ОСОБЕННОСТИ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА «КАССИНИ»

Учебный аэрокосмический центр
«Буран»
ОСОБЕННОСТИ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО
АППАРАТА «КАССИНИ»
выполнил Каменских Владимир,
11 класс гимназии №1 им. В.И. Ленина,
руководитель Разник Р.М., к. ф.-м. наук
Ульяновск
2003
2
Цель работы
Рассмотрение следующих особенностей орбиты космического аппарата
(КА) «Кассини», предназначенного для исследования Сатурна (Рис. 1):
- почему он был направлен в сторону, противоположную цели (к
Венере);
- почему его орбита – спираль, а не гомановский эллипс, движение по
которому теоретически считается наиболее экономичным.
Этапы выполнения работы
1. Вычисление скоростей выхода из сферы действия Земли для полета к
Сатурну и Венере по гомановским эллипсам.
2. Рассмотрение механики пертурбационного маневра (ПМ).
3. Сопоставление скоростей выхода из сферы действия Земли для полета к
Сатурну по гомановскому эллипсу и по спиральной орбите «Кассини».
Результат работы
Получено, что для достижения Сатурна по спиральной орбите «Кассини»
скорость выхода из сферы действия Земли примерно в 4 раза меньше, чем
при запуске непосредственно к Сатурну по гомановскому эллипсу.
Соответственно, ниже затраты энергии и больше объем полученной
информации о телах Солнечной системы.
Дальнейшие исследования
Расчет скоростей КА «Кассини» при пертурбационных маневрах в полях
тяготения Венеры, Земли и Юпитера.
3
Рисунок 1
4
1. Вычисление скоростей выхода из сферы действия Земли для полета
к Сатурну и Венере по гомановским эллипсам
Эллипс Гомана – траектория перелета с минимальной характеристической
скоростью между двумя планетами, имеющими компланарные круговые
орбиты и движущимися в поле тяготения центрального тела массой M
(Солнца). В перигелии и афелии гомановский эллипс касается круговых
орбит. Угловая дальность полета равна 1800.
Большая полуось a гомановского эллипса при запуске с Земли
определяется формулой:
a = ( rЗемли + rпланеты ) / 2,
где , rЗемли - радиус орбиты Земли, rпланеты – радиус орбиты планеты
назначения.
Скорость Vвых , необходимая космическому аппарату на выходе из сферы
действия Земли для перехода на гомановский эллипс, равна:
Vвых = VКА - VЗемли ,
где VКА и VЗемли – скорости относительно Солнца в точке касания орбит КА и
Земли.
Из решения уравнений задачи гравитационного взаимодействия двух тел
Ньютон нашел соотношение для вычисления скорости движения VКА тела
массой m в поле тяготения тела массой M в любой точке эллиптической
орбиты:
V2КА = G(MСолнца + mКА)(2/r – 1/a),
где MСолнца – масса тела, создающего поле тяготения, mКА - масса
космического аппарата, r – радиус–вектор, a - большая полуось эллипса.
Так как масса космического аппарата очень мала по сравнению с массой
Солнца, ею можно пренебречь.
Для полета по гомановскому эллипсу с Земли к Сатурну требуется
скорость VКА относительно Солнца, вычисляемая по формуле:
V2КА = GMСолнца (2/rКА – 1/aКА),
где r = 1 а.е., т.к. запуск производится Земли,
a = (rафелия + rперигелия)/2 = (rЗемли + rСатурна)/2 = (1а.е. + 9,55а.е.)/2 = 5,27 а.е.
Для упрощения вычислений применим искусственный прием: найдем
отношение квадратов скоростей космического аппарата и Земли. Из данного
отношения, зная скорость Земли относительно Солнца (30 км/с) и то, что
rЗемли = aЗемли = 1 а.е., можно найти скорость космического аппарата:
 2
1 
2
1

GMСолнца 


2
VKA
 rKA a KA   1а.е. 5,27а.е.  1,81.

2
2
1
 2
VЗемли
1 


GMСолнца

1а.е. 1а.е.
r

 Земли a Земли 
5
VKA
 1,81  1,35
VЗемли
Вычислим скорость космического аппарата:
VКА = 1,35 VЗемли = 1,35  30 км/с = 40,5 км/с.
Значит, для полета к Сатурну космический аппарат на выходе из сферы
действия Земли должен иметь скорость 40,5 км/с относительно Солнца.
Скорость выхода из сферы действия Земли должна равняться:
Vвых = VКА - VЗемли = 40,5 км/с – 30 км/с = 10,5 км/с.
Эта скорость должна быть направлена в сторону движения Земли по орбите.
В точке запуска КА будет находиться в афелии своей орбиты.
Для полета к Венере по гомановскому эллипсу требуемую скорость VКА
относительно Солнца можно рассчитать по формуле:
V2КА = GMСолнца(2/rКА ─ 1/aКА),
где rКА = 1 а.е.,
aКА = (rафелия + rперигелия)/2 = (rВенера + rЗемли)/2 = (0,72 а.е. + 1 а.е.)/2 = 0,86 а.е.
Применив искусственный прием, получим:
 2
1 
2
1


GM


Солнца

2
VKA
 rKA a KA   1а.е. 0,86а.е.  0,84.

2
2
1
 2
VЗемли
1 

GMСолнца 

1а.е. 1а.е.
r

 Земли a Земли 
VKA
 0,84  0,92
VЗемли
Откуда можно найти скорость космического аппарата:
VКА = 0,92VЗемли = 0,92  30 км/с = 27,6 км/с.
Для полета к Венере по гомановскому эллипсу космический аппарат
должен иметь скорость 27,6 км/с относительно Солнца, т.е. меньшую, чем
скорость Земли относительно Солнца. Поэтому запуск необходимо
производить в сторону, противоположную направлению движения Земли по
орбите.
Vвых = VКА - VЗемли = 27,6 км/с – 30 км/с = -2,4 км/с.
Итак,
VВых к Сатурну
VВых к Венере

10,5 км / с
 4,38.
 2,4 км/с
6
2. Рассмотрение механики пертурбационного маневра (ПМ)
Еще одной важной особенностью КА «Кассини» является
реализация четырех пертурбационных маневров, позволивших
развить скорость, достаточную для достижения Сатурна. Идею ПМ
предложил Ю.В. Кондратюк в 1916 году. ПМ неоднократно
применялись при запусках КА к телам Солнечной системы.
Суть ПМ состоит в том, что при попадании КА в поле тяготения планеты
изменяются направление и величина скорости КА относительно Солнца. КА
входит в сферу действия планеты с ΔVвхода, равной геометрической разности
VКА относительно Солнца и Vпланеты относительно Солнца, при этом ΔVвхода
должна быть гиперболической относительно планеты. ΔVвыхода из сферы
действия будет равна ΔVвхода по модулю, но повернута на угол 2γ,
определяемый формулой:
sin  
1
2
1  min V входа /( M планетыG)
,
где ρmin – минимальное расстояние КА от центра притяжения планеты,
Мпланеты – масса планеты, G – гравитационная постоянная. Поворот вектора
происходит на угол 2γ, т.е. угол поворота зависит от
ΔVвхода и
минимального расстояния орбиты КА от планеты. Для вычисления
'
результирующей скорости VKA
относительно Солнца нужно получить
геометрическую сумму ΔVвыхода из сферы действия планеты и Vпланеты
'
относительно Солнца. Полученная скорость VKA
будет больше скорости
VKA относительно Солнца до входа в сферу действия планеты (Рис. 2).
Таким образом, КА без затраты энергии, используя поле тяготения
планеты, получает дополнительную скорость относительно Солнца.
Возможен и ПМ и с торможением КА.
7
8
Сопоставление скоростей выхода из сферы действия Земли для полета к
Сатурну по гомановскому эллипсу и по спиральной орбите «Кассини»
Наши расчеты показывают, что энергетически гораздо выгоднее послать
КА не непосредственно к Сатурну, а направить его в противоположную
сторону к планете Венере. При этом скорость выхода из сферы действия
Земли уменьшается примерно в 4 раза. Запуск к Венере производится по
эллиптической (более вытянутой, чем гомановская) орбите. Это обеспечивает
вход в ее сферу действия с гиперболической скоростью относительно
планеты. После этого КА выходит по орбите, пересекающей орбиту Земли.
Пертурбационные маневры при втором приближении к Венере, и затем в
поле тяготения Земли позволяют КА направиться к Юпитеру, отстоящему в 5
раз дальше от Солнца, чем Земля. ПМ в сфере действия Юпитера направляет
КА «Кассини» к Сатурну и через 6,75 лет после старта, 1 июля 2004 года
«Кассини» достигнет Сатурна.
Литература
1 Космонавтика, энциклопедия, М., «Советская энциклопедия», 1985
2 Сайт http://www.nasa.gov/