Введение

1
Введение
Программа и контрольные задания по курсу высшей математики для
студентов заочного факультета ускоренной формы обучения специальности ПГС и
ЭУП, состоят из пяти разделов: неопределенный, определенный и несобственный
интегралы (контрольная работа №3); кратные и криволинейные интегралы
(контрольная работа №4).
Номер варианта совпадает с последней цифрой зачетной книжки студента.
По второй части курса высшей математики студент сдает экзамен, предъявляя
экзаменатору зачтенные контрольные работы №3, и №4. Работы можно выполнять
в одной тетради.
Программа второго (весеннего) семестра
Неопределенный интеграл. Первообразная и ее свойства. Неопределенный
интеграл и его свойства. Таблица основных формул интегрирования. Непосредственное
интегрирование. Интегрирование по частям и подстановкой. Разложение действительного
многочлена на линейные и квадратные множители. Интегрирование рациональной дроби.
Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Интегрирование некоторых
тригонометрических выражений, универсальная тригонометрическая подстановка.
Понятие о «не берущихся» интегралах.
Определенные и несобственные интегралы. Задачи, приводящие к понятию
определенного интеграла. Определение и свойства определенного интеграла. Формула
Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном
интеграле.
Приближенное
вычисление
определенного
интеграла:
формулы
прямоугольников, трапеций, парабол Симпсона. Приложение определенного интеграла к
задачам геометрии. Несобственные интегралы.
Кратные и криволинейные интегралы. Задачи, приводящие к понятию двойного
интеграла. Определение и свойства двойного интеграла. Двойной интеграл в полярных
координатах. Приложение двойного интеграла к задачам геометрии и механики. Задача,
приводящая к понятию криволинейного интеграла первого рода; его определение,
свойства и вычисление. Задача, приводящая к понятию криволинейного интеграла второго
рода; его определение, свойства и вычисление. Условие независимости криволинейного
интеграла второго рода от пути интегрирования. Формула Грина.
Библиографический список рекомендуемой литературы
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для
втузов.
Ч.1,2. – М.: Наука, 2001. – 432 с.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах. Ч. 1. – М.: Высшая школа, 1999. – 352 с.
3. Шипачев В.С. Курс высшей математики: Учеб./ Под ред. А.Н. Тихонова. – М.:
ПБОЮЛ М.А. Захаров, 2002. – 600 с.
4. Неопределенный и определенный интегралы: Метод. указания и
задания по математике/ Воронеж. гос. арх.–строит. ун–т; Сост.: В.С.
Муштенко, Л.В. Стенюхин, Л.В. Акчурина, Е.В. Богачева.–Воронеж,
2003. – 46 с.
2
Контрольная работа № 3
1 – 10. Найти неопределенные интегралы. В п. а) и б) результаты проверить
дифференцированием.
x 2  5dx ;
x
1. a)
cos 3 x  sin xdx ;
г)

ж)
 x 2  x dx ;
x 1
x
2. а)
2  3 x dx ;
2
x2
г)

ж)
xdx
 3x 2  2 x  4 dx ;
3. а)  x
г)
dx ;
3x 2  1
2
2  3 x 3 dx ;
xdx
 x 2 1 ;
dx
4. а) 
;
x ln x

x2
1  x2
xdx
е)  ln xdx ;
д)  x COSxdx ;
з)
5x  1
 3x 2  2 x  1 dx .
x 2 dx
б)  3
dx ;
x 2
д)
з)
в)  cos(1  4 x)dx ;
 x  ln xdx ;

е)
2 x  1dx
5  3x  2 x 2
x2
з)


в) 
dx
;
3  5 cos x
3x  5
x  4x  5
2
xdx
1  x4
 xe
;
д)  arctgxdx ;
x
dx ;
dx .
б)  e xdx ;
б)
dx ;
в)  sin 1  3x dx ;
 1  3x 2 dx ;
д) 
x2  1
ж)  2
dx ;
x x
г)
б)
е)
ln x
dx ;
x
x
2
 e x dx ;
dx .
e
2x
dx
;
2x
в)

е)
 x3  x ;
dx
3
x3
ж)  2
dx ;
x 1
г)
xdx

5. а)
1  2x2
 x2
x
;
dx ;
x3  1
ж)  2
dx ;
x x
xdx
;
x2  3
6. а) 
г)  arcsin xdx ;
ж)
7. а)
dx
 x2  2x  2 ;
xdx

1 x
2
;
з) 
x3
dx .
2
5x  8x  4
б) 
2x  2
dx ;
x2  2x
д)
 x  arctgxdx ;
з)
 1  3x  x 2 dx .
в) 
dx
;
x 3 x
 xe
е) 
arctgx
dx ;
1  x2
д)
3x
dx ;
з)  sin 5x  cos xdx .
x2
dx ;
б)  3
x 1
 sin xdx ;
x
xdx
;
x 2  3  x  1
з)
2x  2
 2 x 2  2 x  1 dx .
8. а)
г)

xdx
 1  x2 ;
б) 
x2
 x 2  1dx ;
д)
ж) 
dx
;
5  3 cos x
е)  x  sin(5x 2  4)dx ;
б)  tgxdx ;
д)

dx
;
1  4x2
2x  1
г)  sin x  cos2 xdx ;
ж) 
в) 
2
ln x
dx ;
x
 x  arctg 2 xdx ;
з) 
dx
.
3 x  2
в)  ctg2 xdx ;
е)  ( x  1)  32 x dx ;
в) 
3x  5
x  4x  5
2
е)  cos 2 xdx ;
dx ;
4
9. а)
г) 
ж) 
10. а)
 
xdx
 1  2x2 ;
x2
1  2x2
dx ;
2x  3
dx ;
x( x  1)x  2
sin xdx
 cos 2 x
;
3 x
dx ;
г) 
1  2x2
ж) 
xdx
;
x ( x 2  1)
б)  x 4  cos x5 dx ;
в)  ctg5 xdx ;
д)  cos2 xdx ;
е)  x  1  2 x dx ;
з) 
б)
xdx
.
x2  4x  5
 x  cos1  x
2
dx ;
д)  ( x  4)  sin xdx ;
з)
в)  e
е)
x  1
 x 2  6 x  13dx .
11-20. Вычислить определенные интегралы.
3
11. а)  x ln x  1dx ;
12. а)  x  e

x
2 dx ;
xdx
3
x2  1
б) 
2
0
8
.
x 1 1
8
 x  1  1 dx .
3
б)
2

2
13. а)
 x  cos xdx ;
1
dx
.
x

4x

5
0
б) 
0

14. а)
 x  sin xdx ;
2
2 ln 2
б)
0
1
2
15. а)
 arccos 2 xdx ;

б)
1
2

2
16. а)   x   cos xdx ;
0
б)
2
dx
 ex 1.
ln 2
5
dx
5
xdx
.
x4
 2 x  3x  1 .
0

0
2 x 5

dx ;
x
5
 x  e dx ;
5
0
17.
а)  x  e
2 x
4
б)
dx ;
1
2

18.
dx
 1  2x  1 .
0
ln 3
а)  x  sin x  cos xdx ;
б)

dx
 e x  e x .
ln 2

8
19.
а)  sin x  sin 3xdx ;
1
б)  arctg x dx .
0
0

ln 2 x
а)  2 dx ;
1 x
e
20.
2
б) 

4
dx
.
1  cos2 x
21-30. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.

21.
1
xdx
а) 
;
4
16x

1
0
б)

22.
23.
а)
16x  1
16x  1
4
0
25.
а)


xdx
x
2
б)
;
x  6x  9
2
б)
;
e3 
 x2
0
3
xdx
1

1
2
4

dx
1
x dx


а)
б)
3
0
24.
3
16 xdx
а) 
;
4
16
x

1
0

dx
 3 2  4x .
0
3
1
.
1
x.
dx
3  x 
5
.
ln3 x  1
.
3
x

1
1
1

43
б)
;

3

26.
а)
3
0

27.
а)
4
0
x 2 dx
x
3
8
1

4
б)
;
1
4
1
xdx
16  x 
2 5
dx
 20 x 2  9 x  1 .
;
б)
ln 2dx
 1  x  ln 2 1  x  .
1
2
6

28.
xdx

а)
x 2  4x  1
4
ln 3
;
б)

29.
dx
а) 
;
2

x

4x

5
1


dx
.
x
x
ln 2 e  e

1
б)
xdx
 1  x4 .
0


30.
6
xdx
а)  2
;
x

4x

5
1
б)
6
0
cos 3x
1  sin 3x 
5
.
31-40. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в
декартовой системе координат. Сделать чертеж.
31. y  x ; y  3  2 x .
32. y  x ; y  4 x  3 .
x2
5
33. y 
; y   2.
2
2
34. y  x ; y  6  5x .
x2
x
35. y 
; y   3.
2
2
36. y  2 x 
37. y  3x  x; y  4 x .
38. y  2 x  x; y  3x .
39. y  3x  2 x; y  4 x .
40. y  5x  3x ; y  2 x .
2
2
2
2
2
x
5
; y  x.
2
2
2
2
2
41-50. Вычислить объем тела, полученного при вращении фигуры, лежащей в
плоскости XOY и ограниченной заданными линиями, вокруг оси ОХ.
Сделать чертеж.
41. y  2 x  x 2 ; y  x.
42. y  2 x  x 2 ; y  0.
43. y  4 x  2 x 2 ; y  0.
44. y  4 x  2 x 2 ; y  x.
45. y  3x  x 2 ; y  0.
46. y  3x  x 2 ; x  1.
47. y  4 x  x 2 ; y  2 x.
48. y  2 x ; x  2.
49. y  3x 1; x  1.
50. y  sin x; x 

2
, x  0.
51-60. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в полярных
координатах или в параметрической форме.
51. x  2 cos t , y  2 sin t .
3
3
7
52. x  2cos t  t sin t , y  2sin t  t cos t , 0  t   .
53. x  4 cos t , y  4 sin t .
3
3
54. x  5 cos t , y  4 sin t , 0  t 
2
2

2
.
55. y  9t  sin t , y  91  cos t , 0  t  2 .
56. x  7t  sin t , y  71  cos t , 2  t  4 .
57. x  3t , y  t  t , 0  t  2 .
2
58.   sin
3
3

3
59.   2 sin
3
, 0  

3
60.   6 cos
3

3

2
, 0  
, 0  
.

2

2
.
.
Контрольная работа № 4
1-10. Вычислить двойной интеграл
 f ( x, y) dxdy
по области D,
D
ограниченной указанными линиями:
1) f (x, y)= x2 + y;
2) f (x, y) = xy;
3) f (x, y) = x + y;
4) f (x, y) = x2y;
5) f (x, y) = x3- 2y;
6) f (x, y) = y – x;
7) f (x, y) = 1 + y;
8) f (x, y) = x + y;
9) f (x, y) = x(y – 1);
10) f (x, y) = (x – 2)y;
D : y = x2; x = y2
D : y = x2; y = 2x
D : y2 = x; y = x
D : y = 2 - x; y = x; x = 0
D : y = x2 – 1; x = 0; y = 0
D : y = x; y = x2
D : y2 = x; 5y = x
D : y = x2 – 1; y = - x2 + 1
D : y = 5x; y = x; x = 3
D : y = x; y =2 x; x = 2.
11-20. Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты:
2 x 2
2
11.

 2
dx
( x  y )
dy ;
e
 2 x
2
2
2
0
12.  dx
 3
3 x 2

0
dy
1  x2  y2
;
8
R
13.  dx
0


2
 4 y 2
0
R2  x2
17.  dx
R
R
19.  dx
0
tg x  y
2

1
2
dy ;
x2  y2
 R2  x2
4 y 2
2
15.  dy
R2  x2
1  x 2  y 2 dx ;
2
16.

cos x  y dy ;
2
0
 cos ( x
2
 y ) dy ;
2

dy
R
18.  dx
R
R2  x2
2
 y 2 ) dy ;
0
 2
2
 ln (1  x
0
0
 R2  x2
14.  dx
1 x 2
 2 x 2
R2  x2
 tg ( x
2
 y 2 ) dy ;
0
R
R2  x2
R
 R2  x2
20.  dx
xydy
;
x2  y2

sin x 2  y 2 dy .
21-30. Задачи на применение двойных интегралов
21. Найти центр тяжести плоской фигуры D, ограниченной линиями
y2  ax , y  x.
22. Вычислить центр тяжести полукруга x 2  y 2  a 2 , отсеченного осью
ОХ.
23. Найти площадь фигуры, ограниченной линией   3(1  cos ).
24. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:   2;  cos  1
(вне т.О).
25. Найти площадь фигуры, ограниченной линией   a sin 2 .
26. Найти площадь фигуры, ограниченной линией   2(1  cos ).
27. Найти площадь фигуры, ограниченной линией  2  3 cos 2.
28. Найти площадь фигуры, ограниченной линией   5 cos3.
29. Найти площадь фигуры, ограниченной линией   4 sin 3 .
30. Вычислить момент инерции фигуры, ограниченной линиями: x = 2 ,
y = x2, y = 0 относительно оси OY.
31-40. Вычислить криволинейные интегралы 1-го рода (по дуге).
31.
 (2 z 
L
x 2  y 2 ) dl , где L – дуга кривой:
x  t cos t; y  t sin t; z  t; 0  t  2 .
32.  ( x 2  y 2 ) dl, где L – дуга окружности x2+y2=4.
L
33.

LOB
B(2, 2).
dl
, где LOB – отрезок прямой, соединяющей точки O(0, 0) и
8  x2  y2
9
34.  (43 x  3 y ) dl, где LАB – отрезок прямой AB: A(-1,0); B(0,1).
LAB
dl
, где LАB – отрезок прямой, заключенной между точками
5
(
x

y
)
L
A(0, 4) и B(4, 0).

ydl
36.  2
,
где
L
–
дуга
кардиоиды


2
(
1

cos

)
0



.
2
x  y2
L
35.

AB
37.  y dl, где L – дуга астроиды x = cos3t, y = sin3t, заключенной между
LAB
точками A(1, 0); B(0, 1).
dl
1
, где L – отрезок прямой y  x  2 , соединяющий точки
38. 
2
L x  y
A(0, -2) и B(4, 0).
39.  ( x 2  y 2  z 2 ) dl, где L – дуга кривой
L
x  cos t ; y  sin t ; z  3t ; 0 t  2 .
y

40.  arctg dl , где L – дуга кардиоиды:   (1  cos ) ; 0    .
x
2
L
41-50. Вычислить криволинейные интегралы II рода (по координатам)
41.
 (x
2
 2 xy) dx  ( y 2  2 xy) dy, где LАB – дуга параболы y = x2 от точки
LAB
A(-1, 1) до точки B(1, 1).
x 2 dy  y 2 dx
42.  3 5
, где LАB – дуга астроиды: x = cos3t; y = sin3t от точки
5
3
x  y
L
A(2, 0) до точки B(0, 2).
43.  ( x 2  y 2 ) dx  2 xy dy, где LOА – дуга кубической параболы y = x3 от
AB
LOA
точки О(0, 0) до точки А(1, 1).
44.  ( x  2 y)dx  ( x  y)dy, где L – окружность x = 2cost; y = 2sint, при
L
положительном направлении обхода.
45.  ( x 2 y  x)dx  ( y 2 x  2 y)dy, где L – дуга эллипса: x = 3cost; y = 2sint,
L
при положительном направлении обхода.
46.  ( xy  1)dx  x 2 ydy, где LAB – дуга эллипса:
x  cost;
y  2 sin t от
L AB
точки A(1,0) до точки B(0,2).
47.  2 xydx  x 2 dy, где LOAB – ломанная OAB: O(0,0); B(2,0); A(2,1).
LOBA
10
48.  ( x 2  y 2 )dx  xydy, где LAB – отрезок прямой AB: A(1,1); B(3,4).
L AB
 cos ydx  sin xdy,
49.
L AB
где
LAB
–
отрезок
прямой
A(2 ,2 ); B( 2 ,2 ).
ydx  xdy
50. 
, где LAB – отрезок прямой AB: A(1,2); B(3,6).
2
2
x

y
L
AB
AB: