3 - Камышинский технологический институт

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
КАФЕДРА ОБЩЕТЕХНИЧЕСКИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
А. В. Белов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
СЛОЖНЫХ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
Методические указания
к практическим занятиям
по дисциплине «Сопротивление материалов»
РПК «Политехник»
Волгоград
2003
УДК 539.31.6(07)
Б 43
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛОЖНЫХ
ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ: Методические указания к практическим занятиям по
дисциплине «Сопротивление материалов» / Сост. А. В. Белов: Волгоград. гос.
техн. ун-т. – Волгоград, 2003. – 35 с.
Излагается методика определения основных геометрических характеристик сложных и составных плоских сечений.
Предназначены в помощь студентам, обучающимся по направлениям
551200, 551700, 552900.
Ил. 13. Табл. 3. Библиогр.: 2 назв.
Рецензент: к. т. н., доцент П. В. Ольштынский
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета
 Волгоградский
государственный
технический
университет, 2003
2
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 1
Тема: определение геометрических характеристик плоских сечений
Цель занятия: научиться определять положение центра тяжести и рассчитывать геометрические характеристики сложных плоских сечений.
Время, отведенное на проведение занятия и выполнение индивидуального задания: 4 часа, в том числе 2 часа – аудиторных занятий и 2 часа – самостоятельной работы студентов.
1. ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ ЗАНЯТИЯ




повторить теоретический материал;
ответить на контрольные вопросы;
разобрать предложенные примеры решения задач;
выполнить самостоятельно одно из индивидуальных заданий.
2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
При расчетах на прочность, жесткость и устойчивость конструкций используются следующие геометрические характеристики плоских поперечных сечений ее элементов: осевые и полярные моменты инерции; осевые и полярные
моменты сопротивления; радиусы инерции. Кроме того, при определении этих
геометрических характеристик вспомогательную роль играют статические моменты и центробежные моменты инерции сечения.
Ниже приводятся основные понятия о геометрических характеристиках
плоских сечений и методах их вычисления.
2.1. Статические моменты сечения
Статический момент сечения относительно оси (Sx, Sy) – численно равен
сумме произведений площадей элементарных площадок на их расстояния до
данной оси, взятой по всей площади сечения – единицы измерения (м3),
(рис. 2.1):
S x   YdA  y c  A;
A
S y   XdA  x c  A.
(1)
A
Здесь xс и yс – координаты центра тяжести сечения;
x, y – координаты, определяющие положение элементарной площадки dA.
3
Y
c
Y
~A
xc
C
Xc
x
y
ñ
dA

y
O
X
Рис. 2.1.
Статический момент сечения может принимать как положительные, так и
отрицательные значения. Относительно любой оси, проходящей через центр
тяжести сечения, он равен нулю и такая ось называется центральной.
Плоские сечения можно подразделить на простые и сложные. Простыми мы
будем называть такие сечения, положение центра тяжести которых определяется без расчета, а геометрические характеристики рассчитываются с помощью
простых соотношений или приводятся в справочной литературе (прямоугольник, круг, треугольник, швеллер, уголок, двутавр и т. д.).
Сложными сечениями мы будем называть сечения представляющие собой
комбинацию простых сечений. Геометрические характеристики сложного сечения определяются, как алгебраическая сумма соответствующих геометрических характеристик его частей.
Так статические моменты сложного сечения состоящего из k простых сечений относительно осей ОХ и ОY будут определяться:
k
S x  S(x1)  S(x2)  ...  S(xk )   S(xi ) ,
i 1
k
(2)
S y  S(y1)  S(y2)  ...  S(yk )   S(yi ) .
i 1
Если известны площади и координаты центров тяжестей простых сечений
Аi и xci, уci, то статические моменты сложного сечения будут определяться:
4
k
S x  A1  y ci  A 2  y c 2  ...  A k  y c k   A i  y ci ,
i 1
k
(3)
S y  A1  x c1  A 2  x c 2  ...  A k  x c k   A i  x ci .
i 1
Соотношения (13) позволяют получить формулы для определения координат центра тяжести сложного сечения:
k
S
yc  x 
A
 A i y ci
i 1
k
,
 Ai
i 1
k
(4)
A i x ci
S y i

1
xc 
 к
.
A
 Ai
i 1
Здесь хc, уc – координаты центра тяжести сложного сечения в координатных
осях XOY.
2.2. Моменты инерции сечения
Осевой (или экваториальный) момент инерции сечения относительно оси
(Ix, Iy) численно равен сумме произведений площадей элементарных площадок
на квадраты их расстояний до данной оси, взятой по всей площади сечения –
единицы измерения (м4):
I x   у 2 dA,
A
I y   х dA.
2
(5)
A
Полярный момент инерции (Iр), единицы измерения (м4):
I p    2 dA ,
(6)
A
где  – радиус-вектор, определяющий положение элементарной площадки
dA.
Осевые и полярные моменты инерции являются величинами существенно
положительными.
Центробежный момент инерции (Ixy), единицы измерения (м4):
I xy   xydA,
(7)
A
может быть положительным, отрицательным или равным нулю.
Величина осевого, центробежного и полярного моментов инерции плоского
сечения зависит от положения координатных осей, относительно которых они
рассчитываются. В зависимости от положения, координатные оси могут под5
разделяться на оси общего положения, центральные и главные центральные
оси.
Оси, проходящие через центр тяжести сечения называются центральными.
При вычислении моментов инерции сложных сечений относительно различных осей широко применяются формулы перехода к параллельным осям и
или к осям, повернутым по отношению к исходным осям на заданный угол.
2.3. Определение геометрических характеристик при
параллельном переносе или повороте координатных осей
На рис. 2.2 показано плоское сечение и два семейства параллельных между
собой координатных осей, причем оси XOY будем считать исходными, а оси
X1O1Y1 искомыми.
Y1
Y
b
A
dA
O
X
a
.
O1
X1
Рис. 2.2.
Пусть известны моменты инерции сечения (Ix, Iy, Ixy), показанного на
рис. 2.2 относительно исходных координатных осей XOY, а, координатные оси
X1O1Y1 параллельны исходным координатным осям. Тогда геометрические характеристики Ix1, Iy1, Ix1y1 будут определяться:
I x1  I x  2aS x  a 2 A,
I y1  I y  2bSy  b 2 A,
I x1y1  I xy  bSx  aS y  abA.
6
(8)
Если исходные оси являются центральными осями (рис. 2.3), то моменты
инерции относительно осей параллельных центральным осям будут равны:
I x1  I xc  a 2 A,
I y1  I yc  b 2 A,
(9)
I x1y1  I xy  abA.
Y1
Yc
b
A
dA
.
Xc
a
C
O1
X1
Рис. 2.3.
На рис. 2.4 показаны сечение площадью А и исходные координатные оси
XOY, моменты инерции относительно которых известны и равны Ix, Iy, Ixy. Если
исходные оси повернуть на угол , то получим новые оси VOU, причем угол 
будем считать положительным, если исходные оси поворачиваются против хода часовой стрелки.
Тогда осевые и центробежные моменты инерции относительно повернутых
осей будут определяться с помощью следующих соотношений:
I u  I x cos2   I y sin 2   I xy sin 2,
I v  I x sin 2   I y cos2   I xy sin 2,
Ix  Iy
sin 2  I xy cos 2.
2
Из первых двух соотношений (11) следует:
I x  I y  I u  I v  const.
(10)
I uv 
7
(11)
V
Y
A
dA
U

O
X
Рис. 2.4.
2.4. Главные центральные оси и главные
центральные моменты инерции
Главными осями являются такие две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции принимают максимальное и минимальное значение. Если начало координат таких осей совпадает с центром тяжести сечения, то они называются главными центральными осями, а моменты инерции относительно этих
осей называются главными центральными моментами инерции.
Положение главных осей U0OV0 относительно заданных исходных осей
XOY (рис. 2.5) позволяет определить следующее соотношение:
2I xy
(12)
tg 2 0  
.
Ix  Iy
Здесь 0 – угол, определяющий положение главных осей U0OV0 относительно исходных осей XOY. Причем угол 0 может быть как положительным,
так и отрицательным. Если угол 0 положительный, то для определения положения одной из главных осей, необходимо ось Х повернуть на угол 0 против
хода часовой стрелки, а если 0 отрицательный – по ходу часовой стрелки. При
этом вторая главная ось будет перпендикулярна полученной главной оси.
Одна из главных осей будет осью максимум (относительно нее осевой момент инерции максимален), а другая – осью минимум (относительно нее осевой
момент инерции сечения минимален).
8
Ось максимума всегда составляет меньший угол с той из исходных осей (Х
или Y) относительно которой осевой момент инерции имеет большее значение.
Это обстоятельство позволяет легко устанавливать, какая из главных осей
инерции является осью максимум, какая – осью минимум.
î ñü ì àêñè ì óì
Y
V0
Y
V0
I x< I y
I x > Iy
U0
ì
ó
ì
è
ñ
àê
î ñü ì

o
O
O
X
î ñü ì
î ñü ì è í è ì óì
èí èì
á)
a)
óì
X

o
U0
Рис. 2.5
Так, например, на (рис. 2.5, а) определено положение главных осей инерции, относительно которых моменты инерции принимают максимальное и минимальное значение при Ix  Iy и 0  0, а на рис. 2.5,б – при Ix  Iy и 0  0.
Значения главных моментов инерции определяются следующими выражениями:
I max I x  I y 1


(I x  I y ) 2  4I 2xy .
(13)
min
2
2
Главные оси инерции можно провести через любую точку, взятую в плоскости сечения. Однако практическое значение для расчетов элементов конструкций имеют лишь главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, т. е.
главные центральные оси инерции.
Если сечение имеет оси симметрии, то главные центральные оси совпадают
с этими осями.
2.5. Осевые моменты сопротивления,
радиусы инерции и эллипс инерции
Осевым моментом сопротивления сечения относительно оси (Wх,
Wу)называется геометрическая характеристика сечения, вычисляемая по одной
из формул:
I
Wx  x ,
у max
(14)
Iy
Wy 
,
х max
9
где Уmax и Xmax – расстояния от соответствующей оси до наиболее удаленных точек сечения (рис. 2.6).
h
Ómax= h/2
Ó
Ómax
Ó
Ñ
Õ
Ñ
Õ
à)
Õ max
á)
b
Õmax= b/2
Рис. 2.6.
Полярным моментом сопротивления сечения Wр называется геометрическая
характеристика сечения, вычисляемая по формуле:
Ip
,
(15)
Wp 
 max
где Iр – полярный момент инерции; max – расстояние от центра тяжести сечения до наиболее удаленной его точки.
Радиусом инерции сечения относительно некоторой оси, например Х, называется величина ix, определяемая из соотношения:
(16)
I x  A  i 2x .
Из (16) следует, что радиус инерции равен расстоянию от оси Х до той точки, в которой следует сосредоточить (условно) площадь сечения А, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего сечения.
Радиусы инерции сечения относительно соответствующих координатных
осей будут определяться:
I
ix  x ,
A
(17)
Iy
iy 
.
A
Радиусы инерции, соответствующие главным центральным осям, называются главными радиусами инерции и определяются по формулам:
I
I
i max  max , i min  min .
(18)
A
A
На главных центральных осях инерции построим эллипс с полуосями, равными главным радиусам инерции, причем вдоль оси U отложим радиус инерции iv, а вдоль оси V – радиус инерции iu (рис. 2.7).
10
V
Z
iu
A
U
iu
O
iv
iv
Рис. 2.7.
Такой эллипс, называемый эллипсом инерции, обладает следующим замечательным свойством: радиус инерции относительно любой центральной оси Z
определяется как перпендикуляр ОА, проведенный из центра эллипса к его касательной, параллельной данной оси. Для получения же точки касания достаточно провести параллельно данной оси Z любую хорду. Точка пересечения
эллипса с прямой, соединяющей центр тяжести О и середину хорды, и есть
точка касания. Измерив затем отрезок ОА = iz, находим момент инерции:
(19)
I z  A  i 2z .
В табл. 1 приводятся основные геометрические характеристики некоторых
простых сечений.
Таблица 1
Выражения для определения
геометрических характеристик
Вид сечения
Прямоугольник: начало координат
лежит в центре тяжести.
Ó
b/2
.
C
bh 3
b3 h
A  b  h; I x 
; Iy 
;
12
12
i x  0,29h; i y  0,29b;
X
h/2
h
1
Wx 
b
11
bh 2
b2h
; Wy 
.
6
6
Продолжение табл. 1
2
Треугольник: начало координат
лежит в центре тяжести.
Ó
bh
bh 3
A
; Ix 
;
2
36
e
Iy 
X
ix 
h/3
h
C
h
3 2
bh(b 2  be  e 2 )
;
36
 0,24h; Wx 
bh 2
.
24
b
Круг: начало координат
лежит в центре тяжести.
3
  D2
A
 0,8D 2 ;
4
Ó
Д 4
Ix  Iy 
 0,05D 4 ;
64
D
D 4
Iр 
 0,1D 4 ;
32
Õ
D 3
Wx  Wy 
 0,1D 3 ;
32
i x  i y  i  0,25D;
C
D 3
Wр 
 0,2D 3 .
16
d
 ;
D
Кольцо: начало координат
лежит в центре тяжести.
4
D
 2
D 2
2
A  (D  d ) 
(1   2 )  0,8D 2 (1   2 );
4
4
Ó
d
Õ
D 4
Ix  Iy  I 
(1   4 )  0,05D 4 (1   4 );
64
D 4
Iр 
(1   4 )  0,1D 4 (1   4 );
32
C
Wx  Wx  W 
Wр 
D 3
(1   4 )  0,1D 3 (1   4 );
32
D 3
(1   4 )  0,2D 3 (1   4 );
16
i x  i y  i  0,25 D 2  d 2 .
12
3. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛОЖНЫХ СЕЧЕНИЙ
Наиболее часто задачи по определению геометрических характеристик
сложных сечений заключаются в определении главных центральных моментов
инерции этих сечений.
3. 1. Порядок решения задачи по определению главных
центральных моментов инерции сложного сечения
Пусть задано сложное плоское сечение (рис. 3.1), для которого необходимо
построить главные центральные оси U и V и вычислить геометрические характеристики этого сечения относительно главных центральных осей.
Решение
а) Разбиваем сложное сечение на ряд простых сечений и обозначаем их
римскими цифрами (рис. 3.1).
б) Связываем сечение с произвольной системой прямоугольных координат,
причем предпочтительно эту систему координат связывать с центром тяжести
одного из простых сечений. Так, например, на рис. 3.1 в качестве вспомогательных осей будем использовать оси X2 и Y2, проведенные через центр тяжести сечения II.
V
Y1
Y2
Yc
Xc
U
Ñ1
X1
II
Ñ2
Yc
I
Ñ
Y3
Рис. 3.1.
13
Õc
Õ3
Ñ3
III
0
Õ2
в) Используя соотношения (4), вычисляем координаты центра тяжести (хc, уc)
сложного сечения и по полученным результатам, в рассматриваемом сложном
сечении, проводим центральные оси Xc и Yc.
г) Используя соотношения, приведенные в табл. 1, вычисляем главные центральные моменты инерции простых сечений Ixi, Iyi, относительно соответствующих центральных осей Хi, Yi, затем с помощью формул перехода к параллельным осям (9) определяем моменты инерции простых сечений относительно центральных осей Xc, Yc:
I Ix , I Iy , I Ix , y ; I II
, I II
, I II
; I III
, I III
, I III
.
x
y
x ,y
x
y
x ,y
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
д) По найденным значениям моментов инерции простых сечений вычисляем значения моментов инерции всего сечения относительно центральных осей
Xc, Yc, как алгебраические суммы соответствующих геометрических характеристик простых сечений, т. е.:
I x c  I Ix  I II
 ...  I kx ,
x
I yc 
c
c
I Iy
c
 I II
yc
I x c y c  I Ix
c yc
c
 ...  I ky ,
c
 I II
x
c yc
 ...  I kx
(20)
c yc
.
ж) По формулам (12) и (13) определяем положение главных центральных
осей инерции U, V (рис. 3.1) и значения главных центральных моментов инерции Iu, Iv.
з) Если это необходимо по условиям решения задачи, с использованием
формул (14  18) вычисляем осевые моменты сопротивления Wu, Wv и радиусы
iu, iv инерции сложного сечения.
4. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И ПРИМЕР
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
СЛОЖНОГО СПЛОШНОГО СЕЧЕНИЯ
4.1. Индивидуальные задания
Для заданного сложного сечения необходимо:
1. Определить положение центра тяжести сечения.
2. Вычислить значения главных центральных моментов и радиусов инерции.
3. Вычислить осевой момент инерции сечения относительно оси, проведенной по отношению к главной центральной оси U под углом .
4. Построить эллипс инерции и с его помощью вычислить осевой момент
инерции сечения относительно оси, проведенной по отношению к главной центральной оси U под углом .
5. Вычислить моменты сопротивления сечения относительно главных центральных осей.
14
Данные для решения задачи взять из табл. 2 и приложения I (стр. 25).
Таблица 2
Варианты
а (см)

1
10
20
2
20
- 20
3
25
30
4
30
- 30
5
5
45
6
15
- 45
4.2. Пример выполнения задания
Для заданного сложного сечения необходимо определить геометрические
характеристики (состав задания см. п. 4.1). Дополнительные данные: угол
 = -600, параметр а = 10 см.
Решение
1. Определение положения центра тяжести сечения.
Разобьем заданное сложное сечение на ряд простых сечений: I, II, III и IV
(рис. 4.1. а). Определим площади простых сечений АI, AII, AIII, AIV и площадь
сложного сечения А:
A  A I  2A II  A III  A IV ,
AI  2,5a  2a  5a 2 ; AII  1,5a  2a  0,5  1,5a 2 ,
A III  3a  6a  18a 2 ; A IV  2a  2a  4a 2 ,
A  5a 2  2 1,5a 2  18a 2  4a 2  22a 2  2200 см2 .
Поскольку рассматриваемое сечение имеет ось симметрии (V), то эта ось
является одной из искомых главных центральных осей инерции сечения.
Для определения положения второй главной центральной оси U, через
центр тяжести простых сечений, проведем оси X1, X2, X3 и X4. В качестве
вспомогательной оси для вычисления координат центра тяжести сечения выберем ось X3, связанную с центром тяжести прямоугольника III (рис. 4.1. а), тогда:
S x 3  SIx  2SII
 SIII
 SIV
;
x
x
x
3
3
3
3
SIx  у c1  A I  2,75a  5a 2  13,75a 3  13750 см3 ;
3
SII
 у c 2  A II  2a 1,5a 2  3a 3  3000 см3 ;
x
3
SIII
 0;
x
3
SIV
 у c 4  A IV  0,5a  4a 2  2a 3  2000 см3 ;
x
3
S x 3  13750  2  3000  2000  17750 см3 .
15
Используя соотношения (4), находим координату центра тяжести сечения
уc:
уc 
Sx3
17750
 0,81а 
 8,1см .
A
2200
V
1,5a
II
III
Рис. 4.1 б. C2
III
X2
C2
U
IV C
X3
X4
2a
a
2a
a
ó c2= 2a
C3
4
3a
C4
ó c = 0,5à
óñ
IV
X1
Ñ1
II
1
I
a
I
Y2
ó c = 2,75a
2
á)
a)
Рис. 4.1.
По полученному значению ус, на (рис. 4.1, б) покажем положение центра
тяжести сечения, обозначив его буквой С и проведем через центр тяжести вторую главную центральную ось U.
2. Вычисление значений главных центральных моментов и радиусов инерции (рис. 4.2):
III
IV
I u  I Iu  2I II
u  Iu  Iu ;
2a  (2,5a )3
31,25a 4
 (1,94a ) 2  5a 2 
 18,82a 4  21,42a 4 ;
12
12
3
2a  (1,5a )
6,75a 4
2
II
2
2
 t2 A 
 (1,19a ) 1,5a 
 1,42a 2 1,5a 2 
36
36
I Iu  I Ix  t12  A I 
1
II
I II
u  Ix
2
 0,19a 4  2,13a 4  2,32a 4 ;
I III
u
 I III
x3
6a  (3a ) 3
A 
 (0,81a ) 2  18a 2  13,5a 4  11,8a 4  25,3a 4 ;
12
2a  (2a ) 3 2 IV
2
IV
 t4 A 
 t 4  A  1,33a 4  (0,31a ) 2  4a 2 
12
 t 32
IV
I IV
u  Ix
4
III
 1,33a 4  0,4a 4  1,73a 4 ;
I u  21,42a 4  2  2,32a 4  25,3a 4  1,73a 4  49,63a 4  496300 см4 ;
III
IV
I v  I Iv  2I II
v  Iv  Iv ;
16
2,5a  (2a )3

 1,67a 4 ;
12
3
1,5a  (2a )
  22  A II 
 (1,67 a ) 2 1,5a 2  0,33a 4  2,79a 2 1,5a 2 
36
I Iv
II
I II
v  Iy
2
 0,33a 4  4,18a 4  4,51a 4 ;
3
3a  (6a )3
4
IV 2a  ( 2a )

 54a ; I v 
 1,33a 4 ;
12
12
4
4
4
4
I v  1,67a  2  4,51a  54a  1,33a  63,4a 4  63400,0 см4 ;
I III
v
Iu
496300

 15 см;
A
2200
I
634000
iv  v 
 288  17 см.
A
2200
iu 
V
l2
C2
Y2
t2
C1
X1
t1
X2
C4
C3
X4
t4
t3
U
X3
Рис. 4.2.
3. Вычисление осевого момента инерции I ан
L сечения относительно оси L:
2
2
2
2
I ан
L  I u cos   I v sin   49630  0,9  634000  (0,5) 
 40200  158500  56050 см4 .
17
Тогда погрешность графического определения момента инерции будет равна:

ан
I гр
L  IL
100 %  0,48 % .
I ан
L
4. Построение эллипса инерции и графическое определение момента инерции сечения относительно оси L.
В заданном сложном сечении проведем ось L, составляющую угол  = -60°
по отношению к главной центральной оси U.
На главных центральных осях U и V построим эллипс инерции, такой что
его полуось СМ = iv =17 см и полуось СN = iи = 15 см.
Затем проведем касательную к эллипсу инерции параллельную оси L с точкой касания К.
Положение точки касания К определим, проведя хорду (1-2) параллельную
оси L. Точка пересечения эллипса и луча CН, проведенного из центра тяжести
сечения через точку Н, являющуюся серединой хорды (1-2) и будет определять
положение точки касания К (рис. 4.3). А радиус инерции будет определяться
отрезком СЕ.
ýëëè ï ñ è í åðöè è
V
u max
iv
L
vmax
õî ðäà
Ê .
E
Í
iu
N
2
M
C

1
i ãð
L = h
êàñàòåëüí àÿ
Рис. 4.3.
18
U
гр
Тогда радиус i гр
L и момент инерции I L инерции данного сечения относительно оси L, найденные графическим способом, будут равны:
i гр
L  EC  16,0 см  h;
2
2
4
I гр
L  h A  16,0  2200  56320 см .
Тогда погрешность графического определения момента инерции будет рав-
на:

ан
I гр
L  IL
100 %  0,48 % .
I ан
L
5. Вычисление моментов сопротивления сечения (Wu и Wv) относительно
главных центральных осей:
Iu
49630 см 4
Wu 

 1555,8 см3 ;
v max
31,9 см
Wv 
Iv
u max
63400 см 4

 2113,3 см3 .
30
5. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И ПРИМЕР
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
СЛОЖНОГО СОСТАВНОГО СЕЧЕНИЯ
5.1. Индивидуальные задания
Для заданного сложного составного сечения необходимо:
1. Определить положение центра тяжести сечения.
2. Вычислить значения главных центральных моментов инерции и радиусов инерции.
3. Построить эллипс инерции.
4. Вычислить осевой момент инерции сечения относительно оси, проведенной по отношению к главной центральной оси (U) под углом .
5. Вычислить моменты сопротивления сечения относительно главных центральных осей инерции.
Данные для решения задачи взять из табл. 3 и из приложения II (стр. 28).
Таблица 3
a
№
1
2
3
4
5
№ двутавра
20
24
30
40
36
№ швеллера
20
24
30
40
36
мм
100×100×4
80×80×6
75×75×6
90×90×6
100×100×8
19
мм
140×90×8
70×45×5
80×50×6
110×70×8
100×63×6
см
2
4
4
4
2
b

см град
10 45
12 -45
10 30
16 -30
12 60
5.2. Пример выполнения задания
Y3
= 4,49 ñì
X1
III
Ñ1
X1
X3
C3
Y2
X2
C2
X3
t X = 2,07 ñì
II
1
20 ñì
7,6 ñì
tY2= 2,07 ñì
20 ñì
Y1
I
9 ñì
t
X1
3
Y2
tY= 2,03 ñì
Y1
Рис. 5.1.
Для заданного сложного составного сечения (рис. 5.1.) необходимо определить геометрические характеристики (состав задания см. п. 5.1). Дополнительные данные:  = 45, составное сечение состоит из прокатных профилей: двутавр № 20; швеллер № 20; неравнобокий уголок, имеющий размеры 140×90×8
(в мм); параметры а = 2 см; b = 10 см.
Решение
1. Определение положения центра тяжести сечения.
В качестве вспомогательных осей при определении координат центра тяжести сечения будем использовать систему осей X2, Y2, проходящих через центр
тяжести швеллера, т. е. точку С2 (рис. 5.1).
Используя соотношения (1) и (2) найдем:
A  A I  A II  A III  23,4  23,4  18  64,8 см2 ;
SIx  у1  A I  4,47  23,4  104,6 см3 ,
2
где у1 = 10 – (6,7 – 2,07) = 4,47 см;
SIy  х1  A I  12,07  23,4  282,4 см3 ,
2
где х1 = – (10 + 2,07) = – 12,07 см;
II
SII
x 2  0; Sy 2  0;
20
S III
 y 3  A III  4,1 18  73,8 см3 ,
x
2
где у3 = 2,07 + 2,03 = 4,1 см;
S III
 x 3  A III  5,51 18  99,2 см3 ,
y
2
где х3 = 10 – 4,49 = 5,51 см.
Тогда:
S x 2  SIx  SII
 SIII
 104,6  0  73,8  178,4 см3 ;
x
x
S y 2  SIу
2
2
2
2
 SII
у2
 SIII
у2
 282,4  0  99,2  183,2 см3 .
Тогда используя формулы (4), найдем координаты центра тяжести сечения:
S y 2  183,2 см3
xc 

 2,83 см,
A
64,8 см 2
S x 2 178,4 см3
yc 

 2,75 см.
A
64,8 см 2
Центр тяжести сечения обозначим буквой С и проведем центральные оси
Xc.и Yc (рис. 5.2).
2. Вычисление главных центральных моментов и радиусов инерции.
Определим значения моментов инерции сечения относительно центральных
осей Xc, Yc, используя соотношения (20).
При этом координаты центров тяжестей простых сечений, из которых состоит рассматриваемое сложное сечение, будут равны:
y c1  10  7,6  2,07  2,75  1,72 см;
x c1  10  2,07  2,83  9,24 см;
y c 2  2,75 см;
x c 2  2,83 см;
y c3  2,03  2,07  2,75  1,35 см;
x c3  10  4,49  2,83  8,34 см.
Тогда:
I x c  I Ix  I II
 I III
;
x
x
c
c
c
I Ix  I Ix  y c2  A I  1520  1,72 2  23,4  1589 см4 ;
c
1
1
II
II
2
I x  I x  y c  A II  113  (2,75) 2  23,4  290 см4 ;
c
2
2
III
III
I x  I x  y c2  A III  120  (1,35) 2 18  152,8 см4 ;
c
3
3
I x c  1589  290  152,8  2031,8 см4 ;
I yc  I Iy  I II
 I III
;
y
yc
c
c
I Iy  I Iy  x c2  A I  113  (9,24) 2  23,4  2111 см4 ;
c
1
1
21
I II
 I II
 x c2  A II  1520  (2,83) 2  23,4  1707 см4 ;
y
y
c
2
I III
yc

2
I III
y3
 x c2  A III  364  (8,34) 2 18  1616 см4 ;
3
I yc  2111  1707  1616  5434 см4 .
I x c yc  I Ix
I Ix
c yc
 I Ix
1y1
I II
 I II
x y
x
c c
2 y2
c yc
 I II
 I III
;
x y
x y
c c
c c
 x c1  y c1  A I  0  9,24 1,72  23,4  372 см4 ;
 x c 2  y c 2  A II  0  2,83  2,75  23,4  182 см 4 ;
I III
 I III
 x c3  y c3  A III  121  8,34 1,35 18  324 см 4 ;
x y
x y
c c
3 3
I x c yc  372  182  324  230 см4 .
Зная значения моментов инерции Ixc, Iyc, Ixcyc, используя соотношения (12) и
(13) найдем положение главных центральных осей инерции и значения главных центральных моментов инерции:
2I x c y c
2  230
tg 2 0  

 0,136 .
I x c  I yc
2032  5434
2 0  7,8;
 0  3,9.
I x c  I yc 1

(I x c  I yc ) 2  4I 2x y 
c c
2
2
2032  5434 1


(2032  5434 ) 2  4(230 ) 2  3733  176  5449 см 4 ;
2
2
I x  I yc 1
I min  c

(I x c  I y c ) 2  4I 2x y  3733  1716  2017 см4 .
c c
2
2
Поскольку I yc  5434 см4  I x c  2031,8 см4 , а угол 0 острый, то
I max 
I max  I u  5449 см4 ; I min  I v  2017 см4 .
По полученным данным построим главные центральные оси U, V (рис. 5.2)
и вычислим радиусы инерции iu, iv.
I
2017
iu  u 
 5,58 см;
A
64,8
iv 
Iv
5449

 9,17 см.
A
64,8
22
x c3
Y1
Yc
xc
xc
1
I
Y2
2
V
III
X1
X3
C3
yc3
yc 1
C1
Y3
yc
2
0
X2
C2
C
Xc
U
II
Рис. 5.2.
3. Построение эллипса инерции.
Используя полученные значения радиусов инерции iu, iv, в определенном
масштабе построим эллипс инерции (рис. 5.3).
Yñ
êàñàòåëüí àÿ
V
L
vmax
h
.
A
K
2
N
C

iu
Xc
U
õî ðäà
0
1
ýëëè ï ñ è í åðöè è
iv
u max
Рис. 5.3.
23
4. Вычисление осевого момента инерции относительно оси L.
Графическое определение момента инерции относительно оси L – I гр
L .
Проведем хорду (1-2) параллельную оси L (см. рис. 5.3).
Из точки С, через середину хорды (точку N), проведем луч CN, точка пересечения которого с эллипсом будет определять точку касания К. Через точку К,
проведем касательную параллельную оси L, и из точки С опустим перпендикуляр СА, длина которого h = CA = 7,5 см, и будет определять величину радиуса
инерции (h) сечения относительно оси L.
Тогда:
2
2
4
I гр
L  h  A  7,5  64,8  3645 см .
Аналитическое определение момента инерции относительно оси L – I ан
L :
2
2
2
2
4
I ан
L  I u cos   I v sin   2047  0,7  5419  0,7  3658 см .
Погрешность определения момента инерции графическим способом будет
равна:

ан
I гр
L  IL
100 % 
3645  3658
100 %  0,36 % .
3658
I ан
L
5. Вычисление моментов сопротивления сечения (Wu, Wv) относительно
главных центральных осей инерции:
v max  (20  5,57  2,75)  cos  0  11,6 см;
u max  (10  2,83)  cos  0  12,8 см;
I
2047
Wu  u 
 176,5см3 ;
v max 11,6
I
5419
Wv  v 
 423,4см3 .
u max 12,8
24
6. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Прежде чем приступить к выполнению индивидуального задания необходимо ответить на приведенные ниже вопросы. Тем самым Вы проверите знания
основного теоретического материала и подготовитесь к «защите» выполненного индивидуального задания.
1. Какие сечения называют простыми?
2. Какие сечения называют сложными?
3. Что такое статический момент сечения относительно оси и как он определяется?
4. Изложите последовательность определения координат центра тяжести
сложного сечения.
5. Какие оси называют центральными осями инерции?
6. Сколько систем центральных осей можно построить в плоском сечении?
7. Что такое момент инерции сечения относительно оси и как он определяется для простого и сложного сечения?
8. Что такое центробежный момент инерции относительно системы осей и
как он определяется для простого и сложного сечения?
9. Какие оси называются главными осями и какими свойствами они обладают?
10. Дайте определения главных центральных осей инерции.
11. Как определить положение главных центральных осей инерции сечения,
если известно положение центральных осей инерции и значение осевых и центробежного моментов инерции относительно этих осей?
12. Что такое эллипс инерции и каким свойством он обладает?
13. Что такое радиус инерции сечения относительно оси и как он определяется?
14. Что такое момент сопротивления сечения относительно оси и как он
определяется?
15. Какое правило знаков используется для определения осевых моментов
инерции при повороте координатных осей?
16. Изменяется ли сумма осевых моментов инерции относительно системы
осей при ее повороте (обоснуйте ответ)?
25
7. ПРИЛОЖЕНИЕ I
Варианты сложных сплошных сечений
a
1,5a a
2a
2a
a
a
a
5
1,5a
2a
2a
a
a
a
a/2
a a a
a
a
a
1,5a 1,5a a
a
a/2
12
2a
2a
1,5a
2a
2a
2a
11
2a
10
2a
a/2
1,5a 1,5a
a
2a
a/2
a
a/2
a/2
9
a
a
a
2a
1,5a a
a
2a
a
a
8
a/2
a
a
6
2a
7
a
a
a
2a
a
2a
2a
2a
a
a
a/2
a
2a
a
2a
a
2a
4
2a
a
a
1,5a a
2a
a
2a
3
2,5a 1,5a
2
1
a
2a
26
a
2a
2a
Продолжение прилож. I
2a
2a
a
a/2
2a
2a
a
a a a
a
2a
a
2a
2a
2a
4a
1,5a
20
a
2a
2a
a
a
a
a
2a
2a
a
a
23
a
24
4a
a
2a
27
a
a
a
2a
2a
2a
a
2a
a
a
a
a
3a
a a
a
a
a
2a
2a
21
3a
a
2a
a
2a
a/2
3a
a
3a
3a
2a
22
2a
2a
a
18
a
a
4a
3a
19
a
a
17
2a
16
a
15
14
2a
1,5a 2a
2a a a
2a
13
a
a
Окончание прилож. I
a
27
2a
2a
a a
a/2
2a
a
a
a 1,5a
26
2a
2a
2a
2a
2a
2a
2a
2a
2a
30
29
a/2
a/2
2a
2a
2a
a/2
a
2a
2a
2a
a
2a
a/2
28
2a
a
25
a
a
28
ПРИЛОЖЕНИЕ II
Варианты сложных составных сечений
1
Y à
2
Y
Õ
à
Õ
4
Y
Y
Õ
c
3
b
Õ
à
6
Y
a
Y
à
5
Õ
b
Õ
29
Продолжение прил. II
8
Y
Y
b
7
à
Õ
a
Õ
c
9
10
Y
Y
Õ
Õ
à
b
c
b
11
12
Y
Y
Õ
a
Õ
a
30
Продолжение прил. II
14
Y
à
Y
b
13
Õ
Õ
c
15
Y
a
16
Y
Õ
Õ
a
à
b
17
18
Y
Õ
Y
Õ
31
Продолжение прил. II
19
Y
20
Y
Õ
22
Y
Y
b
c
21
Õ
Õ
Õ
à
23
24
Y
Õ
Y
Õ
32
Окончание прил. II
25
Y
26
Y
Õ
X
27
Y
28
Y
Õ
29
Õ
Y
30
Y
Õ
Õ
8. ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Федосеев В. И. Сопротивление материалов: Учебник для вузов. – 10-е
изд., допол. и перераб. – М.: Изд. МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. – 592 с.
2. Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. – М.: Наука,
1976. – 608 с.
33
СОДЕРЖАНИЕ
1. Порядок проведения занятия……………………………………………………3
2. Основные теоретические положения…………………………………….……..3
3. Методические указания к определению геометрических
характеристик сложного сплошного сечения………………………………...13
4. Индивидуальные задания и пример определения
геометрических характеристик сложного сплошного сечения……………..14
5. Индивидуальные задания и пример определения геометрических
характеристик сложного составного сечения………………………………...19
6. Контрольные вопросы………………………………………………………….25
7. Приложение I………………………………..…………………………………..26
8. Приложение II……………………………..……………………………………26
9. Используемая литература………………………………………………………33
34
Составитель Александр Владимирович Белов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
СЛОЖНЫХ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
Методические указания к практическим занятиям по дисциплине
«Сопротивление материалов»
Издано в редакции авторов
Темплан 2003 г., поз. № 248
Подписано в печать 20.12.2003. Формат стандартный 1/8
Бумага газетная. Печать офсетная. Усл. л. 4.
Уч.-изд. л. 4,37. Тираж 100. Заказ
Волгоградский государственный технический университет.
400131 Волгоград, просп. им. В. И. Ленина, 28.
РПК «Политехник»
Волгоградского государственного технического университета.
400131 Волгоград, ул. Советская, 35.
Отпечатано в муниципальном унитарном предприятии
«Камышинская типография»
лицензия НД № 05440 от 20 июля 2001 г.
403882, Волгоградская обл., г. Камышин, ул. Красная 14.
35