Единый государственный экзамен, 2015 г. Математика, 11 класс

Единый государственный экзамен, 2015 г.
Математика, 11 класс
26.03.15
Досрочный
15. а) Решите уравнение 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟑 𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝟏 = 0
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [𝟐𝝅;
Решение:
a) (𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 1)(2𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1) = 0
1
→
𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2
𝟕𝝅
𝟐
]
𝜋
→
𝑥 = ± 3 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍 .
б)
I
I
I
I
-
2𝝅
𝝅
Ответ: а) ± 𝟑 + 𝟐𝝅𝒏; 𝒏 ∈ 𝒁;
б)
𝟕𝝅
𝟑
I
I
I
I
𝟕𝝅
𝟕𝝅
𝟑
𝟐
I
I
X
.
16. В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 5. На его ребре ВВ1 отмечена точка К
так, что КВ=3. Через точки К и С1 проведена плоскость 𝜶, параллельная прямой
ВD1.
а) Докажите, что А1Р:РВ1=1:2, где Р – точка пересечения плоскости 𝜶 с ребром
А1В1 .
б) Найдите объем большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью
𝜶.
Решение: а) Сначала построим нужное сечение. Так как плоскость параллельна прямой ВD1, то проведём в
прямоугольнике ВВ1D1D через точку К прямую КМ, параллельную ВD1. Поскольку В1К : ВК = 2 : 3, то и В1М :
МD1 = 2 : 3. В1D1 – диагональ квадрата со стороной 5, тогда В1D1 = 5√2, В1М = 2√2.
C1
B1
M
D1
B1
K
A1 P
C
D
C1
M
B
A
P
D1
A1
Рассмотрим треугольник В1С1М . По теореме косинусов вычисляем МС1 = √13. По теореме синусов вычисляем
sinC1 =
2
.
√13
По основной формуле тригонометрии находим cosC1 =
В прямоугольном треугольнике РВ1С1 находим катет В1Р =
что и требовалось доказать.
10
.
3
3
.
√13
2
Тогда tgC1 = 3.
Тогда А1Р = 5 −
10
3
5
3
= . Значит, А1Р : РВ1 = 1 : 2
1
1
б) Найдём объем пирамиды с основанием СВ1Р и высотой В1К: 𝑉1 = 3 ∙ (2 ∙ 5 ∙
куба: 125 −
50
9
=
1075
9
= 119
10
)∙
3
2=
50
.
9
Вычтем его из объёма
4
9
𝟒
Ответ: 𝟏𝟏𝟗 𝟗.
17. Решите неравенство: 𝒍𝒐𝒈𝟐𝟐 (𝟒 + 𝟑𝒙 − 𝒙𝟐 ) + 𝟕𝒍𝒐𝒈𝟎,𝟓 (𝟒 + 𝟑𝒙 − 𝒙𝟐 ) − 𝟏𝟎 > 0.
Решение: Преобразуем левую часть неравенства и введём замену 𝑙𝑜𝑔2 (4 + 3𝑥 − 𝑥 2 ) = 𝑡
𝑙𝑜𝑔22 (4 + 3𝑥 − 𝑥 2 ) + 7𝑙𝑜𝑔0,5 (4 + 3𝑥 − 𝑥 2 ) − 10 = 𝑙𝑜𝑔22 (4 + 3𝑥 − 𝑥 2 ) − 7𝑙𝑜𝑔2 (4 + 3𝑥 − 𝑥 2 ) − 10 > 0
𝑡 2 − 7𝑡 − 10 > 0
Решим это квадратное неравенство, вернёмся к замене, получим: [
𝑙𝑜𝑔2 (4 + 3𝑥 − 𝑥 2 ) < 𝑙𝑜𝑔2 4
: [
𝑙𝑜𝑔2 (4 + 3𝑥 − 𝑥 2 ) > 𝑙𝑜𝑔2 32
→
4 + 3𝑥 − 𝑥 2 > 0
{ 4 + 3𝑥 − 𝑥 2 < 4
[
4 + 3𝑥 − 𝑥 2 > 32
→
𝑙𝑜𝑔2 (4 + 3𝑥 − 𝑥 2 ) < 2
𝑙𝑜𝑔2 (4 + 3𝑥 − 𝑥 2 ) > 5
2
{4 + 3𝑥 − 𝑥 2 > 0.
4 + 3𝑥 − 𝑥 < 4
Решив эту систему, получаем ответ задачи.
Ответ: (–1; 0)∪ (𝟑; 𝟒).
18. К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекаю
щая стороны АВ и AD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке Р. В каком отношении делит сторону
ВС прямая, проходящая через точку Р и центр окружности, если АМ:МВ=1:2?
Решение: Пусть сторона квадрата равна а. Обозначим точки касания окружности и квадрата буквами X, Y, Z и
T. Очевидно, что эти точки делят стороны квадрата пополам. Обозначим точку касания окружности и прямой
MN буквой К.
A
M
Y
B
K
P
N
E
X
Z
D
T
C
а) Отрезки касательных, проведённых из одной точки к одной и той же окружности равны. Значит, XN = NK,
KM = MY. Тогда: PAMN = AM + AN + MN = AM + AN + (NK + KM) = AM + AN + (NX + MY) = (AM + MY) + (AN
+ NX) = AY + AX = 0,5a + 0,5a = a, что и требовалось доказать.
𝑎
б) Если АМ : МВ = 1 : 2, то АМ = 3, MY =
𝑎
6
𝑎
, а также r = 2.
.
A
M
Y
B
K
𝛾
N
Н
X
P
D
E
О
Z
T
C
В таком случае, из прямоугольного треугольника MOY получим тангенс для угла МОY (назовём этот угол 𝛾). Он
1
3
равен .
Из равенства треугольников MOY и МОК получим, что  КOY = 2 𝛾. Но тогда  КТY = 𝛾, так как он опирается
на дугу КY = 2 𝛾 и является вписанным в окружность.
Построим отрезок КТ и назовём точку пересечения его и прямой РО буквой Н. Треугольники ТОН и РОТ
подобны, так как оба прямоугольные имеют общий угол О. Но тогда  Р = 𝛾.
1
ОZ и РС параллельны, поэтому соответственные углы Р и ЕОZ равны. Значит tgEOZ = 3. В таком случае
𝑎
6
легко вычисляем 𝐸𝑍 = ; 𝐵𝐸 =
𝑎
;
3
𝐸𝐶 =
2𝑎
.
3
Значит, точка Е делит сторону ВС в отношении 1 : 2.
Ответ: 1 : 2.
19. Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах
производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе , расположенном во
втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате , если
рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно 𝒕𝟐 часов в
неделю, то за эту неделю они производят 2t единиц товара; если рабочие на
заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно 𝒕𝟐 часов в неделю,
то за эту неделю они производят 5t единиц товара.
За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит каждому
рабочему 500 рублей.
Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую
наименьшую сумму придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих?
Решение: Пусть на первом заводе произвели 2х единиц товара, на втором – 5у единиц товара. Всего 2х + 5у =
580. Тогда на первом заводе трудились х2 часов, а на втором у2 часов. Значит, Владимиру придётся оплатить х2 +
у2 отработанных часов.
1
Из первого уравнения получим подстановку у = 5(580 – 2х). Теперь найдём минимум для функции f =
500 (𝑥 2 +
1
(580 −
25
2𝑥)2 ) = 500𝑥 2 + 20(5802 − 580 ∙ 4𝑥 + 4𝑥 2 ) = 580𝑥 2 − 580 ∙ 80𝑥 + 20 ∙ 5802 . При х = 40
получим 5800000.
Ответ: 5800000 .
20 Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
(𝒚𝟐 −𝒙𝒚−𝟒𝒚+𝟐𝒙+𝟒)√𝒙+𝟒
уравнений {
√𝟓−𝒚
=𝟎
имеет единственное решение
𝒂=𝒙+𝒚
Решение: Разложим на множители выражение в скобке. Рассмотрим его как квадратный трёхчлен
относительно у. Вычислим дискриминант D = (x + 4)2 – 4(2x + 4) = 𝑥 2 + 8𝑥 + 16 − 8𝑥 − 16 = 𝑥 2 .
𝑦1 =
𝑥+4−𝑥
= 2;
2
𝑦2 =
𝑥+4+𝑥
= 𝑥 + 2.
2
𝑦 2 − 𝑥𝑦 − 4𝑦 + 2𝑥 + 4 = (𝑦 − 2)(𝑦 − 𝑥 − 2)
𝑥+4≥0
5−𝑦 > 0
Тогда первое уравнение равносильно системе {
𝑦−2=0
[
𝑦−𝑥 =2
Выполним графическое изображение этой системы в синем цвете:
5Графическое изображение второго
-
уравнения – это прямая у = - х + а .
-
Нетрудно увидеть, при каких а
2-
эта прямая будет иметь с данной
-
конструкцией
пересечения.
.
только одну точку
Ответ: (−∞; −𝟔] ∪ {𝟐} ∪ [𝟖;+∞)
I
I
I
I
I
I
I
-4
-
I
I
I
I
21. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных
натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел
оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую
цифры (например, число 16 заменили на число 61) .
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся
чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз меньше , чем сумма
исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Решение: а) В принципе способ подбора подходящего ответа – это личное дело решающего. Пример
подобран, задание выполнено, и никакой проверяющий не имеет права придираться. Объяснять решение не
нужно.
б) Пусть х – сумма всех цифр, стоящих на месте десятков в исходных числах, у – сумма всех цифр, стоящих на
месте единиц в исходных числах. Тогда: 10х + у = 2970, 10у + х = 2970 : 5 = 594. Решение этой системы: х =
294, у = 30. Но, если у = 30, то чисел не может быть более 30, и то, если на месте единиц в исходных числах
будут стоять только единицы, ведь нулей по условию нет. А если чисел не более 30, то 30 ∙ 9 = 270 – это
максимально возможный вариант для суммы цифр, стоящих на месте десятков. Так как 270 меньше, чем 294, то
сумма получившихся чисел не сможет быть ровно в 5 раз меньше суммы исходных чисел.
В) Чтобы сумма получилась как можно меньше, надо, чтобы слагаемые сами оказались как можно меньше, да и
их количество желательно бы было тоже как можно меньше, а для этого надо, чтобы исходные числа были как
можно больше. В таком случае берём в качестве исходных чисел как можно большее число чисел 91. Делим
2970 на 91. Получим 32 и 58 в остатке. Тогда сумма получившихся чисел 19 ∙ 32 + 85 = 693.
Ответ: а) например, 32 раза число 92 и число 26; б) нет; в) 693