1.7.71

§ 7. Конечные цепные дроби.
В теории чисел, математическом анализе, теории вероятностей и в
вычислительной математике широко используются так называемые цепные
дроби.
Рациональные числа можно задавать в разной форме, например, одно и
то же число можно записать в виде отношения двух целых чисел
a
или в виде
b
систематической дроби по некоторому основанию g , причем эта
систематическая дробь может быть конечной или бесконечной, в зависимости
от выбора основания системы счисления. Запись в виде систематической
дроби имеет ряд существенных преимуществ, особенно при приближенных
вычислениях, однако существенные неудобства возникают из-за того, что
форма записи зависит не только от рассматриваемых величин, но и от
основания системы счисления. В этом параграфе мы рассмотрим другую
форму записи рациональных чисел, а именно представление их в виде так
называемых непрерывных или цепных дробей. Большим преимуществом
аппарата цепных дробей является то, что выражение любого рационального
числа в виде цепной дроби не зависит от каких-либо других величин, кроме
самого этого числа. Другие достоинства, а также и недостатки этого аппарата
десятичных и других систематических дробей будут рассмотрены позже.
1. Цепные дроби.
Определение 1. Конечной непрерывной дробью называется число,
записанное в виде a0 
b1
a1 
, где ai , bi - целые числа, i  0, s .
b2
a2 
b3

bs
as
Определение 2. Конечной цепной дробью называется число, записанное
в виде
где
a0 
 a0 ; a1 , a2 ,..., as  ,
11
a1 
1
a2 
(1)
1

1
as
a0  Z , ai  N , as  1, rn 1  rn qn i  1, s .
Числа a0 , a1 , a2 ,..., as будем называть элементами цепной дроби, а дробь s -членной цепной дробью.
Теорема 1. Каждое рациональное число можно представить в виде
конечной цепной дроби, причем единственным образом, и ,наоборот, значение
каждой конечной цепной дроби является рациональным числом.
46
Доказательство. Существование. Пусть рациональное число записано в
a
, причем b  1. Применив к числам a и b алгоритм Евклида, получим
b
виде
равенства:
a  bq0  r1 ; b  r1q1  r2 ; r1  r2q2  r3 ;…; rn  2  rn 1qn 1  rn ; rn 1  rn qn ,
(2)
где
b  r1  r2  ...  rn 1  rn  0 . Из равенства (2) вытекают соответственно
равенства
a
1
 q0 
b
b
 
 r1 
r
b
1
r
1
r
1
; 1  q2 
; …; n  2  qn 1 
; n 1  qn .
 q1 
rn
r1
r2
rn 1
 r1 
 r2 
 rn 1 
 
 


 r2 
 r3 
 rn 
a
Отсюда, получаем = q0 ; q1, q2 ,..., qn  .
b
;
Единственность такого представления доказывается методом от
противного и, исходя из того, что целые части и дробные части равных чисел
равны.
Значение каждой конечной цепной дроби находим в результате
выполнения конечного количества рациональных операций над элементами
этой дроби. Следовательно, в силу наших предположений относительно
элементов цепной дроби каждая конечная цепная дробь, очевидно,
представляет собой некоторое рациональное число.
2. Подходящие дроби.
Определение 3. n -й подходящей дробью ( 0  n  s ) конечной s -членной
цепной дроби будем называть величину An  a0 ; a1 , a2 ,..., an  
Pn
(3).
Qn
1 a a  1 a0 P0  1 P1
A1  a0 ; a1   a0   0 1

a1
a1
Q1 Q1
a0
P
 0 ,
1 Q0
Тогда
A0 
A2  a0 ; a1 , a2  
a2 P1  P0
P
 2
a2Q1  Q0
Q2
,
и т.д.
Теорема 2. ( правило образования подходящих дробей) Для всякого n  2
Pn  an Pn 1  Pn  2
Qn  anQn 1  Qn  2
(4)
Доказывается методом математической индукции по n .
Свойства подходящих дробей.
1° При n  1, s справедливо соотношение PnQn 1  Pn 1Qn   1n 1 . (5)
Доказывается методом математической индукции по n .
2° Каждая подходящая дробь – несократимая.
3° При n  2, s справедливо соотношение PnQn  2  Pn  2Qn   1n1 an . (6)
Доказательство равенства (6) вытекает из равенств (4) и (5).
4° Подходящие дроби четного порядка данной цепной дроби образуют
возрастающую, а подходящие дроби нечетного порядка – убывающую
47
последовательность. Каждая подходящая дробь четного порядка данной
цепной дроби меньше любой подходящей дроби нечетного порядка этой
цепной дроби.
Разделив обе части соотношения (6) на QnQn  2 и взяв n - четным, либо
нечетным,
неравенства
получим
Pn
P
 n2
Qn Qn  2
из
и
равенства
Pn Pn  2 (1) n an


Qn Qn  2 QnQn  2
соответственно
Pn
P
 n  2 . А из них вытекает первое утверждение
Qn Qn  2
свойства. Аналогично, поделив обе части равенства (5) на QnQn 1 , и взяв n четным либо нечетным, получаем второе утверждение свойства. Таким
образом, подходящие дроби четного порядка являются приближенными
a
с недостатком, а нечетного порядка – с избытком. Оценка
b
a P
1
1
погрешности при этом определяется неравенством  n 
 2 (7)
b Qn QnQn 1 Qn
значениями
5° Расстояния (модули разностей) между соседними подходящими
дробями уменьшаются с увеличением их номера.
Цепную дробь можно представить в виде a0 ; a1 , a2 ,..., an  =
исходя
из
того,
что
a0 , a1, a2 ,..., an  ,
a1 , a2 ,..., an 
a0   a0 , a0 , a1   a0a1  1 , a0 , a1, a2   a0a1a2  a0  a2 ,
a0 , a1, a2 , a3   a0a1a2a3  a0a1  a0a3  a2a3  1,… и т.д. Тогда имеет место следующее
свойство:
6° a0 , a1 , a2 ,..., an  = a0 a1, a2 ,..., an  + a2 , a3 ,..., an  (8).
Это рекуррентное соотношение шаг за шагом определяет функцию
«квадратные скобки».
Мы видели, что a0 , a1, a2 ,..., an  является суммой некоторых произведений,
образованных из элементов ai . Каковы же эти произведения? Эйлер впервые
ответил на этот вопрос, указав общее правило для вычисления цепной дроби:
сначала берется произведение всех элементов, затем всевозможные
произведения, которые можно получить, опустив какую-нибудь пару
последовательных элементов, затем берутся произведения, получающихся
отбрасыванием любых двух пар последовательных элементов, и так далее.
Из правила Эйлера сразу же следует, что величина a0 , a1 , a2 ,..., an  не изменится,
если записать все элементы в обратном порядке: a0 , a1 , a2 ,..., an  =
aò , aò 11, aò  2 ,..., a0  , то есть имеет место соотношение a0 , a1 , a2 ,..., an  =
an a0 , a2 ,..., an 1  + a0 , a1 ,..., an  2  (9), которое в большинстве случаев более удобно.
Геометрическая интерпретация цепных дробей
(Клейн Ф.).
Замечательную
геометрическую
интерпретацию
цепной
дроби
иррационального числа предложил в 1895 году Клейн (F. Klein). Пусть  иррациональное число, предполагаемое для простоты положительным.
Рассмотрим всевозможные точки плоскости с целыми положительными
48
координатами и предположим, что в этих точках расставлены колышки.
Прямая y  x ни через один из этих колышков не пройдет. Представим себе,
что вдоль этой прямой натянута веревка, один конец которой закреплен в
бесконечно удаленной точке этой прямой. Если другой конец веревки,
расположенный в начале координат, отвести в сторону, веревка зацепится за
некоторые колышки; если его отвести в другую сторону, то веревка зацепится
за какие-то другие колышки. Колышки (лежащие под прямой) расположены в
точках с координатами ( B0 , A0 ), ( B2  A2 ),..., соответствующих подходящим
дробям, меньшим  . Другой ряд колышков (над прямой) состоит из точек с
координатами ( B1, A1 ), ( B3 , A3 ),..., соответствующих подходящим дробям,
большим  . Каждое из положений веревки образует ломаную линию,
приближающуюся к прямой y  x . Диаграмма иллюстрирует случай
  3  1;1,2,1,2,... . Подходящие дроби здесь равны
1 2 5 7 19 26
, , , , , ,... .
1 1 3 4 11 15
Колышки под прямой расположены в точках (1,1), (3,5), (11,19),..., а колышки над
прямой – в точках (1,2), (4,7), (15,26),... .
Большинство элементарных теорем о цепных дробях имеют простую
геометрическую интерпретацию. Обозначим через Pn точку ( An , Bn ) .
Рекуррентные соотношения (4) показывают, что вектор от Pn  2 до Pn ( Pn  2 и Pn две последовательные вершины одной из ломаных) равен целому кратному
вектора от начала O до Pn 1 . Соотношение (5) можно интерпретировать, как
утверждение о том, что площадь треугольника OPn 1Pn при любом n равна 0,5.
Это утверждение можно вывести непосредственно из описанной конструкции
с веревкой : в самом деле, очевидно, что в треугольнике OPn 1Pn нет ни одной
целой точки, помимо вершин; кроме того, можно легко доказать, что площадь
любого треугольника, обладающего этим свойством, равна 0,5.
Пример 1. Разложить в цепную дробь: 1).
Решение.
_13
0
_141
13
_13
11
_11
10
_2
2
141
0= q0
13
10= q1
11
1= q2
2
5= q3
1
2= q4
0
13
 0;10,1,5,2
141
49
43
13
; 2).  .
15
141
2).
_15
14
_2
2
2
7= q1
1
2= q2
0

43
13
2
 2  3 
  3;7,2 .
15
15
15
Пример 2. Разложить
1045
в цепную дробь и вычислить подходящие
3427
дроби.
Решение. Найдем элементы цепной дроби как частные в алгоритме Евклида:
_3427
3129
_1043
894
_298
298
1043
3= q1
298
3= q2
149
2= q3
0
5= q3
1043
 0;3,3,2 .
3427
Будем вычислять подходящие дроби  k 
k 
Pk
по рекуррентной формуле
Qk
qk  Pk 1  Pk  2
, k  1 , где P0  q0 , P1  q0  q1  1 ,
qk  Qk 1  Qk  2
Q0  1 , Q1  q1
используя схему (9):
k
0
1
2
qk
0
3
3
Pk 1
0
1
3
Q 0
1
3
1
0
k
3
2
7
2
3
1
3
3
7
;  3  . Последняя подходящая дробь
10
23
7
равна исходному числу. В данном случае  3 
и является, согласно
23
Как видно из (9),  0  0 ; 1  ;  2 
свойству
подходящих
дробей,
исходная дробь сократима, причем
несократимой
дробью.
1043
7  149
7
.


3427 23  149 23
50
Следовательно,
Пример 3. Заменить число
245
83
такой подходящей дробью, чтобы
полученная при этом погрешность не превышала 0, 001.
Решение. Разложим данное число в цепную дробь:
_245
166
_ 83
79
83
2= q0
79
1= q1
_79
4
19= q2
_39
36
3
_4
3
_3
3
4
1= q3
1
3= q4
0
Получим:
245
 2;1,19,1,3 .
83
Вычислим подходящие дроби:
k
qk
0
2
1
1
Pk
1
2
3
Q
0
1
1
k
Так как число
2
1
9
5
9
2
0
3
1
4
3
6
2
2
1
24
5
83
a
, разложенное в цепную дробь, по величине находится между
b
любыми соседними подходящими дробями, то
a Pk
P
P
1
1

 k 1  k 
 2.
b Qk
Qk 1 Qk
Qk  Qk 1 Qk
Поэтому найдем две соседние подходящие дроби, у которых произведение
знаменателей не меньше 1000.
20  21  1000 ;
21 83  1000 ;
следовательно,
245 P3
245 62
1
1





.
83 Q3
83 21 21  83 1000
Итак,
245 62

 0,001 .
83
21
51
подходит
P3 62

,
Q3 21
т.к.
Упражнения.
№1. Как связан алгоритм Евклида с цепными дробями?
№2. Какими числами являются q0 , q1, q2 ,..., qn ? Как они называются?
№3. В каком случае разложение рационального числа в конечную цепную
дробь является единственным?
№4. Каким числом является конечная цепная дробь [ q0 ; q1 , q2 ,..., qn ]?
№5. Какие цепные дроби называются подходящими к цепной дроби?
№6. По какому закону составляются подходящие дроби? Для чего в таблице
нахождения подходящих дробей в столбце перед P0 и Q0 ставятся числа 1 и 0?
№7. Какой характерной особенностью обладают знаменатели подходящих
дробей?
№8. Какова связь между числителями и знаменателями двух соседних
подходящих дробей?
№9. Какой характерной особенностью обладают дроби с четными номерами?
Нечетными номерами?
№10. Почему любая подходящая дробь с четным номером меньше любой
подходящей дроби с нечетным номером?
№11. Может ли быть сократима какая-либо подходящая дробь цепной дроби?
Почему?
№12. Какие приближения к числу
a
дают подходящие дроби с четными
b
номерами? С нечетными?
№13. Чему равна погрешность, допускаемая при замене рационального числа
a
подходящей дробью  k ?
b
№14. Разложить в непрерывные дроби: 1).
322
;
159
2). 
23
;
29
3).
1
; 4). 9; 5).
17
–10;
6).
127
24
37
1811
; 7).
; 8). 1, 23; 9).
; 10).
.
52
35
81
691
№15. Разложить дробь в непрерывную, заменить ее подходящей дробью,
найти погрешность замены, записать замену приближенным равенством с
указанием погрешности: 1).
29
163
648
571
, k  3 ; 2).
, k  4 ; 3).
, k  3 ; 4).
,
37
159
385
389
k  5;
5).
2341
1882
, k  4 ; 6).
, k  5.
1721
1651
№16. По данным конечным непрерывным дробям найти соответствующие им
обыкновенные дроби: 1). 2;3,1,4; 2).
0;1.2.3.4.5 ; 3).  2;3,1,5,4,2 ; 4).
1;1,2,3,4;
5). a, a, a, a, a ; 6). a.b.a.b.a.
№17. Сократить дробь (с помощью разложения в непрерывную):
52
1).
3587
1043
1857
11111
3653
; 2).
; 3).
; 4).
; 5).
.
2743
3427
9153
7093
3107
№18. Решить уравнение: 1). x;2,3,4 
73
19
; 2). 2;1,2, x  
.
90
7
№19. С помощью подходящих дробей найти приближение к дроби с
точностью до  :
1)
2517
13891
1261
,   0,01 ; 2)
,   0,001 ; 3)
,   0,0001 .
773
5065
881
№20. Требуется построить зубчатую передачу с помощью двух шестерен с
количеством зубцов, равным отношению 587 : 113. Можно ли техническое
осуществление передачи выполнить заменой заданного отношения количества
зубцов шестерен отношением с меньшим числителем и знаменателем, но с
погрешностью не превосходящей 0, 001?
№21. Зубчатая передача должна иметь передаточное число
377
. Рассчитать
233
число зубьев на шестернях с погрешностью, не превышающей 0,001
(погрешность в передаточном числе).
53