УДК 167

УДК 536.248.2
ОБРАЗОВАНИЕ ЛЬДА ПРИ КОНТАКТЕ ХОЛОДНОГО ТЕЛА С ВОДОЙ
Захаричев О.В.,
научный руководитель канд. физ.-мат. наук Дмитриев В.Л.
Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета
В работе рассматривается процесс нарастания ледяной корки при контакте
холодного твердого тела с водой. Задача рассматривается в плоскоодномерном
приближении, получено ее автомодельное решение.
Пусть имеется полубесконечное холодное твердое тело, контактирующее с
водой. В плоскости контакта тела с водой (координата x  0 ) начинается процесс
льдообразования. При этом мы имеем дело с подвижной границей, на которой
происходит нарастание нового слоя льда (координата x  xb ). Схема образования льда
приведена на рис. 1. Здесь в области   x  0 находится твердое тело, в области
0  x  xb расположен слой образующегося льда, а в области xb  x   находится вода.
Рис. 1. Схема образования льда.
Распределение температур в трех рассматриваемых областях описывается
уравнениями теплопроводности:
Ts
 2Ts
 s cs
 s 2 ,
 x  0
t
x
где  j
Ti
 2Ti
i ci
 i 2 ,
 0  x  xb 
t
x
Tl
 2Tl
l cl
 l 2 ,
 x  xb 
t
x
– плотность, c j – удельная теплоемкость,  j – теплопроводность; нижний
индекс j  s, i, l относится к твердому телу, льду и воде соответственно.
Для решения поставленной задачи необходимо задать условия на границах
раздела сред (условия равенства температур и тепловых потоков):
T
T
Ts  Ti  Tsi , s s  i i ,
 x  0
x
x
T
T
Ti  Tl  T , i i  l l  l Lxb ,  x  xb 
x
x
где L – удельная теплота плавления льда, T – температура кристаллизации, равная для
воды 273 K . Температуру Tsi на границе раздела «твердое тело – лед» будем считать
постоянной Tsi  const  .
В начальный момент времени t  0 температуры твердого тела и воды
однородны и равны соответственно Ts 0 и Tl 0 .
В такой постановке задача допускает введение автомодельной переменной
  x it , где i  i i ci – коэффициент температуропроводности льда. Координата
границы, на которой происходит образование льда, тогда будет определяться как
 i
.
xb  b i t , а скорость ее движения xb найдется как xb  b
2 i t
Система уравнений теплопроводности в рамках введенных обозначений примет
следующий вид:
 dTs s d 2Ts


,
  0 
2 d i d 2
 dTi d 2Ti


,
2 d d 2

 dTl l d 2Tl

2 d i d 2
Решения этой системы имеют вид:

  2 
Ts  Ts 0  Tsi  Ts 0   exp   i
 d

4
s




Ti  Tsi  T  Tsi


 0    b 
 2 
exp
   4  d
0
   b 
 i  2 
exp
   s 4  d ,

0
b
 2 
exp
   4  d ,
0
 0    b 

 i  2 
 i  2 
Tl  Tl 0  T  Tl 0  exp  
     0 
 d   exp  
 d

4

4
l
l





b
Для построения решений необходимо найти координату границы
льдообразования  b и температуру Tsi . Это можно сделать, решив систему из двух
уравнений баланса тепловых потоков на границах раздела сред, записанных выше. С
учетом полученных решений для распределения температур, данная система примет
вид:

Tsi  Ts 0

T  Tsi
 i 
,
0
2
b
2 






s

 exp  i
exp    d

 d



4
s


 4 
0
 

 b2 
 i b2 

T  Tl 0 exp  

 T  Tsi exp   4 
l 4  i Lbi




 l 

.
 i b
2
 i  2 
 2 

 exp   l 4  d
 exp   4  d

b
0




     0 



Данная система уравнений легко решается средствами MathCAD. На основе
полученных решений построены графические зависимости, иллюстрирующие процесс
образования льда и динамику температур в рассматриваемых областях.
На рис. 2 показана зависимость температуры в системе «железо-лед-вода» от
автомодельной координаты. Начальные температуры в системе: железо – Ts 0  243K ,
вода – Tl 0  277 K . При этом Tsi  252.9 K , b  0.458 . Толщина слоя льда по
прошествии 24 часов в этом случае будет составлять около 15,6 см.
Рис. 2. Профиль температуры для системы «железо-лед-вода».
На основе записанных решений также получено, что при одной и той же
температуре холодного твердого тела и воды скорость роста ледяного слоя сильно
зависит от теплопроводности твердого тела. С увеличением теплопроводности процесс
льдообразования идет более интенсивно.
Кроме того, получено, что образование ледяного слоя возможно только в
случаях, если температуры твердого тела и жидкости удовлетворяют следующему
условию

 i  2 
exp

 d
l 4 
s Tsi  Ts 0  0

Tl  T 
.
0
l
 i  2 
 exp   s 4  d

Так, например, при температуре железа Ts 0  268 K образование льда на границе
раздела «железо-вода» возможно, если температура воды удовлетворяет условию
Tl 0  327.2 K . В противном случае лед образовываться не будет.
Если в качестве жидкости выступает вода, то условие образования льда в таком
случае можно переписать в виде

Tl  
sTs 0
l
 i  2 
exp
   l 4  d
0
,
0
 i  2 
 exp   s 4  d

т.к. для воды температуры T и Tsi в этом случае одинаковы, и равны 273 K ; при этом
Tl 0 и Ts 0 выражены в градусах Цельсия.