимых (сложных)
вопросах.
Лекции имеют проблемный характер, в ходе которых происходит изложение
основных математических методов и показывается их применение для обработки и
исследования информации. На лекциях преподаватель дает теоретические основы,
примеры, показывает основное направления для подготовки к зачету. Посещение лекций,
а также ведение конспектов лекций (фиксирование основных положений, свободное
изложение и т.п.) и их проверка являются обязательными. Необходимо показывать
приемы успешной работы с текстом лекции: использование кратких общепринятых
символов, совращений, правильная обработка текста, исправление неточностей и внесение
дополнительных сведений.
Темы практических занятий соответствуют теме прочтенной лекции, поэтому в
учебном процессе они следуют за лекциями. В начале практических занятий
рекомендовано проведение небольшой самостоятельной работы, математического
диктанта по знанию основных определений, теоретических фактов, формул, необходимых
на данном занятии. Нужно учитывать не только оценочно-контрольную функцию занятия,
осуществляя систематический контроль за успеваемостью (рейтингом) студентов, но и
воспитательную, требуя от обучающихся дисциплинированности, активности,
трудолюбия.
Большое значение имеет и самостоятельная деятельность студентов, формы
которой необходимо продумать заранее и нацеливать на ее выполнение с первых занятий.
- самостоятельное изучение части теоретического материала и теоретическая подготовка к
практическим занятиям по предложенной в УМК основной и дополнительной учебной
литературе. Для помощи студентам рекомендованная литература указана к каждому
занятию, как лекционному, так и практическому. Средствами обучения является не только
базовый учебник, но и дополнительные пособия для организации самостоятельной работы
студентов, демонстрационные материалы, компьютерные обучающие программы,
сборники задач;
- домашние работы, для выполнения которых студенты имеют специальные тетради,
проверяемые к каждому занятию. Результаты выполнения домашнего задания
оцениваются баллами в технологической карте и учитываются при аттестации студентов.
- выполнение других заданий, которые представлены в программе и технологической
карте.
17
Аннотация к программе по дисциплине «Теория вероятностей»
1. Цель дисциплины: формирование систематизированных знаний в области
стохастического анализа, его месте и роли в системе математических наук, использование
в естественных науках, в школьном курсе математики.
2. Место дисциплины в структуре ООП: Дисциплина «теория вероятностей и
математическая статистика» относится к базовой части профессионального цикла
дисциплин направления. Она характеризуется содержательными связями с дисциплиной
«Математический анализ». Изучение математического анализа предшествует изучение
этой дисциплины.
3. Требования к результатам освоения дисциплины:
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих
а) общепрофессиональных компетенций:
- готовность использовать фундаментальные знания в области математического
анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии,
дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной
математики и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и
случайных процессов, численных методов, теоретической механики в будущей
профессиональной деятельности (ОПК-1).
В результате изучения студент должен:
знать:
- основные понятия и методы теории вероятностей, случайных процессов и
математической статистики;
- различные подходы к определению вероятности (классический, аксиоматический,
геометрический, статистический);
- классические методы математической статистики, используемые при планировании,
проведении и обработке результатов экспериментов в педагогике и психологии;
- прикладной характер дисциплины;
уметь:
- использовать математический аппарат при изучении и количественном описании
реальных случайных явлений и процессов;
- использовать точные и приближенные формулы теории вероятностей при решении
конкретных задач;
-решать задачи, относящиеся к этому курсу;
- проводить исследование основных понятий, вычислять вероятности, числовые
характеристики;
- доказывать основные свойства и теоремы теории вероятностей и математической
статистики;
- планировать процесс математической обработки экспериментальных данных;
- проводить практические расчеты по имеющимся экспериментальным
данным при использовании статистических таблиц и компьютерной поддержки
(включая пакеты прикладных программ);
- анализировать полученные результаты, формировать выводы и заключения;
владеть:
- вероятностными, статистическими методами мышления и исследования;
- основными технологиями статистической обработки экспериментальных данных на
основе теоретических положений классической теории вероятности;
- навыками использования современных методов статистической обработки информации
для диагностирования достижений обучающихся и воспитанников.
4. Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетные единицы
5. Разработчики: к.п.н., доцент каф. математики, ТиМОМ Кушнир Т.И.
18
Приложение №1
Лекционный курс по дисциплине «теория вероятностей» (тезисы лекций)
Раздел 1. Введение в теорию вероятностей.
Тема 1. Основные понятия теории вероятностей. Классическое определение
вероятности.
- Случайное событие, примеры случайных событий;
- Достоверное событие, примеры;
- Невозможное событие, примеры;
- Противоположное событие, примеры;
- Несовместные события, примеры;
- Полная группа событий, примеры;
- Классическое определение вероятности события, примеры;
- Замечание о том, что вероятность события p(A) удовлетворяет неравенству:
0  p ( A)  1 .
Тема 2. Комбинаторные формулы и их применение к подсчету вероятности.
- Основное правило комбинаторики, его применение;
- Размещения (с повторениями, без повторений) из n элементов по m элементов, их
число, пример;
- Перестановки, их число, пример;
- Сочетания из n элементов по m элементов, их число, пример;
- Размещения данного состава, их число, пример.
Литература:
[2, c. 13-32], [4, c. 8-37].
Раздел 2. Правила сложения и умножения вероятностей. Полная вероятность.
Тема 3. Правила сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность.
- Теорема сложения вероятностей с доказательством;
- Следствия из теоремы сложения;
- Понятие условной вероятности, примеры;
- Теорема умножения вероятностей с доказательством;
- Понятие независимых событий, примеры;
- Теорема умножения вероятностей независимых событий;
- Расширенная теорема сложения;
Тема 4. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- Вывод формулы полной вероятности, пример;
- Вывод формулы переоценки гипотез (формулы Байеса), пример.
Литература:
[2, c. 32-73], [4, c. 37-45].
Раздел 3. Повторение испытаний. Схема Бернулли.
Тема 5. Повторение испытаний. Схема Бернулли. Наиболее вероятное число
успехов.
- Вывод формулы Бернулли, пример;
- Вывод формулы для вычисления наиболее вероятного числа успехов;
- Обобщение схемы Бернулли, пример;
- Задача о безвозвратной выборке.
Литература:
[4, c. 47-50].
Раздел 4. Асимптотические формулы. Нормальная функция распределения.
19
Тема 6. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Плотность вероятности
нормального распределения и нормальная функция распределения.
- Локальная теорема Муавра-Лапласа (с доказательством), пример;
- Функция плотности вероятности нормального распределения, ее свойства;
- Нормальная функция распределения (функция Лапласа), ее свойства;
Тема 7. Теорема Пуассона. Интегральная теорема Муавра -Лапласа.
- Теорема Пуассона (с доказательством), пример;
- Интегральная теорема Муавра-Лапласа (с доказательством), пример.
Литература:
[4, c. 51-60].
Раздел 5. Случайные величины. Примеры распределений.
Тема 8. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- Понятие дискретной случайной величины, примеры и способы задания;
- Понятие непрерывной случайной величины, примеры;
Тема 9. Функция распределения и плотность вероятности.
- Функция распределения случайной величины, ее свойства;
- Особенности функции распределения для дискретной случайной величины,
пример ее нахождения;
- Плотность вероятности случайной величины, пример;
Тема 10. Основные примеры дискретных и непрерывных распределений.
- Основные примеры дискретных и непрерывных распределений (равномерное,
биномиальное, нормальное, Пуассона).
Литература:
[2, c. 73-95, 117-138], [4, c. 60-72].
Раздел 6. Числовые характеристики случайных величин.
Тема 11. Числовые характеристики случайных величин - математическое
ожидание, дисперсия и их свойства.
- Понятие математического ожидания для дискретной и непрерывной случайных
величин, примеры;
- Свойства математического ожидания;
- Понятие дисперсии для дискретной и непрерывной случайных величин, примеры;
- Упрощенный способ вычисления дисперсии, пример;
- Свойства дисперсии;
- Понятие среднего квадратического отклонения;
Тема 12. Числовые характеристики случайных величин, распределенных по
равномерному, биномиальному, нормальному и закону Пуассона.
- Математические ожидания основных случайных величин, рассмотренных в
разделе 5;
- Дисперсия основных случайных величин, рассмотренных в разделе 5;
20
Приложение №2
Содержание практических занятий по дисциплине «Теория
вероятностей»
Большая часть занятий посвящены методам нахождения вероятности
происхождения события. Обучающимся необходимо знать все определения вероятности и
применять соответствующее в конкретной ситуации, в частности классическое
определение и геометрическое. При применении классического определения нужно
помнить, что благоприятное и общее число успехов можно находить по-разному,
например, непосредственным подбором, с помощью комбинаторных формул или,
используя формулы из теории чисел. При применении геометрического определения
нужно вспомнить формулы вычисления длины отрезка, площадей плоских фигур, объемов
тел. Обучающимся нужно обратить внимание на вычисление вероятности того, что
событие произойдет хотя бы один раз. Быстрее эту вероятность вычислить, если
вспомнить, что вероятности противоположных событий в сумме составляют единицу.
Обучающимся нужно помнить, что вероятность не всегда можно вычислить с помощью
точных формул и, соответственно, уметь правильно подбирать асимптотические
формулы.
Несколько занятий посвящены одномерным случайным величинам. Обучающиеся
должны отличать дискретную случайную величину от непрерывной, следовательно
понимать, что ДСВ можно задать с помощью таблицы и также можно указать функцию
распределения, а НСВ только с помощью функции распределения и, соответственно,
плотности вероятности. Обучающиеся должны четко различать дифференциальный и
интегральный законы распределения.
Несколько занятий посвящены многомерным случайным величинам, для
вычисления плотности вероятности, числовых характеристик придется вычислять
двойные интегралы, поэтому студенты должны знать таблицу интегралов, основные
способы интегрирования: метод замены переменной и интегрирования по частям.
Решение задач математической статистики требует умения вычислять вероятность
события, следовательно обучающийся должен уметь находить вероятность события
наиболее удобным способом, должен различать дискретные и непрерывные случайные
величины, уметь находить закон распределения случайной величины, функцию
распределения и плотность вероятности, числовые характеристики. Обучающийся должен
уметь применять закон больших чисел при вычислении вероятности. Основной предмет
математической статистики – это количественный анализ массовых явлений.
Математическая статистика – это наука об обработке опытов и принятии правильных
статистических решений на основе результатов этих опытов. Следовательно, в задачах
матстатистики придется столкнуться с объемными расчетами, и делать эти расчеты можно
с помощью компьютера, например, в табличном процессоре Microsoft Excel.
Практическое занятие № 1. Вычисление вероятностей с помощью
классического определения. Геометрическая вероятность.
План.
1. Самостоятельная работа (диагностирующий контроль);
2. Повторение теоретического материала: классическое определение вероятности;
геометрическое определение вероятности;
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 52, 55, 58, 59, 63, 64, 71, 77, 78, 80, 81, 83.
4. Постановка домашнего задания:
- повторить основные формулы комбинаторики;
- выполнить задания из [1]: № 53, 54, 65, 73, 79, 82, 84, 88, 90, 91.
21
Практическое занятие № 2. Комбинаторные формулы и их применение к
подсчету вероятности.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: основные формулы комбинаторики - по
необходимости записать их;
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 134, 135, 136, 141, 142, 144.
4. Постановка домашнего задания:
- повторить теоремы сложения, умножения вероятностей, применение формулы
полной вероятности и формулы Байеса.
- выполнить задания из [1]: № 102, 104, 107, 115, 137, 143, 149.
Практическое занятие № 3. Правила сложения и умножения вероятностей.
Условная вероятность.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: теоремы сложения, умножения
вероятностей, следствия из них, независимые события;
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 169, 172, 173, 175, 176, 196.
4. Постановка домашнего задания:
- повторить формула полной вероятности, формула Байеса;
- выполнить задания из [1]: № 170, 174, 177, 178, 197.
Практическое занятие № 4. Применение формулы полной вероятности и
формулы Байеса.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: формула полной вероятности, формула
Байеса - по необходимости записать их;
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 200, 204, 205, 211, 217.
4. Постановка домашнего задания:
- повторить формулу Бернулли, ее обобщение и задачу о безвозвратной выборке;
- выполнить задания из [1]: № 201, 203, 225, 226, 230.
Практическое занятие № 5. Применение формулы Бернулли к подсчету
вероятности.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: формула Бернулли;
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 231, 233, 234, 235, 237, 239, 240;
4. Постановка домашнего задания:
- повторить обобщение формулы Бернулли и задачу о безвозвратной выборке;
- выполнить задания из [1]: № 232, 236, 238, 241, 242.
22
Практическое занятие № 6. Применение обобщения формулы Бернулли к
подсчету вероятности. Задача о безвозвратной выборке.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: формула Бернулли, ее обобщение и
задача о безвозвратной выборке;
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 260, 265, 267, 279.
4. Постановка домашнего задания:
- повторить асимптотические формулы для вычисления вероятности;
- выполнить задания из [1]: № 261, 266, 268, 280.
Практическое
вероятностей.
занятие
№
7.
Асимптотические
формулы
в
теории
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: локальная теорема Муавра-Лапласа,
функция плотности вероятности нормального распределения, ее свойства; нормальная
функция распределения (функция Лапласа), ее свойства; теорема Пуассона, интегральная
теорема Муавра-Лапласа.
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 290, 291, 296, 300, 304, 306.
4. Постановка домашнего задания:
- подготовиться к контрольной работе: повторить предыдущие темы, вспомнить на
все известные способы подсчета вероятности события;
- выполнить задания из [1]: № 292, 295, 197, 301, 303.
Практическое
вероятностей.
занятие
№
8.
Асимптотические
формулы
в
теории
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: локальная теорема Муавра-Лапласа,
функция плотности вероятности нормального распределения, ее свойства; нормальная
функция распределения (функция Лапласа), ее свойства; теорема Пуассона, интегральная
теорема Муавра-Лапласа.
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 290, 291, 296, 300, 304, 306.
4. Постановка домашнего задания:
- подготовиться к контрольной работе: повторить предыдущие темы, вспомнить на
все известные способы подсчета вероятности события;
- выполнить задания из [1]: № 292, 295, 197, 301, 303.
Практическое занятие №9. Случайная величина и закон ее распределения.
План.
1. Повторение теоретического материала: понятие дискретной, непрерывной
случайной величин, закон распределения дискретной случайной величины.
2. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 324, 326, 327, 329, 330, 333.
23
3. Постановка домашнего задания:
- повторить функция распределения и плотность вероятности
- выполнить задания из [1]: № 325, 328, 331, 338, 340.
Практическое занятие № 10. Случайная величина, ее функция распределения.
План.
1. Повторение теоретического материала: понятие дискретной, непрерывной
случайной величин, ее функция распределения.
2. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 353, 355, 356, 361, 365.
3. Постановка домашнего задания:
- повторить числовые характеристики случайной величины - математическое
ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, их вычисление и свойства;
- выполнить задания из [1]: № 354, 357, 358, 362, 363.
Практическое занятие № 11. Случайная величина, ее плотность вероятности.
План.
1. Повторение теоретического материала: понятие дискретной, непрерывной
случайной величин, плотность вероятности.
2. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 372 (1, 2, 3), 373, 380.
3. Постановка домашнего задания:
- повторить числовые характеристики случайной величины - математическое
ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, их вычисление и свойства;
- выполнить задания из [1]: № 372 (4, 5, 6), 374, 377.
Практические занятия № 12, 13. Случайная величина и ее числовые
характеристики.
План.
1. Проверка домашнего задания, объяснение решения задач, с которыми студенты
не справились;
2. Повторение теоретического материала: числовые характеристики случайной
величины - математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, их
вычисление и свойства;
3. Теоретический материал закрепить на примерах из сборника задач по теории
вероятностей [1]: № 444 (1, 3), 445 (1), 446 (а), 478 (1, 3), 479 (1, 2).
4. Постановка домашнего задания:
- повторить материал по многомерным случайным величинам и их числовым
характеристикам;
- выполнить задания из [1]: № 444 (2, 4), 445 (2), 446 (б), 478 (2, 4), 479 (3, 4), 481.
24
Приложение №3
Содержание и методические указания для самостоятельной работы
студентов по дисциплине «Теория вероятностей»
№
раздела
1
1
2
3
Тематический план самостоятельной работы
Тема
Кол-во
Формы текущего контроля
часов
успеваемости
События. Операции над событиями.
5
Домашняя работа № 1
Устный опрос
Комбинаторика.
8
Домашняя работа №2
Устный опрос
Таблицы, графики, диаграммы
5
Письменный опрос
Теория вероятностей.
8
Устный и письменный опрос
По дисциплине «Теория вероятностей» общая трудоёмкость – 4 зач. ед. (144 часа).
Охватить весь курс на аудиторных занятиях нет возможности, поэтому часть материала
выносится для самостоятельного изучения. Какие виды самостоятельной работы? Это:
изучение и конспектирование литературы, подготовка к практическим занятиям,
подготовка к контрольной работе, решение задач, сдача коллоквиума.
Раздел 1. Введение в теорию вероятностей.
Самостоятельное изучение и конспектирование по теме: «Разные определения
вероятности (геометрическое, аксиоматическое, статистическое)».
Необходимо самостоятельно изучить и законспектировать данный вопрос по
следующей схеме:
1) Аксиоматическое определение вероятности
Обязательно указать, что вероятностью называется функция р(А), определенная на
алгебре событий S, принимающая действительные значения и удовлетворяющая
аксиомам: неотрицательности, нормированности, аддитивности. Указать что такое
вероятностное пространство.
2) Геометрическое определение вероятности
Обязательно сформулировать понятие вероятности с геометрической точки зрения
и привести 2-3 примера на вычисление вероятности с помощью данной формулы.
Обратить внимание на построение графиков функций, на нахождение благоприятной и
общей областей на плоскости, либо в пространстве.
3) Статистическое определение вероятности
Начать изложение с понятия относительная частота события и ее свойства.
Обязательно сформулировать понятие вероятности со статистической точки зрения и
привести 2-3 примера на вычисление вероятности с помощью данной формулы.
Можно воспользоваться любым источником из списка основной или
дополнительной литературы.
Раздел 5. Случайные величины. Примеры распределений.
Самостоятельное изучение и конспектирование темы: «Законы распределения
случайных величин (закон Коши, закон арксинуса)».
Необходимо самостоятельно изучить и законспектировать данный вопрос по
следующей схеме:
25
1) Закон Коши: указать для какой случайной величины этот закон, чем
характеризуется, каким образом задан (обязательно вычислить константу А, найти
функцию распределения).
2) Закон арксинуса: указать для какой случайной величины этот закон, чем
характеризуется, каким образом задан (обязательно вычислить константу А, найти
функцию распределения).
Можно воспользоваться любым источником из списка основной или
дополнительной литературы.
Раздел 6. Числовые характеристики случайных величин.
Самостоятельное изучение темы: «Вычисление числовых характеристик
случайных величин, распределенных по закону Коши и закону арксинуса».
Необходимо законспектировать, либо вычислить самостоятельно основные
числовые характеристики для случайных величин, распределенных по закону Коши и
закону арксинуса.
Примерный вариант контрольной работы
1) Производятся независимые испытания с одинаковой, но с неизвестной вероятностью p
появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки р с
надежностью 0,95, если в 400 испытаниях событие А появилось 80 раз.
2) Распределение признака Х (случайной величины Х) в выборке задано следующей
таблицей:
Х
00,1-0,2 0,2-0,3 0,3-0,4 0,4-0,5 0,5-0,6 0,6-0,7 0,7-0,8
0,8-0,9
0,9-1
0,1
105
95
100
100
102
98
104
96
105
95
ni
При уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о равномерном распределении случайной
величины.
Вопросы к коллоквиуму по теме:
«Случайное событие и вероятность»
1) Основные понятия теории вероятностей. Классическое определение вероятности
(примеры).
2) Сложение вероятностей. Расширенная теорема сложения (примеры).
3) Условная вероятность. Умножение вероятностей (примеры).
4) Полная вероятность. Формула Байеса (примеры).
5) Повторение испытаний. Схема Бернулли (примеры).
6) Наиболее вероятное число успехов (примеры).
7) Обобщения схемы Бернулли (примеры).
8) Аксиоматическое, геометрическое, статистическое определения вероятности
(примеры).
9) Плотность вероятности и ее свойства. Нормальная функция распределения, ее
свойства.
10) Локальная теорема Муавра – Лапласа и ее применение.
11) Теорема Пуассона и ее применение.
12) Интегральная теорема Муавра – Лапласа и ее применение.
Примерный перечень задач к зачету по дисциплине
1) В лотерее 1000 билетов, из них на 1 билет падает выигрыш 500 рублей, на 10 билетов –
по 100 рублей, на 50 билетов – по 20 рублей, на 100 рублей – по 5 рублей, остальные
билеты невыигрышные. Некто покупает 1 билет. Найдите вероятность выигрыша не менее
20 рублей.
26
2) Бросаются четыре игральные кости. Найти вероятность того, что на них выпадет по
одинаковому числу очков.
3) Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, причем каждый
из них делает по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка
– 0,8, для второго - 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти
вероятность того, что она принадлежит первому стрелку.
4) Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет хотя бы 3 раза.
5) Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и
равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 75 раз и не более 90
раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз.
6) Производят последовательные испытания 5 приборов на надежностью Каждый
следующий прибор испытывают только в том случае, если предыдущий оказался
надежным. Построить ряд распределения случайного числа испытанных приборов, если
вероятность выдержать испытание для каждого из них равна 0,8.
7) Случайная величина Х может принимать два возможных значения: x1 с вероятностью
0,3 и x 2 с вероятностью 0,7, причем x 2 > x1 . Найти x1 , x 2 , зная, что M(X)=2,7 и D(X)=0,21.
8) Случайная величина задана законом распределения
X 2
4
8
p 0,1 0,5 0,4
9) Найти среднее квадратичное отклонение этой величины.
10) Найти функцию распределения случайной величины, плотность вероятности которой
1 x
имеет вид f ( x)  e .
2
11) Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью
f(x,y)=24xy в области D и f(x,y)=0 вне этой области. Область D – треугольник,
ограниченный прямыми x+y-1=0, x=0, y=0. Найти математические ожидания этих
случайных величин.
12) Дана таблица, определяющая закон распределения системы двух случайных величин
(X, Y):
X\Y 20 40 60
10
3λ λ 0
20
2λ 4λ 2λ
30
λ 2λ 5λ
13) Найти коэффициент λ и математические ожидания этих случайных величин.
14) Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью
f(x,y)=a(x+y) в области D и f(x,y)=0 вне этой области. Область D – треугольник,
ограниченный осями координат и прямой x+y=2. Требуется определить коэффициент а.
15) Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью
f(x,y)=x+y в области D и f(x,y)=0 вне этой области. Область D – треугольник,
ограниченный осями координат и прямой x+y=2. Требуется найти математические
ожидания этих случайных величин.
Примерный перечень теоретических вопросов к зачету:
1) Основные понятия математической статистики. Эмпирический закон распределения и
гистограмма.
2) Эмпирические оценки параметров распределения.
3) Доверительные вероятности и доверительные интервалы.
4) Оценка неизвестной вероятности по частоте.
5) Общие принципы проверки статистических гипотез.
6) Подбор теоретического распределения, критерий  2 Карла Пирсона.
27
7) Корреляция и регрессия.
8) Линейная корреляция. Метод наименьших квадратов.
Примерный перечень задач для зачета:
xi
1) Дано распределение признака
1
3
5
7
9
4
8
14
48
26
ni
Построить: полигон частот, гистограмму относительных частот, график эмпирической
функции распределения.
2) Произведено 800 наблюдений над случайной величиной:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
25
81
124
146
175
106
80
35
16
6
6
ni
Пользуясь критерием Пирсона требуется оценить правдоподобие гипотезы, состоящей в
том, что случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром а, равным
a i a
статистическому среднему наблюдаемых значений случайной величины Х ( pi  e ).
i!
Число степеней свободы в данном случае r=9. В качестве уровня значимости принять
α=0,1.
3) В результате 79 опытов получена корреляционная таблица величин X 
S
и Y:
B
X\Y
0,5 0,6 0,7 0,8
0,5
0
2
0
8
0,6
0
4
2
9
0,7
2
12 3
1
0,8
21 14 0
0
0,9
1
0
0
0
Где  s - предел текучести стали,  в - предел прочности стали, Y – процентное
содержание углерода в стали. Целые числа, приведенные в таблице, являются
кратностями значений соответствующих случайных точек. Определить коэффициент
корреляции и уравнения линий регрессий.
4) В следующей таблице представлены отчетные данные 189 организаций по фонду
заработной платы.
Заработная плата
Абсолютные частоты (число
Относительные частоты
(тыс. руб.)
организаций)
10-20
50
20-30
59
30-40
29
40-50
22
50-60
4
60-70
10
70-80
1
80-90
6
90-100
3
100-110
2
Заполнить последний столбец таблицы, построить гистограмму относительных частот;
заменить интервальный ряд точечным и построить для последнего график распределения
частот; найти эмпирическую функцию распределения случайной величины X – фонда
заработной платы и построить ее график.
28
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
ГЛОССАРИЙ
Понятие
Высказывание
Вероятность
события А
Определение
любое повествовательное предложение,
относительно которого известно, что оно либо
истинно, либо ложно
отношение числа случаев благоприятствующих
появлению события А (т.е. m), к общему числу всех
исходов n: P( A) 
Достоверное
событие
Невозможное
событие
Несовместные
события
Независимые
события
Случайное
событие
m
.
n
событие, всегда происходящее в результате
некоторого опыта
событие, заведомо никогда не происходящее
события, одновременно не происходящие в
результате некоторого опыта.
события, для которых происхождение или
непроисхождение одного из них не влияет на
происхождение или непроисхождение другого.
любое явление, которое может произойти или не
произойти
29