Раздел 1. Значение науки о сопротивлении материалов

Министерство образования и науки, молодёжи и спорта Украины
АЗОВСКИЙ МОРСКОЙ ИНСТИТУТ
Одесской национальной морской академии
Серенко А.Н.
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
МАРИУПОЛЬ
2010
УДК 530.152.1
С-32
ББК 30.121
Серенко А.Н. Сопротивление материалов: Конспект лекций / А.Н. Серенко. – Мариуполь: АМИ ОНМА, 2010. – 103 с.
Изложены в краткой форме основные понятия и разделы по сопротивлению материалов. Приводятся примеры решения задач. Для курсантов 1, 2
курса специальности «Судовождение» и «Эксплуатация судовых энергетических установок» дневной и заочной формы обучения Азовского морского института Одесской национальной морской академии.
Викладені в короткій формі основні поняття і розділи по опору матеріалів.
Наводяться приклади вирішення завдань. Для курсантів 1, 2 курси спеціальності «Судноводіння» і «Експлуатація суднових енергетичних установок» денної і заочної форми навчання Азовського морського інституту
Одеської національної морської академії.
Рассмотрено и одобрено
на заседании кафедры СВиМП
протокол № 2/10 от 27.09.2010
Рецензент: В.П. Лаврик
канд. техн. наук, доц. ПГТУ
© Азовский морской институт ОНМА, 2010
2
Содержание
Раздел 1. Значение науки о сопротивлении материалов……………
Раздел 2. Основные понятия и допущения…………………………
Контрольные вопросы к 2 разделу……………………..….
Раздел 3. Растяжение и сжатие……………………………………....
3.1. Внешние и внутренние силы………………………....
3.2. Напряжения, деформации и перемещения…………..
3.3. Расчеты на прочность и жесткость при растяжениисжатии………………………………………………………
3.3.1. Примеры расчетов при действии сосредоточенных
сил ………………………………………………………….
П р и м е р 3.1………………………………………………
П р и м е р 3.2………………………………………………
3.3.2. Примеры расчетов при изменяющейся по длине
стержня сечения и усилия ………………………………...
П р и м е р 3.3……………………………………………...
П р и м е р 3.4……………………………………………...
Контрольные вопросы к 3 разделу………………………..
Раздел 4. Испытание материалов на растяжение и сжатие………...
Контрольные вопросы к 4 разделу…………………….….
Раздел 5. Геометрические характеристики плоских сечений……...
П р и м е р 5.1. ………………………………………….….
П р и м е р 5.2………………………………………………
П р и м е р 5.3………………………………………………
П р и м е р 5.4………………………………………………
Контрольные вопросы к 5 разделу………………………..
Раздел 6. Кручение стержней круглого сечения……………………
6.1. Общие сведения……………………………………….
6.2. Расчеты на прочность и жесткость стержней при
кручении……………………………………………………
П р и м е р 6.1………………………………………………
Контрольные вопросы к 6 разделу………………………..
Раздел 7. Плоский поперечный изгиб прямых брусьев………….…
7.1. Общие сведения……………………………………….
7.2. Подбор сечения балки
7.3. Определение прогибов балки и углов поворотов сечений. ………………………………………………………
П р и м е р 7.1………………………………………………
Контрольные вопросы к 7 разделу………………….….…
Раздел 8. Сложное сопротивление. Изгиб с кручением……………
8.1. Общие сведения……………………………………….
П р и м е р 8.1………………………………………………
Контрольные вопросы к 8 разделу…………………….….
Литература……………………………..................................
Приложения…………………………………………….…..
3
4
7
13
14
14
15
20
20
20
24
27
27
30
33
34
40
41
42
47
49
51
52
53
53
56
56
60
61
61
62
63
67
72
73
73
76
80
80
81
Раздел 1. Значение науки о сопротивлении материалов
Обеспечение надежной работы различных узлов, механизмов, корпусных
конструкций во время эксплуатации судов – одна из важнейших проблем, которая должна решаться как в процессе расчета и проектирования, так и изготовления судна.
Опыт эксплуатации судов транспортного и промыслового флотов показывает, что, несмотря на огромный накопленный опыт расчета, проектирования
и постройки судов, полностью избежать появления тех или иных повреждений
узлов и корпусных конструкций, не удается.
Поэтому, изучение причин повреждаемости конструктивных узлов на судах, разработка более совершенных методов расчета и форм проектируемых узлов, деталей и корпусных конструкций, а также технологии их изготовления,
является актуальной задачей и в настоящее время.
На рис. 1.1 приведены примеры образования трещин в некоторых узлах
корпуса.
Трещина
а
Трещина
в
б
Рис. 1.1. Типовые повреждения корпуса судна: а – в углу палубного люка;
б, в – в перекрестных связях
Условия возникновения концентрации напряжений в районе вырезов, а
также обрыва различных жесткостей (продольные стенки надстроек, фальшборты, ребра и др.) могут быть представлены на основе теории деформаций
прерывистых связей, базирующийся на теории упругости. Однако далеко не
всегда удается избежать появления повреждений как отдельных деталей и узлов судов, таки и в целом всего корпуса.
На рисунке 1.2 представлены примеры поломки вала судна «Оклахома»
(а) и хвостовика гребного вала судна «Генерал Панфилов» (б).
4
а
б
Рис. 1.2. Типовые поломки валов
Даже небольшие ошибки в расчетах местных напряжений, вызванных изменением формы конструкции в зоне сопряжения отдельных элементов могут
привести к катастрофическим последствиям для всего судна.
На рис 1.3 приведен вид разломившегося танкера Американской постройки. Разрушение произошло из-за возникновения местного концентратора
напряжений в зоне крепления фальшборта к палубе.
5
Рис. 1.3. Хрупкое разрушение корпуса танкера (США)
Приведенные выше примеры показывают насколько важно уметь
делать правильные расчеты напряжений (и, следовательно, прочности) не только для корпусных конструкций в целом, отдельных узлов или деталей, но и в
малых зонах, в которых возникают повышенные напряжения.
Для того чтобы детали сооружений и машин, корпусные конструкции,
не разрушаясь и не сильно деформируясь, могли выдерживать действующие на
них нагрузки, они должны быть сделаны из соответствующего материала и иметь
необходимые размеры. Эти размеры деталей конструкций определяются расчетом.
Созданием основ для расчета на прочность деталей и элементов конструкций занимается наука, называемая сопротивлением материалов.
6
Раздел 2. Основные понятия и допущения
Сопротивление материалов – наука, занимающаяся вопросами оценки
прочности, жесткости и устойчивости частей сооружений и машин.
При выборе расчетной схемы вводятся упрощения в геометрию реального
объекта. Основным упрощающим приемом в сопротивлении материалов является
приведение геометрической формы тела к схеме стержня.
Под стержнем понимается тело, одно из измерений которого (длина) много
больше двух других. Геометрически стержень может быть образован путем перемещения плоской фигуры вдоль некоторой кривой, как это показано на рис.
2.1. Эта кривая называется осью стержня, а плоская фигура, имеющая свой
центр тяжести на оси и нормальная к ней, называется его поперечным сечением.
Стержень может иметь сечение и постоянное, и переменное вдоль оси. Сечение
может также поворачиваться относительно оси.
Рис.2.1. Стержень
В зависимости от формы оси стержень может быть прямым, кривым или
пространственно изогнутым. К схеме пространственно изогнутого стержня сводится, например, расчет винтовых пружин.
Многие сложные конструкции могут рассматриваться состоящими из элементов, имеющих форму стержня. Их называют стержневыми системами.
В некоторых случаях, в основном, когда речь идет об элементах конструкции, стержень часто называют брусом или балкой (рис. 2.2,а).
Второй типовой геометрической схемой, применяемой в сопротивлении материалов, является схема листа и оболочки. Под оболочкой понимается тело, одно
из измерений которого (толщина) много меньше двух других. К схеме оболочки
сводятся такие конструктивные элементы, как корпуса судов, трубы, стенки баков, купола зданий и др.
а)
б)
в)
Рис. 2.2. Основные типы элементов конструкций:
стержень (а); пластина (б); оболочка (в)
7
Внешние силы
В сопротивлении материалов различают несколько видов нагрузок, действующих на рассчитываемый объект.
Силы, приложенные к телу в результате взаимодействия тел, называют
внешними. Внешние силы бывают объемные – приложенные ко всем внутренним точкам тела (например, собственный вес, силы инерции), и поверхностные
– приложенные к поверхности тела (например, нагрузка на балке). Поверхностные силы делятся на сосредоточенные (рис.2.2,а), действующие на весьма малой
поверхности (теоретически – в точке), и распределенные – приложенные непрерывно по длине (рис. 2.2,б) или на площади (рис. 2.2,в). Величина распределенной нагрузки, приходящаяся на единицу длины или площади, называется интенсивностью нагрузки (Н/м, Н/м2).
По времени действия нагрузки бывают постоянные, действующие непрерывно в течение всего срока службы сооружения, и временные; продолжительность действия последних ограничена.
q, Н/м
h
b
b
h
P, Н
l
l
а)
б)
2
b
b
h
M, Н м
h
p, Н/м
l
l
в)
г)
Рис. 2.3. Виды внешних нагрузок: сосредоточенная (а); равномерная распределенная по длине (б); равномерная распределенная по поверхности
(в); сосредоточенная моментная нагрузка (г)
По характеру изменения во времени нагрузки делят на статические и динамические. Первые прикладываются плавно, поэтому ускорениями точек конструкции и силами инерции, возникающими при движении масс, можно пренебречь. Динамические нагрузки меняют свою величину в течение короткого промежутка времени и вызывают значительные ускорения элементов конструкции.
8
Основные виды деформаций
Деформации элементов сооружений и машин, вызванные внешними силами,
могут быть очень сложными. Однако эти сложные деформации всегда можно представить состоящими из небольшого числа основных видов деформаций.
Основными видами деформаций деталей конструкций, изучаемыми в сопротивлении материалов, являются: 1) растяжение (рис. 2.4,а), 2) сжатие (рис. 2.4,б),
3) сдвиг (срез) (рис. 2.4,в), 4) кручение (рис. 2.4,г), 5) изгиб (рис. 2.4,д).
Примерами сложных деформаций могут служить одновременное растяжение
и кручение (рис, 2.4,е) и др.
P
P
P
P
б)
a)
P
M
M
P
в)
г)
M
M
M
M
P
д)
P
е)
Рис.2.4 Основные виды деформаций элементов конструкций
В теоретической механике твердые тела условно рассматриваются как абсолютно твердые, т. е. совершенно не изменяющие своей формы под действием приложенных к ним сил. Однако из опыта известно, что все твердые тела под действием приложенных к ним сил деформируются. Деформирование твердых тел под
действием внешних сил является одним из их основных свойств. Кроме того,
твердые тела обладают способностью противодействовать изменению относительного расположения своих частиц. Это проявляется в возникновении внутри тела сил,
которые сопротивляются его деформации и стремятся вернуть частицы в положение, которые они занимали до деформации. Силы эти называются внутренними силами или силами упругости; само же свойство твердых тел устранять деформацию, вызванную внешними силами, после прекращения их действия называется упругостью. Мерой для оценки внутренних сил упругости служит так называемое
напряжение (интенсивность внутренних сил).
Вполне упругими или абсолютно упругими называются тела, которые после
прекращения действия внешних сил полностью уничтожают вызванную ими деформацию. Совершенно неупругими называются тела, которые и после прекращения
9
действия внешних сил полностью сохраняют вызванную в них деформацию (пластилин).
В природе нет тел ни вполне упругих, ни совершенно неупругих. Однако
такие материалы, как сталь, дерево и др., по своим свойствам достаточно близко
стоят к совершенно упругим телам. Но и эти материалы могут считаться совершенно
упругими лишь до определенных пределов нагружения, устанавливаемых для них
опытом. За этими пределами после удаления действовавших внешних сил в телах
остается деформация, которой нельзя пренебречь.
Деформация полностью исчезающая после прекращения действия внешних
сил, называется упругой деформацией.
Деформации связаны с перемещениями точек, линий и плоскостей. Перемещения по прямой называются линейными, а перемещения, вызванные поворотом линий и плоскостей, называются угловыми. Линейная деформация имеет
размерность длины, а угловая – размерность угла. Измеренная величина линейной деформации на данном участке называется абсолютной деформацией, а отношение абсолютной деформации к длине участка – относительной деформацией
Неисчезающая деформация называется остаточной или пластической деформацией. При проектировании деталям конструкций придают, как правило, такие
геометрические размеры, при которых в них не возникали бы остаточные деформации. Увеличение внутренних сил для каждого материала может происходить
только до известного предела, характерного для этого материала. Внешние силы
могут оказаться столь большими, что внутренние силы тела при данных его геометрических размерах не смогут их уравновесить, и тело разрушится.
Внутренние силы. Метод сечений.
Внутренние силы – результат действия одних частей тела на другие. Они
существуют и при отсутствии внешних силовых воздействий как результат взаимодействия между частицами тела. Но под действием внешних сил в материале возникают дополнительные внутренние силы, сопровождающие деформацию. Поэтому под внутренними силами (или внутренними усилиями) в сопротивлении материалов понимаются силы взаимодействия между отдельными элементами сооружения или между отдельными частями элемента, возникающие под действием внешних сил. Эти силы и определяются
в задачах сопротивления материалов. При определении внутренних сил в каком-нибудь сечении тела пользуются методом сечений. Сущность этого метода заключается в следующем.
Рассмотрим элемент конструкции, на который действует система внешних сил ( P1; P2 ; P3 ; P4 ), находящихся в равновесии (рис. 2.5,а).
Если,– например, нас интересуют внутренние силы, действующие в сечении
m  n , то мы мысленно разрежем тело по этому сечению и отбросим, одну из двух
полученных частей, скажем верхнюю. Тогда на оставшуюся нижнюю часть (рис. 2.5,
б) будут действовать внешние силы P3 ; P4 . Для того чтобы эта часть тела оставалась в равновесии, надо по всему сечению приложить внутренние силы.
10
Эти силы представляют действие отброшенной верхней части тела на
оставшуюся нижнюю часть. Будучи внутренними силами для целого тела, они играют роль внешних сил для выделенной части. Величина равнодействующей внутренних усилий может быть определена из условия равновесия выделенной части. Закон
распределения внутренних усилий по сечению, вообще говоря, неизвестен. Для
решения этого вопроса в каждом конкретном случае необходимо знать, как деформируется под действием внешних сил рассматриваемое тело.
P1
P2

m
n
P3
P4
a)
m
P3
б)

dF
n
P4
p

P3
P4
в)
Рис.2.5. Внешние и внутренние силы, действующие на тело
Если в сечении m  n выделить бесконечно малую площадку F (рис.
2.5,в), то полагая внутренние силы, действующими во всех точках сечения, можно
сказать, что на эту площадку придется и бесконечно малая сила P . Отношение
внутренней силы P к величине выделенной площади F даст среднее напряжение на этой площадке:
P
pcp 
F
Таким образом, напряжение (характеризующее интенсивность внутренних
сил) определяется силой, приходящейся на единицу площади. Напряжение выражается в Ньютонах на квадратный метр (Па - Паскаль), чаще, в Ньютонах на квадH
ратный миллиметр (1 2  1МПа – МегаПаскаль).
мм
Уменьшая площадку до нуля, т. е. переходя к пределу, получим истинное
(полное) напряжение в данной точке, являющейся, например, центром площадки F .
Следовательно, истинное (полное) напряжение в данной точке будет:
P dP
рист  lim

.
(2.1)
F 0 F
dF
11
Если известно, что внутренние силы (силы упругости) распределяются по сечению равномерно (рис. 2.6), то в этом простейшем случае напряжение вычисляется
делением суммарной силы упругости, действующей в сечении, на всю площадь
сечения, т. е.
P
(2.2)
p .
F
Так как сила имеет направление, то и напряжение будет также иметь
направление.
m
P
р
P
n
Рис. 2.6. Равномерное распределение внутренних сил по сечению
В общем случае напряжение (р) на данной площадке dF будет составлять
с этой площадкой некоторый угол  (рис. 2.4,в). Разложив это напряжение на
две составляющие: одну, направленную перпендикулярно к площадке, называемую нормальным напряжением и обозначаемую буквой  (сигма), и другую, лежащую в плоскости площадки, называемую касательным напряжением (или тангенциальным) и обозначаемую буквой  (тау), – получим
  p sin  ;   p cos
Полное напряжение выражается через нормальное и касательное по формуле
p   2  2 .
(2.3)
Полное напряжение не считается удобной мерой оценки внутренних сил
тела, так как материалы различным образом сопротивляются нормальным и касательным напряжениям. Нормальные напряжения стремятся сблизить или
удалить отдельные частицы тела по направлению нормали к плоскости сечения.
Касательные напряжения стремятся сдвинуть одни частицы тела относительно
других по плоскости сечения. Поэтому касательные напряжения называют еще
напряжениями сдвига.
При определении напряжения в какой-либо точке тела через эту точку
можно провести бесконечно большое число разно направленных плоскостей
сечения. Для полной характеристики напряженного состояния в данной точке
надо знать не только величину и направление напряжения, но и наклон площадки. В дальнейшем мы увидим, как меняется напряжение в данной точке в
зависимости от наклона площадки, проведенной через эту точку.
Применительно к примеру на рис. 2.6 можно сделать заключение, что
угол   90 (сечение m  n перпендикулярно к оси действия силы), поэтому
  0 и полное напряжение p   .
12
Понятия о деформации и напряжении являются основными понятиями сопротивления материалов.
Контрольные вопросы к 2 разделу.
1. Какие задачи решает наука о сопротивлении материалов?
2. Что называется деформацией тела? Что такое упругость тела?
3. По каким признаками как классифицируются нагрузки?
4. Какая деформация называется упругой и какая пластической?
5. Какие основные требования предъявляются к проектируемым машинам и сооружениям?
6. Как классифицируются нагрузки, действующие на части машин и сооружений?
7. Что называется брусом, пластинкой и тонкостенной оболочкой?
8. Какие основные виды деформаций вызываются внешними силами?
9. В чем заключается метод сечения?
10.Что называется напряжением?
11.Какова размерность напряжения?
12.Какое напряжение называется нормальным, и какое касательным?
13
Раздел 3. Растяжение и сжатие
Растяжение и сжатие весьма часто встречаются в элементах кораблестроительных конструкций, деталях машин и агрегатов. Например, растяжение возникает в буксировочном тросе при буксировке баржи, сжатие возникает в шатуне поршневой группы двигателя при рабочем ходе поршня и т.д.
В зависимости от способов закрепления стержней и характера воздействия
нагрузок могут возникнуть различные виды растяжения или сжатия.
Если внутренние силы в поперечном сечении стержня сводятся только к
одному силовому фактору – продольной силе N (иначе называемой нормальной
силой, так как она перпендикулярна поперечному сечению стержня), а все
остальные внутренние силы равны нулю, то имеет место чистое (центральное)
растяжение или сжатие.
3.1. Внешние и внутренние силы
Внешние силы, вызывающие растяжение или сжатие, приложенные к концевым или промежуточным сечениям стержня, должны быть также направлены
по его оси или приводиться к равнодействующей, направленной по этой оси.
Для определения внутренних продольных сил применяется м е т о д сечений, который заключается в том, что стержень мысленно рассекается плоскостью,
перпендикулярной оси стержня, на две части. Взаимодействие частей между собой заменяется продольной силой N и из условия равновесия какой-либо из двух
частей определяется значение этой силы. Продольная сила в данном поперечном
сечении равна сумме проекций всех сил, расположенных по одну сторону от
этого сечения, на продольную ось стержня (часто принимаемой за ось х).
y
m
P
0
а)
x
x
n
Nx
0
б)
P
P
x
x
Рис. 3.1. К определению внутренних сил в стержне
Условимся силу N считать положительной, если она вызывает растяжение
(направлена от сечения), и отрицательной, если она вызывает - сжатие (направлена к сечению).
В тех случаях, когда направление силы N неизвестно, целесообразно принять ее положительной (т.е. направить от сечения как на рис. 3.1). Если при решении уравнения равновесия сила N получится со знаком «+», то стержень в данном
14
сечении будет растянут, если со знаком «–», то — сжат. Так, например, для определения нормальной силы в сечении т-п стержня, изображенного на рис. 3.1,а
рассмотрим равновесие правой отсеченной части (рис. 3.1, б):
(3.1)
 Px   N x  P  0 ,
где
ня;
P
x
– сумма проекций всех сил на ось х, приложенных к правой части стерж-
N x – нормальная сила в сечении т-п , отстоящей на расстоянии х от начала оси.
Из (3.1) находим неизвестную силу N x
Nx  P .
(3.2)
Видно, что нормальная сила N x постоянна и не зависит от координаты х
(в любом поперечном сечении стержня равна Р.) Знак «+» показывает, что
стержень растянут.
В сложных случаях, когда сечение стержня меняется по длине и количество и характер сил может быть произвольным, целесообразно строить эпюру
внутренних продольных сил. Эпюрой продольной силы Nх называется график,
каждая ордината которого равна значению продольной силы в данном сечении.
Эпюра обычно строится на базисной линии, проведенной параллельно оси
стержня.
Для построения эпюры Nх приходится устанавливать закон изменения
продольной силы по длине стержня и определять величины Nх в нескольких
поперечных сечениях.
3.2. Напряжения, деформации и перемещения
Зная величину продольного усилия Nх в заданном сечении и площадь
стержня в этом же сечении, можно определить нормальные напряжения (  ) по
зависимости
x 
где
Nx
,
Fx
(3.2)
площадь поперечного сечения стержня в сечении х.
Правило знаков для  принимается то же, что и для Nx («+» при растяжении, «–» при сжатии).
Рассмотрим перемещения и деформации, возникающие при растяжении и
сжатии призматических стержней. При растяжении длина стержня увеличивается, а поперечные размеры сокращаются. При сжатии, наоборот, длина стержня
уменьшается, а поперечные размеры увеличиваются.
Пусть имеется призматический стержень с постоянной по длине l площадью Fx  F (рис. 3.2,а). Левый конец стержня закреплен в жесткой заделке. Мысленно наметим два плоских поперечных сечения 1 и 2, с расстоянием между ними
а.
После приложения к стержню растягивающей силы Р (рис. 3.2,б), в нем
произойдут деформации растяжения, а длина стержня увеличится на величину l .
Fx
15
Сечения 1 и 2 переместятся по отношению к их исходному положению на некоторые расстояния  x и ( xa ) . Начальное расстояние между сечениями а тоже изменится на величину a .
Изменение первоначальной длины стержня l называется полным абсолютным удлинением при растяжении, которое измеряется в единицах длины
(м).
1
d
2
0
x
а)
l
l
1
б)
x
a
d-d
2
0
P
x
x+а)
x
a a
Рис. 3.2. К определению перемещений и деформаций при растяжении
Абсолютное удлинение, очевидно, зависит от первоначальной длины
участка стержня: l – для длины стержня l ; a – для длины – а. Поэтому, более
удобной мерой оценки изменения состояния стержня после приложения силы, является относительная деформация  равная отношению удлинения стержня на
данной длине к его первоначальной длине
a
l
; l  .
(3.3)
a 
a
l
Поскольку сечение стержня и внутренне усилие не меняются по длине
a
l
стержня, то  a 
 l 
 .
l
l
Относительное удлинение  не имеет размерности, это отвлеченное число и в
некоторых случаях выражается в процентах от первоначальной длины:
l
 %  100    100% .
l
При сжатии стержня он будет испытывать относительные деформации
укорочения (  ), и, следовательно, будет укорачиваться.
Аналогично найдутся поперечные деформации (рис. 3.2,б) в направлении
размера d
d
d  
 .
d
Здесь знак «–» поставлен потому, что при растяжении поперечные размеры уменьшаются.
Отношение поперечной деформации к продольной, взятое по абсолютной
величине при простом растяжении или сжатии, называют коэффициентом
Пуассона
16

.
(3.4)

Коэффициент Пуассона (безразмерная величина) назван по имени французского ученого, впервые в начале XIX в. обратившего внимание на постоянство
этого отношения. Пуассон принимал этот коэффициент равным 0,25 и одинаковым для всех материалов. Дальнейшие эксперименты показали, что коэффициент
Пуассона есть величина постоянная только для данного материала в пределах
упругих деформаций. Для различных материалов коэффициент Пуассона лежит
в пределах 0    0,5 .
Между напряжениями и деформациями существует зависимость, известная под названием закона Гука. Для центрального растяжения (сжатия) она имеет вид
(3.5)
  E  .
Коэффициент пропорциональности Е между напряжениями и деформациями называется модулем упругости при растяжении (иначе, модулем упругости 1го рода). Размерность Е такая же, как и у напряжения (МПа). В табл. 3.1 даны значения модуля упругости и коэффициента Пуассона для некоторых материалов.
Подставив в формулу (3.3) значение  из закона Гука и значение  из
формулы (3.2), получим

l 
Nl
.
EF
(3.6)
d2
d1
Величина E F называется жесткостью стержня при растяжении и
сжатии.
Следует четко различать понятия деформации и перемещения и не допускать
довольно распространенной ошибки, когда абсолютное удлинение стержня или
осадку витой пружины называют деформацией. Это – не деформации, а перемещения. Заметим также, что если какой-то участок стержня перемещается, то это вовсе не
значит, что он деформируется. Наглядный тоx
му пример показан на рис. 3.3.
Ступенчатый стержень состоит из двух
x
0
участков: I – длиной a и II – длиной b (рис.
I
II
a
b
а)
3.3,а). Если к ступеньке стержня приложить
x
a
a
растягивающее усилие (2Р), то I участок
стержня будет деформироваться и ступенька
P
вместе со всей II частью стержня получит
x
0
перемещение равное a . Причем, если первый
P
б)
I
II
участок получит удлинение a  a (т.е. деa a
b
формируется), то длина второго участка не
меняется, т.е. он не деформируется.
Рис. 3.3. Перемещения и деформации при растяжении-сжатии
17
Т а б л и ц а 3.1. Модули упругости и коэффициент Пуассона некоторых материалов
Материал
Модуль упругости, МПа
Е
G
5
(1,15– 1,60)10
4,5104
5
1,55-10
–
5
(2,0– 2,1)10
8,1104
2,1105
8,1104
5
–
1,7510
5
1,110
4,0104
5
1,310
4,9104
–
0,84105
1,15105
4,2104
1,1105
4,0104
1,05105
4,2104
5
(0,91– 0,99)10
(3,5– 3,7)104
–
1,0105
0,69105
(2,6– 2,7)104
–
0,7105
0,71 105
2,7104
0,84105
3,2104
5
0.1710
0,70104
–
0,49105
–
0,42105
5
–
0,5610
5
–
0,1810
Чугун серый, белый
Ковкий чугун
Углеродистая сталь
Легированная сталь
Стальное литье
Медь прокатная
Медь холоднотянутая
Медь, литье
Фосфористая бронза катаная
Марганцовистая бронза катаная
Алюминиевая бронза литье
Латунь холоднотянутая
Корабельная латунь катаная
Алюминий катаный
Алюминиевая проволока тянутая
Дюралюминий катаный
Цинк катаный
Свинец
Гранит
Известняк
Мрамор
Песчаник
Каменная кладка из:
гранита………………………….
известняка……………………….
кирпича……………….………...
(0,09– 0,1)105
0,06105
(0,027– 0,030)105
Бетон при пределе прочности,
кгс/см2: 100………………………..
(0,196– 0,146)105
150………………………..
200………………………..
Дерево вдоль волокон
То же, поперек волокон
Каучук
Бакелит
Текстолит
Геттинакс
Стекло
Лед
(0,214– 0,164)105
(0,232– 0,182)105
(0,10– 0,12)105
(0,005– 0,01)105
0,00008105
(0,02– 0,03)105
(0,06– 0,10)105
(0,10– 0,17)105
0,56105
0,10105
18
Коэффициент
Пуассона
0,23– 0,27
–
0,24– 0,28
0,25– 0,30
–
0,31– 0,34
–
–
0,32– 0,35
0,35
–
0,32– 0,42
0,36
0,32– 0,36
–
–
0,27
0,42
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
0,055104
–
–
–
–
–
2,2104
(0,28– 0,3)104
–
–
–
0,47
–
–
–
0,25
–
Перемещение произвольного сечения (рис. 3.3,а) с координатой х (при
Fx  const и N x  const ) определяется зависимостью:
N x  x
.
(3.7)
x  x  x
EFx
E
Взаимное перемещение каких-либо двух поперечных сечений стержня,
например x  a и x  b (рис.3.4), равно удлинению (при растяжении) или укорочению (при сжатии) той его части, которая заключена между этими сечениями (т.е. участка длиной с )
lc  b  a .
(3.8)
d
c
0
a
x
b
l
Рис. 3.4. Взаимное перемещение двух сечений
Если продольная сила N x или сечение стержня Fx , либо обе эти величины одновременно изменяются по длине стержня по какому-либо закону
(рис.3.5), то перемещение сечения с координатой х следует определять по формуле
1 x N x dx 1 x
   x dx .
E 0 Fx
E 0

dx
d2
qx
(3.9)
d1
x 
x
x
dx
l
Nx

dx
qx
d1
а)
x
б)
Рис. 3.5. К определению перемещений при переменном сечении и силе
Площадь поперечного сечения пластины Fx и нормальная сила в сечении,
лежащем на расстоянии х могут быть определены по зависимостям:
19

 d  d1  l  x     ;
Fx  d x   d1  2

l


l
N x   qx dx .
x
3.3. Расчеты на прочность и жесткость при растяжении-сжатии
Найденные значения напряжений в заданном сечении позволяют оценить
прочность стержня, если известны допускаемые напряжения   для его материала. Условие прочности записывают в таком виде:
N
(3.10)
 x  x    .
Fx
Если известно усилие, действующее в сечении и величина допускаемого
напряжения, то можно определить требуемую площадь поперечного сечения:
N
F
.
(3.11)
 
При известных площади сечения и допускаемом напряжении, можно
определить допускаемое усилие в стержне:
N  F   .
(3.12)
В некоторых случаях лимитирующим фактором работы стержня (детали)
является обеспечение требуемой жесткости. Условие жесткости для стержня,
состоящим из нескольких участков имеет следующий вид:
(3.13)
l   li   l  ,
где l - изменение размеров всего стержня;
li - изменение длины i-го участка стержня;
 l  - допускаемая величина изменения длины стержня.
В рассматриваемых ниже примерах достаточно подробно изложена методика определения внутренних сил, напряжений, перемещений и удлинений при
растяжении или сжатии стержней. Показано как строятся эпюры всех видов, а
также излагаются принципы прочностных расчетов.
3.3.1. Примеры расчетов при действии сосредоточенных сил
П р и м е р 3.1.
Для стального стержня круглого сечения, изображенного на рис. 3.6,а, построить эпюры
продольных сил, нормальных напряжений и перемещений поперечных сечений. Из условий
прочности определить диаметр стержня постоянного сечения. Определить изменение его общей
длины.
Исходные данные:
5
P = 12 кН; а = 0,2 м. Материал стержня – сталь Ст3, модуль упругости металла E  2 10
МПа, допускаемые напряжения на растяжение [ σ ] = 160 МПа.
20
Р е ш е н и е.
Разобьем стержень на три отдельных участка (I, II, III ), начиная от левого конца; границами
участков служат сечения, где приложены внешние силы.
Используя метод сечений проведём произвольное сечение х на участке I. Отбросив левую
часть стержня, рассмотрим условие равновесия остальной части (правой), заменив действие отбро-
шенной части искомым усилием N x  (рис. 3.6,б). Искомое усилие N x  в сечении направляем от сечения, (предполагаем, что стержень на этом участке растянут), если получим знак «-» , то в действительности сила направлена к сечению (стержень сжат).
I
I
3P
P
3P
x
а)
I
II
III
a
a
a
x
б)
3P
Nx(I)
3P
P
x
x
в)
P
I
Nx
3P
(II)
P
a
x
x
г)
II
Nx(III)
P
2a
x
x
III
12
12
д)
Nx (kH)
- 24
77,92
77,92
е)
x
(МПа)
- 155,84
0,078
x
ж)
(мм)
- 0,078
Рис. 3.6. Схема стержня и эпюры усилий, напряжений и перемещений в стержне
21
Рассмотрим процедуру нахождения искомых усилий по участкам и построения эпюры продольных сил.
Участок I ( 0  x  a ):
Проектируем на ось х все силы оставшиеся на правой части стержня (рис.3.6,б)
 P   N    3P  3P  P  0 ,
I
x
x
откуда найдем
I
N x   P  12 кН.
Продольная сила N x  получилась со знаком плюс, т.е. стержень на первом участке испытывает растяжение.
Участок II ( a  x  2a ).
Для рассматриваемого участка (рис. 3.6,в) условие равновесия правой части стержня будет
иметь вид:
I
P
x
откуда найдем
  N x II   3P  P  0
II
N x   P  3P  2 P  2 12  24 кН.
Величина усилия на втором участке получилась со знаком минус, т.е. она направлена к сечению и, следовательно, стержень испытывает не растяжение, как предполагалось, а сжатие.
Участок III (2 2a  x  3a ).
Для рассматриваемого участка (рис. 3.6,г) условие равновесия правой части стержня будет
иметь вид:
P
x
откуда найдем
  N x II   P  0
II
N x   P  12 кН.
По результатам определения внутренних усилий в стержне строим эпюру продольных сил по
длине стержня (рис. 3.6,д).
Так как проектируемый стержень должен быть постоянного поперечного сечения, то подбирать последнее нужно по большему по абсолютной величине усилию, действующему в средней части. Выражение для напряжения в поперечных сечениях этого участка запишется следующим образом (см. формулу 3.10):
N ( II )
 ( II ) =
 σ ,
F
откуда
F
N ( II )
24  103 ( Н )

 150 мм 2 .
σ  160 ( Н / мм2 )
По площади определяем требуемый диаметр
d
4

F 
4
150  13,82 мм
3,142
Диаметр необходимо увеличить до ближайшего большего, принятого согласно ГОСТу. Следует взять d =14 мм (F = 154 мм2).
Отметим, что расчет на прочность при сжатии является достаточным только для коротких
стержней, в частности для стальных круглых, когда (l/d) <20. При сжатии же длинных стержней может произойти потеря устойчивости. В нашем случае указанное выше условие для сжатой части
стержня выполняется.
Для построения полной эпюры напряжений по всей длине стержня необходимо найти напряжения на всех участках.
22
 (I ) 
N ( I ) 12  103 ( H )

 77,92 МПа;
F
154 ( мм 2 )
 ( II ) 
N ( II ) 24  103 ( H )

 155,84 МПа;
F
154 ( мм 2 )
N ( III ) 12  103 ( H )

 77,92 МПа .
F
154 ( мм 2 )
Теперь можно построить эпюру нормальных напряжений по длине стержня – рис. 3.6,е.
Определим перемещение сечений стержня. Примем, например, за начало отсчета левый конец
стержня, условно считая его неподвижным. Напомним, что перемещение любого сечения относительно другого (например, сечение начала отсчета) равно изменению длины участка стержня между
этими сечениями (формула 3.8).
Участок I ( 0  x  a ):
На первом участке перемещение сечения с координатой х можно определить по зависимости:
 ( III ) 
x( I ) 
N x( I )  x  x( I )  x

;
EFx( I )
E
При x  0, x( I )  0;
При x  a, x( I ) 
77,92  200
 0,0779 мм .
2  105
Абсолютное изменение длины стержня на первом участке будет:
l ( I )  x(I )a  x(I )0  0,0779  0  0,0779 мм ,
т.е. стержень на этом участке получил удлинение 0,0779 мм.
При определении перемещений сечений на последующих участках следует учесть перемещения на всех предыдущих.
Участок II ( a  x  2a )
x( II )  x(I )a 
 x( II )  ( x  a)
x  a, x( II )  x( I )
;
E
 0,0779 мм;
x  2a, x( II )  0,0779 
155,84  200
  0,0779 мм .
2  105
Абсолютное изменение длины второго участка стержня будет:
l ( II )  x(II2)a  x(IIa)  – 0,0779 – 0,0779 = – 0,1558 мм .
Видно, что второй участок получил укорочение -0,1558 мм..
Участок III ( 2a  x  3a )
x( III )  x( II2)a 
 x( III )  ( x  2a)
x  2a, x( III )  x( II2)a
;
E
 0,0779 мм;
x  3a, x( III )  0,0779 
77,92  200
 0 мм
2  105
Абсолютное изменение длины третьего участка стержня будет:
23
.
l ( III )  x(III3a)  x(III2a)  0 – (– 0,0779) = 0,0779 мм.
Третий участок получил удлинение 0,0779 мм.
Изменение длины всего стерня составит
l   li  l ( I )  l ( II )  l ( III )  0,0779  0,1558  0,0779  0 .
В данном случае длина всего стержня не изменится, так как перемещение его правого конца
относительно левого оказалось равным нулю. Эпюра перемещений представлена на рис. 3.6,ж.
Пример 3.2
Для стального ступенчатого стержня, изображенного на рис. 3.7,а, построить по длине эпюры продольных сил, нормальных напряжений, перемещений поперечных сечений и изменение длины всего стерня. Из условий прочности определить размеры сечения F2 и проверить
прочность сечения F1.
Исходные данные: усилия, приложенные к стержню: P1 =12 кН, P2 =20 кН, P3=10 кН; линейные
размеры: а = 500 мм, b = 800 мм, с = 1200 мм, d = 1500 мм; поперечное сечение F1=80 мм2; модуль
упругости металла E  2 105 МПа, допускаемые напряжения на растяжение [ σ ] = 160 МПа.
Р е ш е н и е.
Разобьем стержень на четыре отдельных участка (I, II, III, IV), начиная от защемленного конца; границами участков служат сечения, где приложены внешние силы и места изменения размеров
поперечного сечения.
Используя метод сечений, проведём произвольное сечение х на участке I. Отбросив левую
часть стержня, рассмотрим условие равновесия остальной части (правой), заменив действие отброшенной части искомым усилием N(I)x (рис. 3.7, б). Искомое усилие N(I)x в сечении направляем от сечения, (предполагаем, что стержень на этом участке растянут), если получим знак «-» , то в действительности сила направлена к сечению (стержень сжат).
Нахождение искомых усилий производим по участкам.
Участок I ( 0  x  a ):
Проектируем на ось х все силы оставшиеся на правой части стержня
-N(I)x -P2 -P3 +P1=0,
откуда найдем
N(I)x= P1 – P2 – P3 = 12 – 20 – 10 = – 18 кН.
Величина усилия на первом участке получилась со знаком минус, т.е. она направлена к сечению и, следовательно, первый участок стержня испытывает не растяжение, как предполагалось, а
сжатие.
Участок II ( a  x  b ).
Для рассматриваемого участка условие равновесия правой части стержня будет иметь вид:
-N(II)x – P3 +P1 = 0,
откуда найдем
N(II)x= P1 - P3 = 12 – 10 = 2 кН.
Продольная сила N(II)x получилась со знаком плюс, т.е. стержень на втором участке испытывает растяжение.
Для других участков величины Nx находятся аналогично.
По результатам определения внутренних усилий в стержне строим эпюру продольных сил по
длине стержня (рис. 3.7,в).
24
x
F2
P2
а)
P1
P3
x
I
II
a
(I)
N
III
b
x
б)
F1
c
F2
d
F1
P2
x
IV
P1
P3
x
I
12
2
в)
Nx (kH)
150
-18
17,85
г)
25
x
(МПа)
- 160
д)
x
(мм)
-0,098
-0,4
-0,373
-0,323
Рис. 3.7. Схема приложения нагрузок, эпюры усилий, напряжений и перемещений в стержне
Как видно из рисунка наибольшее усилие в стержне возникает на первом участке. Для определения площади поперечного сечения F2, запишем условие прочности стержня на этом участке (см.
формулу 3.7)
N (I )
 x( I ) = x   σ  ,
F2
откуда
N (I )
18 103 ( Н )
F2  x 
 112 мм 2 .
2
σ  160 ( Н / мм )
Выполним проверку прочности стержня в пределах длины, где сечение равно F1 (участки III и
IV). Наибольшее усилие 12 кН действует на IV участке. Тогда напряжения в стержне будут:
 x( IV ) =
N x( IV ) 12 103

 150 МПа
F1
80
Прочность стержня на этом участке обеспечена.
25
σ  160 МПа.
Поскольку на участках I и II напряжения уже определены, то для построения полной эпюры
напряжений по всей длине стержня необходимо еще найти напряжения на II и III участках.
Участок II ( a  x  b )
 x( II ) 
N x( II ) 2 103 ( H )

 17,85 МПа .
Fx( II ) 112 ( мм 2 )
Участок III ( b  x  c )
 x( III ) 
N x( III ) 2 103 ( H )

 25 МПа .
Fx( II ) 80 ( мм2 )
Теперь можно построить эпюру нормальных напряжений по длине стержня (рис. 3.7,г).
После определения на всех участках напряжений можно приступить к определению перемещений поперечных сечений стержня. Эпюру перемещений следует строить, начиная от закрепленного конца.
Участок I ( 0  x  a ):
На первом участке перемещение сечения с координатой х можно определить по зависимости:
N (I )  x  (I )  x
x( I )  x ( I )  x
;
EFx
E
При x  0, x( I )  0;
При x  a, x( I ) 
160  500
 0, 4 мм
2 105
Обратим внимание, что перемещение сечения х = а получилось с отрицательным знаком, т.е.
оно переместилось в противоположную сторону положительного направления оси х.
Абсолютное изменение длины стержня на первом участке будет:
l ( I )  x(I a)  x(I 0)  0,4  0  0,4 мм ,
т.е. стержень на этом участке получил укорочение на 0,4 мм.
При определении перемещений сечений на последующих участках следует учесть перемещения на всех предыдущих.
Участок II ( a  x  b )
x( II )  x(I a) 
 x( II )  ( x  a)
x  a, x( II )  x( I )
;
E
 0, 4 мм;
x  b, x( II )  0, 4 
17,82  300
  0,373 мм
2 105
Абсолютное изменение длины второго участка стержня будет:
l ( II )  x(IIb)  x(IIa)  -0,373 – (-0,4) = 0,027 мм .
Видно, что второй участок получил удлинение.
Участок III ( b  x  c )
26
.
x( III )  x(IIb) 
 x( III )  ( x  b)
x  b, x( III )  x(IIb)
;
E
 0,373 мм;
x  c, x( III )  0,373 
25  400
  0,323 мм
2 105
Абсолютное изменение длины третьего участка стержня будет:
l ( III )  x(IIIc )  x(IIIb )  -0,323 – (-0,373) = 0,05 мм.
Третий участок получил удлинение.
Участок IV ( c  x  d )
x( IV )  x(IIIc ) 
 x( IV )  ( x  c)
x  c, x( IV )  x(IIIc )
;
E
 0,323 мм;
x  d , x( IV )  0,323 
150  300
  0,098 мм
2 105
Абсолютное изменение длины четвертого участка стержня будет:
l ( IV )  x(IVc )  x(IIId )  -0,098 - (-0,323) = 0,225 мм.
Четвертый участок также получил удлинение.
На всех рассмотренных участках перемещения x линейно зависят от координаты х, что позволяет по вычисленным перемещениям сечений, совпадающих с границами участков, построить
эпюру перемещений.
На рис. 3.7,д изображена эпюра перемещений сечений по длине стержня.
Изменение длины всего стержня равно перемещению правого конца стержня, т.е. l  x(IVd )  0,098 мм. Эту же цифру получим, если для нахождения абсолютного изменения длины всего стержня
алгебраически просуммируем удлинения на всех участках:
l  l ( I )  l ( II )  l ( III )  l ( IV ) 
– 0,4+0,027+0,025+0,05 = – 0,098 мм.
3.3.2. Примеры расчетов при изменяющейся по длине стержня сечения и
усилия
Построение всех видов эпюр для случая изменяющегося по длине стержня закона продольного усилия, сечения или упругих свойств материала стержня является более сложной задачей и рассматривается в следующих примерах.
Рассмотрим вначале случай, когда стержень имеет переменное поперечное сечение и нагружен только сосредоточенными силами.
П р и м е р 3.3
Для стального стержня переменного сечения в виде усеченного конуса (рис. 3.8) построить
эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений.
Исходные данные: d1=2 10-2 м, d2=5 10-2 м, P1 =52 кН, P2 =100 кН. Модуль упругости Е=2 105 МПа, а
= 0,6 м, b = 1,2 м.
27
d1
d2
dx
P2
P1
x
x
a
b
I
N
(I)
II
P2
x
P1
x
x
N
(II)
P1
x
x
x
Рис. 3.8. Вид стержня переменного сечения и схема приложения нагрузок
Р е ш е н и е.
Разбиваем стержень на 2 участка (I, II). Искомое усилие N(i)x в сечении направляем от сечения, (считая стержень растянутым), если получим знак «-» , то в действительности сила направлена к
сечению (стержень сжат).
Участок I ( 0  x  a ):
Условие равновесия правой части стержня, оставшейся после рассечения, имеет вид
-N(I)x -P2 +P1=0,
(I)
откуда найдем N x :
N(I)x= P1 – P2 =52 – 100 = –48 кН.
При определении напряжений и перемещений необходимо учитывать, что диаметр сечения
d x , с координатой x, будет зависеть от неё. Из геометрических соображений можно получить выражение для диаметра dx и площади сечения Fx в таком виде:
d x  d1 
 d 2  d1  b  x  ;
Fx 
b
 d x2
4
.
(3.14)
Подставив числовые значения, получим
dx 
 50  20 1200  x   20  50  0.025 x .
1200
(3..15)
Напряжения в сечении на расстоянии x определяем по выражению
4   48 10 
N x( I )

, ( МПа).
2
Fx
  50  0.025 x 
3
 x( I ) 
Из формулы видно, что напряжения в произвольном сечении нелинейно зависят от x, поэтому для
построения эпюры напряжений необходимо рассчитать три, четыре ординаты на длине рассматриваемого участка стержня, например, x  0;  a    ;  a    ; b . Здесь  - бесконечно малая величина,
позволяющая выявить скачек напряжений в зоне приложения сосредоточенной силы Р2.
Для определения перемещений сечений стержня воспользуемся формулой, (3.9):

N x
 x
 x  x
Ex Fx 0 Ex
0
x
(I )
x
x
28
(3.16)
Поскольку материал стержня не меняется по длине, то модуль упругости будет константой,
(Еx = Е) и поэтому в формуле (3.16) его можно вынести за знак интеграла.
Подставив в (3.16) выражение для  x( I ) и проинтегрировав, получим зависимость перемещений сечений рассматриваемого участка стержня в виде:

(I )
x
4 N x( I )

E
x


4 N x( I ) 
1
1
1 



 50  0,025 x  50  ;

0,025
50

0,025
x
0,025

E

0



При x  0, x( I )  0;
При x  a, x( I ) 
4  48 103 
1
1 
   0,105 мм
5 
0,025  2  10  50  0,025  600 50 
Абсолютное изменение длины стержня на первом участке будет:
l ( I )  x(I a)  x(I 0)  0,105  0  0,105 мм ,
d1
т.е. первый участок получает укорочение на
0,105 мм.
P1
x
Для рассматриваемого примера на
втором участке (рис. 3.8) будем иметь:
-N(II)x
P2
dx
d2
Участок II ( a  x  b ).
x
a
b
I
+P1= 0,
II
52
откуда найдем
N(II)x
N(II)x= P1 =52 кН.
N x (kH)
Определение напряжений и перемещений на втором участке, делается по аналогии с рассмотренным для первого участка.
На рисунке 3.9 приведены все искомые параметры, определенные на основе
расчетов.
Как видно из рисунка 3.9 продольная
сила в сечениях стержня меняется ступенчато, оставаясь постоянной в пределах длины
каждого участка. Однако, напряжения и перемещения при этом, изменяются по гиперболическому закону, что объясняется изменением поперечного сечения стержня по
длине.
Абсолютное удлинение стержня
определяется перемещением концевого сечения и равно 0,179 мм.
Для получения общих представлений
о методике построения эпюр всех видов, целесообразно, также, рассмотреть действие на
стержень переменного сечения распределенных сил.
165,5
-48
54,05
x
- 24,45
(МПа)
- 49,9
0,179
 x (мм)
-0,105
Рис. 3.9. Эпюры усилий, напряжений перемещений
в стержне переменного сечения.
29
П р и м е р 3.4
Для стального стержня переменного сечения в виде сужающейся полосы (рис 3.10) построить эпюры
продольных сил, нормальных напряжений и перемещений.
Исходные данные: h1=75 м, h2=200 мм, а = 700 мм, b = 1200 мм, l = 2200 мм. P1 =90 кН. Модуль
упругости Е=2 105 МПа.
Интенсивность
распределенной
нагрузки
изменяется
по
зависимости:

qx
h1=75
hx
h2=200
  x  a 2 
qx  q0 1  
  ; a  x  b , q0  300 Н / мм .Примем  b  a   c .
  b  a  
P1
x
II
I
III
a
x
b
l
qx
N
(I)
P1
x
x
x
qx
(I)
N
P1
x
x
x
N(II)x
P1
x
x
Рис. 3.10. Вид стержня переменного сечения и
схема приложения нагрузок для различных
участков
Р е ш е н и е.
Разбиваем стержень на 3 участка (I, II и III). Искомое усилие N(i)x в сечении направляем от сечения, (считая стержень растянутым), если получим знак «-» , то в действительности сила направлена
к сечению (стержень сжат).
Участок I ( 0  x  a ):
Условие равновесия правой части стержня, оставшейся после рассечения, имеет вид
- N x( I ) - Rq  P1  0 ,
где Rq - равнодействующая распределенной нагрузки на длине стержня c  (b  a) , которую можно
найти, просуммировав элементарные силы q x dx , т.е.
2
b
b
4
 xa 
Rq   qx dx  q0  1  
dx  q0  c .


a
a
3
  c  
30
(3.17)
Тогда
4
4
N x( I )  P1  Rq  P1  q0c  90 103  300  500  1,1105 Н.
3
3
При определении напряжений и перемещений необходимо учитывать, что ширина сечения
hx , изменяется по длине стержня и будет зависеть линейно от абсциссы x. Из геометрических построений получим выражение для ширины hx и площади сечения Fx в таком виде:
hx  h1 
 h2  h1  l  x  ;
l
Fx   hx ; h   h2  h1  .
(3.18)
Подставив числовые значения, получим:
hx 
 200  75 2200  x   75  200  0.0568 x ;
(3.19)
2200
Fx    hx  12   200  0.0568 x  .
Напряжения в сечении на расстоянии x определяем по выражению
 x( I ) 
N x( I )
1.1105

, ( МПа).
Fx
12   200  0,0568 x 
Из формулы видно, что напряжения в произвольном сечении нелинейно зависят от x, поэтому для
построения эпюры напряжений необходимо рассчитать три-четыре ординаты на длине рассматриваемого участка стержня, например,
x  0,  x  45,83 МПа; x  0,5a  300,  x  50,9 МПа;
x  a  700,  x  57, 21 МПа.
Для определения перемещений сечений стержня воспользуемся формулой (3.9). Подставив в
(3.9) выражение для  x( I ) и проинтегрировав, получим зависимость перемещений сечений рассматриваемого участка стержня в виде:

N (I )  l
h 
x( I )  x
ln 1 
x ;
  h  E  h2  l 
при x  0, x( I )  0;
при x  a, x( I ) 
1,1105  2200 
125

ln 1 
700   0,179 мм;
5
12  2 10 125  200  2200

при x  0,5a, x( I )  0,085 мм.
По полученным значениям ординат x( I ) строим эпюру на первом участке (см рис. 3.11).
Участок II ( a  x  b ):
Условие равновесия правой части стержня, оставшейся после рассечения (рис. 2.9), имеет вид
 N x( II )  Rqx  P1  0 ,
где
b
x qx dx - равнодействующая распределенной нагрузки на длине стержня
(b  x) , которую можно
найти, просуммировав элементарные силы q x dx , т.е.
2
b
b
1
3 
 xa 

3
Rqx   qx dx  q0  1  
  dx  q0  b  x   2 c   x  a   
x
x
3c


  c  
Тогда,
31
(3.20)

qx
(3.21)
h1=75
hx
h2=200
1
3 

N x( II )   Rqx  P1   q0  b  x   2 c3   x  a     P1 .


3c

P1
x
II
I
a
x
III
b
l
90
Nx (kH)
- 110
100
56,9
x
- 45,83
(МПа)
- 57,21
0,166
x (мм)
- 0,179
- 0,207
Рис. 3.11. Эпюры поперечных сил, нормальных
напряжений и перемещений сечений
Подставив числовые значения и задавшись тремя значениями х, получим:
при x  a , N x( II )  1,1 105 H ;
По полученным ординатам стропри x  a  0,5c , N x( II )  2,87 104 H ; при x  b , N x( II )  9 104 H .
им эпюру N x( II ) на втором участке (см. рис. 3.10). Поскольку усилия в характерных точках известны,
то достаточно просто определяются, в этих же сечениях, и напряжения, например,
при x  b ,  x( II ) 
N x( IIb)
9 104

 56,9 МПа.
Fxb 1,582 103
Для определения перемещений сечений стержня на втором участке необходимо учесть перемещение граничного сечения первого сечения x(I )a . Подставив в (3.9) выражение для  x( II ) , получим
зависимость перемещений сечений рассматриваемого участка стержня в виде:
x( II )  x(I )a 


1 b N x( II ) dx
1 b P1  Rqx
 x(I )a  
dx ,

x
E
Fx
E x
Fx
(3.22).
Для определения конкретных значений x( II ) следует проинтегрировать выражение (3.22), т.е.
получить аналитическое выражение, либо воспользоваться любым способом приближенного вычисления определенного интеграла. Расчеты дают следующие значения x( II ) :
32
при x  a, x( II )  0,179 мм; при x  b, x( II )  0, 207 мм;
при x  a  0,5  b  a  , x( II )  0, 227 мм.
По полученным ординатам строим эпюру x( II ) на втором участке (см. рис. 3.11).
Определение необходимых параметров для третьего участка является достаточно простым,
поэтому методика их вычисления здесь не рассматривается.
На рисунке 3.11 представлены все эпюры по длине пластины.
Контрольные вопросы к 3 разделу.
1. Как вычисляется значение продольной силы в произвольном поперечном сечении
бруса?
2. Что такое эпюра продольных сил и как она строится? Какой вид имеет эпюра продольных сил для бруса, нагруженного несколькими осевыми сосредоточенными силами?
3. То же натруженного равномерно распределенной осевой нагрузкой?
4. Как распределены нормальные напряжения в поперечных сечениях центрального растянутого или сжатого бруса и чему они равны?
5. Как строится график (эпюра), показывающий распределение (по длине оси бруса)
нормальных напряжений в поперечных сечениях бруса?
6. Как вычисляются нормальные и касательные напряжения в наклонных сечениях центрально растянутого или сжатого бруса? Сделайте вывод соответствующих формул.
7. В каких сечениях растянутого бруса возникают нормальные наибольшие напряжения?
7. То же наибольшие касательные?
8. Что называется полной (абсолютной) продольной деформацией? Что такое относительная продольная деформация?
10. Какова размерность абсолютной и относительной продольных деформаций?
9. 11. Что называется - модулем продольной упругости E?, Как влияет величина Е на
деформации бруса?
10. Что такое абсолютная и относительная поперечные деформации бруса?
11. Что происходит с поперечными размерами бруса при его растяжении или сжатии?
12. Что такое коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона) и какие он
имеет значения?
33
Раздел 4. Испытание материалов на растяжение и сжатие
При решении простейших задач на растяжение и сжатие мы уже встретились с необходимостью иметь некоторые исходные экспериментальные данные, на
основе которых можно было бы определить требуемые величины (площадь сечения, предельную силу и др.). К числу таких исходных экспериментальных данных
относится в первую очередь уже знакомый нам закон Гука. Основными характеристиками материалов при этом являются модуль упругости Е и коэффициент
Пуассона  . Понятно, что в зависимости от свойств материала эти величины меняются. В первую очередь Е и  зависят от типа материала и в некоторой степени от условий термической и механической обработки.
Для решения практических задач необходимо иметь еще числовые характеристики прочностных свойств материалов. При изучении процессов гибки и
штамповки нужны числовые показатели, характеризующие способность материала пластически деформироваться. В ряде случаев надо иметь данные о способности материала противостоять действию высоких температур, работать при переменных нагрузках и т. д.
Упругие и механические характеристики материалов определяют экспериментально путем постановки опытов на растяжение и сжатие образцов, изготовленных из изучаемого материала. Для этой цели в лабораториях пользуются
специальными машинами, способными деформировать и разрушать образцы.
При этом с помощью точных приборов измеряют деформации образцов. Механические испытания материалов производят не только для изучения механических свойств материалов (прочности, пластичности, способности к упругим деформациям, способности сопротивляться ударным нагрузкам и т. д.), но и для
проверки теоретических выводов (например, проверка гипотезы плоских сечений).
Чаще всего применяют цилиндрические образцы (рас. 4.1, а), а при испытании листового материала — плоские (рис. 4.1, б).
d0
l0
F0
l
L
а
b0
0
F0
l0
L
б
Рис. 4.1. Цилиндрические (а) и плоские (б) образцы для испытания на растяжение
34
Для цилиндрических образцов выдерживают определенное соотношение
между расчетной длиной образца l0 и диаметром образца d0.. Обычно l0 = 10 d0
(длинный образец); реже l0 = 5d0 (короткий образец). Учитывая, что диаметр d0
связан с площадью сечения образца F0 формулой
4 F0
d0 
 1,13 F0

связь между расчетной длиной 10 и площадью поперечного сечения образца F0
можно выразить для длинного (десятикратного) образца зависимостью
(4.1)
l0 11,3 F0 ,
для короткого (пятикратного)
(4.2)
l0  5,65 F0
В качестве основных образцов при испытании на растяжение применяют
цилиндрические образцы с диаметром d0 =10 мм, расчетной длиной l0 = 100 мм
и l0 = 50 мм. Допускается применение и других пропорциональных образцов, в
которых выдержаны соотношения размеров в соответствии с формулами (4.1,
4.2).
Образец перед испытанием измеряется штангенциркулем и устанавливается в захваты испытательной машины, где к нему прикладывается осевая статическая нагрузка. Под действием приложенной силы образец удлиняется; с ростом силы растет и удлинение.
Специальное устройство в испытательной машине, так называемый диаграммный аппарат, вычерчивает в определенном масштабе кривую в координатах Р.- l , называемую диаграммой растяжения (первичная диаграмма)), вид
которой зависит от свойств материала и размеров образца. Для малоуглеродистых сталей (сталь Ст2, Ст3 и др.) диаграмма имеет вид, показанный на рис. 4.2.
P, кН
Упрочнение
Площадка
текучести
2
1
i
4
Образование
шейки
5
Разрыв
3
Сила
Закон Гука
6
0
Удлинение
? ? =к-0
Остаточное удлинение
7
, мм
УПР
Упругое
удлинение
Рис. 4.2. Диаграмма растяжения (первичная диаграмма)
Из рисунка видно, что диаграмма имеет ряд характерных точек (1…5), соответствующих определенному состоянию металла образца.
35
На начальном участке диаграммы 0 -1 наблюдается линейная зависимость
между силой Р и удлинением образца l , т.е. деформируется материал упруго
и подчиняется закону Гука. При дальнейшем увеличении силы (участок 1-2) закон Гука нарушается, однако материал деформируется упруго, поэтому, если
разгрузить образец с точки 2, то перо записи диаграммы возвращается в начало
координат.
Участок 2-3 именуется площадкой текучести, т.к. здесь наблюдается пластическое течение материала (необратимое) при постоянной нагрузке. На этом
участке металл переходит в новое качественное состояние. На гладкой полированной поверхности образца появляется сетка линий скольжения (так называемые линии Чернова – Людерса) - следствие сдвигов по плоскостям наибольших
касательных напряжений. Линии скольжения составляют угол 45° с продольной
осью образца;
Дальнейшее деформирование образца от точки 3 до точки 4 требует увеличения силы Р, причем зависимость между Р и l становится нелинейной. В
точке 4 усилие растяжения достигает своего наибольшего значения – Рmax. Материал на рассматриваемом участке упрочняется за счет явления наклепа.
От точки 0 до точки 4 образец на всей рабочей части равномерно удлиняется с соответствующим равномерным уменьшением сечения (диаметра).
Начиная с точки 4 растяжение образца приведет к образованию местного
сужения (именуемое «шейкой»), кривая на диаграмме идет вниз и на точке 5
обрывается (образец разрушается в «шейке»).
Следует отметить, что разгрузка образца с любой точки диаграммы на
участке 2-5 приведет к исчезновению только упругой деформации но останутся
пластические и перо записи диаграммы уже не возвратится в начало координат,
т.е. образец получит остаточное удлинение. Перед разрушением образец получает общее удлинение (точка 7), включающее как пластическую часть ( lпл ),
так и упругую ( l упр ). После разрушения упругое удлинение исчезает, а пластическое сохраняется. Пунктирная прямая «5-6» параллельна прямой начального участка диаграммы – «0-1». Наибольшее остаточное удлинение, соответствующее моменту разрыва образца (точка 6), будет равно
lпл  lк  lк  l0 .
Вид разрушенного путем растяжения образца показан на рис. 4.3.
l=1
d0
а
dк
dк
lк
б
Рис. 4.3. Вид цилиндрического образца после разрушения (а)
и изменение зоны образца вблизи места разрыва (б)
36
(4.3)
Пользуясь указанными характерными нагрузками, взятыми из диаграммы
растяжения, и зная площадь сечения испытуемого образца F0, определяют основные характеристики прочности материала:
1. Предел пропорциональности
 пц 
Pпц
F0
;
(4.4)
2. Предел упругости
 уп 
Pуп
F0
;
(4.5)
3. Предел текучести
PT
;
(4.6)
F0
4. Предел прочности или временное сопротивление
P
(4.7)
 в  max ;
F0
5.
Напряжение в момент разрыва
P
(4.8)
p p .
F0
Чтобы диаграмма отражала только свойства материала (независимо от
размеров образца), ее перестраивают в относительных координатах   
(напряжение-деформация).
Ординаты произвольной i-той точки такой диаграммы (рис. 4.2) получают делением значений растягивающей силы Pi на первоначальную площадь
поперечного сечения образца (  i  Pi / F0 ), а абсциссы – делением удлинения рабочей части образца li на первоначальную её длину (  i  li / l0 ). В частности
для характерных точек диаграммы ординаты вычисляют по формулам
(4.4)…(4.8).
Полученную диаграмму называют условной диаграммой напряжений
(рис. 4.4).
Условность диаграммы заключается в способе определения напряжения
не по текущей площади поперечного сечения, изменяющейся в процессе испытаний, а по первоначальной - F0. Диаграмма напряжений сохраняет все особенности исходной диаграммы растяжения. Характерные напряжения диаграммы
называются предельными и отражают свойства прочности испытуемого материала. (формулы 4.4…4.8). Заметим, что поучаемый в этом случае предел текучести металла соответствует новому физическому состоянию металла и поэтому называется физическим пределом текучести
T 
37
4
i
5
2
1
3
Напряжение
в
i
р
Т
пц
6
O
Oi
Oi
Деформация
Рис. 4.4. Диаграмма напряжений (условная диаграмма)
Из диаграммы напряжений (рис. 4.4) видно, что
tg  

E,

(4.9)
т. е. модуль упругости при растяжении Е численно равен тангенсу угла наклона
начального прямолинейного участка диаграммы напряжений к оси абсцисс. В
этом — геометрический смысл модуля упругости при растяжении.
Если относить усилия, действующие на образец в каждый момент времени нагружения, к истинному значению поперечного сечения в соответствующий момент времени, то мы получим диаграмму истинных напряжений, часто
обозначаемых буквой S (рис. 4.5, сплошная линия). Поскольку на участке диаграммы 0-1-2-3-4 диаметр образца уменьшается незначительно (шейка еще не
образовалась), то истинная диаграмма, в пределах этого участка, практически
совпадает с условной диаграммой (пунктирная кривая), проходя несколько выше.
Построение остального участка истинной диаграммы напряжений (участок 4-5 на рис. 5) вызывает необходимость измерения диаметра образца в процессе испытания на растяжение, что не всегда возможно. Существует приближенный способ построения этого участка диаграммы, основанный на определении координат точки 5 ( e р , S р ) истинной диаграммы (рис. 5), соответствующей
моменту разрыва образца. Сначала определяется истинное напряжение разрыва
Sp
Sp 
Pp
,
(4.10)
Fк
где Pр - усилие на образце в момент его разрыва;
Fк - площадь поперечного сечения в шейке образца в момент разрыва.
38
Sр
5
Истинная диаграмма
i
4
2
SТ
1
3
5
Sр
Истинные напряж.
Si
Условная диаграмма
6
Oi
O
ei
7
Oi
Истин. деформация
eист
eу
Рис. 4.5. Диаграмма истинных напряжений
Напряжение
Вторая координата точки – относительная деформация e р включает
две составляющие - истинную пластическую - eист и упругую - e у . Значение
eист может быть определено из условия равенства объемов материала вблизи
места разрыва образца до и после испытания (рис. 4.3). Так до испытания объем
материала образца единичной длины будет равен F0  1 , а после разрыва
Fк 1  l1  . Здесь l1 - удлинение образца единичной длины вблизи места разl
рыва. Поскольку истинная деформация здесь eист  1 , а F0  1  Fк 1  l1  , то
1
F
eист  0  1. Упругую составляющую находим по
Fк
Sр
закону Гука: e у 
. Тогда абсцисса точки 5 буE
0,2
дет равна
S
F
(4.11)
eр  0  1  р .
Fк
E
Проводя плавную кривую между точками 4 и
5, получим полный вид истинной диаграммы.
Для материалов, диаграмма растяжения которых на начальном участке не имеет резко выраO
Деформация
женной площадки текучести (см. рис. 4.6 ) предел
текучести условно определяют как напряжение,
Рис. 4.6. Условный
при котором остаточная деформация составляет
предел текучести
величину, установленную ГОСТом или техниче39
скими условиями. По ГОСТу 1497—84 эта величина остаточной деформации
составляет 0,2% измеренной длины образца, а условный предел текучести
обозначается символом -  0,2 .
При испытании образцов на растяжение, кроме характеристик прочности,
определяют также характеристики пластичности, к которым относятся относительное удлинение образца после разрыва –  , определяемое как отношение
приращения длины образца после разрыва ( lк  lк  l0 ) к его первоначальной
длине (в %):
l
(4.12)
  к 100,%
l0
и относительное сужение –  , рассчитываемое по формуле (в %)
F F
F
(4.13)
  0 к 100  0 100,% .
F0
F0
В этих формулах l0 , F0 - начальная расчетная длина и площадь поперечного сечения образца, lк , Fк - соответственно длина расчетной части и минимальная площадь поперечного сечения образца после разрыва.
Контрольные вопросы к 4 разделу.
1. В каких координатах строится диаграмма растяжения?
2. Что такое предел пропорциональности, предел упругости, предел текучести, предел прочности (или временное сопротивление)?
3. Что такое площадка текучести?
4. Какие деформации называются упругими, и какие остаточными или пластическими?
5. Что такое условный предел текучести? Для каких материалов определяется эта механическая характеристика?
6. В каких координатах строится истинная диаграмма напряжений?
7. Почему на диаграмме растяжения напряжение, при котором происходит
разрушение образца, лежит ниже предела прочности?
8. Чем отличается диаграмма растяжения пластичной, стали от диаграммы
растяжения хрупкой стали?
9. Что такое остаточное относительное удлинение образца и остаточное относительное сужение шейки образца? Какое свойство материала они характеризуют?
40
Раздел 5. Геометрические характеристики плоских сечений
zс
z
При решении ряда задач, связанных с прочностными и деформационными расчётами деталей и элементов конструкций, возникает необходимость
определения основных геометрических характеристик их поперечных сечений
(ГХС). К ним относятся площади поперечных сечений, статические моменты и
моменты инерции.
Эти характеристики достаточно часто используются при расчёте стержней как простых форм сечений (круг, прямоугольник, треугольник и т.п.), так и
сложных видов сечений (профильное сечение, составное сечение и др.). Определение ГХС требуется в задачах изгиба, кручения и устойчивости.
Алгоритм расчёта ГХС сложного (составного) вида предусматривает использование двух подходов: традиционного [1, 2, 4-8] (путём разбиения сложного сечения на ряд простых и последующего определения всех необходимых
параметров простых фигур), и нетрадиционного, основывающегося на использовании компьютерной техники [3] (задание координат точек контура всего сечения во вспомогательной системе координат с последующим обходом контура). Каждый из этих способов расчёта имеет свои достоинства и недостатки и
выбор того или иного из них (или их комбинации) остаётся за расчетчиком.
Рассмотрим вначале методику определения ГХС по первому способу.
Пусть задано произвольное сечение бруса F, связанное с начальными координатными осями oy0 и oz0 (рис. 5.1). Выделим
z
z0
F
элемент площади dF с координатами y, z. По анаdF
логии с выражением для момента силы относиy
тельно какой-либо оси можно составить выражеc
y
ние и для момента площади, которое называется
r
статическим моментом площади.
Тогда статические моменты элемента плоyс
щади dF относительно осей oy0 и oz0 будут предy0
o
ставлены зависимостями:
Рис. 5.1. К определению ГХС
dS y0  zdF ;
dS z0  ydF .
Просуммировав такие произведения по всей площади фигуры, получим
соответственно статические моменты относительно осей oy0 и oz0 :
S y0   zdF ;
F
S z0   ydF .
(5.1)
F
Статические моменты измеряются в мм3, см3, м3.
Осевыми моментами инерции площади называются выражения вида:
I y0   z 2 dF ; I z0   y 2 dF .
(5.2)
F
F
Интеграл вида
I yz   yzdF ,
F
41
(5.3)
называется центробежным моментом инерции площади относительно
осей y и z. В зависимости от положения осей центробежный момент инерции
может быть положительным, отрицательным или равным нулю.
Полярный момент инерции определяется по зависимости
I p    2 dF  I y  I z .
(5.4)
F
Размерность всех величин в формулах (5.2)…(5.4) мм4, см4, м4.
П р и м е р 5.1. Найти статический момент и момент инерции прямоугольного сечения с основанием b и высотой h (рис. 5.2) относительно собственной центральной оси y и относительно начальной оси y0 , проходящей через основание.
z0
z
z
z
dz
dF
dz
dF
o
b
y
z
h
c
y
h
c
y0
b
б)
a)
Рис. 5.2. К определению геометрических характеристик прямоугольного сечения
1. Сначала определим статический момент относительно собственной центральной
оси y (см. формулы 5.1 и рис. 5.2,а), учитывая, что dF  bdz :
h
2
z2
S y   zdF   zbdz  b
2
h
F

h
2

2
b  h   h 
     
2  2   2 
2

h
2
2

0,

т.е. статический момент сечения относительно центральной оси равен нулю.
2. Определим статический момент относительно начальной оси y0 (рис. 5.2,б):
h
h
z2
b
bh 2
S y0   zdF   zbdz  b
  h 2  02  
2 0 2
2
F
0
3. Найдем момент инерции сечения относительно собственной оси y (см. формулы
5.2 и рис. 5.2,а):
h
2
z3
I y   z dF   z bdz  b
3
h
F
2
2

4.
2
h
2

h
2
3
3
b  h   h   bh3
        
.
3  2   2   12
Найдем момент инерции сечения относительно начальной оси y0 (рис. 5.2,б):
h
h
z3
b
bh3
3
I y   z dF   z bdz  b
  h3   0   
.

3 0 3
3
F
0
2
2
42
Пусть yc и z c - координаты центра тяжести (ЦТ) фигуры F. Продолжая аналогию с моментами сил можно написать следующие выражения:
(5.5)
S y0  Fzc ; S z0  Fyc .
Из формул (5.5) можно найти координаты центра тяжести фигуры
Sz
Sy
yc  c ; z c  c .
(5.6)
F
F
Для многих поперечных сечений простых видов (прямоугольник, треугольник, круг, кольцо, трапеция и т.д.) статические моменты и координаты
центров тяжести определены и приведены в справочниках (например, в [2]).
Статический момент площади сложной фигуры, которую можно разбить
на простые части (рис. 5.3), определяется как сумма статических моментов
каждой части относительно рассматриваемой оси:
n

S y0  F1 z1  F2 z2  ...  Fn zn   Fi zi , 

i 1
(5.7)

n
S z0  F1 y1  F2 y2  ...  Fn yn   Fi yi , 

i 1
где Fi - площадь i -той простой фигуры;
yi и zi - координаты центра тяжести i -той простой фигуры.
z0
z0
z1
z
F1
F1
F2
zmax
F3
z3
o
zс
z2
z1
F2
z3 F3
o
а
б
Рис. 5.3. Разбивка сложной фигуры на простые (а)
и определение центра тяжести всей фигуры (б)
По формулам (5.6) и (5.7) легко найти координаты центра тяжести сложной фигуры:
43
n
yc 
S zc
F

 Fi yi
i 1
n
F
i 1
n
; zc 
i
S yc
F

Fz
i 1
n
i i
F
i 1
.
(5.8)
i
Оси y0z, проведённые через общий центр тяжести фигуры. С (рис. 5.3,б)
называются центральными осями. Тогда момент инерции составного сечения
относительно центральных осей 0y и 0z может быть найден как сумма моментов инерции простых фигур относительно этих же осей:
n

(1)
(2)
( n)
J y  J y  J y  ...  J y   J y(i ) , 

i 1
(5.9)

n
J z  J z(1)  J z(2)  ...  J z( n )   J z(i ) .

i 1
Центробежный и полярный моменты инерции определим по формулам:
n
(1)
(2)
( n)
(i ) 
J yz  J yz
 J yz
 ...  J yz
  J yz
,
(5.10)

i 1

J p  J y  Jz.

Входящие в (5.9) и (5.10) моменты инерции простых фигур рассчитываются по известным зависимостям:
J y(i )  J y(ii )  bi2 Fi , 


(i )
(i )
2
(5.11)
J z  J zi  ai Fi , 

(i )
J yz
 J y(ii )zi  aibi Fi , 
где J y( ii ) , J z(ii ) , J y(ii )zi - моменты инерции и центробежный момент простых
фигур относительно собственных осей,
ai , bi - расстояние между центрами тяжести составного сечения и каждой
фигуры.
Эти расстояния в центральной системе координат y0z можно выразить так
(см. рис. 5.3,б):
ai  yi  yc ; bi  zi  zc
(5.12)
Ранее упоминалось, что при изменении положения координатных осей
центробежный момент I yz (см. формулу 5.3) может принимать различные значения, включая ноль. Те оси, относительно которых центробежный момент
инерции обращается в нуль, называются главными осями инерции. Поворачивая центральные оси y0z (рис. 5.3,б) на некоторый угол  0 можно получить экстремальные значения моментов инерции. Такие оси называются главными
центральными осями и обозначаются буквами U и V .
Угол  0 можно найти по зависимости:
44
 2 J yz 
, град.
(5.13)
arctg 
 J z  J y 



Полученные из формулы (5.13) два значения угла  0 отличаются друг от друга на 90о.
z
V
Меньший из этих углов по абсолютной величине
не превышает  / 4 . Положительный угол  0 отU
кладывается от горизонтальной оси y против чаU
совой стрелки. Проведенную под углом  0 (положительным или отрицательным) главную ось
обозначают буквой U (см. рис 5.4).
На рис 5.5 приведены некоторые примеры
обозначения главных центральных осей в соответствии с указанным правилом. Начальные оси
обозначены буквами y и z.
Значения главных моментов инерции мож- Рис. 5.4. К определению главных
центральных осей
но определить по формулам:
90
0 
x
ma
V max
J u  J y cos 2  0  J z sin 2  0  J yz sin 2 0 , 
(5.14)

2
2
J v  J y sin  0  J z cos  0  J yz sin 2 0 .
Напомним, что главные моменты инерции обладают свойством экстремальности.
V
z
z
V
U
с

y
z
с

U
а
V
z
U
y
с
V

с
y

y
U
б
в
г
I y >I z
I y >I z
I y <I z
I y <I z
Iyz < 0
Iyz > 0
Iyz < 0
Iyz > 0
0 > 0
0 < 0
0 < 0
0 > 0
Рис. 5.5. К определению положения главных центральных осей и знака центробежного момента
Для выполнения прочностных расчётов различных элементов необходимо
определять осевые и полярный момент сопротивления:
J
J
J
(5.15)
Wy  y ; Wz  z ; Wp  p ,
zmax
ymax
max
где zmax , ymax - координаты наиболее удалённых точек контура рассчитываемого сечения (см. рис. 5.3,б);
45
 max - наибольший радиус-вектор точки контура составного сечения.
В некоторых случаях определение вышеупомянутых параметров ГХС
требует достаточно громоздких вычислений. Так, например, сложное сечение с
внутренней полостью, изображённое на рис. 5.6 пришлось бы разбивать на
большое число простых фигур с последующим определением всех промежуточных величин (площадей, моментов инерции простых фигур и т.д.).
Для таких видов сечений удобнее исполь- z
зовать второй метод - метод обхода контура по
2 8
точкам с заданными координатами во вспомога1
9
6
7
тельной системе координат y00z0 [3].
5
4
12
10
Нумерация точек контура начинается с
любой (рис. 5.6) и перемещается вдоль контура
11
по часовой стрелке. При наличии внутренней поy
лости сечения необходимо войти по прямой к o
точке внутреннего контура и обойти все его про- Рис. 5.6. К расчету ГХС методом
нумерованные точки против часовой стрелки с
обхода контура
последующим выходом на наружный контур по
той же прямой. Криволинейные очертания контура апроксимируются ломаной
линией с необходимой точностью.
Геометрические характеристики сложного сечения, при определении их
через координаты точек контура, рассчитываются по зависимостям:
0
0
1 N
1 N

yc 
 yi  yk  fi ; zc    zi  zk  fi ;

6 F i 1
6 F i 1

N

1 N 2
1
J y    zi  zi zk  zk2  fi ; J z    yi2  yi yk  yk2  f i ; 
12 i 1
12 i 1

N

1
J yz    yi zk  2 yi zi  2 yk zk  yk zi  f i ,

24 i 1

1 N
F   fi ;
2 i 1
(5.16)
где fi  yi zk  yk zi ; k  N при i  1; k  i  1 при i  1 ;
N – число точек контура.
Все остальные параметры ГХС определяются по ранее рассмотренным
соотношениям. Заметим, что расчеты по второму методу удобнее вести на компьютере.
Правильность расчетов по любому из двух вариантов проверяется такими
проверочными условиями:
П1  J y  J z  J u  J v  0 ,



Ju  Jv
П 2  J yz cos 2 0 
sin 2 0  0 .
2

46
(5.17)
П р и м е р 5.2.
Для Z – образного сечения, показанного на рис. 5.7, определить положение центра тяжести yc, zc , угол наклона главных центральных осей инерции  0 , моменты инерции относительно центральных осей oy и oz и моменты инерции относительно главных центральных осей U и V.
z0
90
20
F1
F2
15
F1  20  90  1800 мм2 ,
F2  10 125  1250 мм ,
2
F3  15  60  900 мм2.
60
10
F3
z3
z2
z1
125
Р е ш е н и е.
Выберем систему начальных осей y0 и z0, проведя их так,
чтобы они касались крайних точек (слева и снизу) рассматриваемого составного сечения.
Разбиваем фигуру на простые части в виде прямоугольников, находим площади их сечений и общую площадь фигуры:
o
Рис. 5.7. Составное сечение и его размеры
Общая площадь фигуры
F  1800  1250  900  3950 мм2.
В выбранной системе осей определяем координаты центров тяжести простых фигур C1, C2, C3, обозначая их соответственно как y1, z1; y2, z2 и т.д. (рис. 5.7). В таблице 3.1 даются
численные значения искомых величин.
y00z0,
мм
yi
zi
y0 и z0,
104 мм3
мм
ai
bi
Fi  yi
Fi  zi
8,1
27
F1
1800
45
150 -27,46 55,42
F2
1250
85
77,5 12,54 -17,08 10,62
9,7
F3
900
110
7,5
0,67
F
3950
-
-
37,54 -87,08
-
-
9,9
28,62
yс
мм
КоординаСтатический
Координаты ЦТ
ты ЦТ фимомент площади
фигуры в ценгуры в сифигуры относитральной системе
тельно осей
стеме y0z,
Координаты ЦТ
всей фигуры в
системе y00z0,
Площадь фигуры,
мм2
Фигура
Таблица 1 –Промежуточные параметры сечения
zс
37,37 72,47 94,58
Координаты центра тяжести yс, zс составной фигуры в системе y00z0, определяем по
формулам (5.8):
F1  y1  F2  y2  F3  y3 1800  45  1250  85  900 110

 72,47 мм.
F
3950
F  z  F2  z2  F3  z3 1800 150  1250  77,5  900  7,5
zc  1 1

 94,58 мм,
F
3950
yc 
Результаты заносим в таблицу
Определим моменты инерции каждого прямоугольника относительно собственных
центральных осей (см. пример 5.1):
47
J y(1) 
1
b1  h13 90  203
h  b 3 20  903

 6 104 мм4, J z(1)  1 1 
 1.215 106 мм4.
1
12
12
12
12
Значения моментов остальных простых фигур (размерность - мм4) приводим без подробностей расчета:
J y(2)
 1,628 106 , J z(2)
 1,042 104 , J y(3)  1,688 104 , J z(3)  2,7 105 .
2
2
3
z0
z1
z
F2
 U
F3
V max
z3
U max
 max
zс
z
V
F1
z2
3
o
а
б
Рис. 5.8. К расчету ГХС сложной фигуры: а - определение
центров тяжести простых частей и всей фигуры; б – определение наклона главных центральных осей
Моменты инерции каждой простой фигуры относительно центральных осей y и z
вычисляются по формулам (5.11). Например:
J y(1)  J y(1)
 F1  b12  6 104  1800  (55, 42) 2  5,588 106 ,
1
(1)
J yz
 J y(1)
 F1  a1b1  0  (27, 47  55, 42) 1800  2,74 106 .
1z1
Остальные значения моментов приводим без подробностей расчета в таблице 5.2.
Фигура
Таблица 5.2 – Моменты инерции сечения
Моменты инерции фигуры,
106 мм4,
относительно
собственных осей yi, zi
центральных осей y; z
J y( ii )
J (zi )
J y( i )
J z( i )
J yz( i )
F1
0,06
1,215
5,588
2,573
-2,74
F2
1,628
0,0104
1,993
0,207
-0,267
F3
0,0168
0,27
6,842
1,538
-2,941
i
Примечание: Центробежные моменты инерции фигур относительно собственных центральных осей J (yi )z = 0
i i
Суммируя последние три столбца таблицы 5.2, находим моменты инерции составной
фигуры относительно центральных осей y и z :
J y  14,42 106 мм4, J z  4,318 106 мм4, J yz  5,95 106 мм4.
48
Угол наклона главных центральных осей (рис. 5.8,б) к оси oy найдем по формуле
(5.13):
0 
 2 J yz
arctg 
 Jz  J y


90
 90


2  5,949 106
 24,83 .
  arctg 
6
6 
 4,318 10  14,42 10 
 
Главные центральные моменты инерции определяем по формулам (5.14):
J u  J y cos 2  0  J z sin 2  0  J yz sin 2 0  14, 42 106 cos 2 (24,83) 
4,32 106 sin(24,83)  5,95 106 sin(2  24,83)  17,174 106 мм 4 ;
J v  J y sin 2  0  J z cos 2  0  J yz sin 2 0  14, 42 106 sin 2 (24,83) 
4,32 106 cos(24,83)  5,95 106 sin(2  24,83)  1, 564 106 мм 4 .
Правильность расчетов проверяем по условию (5.17):
П1  14,42  4,318  17,174  1,564  106  0 ,
что указывает на достаточную точность полученных результатов.
Реальные конструктивные элементы корпусов и механизмов морских судов (стрингера, шпангоуты, флоры и т.д.) могут включать в себя как стандартные профили (уголки,
швеллера, двутавры, полособулбы), так и нестандартные виды сечений простого или сложного очертания. Приводим пример, в котором рассматривается составное сечение, включающее профильный элемент в виде неравнополочного уголка.
П р и м е р 5.3.
Найти положение главных центральных осей и значения главных центральных
моментов инерции для сечения состоящего из неравнополочного уголка сечением 110  70  8
мм (ГОСТ 8510-86) и прямоугольной полосы сечением 20  160 мм (рис. 5.9).
Решение
Прежде всего, определим все необходимые параметры сечения стандартного уголка.
По сортаменту прокатной угловой стали, устанавливаем координаты ЦТ уголка (рис. 5.9,а) и
значение необходимых ГХС:
Fуг  13,93 см 2 , yc  3,61 см, zc  5,36 см , J y  54,64 см 4 ,
J z  171,54 см 4 , J yz  55,9 см 4 ,  0  21,86 .
В выбранной системе осей составного сечения (рис. 5.9,б) определяем координаты
центров тяжести простых фигур - C1, C2,, обозначая их соответственно как y1, z1; y2, z2. В
таблице 5.3 даются численные значения искомых величин.
Координаты центра тяжести yс, zс составной фигуры в системе y00z0, определяем по
формулам (5.8):
F1  y1  F2  y2 13,93  5,61  32  1

 2,398 cм,
F
45,93
F  z  F2  z2 13,93  14,36  32  8
zc  1 1

 9,929 cм.
F
45,93
yc 
49
z0
z0,см
110
U
z
z1
V
15
8
z
V

F1
zс
70
z2

10
o
zс
5
z1
а
z2
U
F2
б
o
10
5
Рис. 5.9. К определению ГХС стандартного уголка
(а) и составного сечения (б)
мм
yi
y0 и z0,
104 мм3
мм
zi
ai
bi
Fi  yi
Fi  zi
F1 13,93 5,61 14,36 3,212 4,431 0,781
2,0
F2
32
1
8
2,56
F
45,93
-
-
-1,398 -1,929 0,32
-
-
-
yс
мм
Статический
Координаты Координаты
момент площади
ЦТ фигуры ЦТ фигуры в
фигуры относив системе
центральной
тельно осей
y00z0,
системе y0z,
Координаты ЦТ
всей фигуры в
системе y00z0,
Площадь фигуры,
мм2
Фигура
Таблица 5.3 –Промежуточные параметры сечения (рис. 5.9,б)
zс
2,398 9,929
Поскольку моменты инерции уголка уже известны, то определим их только для полосы относительно собственных центральных осей:
J y(2)

2
2 163
16  23
 682,66 см4, J z(2)

 10,67
2
12
12
см4.
Моменты инерции (см4) каждой фигуры относительно центральных осей y и z
вычисляются по формулам (5.11):
J y(1)  J y(1)
 F1  b12  54,64  13,93  4, 4312  328,138 ,
1
J z(1)  J z(1)
 F1  a12  171,54  13,93  3, 2122  315, 255 ,
1
(1)
J yz
 J y(1)
 F1  a1b1  55,9  13,93  3, 212  4, 431  254,157 .
1z1
Остальные значения моментов (см4) приводим без подробностей расчета:
(2)
J y(2)  801,733 , J z(2)  73,211 , J yz
 86, 296
Суммируя составляющие (см. формулы 5.9 и 5.10), находим моменты инерции составной фигуры относительно центральных осей y и z :
50
J y  1130
см4, J z  388,466 см4, J yz  340, 453 см4.
Угол наклона главных центральных осей (рис. 5.9,б) к оси oy найдем по формуле
(5.13):
0 
 2 J yz
arctg 
 Jz  J y


90
 90
 2  340,453 
  arctg 
  21,28 .

388,466

1130



Главные центральные моменты инерции определяем по формулам (5.14):
J u  J y cos 2  0  J z sin 2  0  J yz sin 2 0  1130  cos 2 (21, 28) 
388, 466  sin(21, 28)  340, 453  sin(2  21, 28)  1263 см 4 ;
J v  J y sin 2  0  J z cos 2  0  J yz sin 2 0  1130  sin 2 ( 21, 28) 
388, 466  cos(21, 28)  340, 453  sin(2  21, 28)  255,87 см 4 .
П р и м е р 5.4
Определить геометрические характеристики поперечного сечения лопасти руля
судна, ( рис. 5.10) ось которой наклонена под углом 15 градусов к оси движения судна. Профиль лопасти (в наклоненном положении) задан координатами 26 точек в таблице 5.4 . Размеры заданы в см.
z0
z
V
50
4 5
2 3
1
6
26
25

0
25
50
75
U
100
14
Рис. 5.10. К определению ГХС методом обхода контура
Решение
Поскольку сечение рулевой лопасти имеет сложное очертание и его нельзя расчленить
на простые фигуры, воспользуемся вторым способом определения ГХС – способом обхода
контура, используя формулы (5.16).
Таблица 5.4 – Координаты точек контура лопасти руля (см)
№ т. 1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
0,0 1,97 6,4 10,65 14,24 26,67 38,81 50,78 62,64
z 32,35 35,29 36,95 37,33 37,21 35,32 32,3 28,7 24,65
№ т. 10
11
12
13
14
15
16
17
18
y 74,43 86,14 97,8 109,37 120,74 107,96 95,39 82,89 70,45
z 20,36 15,77 10,94 5,87 0,0 0,59 1,99 3,64 5,52
№ т. 19
20
21
22
23
24
25
26
y 58,09 45,8 33,63 21,62 9,9 6,73 3,25 0,24
z
7,69 10,11 12,98 16,44 21,02 22,71 25,16 28,82
-
51
По заданным координатам точек контура (на рис. 5.10 точки обозначены цифрами
1…26, обход сделан по часовой стрелке) определяем, вначале, значения промежуточной величины f i для каждой пары координат рассматриваемой точки, например, для точки 5
( i  5, k  i  1  5  1  4 ):
fi  yi zk  yk zi  y5  z4  y4  z5  14,24  37,33  10,65  37,21  135,293 .
Всего будет двадцать шесть значений f i .
Далее определяем: площадь сечения лопасти F, координаты центра тяжести (в координатной системе y00z0) сечения yc и zc , моменты инерции J y0 , J z0 и центробежный момент
J y0 z0 .
Выполненные расчеты дают следующие величины:
F  1,743 103 см2, yc  50,7 см, zc  18,76 см, J y0  7,548 105 см4, J z0  5,924 106 см4,
J y0z0  1,282 106 см4.
Моменты инерции относительно центральных осей y и z , а также главные центральные осевые моменты инерции и их положение (угол  0 ) определяются по ранее рассмотренным соотношениям:
J y  J y0  zc2  F , J z  J z0  yc2  F , J yz  J y0z0  yc zc  F и т.д.
Выполненные расчеты дают следующие величины:
J y  1,412 105 см4, J z  1, 444 106 см4, J yz  3,76 105 см4,
 0  15 , JU  4,045 104 см4, JV  1,544 106 см4,
В заключение отметим, что расчеты по второму методу целесообразно выполнять на
компьютере по составленной программе или используя известный математический редактор
MathСad.
Контрольные вопросы к 5 разделу.
1. Что называется статическим моментом сечения относительно оси?
2. Что называется осевым, полярным и центробежным моментами инерции сечения?
3. Какова размерность статического момента сечения?
4. Чему равен статический момент относительно оси, проходящей через центр
тяжести сечения?
5. Как определяются координаты центра тяжести простых и сложных сечений?
6. Что называется осевым моментом инерции поперечного сечения. Какова
размерность моментов инерции сечения?
7. Что такое главные и что такое главные центральные моменты инерции?
8. Какие оси называются главными осями инерции?
9. Какие оси называются главными центральными осями инерции?
10.Чему равен центробежный момент инерции относительно главных осей
инерции?
11.В каких случаях можно без вычисления установить положение главных осей
12.С учетом каких соображений производится разбивка с ложного сечения на
простые части при определении моментов инерции?
13.В какой последовательности определяются значения главных центральных
моментов инерции сложного сечения?
52
Раздел 6. Кручение стержней круглого сечения
6.1. Общие сведения
Кручение — это такой вид деформации стержня (бруса), при котором в
его поперечных сечениях возникает единственный внутренний силовой фактор
— крутящий момент, обозначаемый Мк Деформация кручения возникает при
нагружении бруса внешними парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны его продольной оси. Моменты этих пар будем называть скручивающими моментами и обозначать М. Если скручивающих моментов, приложенных к стержню будет несколько, то будем их обозначать соответственно как
М1, М2 и т. д. На рис. 6.1,а изображен стержень, работающий на кручение под
действием приложенных к нему скручивающих моментов. Это условное изображение моментов применено взамен пары сил.
M
а)
M
a
x
x
a
l
M
M
x
б)
Рис. 6.1. Схема скручивания стержня моментом М
На рис. 6.1,б изображен тот же брус в иной проекции. На этом рисунке
дан еще один способ условного изображения внешних моментов, часто применяемый в технической литературе; момент представлен в виде двух кружков,
соединенных линией. Кружок с точкой обозначает силу, направленную на
наблюдателя, а кружок с крестом — силу, направленную от наблюдателя.
Во всех случаях будем считать, что алгебраическая сумма скручивающих
моментов равна нулю, т. е. брус находится в равновесии. Стержень, работающий на кручение, называется валом. Будем рассматривать валы, имеющие
круглое сплошное или полое сечение.
Для определения внутреннего силового фактора - крутящего момента Мк
в произвольном сечении с абсциссой х (рис.6.1,а) воспользуемся методом сечений, подробно рассмотренный в разделе растяжение-сжатие. Крутящий момент,
возникающий в произвольном сечении вала, численно равен алгебраической
сумме скручивающих моментов, действующих на вал справа или слева от рассматриваемого сечения.
Знак крутящего момента не имеет физического смысла, но для определенности при построении эпюр условимся о следующем правиле знаков. Будем
53
считать крутящий момент положительным, если для наблюдателя, смотрящего
на сечение, он представляется направленным по часовой стрелке (рис. 6.2). Соответствующий внешний момент направлен против часовой стрелки.
Ординаты эпюр откладывать вверх
Mк 0
а
M
M
Mк 0
M
M
а
Ординаты эпюр откладывать вниз
Рис. 6.2. Правила знаков для крутящего момента Мк
Для вращающихся валов величина крутящего момента зависит от передаваемой им мощности. Если мощность W задана в кВт, а скорость вращения вала n — числом оборотов в минуту, то крутящий момент определяется так:
W
(6.1)
M к  9736 , H  м .
n
Если мощность N выражается в лошадиных силах, тогда
N
(6.2)
M к  7162 , H  м .
n
При кручении стержня в его поперечных сечениях возникают касательные напряжения (см. рис. 6.3), определяемые по формуле
M 
(6.3)
  к ,
Jp
где   - касательные напряжения в равноудаленных от центра точках поперечного сечения вала на расстояние  ;
J p - полярный момент инерции сечения.
Наибольшее значение касательные напряжения достигают на поверхности
вала, т.е. при   r
M r
(6.6)
 max  к .
Jp
Jp
 W p (называется полярным моментом сопроr
тивления, размерность см3) формулу (6.6) запишем в виде
M
(6.5)
 max  к .
Wp
Учитывая, что величина
54
max


max
r
d
D
б)
а)
Рис. 6.3. Распределение касательных напряжений в
сплошном (а) и полом (трубчатом) сечении вала
Полярный момент сопротивления зависит от размеров и типа сечения вала. Для сплошного сечения (рис. 6.3,а)
 D3
(6.6)
Wp 
 0,2 D3 ,
16
для кольцевого сечения (полый вал)
Wp 
 D3 
d4 
d4 
3
1


0,2
D
1

.



4 
16  D 4 
D


(6.7)
Если крутящий момент по длине стержня постоянного сечения не изменяется, то взаимный поворот двух поперечных сечений (в радианах), отстоящих
друг от друга на расстоянии l, будет определяться по зависимости
M l
(6.8)
  к , [радиан]
GJ p
где G – модуль сдвига (модуль упругости второго рода).
Для получения угла закручивания в градусах воспользуемся общеизвестной формулой
180 180 M к l
 

, [град].
(6.9)

 GJ p
Если крутящий момент изменяется по длине вала скачкообразно или вал
имеет ступенчатое изменение сечения, то взаимный угол поворота концевых
сечений вала определяется суммированием углов закручивания по участкам, на
которых M к и J p постоянны:

1
M кl
.

G
Jp
55
(6.10)
Часто при расчете валов на жесткость используется погонная (на единицу
длины) или относительная величина угла закручивания о
 M
о   к [рад/м].
l GJ p
6.2. Расчеты на прочность и жесткость стержней при кручении
Найденные значения касательных напряжений в произвольном сечении с
абсциссой х позволяют оценить прочность стержня, если известно допускаемое
напряжения при кручении   для его материала. Условие прочности записывают в таком виде:
M
(6.11)
 max  к    .
Wp
Поскольку W p выражается через диаметр сечения (формулы 6.6, 6.7), то
из условия (6.11) можно найти либо требуемый диаметр вала (при заданном
M к ), либо предельную величину крутящего момента (для заданного диаметра).
В некоторых случаях лимитирующим фактором работы стержня (детали)
является обеспечение требуемой жесткости. Условие жесткости при кручении
имеет вид:
M
(6.12)
о  к  о  ,
GJ p
где о  - допускаемый относительный угол закручивания.
П р и м е р 6.1.
Построить по длине стального ступенчатого стержня (рис. 6.4) эпюры крутящих моментов и касательных напряжений, определить размер диаметра d1 из условия прочности и
жесткости и угол поворота торцевого сечения по отношению к сечению в заделке.
Исходные данные:
М1 = 600 Н·м, М2 = 900 Н·м, d2 = 50 мм, а = 0,3 м, b = 0,5 м, с = 1,2 м.
Допускаемые напряжения для материала стержня на срез [  ] = 90 МПа, допускаемый
угол закручивания [  о ] = 0,8 град/м, модуль упругости стали при сдвиге G  8·104
МПа.
Р е ш е н и е.
Используем метод сечений. Разбиваем стержень на 3 участка (I, II, III ). Искомый момент M kx( i ) в рассматриваемом сечении находим как сумму внешних моментов (с учетом знака), приложенных справа от рассматриваемого сечения.
Вначале рассмотрим участки стержня I и II , для которых задан диаметр (d2).
Участок I ( 0  x  a ):
Определяем крутящий момент как сумму внешних моментов, приложенных справа от
произвольного сечения рассматриваемого участка.
M kx( I )  M 1  M 2  600  900  300 Н·м.
Найдем величину полярного момента инерции сечения стержня
56
I p( I ) 
 d 24

32
3,141 504
 6,14 105 мм4 .
32
M1
d2
d1
M2
o
x
x
a
b
I
II
III
d1
M2
(I)
M1
d2
Mк
c
o
x
M1
d2
Mк(II)
d1
x
o
x
x
Рис. 6.4. Вид стержня и схема приложения крутящих моментов
Угол поворота сечения относительно заделки на участке I с координатой x будет:
 x( I ) 
M kx( I )  x
;
GI p( I )
x  0,  x( I )  0;
x  a,  x( I ) 
300 103 H  мм  300 мм
 0,18 102 рад.
4
2
5
4
8 10 Н / мм  6,14 10 мм
Участок II ( a  x  b ):
M kx( II )  M 1  600 Н·м.
 x( II )   x( I )a 
M kx( II ) ( x  a)
;
GI p( II )
x  a,  x( IIa)   x( I )a  0,18 102 рад.
x  b,  x( IIb)  0,18 102 
600 103 H  мм  200 мм

8 104 Н / мм 2  6,14 105 мм 4
0,06 102 радиан.
Для третьего участка вначале определяем крутящий момент и строим эпюру (рис. 6.5).
Участок III ( b  x  c ):
M kx( III )  M 1  600 Н·м.
57
M1
d2
d1
M2
o
x
x
a
b
I
c
II
III
600
-300
-12
1,06 10
-2
(H м)
max
(МПа)
f
(рад.)
27,13
24
-0,18 10
Мк
0,06 10
-2
-2
Рис. 6.5. Эпюры крутящих моментов, касательных напряжений
и углов поворота поперечных сечений
Определим требуемый диметр вала d1 по двум условиям:
1. По условию прочности:
Используя условие прочности при кручении стержня круглого поперечного сечения
(6.11) и выражение полярного момента сопротивления через диаметр вала (6.6), можно записать
Mк
Mк

   ,
Wp 0, 2d13
откуда требуемый диаметр стержня будет
d1  3
Mk
600 103
3
 32,18 мм .
0,2 
0,2  90
2. По условию жесткости:
Поскольку вычисляемый погонный угол закручивания по формуле (6.12) получается в
радианах, а допускаемый угол закрутки в условии задачи выражен в градусах, то определим
допускаемую величину угла [  o ] для единичной длины (1 мм), в радианах:
о   о    103 /180
 0,8 103   /180  1,39 105 рад / мм .
Используя условие жесткости при кручении круглого вала единичной длины (6.12) и
учитывая, что I p  0,1d14 , запишем:
58
Mk
Mk

 о  .
GI p G 0,1d14
Тогда, требуемый диаметр по условию жесткости будет
d1  4
M k 1
600 103 1
4
 48,19 мм .
0,1G о 
0,1 8 104 1,39 105
Из двух значений диаметра d1 принимаем больший, округляя его до целой величины : d1 = 48
мм.
Полярный момент инерции поперечного сечения стержня на третьем участке будет
I p( III ) 
 d14
32

3,141  484
 5, 2 105 мм 4 .
32
Угол поворота сечения с координатой x относительно заделки будет:
 x( III )   xIIb 
x  c,  x( IIIc )  0,06 102 
M kx( III )  ( x  b)
;
GI p( III )
600 103 H  мм  700 мм
 1,06 102 р.
8 104 Н / мм 2  5, 2 105 мм 4
На рис. 6.5 изображена эпюра углов поворота поперечных сечений стержня из которой видно, что угол поворота торцевого сечения (x = c) по отношению к сечению в заделке составляет 1,06 102 радиан.
Поскольку теперь известны скручивающие моменты и диаметры стержня на всех
участках, то определяем касательные напряжения на каждом из участков и строим эпюру касательных напряжений условно принимая знаки для касательных напряжений такими же, как
и знаки крутящих моментов.
Участок I ( 0  x  a ):
 max 
M к( I ) 300 300 103


 12 МПа.
Wp( I ) 0, 2d 23
0, 2  503
Участок II ( a  x  b ):
 max 
M к( II )
600
600 103


 24 МПа.
W p( II ) 0, 2d 23 0, 2  503
Участок III ( b  x  c ):
 max 
M к( III )
600
600 103


 27,13 МПа.
Wp( III ) 0, 2d13 0, 2  483
На рис. 6.5 изображена эпюра касательных напряжений по длине стержня.
59
Контрольные вопросы к 6 разделу
1. При каком нагружении прямой брус испытывает деформацию кручения?
2. Как вычисляется момент, передаваемый шестерней, по заданной мощности и числу оборотов в минуту?
3. Какое правило знаков принято для крутящих моментов?
4. Что такое эпюры крутящих моментов и как они строятся?
5. Что называется полным и что называется, относительны углом закручивания бруса?
6. Какие напряжения возникают в поперечном сечении круглого бруса
при кручении и как они направлены?
7. Выведите формулу для определения напряжений в поперечном сечении скручиваемого круглого бруса.
8. Что называется полярным моментом сопротивления, в каких единицах
он измеряется и чему равен (для круга и кольца)?
9. Чем объясняется, что брус кольцевого сечения при кручении экономичнее, чем сплошного?
10.Как производится расчет скручиваемого бруса на прочность?
11.Как выбираются допускаемые напряжения при расчете на кручение?
12.Как производится расчет скручиваемого бруса на жесткость?
13.Как вычисляются напряжения в цилиндрической винтовой пружине?
На каких допущениях основана формула для вычисления напряжений?
14.Как определяются деформации цилиндрической винтовой пружины?
Выведите соответствующую формулу.
15.В каких случаях задача расчета прямого стержня на кручение является
статически неопределимой.
60
Раздел 7. Плоский поперечный изгиб прямых брусьев
7.1. Общие сведения
Плоские поперечные сечения балки (1-1 и 2-2, рис. 7.1,а) при изгибе
наклоняются друг к другу (1-1 и 2-2, рис.7.1,б), оставаясь при этом плоскими и
перпендикулярными к ее искривленной оси. Волокна балки с выпуклой стороны удлиняются, а с вогнутой – укорачиваются. Предполагается, что отдельные
волокна не давят друг на друга, следовательно, каждое из них испытывает простое растяжение «+» или сжатие «–».
1
2
z
a)
1
Нейтральный слой
2
c
M
б)
1
2
1
2

y
M
в)
Рис.7.1. Изгиб бруса
Волокна, которые при искривлении не изменяют своей длины, образуют
нейтральный слой (рис. 7.1,б, в). Пересечение нейтрального слоя поперечным
сечением балки называется нейтральной осью сечения (ось у, рис.7.1,в).
В общем случае изгиба в данном поперечном сечении балки возникают два
внутренних силовых фактора: изгибающие моменты М и поперечные силы Q,
которые определяются методом сечений при рассмотрении равновесия оставленной части бруса.
Изгибающим моментом Мх в данном сечении (рис. 7.2) называется сумма
моментов всех внешних сил, находящихся по одну сторону от сечения, относительно центра тяжести этого сечения. Изгибающий момент считается положительным, если он изгибает балку выпуклостью вниз (слева от сечения по часовой стрелке, справа – против).
Поперечной силой Qх в данном сечении называется сумма проекций всех
внешних сил, находящихся по одну сторону от сечения, на нормаль к оси балки
(ось y на рис. 7.2,б). Поперечная сила считается положительной, если она стремится повернуть вырезанный из балки бесконечно малый элемент по ходу часовой стрелки. На рис. 7.2,в показано правило знаков для Мх и Qх . Изгибающий
момент, поперечная сила и интенсивность распределенной нагрузки связаны
между собой следующими зависимостями (по Д. И. Журавскому)
dM x
d 2 M x dQx
 Qx ;

 q .
dx
dx
dx 2
61
(7.1)
P
m
Ординаты эпюр вверх
A
B
n
x
a
a)
y
M
M
l
m
n
M
R
M
R
m
R
n
Ординаты эпюр вниз
M и R - равнодействующие внешних сил,
лежащих по одну сторону от сечения “m-n”
m
в)
Qx Mx
n
б)
R
x
Рис.7.2. Схема определения внутренних силовых факторов (а, б) и правила знаков
(в)
Эпюры Мх и Qх . Графики изменения по длине балки изгибающих моментов и поперечных сил во всех поперечных сечениях называются эпюрами внутренних усилий. При построении эпюр Мх и Qх исходят из определений внутренних усилий и правил их знаков. Общие правила, облегчающие построение
эпюр: если на участке балки нет внешних нагрузок, то эпюры Мх и Qх линейные
(причем прямая эпюры Q – параллельна нулевой линии этой эпюры); если на
участке действует равномерно распределенная нагрузка q, то эпюра Мх – нелинейная – квадратная парабола. При этом в сечениях, где поперечная сила, изменяясь линейно, меняет знак, изгибающий момент достигает максимума или минимума; точке приложения сосредоточенной силы на эпюре поперечных сил соответствует «скачок» на величину этой силы, а на эпюре изгибающих моментов
– перелом линии; в точках приложения сосредоточенных моментов эпюра поперечных сил не меняется, а на эпюре изгибающих моментов наблюдается «скачок» на величину сосредоточенного момента.
7.2. Подбор сечения балки
Исходя из назначения проектируемой балки, определение необходимых
размеров её поперечного сечения производится по двум критериям: 1) - балка
должна быть прочной при минимальном весе; 2) - жесткость балки должна быть
не ниже заданной.
При расчете по допускаемым напряжениям исходят из условия прочности
по нормальным напряжениям
M
 max  max    ,
(7.2)
Wz
где M max - максимальный изгибающий момент;
Wz - момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси;
62
  - допускаемые напряжения для материала балки.
Подбор сечений производят по наиболее напряженному сечению, в котором изгибающий момент достигает максимальной величины. Из условия прочности (7.2) при заданном изгибающем моменте определяется требуемый момент сопротивления поперечного сечения
M
Wz  max ,
(7.3)
 
по которому назначаются (или выбираются по сортаменту прокатных сталей)
размеры поперечных сечений балки так, чтобы действительный момент сопротивления был бы близок к требуемому.
Условие жесткости можно выразить неравенством
(7.4)
f max   f  ,
т.е. максимальный прогиб балки не должен превышать допускаемый  f  .
Допускаемый прогиб (стрела прогиба) зависит от назначения рассчитываемого бруса (балка, вал), а его величину обычно задают в долях от пролета
(межопорного расстояния l ). Для консолей пролет l принимается равным
удвоенному вылету консоли lk .
Так, например, для балок мостовых кранов  f   l / 600 , а для валов и
шпинделей металлорежущих станков  f   l /1000 (1 мм на длине 1000мм).
Следует заметить, что проектировочные расчеты балок предусматривают
выполнение и некоторых других расчетов, например оценка устойчивости стенок балок, определение величины касательных напряжений в сечениях изгибаемых балок и др. В данном конспекте методика выполнения таких расчетов не
приводится.
7.3. Определение прогибов балки и углов поворотов сечений.
y(x)
Под действием внешних сил продольная
ось балки искривляется (например, для кон- y
l
сольной балки рис. 7.3), а ее поперечные сечеx
ния, определяемые расстоянием х, перемеща0
c
0
x
ются . Изогнутую ось балки называют упру0
c
гой линией.
(x
( x))
q
P
Перемещение центра тяжести сечения
по направлению, перпендикулярному к оси
Рис. 7.3. Схема изгиба конбалки, называется прогибом балки в данном
сольной балки
сечении и обозначается буквой y ( x) . На рис.
7.3 центр тяжести произвольного сечения, взятого на расстоянии х от начала
координат, переместился по вертикали из точки О1 в точку О2 на расстояние
О1О2. Это перемещение и является прогибом балки y ( x) в сечении с абсциссой
х. Наибольший прогиб (при x  l ) называется стрелой прогиба и обозначается
буквой f.
f
1
2
63
При деформации балки каждое сечение, оставаясь плоским, поворачивается по отношению к своему прежнему положению. Угол ( x) , на который сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению,
называется углом поворота сечения.
Существует несколько методов определения прогибов и углов поворота
сечений балки, возникающих при плоском поперечном изгибе. Здесь изложен
достаточно простой метод – метод начальных параметров, удобный при использовании компьютерных технологий расчета.
Метод начальных параметров позволяет записать уравнения прогибов
y ( x) и углов поворота ( x) заданных сечений, пригодные для всех участков
балки, поэтому эти уравнения, называются универсальными, или обобщенными.
Универсальные уравнения (в форме, предложенной профессором А. П.
Коробовым), учитывают все основные типы нагрузок – сосредоточенный момент М, сосредоточенную силу Р, распределенную нагрузку q постоянной или
переменной интенсивности. Для балки постоянного сечения при действии
нагрузок, дающих положительные моменты, уравнение перемещений (прогибов) имеет следующий вид (распределенная нагрузка q - постоянна):
2
3

x  a
x  b


x2
x3
 Q0  M
 x a  P1
x b 
M
1  0 2
2
2
6
y ( x)  y0  0 x 
4
4
EI 
x  c
xd



q
 x c q
x

24
24


.


d

(7.5)
Дифференцируя уравнение (7.5), получаем уравнение углов поворота сечений:
2

x  b

x2
x b 
 M x  Q0  M  x  a   x a  P
1  0
2
2
( x)  0 
3
3
EI 
x  c
xd



q
 x c q
x
6
6



.


d

(7.6)
Здесь y0 , 0 , M 0 и Q0 – начальные параметры: у0 – прогиб в начале координат;
 0 — угол поворота начального сечения; М0 – изгибающий момент в начальном сечении; Q0 – поперечная сила в том же сечении. Отметим, что у0 и  0 –
это геометрические факторы, а M 0 и Q0 – силовые факторы.
Начальные параметры y0 , 0 , M 0 и Q0 , могут принимать какие угодно
значения: положительные, отрицательные и равные нулю. Определяют эти четыре величины, исходя из условия закрепления балки, а также нагружения левого конца, который принят за начало координат.
Знак  x a ;  x b и др. (прерыватель) показывает, что соответствующее
слагаемое нужно учитывать только при x > a, x > b и т.д.. Это означает, что
64
при определении прогиба в каком-либо сечении с абсциссой х в уравнение
входят лишь нагрузки, лежащие слева от этого сечения.
Таким образом, определение перемещений по методу начальных параметров сводится в первую очередь к определению величин начальных параметров y0 , 0 , M 0 и Q0 . Статические начальные параметры M 0 и Q0 находят из
условий равновесия балки. Геометрические начальные параметры у0 и  0 определяют из условий на опорах.
При выводе уравнений для конкретного вида изгибаемой балки и схемы
её нагружения рекомендуется соблюдать некоторые правила, которые будут
изложены при рассмотрении примера.
П р и м е р 7.1.
Для заданных размеров балки и схемы приложения нагрузок (рис. 7.4), построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М, подобрать, из условий прочности, двутавр, построить
графики прогибов и углов поворотов сечений по длине балки. Проверить выполнение условия жесткости.
Исходные данные:
a  2 м; b1  4 м; c  5,5 м; d  7,5 м; l  8,5 м; b2  10,5 м;
M  20 кНм ; P1  20 кН ; q  20 кН / м ; P2  12 кН ;
E  2 105 МПа ;
 f 
1
l; и
250
   160 МПа .
y
q
M
x
A
B
a
b1
x
c
d
l
I
II
b2
III
IV
V
VI
Рис. 7.4. Схема балки и принятые обозначения расстояний до нагрузок различного вида
Р е ш е н и е.
1. Определение опорных реакций.
Направим реакции RA, и RB вверх. Составим уравнение моментов относительно точки А:
d c

 M A  M  Pb
1 1  q (d  c )  c 
  RBl  P2b2  0 .
2 

Отсюда, подставив числовые значения, находим RB:
RB 
1 
7,5  5,5 


20  34  4  15(7,5  5,5)  5,5 
  12  10,5  24,12 кН.
8,5 
2



65
Составим уравнение моментов относительно точки В:
M
B
 d c
 RAl  M  P1  l  b1   q(d  c)  l 
  P2 b2  l   0 .
2 

Откуда, подставив числовые значения, находим RА:
RA 
1 
7,5  5,5 


20  34  8,5  4   15(7,5  5,5)  8,5  7,5 
  12 10,5  8,5   

8,5 
2



 16,12 кН.
Для проверки правильности определения реакций составляем сумму проекций всех сил на ось y:
 Py  RA  RB  P1  q   d  c   P2 
 16,12  24,12  34  15  7,5  5,5   12  0.
Таким образом, реакции определены верно.
Обратим внимание, что реакция RА получилась отрицательной, поэтому, в дальнейшем необходимо изменить на рисунке её направление на обратное (см. рис. 7.5) и считать эту реакцию положительной1. С учетом сказанного принимаем RA = 16,12 кН.
2. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.
Для построения эпюр Q и M используем метод сечений.
Балка имеет шесть участков, поэтому будем рассматривать условие равновесия отсекаемой части
балки поочередно на каждом участке. Напомним, что поперечная сила Q y в произвольном поперечном сечении бруса с абсциссой х равна алгебраической сумме проекций на ось y всех внешних сил,
приложенных к его отсеченной части.
Изгибающий момент M x в этом же сечении, равен алгебраической сумме моментов всех сил,
приложенных к отсеченной части, относительно той точки оси бруса, через которую проходит рассматриваемое сечение (точка С на рисунке 7.5).
При построении эпюр Q и M необходимо соблюдать правила знаков, отражаемые на рис.
7.2,в.
На первом участке для любого сечения х ( 0  x
a ) запишем:
Qy   RA  16,12 кН ;
M x   RA  x  16,12  x. При x  0, M x  0;
При x  a   , M x  32, 24 кНм.
Здесь  бесконечно малая величина, позволяющая определить значение момента в сечении,
расположенном весьма близко к границе I – го участка. Это необходимо сделать, чтобы при переходе
через границу участка обнаружить скачек момента, поскольку в сечении x  a приложен внешний
сосредоточенный момент М. Из последнего выражения видно, что Q y не зависит от х, т.е. она посто-
янная на длине участка, а M x является линейной функцией х , поэтому на первом участке построить
эпюры достаточно просто.
На втором участке (см. рис. 7.5) для любого сечения х ( a  x  b1 ) запишем:
Qy   RA  16,12 кН ;
M x   RA  x  M  16,12  x  20.
При x  a, M x  32, 24  20  12, 24 кНм ;
При x  b1, M x  16,12  4  20  44, 47 кНм.
Можно не менять направление реакции на рисунке, но тогда при рассмотрении равновесия сил (или при построении эпюр М и Q ) её величина берется с отрицательным знаком.
1
66
y
q
M
x
A
x
B
a
b1
c
d
l
II
I M
изг
RA
b2
III
IV
V
VI
Qy
C
x
M
RA
Mизг
C
Qy
x-а
a
x-c
x
2
M
RA
a
Rq C
b1
c
Mизг
Qy
x-c
x
Рис. 7.5. К построению эпюр Q y и M x
Рассмотрим еще один участок – четвертый (см. рис. 7.5) на котором имеется распределенная
нагрузка q. Поперечная сила в сечении х от действия только распределенной нагрузки численно равна
равнодействующей Rq распределенной нагрузки на длине ( x  c) , т.е. Qy (q )  Rq  q  x  c  . Изгибающий момент в том же сечении от q равен моменту их равнодействующей Rq , линия действия кото-
 x  c  q  x  c
рой проходит посредине отрезка x  c , т.е. M x (q)  Rq  
.

2
 2 
С учетом сказанного составим полное уравнение равновесия для отсеченной части при расположении сечения с абсциссой х на четвертом участке ( c  x  d ):
2
Qy   RA  P1  q  x  c   16,12  34  15  x  5,5  кН ;
M x   RA  x  M  P1  x  b1   0,5q  x  c  
2
 16,12  x  20  34  x  4   0,5 15  x  5,5  кНм .
Анализ последнего выражения показывает, что поперечная сила линейно зависит от х, поэтому для построения эпюры Q y достаточно найти ее ординаты в двух граничных сечениях: x  c и
xd.
При x  c, Qy  17,88 кН ; при x  d , Qy  12,12 кН .
В тоже время, изгибающий момент в пределах длины четвертого участка, изменяется по квадратичному закону, поэтому для построения эпюры M x следует определить три-четыре её ординаты:
67
при x  c, M x  17,65 кНм ;
при x  с  0,5  d  c  , M x  7,26 кНм; при x  d , M x  11,88 кНм .
Порядок построения эпюр на других участках выполняется по таким же правилам.
На рисунке 7.6 показаны эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для рассматриваемой балки.
15 кН/м
20 кНм
C
A
RA
D
E
RB
F
K
B
I
II
2
2
III
IV
V
VI
1,5
2
1
2
8,5
17,88
12
Q (кH)
-12,12
-16,12
Mизг (кH м)
-24,0
-32,24
-44,47
Рис. 7.6. Эпюры Q y и M x
Как видно из рисунка 7.6 наиболее нагруженным является сечение балки в котором приложена сосредоточенная сила P1 . В этом сечении изгибающий момент достигает максимальной величины
- 44,47 кН·м.
3. Подбор сечения балки по условию прочности.
Найдем проектировочную величину момента сопротивления сечения балки W из условия
прочности (5.2)
M max 4,447 107 (Н  мм)

 2,779 105 мм3  277,9 см3.
160 (Н/мм2 )
σ
4. Определение прогибов балки и углов поворотов сечений.
Определения прогибов и углов поворота сечений балки, возникающих
при плоском поперечном изгибе, используем метод начальных параметров,
описанный выше.
68
y
s
z
z
y
b
t
По таблице сортамента подбираем двутавр № 24 (рис. 7.7), сечение которого имеет такие основные характеристики: h=24 см, b=11,5 см, S=0,56 см,
Wz = 289 см3, а момент инерции Iz = 3460 см4 = 3460·10-8 м4.
Как уже было ранее упомянуто более полную проверку прочности
балки в опасном сечении (с учетом касательных напряжений) здесь не
рассматриваем.
h
Wz 
b-s
4
Рис. 7.7. Двутавр
При выводе уравнений для конкретного вида изгибаемой балки и схемы её нагружения рекомендуется соблюдать следующие правила:
1. Начало координат выбирают, как и ранее, в крайней левой точке рассматриваемой балки и
делают его общим для всех участков2.
2. Условимся расстояния (абсциссы) до сечений в которых действуют нагрузки обозначать в
таком порядке (рис. 7.4): до сечения с сосредоточенным моментом М – буквой а, до
сечения в котором приложена сосредоточенная сила Р – буквой b, до сечения в котором начинается распределенная нагрузка интенсивностью q – буквой с, до сечения где заканчивается распределенная нагрузка – буквой d. Если на балку действует
несколько повторяющихся нагрузок какого либо вида (М, Р или q), то абсциссы до
них (например, до Р1, Р2 рис. 7.4) обозначаем теми же буквами с соответствующим
индексом - b1, b2, и т.д. Следует учесть, что опорные реакции также должны учитываться как сосредоточенные силы, причем их абсциссы могут обозначаться либо
буквами b, либо буквами, принятыми на схематических рисунках (например, для
реакции RB рис. 7.4 абсциссу можно обозначить буквой l).
3. Знаки слагаемых, в формулах (7.5) и (7.6), определяются по правилу назначения знаков
при построении эпюр изгибающих моментов от соответствующих силовых факторов (рис. 7.2).
4. В случае обрыва распределенной нагрузки (например, в сечении x = d, рис. 7.4) ее искусственно продлевают до конца рассматриваемого участка, а для восстановления действительных грузовых условий вводят «компенсирующую» нагрузку обратного
направления. «Дополнительную» и «компенсирующую» нагрузки будем показывать
на чертежах штриховыми линиями (смотри рис.7.8).
5. Для определения начальных параметров у0 и  0 целесообразно сразу написать уравнение
прогибов для крайнего правого участка (в нашем примере участок VI).
Рассмотрим, как определяются перемещения по методу начальных параметров для заданной
балки.
Запишем уравнение упругой линии для крайнего правого участка балки (участок
VI). Так как распределенная нагрузка обрывается в точке F, продлим ее до конца балки, одновременно вводя компенсирующую нагрузку такой же интенсивности (рис. 7.8).
x
15 кН/м
20 кНм
C
D
RB
E
K
A
RA
I
2
II
2
III
IV
V
VI
1,5
2
1
2
8,5
Рис. 7.8. К выводу уравнения упругой линии
Тогда уравнение упругой линии для рассматриваемого участка ( l x  b2 ) будет иметь
вид
2
3

 x  a   P  x  b1  
x3

R

M

1  A 6
2
6
y ( x)  y0  0  x 
4
4
3

EI
x  c
x  d   R x l 
 q 
q
B
x
24
24
6






l

(7.7)
Q0   RA ; M 0  0.
Можно начало координат выбирать в любом сечении балки, но при этом начальные параметры определяются
именно для этого сечения, а перемещения определяются для сечений, лежащих правее начального сечения.
2
69
Уравнение (7.7) записано с учетом того, что статические начальные параметры нам уже известны:
Для определения геометрических начальных параметров имеем опорные условия:
при x  0 y(0)  y A  0 ,
при x  l y(l )  yB  0 .
Из первого опорного условия следует, что
y0  yA  0 .
Второе опорное условие дает ( E  2 105 МПа  2 108
0  
кН
)
м2
2
3
4
l  a 
 l  b1 
l  c 
l  d  
1 
l3
 P1
q
q
  RA  M

l EI 
6
2
6
24
24 
1

8
8,5  2 10  3460 108
2
3

 6,5
 4,5
8,53
34
1
 20
 34
 15  15   0, 013 радиан.
 16,12
6
2
6
24
24 

Теперь уравнение упругой линии и углов поворота сечений можно записать для любого
участка балки, учитывая формулы (7.5), (7.6) и пояснения к ним. Так, например, для первого участка
( 0  x  a ) уравнения прогибов и углов поворотов будут иметь такой вид:

x3 

16,12

;
6


1
x2 
( x)  0,013 

16,12

.
2 108  3460 108 
2
y ( x)  0,013  x 
1
2 108  3460 108
y, мм
Задаваясь несколькими значениями х на
рассматриваемом промежутке можно построить
упругую линию и углы поворота сечений балки в
виде графиков (рис. 7.9).
Для второго участка ( a x  b1 ) уравнения
прогибов и углов поворотов будут иметь такой
вид:
 x  2
1 
x3
y ( x)  0,013  x 
 16,12  20
2  3460 
6
2
( x)  0,013 
2

;

15
a
а
0
рад

1 
x2

16,12
 20( x  2)  ,

2  3460 
2

и так далее.
0.012
Учитывая современные возможности вычислительной техники все расчеты целесообразно
выполнять на компьютере, используя готовые математические программные продукты, например,
математический редактор MathCad.
На рисунке 7.10 приведены зависимости
прогибов и углов поворота сечений на всей длине
рассмотренной балки, полученные с помощью
упомянутой программы.
5. Проверка жесткости балки.
0.01
б
0
0.5
1
1.5
x, м
Рис. 7.9. Изменение прогиба (а) и угла поворота сечений (б) балки на первом участке
Проверяем пригодность подобранного профиля балки по условию жесткости (формула 5.3).
70
Наибольший (либо наименьший) прогиб балки будет там, где угол поворота сечения   0 .
Положение этого сечения можно найти, приравняв нулю правую часть уравнения (5.5). Однако, имея
график зависимости    ( x) (см. рис. 5.8,б) можно определить значение искомой абсциссы при которой   0 . Из рисунка видно, что   0 , если x  4 м. Воспользовавшись уравнением прогибов для
второго участка и взяв x  b1  4 , получим f max  ymax  32,67 мм.
x, м
x, м
Рис. 7.10. Изменение прогиба (а) и угла
поворота сечений (б) балки по длине
Тогда максимальный прогиб балки в этом сечении будет
f max  32,67
 f 
1
 8,5 103  34 мм ,
250
т.е. жесткость балки в пределах пролета достаточна.
Учитывая, что балка имеет консоль lк  2 м необходимо проверить, не превысит ли прогиб
консоли допустимую величину прогиба:
fк  yxb  28,75 мм ,
2
а допустимый прогиб консоли будет
fдоп  2  lк 
1
1
 2  2 103 
 16 мм ,
250
250
Следовательно, прогиб консоли превышает допустимый, поэтому необходимо взять двутавр
следующего номера (№27) и выполнить повторно требуемые расчеты. Предоставляем курсантам сделать это самостоятельно.
71
Контрольные вопросы к 7 разделу.
1. Что такое прямой изгиб и косой изгиб?
2. Что такое чистый и поперечный изгиб?
3. Какие внутренние усилия возникают в поперечных сечениях бруса в
общем случае действия на него плоской системы сил?
4. Какие правила знаков приняты для каждого из внутренних усилий?
5. Как вычисляется изгибающий момент в поперечном сечении бруса?
6. Как вычисляются поперечная и продольная силы в поперечном сечении
бруса?
7. Какие уравнения используются для определения значения опорных реакций?
8. Как проверить правильность определения опорных реакций?
9. Что такое эпюра поперечных сил, эпюра продольных сил и эпюра изгибающих моментов? Что представляет собой каждая ордината этих эпюр?
10.В каком порядке строятся эпюры Q и М?
11.Почему при построении эпюр Q и М для балки, заделанной одним концом, можно обойтись без определения опорных реакций?
12.Чему равна поперечная сила в сечениях бруса, в которых изгибающий
момент достигает экстремальных значений?
13.Как меняется поперечная сила в сечении, в котором к балке приложена
сосредоточенная внешняя сила, перпендикулярная оси балки?
14.Как меняется изгибающий момент в сечении, в котором к балке приложен
сосредоточенный внешний момент?
15.В какую сторону обращена выпуклостью эпюра М при распределенной
нагрузке, направленной вниз?
16.Как формулируется гипотеза плоских сечений?
17.Что такое нейтральный слой и нейтральная ось и как они расположены?
18.По какой формуле определяются нормальные напряжения в поперечном
сечении балки при чистом изгибе и как они меняются по высоте балки?
19.Что такое жесткость сечения при изгибе?
20.Что называется моментом сопротивления при изгибе и какова его размерность?
21.По какой формуле определяются нормальные напряжения в поперечных
сечениях балки при поперечном изгибе?
22.Какие перемещения получают поперечные сечения балок при прямом изгибе?
23.Что представляют собой уравнения метода начальных параметров и почему они так называются? Сделайте вывод этих уравнений.
24.Как определяются значения неизвестных начальных параметров?
25.В каком порядке производится определение углов поворота и прогибов
сечений балок методом начальных параметров?
72
Раздел 8. Сложное сопротивление. Изгиб с кручением
8.1. Общие сведения
К сложному сопротивлению относятся те виды деформаций, при которых
в поперечных сечениях стержня одновременно возникают не менее двух внутренних усилий. В общем случае нагружения бруса в поперечных сечениях могут действовать шесть компонентов внутренних сил ( N , M к , M y , M z , Qy , Qz ),
связанных с четырьмя простыми деформациями стержня – растяжением (сжатием), кручением, изгибом и сдвигом. Общее напряженное состояние в любой
точке сечения можно получить суммированием напряженных состояний, вызванных каждым видом простого нагружения в отдельности. Проверка же
прочности данного стержня должна производится по так называемым приведенным (эквивалентным) напряжениям  пр ( э ) , определяемых по той или
иной теории прочности. Общая запись условия прочности при сложном напряженном состоянии имеет вид:
 пр    ,
(8.1)
где  пр - приведенное (расчетное) при сложном напряженном состоянии;
 
- допускаемое напряжение, определяемое при простом растяжении
(сжатии) на образцах из данного материала.
Допускаемое напряжение составляет некоторую долю от опасного для
данного материала напряжения  оп . В качестве опасного напряжения может
быть предел текучести  Т для пластичного материала или предел прочности  в
для хрупкого материала и др. Тогда допускаемое напряжение можно найти так
  
 оп
,
(8.2)
n
где n >1 – коэффициент запаса прочности (назначается в зависимости от степени ответственности рассчитываемого изделия).
В сопромате, чаще всего, используются четыре классических теории
прочности.
Первая теория прочности (I) – теория наибольших нормальных напряжений – основана на гипотезе о том, что опасное состояние наступает тогда, когда наибольшее нормальное напряжение (растяжения или сжатия) достигнет
опасного значения. Напомним, что при сложном напряженном состоянии,
наибольшее положительное нормальное напряжение обозначается как  1 , а отрицательное -  3 .
Условие прочности согласно первой теории будет иметь вид:
I
 пр
 1    ,
(8.3)
или
I
 пр
  3    .
(8.4)
Первая теория прочности справедлива лишь для хрупких материалов
(кирпич, керамика, камень и т.п.).
73
Вторая теория прочности (II) – теория наибольших относительных
удлинений – исходит из гипотезы о том, что разрушение наступает тогда, когда
наибольшая по модулю относительная деформация  max достигнет опасного
значения  оп , а условие прочности запишется в виде
 max    
 оп
.
(8.5)
n
Значение допускаемых деформаций может быть найдено по зависимости
 
(8.6)
   ,
E
где Е – модуль упругости материала.
Используя обобщенный закон Гука можно представить условие прочности через компоненты напряжений в виде:
II
(8.7)
 пр
 1    2   3     ,
где  - коэффициент Пуассона (для стали  = 0,3).
Опыт показывает, что II-я теория прочности дает правильные результаты
лишь для хрупкого состояния материала (например, для чугуна, закаленных легированных сталей и т.п.).
Третья теория прочности (III) – теория наибольших касательных
напряжений.
Согласно этой гипотезе разрушение наступит, если наибольшие касательные напряжения достигают опасного значения, т.е.  max   оп . Условие прочности в касательных напряжениях будет иметь вид:
 max    
 оп
,
(8.8)
n
где   - допускаемые напряжения для материала при срезе.
Так как максимальные касательные напряжения можно определить через
компоненты главных напряжений  max  0,5 1   3  , а  оп  0,5 оп , условие
прочности в приведенных напряжениях можно представить так
III
 пр
 1   3    .
(8.9)
В некоторых случаях, когда в опасной точке напряженное состояние не
одноосное, удобнее определять приведенные напряжения не через главные
напряжения, а через нормальные и касательные напряжения, возникающие в
поперечном сечении стержня. Тогда условия (8.8) и (8.9) будут иметь вид:
 max  0,5  2  4 2    ;
III
 пр
  2  4 2    .
(8.10)
(8.11)
Третья теория прочности применима для многих металлов и сплавов.
Четвертая теория прочности (IV) – энергетическая. Она исходит из
предпосылки о том, что количество потенциальной энергии формоизменения,
накопленной к моменту наступления опасного состояния (текучести материала), одинаково как при сложном напряженном состоянии, так и при простом
74
растяжении. Условие прочности, выраженное через главные напряжения при
объемном напряженном состоянии, будет
1
2
2
IV
 пр

(8.12)
 1   2 2   2   3    3  1     .
2
Для частного случая изгиба с кручением, условие прочности по четвертой
теории, выраженное через нормальные и касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении стержня, имеет вид:
IV
 пр
  2  3 2    .
(8.13)
Четвертая теория прочности наиболее часто используется для материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие (практически все машиностроительные и строительные стали).
Применение гипотез прочности позволяет рассчитывать валы и другие
элементы конструкций, испытывающих совместное действие изгиба и кручения. Влиянием поперечных сил, как правило, пренебрегают, поскольку касательные напряжения вызываемые ими невелики.
Ранее упоминалось, что в общем случае нагружения стержня (пространственный изгиб с кручением) в его поперечных сечениях могут действовать одновременно несколько компонентов внутренних сил, например, изгибающие
моменты ( M y , M z ) относительно осей y (в горизонтальной плоскости) и z (в
вертикальной плоскости) и крутящий момент M к . Складывая геометрически
векторы M y , M z , получаем вектор результирующего изгибающего момента
M рез  M y2  M z2 .
(8.14)
Для круглого сечения нормальные напряжения можно определить непосредственно по результирующему изгибающему моменту:
M
(8.15)
  рез ,
W
где W - момент сопротивления поперечного сечения при изгибе.
Проверка прочности вала в заданном сечении при совместном действии
кручения и результирующего изгиба должна производится на основе какойлибо гипотезы прочности. Например, составим расчетную зависимость по четвертой гипотезе прочности (см. ф-лу 8.13):
2
M 
М 
  2  3 2   рез   3  к     .
 Wp 
 W 


2
IV
 пр
(8.16)
Учитывая, что для круглого сечения (сплошного или кольцевого)
Wp  2W , условие (8.16) преобразуем к виду

IV
пр

2
M рез
 0,75M к2
W
75
   .
(8.17)
Внешне эта формула аналогична расчетной зависимости при простом изгибе, поэтому величину, стоящую в числителе, называют приведенным (эквивалентным) моментом:
2
M пр  M рез
 0,75M к2 .
Для нахождения наиболее нагруженного (опасного) сечения вала строят
эпюры M к , M y , M z и M рез , а иногда и эпюру M пр .
При проектном расчете из формулы (8.17) определяют величину требуемого диаметра сплошного круглого сечения вала через требуемую величину
момента сопротивления (W  0,1d 3  M пр /   ):
d3
M пр
0,1 
.
(8.18)
В некоторых случаях лимитирующим фактором работы вала является
обеспечение требуемой его жесткости на скручивание. Условие жесткости при
кручении имеет вид:
M
(8.19)
о  к  о  ,
GJ p
где о  - допускаемый относительный угол закручивания.
Используя условие жесткости при кручении круглого вала единичной
длины (8.19) и учитывая, что I p  0,1d 4 , запишем:
Mk
Mk

 о  .
GI p G0,1d 4
Тогда, требуемый диаметр по условию жесткости будет
d4
M k 1
.
0,1G о 
(8.20)
Из двух значений диаметра d (по формулам 8.18 и 8.20) принимаем больший,
округляя его до целой величины.
D
d
П р и м е р 8.1.
Два шкива (рис. 8.1) одинакового диаметра D = 55 см, насажены на стальной вал и передают мощность N = 6 кВт при частоте вращения n = 500
об/мин. Натяжение ведущего ремня вдвое
больше ведомого: Т1=2Т2. Определить диаметр
y
T1
вала d из условий прочности и жесткости.
z
Исходные данные:
x
а = 0,4 м, b = с= 0,6 м, допускаемые напряжения
T2
T2
для металла вала -   = 160 МПа; допускаеT1
мый угол закрутки  о   0,7 град/м, модуль
сдвига G  8 104 МПа.
а
b
Рис.8.1. Схема ременной передачи и действия усилий на вал
76
Р е ш е н и е.
Приводим силы натяжения ремней левого шкива Т1 и Т2 к оси вала, как показано на рис. 8.2.
При переносе сил Т1 и Т2 получаем для первого шкива осевую вертикальную (ось y) силу
Pв  T1  T2  1,5T1 ,
приложенную в центре шкива и пару сил, скручивающую вал, с моментом
M k  (T1  T2 ) D / 2 
T1  D
.
4
T1
T2
T2
T1
T2
T1
а
б
Рис. 8.2. Схема приведения сил к оси шкива: а –
приведение силы Т1 ; б – то же для силы Т2
По величине мощности передаваемой шкивами, вычисляем крутящий момент, воспринимаемый валом:
M k  9736
N
6
 9736
 116,83 Н·м.
n
500
Крутящий момент действует только на длине вала, равном расстоянию между шкивами (а+б).
Строим эпюру крутящих моментов (см рис. 8.3).
Определяем натяжения ветвей ремня Т1 и Т2 (с учетом задания):
4M k 4 116,83
T1 

 849,67 H; T2  424,84 H.
D
0.55
y
D
z
d
T1
T2
а
T1
x
T2
b
116,83
Mкр (Н м)
Рис. 8.3. Эпюра крутящих моментов
Силы натяжения ремней для левого шкива действуют в вертикальной плоскости, а для правого – в горизонтальной, поэтому составляем расчетные схемы вала отдельно для горизонтальной и
вертикальной плоскостей (рис. 8.4). В соответствующих местах прикладываем внешние нагрузки (Мк
, Рв , Рг , R Aв , RBв , R Aг , RBг ).
Из условий статики находим:
Pв  Pг  T1  T2  1,5T1  1,5  849,67  1274,5 H.
R =1699,34 Н; RBв =424,83 Н; R Aг = RBг = 637,25 Н.
в
A
77
Строим эпюры изгибающих моментов и вычисляем их ординаты в характерных точках сечений (точки А и С на рис 8.4).
Вертикальная плоскость ( рис.8.4 отсчет x слева):
сечение А:
M z   Pв  a  1274,5  0.4  509,8 H  м;
сечение С: M z   Pв  (a  b)  RAв  b  1274,5 1  1699,34  0,6  254,9 H  м.
Горизонтальная плоскость (отсчет x слева):
сечение А: M y  0;
сечение С: M y  RAг  b  637,25  0,6  382,35 H  м.
Вертикальная плоскость
а
в
Pв
в
RA
Mкр
Mкр
A
B
C
а
RB
b
x
l
Mz (Н м)
б
2
-509,8 1
-254,9
Горизонтальная плоскость
г
в
RA
Mкр
Mкр
A
г
г
Pг
RB
B
C
My (Н м)
1
2 -382,35
509,8
459,5
д
Mрез (Н м)
519,74
470,5
101,18
е
Mпр (Н м)
Рис.8.4. Расчетные схемы вала в вертикальной и горизонтальной
плоскостях и эпюры изгибающих моментов
78
Для построения результирующей эпюры изгибающих моментов Мрез (рис. 8.4,д) вычисляем
ординаты в характерных точках (1 и 2):
M1 рез  M z2  M y2  509,82  0  509,8 H  м ;
M 2 рез  M z2  M y2  254,92  382,352  459,5 H  м ;
Поскольку величина крутящего момента в точках сечений 1 и 2 одинакова (см. рис. 8.3), то
очевидно, что опасным сечением вала будет сечение 1 (или сечение А), для которого и вычислим
приведенный момент по IV теории прочности
M пр  M12рез  0,75M к2  509,82  0,75 116,832  519,74 H  м ;
Для наглядности характера изменения приведенного момента по длине вала построена его
эпюра (рис 8.4,е).
Теперь можно определять диаметр вала по двум условиям.
По условию прочности вала при сложном нагружении:

M пр
W
   ,
откуда можно найти необходимый диаметр вала (учитывая, что W  0,1d 3 )
d3
10  M пр
 
3
10  519,74 103 H  мм
 31,9 мм.
160 H / мм2
По условию жесткости вала на кручение:
Поскольку допускаемый погонный угол закрутки в условии задачи выражен в градусах, то определим
допускаемую величину угла [  o ] для единичной длины (1 мм), в радианах:
о   0,7  103 /180  1,22 105 рад / мм
о 

l

Mk
  о ;  d 
GI p
4
M kl
116,83 103 1
4
0,1G  о 
0,1  8 104 1, 22 105
d  33,07 мм.
Таким образом, диаметр вала будет определяться его жесткостью. Округляем величину 33,07
до ближайшего стандартного размера диаметра: d  34 мм.
79
Контрольные вопросы к 8 разделу.
1. Как находятся опасные сечения бруса круглого сечения при изгибе с
кручением?
2. Какие точки круглого поперечного сечения являются опасными при изгибе с кручением? Какое напряженное состояние имеет место в этих точках?
3. Как находится величина приведенного момента (по различным теориям
прочности) при изгибе с кручением бруса круглого сечения? Сделайте
вывод соответствующих формул.
4. Какие точки бруса круглого поперечного сечения являются опасными при
растяжении (или сжатии) с кручением?
5. Как ведется расчет на прочность бруса круглого сечения при кручении с
растяжением (или сжатием)?
6. Как рассчитывается на прочность брус круглого сечения при изгибе с
кручением и растяжением (или сжатием)?
Литература
1. Писаренко Г.С. Сопротивление материалов. Учебник для вузов. / Г.С.
Писаренко, В.А. Агарев, А.Л. Квитка В.Г., В.Г. Попков и др.; Под ред.
Г.С. Писаренко. – К..: Вища школа,1986. –775 с.
2. Писаренко Г.С. Справочник по сопротивлению материалов / Г.С. Писаренко, А.П. Яковлев, В.В. Матвеев– К.: Наукова думка, 1975. – 704 с.
3. Сопротивление материалов. Решение задач с применением ЭВМ и элементов САПР: Учеб. пособие для техн. вузов / А.Н. Мелекесцев, В.Ю. Бутенко, Н.И. Голенко и др. Под ред. А.И. Мелекесцева. – Харьков: Изд-во
“Основа” при Харьк. ун-те, 1991. – 160 с.
4. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. Учебник для вузов. / В.И.
Феодосьев. – М.: Наука, 1986. – 512 с.
5. Ободовский Б.А Сопротивление материалов в примерах и задачах / Б.А
Ободовский, С.Е. Ханин. – Харьков: Харьковский университет, 1971. –
383 с.
6. Фесик С.П. Справочник по сопротивлению материалов / С.П. Фесик. – К.:
Будiвельник, 1982. –280 с.
7. Кинасошвили Р.С. Сопротивление материалов / Р.С. Кинасошвили. – М.:
Физматгиз,1960. – 388 с.
8. Ицкович Г.М. Сопротивление материалов / Г.М. Ицкович. – М.: Высшая
школа, 1982. – 383 с.
80
Приложения
81
12
d1=75
d2=200
Ìàòêàä-ïðîãðàììà äëÿ îïðåäåëåíèå óñèëèé, íàïðÿæåíèé,
ïåðåìåùåíèé è àáñîëþòíûõ óäëèíåíèé ïðè
ðàñòÿæåíèè-ñæàòèè ñòåðæíåé ñ ïåðåìåííûì ñå÷åíèåì.
(Ñòåðæåíü íàãðóæåí òîëüêî ñîñðåäîòî÷åííûìè ñèëàìè)
dx
P2
P1
x
II
I
x
a
l
Ðèñ. 1. Ñõåìà ñòåðæíÿ ïåðåìåííîãî ñå÷åíèÿ
1. Èñõîäíûå äàííûå
Ãåîìåòðè÷åñêèå ïàðàìåòðû, ìì
d1  75 mm d2  200 mm
a  200 mm
  12 mm l  1200 mm
Ñèëîâûå ïàðàìåòðû è ìîäóëü óïðóãîñòè
3
P 1  90 10 N
P 2  200 10
Äèàïàçîí èçìåíåíèÿ
õ, ìì
3
5
E  2 10
N
Ïðèðàùåíèå êàêîãî ëèáî ðàçìåðà , ìì
x  0  l
2. Îïðåäåëåíèå
MPa
  0.01
âíóòðåííèõ óñèëèé â ñòåðæíå
Äèàïàçîí è øàã èçìåíåíèÿ
õ, ìì
x  0  2  l
Èç óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ âíóòðåííèõ ñèë â ñå÷åíèÿõ
çàïèøåì âûðàæåíèÿ äëÿ íîðìàëüíîãî óñèëèÿ â íèõ
82
x íà ó÷àñòêàõ I è II
Ïðîìåæóòî÷íûå
äàííûå
N ( x) 
P 1  P 2 if 0  x  a
N ( 0)  1.1  10
P 1 otherwise
5
N  a     1.1  10
N  a     9  10
4
1 10
5
0
N ( x)
1 10
5
2 10
5
200
400
600
800
1000
1200
x
Ðèñ. 2. Ãðàôèê èçìåíåíèÿ âíòðåííèõ ñèë ïî äëèíå ñòåðæíÿ
"x"
3. Çàâìñèìîñòü øèðèíû è ïëîùàäè ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ ñ êîîðäèíàòîé
x

d ( x)  d2  d1  1    d1 ( mm)
l



F ( x)  d ( x) 
mm2
Ïðîìåæóòî÷íûå
äàííûå
200
d ( 0)  200
150
d ( l)  75
d ( x)
100
F ( 0)  2.4  10
50
0
200
400
600
800
1000 1200
x
Ðèñ. 3. Ãðàôèê èçìåíåíèÿ øèðèíû ñòåðæíÿ
ïî äëèíå
83
F ( l)  900
3
5
3000
2000
F ( x)
1000
0
200
400
600
800
1000
1200
x
Ðèñ. 4. Ãðàôèê èçìåíåíèÿ ïëîùàäè ñå÷åíèÿ
ñòåðæíÿ ïî äëèíå
4. Íàïðÿæåíèÿ â ñå÷åíèè ñòåðæíÿ ñ êîîðäèíàòîé
 ( x) 
"x"
 N 

2
 mm 
N ( x)
F ( x)
Ïðîìåæóòî÷íûå
äàííûå
100
 ( 0)  45.833
50
 ( a)  51.163
 ( x)
  a     41.861
0
200
400
600
800
1000
1200
50
100
x
Ðèñ. 5. Ãðàôèê èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèé
ïî äëèíå ñòåðæíÿ
5. Ïåðåìåùåíèÿ ñå÷åíèé
Äèàïàçîí è øàã èçìåíåíèÿ
ñòåðæíÿ
õ, ìì
x
x  0  1  l
1 
 ( x)    ( x) dx
E 0
( mm)
84
2 ( x) 
 ( l)  100
0.3
 ( x)
0.2
Ïðîìåæóòî÷íûå
äàííûå
0.1
 ( 0)  0
0
200
400
600
800
1000
1200
0.1
 ( a)  0.048
 ( l)  0.265
0.2
x
Ðèñ. 6. Ãðàôèê èçìåíåíèÿ ïåðåìåùåíèé
ñå÷åíèé ïî äëèíå ñòåðæíÿ
6. Àáñîëþòíîå óäëèíåíèå íà ó÷àñòêàõ
è âñåãî ñòåðæíÿ
a
"0...a" , " a...l"
l
1 
l1    ( x) dx
E 0
1 
l2    ( x) dx
E a
Ïðîìåæóòî÷íûå
äàííûå
ls  l1  l2
l1  0.048
mm
l2  0.313
ls  0.265
Âòîðîé âàðèàíò ðàñ÷åòà àáñîëþòíûõ óäëèíåíèé
íà ó÷àñòêàõ I, II, III è âñåãî ñòåðæíÿ
l1   ( a)   ( 0)
ls  l1  l2
l2   ( l)   ( a)
Ïðîâåðêà
l1  0.048
l2  0.313
mm
ls  0.265
85
12
qx
d1=75
dx
d2=200
Ìàòêàä-ïðîãðàììà äëÿ îïðåäåëåíèå óñèëèé, íàïðÿæåíèé,
ïåðåìåùåíèé è àáñîëþòíûõ óäëèíåíèé ïðè ðàñòÿæåíèè-ñæàòèè
ñòåðæíåé ñ ïåðåìåííûì ñå÷åíèåì (ïëàñòèíà).
(Ñòåðæåíü íàãðóæåí òîëüêî ðàñïðåäåëåííûìè ñèëàìè)
x
II
I
a
x
l
Ðèñ. 1. Ñõåìà ñòåðæíÿ ïåðåìåííîãî ñå÷åíèÿ
1. Èñõîäíûå äàííûå
Ãåîìåòðè÷åñêèå ïàðàìåòðû, ìì
d1  75 mm d2  200 mm a  200
  12 mm l  1200 mm
mm
Ñèëîâûå ïàðàìåòðû è ìîäóëü óïðóãîñòè
q0  200
Äèàïàçîí èçìåíåíèÿ
õ, ìì
N
mm
E  2 10
5
MPa
Ïðèðàùåíèå êàêîãî ëèáî ðàçìåðà , ìì
x  0  l
  0.01
Çàêîí è ãðàôèê èçìåíåíèÿ ðàñïðåäåëåííîé ïîãîííîé íàãðóçêè
íà ó÷àñòêå a
" -b", Í/ ìì
   x  a 2 
q ( x)   q0  1  
   if a  x  l
   l  a  
0 otherwise
86
qx
400
q ( x) 200
0
200
400
600
800
1000 1200
x
qx
Ðèñ. 2. Ãðàôèê èçìåíåíèÿ ïîãîííîé íàãðóçêè
2. Îïðåäåëåíèå
ïî äëèíå å¸ ðàñïðåäåëåíèÿ
âíóòðåííèõ óñèëèé â ñòåðæíå
Äèàïàçîí è øàã èçìåíåíèÿ
õ, ìì
x  0  2  l
x íà ó÷àñòêàõ I è II
Èç óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ âíóòðåííèõ ñèë â ñå÷åíèÿõ
çàïèøåì âûðàæåíèÿ äëÿ íîðìàëüíîãî óñèëèÿ â íèõ
 l

N ( x) 
 q ( x) dx if 0  x  a
 0



 l

 q ( x) dx if a  x  l otherwise
 x



Ïðîìåæóòî÷íûå
äàííûå
N ( 0)  2.667  10
N ( a)  2.667  10
N ( l)  0
5
1 10
0
200
400
600
800
1000
2 10
5
N ( x)
3 10
5
4 10
5
5 10
5
x
Ðèñ. 3. Ãðàôèê èçìåíåíèÿ âíòðåííèõ ñèë ïî äëèíå ñòåðæíÿ
87
1200
5
5
Ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ðàñïðåäåëåííîé íàãðóçêè, Í
Ïðîìåæóòî÷íûå
äàííûå
l

Rqx   q ( x) dx
a
5
Rqx  2.667  10 N
"x"
3. Çàâìñèìîñòü øèðèíû è ïëîùàäè ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ ñ êîîðäèíàòîé
x

d ( x)  d2  d1  1    d1 ( mm)
l



F ( x)  d ( x) 
mm2
Ïðîìåæóòî÷íûå
äàííûå
200
d ( 0)  200
150
d ( l)  75
d ( x)
100
F ( 0)  2.4  10
50
0
200
400
600
800
3
F ( l)  900
1000 1200
x
Ðèñ. 4. Ãðàôèê èçìåíåíèÿ øèðèíû ñòåðæíÿ
ïî äëèíå
"x"
4. Íàïðÿæåíèÿ â ñå÷åíèè ñòåðæíÿ ñ êîîðäèíàòîé
 ( x) 
 N 

2
mm


N ( x)
F ( x)
0
200
Ïðîìåæóòî÷íûå
äàííûå
400
600
800
1000
 ( 0)  111.111
 ( a)  124.031
30
 ( x)
1200
 ( l)  0
60
90
120
150
x
Ðèñ. 5. Ãðàôèê èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèÿ
ïî äëèíå ñòåðæíÿ
88
5. Ïåðåìåùåíèÿ ñå÷åíèé
ñòåðæíÿ
Äèàïàçîí è øàã èçìåíåíèÿ
õ, ìì
x  0  10  l
x
 ( x) 
1 
  ( x) dx ( mm)
E 0
Ïðîìåæóòî÷íûå
äàííûå
 ( 0)  0
 ( a)  0.117
0
200
400
600
800
1000
1200
0.1
 ( l)  0.573
0.2
 ( x) 0.3
0.4
0.5
0.6
x
Ðèñ. 6. Ãðàôèê èçìåíåíèÿ ïåðåìåùåíèé
ñå÷åíèé ïî äëèíå ñòåðæíÿ
6. Àáñîëþòíîå óäëèíåíèå (óêîðî÷åíèå) íà ó÷àñòêàõ
è âñåãî ñòåðæíÿ
a
1  N ( x)
l1  
dx
E  F ( x)
0
"0...a" , " à...l"
l
1  N ( x)
l2  
dx
E  F ( x)
a
Ïðîìåæóòî÷íûå
äàííûå
ls  l1  l2
l1  0.117
mm
l2  0.456
ls  0.573
Âòîðîé âàðèàíò ðàñ÷åòà àáñîëþòíûõ óäëèíåíèé
íà ó÷àñòêàõ I, II, III è âñåãî ñòåðæíÿ
l1   ( a)   ( 0)
ls  l1  l2
l2   ( l)   ( a)
Ïðîâåðêà
l1  0.117
l2  0.456
mm
ls  0.573
89
d1
Ìàòêàä-ïðîãðàììà äëÿ îïðåäåëåíèå óñèëèé, íàïðÿæåíèé,
ïåðåìåùåíèé è àáñîëþòíûõ óäëèíåíèé ïðè ðàñòÿæåíèè-ñæàòèè
ñòåðæíåé ñ ïåðåìåííûì ñå÷åíèåì
(êîíè÷åñêèõ)
(Ñòåðæåíü íàãðóæåí òîëüêî ñîñðåäîòî÷åííûìè ñèëàìè)
d2
dx
P2
P1
x
x
a
I
b
II
Ðèñ. 1. Ñõåìà íàãðóæåíèÿ ñòåðæíÿ ïåðåìåííîãî ñå÷åíèÿ.
1. Èñõîäíûå äàííûå
Ãåîìåòðè÷åñêèå ïàðàìåòðû, ìì
d1  20 mm
d2  50 mm a  600 mm
b  1200 mm
Ñèëîâûå ïàðàìåòðû è ìîäóëü óïðóãîñòè
3
P 1  52 10 N
3
P 2  100 10 N
Ã
Äèàïàçîí
è øàã èçìåíåíèÿ
õ, ìì
E  2 10
  0.01
2. Ïðîäîëüíûå óñèëèÿ â ñå÷åíèÿõ
 P 1  P 2
if x  a
x íà ó÷àñòêàõ I è II
N2 ( x)  P 1
0 otherwise
3. Îïðåäåëåíèå
N ( x) 
MPa
Ïðèðàùåíèå êàêîãî ëèáî ðàçìåðà , ìì
x  0  0.1  b
N1 ( x) 
5
óñèëèé â ñòåðæíå ïî âñåé äëèíå
N2 ( x) if a  x  b
N1 ( x) otherwise
90
1 10
5
5 10
4
Ïðîìåæóòî÷íûå
äàííûå
N ( 0)  4.8  10
N ( x)
0
5 10
200
400
600
800
1000
1200
N ( a)  4.8  10
4
4
N  a     5.2  10
4
x
N ( b)  5.2  10
4
4
Ðèñ. 2. Ãðàôèê èçìåíåíèÿ âíòðåííèõ ñèë ïî äëèíå ñòåðæíÿ
4. Çàâìñèìîñòü äèàìåòðà è ïëîùàäè ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ â ñå÷åíèè
d ( x) 
d2  d1 ( b  x)
b
 d1
 ( d ( x) )
F ( x) 
4
( mm)
2
"x"
mm2
Äëÿ íàøåãî ñëó÷àÿ (ïîäñòàâèâ ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ)
d ( x)  50  0.025 x
60
40
d ( x)
20
0
200
400
600
800
1000
1200
x
Ðèñ. 3. Ãðàôèê èçìåíåíèÿ øèðèíû ñòåðæíÿ
ïî äëèíå
2000
Ïðîìåæóòî÷íûå
äàííûå
F ( x) 1000
F ( 0)  1.963  10
F ( b)  314.159
0
200
400
600
800
x
Ðèñ. 4. Ãðàôèê èçìåíåíèÿ ïëîùàäè ïîïåðå÷íîãî
ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ ïî äëèíå
91
1000
1200
3
5. Íàïðÿæåíèÿ â ñå÷åíèè ñòåðæíÿ ñ êîîðäèíàòîé
 ( x) 
"x"
 N 

2
mm


N ( x)
F ( x)
Ïðîìåæóòî÷íûå
äàííûå
 ( 0)  24.446
200
 ( a)  49.89
125
 ( x)
  a     54.048
50
 ( b)  165.521
25 0
200
400
600
800
1000
1200
100
x
Ðèñ. 5. Ãðàôèê èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèÿ
ïî äëèíå ñòåðæíÿ
6. Ïåðåìåùåíèÿ ñå÷åíèé
Äèàïàçîí è øàã èçìåíåíèÿ
ñòåðæíÿ
õ, ìì
x
1 
 ( x)    ( x) dx
E 0
x  0  1  b
 ( x)
( mm)
Ïðîìåæóòî÷íûå
äàííûå
0.3
 ( 0)  0
0.2
 ( a)  0.105
0.1
 ( b)  0.179
0
200
400
600
800
1000
0.1
0.2
x
Ðèñ. 6. Ãðàôèê èçìåíåíèÿ ïåðåìåùåíèé
ñå÷åíèé ïî äëèíå ñòåðæíÿ
92
1200
7. Àáñîëþòíîå óäëèíåíèå
íà ó÷àñòêàõ I, II è âñåãî ñòåðæíÿ,
âûðàæåííîå ÷åðåç èíòåãðàëû
a
1 
l1    ( x) dx
E 0
ls  l1  l2
b
1 
l2    ( x) dx
E a
Ïðîìåæóòî÷íûå
äàííûå
l1  0.105
mm
l2  0.284
ls  0.179
Âòîðîé âàðèàíò ðàñ÷åòà àáñîëþòíûõ óäëèíåíèé
íà ó÷àñòêàõ I, II è âñåãî ñòåðæíÿ
Ïðîâåðêà
l1   ( a)   ( 0)
ls  l1  l2
l2   ( b)   ( a)
l1  0.105
l2  0.284
mm
ls  0.179
8. Àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ äëÿ ðàñ÷åòà ïåðåìåùåíèé
è óäëèíåíèé íà ó÷àñòêàõ I, II ( ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ )
 1 ( x) 
1
1 
 4 N1 ( x) 


 if 0  x  a

  E 0.025  50  0.025 x 50 
0 otherwise
 2 ( x) 
1
1 
 4 N2 ( x) 


 if a  x  b
  E 0.025  50  0.025 x 35 
 1 ( a)  
0 otherwise
 ( x)   1 ( x)   2 ( x)
Ïðîìåæóòî÷íûå
äàííûå
 1 ( a)  0.105
Óäëèíåíèÿ
ó÷àñòêîâ I è II
 2  a     0.105
 1 ( a)   1 ( 0)  0.105
 2 ( b)   2  a     0.284
 ( a)  0.105
 ( b)  0.179
93
0.3
0.17
 ( x)
0.05
0
200
400
600
800
1000
1200
0.075
0.2
x
Ðèñ. 7. Ãðàôèê èçìåíåíèÿ ïåðåìåùåíèé ïî äëèíå ñòåðæíÿ
(àíàëèòè÷åñêèé âàðèàíò ðàñ÷åòà ïåðåìåùåíèé è óäëèíåíèé)
94
Ìàòêàä-ïðîãðàììà äëÿ ðàñ÷åòà ãåîìåòðè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòê
ïëîñêèõ ñå÷åíèé ìåòîäîì îáõîäà êîíòóðà
1. Èñõîäíûå äàííûå
ORIGIN  1 Îïåðàòîð, çàäàþùèé ñ÷åò äàííûõ ñ 1
N - ×èñëî òî÷åê êîíòóðà
N  26
 0 


 1.97 
 6.4 
 10.65 


 14.24 
 26.67 
 38.81 


 50.78 
 62.64 


 74.43 
 86.14 
 97.8 


109.37 

y 
 120.74 
 107.96 


 95.39 
 82.89 


70.45


 58.09 
 45.8 


33.63


 21.62 


 9.9 
 6.73 
 3.25 


 0.24 
i  1  N
Ïðîìåæóòî÷íûå ðàñ÷åòíûå çàâèñèìîñòè
ki 
( i  1) if i  1
N if i
1
fi  yi  z k  y k  zi F  1 
 i  i
2
N

Êîîðäèíàòû òî÷åê êîíòóðà
çàäàííûå â ìàòðè÷íîé ôîðìå
fi
i1
95
 32.35 


 35.29 
 36.95 
 37.33 


 37.21 
 35.32 
 32.3 


 28.7 
 24.65 


 20.36 
 15.77 
 10.94 


5.87 

z 
 0.0 
 0.59 


 1.99 
 3.64 


5.52


 7.69 
 10.11 


12.98


 16.44 


 21.02 
 22.71 
 25.16 


 28.82 
40
35
30
25
20
15
10
5
0
z
0
20
40
60
80
100
120
140
y
Ðèñ. 1. Êîíòóð ëîïàñòè ðóëÿ ñóäíà, ïðîãðàìíî ïîñòðîåííûé
ïî êîîðäèíàòàì òî÷åê
2. Ðàñ÷åòíûå õàðàêòåðèñòèêè
Êîîðäèíàòû öåíòðà òÿæåñòè ñå÷åíèÿ â íà÷àëüíûõ îñÿõ
yc 
1
6 F
N


1
N
 yi  y k i   fi zc  6 F 
i1

i1
 zi  z k i   fi
Ìîìåíòû èíåðöèè ñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî íà÷àëüíûõ îñåé
Jy0 
1
12
N


i1
  zi 2  zi z  z  2   fi
 k i   k i  Jz0 

N
12 
1

i1
  yi 2  yi y   y  2   fi
 k i   k i 

Öåíòðîáåæíûé ìîìåíò èíåðöèè ñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî íà÷àëüíûõ îñåé
Jyz0 
1
24
N


i1
 yi z k i  2  yi zi  2  z k i  y k i  y k i  zi  fi
Ìîìåíòû èíåðöèè ñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî öåíòðàëüíûõ îñåé
è óãîë íàêëîíà ãëàâíûõ îñåé
2
2
Jy  Jy0  zc F Jz  Jz0  yc F
Jyz  Jyz0  yc  zc F
96
 2 Jyz 
 0  0.5 atan 

 Jz  J y 
Ãëàâíûå öåíòðàëüíûå ìîìåíòû èíåðöèè ñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî îñåé
 2  Jz sin 02  Jyz sin 2 0Jv  Jz cos 02  Jy sin 02  Jyz sin 2 0
Ju  Jy cos  0





Juv  Jyz cos 2  0  0.5  Jz  Jy sin 2  0

180
0   0 

3. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà
F  1.743  103 yc  50.7 zc  18.763
Jyz0  1.282  106
Ju  4.045  104
Jy  1.412  105
Jv  1.544  106
Jy0  7.548  105
Jz  1.444  106
Juv  0
Jz0  5.924  106
Jyz  3.76  105
0  15
Ðèñ. 2. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà ÃÕ ñå÷åíèÿ ëîïàñòè ïî
ìåòîäó îáõîäà êîíòóðà
97
Ðàñ÷åò áàëîê. Îïðåäåëåíèå ïåðåìåùåíèé â
áàëêàõ ïî ìåòîäó íà÷àëüíûõ ïàðàìåòðîâ
y
q
M
a
A
a
b1
c
d
l
RA
á
x
B
b2
15 кН/м
20 кНм
C
D
E
RB
F
A
K
B
I
II
2
2
III
IV
V
VI
1,5
2
1
2
8,5
Ðèñ. 1. Ñõåìà íàãðóæåíèÿ áàëêè (à) è ïðèíÿòûå ðàçìåðû ó÷àñòêîâ â ì. (á)
Èñõîäíûå äàííûå:
Ãåîìåòðè÷åñêèå ïàðàìåòðû
3
a  2 10 mm
b1  4 10
3
3
3
mm c  5.5 10 mm d  7.5 10 mm
3
l  8.5 10 mm
3
b2  10.5 10 mm
Ñèëîâûå ïàðàìåòðû
M  2 10
7
3
H mm P1  34 10 H
q  15
H
mm
3
P2  12 10 H
Îïîðíûå ðåàêöèè
RA 
1 
d  c


 M  P1 ( l  b1)  q ( d  c)  l  d 
  P2 ( b2  l) 
l 
2 


1 
d  c


RB  M  P1 b1  q ( d  c)  c 
  P2 b2
l 
2 


98
Ïðîìåæóòî÷íûå
äàííûå
RA  1.612  10
4
RB  2.412  10
4
H
H
Ïðîâåðêà (ñóììà ïðîåêöèé âñåõ ñèë íà âåðòèêàëüíóþ îñü
äîëæíà áûòü ðàâíà íóëþ)
Ïðîìåæóòî÷íûå
äàííûå
P y  RA  RB  P1  q ( d  c)  P2
P y  0
Äèàïàçîí èçìåíåíèÿ õ, ìì
x  0  b2
Èçìåíåíèå èçãèáàþùèõ ìîìåíòîâ ïî ó÷àñòêàì,
H ìì
Miz ( x) 
RAx if 0  x  a
RAx  M if a  x  b1
RAx  M  P1 ( x  b1) if b1  x  c
2
RAx  M  P1 ( x  b1)  q ( x  c) 0.5 if c  x  d
P2 ( b2  x) if l  x  b2
P2 ( b2  x)  RB ( l  x) if d  x  l
Ïðîìåæóòî÷íûå
äàííûå
 3  4.447  107 H mm
3
7
Miz  8.5 10   2.4  10 H mm
Miz 4 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Èçãèáàþùèé ìîìåíò, Í ìì
1.2
Miz( x) 10
7
2.4
3.6
4.8
6
x10
3
Ðèñ. 2. Ýïþðà èçãèáàþùèõ ìîìåíòîâ â ñå÷åíèÿõ áàëêè
99
11
Èçìåíåíèå ïîïåðå÷íûõ ñèë ïî ó÷àñòêàì, Í
Q ( x) 
Ïðîìåæóòî÷íûå
äàííûå
RA if 0  x  b1
RA  P1 if b1  x  c
 3  1.612  104
3
4
Q  5 10   1.788  10
3
4
Q  8 10   1.212  10
3
4
Q  10 10   1.2  10
Q 2 10
RA  P1  q ( x  c) if c  x  d
P2 if l  x  b2
P2  RB if d  x  l
Ïîïåðå÷íàÿ ñèëà, êÍ
20
10
Q ( x) 10
3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
10
20
x10
3
Ðèñ. 3. Ýïþðà èïîïåðå÷íûõ ñèë â ñå÷åíèÿõ áàëêè
Îïðåäåëåíèå òðåáóåìîãî ìîìåíòà ñîïðîòèâëåíèÿ ñå÷åíèÿ áàëêè
3
7
Miz  4 10   4.447  10
H mm

Miz 4 10
W 
160

Ïðîìåæóòî÷íûå
äàííûå
3
5
W  2.779  10
W 10
Âûáèðàåì øâåëëåð ¹24
W  2.89 10
5
3
mm
7
I  3.460 10 mm
4
Íà÷àëüíûå ïàðàìåòðû ( õ=0)
Q0  RA
M0  0
y0  0
100
E  2 10
5
MPa
3
3
mm
 277.941 cm
3
Íà÷àëüíûé óãîë ïîâîðîòà
  íàõîäèì èç óñëîâèÿ, ÷òî ïðè õ=l, y(l)=0
x  l

1 
x
( x  a)
( x  b1)
( x  c)
 0 
 RA  M 
 P1 
 q
 
E I l 
6
2
6
24

3
2
3
4
4
3

( x  d)
( x  l)
 RB 
  q
24
6

Ïðîìåæóòî÷íûå
äàííûå



 0  0.013 Paä
Óðàâíåíèå ïðîãèáîâ â îáùåì âèäå

1 
x
( x  a)
( x  b1)
( x  c)
y ( x)   0 x 
 RA   M 
 P1 
 q
 
E I 
6
2
6
24

3
2
3
4
4
3

( x  d)
( x  l)
 RB 
  q
24
6




Äèàïàçîí èçìåíåíèÿ õ, ìì
x  0  b2
Óðàâíåíèå ïðîãèáîâ ïî ó÷àñòêàì (ìì)
y ( x) 
3
1 
x 

 0 x 
 R   if 0  x  a
E I  A 6 
3
2
1 
x
( x  a) 

 if a  x  b1
 0 x 
 R   M
E I  A 6
2

3
2
3
1 
x
( x  a)
( x  b1) 
 if b1  x  c
 0 x 
 R   M 
 P1 
E I  A 6
2
6

3
2
3
4
1 
x
( x  a)
( x  b1)
( x  c) 

 if c  x  d
 0 x 
 R   M
 P1 
 q
E I  A 6
2
6
24 

1 
x
( x  a)
( x  b1)
( x  c)
 0 x 
 R A  M 
 P1 
 q
  if d  x  l
E I 
6
2
6
24

3
2
3
4
4


( x  d)
  q

24


3
2
3
4

1 
x
( x  a)
( x  b1)
( x  c)
 0 x 
 R A  M 
 P1 
 q
  if l  x  b2
E I 
6
2
6
24

4
3


( x  d)
( x  l)
 RB 
  q

24
6


101
Ïðîìåæóòî÷íûå
äàííûå
50
y ( 0)  0
25
y( x)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
y ( l)  0
25
y ( b2)  28.754
50
y 4 10

x10
3
Ðèñ. 4. Èçìåíåíèå ïðîãèáà ïî äëèíå áàëêè
Óðàâíåíèå óãëîâ ïîâîðîòà ñå÷åíèé (ðàä.) (Ïåðâûé ñïîñîá ðàñ÷åòà)
 ( x) 
d
y ( x) , ðàäèàí
dx
Óãîë ïîâîðîòà, ðàäèàí
0.02
0.012
 ( x)
0.004
0.004 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
0.012
0.02
x10
3
Ðèñ. 5. Èçìåíåíèå óãëîâ ïîâîðîòà ñå÷åíèé ïî äëèíå áàëêè (ïåðâûé ñïîñîá)
102
  32.676
3
Óðàâíåíèå óãëîâ ïîâîðîòà ñå÷åíèé (ðàä.) (Âòîðîé ñïîñîá ðàñ÷åòà)
 ( x) 
2
1 
x 

0 
 R   if 0  x  a
E I  A 2 

1 
x
0 
 RA  M ( x  a)  if a  x  b1
E I 
2

2
2
2
1 
x
( x  b1) 

 if b1  x  c
0 
 R   M ( x  a)  P1 
E I  A 2
2

0 
2
2
3
1 
x
( x  b1)
( x  c) 
 if c  x  d
 RA  M ( x  a)  P1 
 q
E I 
2
2
6


1 
x
( x  b1)
( x  c)
0 
 RA  M ( x  a)  P1 
 q
  if d  x  l
E I 
2
2
6

2
2
3
3


( x  l)

q



6


2
2
3

1 
x
( x  b1)
( x  c)
0 
 RA  M ( x  a)  P1 
 q
  if l  x  b2
E I 
2
2
6

3
2


( x  l)
( x  l)

q


R



B
6
2


 ( b2)  0.022
 ( 0)  0.013
0.02
Óãîë ïîâîðîòà, ðàäèàí
0.01
0
 ( x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0.01
0.02
0.03
3
x10
Ðèñ. 6. Èçìåíåíèå óãëîâ ïîâîðîòà ñå÷åíèé ïî äëèíå áàëêè (âòîðîé ñïîñîá)
103
Александр Никитич Серенко
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
104