Теоретичекая механика (docx файл) - 90Kb

С – 2 Равновесие плоской произвольной системы сил
Определить реакции связей балки АВ, изображенной на рисунке. Груз G подвешен на
канате, перекинутым через блок D и закрепленным к балке в точке С.
Дано:
G = 3 кН;
М = 4 кНм;
q = 2 кН/м;
а = 3 м;
 = 45;
 = 15.
RA , RB .
D
a
q
G
5a
В

С

М

А
Решение.
1. Рассмотрим равновесие балки АВ. Построим балку в соответствии с заданными углами  и . На этом же рисунке покажем
y
силы, действующие на балку АВ. Балка в
a
точке А закреплена неподвижным
0,5a
цилиндрическим шарниром. Реакцию
0,5a
шарнира представим её проекциями на
5a
координатные оси X A и Y A . Ось х
RB Q
G
совместим с балкой. Направление
проекций произвольное.
60º
YA
В точке В балка опирается на
45º М
В
гладкую поверхность. Реакция гладкой
30º
C
поверхности RB направлена перпендику15º
45º
XA
лярно поверхности.
А
x
2. Балка нагружена парой сил с
моментом М, равномерно распределенной
нагрузкой на участке ВС интенсивностью q, которую заменяем равнодействующей Q ,
приложенной в середине участка ВС и равной по величине:
Q = qВС = 2а = 2·3 = 6 кН.
Сила тяжести груза G передаётся по канату на балку в точке С.
3. Балка находится в равновесии под действием плоской произвольной системы сил.
Выбираем условия равновесия и составляем уравнения равновесия:
(1)
 X k  0,  X A  G cos 45  RB cos 60  0,
(2)
 Yk  0, YA  G cos 45  RB cos 30  Q  0,
 m A ( Fk )  0, Q  5, 5a  M  G  5a sin 45  RB  6a sin 60  0.
Из уравнения (3) определяем RВ:
M  G  5a sin 45  Q  5, 5a 4  3  5  3  0, 71  6  5, 5  3
RB 

 4, 57 кН.
6a sin 60
6  3  0, 87
Подставляя RВ в уравнение (2), определяем YА:
(3)
YA  G cos 45  RB cos 30  Q  3  0,71  4,57  0,87  6  0,11 кН.
Знак «минус» означает, что реальное направление силы противоположно показанному
на рисунке.
Из уравнения (1), определяем ХА:
X A  G cos 45  RB cos 60  3  0,71  4,57  0,5  4,42 кН.
Вычислим модуль реакции R A шарнира А:
RA 
X A2  YA2  4, 422  (0,11)2  4, 42 кН.
4. Для проверки правильности решения составим уравнение моментов относительно
точки С:
 mС ( Fk )  0, Q  0, 5a  M  YA  5a  RB  a sin 60 
 6  1, 5  4  ( 0,11)  5  3  4, 57  3  0, 87  0, 01, 0  0.
Задача решена верно.
Ответ: RA = 4,42 кН, RВ = 4,57 кН.
С – 6 Центр тяжести твердого тела
Задача № 1. Определить положение центра тяжести плоской однородной фигуры,
представленной на рисунке, если R = 24 cм, r = 12 см.
Решение.
1. Выполняем в масштабе рисунок.
2. Применяем метод дополнений, т. к. фигура имеет вырез.
3. Разделим фигуру на простейшие составные части, центры тяжести которых легко
определяются:
1 – прямоугольник (центр тяжести С1),
2 – полукруг (центр тяжести С2),
3 – сектор (центр тяжести С3).
Площадь сектора при расчётах считаем отрицательной.
4. Вычислим площади составных частей и определим координаты их центров тяжести.
1) Прямоугольник: S1 = 2R·0,5R = 576 см2, х1 = 0 cм, у1 = ‒0,25R = ‒6 см.
R 2 3,14  242

 904, 32 см 2 .
2) Полукруг: S2 
2
2
Центр тяжести полукруга лежит на его оси симметрии, и расстояние от центра полукруга до центра его тяжести вычисляем по формуле:
2 sin  2  24sin 90
AC2  R

 10,19 см,
3

3  / 2
где  – половинный угол полукруга в радианах, в нашей задаче  

2
.
Следовательно: x2 = 0, y2 = AC2 = 10,19 см.
r 2   122

 113, 04 см 2 .
3) Сектор: S3 
4
4
Центр тяжести сектора лежит на его оси симметрии, и расстояние от центра круга до
его центра тяжести вычисляем по формуле:
2 sin  2  12sin  / 4
AC3   r

 7, 24 см,
3

3 / 4
где  – половинный угол сектора в радианах, в нашей задаче  

 45. Следовательно,
4
x3   AC3 cos 45  5,14 см, y3  AC3 cos 45  5,14 см.
y
r
С3
R
С2
yC
y3
y2
С
45°
x
y1
A
x3
0,5R
С1
xC
Результаты расчётов сводим в таблицу:
k
1
2
3
xk
0
0
‒5,14
yk
‒6
10,19
5,14
∑:
Sk
576
904,32
– 113,04
1367,28
Skхk
0
0
581,03
581,03
Skуk
‒3456
9215,02
–581,03
5177,99
4. Вычисляем координаты центра тяжести фигуры по формулам:
n S x
n S y
581, 03
5177, 99
xC   k k 
 0, 42 см, yC   k k 
 3, 79 см.
k 1
k 1
S
1367, 28
S
1367, 28
5. Покажем положение центра тяжести фигуры т. С (0,42; 3,79) на рисунке.
Ответ: xС = 0,42 см, yС = 3,79 см.
Задача № 2. Определить положение центра тяжести плоского сечения, составленного
из стандартного прокатного профиля – швеллера № 16 и балки, с размерами: а = 18 см,
b = 1,0 см.
Решение.
1. Выполняем в масштабе рисунок.
2. Применяем метод разбиений.
3. Разделим фигуру на простейшие составные части, положения центров тяжести которых можно определить:
1 – балка (центр тяжести С1),
2 – швеллер (центр тяжести С2).
4. Вычислим площадь балки и определим координаты её центра тяжести в выбранной
нами системе координат:
S1 = а· b = 18 ·1,0 = 18 см2, x1 = ‒0,5b = 0,5 см, y1 = ‒ 0,5a = ‒9 см.
Для швеллера № 16 выбираем расчётные данные из таблицы Б.2 справочного приложения:
S2 = 18,1 см2, h = 160 мм = 16 см, B = 64 мм = 6,4 см, хС2 = 1,8 см.
Определим координаты центра тяжести С2 в выбранной нами системе координат:
x2 = B – хС2 = 6,4 – 1,8 = 4,6 см , y2 = – 0,5h = ‒8 см.
y
x2
xC2
В
b
x
y2
y1
0,5h
№ 16
C2
а
C
yC
0,5h
C1
x1
xC
Результаты расчётов сводим в таблицу:
yk
Sk
Skхk
Skуk
‒9
18
‒9
‒162
‒8
18,1
83,26
‒144,8
∑:
36,1
74,26
‒306,8
5. Вычисляем координаты центра тяжести сечения по формулам:
k
1
2
xk
‒0,5
4,6
n S y
306, 8
S k xk 74, 26

 2, 06 см, yC   k k 
 8, 5 см.
k 1
k 1
S
36,1
S
36,1
6. В масштабе строим положение центра тяжести фигуры т. С (2,06; ‒ 8,5) на рисунке.
n
xC  
Ответ: xС = 2,06 см, yС = ‒ 8,5 см.