Вариант №1 Вариант №2 Какие из следующих множеств являются кольцами?

Вариант №1
Вариант №2
1. Какие из следующих множеств являются кольцами?
А) множество квадратных матриц с положительными вещественными
элементами
В) множество многочленов с целыми коэффициентами, делящихся на
х2 +3.
2. Являются ли идеалами в кольце многочленов следующие множества?
А) многочлены без свободного члена
В) многочлены степени не выше 2
3. Содержат ли кольца из примера 1
А) единицу
В) делители нуля
4. Описать строение факторкольца кольца многочленов Z3 [x] по
идеалу, порожденному многочленом f(x)=x3 – x.
4.1 Есть ли в этом факторкольце делители нуля?
4.2 Вычислите произведение классов, содержащих х2 и х2 +1.
4.3 Обратим ли в этом факторкольце класс, содержащий многочлен
х2 +1?
1. Какие из следующих множеств являются кольцами?
А) множество натуральных чисел
В) множество функций, непрерывных на отрезке [a, b] .
2. Являются ли идеалами в кольце квадратных матриц следующие
множества?
А) верхние треугольные матрицы с нулевой диагональю
В) матрицы, у которых все ненулевые элементы расположены во второй
строке
3. Содержат ли кольца из примера 1
А) единицу
В) делители нуля
4. Описать строение факторкольца кольца многочленов Z2 [x] по
идеалу, порожденному многочленом f(x)=x3 + x2 +1 .
4.1 Есть ли в этом факторкольце делители нуля?
4.2 Вычислите произведение классов, содержащих х2 и х3 +1 .
4.3 Обратим ли в этом факторкольце класс, содержащий многочлен
х+1?
5. Найдите степень и базис расширения Q( 3 5 ) .
5. Найдите степень и базис расширения Q(
5  2) .
5.1 Найдите разложение по базису элемента поля ( 5  3)1
6. Докажите, что пересечение любого набора идеалов коммутативного
кольца также является идеалом.
5.1 Найдите разложение по базису элемента поля ( 3 25  1)1
6. Докажите, что если гомоморфизм поля в некоторое кольцо имеет
ненулевое ядро, то это ядро совпадает со всем полем (то есть
гомоморфизм нулевой).
Вариант №3
Вариант №4
1. Какие из следующих множеств являются кольцами?
А) множество комплексных чисел
В) множество верхних треугольных матриц
2. Являются ли идеалами в кольце многочленов от двух переменных х и
у следующие множества?
А) многочлены без свободного члена
В) многочлены, зависящие только от х
3. Содержат ли кольца из примера 1
А) единицу
В) делители нуля
4. Описать строение факторкольца кольца многочленов Z5 [x] по
идеалу, порожденному многочленом f(x)=x2 + 1
4.1 Есть ли в этом факторкольце делители нуля?
4.2 Вычислите произведение классов, содержащих 2 х +1 и х2 +3х
4.3 Обратим ли в этом факторкольце класс, содержащий многочлен
х+4?
1. Какие из следующих множеств являются кольцами?
А) множество комплексных чисел вида а+bi, где а и b – целые
В) множество квадратных матриц, у которых все ненулевые элементы
расположены в k-ом столбце
2. Являются ли идеалами в кольце многочленов следующие множества?
А) множество M(x)f(x) + N(x)g(x), где M(x) и N(x) – произвольные, а f(x)
и g(x) – фиксированные многочлены
В) многочлены, делящиеся на х3 +1
3. Содержат ли кольца из примера 1
А) единицу
В) делители нуля
4. Описать строение факторкольца кольца многочленов Z3 [x] по
идеалу, порожденному многочленом f(x)=х2 + х
4.1 Есть ли в этом факторкольце делители нуля?
4.2 Вычислите произведение классов, содержащих х и х2 +1 .
4.3 Обратим ли в этом факторкольце класс, содержащий многочлен
х –1?
5. Найдите степень и базис расширения Q( 4 2 ) .
5. Найдите степень и базис расширения Q(
3  1) .
5.1 Найдите разложение по базису элемента поля ( 3  3)1
6. Докажите, что если пересечение двух идеалов J1 и J2
коммутативного кольца состоит только из 0, то произведение любого
элемента одного идеала на элемент другого равно 0.
Вариант №5
Вариант №6
1. Какие из следующих множеств являются кольцами?
А) множество целых чисел, кратных 3
В) множество многочленов, степени не выше 3
2. Являются ли идеалами в кольце многочленов с целыми
коэффициентами следующие множества?
А) многочлены с четными коэффициентами
В) многочлены нулевой степени
3. Содержат ли кольца из примера 1
А) единицу
В) делители нуля
4. Описать строение факторкольца кольца многочленов Z3 [x] по
идеалу, порожденному многочленом f(x)=x3 – x–1
4.1 Есть ли в этом факторкольце делители нуля?
4.2 Вычислите произведение классов, содержащих х2 и х2 +1
4.3 Обратим ли в этом факторкольце класс, содержащий многочлен
х–1?
5. Найдите степень и базис расширения Q(
5.1 Найдите разложение по базису элемента поля ( 2  3)1
6. Докажите, что из равенства ха=уа следует, х=у, тогда и только тогда,
когда а не является правым делителем нуля.
2  2) .
5.1 Найдите разложение по базису элемента поля ( 2  3)1
6. Доказать, что в кольце матриц с вещественными элементами все
вырожденные матрицы, и только они являются делителями нуля.
1. Какие из следующих множеств являются кольцами?
А) множество чисел вида a+b 3 где a и b – целые
0 A
В) множество 4×4 матриц вида 
 , где А – матрица 2×2
0 0 
2. Являются ли идеалами в кольце Z12 следующие множества?
А) множество обратимых элементов
В) множество классов, кратных 4
3. Содержат ли кольца из примера 1
А) единицу
В) делители нуля
4. Описать строение факторкольца кольца многочленов Z5 [x] по
идеалу, порожденному многочленом f(x)=x2– 2
4.1 Есть ли в этом факторкольце делители нуля?
4.2 Вычислите произведение классов, содержащих х +3 и х2 +2х +1
4.3 Обратим ли в этом факторкольце класс, содержащий многочлен х–
1?
5. Найдите степень и базис расширения Q(
2  1) .
5.1 Найдите разложение по базису элемента поля ( 2  5)1
6. Докажите, что из равенства ах=ау следует, х=у, тогда и только тогда,
когда а не является левым делителем нуля.
Вариант №7
Вариант №8
1. Какие из следующих множеств являются кольцами?
А) множество многочленов с целыми коэффициентами, делящихся на х2
В) множество целых чисел, делящихся на 8
2. Являются ли идеалами в кольце многочленов от двух переменных х и
у следующие множества?
А) многочлены четной степени
В) многочлены, зависящие только от х
3. Содержат ли кольца из примера 1
А) единицу
В) делители нуля
4. Описать строение факторкольца кольца многочленов Z3 [x] по
идеалу, порожденному многочленом f(x)=x3 +x–1
4.1 Есть ли в этом факторкольце делители нуля?
4.2 Вычислите произведение классов, содержащих х2 и х2 –х–1
4.3 Обратим ли в этом факторкольце класс, содержащий многочлен х2 ?
5. Найдите степень и базис расширения Q( 4 3 ) .
1. Какие из следующих множеств являются кольцами?
А) множество комплексных чисел с положительной мнимой частью
В) множество нижних треугольных матриц
2. Являются ли идеалами в кольце Z18 следующие множества?
А) множество необратимых элементов
В) множество классов, кратных 3
3. Содержат ли кольца из примера 1
А) единицу
В) делители нуля
4. Описать строение факторкольца кольца многочленов Z2 [x] по
идеалу, порожденному многочленом f(x)=x3+ x
4.1 Есть ли в этом факторкольце делители нуля?
4.2 Вычислите произведение классов, содержащих х3 и х +1
4.3 Обратим ли в этом факторкольце класс, содержащий многочлен
х2 +х +1 ?
5.1 Найдите разложение по базису элемента поля ( 3  2)1
6. Докажите, что любой ненулевой гомоморфизм поля в кольцо имеет
тривиальное (то есть состоящее только из 0) ядро.
5.1 Найдите разложение по базису элемента поля ( 3  1)1
6. Суммой J1+ J2 идеалов J1 и J2 называется множество всех сумм
элементов этих идеалов. Докажите, что J1+ J2 – идеал.
Вариант №9
5. Найдите степень и базис расширения Q(
3  2) .
Вариант №10
1. Какие из следующих множеств являются кольцами?
А) матрицы 2×2, у которых левый нижний элемент делится на 2
В) многочлены третьей степени
2. Являются ли идеалами в кольце квадратных матриц 2×2 с целыми
элементами следующие множества?
А) матрицы, у которых левый нижний элемент делится на 3
В) матрицы, у которых все элементы кратны 6
3. Содержат ли кольца из примера 1
А) единицу
В) делители нуля
4. Описать строение факторкольца кольца многочленов Z5 [x] по
идеалу, порожденному многочленом f(x)=x2 +2
4.1 Есть ли в этом факторкольце делители нуля?
4.2 Вычислите произведение классов, содержащих х+3 и х+4
4.3 Обратим ли в этом факторкольце класс, содержащий многочлен
х+3?
5. Найдите степень и базис расширения Q( 3 6 ) .
1. Какие из следующих множеств являются кольцами?
А) диагональные матрицы
В) многочлены без свободного члена
2. Являются ли идеалами в кольце многочленов с целыми
коэффициентами следующие множества?
А) многочлены четной степени
В) многочлены, все коэффициенты которых делятся на 3
3. Содержат ли кольца из примера 1
А) единицу
В) делители нуля
4. Описать строение факторкольца кольца многочленов Z3 [x] по
идеалу, порожденному многочленом f(x)=x3 – x–1
4.1 Есть ли в этом факторкольце делители нуля?
4.2 Вычислите произведение классов, содержащих х и х2 +1
4.3 Обратим ли в этом факторкольце класс, содержащий многочлен х–
1?
5.1 Найдите разложение по базису элемента поля ( 3 6  3)1
6. Пусть М – некоторое подмножество коммутативного кольца К,
обозначим, через J множество всех элементов кольца, которые при
умножении на каждый элемент М дают 0. Докажите, что J – идеал
кольца К.
5.1 Найдите разложение по базису элемента поля ( 5  3)1
6. Докажите, что если идеал содержит обратимый элемент, то он
совпадает со всем кольцом.
Вариант №11
1. Какие из следующих множеств являются кольцами?
А) отрицательные вещественные числа
В) множество квадратных матриц, у которых все ненулевые элементы
расположены в k-ой строке
2. Являются ли идеалами в кольце квадратных матриц следующие
множества?
А) матрицы, все ненулевые элементы которых расположены в пятом
столбце
В) матрицы, у которых все строчки, начиная с третьей, – нулевые
3. Содержат ли кольца из примера 1
А) единицу
В) делители нуля
4. Описать строение факторкольца кольца многочленов Z7 [x] по
идеалу, порожденному многочленом f(x)=x2 + 3 .
4.1 Есть ли в этом факторкольце делители нуля?
4.2 Вычислите произведение классов, содержащих 3х2 и х +4
4.3 Обратим ли в этом факторкольце класс, содержащий многочлен
х+3?
5. Найдите степень и базис расширения Q( 3 7 ) .
5.1 Найдите разложение по базису элемента поля ( 3 7  3)1
6. Доказать, что если I и J – максимальные идеалы коммутативного
кольца R, то или I =J, или I+J=R.
5. Найдите степень и базис расширения Q(
5  1) .
Вариант №12
1. Какие из следующих множеств являются кольцами?
А) множество невырожденных матриц
В) многочлены без слагаемых первой степени
2. Являются ли идеалами в кольце многочленов с целыми
коэффициентами следующие множества?
А) многочлены с нечетными коэффициентами
В) многочлены, не содержащие степеней ниже третьей
3. Содержат ли кольца из примера 1
А) единицу
В) делители нуля
4. Описать строение факторкольца кольца многочленов Z5 [x] по
идеалу, порожденному многочленом f(x)=x3 – x .
4.1 Есть ли в этом факторкольце делители нуля?
4.2 Вычислите произведение классов, содержащих х2 +3 и х +3 .
4.3 Обратим ли в этом факторкольце класс, содержащий многочлен х+2
?
5. Найдите степень и базис расширения Q(
6  1) .
5.1 Найдите разложение по базису элемента поля ( 6  3)1
6. Пусть R – кольцо функций, непрерывных на отрезке [0, 1], Iс – идеал,
состоящий из функций, которые обращаются в 0, в точке с. Докажите,
что этот идеал – максимальный.