1. неопределенный интеграл

«Интеграл и его приложения»
Методическое пособие по предмету математика
РАЗРАБОТАЛ ПРЕПОДАВАТЕЛЬ
Забигуллина О.В.
1
СОДЕРЖАНИЕ
Пояснительная записка……………….……………………………………………. 3
1. Неопределенный интеграл
1.1. Понятие неопределенного интеграла ............................................................... 4
1.2. Основные свойства неопределенного интеграла ............................................ 5
1.3. Основные формулы интегрирования ............................................................... 5
1.4. Основные методы интегрирования .................................................................. 6
1.4.1. Метод непосредственного интегрирования……..……………………6
1.4.2. Интегрирование методом замены……………….…………………….8
1.4.3. Интегрирование по частям…….…………………..…………..………9
1.4.4. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений……10
1.5. Вопросы для самопроверки ............................................................................. 13
2. Определенный интеграл
2.1. Задачи, приводящие к определенному интегралу ........................................ 14
2.2. Понятие определенного интеграла ................................................................. 15
2.3. Свойства определенного интеграла ............................................................... 18
2.4. Определенный интеграл как функция верхнего предела............................. 19
2.5. Формула Ньютона-Лейбница .......................................................................... 20
2.6. Замена переменной в определенном интеграле ............................................ 21
2.7. Интегрирование по частям в определенном интеграле ............................... 22
2.8. Приложения определенного интеграла.......................................................... 23
2.8.1. Вычисление пощади ............................................................................. 23
2.8.2. Вычисление объема .............................................................................. 27
2.9. Вопросы для самопроверки ............................................................................. 29
3. Тренинг-тест .......................................................................................................... 30
Список литературы ................................................................................................... 32
Приложение 1 ............................................................................................................ 33
2
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Математика является фундаментальной дисциплиной. Ее преподавание
предусматривает:
– развитие логического и алгоритмического мышления;
– овладение
основными
методами
исследования
и
решения
математических задач;
– овладение основными численными методами математики и их
простейшими реализациями на ЭВМ;
– выработку умения самостоятельно расширять математические знания и
проводить математический анализ прикладных задач.
Общий курс математики является фундаментом образования специалиста,
имеющим важное значение для успешного изучения общетеоретических и
специальных дисциплин, предусмотренных учебными планами различных
специальностей. «Интеграл и его приложения» является одним из разделов
дисциплины «Математика», изучается на І и ΙІ курсах после раздела «Введение
в математический анализ и дифференциальное исчисление функции одной
переменной».
Данное методическое пособие предназначено для студентов очной формы
обучения, студентов-заочников всех специальностей и в помощь
преподавателю математики. Пособие содержит краткое изложение
теоретического материала по разделу «Интеграл и его приложения»,
соответствующего рабочей программе по математике.
Изложение теоретического материала сопровождается решением типовых
примеров, которые позволят студентам самостоятельно выполнять задания по
математике, а также вопросы, задачи и тренинг-тест для самопроверки,
позволяющие лучше усвоить и закрепить материал.
Целью данного методического пособия является ознакомление студента
с основными понятиями интегрального исчисления, способами интегрирования
и некоторыми приложениями интегралов, оказание помощи учащимся в
организации их самостоятельной работы по овладению системой знаний,
умений и навыков по данному разделу.
Студент, успешно изучивший «Основы интегрального исчисления»,
должен знать:
 определения неопределенного и определенного интегралов;
 свойства интегралов;
 различные методы вычисления неопределенных и определенных
интегралов;
 приложения интегралов.
3
1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1.1. ПОНЯТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Пусть функция F (x) определена на множестве D , которое является либо
отрезком, либо конечным или бесконечным интервалом.
Определение 1. Функция F (x) называется первообразной для функции
f (x ) на множестве D , если в каждой точке множества D она дифференцируема
и F ( x)  f ( x) .
Пример 1. Если f ( x)  х 2 , то F ( x) 
х3
для всех х  (0, ) .
3

 х3 
Действительно, F ( x)     х 2 для всех х  (, ) .
 3 
1
Пример 2. Если f ( x)  , то F ( x)  ln x для всех х  (0, ) .
x
1

Действительно, F ( x)  ln x   для всех х  (0, ) .
x
Очевидно, что если F (x) является первообразной для функции f (x) на
множестве D , то функция F ( x)  С , где С - произвольная постоянная, также
D,
f (x )
является первообразной для
на множестве
так как
F ( x)  C   F ( x) 
f ( x) .
Операция нахождения первообразной - интегрирование является
обратной к операции нахождения производной.
Теорема 1. Пусть F1 ( x) и F2 ( x) - любые первообразные для f (x) на
множестве D , тогда F1 ( x)  F2 ( x)  C для всех x  D , где С - некоторая
постоянная.
Следствие. Если F (x) одна из первообразных для функции f (x) на
множестве D , то любая первообразная Ф(х) для f (x) на множестве D
представляется в виде Ф( х)  F ( x)  С , где С - некоторая постоянная.
Определение 2. Совокупность всех первообразных для f (x) на
множестве D называется неопределенным интегралом от функции f (x) и
обозначается символом
 f ( x)dx .
В этом обозначении знак
 называется знаком интеграла, выражение
подынтегральным выражением, а функция f (x) - подынтегральной
функцией.
Если F (x) одна из первообразных для функции f (x) на множестве D , то в
силу следствия из теоремы 1
(1)
 f ( x)dx  F ( х)  С ,
где С - произвольная постоянная.
Пример.  sin xdx   cos х  С
f ( x)dx -
4
Замечание. Если F (x) - первообразная для функции f (x) на множестве D ,
то в формуле (1) под знаком интеграла стоит дифференциал функции
F (x ) , действительно dF  F ( x)dx  f ( x)dx . Будем считать по определению, что
(2)
 f ( x)dx   F ( х)dx   dF ( x) .
1.2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной
функции, т.е.
 f ( x)d x   f ( x)
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному
выражению, т.е.
d  f ( x)d x  f ( x)dx .
Здесь под интегралом
f (x ) . Эта формула
 f ( x)dx понимается любая первообразная
F (x )
функции
справедлива в силу того, что
d  f ( x)dx  d [ F ( x)  C ]  dF ( x)  F ( x)dx  f ( x)dx
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен
этой функции с точностью до константы, т.е.
 dF ( x)  F ( x)  C или  F ( x)d x  F ( x)  C .
4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы (разности)
функций f1 ( x) и f 2 ( x) равен такой же алгебраической сумме неопределенных
интегралов от каждой функции, т.е.
 [ f1 ( x)  f 2 ( x)]dx   f1 ( x)dx   f 2 ( x)dx .
5. Постоянный множитель ( k - действительное число) можно вынести за
знак неопределенного интеграла, т.е.
 kf ( x)dx  k  f ( x)dx .
Свойства 4 и 5 выражают свойства линейности неопределенного
интеграла относительно подынтегральной функции.
1.3.
1.
 dx  x  C ;
3.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
(ТАБЛИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ)
dx
 ln | x | C ;
x
5.  sin xdx   cos x  C ;
7.
dx
 cos
2
x
 tgx  C ;
x  1
 C , (  1) ;
 1
ax
x
C;
4.  a dx 
ln a
6.  cos xdx  sin x  C ;
2.

 x dx 
8.
 sin
dx
2
x
 ctgx  C ;
5
9.

dx
dx
x
C;
a
a x
dx
1
x
12.  2 2  arctg  C ;
a
a
a x
dx
14.  2 2  ln x  x 2  a 2  C ;
x a
dx
1
ax
16.  2 2  ln
C ;
2a a  x
a x
10. 
 arcsin x  C ;
1 x
dx
 arctgx  C ;
11. 
1 x2
dx
13.  2
 ln x  x 2  1  C ;
x 1
dx
1 1 x
15. 
 ln
C;
2
2 1 x
1 x
2
2
2
 arcsin
Замечание 1. Доказательство всех указанных в таблице формул
проводится непосредственным дифференцированием правых частей и
проверкой совпадения результата дифференцирования с подынтегральными
функциями.
Замечание 2. Операция дифференцирования не выводит нас из класса
элементарных функций, однако можно показать, что интегралы от некоторых
элементарных функций уже не являются элементарными функциями, например
интеграл Пуассона  е  х dx .
2
Примеры для самостоятельного решения:
№
1.
Задание
Ответ
2.
 (6 x  8 x  3)dx
 2 px dx
3.
(
4.
5.
6.
2

( х 2  1)( х 2  2)
x

x  1)( x  x  1)dx
3
х2
dx
7
dx
2
8  x2
dx
2 х  4 х  3х  С
3
2
2
х 2 рх  С
3
2 2
х х  хС
5
3 4 3 2

 x  x  6 3 x  C
7
 13

1
7
arctg
arcsin
x
2 2
x
7
C
C
1.4. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
1.4.1. МЕТОД НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем
тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и
применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или
нескольким
табличным
интегралам,
называется
непосредственным
интегрированием.
6
При сведении данного интеграла к табличному часто используются
следующие преобразования дифференциала (операция «подведения под знак
дифференциала»):
du  d u  a, где а  число,
1
du  d аu ,
где
а  0  число,
а
1
u  du  d u 2 ,
2
cos udu  d sin u ,
1
du  d ln u ,
u
1
du  d tgu .
cos 2 u
Вообще, f (u )du  d ( f (u )), эта формула очень часто используется при
вычислении интегралов.
1 3 x  1
1
C 
(3 x  1) 4 d (3 x  1)   

3
4 1
3
5
(3x  1) 5
1 3 x  1
 
C 
C .
3
5
15
sin 41 x
sin 5 x
4
4
C  
 C.
Пример 2.  sin x  cos xdx   sin x  d (sin x)  
4 1
5
4 1
Пример 1.  (3х  1) 4 dx 
Пример 3.
dx
 x3  
d ( x  3)
  ln x  3  C .
x3
Примеры для самостоятельного решения:
№
1.
Задание
2.
dx
 2x  5
 соs5 x  2dx
3.
 ( 4 x  7)
4.
ln 2 xdx
 x
cos xdx
5.
6.


6
dx
3  sin x
(arcsin x) 2 dx
1 x2
Ответ
1
ln 2 x  5  C
2
1
sin 5 x  2   C
5
1
( 4 х  7) 7  С
28
1 3
ln x  C
3
2 3  sin x )  C
1
(arcsin x) 3  C
3
1.4.2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ
7
1. Пусть требуется вычислить интеграл
 f ( x)dx . Предположим, что
существует дифференцируемая функция  ( х) и функция g (u ) такие, что
подынтегральное выражение f ( x)dx может быть записано в виде
f ( x)dx  g ( ( x))   ( x)dx  g ( ( x)) d ( x)  g (u )du .
Это преобразование называется подведением  ( х) под знак дифференциала. В
этом случае справедливо следующее утверждение:
Теорема 2.  f ( x)dx   g ( ( x))   ( x)dx   g ( ( x)) d ( x)   g (t )dt , где t   ( x) .
По этой теореме вычисление интеграла
интеграла
 f ( x)dx сводится к вычислению
 g (t )dt , который может оказаться проще исходного, и последующей
подстановке t   ( x) .
делаем замену
t  2  5x
dt
1
 t7
   t 7 dt 
Пример 1.  (2  5 х) 7 dx  dt  5dx
5
5
dt
dx  
5
7 1
1 t
1 t8
t8
(2  5 x) 8
 
C    C  
C  
C .
5 8
58
40
5 7 1
делаем замену
Пример 2.  x
t  x 3  10
х  10   x ( x  10) dx  dt  3x dx
dt
x 2 dx 
3
3
2
1
1
2
3
3
2
2
3
2
 t
1
2
dt

3


2 x 3  10
1 t
1t
1
2 t3
2t
  t dt 
C 
C 
C 
C 
3
9
31
3 3
9
9
1
2
2
Пусть требуется вычислить интеграл  f ( x)dx . Введем
1
2
2.
2
1
2
3
C
новую
переменную u формулой х   (u ) , где  (u ) - строго монотонная,
дифференцируемая функция.
Подставим х   (u ) в исходное подынтегральное выражение, получим
f ( x)dx  f ( (u ))   (u )du  g (u )du . Тогда справедливо утверждение, аналогичное
утверждению теоремы 2.
Теорема 3.  f ( x)dx   f ( (t ))   (t )du   g (t )dt , где t   1( x) - функция,
обратная к х   (t ) .
По этой теореме вычисление интеграла  f ( x)dx сводится к вычислению
интеграла  g (t )dt , который может оказаться проще исходного, и последующей
подстановке t   -1( x) .
8
Пример 3.

е
делаем замену
х
dx  x  t
х
dx  2tdt
2
et
   2tdt  2  e t dt  2e t  C  2e
t
x
C.
делаем замену
u  x 2  sin 2 x
x  cos 2 x
Пример 4.  2
dx  du  (2 x  2 cos 2 x)dx 
x  sin 2 x
1
( x  cos 2 x)dx  du;
2
1 du 1
1
 
 ln | u | C  ln | x 2  sin 2 x | C .
2 u
2
2
Примеры для самостоятельного решения:
№
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Задание
x
dx
x 2
dx
 ex 1
2
7
 x(5 x  3) dx



2
xdx
Замена
x
1
t
x   ln t
5x 2  3  t
t  x 1
x 1
cos xdx
1  sin x
(arcsin x) 2 dx
Ответ
1
arccos
2
C
x
2
 ln( 1  e  x )  C
1
(5 х 2  3) 8  С
80
2
( x  1) 3  2 x  1  C
3
t  sin x
ln(sin x  1  sin 2 x )  C
t  arcsin x
1
(arcsin x) 3  C
3
2
1 x2
1.4.3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
Теорема. Пусть функции u (x) и v(x) дифференцируемы на множестве D
и, кроме того, на этом множестве существует первообразная для функции
v( x)u ( x) . Тогда на множестве D существует первообразная для функции
u ( x)v ( x) и справедлива формула
(1)
 u ( x)v( x)dx  u( x)  v( x)   v( x)u ( x)dx
Замечание. Определение дифференциала и свойство инвариантности его
формы позволяют записать эту формулу в виде
 udv  u  v   vdu .
Формула (1) сводит вопрос о вычислении интеграла  udv к вычислению
интеграла  vdu . В ряде конкретных случаев этот последний интеграл проще
исходного.
9
Вычисление интеграла  udv посредством применения формулы (1)
называют интегрированием по частям.
Пример 1.  x sin xdx 
Положим u  x, dv  sin xdx,
  x cos x   cos xdx 
тогда du  dx, v   cos x
 x cos x  sin x  C .
Положим u  ln x, dv  x 2 dx,
x3
x 3 dx
2
3
Пример 2.  x ln xdx 
 ln x     
dx
x
3
3 x
тогда du  , v 
x
3
1 3
1
1
1
x ln x   x 2 dx  x 3 ln x  x 3  C .
3
3
3
9
Положим u  arctgx, dv  dx,
xdx
Пример 3.  arctgxdx 
 xarctgx  

dx
2
тогда du 
,
v

x
1

x
1 x2
1 d (1  x 2 )
1
 xarctgx  
 xarctgx  ln( 1  x 2 )  C .
2
2 1 x
2

Примеры для самостоятельного решения:
№
1.
2.
Задание
 ln xdx
 arctg
x ln x  x  C
7 х  1 dx
5.
 arcsin xdx
 xe dx
 x cos 3xdx
6.
x
7.

3.
4.
8.
9.
x
2
Ответ
e 3 x dx
ln x
dx
x3
xdx
 sin 2 x
x
 e sin xdx
xarctg 7 x  1 
7x 1
C
7
x arcsin x  1  x 2  C
 ( x  1)e  x  C
1
1
x sin 3 x  cos 3 x  C
3
9
1
(9 x 2  6 x  2)e 3 x  C
27
ln x
1
 2  2 C
2x
4x
 xctgx  ln | sin x | C
1 x
e (sin x  cos x)  C
2
1.4.4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ВЫРАЖЕНИЙ
R (u , v) есть
J 4   R(sin x, cos x)dx ,
Рассмотрим интеграл вида
где
рациональная функция своих аргументов u  sin x и v  cos x .
10
Теорема 1. В результате замены переменной t  tg
x
2
в J 4 получится
интеграл от рациональной функции относительно t .
Действительно,
подстановки
t  tg
x
2
x
2t
1 t2
2
,
.
Из
sin x 

cos x 

1 t2
1 t2
2 x
2 x
1  tg
1  tg
2
2
2dt
следует, что x  2arctgt и dx 
. В результате
1 t2
2tg
x
2
1  tg 2
указанной замены переменной получим
 2t 1  t 2  2

J 4   R
,
dt   R1 (t )dt ,
2
2 
2
1

t
1

t

1 t
где R1 (t ) - рациональная функция от t .
2dt
2
dx
dt
x
Пример 1. 
  1  t    ln | t | C  ln | tg | C .
2t
sin x
t
2
2
1 t
2dt
dx
2dt
1 t2
Пример 2. 



2
3 sin x  5 cos x
2t
1 t
5  6t  5t 2
3
 5
1 t2
1 t2
3
34
t 
2
dt
2
dt
2
1
5
25
 
 
 
ln
C 
2
5 2 6
5  3  34
5
34
3
34
t  t 1
2
t 
t   
5
25
5
25
25
 5
x
5tg  3  34
1
5t  3  34
1
2

ln
C  
ln
C.
34 5t  3  34
34 5tg x  3  34
2
x
Применение универсальной подстановки t  tg
часто связано
2
с
громоздкими вычислениями. В некоторых случаях интеграл может быть
вычислен проще – как указано в теоремах 2, 3 и 4.
Теорема 2. Если подынтегральная функция в J 4 нечетна относительно
cos x , то есть R(u,  v)   R(u, v) , то подстановка t  sin x приводит J 4 к
интегралу от рациональной функции относительно t .
Пример.  cos 3 xdx   cos 2 x cos xdx   (1  sin 2 x) cos xdx 

Положим t  sin x,
t3
sin 3 x
  (1  t 2 )dt  t   C  sin x 
C.
dt  cos xdx
3
3
Теорема 3. Если подынтегральная функция в J 4 нечетна относительно
sin x , то есть R(u, v)   R(u, v) , то подстановка t  cos x приводит J 4 к
интегралу от рациональной функции относительно t .
Пример.  sin 5 xdx   sin 4 x sin xdx   (1  cos 2 x) 2 sin xdx 
11

Положим t  cos x,
2t 3 t 5
   (1  t 2 ) 2 dt    (1  2t 2  t 4 )dt  t 
 C .
dt   sin xdx
3
5
  cos x 
2 cos 3 x cos 5 x

C.
3
5
R (sin x, cos x)
Теорема 4. Если подынтегральная функция
четна
относительно совокупности переменных sin x , cos x , то есть R(u,  v)  R(u, v) ,
то подстановка t  tgx приводит J 4 к интегралу от рациональной функции
относительно t .
Пример.
Положим t  tgx, тогда sin x 
dx
 sin 2 x  2 sin x cos x  cos 2 x 


1
2
t
2t
1
1



2
2
2
1 t
1 t2
1 t
1 t
2 2
ln
t 1 2
C 
t 1 2
1
2 2
1  tg x
2

ln

1
t
1 t2
dt
cos x 

, x  arctgt , dx 
1 t2
1  tg 2 x
1 t2
dt
1 t2
1
tgx
,

dt
d (t  1)


t  2t  1
(t  1) 2  ( 2 ) 2
2
tgx  1  2
tgx  1  2
C.
Интеграл вида J 5   sin p x cos q xdx , где p и q - целые числа, есть частный
случай интеграла вида J 4 . Поэтому к нему относятся все четыре теоремы об
интегралах вида J 4 , и мы приходим к следующему заключению. Рекомендуется
подстановка: t  sin x , если q - нечетное число; t  cos x , если p - нечетное
число; t  tgx , если p  q - четное число.
Интегралы вида  sin ax cos bxdx ,  sin ax sin bxdx ,  cos ax cos bxdx при любых
а и b приводятся к алгебраической сумме табличных интегралов путем
представления произведения тригонометрических функций соответствующей
суммой по известным формулам тригонометрии.
Примеры для самостоятельного решения:
№
1.
Задание
 sin
2.
 cos
3.
 sin
4.
 sin
3
xdx
5
xdx
4
xdx
dx
4
x
Ответ
1
cos 3 x  cos x  C
3
1 5
2
sin x  sin 3 x  sin x  C
5
3
1
(12 x  8 sin 2 x  sin 4 x)  C
32
1
 ctgx  ctg 3 x  C
3
12
5.
 sin
5
dx
x cos 3 x
1 2
3
1
tg x  3 ln | tgx | 

C
2
2
2tg x 4tg 4 x
1
 ctg 2 x  ln | sin x | C
2
1
(4 cos 2 x  cos 8 x)  C
16
x
2  tg
1
2 C
ln
x
4
2  tg
2
 ln | cos x  sin x | C
6.
 ctg
7.
 sin 3x cos 5 xdx
8.
 3  5 cos x
9.
 1  tgx dx
10.
 cos x  2 sin x  3
3
xdx
dx
1  tgx
dx
1.5.
x

arctg 1  tg   C
2

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ:
1. Какая функция называется первообразной данной функции?
2. Что называется неопределенным интегралом от данной функции?
3. Какое действие называется интегрированием?
4. Каким действием можно проверить интегрирование?
5. Как производится замена переменной в неопределенном интеграле?
6. Как
производится
интегрирование
по
частям
в
неопределенном
интеграле?
7. Назовите основные свойства неопределенного интеграла.
2.
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2.1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ОПРЕДЕЛЕННОМУ ИНТЕГРАЛУ
1. Задача о площади криволинейной трапеции.
Пусть функция y  f (x) определена, непрерывна и положительна в промежутке
[ a, b] . Рассмотрим плоскую фигуру, ограниченную графиком функции y  f (x) и
отрезками прямых y  0 , x  a и x  b .
Такие фигуры называются криволинейными трапециями. Требуется
вычислить площадь этой фигуры. Для этого разобьем отрезок [a, b] на п
произвольных частей
[a, x1 ] , [ x1 , x2 ] , …, [ xn1 , b] ,
длины которых обозначим соответственно через х1 , х2 , …, х п , а
наибольшую из них обозначим символом  п . Через каждую точку деления
проведем прямую, параллельную оси ординат. Эти прямые разделят
криволинейную трапецию на п элементарных частей.
13
Заменим каждую элементарную полоску прямоугольником, основание
которого то же, что и у полоски, а высота совпадает с одной из ординат
полоски. Площадь k -го прямоугольника будет равна
f (ck )xk , где
ck произвольное число из промежутка
[ xk 1 , xk ] . Просуммировав площади всех
прямоугольников,
получим
площадь
ступенчатой
фигуры
 n  f (c1 )x1  f (c2 )x2  ...  f (cn )xn .
B
Y
f (c k )
A
ck
а
0
x1 … x k 1
x k . . . x n 1
b
X
Рис. 1
В частности, если в каждом элементарном промежутке [ xk 1 , xk ] выбрать
наименьшую ординату m k , а затем наибольшую ординату M k , то можно
построить еще две ступенчатые фигуры с площадями, соответственно равными
s n  m1x1  m2 x2  ...  mn xn
S n  M 1x1  M 2 x2  ...  M n xn
и
Первая из них содержится внутри криволинейной трапеции, а вторая, наоборот,
sn   n  Sn .
содержит криволинейную трапецию, причем
Желая сблизить между собой величины s n и S n , будем увеличивать
число п , уменьшая при этом длины всех элементарных промежутков х k .
Пользуясь непрерывностью f (x) , можно доказать, что существуют и равны
между собой пределы переменных s n и S n при  п  0 и что они не зависят от
способа деления [a, b] на части. Следовательно, переменная  n имеет тот же
lim sn  lim  n  lim S n .
предел
n 0
n 0
n 0
Площадь криволинейной трапеции естественно определить как предел
площади  n упомянутой ступенчатой фигуры при  п  0:
S  lim
n 0
n
 f (c
k 1
k
)x k .
(1)
14
2. Задача об объеме произведенной продукции.
Пусть функция z  f (t ) описывает изменение производительности некоторого
производства с течением времени. Найдем объем продукции, произведенной за
промежуток времени [0, T ] .
Отметим, что если производительность не изменяется с течением времени
( f (t ) - постоянная функция), то объем продукции u , произведенной за
некоторый промежуток времени [t , t  t ] задается формулой u  f (t )t . В
u  f (c)t ,
общем случае справедливо приближенное равенство
где
c  [t , t  t ] , которое оказывается тем более точным, чем меньше t .
[0, T ]
Разобьем отрезок
на промежутки времени точками:
0  t 0  t1  t 2  ...  t n  T . Для величины объема продукции u i , произведенной за
промежуток времени [t i 1 , t i ] ,
имеем ui  f (ci )t i , где ci  [t i 1 , t i ] ,
t i  t i  t i 1 , i  1, 2, 3,..., n . Тогда объем
продукции u , произведенный за весь промежуток времени [0, T ] , будет равен
n
n
i 1
i 1
u   u i   f (ci )t i .
При
стремлении
к
max t i
i
нулю
каждое
из
использованных
приближенных равенств становится все более точным, поэтому объем
произведенной продукции равен
u
n
lim
 f (ci )ti .
(2)
max ti 0 i 1
i
2.2. ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Пусть функция y  f (x) определена в замкнутом промежутке [a, b] .
Разобьем отрезок [a, b] на п элементарных частей (не обязательно равных)
[a, x1 ] , [ x1 , x2 ] , …, [ xn1 , b] , длины которых обозначим соответственно через
х1 , х2 , …, х п , а наибольшую из этих длин обозначим символом  п .
Множество элементов [a, x1 ] , [ x1 , x2 ] , …, [ xn1 , b] назовем разбиением  n .
Обозначим через c1 , c2 , …, cn - точки, выбранные произвольно, по одной
в каждом элементарном промежутке. Составим сумму
n
 п   f (c k )x k , она
k 1
называется интегральной суммой функции f (x) , соответствующей данному
разбиению промежутка [a, b] и данному выбору точек ck .
Последовательность разбиений {  n } будем называть нормальной, если
lim  n  0 . Выбрав произвольную нормальную последовательность разбиений
n 
{  n } и составив для каждого разбиения  n соответствующую интегральную
сумму  n ,
получим последовательность сумм {  n }. Для данной
15
последовательности
разбиений
{ n }
можно
получить
разные
последовательности сумм {  n } в зависимости от того, какие точки ck выбраны.
Определение. Функция f (x) называется интегрируемой в промежутке
[ a, b] , если для каждой нормальной последовательности разбиений {  n }
соответствующая последовательность интегральных сумм {  n } имеет
конечный предел, не зависящий от способа деления промежутка [a, b] на
элементы и от выбора точек ck . Этот общий предел последовательности {  n },
соответствующий нормальным последовательностям разбиений, называют
определенным интегралом от функции f (x) по промежутку [a, b] и обозначают
символом
b

a
f ( x)dx  lim
n 0
n
 f (c
k 1
k
)xk .
(3)
Числа a и b называют пределами интегрирования, x - переменной
интегрирования, f (x) - подынтегральной функцией, f ( x)dx - подынтегральным
выражением.
Ввиду сложности введенных понятий обратим внимание на следующее.
1. В определении речь идет о нормальной последовательности
разбиений, когда не только n   , но и наибольшая из длин
элементарных промежутков стремится к нулю.
2. Определенный интеграл есть число, которое равно пределу любой из
последовательности
интегральных
сумм,
соответствующей
нормальной последовательности разбиений и какому-либо выбору
точек ck .
3. Не всякая функция интегрируема. Например, не интегрируема
функция Дирихле, равная нулю в иррациональных точках промежутка
[0, 1] и единице в его рациональных точках. Действительно, в этом
случае при любом разбиении интегральную сумму можно сделать
нулем или единицей путем выбора чисел ck .
f (x ) интегрируема в промежутке
[ a, b] , если
Теорема. Функция
выполнено
любое из следующих условий:
1) f (x) непрерывна в замкнутом промежутке [a, b]
2) f (x) ограничена и кусочно-непрерывна в [a, b] , то есть имеет в этом
промежутке лишь конечное число разрывов первого рода
3) f (x) определена и монотонна в замкнутом промежутке [a, b] .
4. Определенный интеграл допускает различное геометрическое
истолкование, одно из которых – площадь криволинейной трапеции.
Действительно, так как в силу (1) площадь криволинейной трапеции
16
равна
S  lim
n 0
n
 f (c
k 1
k
и согласно определения
)x k
(3) интеграла
b
S   f ( x)dx .
a
5. Определенный интеграл допускает также и экономическое
истолкование. Действительно, если f (t ) - производительность труда в
момент времени t , то
в силу соотношения (2) объем произведенной продукции за
промежуток
времени [0, T ] будет равен u  lim
max ti 0
i
n
 f (c )t
i 1
i
i
, а эта величина по
T
определению (3) интеграла будет равна u   f (t )dt .
0
Приведем пример нахождения определенного интеграла на основании
определения.
1
 x dx
Пример. Вычислить
2
.
0
Запишем выражение для интегральной суммы, предполагая, что все
отрезки
[ хi 1 , хi ] разбиения имеют одинаковую длину хi , равную
1
, где
n
n - число
отрезков разбиения, причем для каждого из отрезков [ хi 1 , хi ] разбиения точка ci
i
n
совпадает с правым концом этого отрезка, то есть ci  xi  , где i  1, 2, 3,..., n . В
силу интегрируемости y  x 2 выбор такого «специального» способа разбиения
отрезка интегрирования на части и точек c1 , c2 , …, cn на отрезках разбиения не
повлияет на искомый предел интегральной суммы. Тогда
n

i 1
Известно,
n
i
i 1
2

2
i 1 1
f (ci )xi    
 3
n
i 1  n  n
n
что
сумма
n
i
2
.
i 1
квадратов
чисел
натурального
ряда
равна
n(n  1)( 2n  1)
.
6
Следовательно,
1
 x dx  lim
2
0
n
n(n  1)( 2n  1) 1
1 1
 1 
 lim 1   2    .
3
n


6
n 3
6n
 n 
Анализ приведенного примера показывает, что успешное решение
поставленной задачи оказалось возможным благодаря тому, что интегральную
сумму удалось привести к виду, удобному для нахождения предела. Однако
такая возможность существует далеко не всегда, поэтому долгое время задача
интегрирования конкретных функций оставалась
чрезвычайно сложной.
Установление связи между определенным и неопределенным интегралами
17
позволило разработать эффективный метод вычисления
интеграла, который будет рассмотрен в следующем пункте.
определенного
2.3. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен
нулю:
a
 f ( x)dx  0 .
a
2. При перемене пределов интегрирования определенный интеграл меняет
лишь знак:
b
a
a
b
 f ( x)dx   f ( x)dx .
3. Величина определенного интеграла не зависит от названия (обозначения)
переменной интегрирования:
b

a
b
f ( x)dx   f (t )dt .
a
4. Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла:
b
b
а
а
 с f ( x ) dx  c  f ( x ) dx
5. Определенный интеграл от алгебраической суммы (разности) функций равен
соответствующей сумме (разности) интегралов от слагаемых:
b
b
b
a
a
a
 ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx .
6. Если промежуток [a, b] разбит точкой с на части, то интеграл по всему
промежутку равен сумме интегралов по его частям:
b

a
с
b
a
с
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx .
7. Если f (x) непрерывна и положительна на отрезке [a, b] , то и интеграл от
f (x ) в пределах от a до b положителен:
b
 f ( x)dx  0 .
a
8. Если a < b , функции f (x) и g (x ) непрерывны на [a, b] и удовлетворяют
соотношению f (x) > g (x ) , то
b
b
a
a
 f ( x)dx   g ( x)dx .
Теорема (об оценке интеграла). Если a < b , то абсолютная величина
интеграла не превосходит интеграла от абсолютной величины
подынтегральной функции:
18
b

a
b
f ( x)dx   f ( x) dx .
a
Теорема (о среднем значении в интегральном исчислении). Если f (x)
непрерывна на отрезке [a, b] , то интеграл от f (x) в пределах от a до
b равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой
точке с  [a, b] на длину промежутка интегрирования:
b
 f ( x)dx  f (c)(b  a) .
a
ОПРЕДЕНЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ФУНКЦИЯ ВЕРХНЕГО
ПРЕДЕЛА
В определенном интеграле от интегрируемой на отрезке [a, b] функции
f (x ) пределы постоянны и сам интеграл есть число. Если изменить величину
верхнего предела не выходя из [a, b] , то изменится и величина интеграла,
причем каждому значению верхнего предела соответствует определенное
значение интеграла. Поэтому интеграл с переменным верхним пределом есть
функция верхнего предела; обозначим ее
2.4.
x
x
Ф ( x )   f ( x ) dx   f (t ) dх ,
a
a
a  x  b.
(1)
Y
M
A
F (x )
0
F
x x  x
а
b
X
Рис. 2
Геометрически функцию Ф(х) можно трактовать как площадь
криволинейной трапеции АМха (рис.2), если f ( x)  0 .
Теорема. Если f (x) непрерывна на отрезке [a, b] , то производная
интеграла (1) по верхнему пределу существует и равна значению
подынтегральной функции в точке дифференцирования:
19

x

Ф( x)    f (t )dt   f ( x) .
a

Следствие. Непрерывная на промежутке [a, b] функция f (x) имеет в
этом промежутке первообразную.
Действительно, такой первообразной является интеграл с переменным
верхним пределом Ф(х) , потому что Ф ( x)  f ( x) .
2.5. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА
Теорема. Если функция f (x) в промежутке [a, b] интегрируема и имеет
первообразную F (x) , то имеет место формула
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a) .
(4)
a
Формула (4) носит название формула Ньютона-Лейбница и формулируется
так: определенный интеграл в пределах от a до b равен приращению
первообразной для подынтегральной функции при переходе от a к b ; при этом
в качестве первообразной может быть взята любая из множества
первообразных.
Значение сформулированной теоремы состоит не только в том, что она
дает удобное правило вычисления определенного интеграла. Кроме того, она
устанавливает связь между определенным интегралом и неопределенным
интегралом (точнее, первообразной функцией).
Правило вычисления определенного интеграла, согласно формуле
Ньютона-Лейбница, заключается в выполнении следующих действий: 1)
найдем первообразную F (x) для подынтегральной функции, 2) вычислим
приращение F (x) при переходе от a к b , то есть выполним так называемую
двойную подстановку
F ( x) ba  F (b)  F (a ) . Согласно (4) получим
b
 f ( x)dx F ( x)
b
a
 F (b)  F (a) .
a
Заметим, что в формуле Ньютона-Лейбница можно взять любую из
первообразных для f (x) , потому что двойная подстановка дает результат,
который не зависит от С :
[ F ( x)  C ] ba  F (b)  C  F (a)  C  F (b)  F (a) .
Вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-Лейбница:
b
b
Пример 1.  e x dx e x a  e b  e a .
a
b
Пример 2.  2 xdx x 2 ba  b 2  a 2 .
a
1
x3
Пример 3.  x dx 
3
0
1

2
0


1 3
1
1  03  .
3
3
20
Примеры для самостоятельного решения:
№
1.
Задание
Ответ
7
3
2
 (x
2
 2 x  3)dx
1
8
2.
33
3
 ( 2 x  x )dx
0
4
3.

1 y
y2
1
6
4.

7
4
dy
5
x  2dx
2
3
5.
x
2
1
3
1
3
1 2
ln
2 3
dx
1
2
2.6. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
Метод замены переменной в определенном интеграле основывается на
следующей теореме.
Теорема. Если функция f (x) определена и непрерывна в промежутке
[ a, b] , а функция x   (t ) - непрерывно дифференцируема в промежутке [ ,  ] ,
при этом a   (t )  b и  ( )  a ,  (  )  b , то имеет место формула
b

a

f ( x)dx   f ( (t )) (t )dt .
(2)

Формула (2) называется формулой замены переменной в определенном
интеграле.
Положим t  2  x 2 , тогда dt  2 xdx;
Пример 1.  x(2  x ) dx 

если x  0, то t  2; если x  1, то t  1;
0
1
2 5
1
1
1
1 t6
 1
  t   dt    t 5 dt   
22
2 6
 2
2
1

5
Пример 2.
Положим x  2 sin t , тогда dx  2 cos tdt;
2

2
1
21
(1  2 6 )  .
12
4
4  х dx 
2
0
 2
если x  0, то t  0; если x  2, то t 
 
2
;
 2
 2
 1

 4  cos 2 tdt  2  (1  cos 2t )dt  2 t  sin 2t    .
 2
0
0
0
Примеры для самостоятельного решения:
№
1.
Задание
4
0
xt
dx
1
Замена
2
Ответ
4  2 ln 3
x
21
( x  2) 2 3
3 ( x  2) 2 3  3 dx
x  2  z3
ln 2
ex 1  z3
29
2.
3.

e  1dx
x
8
2
9
2 3

0
4.

5.

dt
0 3  2 cos t
tg

5
t
z
2
tgx  t
dx
0 1  sin 2 x
2

2 2
2.7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ В ОПРЕДЕЛЕННОМ
ИНТЕГРАЛЕ
Способ интегрирования по частям основывается на формуле
b
 udv  (uv)
a
b
a
b
  vdu ,
a
где u  u (x) и v  v(x) - непрерывно дифференцируемые в [a, b] функции x .
 2
Положим u  x, dv  cos xdx

du  dx, v  sin x
 x cos xdx  тогда
Пример 1.
0
 2
 2
 ( x sin x) 0   sin xdx 
0

2
 2
 (cos x) 0 

2
1 .
Положим u  ln( 1  x), dv  dx
Пример 2.  ln( 1  x)dx 

dx
тогда du 
, vx
0
1 x
1
1
1
x
1 
1

 ( x ln( 1  x)) 0  
dx  ln 2   1 
dx  ln 2  ( x  ln( 1  x)) 0 
1 x
1 x 
0
0
1
 ln 2  (1  ln 2)  2 ln 2  1.
Примеры для самостоятельного решения:
№
1.
Задание

 x sin xdx
Ответ

0
2.
e
 ln xdx
1
1
3.
1
3 2x
 x e dx
0
4.

e
0
x
sin xdx
e2  3
8
e  1
2
2.8. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
22
2.8.1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ
В пункте 2.1 определена площадь криволинейной трапеции, ограниченной
непрерывной кривой y  f (x) и отрезками прямых y  0 , x  a , x  b , как
интеграл от функции f (x) в промежутке [a, b] при условии, что f ( x)  0 .
Площадь области, ограниченной прямыми
x  a,
x  b и двумя
непрерывными кривыми y  f (x) и y  g (x) при условии f ( x)  g ( x) (рис 3),
определим как интеграл
b
S   [ f ( x)  g ( x)]dx .
(1)
a
В частности, криволинейная трапеция, заданная равенствами y  0 , x  a , x  b
и y  f (x) , при условии f ( x)  0 имеет площадь
b
b
a
a
S   f ( x)dx   | f ( x) | dx .
Следовательно, площадь криволинейной трапеции в случае, когда f (x)
может принимать в [a, b] значения разных знаков, равна
b
S   | f ( x) | dx .
(2)
a
Y
y  f (x)
S
y  g (x)
0
b
а
X
Рис. 3
Заметим, что при a < b интеграл
b
 f ( x)dx
дает алгебраическую сумму
a
площадей, в которой каждая площадь, расположенная под осью Ох , входит со
знаком минус. Он может быть отрицательным, в то время как площадь области
всегда положительна. Для вычисления площади более сложного вида надо
разбить всю область на части рассмотренного вида, найти площади этих частей
и результаты сложить.
23
Пример 1. Найти площадь области, ограниченной графиком функции y  sin x и
осью абсцисс при условии 0  x  2 .
Решение:
Имеем y  0 при 0  x   , y  0 при   x  2 , и по формуле (2) получим
2

2
0
0


2
S   | sin x | dx   sin xdx   ( sin x)dx  ( cos x) 0  (cos x)   4 (кв.ед.)
Пример 2. Найти площадь области, ограниченной линиями y  sin x и y 
Решение:
Выполним построение фигуры, ограниченной
(рис.4).
Данные линии пересекаются в точках с абсциссами
2х

.
указанными линиями
х1  0 и х 2 

2
. По
формуле (1) получим
 2
S

0
 2

2x 
x2 


 sin x  dx    cos x    1  .
 
 0
4


Y
y
2x

y  sin x
0

2
X
Рис. 4
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
y  x2  2x
и
y  2 x 2  x .
Решение:
Чтобы наглядно представить фигуру, площадь которой надо найти, начертим
2
графики функций y  x  2 x и y  2 x  x .
2
24
Рис. 5
2
Для построения параболы y  x  2 x определим координаты ее вершины
и
точек
пересечения
с
осями
координат.
Выделив
полный
квадрат
y  x 2  2 x  ( х  1) 2  1 , получим координаты вершины параболы А1; 1 .
2
Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при x , равный 1,
положителен. Точки пересечения параболы с осью абсцисс найдем, решив
2
квадратное уравнение x  2 x  0 . Корни этого уравнения x1  0;
Получили точки О0; 0;
x2  2 .
А1 2; 0 . Точка пересечения с осью ординат
находится при x  0 . Эта точка совпадает с точкой А. Для построения второй
параболы y  2 x  x необходимо провести аналогичные действия. Получим
2
вершину
В1 4;1 8 и точки О0; 0; В1 1 2 ; 0 . Ветви этой параболы
2
направлены вниз, так как коэффициент при x отрицателен. На рисунке 1
построены обе параболы. Заштрихованная часть плоскости является фигурой,
площадь которой надо найти. Для определения абсцисс точек пересечения
25
парабол решим уравнение
x 2  2 x  2 х 2  х
или
3x 2  3x  0 , откуда
x1  0; х2  1 .
Площадь фигуры вычисляем по формуле
b
S 
  f ( x)  g ( x)dx ,
где
f ( x)  g ( x)
для всех
x  a ; b
a
В
нашем
а  x1  0; b  х2  1 .
случае
На
отрезке
0 ;1
имеем
2
 2 х 2  х  x 2  2 x . Поэтому f ( x)  2 х  х и g ( x)  x 2  2 x .
Для вычисления определенного интеграла применяется формула НьютонаЛейбница:
b
 f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a) ,
b
a
где
F (x )
- первообразная подынтегральной функции
f (x ) .
Следовательно, искомая площадь равна
 (2 х
1
S 
2

 х)  ( x 2  2 x) dx 
0
1


0
f (3x 2  3x)dx  ( х 3 
3 2 1
3
1
х )  (1)3  1  0  (кв.ед.)
0
2
2
2
Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y  x 2  2 и
y  х (рис. 5).
Y
-1
0
2
X
Рис. 6
Найдем абсциссы точек пересечения параболы y  x 2  2 и прямой
y  х , решив систему этих уравнений:
26
у  х2  2

у  х
 х2  2  х

х1  1,
х2  х  2  0 ,
х2  2 .
На отрезке [-1, 2] х  х 2  2 , значит по формуле (1) получим
2
 x2 x3

8

 1 1

S   ( x  x  2)dx   
 2 x    2   4      2   4,5 .
3
3
 2 3

 2
 1 
1
2
2
Примеры для самостоятельного решения:
№
1.
2.
3.
4.
Задание
Вычислить
площадь,
ограниченную
2
параболой y  4 x  x и осью абсцисс.
Найти площадь, ограниченной кривой
y 3  x , прямой y  1 и вертикалью x  8 .
Вычислить
площадь,
ограниченную
2
параболой y  2 x  x и прямой y   x .
Вычислить площадь, заключенную между
параболами y 
5.
6.
2
x
3
2
3
Ответ
10
2
3
4
1
4
4
1
2
10
2
3
и y  4  x2 .
Найти площадь, содержащуюся между
первым и вторым витками спирали
Архимеда r  2 .
Найти площадь одного лепестка кривой
r  cos 2 .
32 3

8
2.8.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА
Рассмотрим тело В , содержащееся между плоскостями
х  а и х  b (рис. 7). Пусть для каждого x из промежутка [ a, b] дана площадь
сечения S (x ) , перпендикулярного оси Ox . Требуется найти объем V данного
тела при условии непрерывности S (x ) в [a, b] .
S (x )
а
х
х k 1
хk
b
Х
Рис. 7
27
Делим промежуток [a, b] на n элементарных частей и через точки деления
проводим плоскости, перпендикулярные оси Ox . Эти плоскости разобьют В на
элементарные слои. Рассмотрим k -ый слой, ограниченный плоскостями х  хk 1
и х  хk . Объем этого слоя приближенно равен объему цилиндра с основанием ,
равным S ( x k 1 ) , и высотой x k , так что Vk  S ( xk 1 )xk . Сумма объемов
n
элементарных цилиндров приближенно равна  n   S ( x k 1 )xk .
k 1
Объем тела определим как предел величины  n при стремлении  n к
нулю.
Этот предел существует в силу непрерывности S (x ) и равен
определенному интегралу
b
V   S ( x)dx .
(4)
a
В частности, если тело ограничено поверхностью вращения линии
y  f (x) вокруг оси Ox в пределах изменения x от а до b , то S ( x)   f 2 ( x) и
b
V    f 2 ( x)dx .
(5)
a
Пример. Вычислить объем шара радиусом R . По формуле (5) при
y  R 2  x 2 получаем
R



x3 
R3 
R3  4 3
     R 3 
  R .
V    ( R  x )dx    R 2 x      R 3 
3
3
3





 3
R
R
R
2
2
Примеры для самостоятельного решения.
№
1.
2.
Задание
Найти объем тела, получающегося от
вращения вокруг оси OX
площади,
ограниченной осью OX и параболой
y  3x  x 2 .
Найти объем эллипсоида, образованного
вращением эллипса
2
Ответ
8,1
24
2
x
y

 1 вокруг оси
4
9
OX .
3.
4.
Найти объем тела, образованного при
вращении вокруг оси OX кривой y  sin 2 x в
промежутке x  0 и x   .
Найти
объем
тела,
образованного
вращением вокруг оси OX площади,
содержащейся между параболами y  x 2 и
y х.
3 2

8
0,3
28
2.9.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ:
1. Что называется определенным интегралом от данной функции? Каков его
геометрический смысл?
2. Как связаны между собой понятия определенного и неопределенного
интеграла?
3. Сформулируйте теорему о производной определенного интеграла с
переменным верхним пределом.
4. Перечислите основные свойства определенного интеграла.
5. Дайте определение несобственных интегралов с бесконечным пределом
интегрирования.
29
3. ТРЕНИНГ-ТЕСТ
Выбрать один правильный ответ:
1. Найти какую-нибудь первообразную к функции f ( x)  sin 3x .
1
1
C) 3 cos 3x ;
D)  cos x ;
3
3
2
2. Найдите F (x) , если F ( x)  3x  4 x и F (0)  1 .
1
A) F ( x)  x 3  x 2  1 ;
B) F ( x)  x 3  2 x 2  1 ;
3
3
2
C) F ( x)  x  2 x  1 ;
D) F ( x)  6 x  4 ;
1
3
B)  cos 3x ;
A) cos 3 x ;
3. Сделать в интеграле
 x 5
x
dx
замену x  t 2 :
A)  x  5 x dx  2 t 3  5t dt ;
B)  x  5 x dx   t 2  5t dt ;
C)  x  5x dx  2 t 4  5t dt ;
D)  x  5 x dx   t 3  5t dt ;
2
2
4. Найти интеграл
 x cos xdx :
x2
cos x  C ;
2
C) x sin x  cos x  C ;
dx

2
B) x cos x  sin x  C ;
A)
5. Найти интеграл
2
D) x sin x  cos x  C ;
x3
.
A) ln x  3  C ;
B) x  3  C ;
C) 2 x  3  C ;
D) 2 ln | x  3 | C ;
6. Функция F (x) называется первообразной к функции f (x) на множестве D ,
если:
A) F ( x)  f ( x) для всех x  D ;
B) F ( x)  f ( x) в некоторой точке x  D ;
C) f ( x)  F ( x) для всех x  D ;
D) f ( x)  F ( x) в некоторой точке x  D ;
7. Найти интеграл  (cos 2 x  3 sin 4 x)dx .
1
3
sin 2 x  cos 4 x  C ;
2
4
1
3
C)  sin 2 x  cos 4 x  C ;
2
4
A)
8. Вычислить интеграл
B)
1
3
sin 2 x  cos 4 x  C ;
2
4
D) sin 2x  3cos 4x  C ;
1
 x dx .
3
1
A) 1/4;
B) 1/2;
C) 0;
D) 2;
9. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y  x 2  3 и y  5  x .
A) 4,5;
B) 6;
C)13/3;
D)8;
10. Указать формулу интегрирования способом замены переменной.
A)  f ( x)dx   f ( (t )) dt , где x   (t ) ;
30
 f ( x)dx  f ( (t )) (t )dt , где
C)  f ( x)dx   f (t )dt ;
D)  f ( x)dx   f ( (t )) (t )dt , где
B)
x   (t ) ;
x   (t ) ;
11. Если функция f (x) в промежутке [a, b] непрерывна и F (x) -ее
первообразная, то имеет место формула Ньютона-Лейбница:
b
A)
b
 f ( x)dx  f (b)  f (a) ;
B)
a
 f ( x)dx  F (b)  F (a) ;
a
b
C)

b
f ( x)dx  F (a)  F (b) ;
 f ( x)dx  F (b)  F (a) ;
D)
a
a
12. Сделать замену t  5  x 2 в интеграле
1
 x(5  x
2 4
) dx :
0
4
1
A)  2 t 4 dt ;
B) 
5
1 4
t dt ;
2 0
4
5
1
C)  t 4 dt ;
24
D)

5  t  t 4 dt ;
5
13. Вычислить интеграл
2
 (2 x
3
 3 x)dx .
1
A) 3,5;
B) 1;
14. Вычислить интеграл
3
C) 3;
D) 1,5;
x2
 x  3 dx .
2
5
A) 1  5 ln ;
6
5
C) 1  ln ;
6
6
5
B) 1  5 ln ;
2
3
D) 1  arctg ;

15. Вычислить  x sin xdx .
0
A) -2;
B) 2;
C) 0;
D) ;
Правильные ответы на тренинг-тест см. приложение 1.
31
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука,
1985.
2. Гимаев Р.Г., Умергалина Т.В. Введение в математический анализ и
дифференциальное исчисление функции одной переменной: Учебное
пособие. – Уфа: Изд-во УГНТУ, 1997.
3. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.:
Высшая школа, 1967.
4. Демидович Б.П. Задачи и упражнения по математическому анализу. – М.:
Наука, 1964.
5. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа,
2006.
6. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов – М.:
Просвещение, 2001.
32
Приложение 1
Правильные ответы на тренинг-тест
Номер
задания
Вариант
ответа
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
B
C
A
D
C
A
B
C
A
D
B
C
C
A
D
33