Новозыбковский профессионально

Вычисление производной сложной функции
Н.П. Белькова
ГБОУ СПО “Новозыбковский профессионально-педагогический колледж”,
г. Новозыбков, Россия
“…А Ларчик просто открывался”
И.А.Крылов, “Ларчик”
Вычисление производной сложной функции зачастую вызывает затруднения
как у старшеклассников, так и у студентов-первокурсников. В этой небольшой
статье раскрывается опыт обучения учащихся и студентов отысканию производной
сложной функции.
На уроке (паре уроков), отведённом для изучения вышеозначенной темы,
естественно, повторяются формулы и первые четыре правила вычисления
производных:
вычисление
производной
алгебраической
суммы
функций,
производной произведения и частного функций, вычисление производной функции,
полученной умножением некоторой функции на коэффициент. Далее решаются
упражнения на повторение применения изученных формул и правил. В ходе
вычисления производных обязательно ведётся диалог, помогающий ученику
восстанавливать последовательность шагов при дифференцировании.
Обратимся к фрагменту урока.
Вычислите производную функции: y  2 x  sin x
П-ль: С чего обычно начинают вычисление производной функции?
У-к (с-нт): Обычно определяют структуру выражения, задающего функцию, т. е.
выясняют, как “составлена” функция. В данном случае функцию можно представить
так:    . Таким образом, нашу функцию составили из двух “табличных”
функций y  2 x и y  sin x с помощью сложения. Для вычисления производной
данной нам функции применим правило дифференцирования алгебраической суммы
функций. Таким образом, y    2 x  sin x    2 x    sin x   2  cos x .



(Если учащийся (студент) испытывает затруднение при выявлении структуры
выражения, задающего функцию, то обращаемся к памятке — одному из
результатов
работы
класса (группы)
на прошлом
занятии.
В памятке
сформулированы рекомендации по выявлению “строения” функции, приведены
типичные примеры.)
Вычислите производную функции: y 
x 2  3x  1
x
П-ль: С чего начнём вычисление производной функции?
У-к (с-нт): Как обычно сначала определим структуру выражения, задающего
функцию,
т. е. выясним, как “составлена” функция. В данном случае функцию можно
представить так: y 
  . Значит, эту функцию составили из двух (одна расположена
 
в числителе, другая в знаменателе) с помощью операции деления. Применим
формулу для вычисления производной частного функций.
Ученик выполняет вычисления.
После ряда выполненных упражнений учащимся (студентам) легко уже более
осознанно повторить сформулированный на предыдущем уроке важнейший для
вычисления
производных
принцип:
чтобы
найти
производную
функции,
необходимо выявить структуру выражения, задающего функцию.
Вслед
за
проведённой
актуализацией
знаний
предлагается
продифференцировать несколько функций:

а) y  sin  x   ; б) y  2 x  10,5 ; в) y 

4
5
2
; г) y   4  0,5 x  .
3 x  86
2
По окончании пятиминутной работы (как правило, в парах) обсуждаются варианты
ответов на поставленный вопрос. Небольшая дискуссия приводит к выводу о том,
что ни одна из прежних конструкций, отражённых в первых четырёх правилах
дифференцирования, не соответствует строению предложенных функций.
П-ль: Значит, у нас нет инструмента для вычисления производных таких функций.
Следовательно, должна(ы) существовать ещё какая(ие)-то возможность(и) для
составления
новых
функций
из
известных
табличных
и
соответственно
существует(ют) правило(а), позволяющее(ие) дифференцировать такие функции.
Да, ещё одно правило, по которому можно получить “ новую ” функцию из
известных “старых”, есть. Это правило в математике носит название композиции
функций, а функцию, при этом полученную, называют сложной. Итак, сегодня на
уроке будем работать со сложной функцией и научимся её дифференцировать.
Учащиеся (студенты) сами формулируют и записывают тему занятия:
“Производная сложной функции”.
(На первый урок по дифференцированию сложной функции полезно принести
матрёшку. Деревянная забава с секретом вызывает интерес и является ярким
образом операции “вложения” функции в функцию, операции композиции сначала
двух, а потом и более функций. Кстати, до проведения урока один-два человека из
класса (группы) получают задание подготовить сообщение о матрёшке — игрушке,
некогда завезённой в нашу страну из Японии и ставшей впоследствии и у нас, и на
Западе символом России.)
Далее вводится определение сложной функции в виде, предложенном в
учебнике [1], и выполняется комплекс упражнений, направленных на отработку
умения распознавать сложную функции среди других.
Упражнение 1. (В ходе выполнения этого упражнения учащиеся (студенты)
учатся буквально руками “ чувствовать ” строение функции.)
На столах заранее раскладываются конверты под названием “Конструктор
функций”. В каждом пакете находится один и тот же набор элементов
“конструктора”. Учащимся предлагается работать в микрогруппах по 2-4 человека и
составить функции из элементов “ конструктора ”. На выполнение задания
отводится 4-5 минут, затем представители от каждой группы на доске выписывают
результаты совместной работы. Далее шаг за шагом выясняется, какие функции
были получены, а какие “остались за кадром”. Использование презентации
позволяет продемонстрировать процесс получения функций “волшебного конверта”
и составить их полный список. Итогом этого этапа занятия является вывод об общей
для всех функций “конструктора” операции “вложения”, с помощью которой и были
получены выражения, задающие функции.
Содержимое “волшебного конверта” состоит из карточек двух видов. К первой
группе относятся карточки
шаблонов функций с вырезанными “окошками”. А
вторую группу образуют карточки с табличными функциями или их комбинациями,
полученными с помощью сложения, вычитания, умножения или деления. Приведём
пример содержимого “конструктора”:






sin   
sin   
sin   
sin   
sin   
sin   
3x  4
3x  4
3x  4
3x  4
x
x 1
x
x 1
x
x 1
x
x 1
2
2
2
2
Упражнение 2 состоит из двух пунктов: а) для предложенных функций
составить схемы их строения; б) распределить функции в таблице по столбикам с
заявленной структурой. Это задание учащиеся (студенты), обычно, выполняют
индивидуально в течение 5-7 минут с последующей самопроверкой с помощью
презентации.
Приведём вид задания.
а) даны функции. Составьте схемы их строения. Результаты запишите в таблицу.
(вид таблицы до начала работы)
функция
схема строения
(вид таблицы по окончании работы)
функция
функции
схема строения
функции
2sin x
2sin x
1
1  sin x
2
1
1  sin x
2
k  f  x
  
x  3cos x
x  3cos x
  
5x  2
3x  8
5x  2
3x  8


x  2x2  x 
x  2x2  x 
    
  


tg  2 x  
3

вн.


tg  2 x  
3

0, 25  x 2
 9 x  1
3
0, 25  x 2
вш.
 
вн.
9x  1
7
 9 x  1
7
вш.  7
1
 5 x  1

вш. tg 
вн.
0, 25  x 2
2x 
вн.
3
1
 5 x  1
5x  1
вш.    3
3


б) даны функции. Распределите их в таблицу, согласно указанным схемам.
y  x  9 x 2 ; y  4 cos x; y  x sin x; y 
y

x2
7

; y  x 2  2 x  1; y   4 x  9  ; y  sin  3x   ;
4
3  4x

18
ctgx
1 
; y  x 6  4 x.
; y  cos 2 x; y  7 x 2  3x; y    1  2 x  3 ; y  16 x  21; y 
4x 1
5
x 
(вид таблицы до начала работы)
  
    


k  f  x
вн.
вш.
(вид таблицы по окончании работы)
  


    
y  x  9 x 2 ;
y  x sin x;
y  x 2  2 x  1;
1 
y    1  2 x  3
x 
y  7 x 2  3x;
y
y
k  f  x
y  4 cos x;
x2
;
3  4x
y
18
4x 1
ctgx
;
5
18
y
4x 1
1 
y    1  2 x  3 ;
x 
y  x6  4 x
вн.
вш.
y  16 x  21;
y  cos 2 x;


y  sin  3 x   ;
4

y   4x  9
7
Подводим итог этого этапа урока и переходим к рассмотрению теоремы о
дифференцировании
сложной
функции
(без
доказательства),
выписываем
соответствующую формулу. Вводим термины “внутренняя” и “внешняя” функции и
переходим к упражнениям на вычисление производной сложной функции. При
решении первых упражнений
учащимся (студентам) предлагается специальная
схема вычисления производной сложной функции.
Обратимся к фрагменту урока.

Вычислите производную функции: y  sin  x   .

4

П-ль: Функция y  sin  x   является сложной. Продифференцируем её с помощью

4
таблицы:
функция
производная
функции
вн.
x

1
4

вш.
sin   
cos   




1  cos  x    cos  x  
4
4




 

Итак,  sin  x     cos  x   .
4 
4

 
(Договоримся использовать следующие сокращения: “внутренняя функция”—
“вн.”, “внешняя функция” — “вш.”. Знак

будем понимать как “склеивание”
полученных производных с помощью умножения. Стрелку, идущую от левой
верхней ячейки к правой нижней, будем проговаривать как “аргументом внешней
функции является внутренняя”.)
Такое “разбиение” сложной функции на составляющие “внутреннюю” и
“внешнюю”,
дифференцирование
каждой
функции
с
последующим
“склеиванием” полученных производных оказывается эффективным приёмом
при вычислении производной сложной функции.
Решение
следующего
примера
(Вычислите
производную
функции
y  50  0, 2 x ) демонстрируется с помощью презентации, после чего учащиеся
(студенты) по цепочке упражняются возле доски в отыскании производной сложной
функции. Задания берутся из задачника [2].
Применение схемы, разработанной для вычисления производной
сложной функции, не является обязательным для каждого ученика. Если
старшеклассник (студент) успешно справляется с дифференцированием, используя
исключительно знание формулы дифференцирования сложной функции, то нет
необходимости требовать от него предложенного способа оформления вычислений.
Литература:
1.Мордкович А.Г., Семёнов П.В. Алгебра и начала математического анализа. 10
класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений
(профильный уровень).. М.: Мнемозина, 2011. 287 с.
2.Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для
учащихся общеобразовательных учреждений
(профильный
уровень) / А.Г.
Мордкович, Л.О. Денищева, Л.И. Звавич и др.; под ред. А.Г.Мордковича. М.:
Мнемозина, 2011. 264 с.