А. П. Шишминцева ФГБОУ ВПО «Горно

А. П. Шишминцева
ФГБОУ ВПО «Горно-Алтайский государственный университет»
(г. Горно- Алтайск, Россия)
ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ
СФЕРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
В статье рассмотрены исторические аспекты и практические приложения сферической геометрии как одной из важных разделов математического знания.
Сферическая геометрия − раздел математики, в котором изучаются
фигуры, расположенные на сфере. Сферическая геометрия возникла в
связи с потребностями астрономии. Автором первого капитального сочинения о «Сферике» − так называли сферическую геометрию древние греки – был математик и астроном Евдокс Книдский (ок. 408-355 до н. э.).
Самым значительным произведением была «Сферика» Минелая Александрийского, греческого ученого, жившего в первом веке, который
обобщил знания своих предшественников и получил большое количество
новых результатов. Сферическая геометрия нужна не только астрономам,
штурманам морских кораблей, самолетов, космических кораблей, которые, по звездам определяют свои координаты, но и строителям шахт,
метрополитенов, тоннелей. Бакминстр Фуллер − философ, математик,
инженер, который загоревшись идеей создания конструкции, начал эксперименты в области сферической геометрии в 1940 году [1].
Дадим несколько основных определений сферической геометрии.
Сферой радиуса R > 0 c центром в точке О называется множество точек
пространства, удаленных от точки О на расстояние R . Уравнение сферы
можно записать следующим образом:
S  {M ( x, y, z ) /( x  a) 2  ( y  b) 2  ( z  c) 2  R 2 }
Отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо его точкой, называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий, кроме того, через его центр, называется диаметром. Плоскость,
проходящая через центр сферы, называется диаметральной плоскостью.
Всякая плоскость, пересекающая сферу, дает в сечении окружность.
Если плоскость проходит через центр сферы, то в сечении получается
большой круг. Через любые две точки на сфере, кроме диаметрально
противоположных, можно провести единственный большой круг. На глобусе примером большого круга служит экватор и все меридианы.
Плоскостям, проходящим через центр сферы, отвечают окружности
на сфере, имеющие наибольший возможный радиус сферы R; они называются большими окружностями.
Сферическим расстоянием между двумя точками сферы называется
длина дуги кратчайшей из дуг большой окружности, проведенной через
эти точки.
Расстояние на плоскости и в пространстве — понятие неопределяемое, но удовлетворяет трем условиям – аксиомам расстояния:
1) АВ  0, причем АВ = 0 в том и только в том случае, когда А=В,
для любых точек А и В имеет место: АВ =ВА;
2) для любых точек А, В и С верно АС  АВ +ВС (неравенство треугольника).
Сферическая тригонометрия – раздел геометрии, изучающий зависимости между углами и сторонами (дугами большого круга) сферических
треугольников. Сферическая тригонометрия возникла значительно раньше плоской тригонометрии, при решении задач сферической астрономии. Свойства прямоугольных сферических треугольников, выражаются
формулами:
sin 
sin 
sin с ,


sin A
sin B
sin С
cos A  cos B cos C sin B  sin B sin C cos A,
sin A cos B  cos B sin C  sin b cos C.
Сферическая геометрия как отрасль прикладной математики тесно
связанная с геометрией, математическим анализом, математической статистикой и вычислительной математикой – геодезия − это наука об измерениях, разрабатывающая способы определения расстояний, углов и силы тяжести с помощью различных приборов. Основная задача геодезии –
создание системы координат и построение опорных геодезических сетей,
позволяющих определить положение точек на земной поверхности. Геометрические задачи геодезии (в геометрическом и физическом аспектах)
решаются методами съемки, т.е. измерениями и расчетами расстояний,
углов и направлений.
Физический аспект связан с измерениями силы тяжести. Геодезические измерения осложняются спецификой используемой системы координат, которая включает широту, долготу и высоту. Уровенные поверхности, по которым устанавливается высота точки, непараллельны вследствие изменений силы тяжести на земной поверхности, обусловленных
особенностями рельефа (распределением гор, долин, впадин ) и плотности слагающих Землю горных пород. Подобные же причины нарушают
параллельность поверхностей, имеющих одинаковую широту или долготу. Кроме того, на результаты расчетов геодезических показателей,
например координат точки, влияют погрешности измерений и используемой физической модели.
Геодезические данные используются в картографии [2], навигации и
землепользовании, например, для определения зоны затопления после
сооружения плотины, местоположения буровых платформ на шельфе,
точного положения государственных и разного рода административных
границ. Например, знания сферической геометрии и геодезии можно
применять для вычисления расстояния между точками на поверхности
земного шара. Для этого используется формула, известная в сферической
геометрии
и
геодезии:
S  111,2  arccos(sin 1  sin 2  cos sin 1  cos 2  cos  ) где S – расстояние,
,
км;  1 и l1 - широта и долгота первой точки (для северной широты и восточной долготы со знаком плюс, для южной широты и западной долготы со знаком минус), градусы;  2 и l 2 – широта и долгота второй точки,
градусы; 111,2 константа – средняя длина дуги в один градус на поверхности Земли, км. Анализ истории математики показал зависимость изменения силы тяжести от геометрической формы (сжатия), впервые выявив
тесную связь между геометрическими и физическими параметрами Земли, которую открыл французский математик А. Клеро (1713-1765 гг.).
Исследование возможностей этой науки показало, что сферическая
геометрия применима в навигации – одной из наиболее древних наук [3].
Простейшие задачи навигации, такие например, как определение кратчайшего маршрута, выбор направления движения, встали перед самыми
первыми мореплавателями. В настоящее время эти же и другие задачи
приходится решать не только морякам, но и летчикам и космонавтам.
Приведем, например, одну из таких задач:
Известны географические координаты − широта и долгота пунктов А
и В земной поверхности: A, A В, B. Требуется найти кратчайшее расстояние между пунктами А и В вдоль земной поверхности (радиус земли
считается известным R  6371 км).
Одной из задач современной навигации: выбор безопасного и наиболее выгодного пути судна, определение направления движения и пройденного судном расстояния в море при помощи навигационных инструментов и приборов (в том числе определение поправок показаний этих
приборов); изучение и выбор наиболее удобных для судовождения картографических проекций и решение на них аналитическими и графическими способами навигационных задач; учёт влияния внешних факторов,
вызывающих отклонение судна от выбранного пути; определение места
судна по наземным ориентирам и навигационным искусственным спутникам и оценка точности этих определений. Ряд навигационных задач
решается с использованием методов геодезии, картографии, гидрографии, океанологии и метеорологии.
Своё применение сферическая геометрия находит и в области картографии. В картографии и конкретно в теории картографической проекции
рассматривают отображения поверхности земного эллипсоида на плоскость. Так как земной эллипсоид имеет малое сжатие, и его поверхность
незначительно отступает от сферы, а также в связи с тем, что картографические проекции необходимы для составления карт в средних и мелких масштабах (М > 1000000), то часто ограничиваются рассмотрением
отображений на плоскость сферы некоторого радиуса R, отклонениями
которой от эллипсоида можно пренебречь или каким-либо способом
учесть. Следует отметить, что развитие теории картографической проекции как и всей картографии, тесно связано с развитием геодезии, астрономии, географии, математики.
Подытоживая сказанное выше, следует заключить, что возможности
сферической геометрии неограниченны. Развитие науки и техники, распространяемые на различные сферы научного знания, позволяют открывать новые перспективы применения этой возможной для человечества
области знания.
Литература:
1. Стройк, Д.Я., Краткий очерк истории математики [Текст] /
Д.Я. Стройк. − М., Наука, 1984. – 350 с.
2. Витковский, В.Г., Картография [Текст] / В.Г. Витковский. − СПБ,
1907.
3. Лесков М.М. Навигация [Текст] /М.М. Лесков. – 2 изд., – М., 1972.