ОБ ИЗУЧЕНИИ ПЛОЩАДИ В НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

ОБ ИЗУЧЕНИИ ПЛОЩАДИ В НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
Н.М. Евтыхова, кандидат педагогических наук, доцент
nafiseta@yandex.ru
Л.В. Шелехова, кандидат педагогических наук, доцент
Адыгейский государственный университет, Россия
schelehova@rambler.ru
Понятие площади является одной из важнейших геометрических
величин, изучаемых в школе. Однако не всякий учитель математики
осознает смысл и требования к изучаемому понятию, так как зачастую
изучение площади геометрических фигур сводится к запоминанию
некоторых формул, а не к четкому представлению о данном понятии как о
скалярно аддитивной величине. Еще Н.М. Бескин писал, что «изложение
учения о площадях, принятое в школьном курсе, основано на наивной
вере в существовании площади каждой плоской фигуры. Многие учителя
не замечают заключающейся в этом проблемы. Проблема, о которой идет
речь, если говорить кратко, сводится к следующему: надо доказать, что
площади образуют класс геометрических непрерывных величин» [1].
В рамках данной статьи мы остановимся на некоторых вопросах
теории площадей, которые продемонстрируют возможности изучения
школьного курса геометрии, позволяющего заглянуть дальше привычных
представлений о площади.
В начальной школе при изучении геометрии используется технология
визуализации учебной информации, поэтому при введении таких
основополагающих понятий как «равные фигуры на плоскости»,
«равновеликие фигуры» и «равносоставленные фигуры» возможна
практическая работа, в которой опытным путем выявляются равные
фигуры среди данных с помощью метода «Наложения». Например,
вырезав из пленки разных цветов определенные фигуры, школьникам
необходимо наложить одну на другую. Если, проделав данную операцию,
ребенок видит, что цвет полученной фигуры смешался в каждой точке, то
можно утверждать, что наложенные фигуры равны. Если в результате
наложения одна из фигур полностью изменила свой цвет, а другая лишь
частично, то это свидетельствует о том, что она фигура меньше другой.
Используемые зрительные образы, кардинально влияют на восприятие и
освоение ребенком учебной информации, так как предложенная
визуализация позволяет увидеть связи и отношения между изучаемыми
объектами, а значит, связать отдельное в единое целое.
Информационная насыщенность современного мира требует
специальной подготовки учебного материала перед его предъявлением
обучаемым, с учетом условия освоения обучающимися логики
предметного материала. Традиционно при измерении площади фигур в
начальной школе используют палетку. При этом подсчитывается
количество квадратов, укладывающихся в данной фигуре n и количество m
квадратов, через которые проходит граница данной фигуры. Тогда,
площадь фигуры определяется по формуле
. Но можно после
подсчета целых квадратов, оказавшихся внутри фигуры, перейти к новой
единице измерения площади. Например, если вначале это был квадрат,
состоящий из четырех тетрадных клеток, то меньшая единица измерения
площади будет одна клетка и тогда получается более точный результат
измерения площади:
, где n – число больших квадратов, k –
число клеточек внутри данной фигуры, а m – число клеточек, через
которые проходит граница данной фигуры. Этот процесс может быть
продолжен, что позволит в дальнейшем перейти к расширению понятия
натурального числа. В начальной школе практически не используется
формула Пика:
, где i – число узлов решетки, оказавшихся внутри
многоугольника, b - число узлов решетки, лежащих на границе
многоугольника (рис.2). Но если ее применить вместе с первой и сравнить
полученные результаты, то это расширит представления детей о способах
измерения площади с помощью палетки. Эти же измерения можно
осуществить на такой фигуре как прямоугольник. Это позволит ввести
формулу для вычисления площади прямоугольника с косвенными
измерениями длины и ширины:
(рис.3).
Чтобы показать, что единицами измерения площади могут служить
другие фигуры, можно предложить фрагменты различных правильных
паркетов и измерить их площади в треугольниках, шестиугольниках и т.д.
После чего может быть введен другой способ измерения площади фигуры
с помощью разбиения на прямоугольники (рис.4). В этом случае
вычисляется площадь прямоугольников, лежащих внутри фигуры - n, а
также площадь прямоугольников, внутри которых лежит данная фигура m, после чего оставляется неравенство вида: n<S<m n<S<m. анализируя
это неравенство, подводят к выводу, что чем меньше ширина
прямоугольников, тем меньше разность между числами m – n, а значит тем
точнее мера измерения площади фигуры.
в
а
Рис.2
рис.3
рис.4
Следующим этапом работы над понятием площади является
вычисление площади фигуры через разбиение ее на
различные
прямоугольники или составление прямоугольников (рис.5). Весьма
полезными могут оказаться задания на сравнение площадей частей
фигуры, например, закрашенной и незакрашенной (рис.6). А затем
постепенно перейти к вычислением площадей с использованием
разрезаний и косвенных измерений, а значит перейти к формулам
площадей (рис.7).
Рис.5
1с
м
2с
м
4с
м
4
см
4с
м
4с
м
5м
м
Рис.7
8
см
Рис.6
Особенности изложения учебного материала обусловлены
возрастными особенностями учащихся и соответствующим уровнем развития
у них абстрактного мышления. Поэтому в старших классах особое внимание
уделяется процессу самостоятельного поиска новых для ребенка
теоретических знаний, которые не отражены в школьных учебниках.
В школьном курсе геометрии учащимся предлагается вывод всего
пяти формул площади треугольника АВС со сторонами а, b и c и
противолежащими углами α, β и γ: S  1 a  ha , S  1 a  c  sin  , S  abc , S  rp ,
2
2
4R
S  p p  a  p  b p  c  . Такое ограничение приводит к затруднения в
процессе подготовки учащийся к ЕГЭ. Решение данной проблемы
необходимо осуществлять через установление логических связей, что
позволит рассматривать рефлексию как механизм повышения
эффективности
учебно-познавательной
деятельности
учащихся.
Проиллюстрируем данное положение на примере преобразования
формулы Герона S  p p  a  p  b p  c  для получения «новых»
формул, позволяющих вычислить площадь треугольника.
С целью вовлечения школьников в данную учебную деятельность
необходимо организовать работу таким образом, чтобы сложность
предлагаемого поиска возрастала от задания к заданию, поэтому первое
преобразование можно провести, используя равенства a  2S , b  2S и
c
2S : S 
hc
hb
ha
p p  a  p  b p  c  
 2S 2S 2S  2S 2S 2S 2S  2S 2S 2S 2S  2S 2S 2S 2S 

 




 


 


  
2
h
2
h
2
h
2
h
2
h
2
h
h
2
h
2
h
2
h
h
2
h
2
h
2
h
b
c  a
b
c
a  a
b
c
b  a
b
c hc 
 a
 1
1
1  1
1
1
2  1
1
1
2  1
1
1
2 

 S 4 

 





 


  
 ha hb hc  ha hb hc ha  ha hb hc hb  ha hb hc hc 
 1
1
1  1
1
1  1
1
1  1
1
1 .




 S 2 








 ha hb hc  hb hc ha  ha hc hb  ha hb hc 
Таким образом,
1

S
 1
1
1



 ha hb hc
 1
1
1



 hb hc ha
 1
1
1



 ha hc hb
 1
1
1



 ha hb hc

 .

Перед обучающимся возникает новая проблема: если существует
формула, позволяющая найти площадь треугольника через его высоты, то
существуют ли подобные формулы, позволяющие найти площадь
треугольника через его медианы и биссектрисы? И если да, то можно ли их
найти при помощи преобразования формулы Герона. В результате
проведенных исследований студенты должны прийти к выводу, что в
первом случае это возможно, а во втором – нет.
Приведем один из вариантов получения формулы, позволяющей
вычислить площадь треугольника, зная значения трех его медиан:
S  p p  a  p  b p  c  

a b  ca b  c
 a  b  c
 a  b  c

 a 
 b 
 c 

2
2
2
2





1
a  b  c b  c  a a  c  b a  b  c  
16

c 2  b2  a 2  2bca 2  c 2  b2  2bc  14
1
4

4b 2c 2  c 2  b 2  a 2

2
2 .
Преобразуем подкоренное выражение 4b 2 c 2  c 2  b 2  a 2 , учитывая, что






4
4
4
2mb2  2mc2  ma2 , b 2  2ma2  2mc2  mb2 и c 2  2ma2  2mb2  mc2 :
9
9
9
4
4
4  2ma2  2mc2  mb2  2ma2  2mb2  mc2 
9
9
2
16

2ma2  2mb2  mc2  2ma2  2mc2  mb2  2mc2  2mb2  ma2 
81
a2 



 






2
16 
 4 2ma2  2mc2  mb2 2ma2  2mb2  mc2  3ma2  3mb2  3mc2  .
81 

Таким образом, получаем формулу площади треугольника:
S


 

2
1
4 2ma2  2mc2  mb2 2ma2  2mb2  mc2  3ma2  3mb2  3mc2 .
9
Трудность поиска иных формул объясняется не столько сложностью
применяемого
математического
аппарата,
сколько
выявлением
возможности существования зависимости между искомыми и сходными
величинами. Данное положение можно продемонстрировать на
следующем примере. Преобразуем выражение:
a  b  cb  c  aa  c  ba  b  c  a  b2  c 2 c 2  a  b2  

2  a  b2 c 2 
2
 a  b2  a  b2  c 2  c 4  b 2  a 2  
2
 a 2  2ab  b 2  a 2  2ab  b 2  c 2  c 4  b 2  a 2  
 a  b 2 c 2  c 4  b 2  a 2





2 



 2a 2  2b 2 c 2  c 4  b 2  a 2  2a 2  2b 2  c 2 c 2  b 2  a 2
2
1
 2a 2  2b 2  c 2 c 2  3b 2  3a 2 
9
2
1
 2a 2  2b 2  c 2 c 2 
2b 2  2с 2  a 2  2a 2  2c 2  b 2

9
 4






 

2 

 

2
1
16  1
1

2a 2  2b 2  c 2 c 2   2b 2  2с 2  a 2  2a 2  2c 2  b 2  
4
9 4
4


 


2
4
16 2
2ma2  2mb2  mc2 
ma  mb2 
9
9
2
2ma2  2mb2 mc2  mc4  ma2  mb2  

 4mc2 



2
16 
  ma  mb 2  ma  mb 2 mc2  mc4  ma2  mb2   
9

2
16 
  ma  mb 2 mc2  ma  mb 2 mc2  mc4  ma2  mb2   
9


16 

9

16
ma  mb  mc ma  mb  mc ma  mc  mb mb  mc  ma  .
9
Таким образом, можно записать следующую формулу:
S
4
3
ma  mb  mc ma  mb  mc ma  mc  mb mb  mc  ma  .
В этом случае, учебная деятельность представляет собой проблемнопоисковую среду, в которой процесс сотрудничества и рефлексии
способствует раскрытию личностных потенциальных возможностей
преподавателя и ученика, осознаю возможностей математики в познании
бытия, обеспечению саморегуляции активности, слаженность деятельности
и достижению поставленных целей.
Литература:
1 Бескин, Н.М. Методика геометрии. Учебник для педагогических
институтов / Н.М. Бескин –М.-Л.: Учпедгиз. – 1947 – 276 с. – С.188-200