Глава 4. Тригонометрические функции.

государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
(ССУЗ)
«Златоустовский индустриальный колледж им. П.П.Аносова»
Сборник задач
по математике
для 1 курса
Предисловие:
В настоящее время математика и ее методы широко
используются при решении научно-технических проблем.
Математические
планирования
методы
позволяют
производства
и
решать
проблемы
расшифровать
древние
рукописи, организовывать движение транспорта и запускать
космические корабли.
Математика является одной из таких наук, развитие
которой служит необходимым условием ускорения научнотехнического прогресса и повышения эффективности других
наук. Использование ЭВМ открыло невиданные возможности
при решении не только задач, связанных с огромными и
сложными
вычислениями,
но
и
логических
задач
–
управления различными процессами, поэтому с каждым
годом
увеличиваются
математически
потребности
образованных
производства
специалистах,
в
владеющих
современными методами управления, планирования и учета.
Основная задача предмета «Математика» для средних
специальных учебных заведений состоит в том, чтобы
вооружить студентов основами математических знаний,
2
умений
и
навыков
в
объеме,
необходимом
для
их
повседневной практической деятельности, для усвоения
общетехнических и специальных предметов, а так же для
дальнейшего
повышения
квалификации
путем
самообразования.
Данное
учебное
пособие
содержит
основной
теоретический материал, дифференцированно подобранные
упражнения: для устной, самостоятельной работы, задания
под
чертой
повышенной
сложности,
которые
можно
использовать для подготовки к олимпиадам.
В
каждом
теоретические
параграфе
сведения,
приводятся
состоящие
из
необходимые
определений,
основных математических понятий, свойств. Для лучшего
усвоения материала в теории рассматриваются алгоритмы
решения ключевых задач сопровождающихся подробным
решением. Так же приводятся таблицы, иллюстрации,
графики,
что
способствует
наглядности
изучаемого
материала.
Учебное пособие предназначено для студентов всех
специальностей 1 курса средне специальных заведений и
преподавателей математики.
3
Оглавление
Глава 1. Уравнения и системы уравнений ................................ 6
§1. Действительные числа. Погрешности приближённых
вычислений. .............................................................................6
§2. Иррациональные уравнения ...........................................13
§3. Определители. .................................................................16
§4. Системы уравнений ........................................................24
§5. Неравенства .....................................................................31
Глава 2 Функции. Последовательности. Пределы. ............... 37
§6. Числовые функции ..........................................................37
§7. Числовые последовательности ......................................41
§8. Предел последовательности. Предел функции ............44
§9. Преобразования графиков ..............................................51
Глава 3. Степени и логарифмы ................................................ 56
§10. Степени и корни ............................................................57
Свойства степеней .............................................................58
§11. Показательная функция ................................................62
§12. Показательные уравнения. ...........................................65
Показательные неравенства .................................................65
§13. Логарифм. Свойства логарифмов ................................71
§14. Логарифмическая функция ..........................................75
4
§15. Логарифмические уравнения и неравенства ..............76
Глава 4. Тригонометрические функции. ................................ 85
§16. Тригонометрические функции числового аргумента.85
§17. Тригонометрические тождества ..................................86
§18. Тригонометрические функции ....................................94
§19. Обратные тригонометрические функции ...................96
§20. Тригонометрические уравнения ...............................100
Глава 5. Производная. ............................................................. 109
§21. Формулы и правила вычисления производных. ......109
§22. Геометрический смысл производной........................116
§23. Исследование функций...............................................120
§24. Наибольшее, наименьшее значения функции. .........130
§25. Физический смысл производной. ..............................134
Глава 6. Первообразная. Интеграл......................................... 138
§25. Первообразная. Неопределённый интеграл .............138
§26. Определённый интеграл .............................................145
§27. Геометрический смысл определённого интеграла ..147
Ответы. .................................................................................152
Литература. ..........................................................................166
5
Глава 1. Уравнения и системы уравнений
§1. Действительные числа. Погрешности приближённых
вычислений.
Прежде, чем изучать новые, комплексные числа, давайте
вспомним числа, которые мы знаем. Самые простые числа —
это натуральные, они обозначается буквой N:1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
С помощью этих чисел мы считаем разные объекты.
Натуральные числа мы можем складывать и умножать.
Целые числа, обозначаемые Z, расширяют множество
натуральных чисел — добавляют нуль и отрицательные
числа. Наличие отрицательных чисел позволяет нам вычитать
любое число из любого, тогда как «живя» в натуральных
числах, при вычитании мы должны были всегда следить,
чтобы из большего вычиталась меньшее. Вот примеры целых
чисел:
Чтобы рассматривать части целого (например, три восьмых
от пирога), были придуманы дробные числа Q. Их так же
называют рациональными:
Кроме сложения, вычитания, умножения рациональные числа
можно делить друг на друга и снова получать рациональное
6
число (конечно, на ноль делить при этом нельзя). Следующее
множество чисел, расширяющее множество рациональных
чисел — это
действительные (вещественные) числа
R.
С
Комплексные числа: +, -,
, ,
любые длины,  1 .
Действительные числа: +, -,
R
, ,
любые длины.
Q
Рациональные числа: +, -, , .
Z
Целые числа: +, -,  .
N
Натуральные числа: +,  .
Представление «числовой осью»:
Кроме корней натуральных чисел и, вообще, корней
различных многочленов с целочисленными коэффициентами
действительные числа содержат бесконечное множество
трансцендентных чисел. Например, число
7
, равное
половине
длины
трансцендентным
единичной
числом.
окружности,
Число 2
2
также
является
является
трансцендентным. Трансцендентные числа — это числа,
которые не являются корнями никакого многочлена с целыми
коэффициентами.
Существует еще одно расширение чисел — комплексные
числа.
В комплексных числах можно брать корни из отрицательных
чисел. Комплексные числа хороши еще тем, что любой
многочлен имеет среди этих чисел корень. Например,
уравнения
не имеют
корней
в
действительных
числах,
зато
в
комплексных числах имеют.
Число
i  1
называется
мнимой
единицей.
Можно
рассматривать мнимую единицу как формальный объект,
который имеет следующее свойство:
узнаете на втором курсе.
8
Но об этом вы
Представления рациональных чисел десятичными
дробями
Любое
целое
число
можно
представить
в
виде
обыкновенной дроби со знаменателем, равным единице:
3
5
3 , 5 
.
1
1
Число 0 можно представить в виде обыкновенной дроби с
числителем, равным нулю: 0 
0 0 0
   ... .
1 2 3
Если знаменатель обыкновенной дроби есть степень числа 10
(либо разложение знаменателя на простые множители
содержит
только 2 и 5), то эту дробь можно представить в виде
конечной
десятичной дроби:
7
293
 0,7;
 2,93;
10
10
17
 0,85;
20
 13
 0,104 .
125
Если знаменатель обыкновенной дроби содержит в себе
какие- либо простые множители, отличающиеся от 2 и 5,
то такая дробь не обращается в конечную десятичную:
11 11

 0,52389...;
21 3  7
17
17
 2
 0,2648... .
63 3  7
9
Периодические дроби
Определение: Бесконечная десятичная дробь, у которой одна
или несколько цифр неизменно повторяются в одной и той же
последовательности, называется периодической десятичной
дробью, а совокупность повторяющихся цифр
называется
периодом этой дроби.
Чистые периодические:
3,17171717… = 3,(17);
-
0,33333…=-0,(3).
Смешанные периодические: 0,231919…=0,23(19);
-15,38282…=-15,3(82).
Теорема: Каждое рациональное число можно представить в
виде бесконечной периодической десятичной дроби.
Примеры:
7
 0, (63),
11
8
10
 0,5(3), 1  1, (30) .
15
33
Обращение чистой периодической десятичной дроби в
обыкновенную.
Чтобы обратить чистую периодическую десятичную дробь в
обыкновенную, нужно её период сделать числителем, а в
знаменателе записать цифру 9 столько раз, сколько цифр в
периоде:
0, (7) 
7
,
9
3,05  3
5
237 79
, 0, (237) 

.
99
999 333
10
Обращение смешанной периодической десятичной дроби в
обыкновенную.
Чтобы обратить
смешанную периодическую десятичную
дробь в обыкновенную, достаточно из числа, стоящего до
второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода,
и полученную разность взять числителем, а знаменателем
написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, со
столькими нулями, сколько цифр между запятой и периодом.
0,5(3) 
53  5 48 8

 ,
90
90 15
0,3(45) 
345  3 342 19


990
990 55
2 способ:
Пример 1:
Найти рациональное число, представлением
которого является дробь 0,(7).
Обозначим искомое рациональное число через х,
x  0, (7)  10
10 x  7, (7)
7
9
9x = 7  x  .
Пример 2.
Представьте в виде десятичной дроби число
1,2(3).
11
x  0,2(3)
10 x  2, (3) из второго равенства вычтем первое, получим:
100 x  23, (3)
90х=23-2
90х=21 x 
21 7

90 30
Следовательно, 1,2(3)  1  x  1
7 37

30 30
Упражнения:
№1.1
Какие
из
следующих
обыкновенных
дробей
представимы конечными десятичными дробями:
1 10 17 20 27
,
,
,
,
7 13 20 17 125
№1.2 Представьте в виде конечных или бесконечных
десятичных дробей следующие рациональные числа:
1)
1
,
9
4
,
9
3
2 13
, - ,
60
3 50
2)
7
,
30
11
,
3
13
13 11
,
,
60
11 13
№1.3 Найдите рациональные числа:
1) 0,(51); 1,(13); -0,(25); 2,(125); - 0,(113);
2) 0,3(51); 2,1(23); 0,2(125); - 1,31(12); 1,25(13).
№ 1.4
Найдите погрешность и абсолютную погрешность
приближённого значения а величины x, если:
а) x =
5
;
3
а = 1,6 ;
б) х = -
12
5
;
3
а = - 1,66 ;
в) x =
3
;
11
а = 0,273
г) x =
3
;
11
а = 0,2727
№1.5 Определите точность приближённого равенства x  а,
если :
x= 1,3156… ;
1)
а= 1,23
2) x=0,12765 …;
а= - 0,127
№1.6 Найдите относительную погрешность приближенного
значения а величины x из упр.1.4
№1.7 Округлите с недостатком и избытком до тысячных,
сотых и десятых следующие десятичные дроби:
а) 0,3253;
б)1,23789;
в) 24,00391;
г) – 3,7426.
№1.8 Найдите сумму x+y, если :
а) x= 7,8  0,05 ,
y = 3,4  0,05
б) x = - 2,6  0,01 y = 1,5  0,02
в) x = 1,25  0.05
y = 1,02  0.02
г) x = 7,1
y = 6,2
 0.18
 0.02
§2. Иррациональные уравнения
Определение: Уравнения, в которых переменная содержится
под
знаком
корня,
иррациональными.
1 способ решения иррациональных уравнений:
13
называется
Алгоритм:
1. Найти ОДЗ в уравнениях с корнями чётной степени.
2. Возвести обе части уравнения в степень корня.
3. Решить получившееся рациональное уравнение.
4. Записать ответ. (В уравнениях с корнями чётной
степени только корни входящие в ОДЗ).
Пример:
ОДЗ:   2  0,
2  

2

2
  0
  2,

  0
=> Х  0
 2
  2  2
2    2  0
1   2  1,
    2
 1 2
 1  1
  2
 2
x1 не входит в ОДЗ.
Ответ: 2
2 способ решения иррациональных уравнений:
Исключаем 1 пункт из алгоритма. При возведении обеих
частей уравнения в чётную степень возможно появление
посторонних корней. Поэтому следует проверить все
найденные корни подстановкой в исходное уравнение.
Пример:  2  5  1  1  2  0
14
 2  5  1  2  1

2

 5  1  2  1
2
2
 2  5  1  4  2  4   1
4  2  4   1   2  5  1  0
3  3  0
3 2  9  0
или   3  0
3  0
0
3
Проверка: Если   0 , то 0 2  5 * 0  1  1  2 * 0  0 неверно
  3,
то 32  5 * 3  1  1  2 * 3  0 верно
Ответ: 3
Упражнения. №1.9
2) x  6x  1  6
1) x 2  x  1  x
4) x  x  2
7)
Решить уравнения:
5)
x  2  x 8
3) x  6  4  x
6) 2 x  3  x  2
x2  2  x
8) 3 x 3  19  x  1
9) x  6  x  1  2 x  5
10) x  1  2 x  6  6
11) x 2  x  5  x 2  8x  4  5
12) x 
x
x 1
2

35
12
14) 4  x  5  x  3
13) x  1  x  3  x  2  2
15) 5x  1  3x  2  x  1  0
15
17) 3 x  45  3 x  16  1
16) x 1  3 x 2  x 1
18) 4 x  8 x  2  0
19)  2    4   2    1  2 2  2  9
21 2 2  6  2 2 2  3  2  3  12
23) 3
 1  3  1  6 2 1
24)
20) 5
16 5   1 5


 1
16 2
7
7
22) 12      12  64 7 

12
3
5
4
7
2


2
3 2 3
25)   1    3  2   1  3  4  2
26)
3
  5  3   6  3 2  11
Упражнения для самостоятельной работы:
№1. Укажите промежуток, которому принадлежат корни
уравнения: 2 x 2  3x  5  1  x
1) (0;2)
2) (2;5)
3) (-5;-3)
4) (-3;0)
№2. Решите уравнение:
а)


2
x  1  x  1  12  0
б)
x 2  5x  5  x  2
в)
x 4  x 2  11  1  x 2
Ответ: -1
Ответ: нет корней
§3. Определители.
Определение: Квадратная матрица второго порядка это
16
  
числовая таблица вида    11 12  .
 21  22 
Определение: Определителем второго порядка матрицы A
называется число
 11  12
= 11   22   21  12 .
 21  22
Правило: Для того чтобы вычислить определитель второго
порядка, нужно из
произведения элементов стоящих на
главной
вычесть
диагонали,
стоящих на побочной диагонали
Например:
произведение


элементов,
.
24
 2  7  3  4  14  12  2
37
Определение: Квадратная матрица третьего порядка – это
 11  12  13 
числовая таблица вида    21  22  23 
 31  32  33 
a1
b1
c1
Определение: Число a 2 b2 c2  a1 
a3
b3
c3
b2 c 2
b3 c3
 b1 
a2 c2
a 3 c3
 c1 
a 2 b2
a3 b3
называется определителем матрицы третьего порядка.
(Разложение определителя по элементам первой строки).
17
Пример:
2
3 4
1 6
5 6
51
5 1 6  2
 3
 4

3 2
1  2
1 3
1 3  2
 2  (2  18)  3  (10  6)  4  (15  1)  2  (20)  3  (4)  4  16  92
Свойства определителей:
1. Определитель не изменяется, если в нём строки
заменить
на столбцы, а столбцы на строки:
a1 b1
a 2 b2

a1 a 2
b1 b2
2. Если в определителе переставить местами две какиелибо две строки (столбца), определитель
изменит
только знак:
a1 b1
a2 b2

a2 b2
a1 b1
3. Если все элементы строки имеют общий множитель, то
его можно вынести за знак определителя:
ka1 k b1
a2 b2
k
a1 b1
a2 b2
4. Если все элементы какой-либо строки есть суммы двух
слагаемых,
то
определитель
18
равен
сумме
двух
определителей, в одном из которых суммы заменены их
первыми слагаемыми, а во втором – вторыми.
1  1
2
b1  b1
b2

a1 b1
a2 b2

a1 b1
a2 b2
5. Определитель, у которого элементы одной строки
соответственно равны элементам другой строки, равен
нулю.
6. Если
в
определителе
соответственно
элементы
одной
строки
пропорциональны элементам другой
строки, то определитель равен
нулю.
7. Если к элементам какой-либо строки прибавить
соответственно элементы другой строки или числа, им
пропорциональные, то определитель не изменится.
Пример:
1.

325  132
175  60
вынести
из
первого
столбца
общий
множитель 25.
  25 
13  132
из второго столбца общий множитель -12.
7  60
  25  (12) 
13 11
7 5
-300  (135 - 117)= - 300  (65 – 77) = - 300  (-12) = 3600
19
 14 21 28
2.   6  9 12 вынести за знак определителя общий
10 15  20
множитель каждой строки.
2
  7 35
3
4
2  3 4 третью строку прибавим к первой и ко
2 3 4
второй.
0 6
  105  4 0
0
0 разложим по элементам первой строки.
2 3 4
3.
  105  (6) 
4 0
 630  16  10080
2 4
17 29 41
  36  24 60
вынести общий множитель второй строки
20 27 46
и от третьей строки отнять первую
17
29 41
  12  3  2
3 2
5
5
так
как
вторая
одинаковые, то определитель равен 0.
  0.
20
и
третья
стоки
49 37 41
4.   23 37 41 из первой строки вычтем вторую.
95 74 82
26 0
0
  23 37 41 разложим по элементам первой строки.
95 74 82
  26 
37 41
так как элементы строк пропорциональны,
74 82
то он равен 0,
  26  0  0
Упражнения.
№1.10 (Устно) Как изменится определитель второго порядка,
если
а) Поменять местами его строки
б) Поменять местами его столбцы;
в) Поменять местами элементы, стоящие на одной
диагонали
г) Все элементы первой строки умножить на число α
д) Все элементы второго столбца разделить на число
α  0?
№1.11
(Устно) При каких значениях α строки данных
определителей
пропорциональны:
21
а)
1 3
б)
2 
 4
1
2
в)
7
5
 3
г)
0
0
6 
№1.12 Вычислить:
5 2
3 7
1)
2)
1
6) 2
6
4 0
5)
5
0 5
3
3)
4 6
4
3
8
7)
3 0
2 4
4)
2 5
3 4
8)
4 2
3 0
 2 b
b b 2
№1.13 (Устно) Докажите равенство определителей, не
вычисляя их
(воспользуйтесь свойствами).
1
3
3 1 2
2
4 7 11  2
5 10 13
5
1
1
4 6  2
6 11 4
1
2
1
5
3  5  1
1 3
1
3
2
1
4
№1.14 Вычислить определители:
1 2 3
1) 2 3 1
3 1 2
0 2
4) 4
5
7 1
2)
1 2
2
2 3
3
36 12 24
1 1
1 
3 4
3
0
6
22
2 3 4
3) 5 1 6
1 3  2
1 2 3
5) 2  4 1
3 5 2
1
1
3
7)  1
3
6) 1 1 3
0 4 2
2 1 4
1 0 1
8) 2 1 3
5 0 1
1 2
2 5
1  2
2 2
1
9) 1
2
5
3
№1.15 Решить уравнения:
1) x 2 
2x 5
0
3 1
2)
9 5
3 15  x 2

4 x
1
5
3 5 7
x 1 2
x 2
3
x

4
6

0
3)
4) 3 4 5  9 5)  4  2 x 5  0
1 x  3
2 1 x
6
6
7
-------------------------------------------------------------------------------№1.16 Решить уравнения:
1)
2)
x2  3 5
4
1

5x  3
4
2
 7x 
8 3
5 2
3
x2 3 2
x 3
4 3
 2 1 2 
8  0
8 2
2 1
3 1 1
1 2
3). 1 3
3
x2
2
5
1 
3
2

2 4
8
0
4
3 7
23
§4. Системы уравнений
a1 x  b1 y  c1 z  d1 ,

Рассмотрим систему трёх уравнений a 2 x  b2 y  c 2 z  d 2 ,
a x  b y  c z  d .
3
3
3
 3
Определение: Тройка чисел x0 ; y0 ; z 0  называется решением
системы, если при подстановке этих чисел в уравнение
системы вместо x,y, и z получаются верные числовые
равенства.
Метод исключения переменной (подстановки).
 x  2 y  4 z  31,

5 x  y  2 z  29,
3x  y  z  10

z  10  3 x  y
Выразим из третьего уравнения переменную z и подставим её
значение в первое и второе уравнения.
Получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:
 x  2 y  4  (10  3x  y )  31,
раскроем скобки.

5 x  y  2  (10  3x  y )  29.
 x  2 y  40  12 x  4 y  31,
приведём подобные слагаемые.

5 x  y  20  6 x  2 y  29.
24
 11x  6 y  9,

 (2)
 x  3 y  9.
 11x  6 y  9
сложим уравнения

2 x  6 y  18
 9 x  27  x  3
Из второго уравнения найдём переменную
 3  3 y  9,
3 y  9  3,
3 y  12, y  4.
Подставим значения x  3 и y  4 в выражение z
z  10  3  3  4  5
Ответ: 3;4;5.
Метод Крамера.
Рассмотрим систему двух уравнений:
a1 x  b1 y  c1

a2 x  b2 y  c2
Составим определитель из коэффициентов при неизвестных:

a1 b1
a2 b2
 a1b2  a2 b1 -
главный
определитель
системы.
Составим первый вспомогательный определитель системы
25
 x . Для этого столбец коэффициентов переменной х заменим
столбцом свободных членов:  x 
Аналогично
составим
определитель,
заменив
определителя,
y 
x
a1 c1
a2
c2
x
,

y -
c1 b1
c2 b2
второй
второй
столбиком
 c1b2  c2b1
вспомогательный
столбик
свободных
главного
членов:
 a1c2  a2 c1
y
y

- формулы Крамера.
 x  2 y  5
 7 x  3 y  13.
Пример: 
1. Найдём главный определитель
системы  :

2. Найдём вспомогательные
x 
1 2
 3  14  11
7 3
5 2
 15  26  11
 13 3
определители:
y 
26
1  5
 13  35  22
 7  13
x 11
  1,
 11
y  22
y

 2

11
x
3. По формулам Крамера вычислим
неизвестные x и y:
4. Запишем ответ.
Ответ: (1;-2)
Возможны 3 варианта решения системы:
1. Если   0 , то система имеет единственное решение,
которой находится по формулам Крамера.
2. Если   0 и x  y  0 , то система имеет бесконечное
множество решений.
3. Если   0 , и хотя бы один из вспомогательных
определителей отличен от нуля, то система решений не
имеет.
Метод Гаусса (Решение систем линейных уравнений
путём сведения её к треугольной системе уравнений).
 x  3 y  z  6,

2 x  3 y  3z  13,
3x  3 y  z  8.

(-2)
(-3)
27
Сведём систему к треугольному виду, для этого умножим
первое уравнение на (-2) и (-3), и сложим результаты со
вторым и третьим уравнениями:
 2 x  6 y  2 z  12
2 x  3 y  3z  13
 3y  z  1
 3x  9 y  3 z  18
3x  3 y  z  8
 6 y  2 z  10
Умножим второе уравнение системы на (-2) и сложим его с
третьим.
6 y  2 z  2
 6 y  2 z  10
 4 z  12
x  3 y  z  6

(-2)
  3y  z  1
  6 y  2 z  10

 x  3 y  z  6,

  3 y  z  1, -треугольная система.

 4 z  12.

 4 z  12
z  3.
Из третьего уравнения найдём z:
Из
 3y  3  1
второго
 3 y  2
уравнения
y
найдём
2
3
Из первого уравнения найдём x:
x  3
x 1
28
2
3 6
3
y:


Ответ: 1;
2 
;3 
3 
Упражнения:
№1.17 (Устно) Показать, что каждая из систем уравнений
имеет бесчисленное
7 x  y  3,
14 x  2 y  6.
1) 
множество решений.
2 x  3 y  0,
4 x  6 y  0.
2 x  1,5 y  3,
3 y  4 x  6.
2) 
3) 
№1.18 (Устно) Сколько различных решений имеет система.
a1 x  b1 y  0

a 2 x  b2 y  0
если 1)
a1 b1
a2 b2
 0;
2)
a1 b1
a2 b2
0
№1.19 (Устно) Выяснить сколько решений имеет каждая из
данных систем уравнений:
 x  2 y  0,
 x  3 y  0.
1) 
2 x  y  9,
8 x  4 y  36.
4) 
4 x  6 y  5,
 8 x  12 y  10.
2) 
3x  y  6,
6 x  2 y  12.
3) 
 x  y  100,
2 x  3 y  17.
 x  17 y  0,
2 x  34 y  1.
6) 
5) 
№1.20 Решить системы уравнений:
3x  5 y  0
x  y  1
2) 
 15 x  25 y  0
3 y  3x  3
1) 
29
7 x  2 y  16
3,5 x  y  8
3) 
x  2 y  4
3 x  y  3
4) 
№1.21
5 x  2 y  8
8 x  y  3
5) 
 x  y  5
3x  2 y  8
6) 
Решить системы уравнений:
 x  2 y  z  7,
3x  y  z  4  0,


1)  x  2 y  z  4  0, 2) 2 x  y  z  2,
2 x  y  2 z  16  0. 3x  5 y  2 z  7


 x  2 y  2 z  5,  x  2 y  3z  13  0,
3) 2 x  y  z  5, 4) 3x  2 y  2 z  16  0,
7 x  y  z  10.
4 x  2 y  5 z  5  0.


2 x1  3x2  x3  2,

6) 2 x1  x2  4 x3  9, .
6 x  5 x  2 x  17
2
3
 1
 x1  2 x2  4 x3  6,

5) 2 x1  x2  3x3  11,
4 x  x  5 x  9.
3
 1 2
 x1  2 x 2  x3  9,

7) 2 x1  x 2  3x3  13,
3 x  2 x  5 x  1.
2
3
 1
2 x1  x 2  3x3  1,

8)  x1  3x2  2 x3  10,
3x  4 x  x  5.
2
3
 1
№1.22
Решить системы четырёх линейных уравнений с четырьмя
неизвестными:
3 x  4 y  z  u  3,
2 x  y  2 z  2u  9,
1) 
 x  3 y  5 z  4u  2,
4 x  8 y  3z  3u  10.
 x1  x 2
x  x
 1
2
2) 
 x1  x 2
 x1  x 2
30
 x3  x 4  0,
 x3  x 4  0,
 x3  x 4  0,
 x3  x 4  0.
 x1  x 2  3x3  2 x 4  6,

x 2  x3  3x 4  16,

3) 
 x1  2 x 2  x 4  6,
2 x1  3x 2  2 x3  6.
№1.23
 x  2 y  z  8,
 y  3z  u  15,

4) 
4 x  z  u  11,
 x  y  5u  23.
Прямая задана уравнением 4 x  5 y  1  0. Установите,
проходит ли она через точку пересечения прямых, заданных
уравнениями: 2 x  3 y  17  0 и
x  2 y  10  0
№1.24 Решить системы уравнений с параметрами:
2 x  ay  6,
ax  8 y  12.
ax  (a  1) y  0,5,
(a  1) x  ay  a.
1) 
№1.25
2) 
3x  ay  6  a
 ax  3 y  3  2a
3) 
При каких значениях a система
 x  ay  2 z  0,

2 x  y  3z  0,
4 x  y  7 z  0.

имеет единственное решение?
№1.26 При каких значениях a система уравнений
8 x  y  4 z  0,

ax  y  z  0,
 a 2 x  3 y  2 z  0.

имеет бесконечное множество решений?
§5. Неравенства
1.
Линейные неравенства
Определение:
Линейным
неравенством
называется
неравенство вида ax+b  0.
Определение: Решением неравенства называется множество
31
таких значений переменной, которые обращают его
в верное числовое неравенство.
№ 1. Решить неравенство x 
x 1 x  3 x  2


2
4
3
1.Перенесем слагаемые в левую часть
x
x 1 x  3 x  2


0
2
4
3
2.Приведем к общему знаменателю
12 x  6 x  6  3x  9  4 x  8
0
12
3. Приведем подобные слагаемые в
числителе дроби
7x  5
 0 7х–5 >0
12
4. Решим получившееся неравенство
7х>5
x>
5
7
5
7
5.
x
5
7
Запишем ответ
5. Ответ: ( ; +  )
32
2.
Квадратичные неравенства
Определение: Квадратичным называется неравенство вида
ax²+bx+c  0
№ 2. Решить неравенство -3х²+10х-3<0
1. Вводим функцию
у=-3х²+10х-3 квадратичная,
график парабола, «ветви»
направлены вниз.
2. Найдем нули функции
-3х²+10х-3=0
D  10 2  4  (3)  (3)  64
x1 
3.Построим на координатной
x2 
 10  8
3
6
 10  8 1

6
3
плоскости параболу, проходящую
через нули функции
4.Отметим промежутки, на
1
3
которых y<0
Ответ: (; )  (3;)
5. Запишем ответ
33
3. Рациональные неравенства
Определение:
вида
Рациональные
P( x)
P( x)
 0 или
 0,
Q( x)
Q( x)
где
Р(х)
неравенства
и
Q(х)многочлены,
решаются методом интервалов.
№ 3. Решить неравенство
( x  2)  x
0
x5
1. Рассмотрим функцию y 
P( x)
Q( x)
y ( x) 
2. Находим область
( x  2)  x
x5
(х+5)=0
определения данной функции
х= -5
D(у) =  ;  5   5;  
3. Найдем нули функции
(х-2)х=0
х-2 или х=0
3. Отметим на координатной
-
оси Ох
+
5
0
+
2
точки не входящие в D(у) и
нули
у(4)=(4-2)4/(4+5)=24/9 >0
функции. На каждом
промежутке найдем знак
функции.
у(1)=(1-2)  1/(1+5)=(-1)6 <0
у(1)=(1-2)  1/(1+5)=(-1)6 <0
у(-3)=(-3-2)(-3)/(-3+5)=(-5)(-3)/2>0
у(-6)=(-6-2)(-6)/(-6+5)=(-8)(-6)/(-1) <0
34
5. Записываем промежутки, на
По рисунку видим у(х)>0
положительна на которых
для (-5;0)U(2;+  )
функция положительна
для
P( x)
0 и
Q( x)
отрицательна для
P( x)
0
Q( x)
6. Записываем ответ
Ответ: (-5; 0)U(2;+  )
Упражнения:
Решите неравенства:
№1.27 1) 5( x 1)  x(7  x)  x 2 ;
2)
3  2x
5x  2
8 
x ;
5
2
3) ( x  3) 2  x( x  2)  3 ;
x
3
7
x
4) 5   
№1.28 1) x 2  x  6  0 ;
2) x 2  2x  3  0 ;
3) 3x 2 19 x  6  0 ;
5) 2x 2  3x  5  0 ;
8) ( x  4)( x  6)  6( x  6)
№ 1.29 1) (х-1)(х+2)>0;
x 1
 0;
x2
4) x 2  9x  6x ;
6) x( x  5)  2( x 2  2) ;
7) 6x 2  7 x  2  0 ;
4)
4x  1
.
8
2) (х-1)(х+2)≥0; 3) (x2-5x) ≥0;
5)
x2
 0;
x 1
35
6)
x
 0.
x 5
№ 1.30 1)
2x  4
0;
2  x x  3
2)
8 x
 0;
x  6x  1
8
3) x  10x  9  0 ; 4) 2   0 ;
5 x
x
5)
x  2  x  0 .
x 1
№1. 31 Вычислить сумму всех натуральных решений
неравенства:
x2
 0.
x  53x  12
_____________________________________________________
Решите неравенства:
№ 1.32
1) (x2-1)(x+3)<0;
2) (x-3)2(x2-25)≥0;
2
4) x  x 12  0 ; 5)
x 1
№ 1.33 1).
х ( х  2)  0
x  2 2x  3

;
x  2 4x 1
3) (x+3)(x2-9)<0
2
6) x  4 x 12  0
x2
2). (x2+1)(x2+х+1)(х+5)3 >0
№1.34 Решить неравенства с переменной под знаком
модуля:
2
1) x  2 x  8  5
2
2) x  x  x  1  0
3) 2 x  5  3x  4  2x  4
36
Глава 2 Функции. Последовательности. Пределы.
§6. Числовые функции
Определение.
Переменная
y
называется
функцией
переменной x, если каждому допустимому значению х
соответствует единственное определённое значение у.
Записывается y=f(x).
Множество
всех
значений
х
(аргумента)
–
область
определения D(y).
Множество всех значений у называется множеством значений
функции E(y).
Свойства функций
1) Обратные функции
Обратимая функция, если она имеет обратную.
Графики
взаимно
обратных
функций
симметричны
относительно прямой y=x.
Пример1:
y=x2
и
взаимно обратные функции
37
y= x -
Пример2. Функции y=3x+4 и y= x  4 - взаимно обратные
3
3
(как найдена обратная функция?)
2) Чётные, нечётные функции
Определение. Функция y=f(x) называется
чётной, если для любого х из D (у)
выполняется равенство f(-x) = f(x).
График чётной функции
симметричен
относительно оси Oy.
Определение. Функция y=f(x) называется
нечётной, если для любого х из D (у)
выполняется равенство
f(-x) =- f(x).
График нечётной функции
симметричен
относительно начала координат: точки О
(0;0).
3) Монотонные функции
Определение. Функция y=f(x) называется возрастающей
в промежутке a< x <b, если для любых значений x1 и x2,
38
принадлежащих этому промежутку, при x1 < x2 выполняется
неравенство f(x1) < f(x2).
Определение. Функция y=f(x) называется убывающей в
промежутке a< x <b, если для любых значений x1 и x2,
принадлежащих этому промежутку, при x1 < x2 выполняется
неравенство f(x1) > f(x2).
Как
возрастающие,
так
и
убывающие
функции
называются монотонными.
4) Периодические функции
Определение. Функция называется периодической, когда
существует число l такое, что для любого х из области
определения функции выполняется равенство:
f(x+l) = f(x-l) = f(x)
Упражнения:
1
3
№ 2.1 Найти f(5), f(-1), f( ), если
1) f(x) = x3 ;
2) f(x) = 3x2 -5x +1; 3) f ( x) 
39
x2  4
.
x2
№ 2.2 Установить, какие из данных функций обратимы,
найти обратные функции:
1) y = 3x-2;
2) y 
5
;
x 1
3) y  x 3 ;
4) y  x .
№2.3 Найти область определения функций, заданных
формулами:
1
x2 1
1) y  x  x; 2) y  x  2; 3) y 
; 4) y 
;
x 3
x 1
x 9
x 5
5) y  4  x ; 6) y 
; 7) y 
x 4
x 2  2x  8
2
№2.4 Какие из функций являются чётными, какие –
нечётными?
40
№2.5 Найти промежутки возрастания, убывания функции:
а) y=-x2+6x-8
б) y=x2-4x
№2.6 Доказать, что функции являются чётными:
а) f(x)=3x2+x4
б) f(x)=4x6-x2 +1
№2.7 Доказать, что функции являются нечётными:
а) f ( x) 
x4 1
2x3
б) f ( x) 
3x
x 2
6
§7. Числовые последовательности
Определение. Бесконечной числовой последовательностью
называется числовая функция, определённая на множестве
всех натуральных чисел, т.е. это функция натурального
аргумента.
a1, a2, a3, a4, …, an, …
последовательности,
или
а1, а2, а3,
(an),
...
an – общий член
ап− числа.
Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 11, …, 2n-1, …
Примерами
числовой
последовательности
арифметическая и геометрическая прогрессии:
a, a+d, a+2d, a+3d, …, a+(n-1)d, …
a  aq  aq2  aq3    aqn  
41
являются
Способы задания последовательности
1. Формулой n члена, которая указывает, как по номеру n-го
члена последовательности вычислить его значение an.
Пример. a n 
1
n
1 1
1
1, , ,  , ,  ,
2 3
n
2. Словесно, т.е. описанием её членов.
3. Рекуррентный
правило,
(индуктивный)
позволяющее
способ:
вычислить
указывается
общий
член
последовательности через предыдущие, и задаётся
несколько начальных членов последовательности.
Изображение последовательности
1. На координатной плоскости.
2. На числовой прямой.
Пример:
an 
1
n
Свойства
1. Монотонные последовательности
Последовательность (an) называется возрастающей, если
каждый следующий член больше предыдущего, т.е.
42
а1 < a2 < a3 < …< an < an+1 < … или an+1 > an.
Последовательность (an) называется убывающей, если
каждый следующий член меньше предыдущего, т.е.
а1 > a2 > a3 >…> an > an+1 > … или an+1 < an.
2. Ограниченные и неограниченные последовательности
Последовательность
(an) называется ограниченной,
когда существуют такие числа М и m, что для всех
членов последовательности выполняется неравенство
m  an  M .
Упражнения
№ 2.8 Написать первые пять членов последовательности
заданной формулой:
1) an=
1
;
4n  1
n
2) an= 2 ;
n!
3) an=
2n  1
;
3n
n
4) an=(-1)n n  1 .
№ 2.9 Написать формулу общего члена последовательности,
первые пять членов которой указаны:
1) 3  2, 5  2 2 , 7  2 3 , 9  2 4 , 11  25 ;
2)
3)
1 2
3
4
5
, 2, 3, 4, 5;
2 2
2 2
2
1
1
1
1
1
;
;
;
;
;
1 2 2  3 3  4 4  5 5  6
43
2
2
2
2
2
1  2  3  4  5 
4)   ,   ,   ,   ,   ;
 3   5   7   9   11 
5) 1;
1
2 2
;
1
3 3
;
1
4 4
;
1
5 5
.
№ 2.10 Найти формулу общего члена последовательности:
1) 2, 4, 8, 16, … ;
4)
6)
2)
1 1 1 1
, , ,
, ... ;
7 8 9 10
5 25 125 625
,
,
,
, ... ;
1 2
6
24
1 16 81 256
, ,
,
, ... ;
3 9 27 81
3) 1,
2 3 4
, , , ... ;
3 5 7
8 27 64 125
,
,
, ... ;
2 6 24 120
5) 1, ,
7)
1
2 3
4
,  ,
,  , ... .
4
9 16
25
№ 2.11 Изобразить геометрически следующие
последовательности, заданные общими членами:
1) a n 
1
1
n 1
3n  1
; 2) a n  (1) n  ; 3) a n 
; 4) a n 
;
n 1
n
2n
n
1
5) a n  2  ; 6) a n  (1) n n;
n
7) a n  2 n
§8. Предел последовательности. Предел функции
Определение:
Число
а
называется
пределом
последовательности (аn), если для любого положительного
малого числа  найдётся такое натуральное число N, что
для всех членов последовательности с номерами n больше
44
N выполняется неравенство: an  a   .
an  a .
Обозначается: nlim

Геометрический смысл сходимости последовательности:
В любой
-окрестности точки
а находятся все члены
последовательности, начиная с некоторого номера, их там
бесконечное множество, а вне её конечное число членов
последовательности.
Определение:
Число
B
называется пределом функции
f ( x)  B ,
y=f(x) lim
xa
если
для
последовательности
значений x, сходящейся к числу
a, последовательность соответствующих значений функции
сходится к числу B.
 ( x) 0
Функция α (x) – бесконечно малая, если lim
x a
Вычисление пределов.
1.
f ( x)  f (a)
Функция определена в точке x=a, то lim
xa
2.
Функция не определена в точке x=a или вычисляется
предел при x   , тогда вычисления основаны на теоремах:
45
1)
( f ( x)  g ( x))  lim f ( x)  lim g ( x)
Предел суммы: lim
xa
xa
xa
2)
Предел произведения: lim ( f ( x)  g ( x))  lim f ( x)  lim g ( x)
3)
Предел частного:
x a
lim
xa
x a
f ( x)
f ( x) lim
 xa
g ( x) lim g ( x)
x a
g ( x)  0
при lim
xa
xa
lim c  f ( x)  c  lim f ( x)  c  A, где c  const .
4)
xx0
xx0
k
( f ( x)) k   lim f ( x)  ,
5) xlim
x
x x

0
0

а также следующие пределы
1
0
x  x
lim
1

x 0 x
lim x  
lim
x 
Примеры вычисления пределов:
1.Вычислить
предел
числовой
последовательности:
n 6  7n 2  9
n  3  4n  2n 6
lim
Решение: разделим числитель и знаменатель на «старший
член», т.е. на n6:
n 6 7n 2 9
 6  6
6
n 6  7n 2  9   
n
n
n
lim
    lim
n  3  4 n  2 n 6
n  3
4
n
2
n6

 


n6 n6
n6
7
9
 6
4
n
n  1 0  0  1
 lim
n  3
4
 002 2
 6  5  2
n
n

1
Ответ:
46
1
2
Вычислить пределы следующих функций:
lim ( x 2  7 x  4)
1.
x3
Для
нахождения
предела
данной
функции
заменим
аргумент x его предельным значением, т.к. функция
определена в точке x=3:
lim ( x 2  7 x  4)  32  7  3  4  8
x3
2.
2 х 2  3 х  9 2  32  3  3  9  0 

 .
x3
х2  9
32  9
0
lim
Функция f ( х) 
Разложим
2 х 2  3х  9
не определена в точке
х2  9
многочлены,
входящие
в
х=3.
числитель
знаменатель, на линейные множители:
квадратный трехчлен в числителе по формуле:
ах2 + bх + с = а(х–х1)(х–х2),
где х1 и х2 – корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.
2х2 – 3х – 9 = 0;
D = b2 – 4ас = 9 – 42(–9) = 81;
х1, 2 
b D 39
3

; х1  3; х 2   ,
2а
4
2
3

2 х 2  х  6  2( х  3)   х    ( x  3)( 2 x  3) ,
2

47
и
двучлен в знаменателе по формуле разность квадратов:
a2-b2=(a-b)(a+b)
x2-9=(x-3)(x+3)
Преобразуем данный предел:
2 х 2  3х  9
( х  3)2 х  3
2х  3 2  3  3 9 3
 lim
 lim

  .
2
x 3
x 3 ( х  3)( х  3)
x 3 х  3
33
6 2
х 9
lim
Итак, функция f ( x) 
этой функции при х3 существует и равен 3 .
а предел
2
3
2
Ответ:
3.
2 х 2  3х  9
в точке х=3 не существует,
х2  9
lim
х 1
Для
х2  4 х
1 2  4 1
3  3 0


  .
2
11
0
х 1
0
раскрытия
неопределенности
0
 0 
умножим
числитель и знаменатель на выражение, сопряженное
числителю:
lim
х 1
х2  4 х
х2  4 х
 lim
х 1
х2 1

х2  4 х
х
2

1 

х2  4 х
х2  4 х


Заменим выражение в числителе по формуле: (а – b)(а + b) =
а2 – b2


х2  4 х 

х  2  4  х  ( х  2)  (4  х) 
2 х  2  2( х  1)
48
в знаменателе:
lim
х 1

х2 – 1 = (х – 1)(х – 1).
2( х  1)
( х  1)( х  1) 

х2  4 х


2
2
(1  1)  ( 1  2  4  1
Ответ:


2
 lim
х 1
2 3  3

( х  1)  ( х  2  4  х

2
22 3

1
2 3

3
6
3
6
Упражнения
№ 2.12 Доказать, что 1) lim 2n  5  2; 2) lim 2n  3  1 ;
n
n
n 4n  5 2
5n  6
3) lim
 5; 4) lim 1  n  1;
n  n  1
n  2  n
№ 2.13 Найти пределы последовательностей:
2n  3
n2  2
1
1) lim
; 2) lim
; 3) lim
;
n 4n  8
n 1  4n 2
n 2 n
 1
4) lim 
n  2n

2n 
2n 2  5
1  n  n3
; 5) lim
; 6) lim
;
n n 2  n  1
n 3n  13
3n  1 
1  2  3  ...  n .
n
n2
7) lim
№ 2.14 Найти пределы функций:
1)
 3

lim  x  2 x  5 ; 2) lim x24 ;

x2 x2
x  2
49
3) lim x3 ;
x3 3
x 27

2
4) lim x  x2 ;
x1 x1
2
2
5) lim x 4 x21 ; 6) lim x  2 x  15 ;
x7
x7
x3
x2  9
2
7) lim 2 x 27 x4 ;
2 x 5x3
x  1
2 x3 3 ;
x  3 3 x
x
;
x0 x  4  2
lim
8)
9) lim
2
4
2
10) lim x  2 x ; 11) lim 2  x ; 12). lim x 3 x  2 .
x1
x1
x4 3  2 x  1
x x  x 1
№ 2.15 Найти пределы:
1) lim 3x 8 ;
x  2 4x  2
2)
3x  x 2 ;
lim
x 0
2 x 2  x 1
3) lim x 2  2 x 3 ;
x 2 1
x  1
5x 2  4 x 1
2
4) lim x  3x  2 ; 5) lim
x 1
x 2  4x  3
7) lim
x 1  2
x 5
10) lim
1 x
x 3  2
x 5
x 1
12) lim
x0
8) lim
3 x 2
x 8
x 8
11)
lim
x 0
x 3
x 2  5x  6
6
6) lim x 1
x 1 3
x 1
9) lim x 1
x  13
x3
x3  4  2
13) lim 2 x 10  4
x
5 x  5 x
x3
50
x 3
x 1
№ 2.16 Исследуйте на непрерывность функции
1) f ( x)  7 x  1, в точках x  1, x  1.
 x 2  1, x  0
2) f ( x)  
в точках х  0, х  1, х  1
0, x  0
 x, x  0
3) f ( x)  
в точках х  1, х  0, х  2
2
1  x , x  0
§9. Преобразования графиков
Определение: Графиком функции f называют множество всех
точек (x; y) координатной плоскости, где y=f(x), а x
"пробегает" всю область определения функции.
1) Для построения графика функции y = f(x)+b,
где b-постоянное число, надо перенести график y=f(x) на
b единиц по оси ординат вверх, если b > 0 и вниз, если b
<0
8
6
Примеры: а). y=x -3,
2
4
2
b=-3 (перенос на 3 вниз)
0
-6
-4
-2
0
-2
б) y= sin x+2 b=2,
-4
4
2 >0 (вверх на 2 единичных
3
2
отрезка)
1
0
51
-1
-2
2
4
6
2) y=f(x-a)
График функции y=f(x+a) получается из графика функции
8
y=f(x) переносом по оси Ох на а
6
единиц вправо если а>0 (-) и влево
4
если а<0 (+)
2
0
-4
-2
0
2
-2
4
6
Примеры: а). y = x2 и y=(x-3)2
-4
а=-3, параллельный перенос на 3 единичных отрезка вдоль
оси Ох вправо.
4
3
б). y = sin x2 и
1
0
y = sin(x+2)
-1
-2
Внимание!
Перенос графика можно заменить переносом координатных
осей:
y  f ( x  a)  b, то O(0;0)  O(a,b)
52
3) y=Аf(x)
А - амплитуда
Для построения графика функции y=κf(x) надо растянуть
график функции y=f(x) в κ раз,
8
если κ >1 по оси Оу (от Ох) и
6
сжать в
1
k
4
раз если 0<κ<1.
2
Примеры: а) y=x и y =0,5x
2
2
0
-6
График
y=0,5x2
-4
-2
0
2
4
6
-2
получается
-4
сжатием графика функции y=x2
вдоль оси Oу в 2 раза.
б) y  2 sin x
График
y  2 sin x
3
функции
2
получаем из
1
0
графика функции y=sin x
-1
растяжением вдоль оси Оу
-2
-3
в 2 раза.
4)
y = f(kx), где k - постоянное, не равное нулю число
(частота)
53
График функции у=f(bx) получается из графика функции
y=f(x) растяжение по Ох (от Оу) в
1
k
раз,если 0<κ<1 и сжатии
по Ох (κ Оу) в κ раз если b >1
y  sin x
y  sin 2 x
4
3
2
1
0
-1
-2
4
5) y = -f(x)
2
Для построения графика y = f(x) надо отобразить график
0
2
4
-2
функции
y
0
-2
симметрично
=f(x)
-4
относительно оси Ох.
Пример:
y
x и
y x
6) Построение графиков, содержащих модуль
y f x  и
y  | f ( x) |
54
6
8
 f ( x), если x  0;
y  f | x |  
 f ( x), если x  0.
Для построения графика функции необходимо часть графика
 
функции y  f x , лежащую в области x  0 , оставить
неизменной, и её же отобразить симметрично относительно
8
оси ОУ в область x < 0.
6
Пример:
4
2
y  ( x  1) 2 ;
0
-6
y  | x | 1
-4
-2
0
2
4
6
-2
2
-4
 f ( x), если f ( x)  0;
y  | f ( x) | 
 f ( x), если f ( x)  0.
8
Для
построения
необходимо
области
6
4
y  f (x)
функции
функции
графика
часть
графика
y=f(x), лежащую в
y 0 ,
оставить
55
2
0
-6
-4
-2
0
-2
-4
2
4
6
неизменной, а часть графика функции
y=f(x), лежащую в
области y < 0 , отобразить симметрично относительно оси
OX
Примеры:
y  x 2  1;
y  x2 1
4
3
2
y=sinx и
1
0
y  sinx
-1
-2
№ 2.17 Постройте графики функций:
1
1
; 2) y  ( x  2) 2  4; 3) y  1  ( x  2) 2 ; 4) y  2  ;
x 3
x
1
6
5) y  x  1  1;
6) y  2  x  1, 7) y  , 8) y 
3
x 3
x 1
1) y 
№ 2.18 В одной и той же системе координат постройте:
1
1
1
; y   2; y 
x
x
x2
2
2
2) y   x y  4  x ; y  ( x  2) 2
1) y 
3) y  sin x; y  sin x  2; y  sin( x 
56

3
)
№ 2.19 Построить графики функций:
1) y  cos x; 2) y  x  1 ;
5) y 
1
 1,
x  22
6) y 
3) y  x 2  x  2
4) y  x 2  2 x
1
2
x  12
№2.20 Исследуйте на непрерывность функции
1) y  x  x в точках x  4; x  0; x  3;
2 x ,
2) y  
в точках x  1, x  0, x  3.
1
,

Глава 3. Степени и логарифмы
§10. Степени и корни. Степень с
рациональным
показателем
Определение: Любое число (кроме нуля) в нулевой степени
0
равно единице, т.е. a  1 .
Определение степени с отрицательным показателем:
a
n
1
 n
a
a
 
b
и
n
b
 
a
n
Определение. Степенью числа a > 0 c рациональным
показателем r 
m
,
n
где m - целое число, а n - натуральное
(n > 1), называется число
n
am .
57
1
2
х х ;
Примеры:
3
2
3
с с .
2
Свойства степеней
Для любых действительных чисел r и s и любых
положительных a и b справедливы равенства:
1. a r  a s  a r  s - произведение степеней
2. a r : a s  a r s - деление степеней
3.
a 
r s
 a rs - возведение степени в степень
r
r
4. степень произведения ab r  a  b
r
ar
a
5. степень частного    r
b
b
Пример:
1
1 3
31 1  3
1 1 3
3
4 40  2 4 : 5  4 8  5  2 4  5 4   23  5  4  2 4  5 4  2 4 4  5 4 4
4


 21  51  10
Упражнения:
№ 3.1 Освободитесь от иррациональности в знаменателе:
1)
2
3 5
;
2)
3
5 2
; 3)
58
2
15
; 4)
3
7 2
;
№ 3.2 Вычислите:
1)

5  2,5  3 1,5  5

3)

2  1,5  3 1  2


2

2


3
3
 1;
2)
 0,75 ;
4)
5
75  5 2
2 6  20
2 5  24
№ 3.3 Упростите выражения:
1)
x 1
1
2
x  x 1
x 0.5  1
2
 1.5
 0.5 ;
x 1 x
 1 1
ab
 2 2
a
b

2) 
1 1

a  a 2b2

1 1

 2x  x 2 y 2
3) 
3x


4)
c 1
3
4
c c
1
2

1

4  b2


ab

 ab ;


1
1
3

  32
  x  y2
x y 
 1
 
1 1
1 ;
  x  x2 y2 x2  y2 
 

1
2
c c
1
2
1
4
1
4
 c  1;
c 1
3
3ab  2  3b

5)
ab
1
2
2
1
 12

 a  b 2   2a 3  b 3




3
2
a b
3
2
59
.

3  50  5  24

;

 11  2 30 ;
№ 3.4 Вычислить:
3
7
5
8
5
3
8
1) 2  2 ;
2
3
3  4 
5)     ;
 4   81 
8)
6
2
11
10
2) 4  4 ;
2
3
1, 7
5
8
  2  4  4
4)    ;
 3  


3
5
3) 9 : 9 ;
3
4
1
5
2
5
4
6) 48    ;
9
7)
12  3
4

1
4
9
4
;
1, 3
3 1,3
.
№ 3.5 Найти значения выражений:
1) 2430,4;
2)
1
 64 4  8

 ;
 8 
3

3)
4)

1  1 3
1) 8 2   8 6  9 2 ;
№ 3.6
2
5
16 4 ;


2)


1
3) 823  810,75 ;
4)
 11 
1 
 25 
0,5
 273  9

 ;


6
 125 
5
8
3 100  2 3   1  3 ;
5
 
1
 17 
4  3;
 27 
1
3

0
,
75




1
1
3
№3.7 1) 81

   5;

 125 
 32 
1
2
11
2
2
2) 0,001 3   22  64 3  8 3   90  ; 3) 27 3   1 
 
 16 
11
1



4
0
,
25
4)  0,5  625
  2  2  19   33;
 4
60
0,75
 250,5;
№ 3.8 Сравните числа:
1)
 
5
3 6 и 3 31  4 1 ;
2) 3600 и 5400
3

3)  1  7 и
5
2
3
2  214 ;
4) 730 и 4 40 ;
№ 3.9 1). Упростите выражение:
а)
5
n 4 5 4m3
:
8m2
n
0 , 2
 7d 4,3
б) d
в)
2) Вычислите:
3) Вычислите:
а)
в)
б)
54
6 5
52
г)
2


  17  3 2 
  4 27   9 





4) Найти значение выражения:
а)
б)
в)
г)
5) Выполните действие:
а)
б)
в)
61
4
6) Упростите выражение:
а)
б)
в)
_____________________________________________________
4
№ 3.10 1)Вычислите:  7 6 6  4 216  3


2)Упростите выражение:

4
3)Вычислите:
3
8 
3
63

8  63
4)Вычислите:
64 3
3  4 27

2
2
 63  2005
–
5)Упростите до целого числа выражение:
6)Выражение
–
является целым числом.
-
Найдите его.
7)Найдите значение выражения:
+
+
, если
=1
8)Найдите значение выражения:
4
-
4
4
-
4
,если
=4
§11. Показательная функция
Определение. Функция вида у=ах , где а>0, а≠1 х-любое
число, называется показательной функцией.
62
1. Рассмотрим функцию с основанием а > 1:
Пример. y=2x Для построения графика заполним таблицу
значений:
x
-3 -2 -1 0
1
2
3
4
y
1
8
1
2
4
8
16
1
4
1
2
у=2х
Все графики
показательной
функции с основанием
большим единицы
выглядят так:
63
2. Рассмотрим функцию с основанием 0< а < 1:
x
1
Пример. y    для
2
построения графика заполним
таблицу значений:
Все графики показательной
функции с основанием меньшим
единицы выглядят так:
Свойства показательной функции
1. Область определения: x   ;
2. Область значений функции: y  0;
3. Непрерывная функция на всей области определения
4. Все графики проходят через точку (0;1)
5. Функция возрастает при а > 1 ,убывает при 0< а < 1.
64
Упражнения:
№ 3.11 Построить на одном чертеже графики функций
1) y  3x ,
2) y  5 x ,
3
3) y   
2
x
.
Указать сходство и различие графиков этих функций.
№3.12 Выполнить аналогичное предыдущему задание для
функций
x
1
1) y    ,
 3
x
2
2) y    ,
 3
x
1
3) y    .
4
№3.13 Перечислить свойства функций и построить графики:
1) y=4x , 2) y=0,2x,
3)y=2,5x
№3.14 Найти область значений функции:
x
x
1) y=-2 ,
1
2) y     1 , 3)
3
x
1
y    , 4) y  5 x  2
4
_____________________________________________________
№3.15 Решите графически уравнения:
1) 2х = х2 ;
2) 2х = 4х ; 3) 2х = 5-3х ; 4) 2х-1 = х+1 ;
5) 2 x  x  1
§12.Показательные уравнения. Показательные
неравенства
1 вид: Приведение к одному (общему) основанию
65
a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x)
2вид:
Замена
переменной
(сведение
к
квадратному
уравнению)
a 2 f ( x)  a f ( x)  c  0
a f ( x )  t , t  0 получим t 2  t  c  0
пусть
решив это уравнение, выполним обратную подстановку:
a f ( x )  t1
3
a f ( x)  t2
вид:
Основание
одинаковые a
4
вид:
f ( x)
b
f ( x)
Вынесение
различные,
a
)  
b
f ( x)
(: b
показатели
общего
степени
f ( x)
1
множителя
(выносить
рекомендуется степень с меньшим показателем).
Упражнения:
№3.16. Решить уравнения:
x
5
4
2)  
 25 
 27 
 
 8 
3
 16 
3
1)     
9
4
1 2 x
2
4)  
3
7) 0,04
2 x
 25
1
x2
 16 
5)  
 25 
8) 0,8
5
 
2
x3
3 2 x
6
 125 
 
 64 
3
3)  
7
2
6) 0,5
3 x 1
 1,25 9) 3,5
66
3 2 x
3
x 5
 49 
 
9
 162
 4 
 
 49 
2
3
10). 0,125
 23 11). 5 x  2 
3
2 x 1

13). 9
5
x 1
16).
3
3
19). 4 27 2 х 
9
5
3
1
5
2 x6
14). 7  4
6
6
36 23 x 
5
17). 5 7 x 1 
20). 3 4
x2

5
12). 3 2 x 1  2
2
7
7
15). 4 16 x 3 
49
7
18). 3 25x 1 
5
5
5
4
.
2
№ 3.17 Решить уравнения:
1) 3 x 1  15  3 x  2 ;
2) 4 x  2  11  4 x  80 ;
3) 7 2x  48  7 x  49
№ 3.18 Найти сумму корней:
1) 22x  127  2 x  128
2)
1 1,5 x  7,2
3)  
8
4
1
 
 3
0,4 x  7,2

4)
2
2
5) 32 x  5 x  10  9 x
 1 
 
5

1 
6)  
2
 27
3x  2  4  x   5
4 x  9   9  x 
 25 x
 16 x
2
2
№ 3.19 Решить уравнения:
1) 2 x 1  2 x 1  20
2
2) 3 x  1  243 3) 3 x  2  3 x 1  3 x  39
67
4
2
1 x
2
1
4) 6 x  2 x  1 5) 4 x  2   
x 1
6) 3 x   1 
2
 3
 243
7) 9 x  6 x  2 2 x1
№3.20 Решите уравнения:
х
х
x
1
1
1)      ; 2) 2 3 x  5 x ; 3) 3 x  7 2 ;
3
4
4) 5 x 3  2 3 x ; 5) 5
x 3
2
 7 x 3 ; 6)
2 x  2  3  2 x 1  7  2 x  68
7) 4 2 x 1  4 2 x 2  4 2 x 4  316 ; 8) 5 4 x  3  5 4 x 2  140 ;
x
x
1
1
9)    10     9  0 ;
9
 3
10) 10  25 x  18  5 x  4  0
№3.21 Решите уравнения:
1) 3
x 5
 81 ; 2) 9
x 1
2
 27
x 2 1
3
; 3)  
7
3 x 7
7
 
3
7 x 3
4) 1,8 x 25 x11  5,832 ; 5) 21  3 x  3 x  4  5 x  2  5 x 3 ;
6) 3
x
1
2
8) 2 x2
2
2x
x 2 3
4
x
1
2
 5  2 x
3
x
x 2 3
1
2
; 7) 27  32( x1)  3 x2  2;
 8  0;
9) 2 x  2  x  2 , где  -действительное число.
№ 3.22 Решите уравнение:
1) 3 x 1  3 x  108 ; 2) 7  3 x 1  5 x 2  3 x  4  5 x 3 ;
3) 5 2 x 1  5 x  4 ; 4) 4 x 2  17  2 x 4  1  0 ;
68
;
5) 2 x 1  3 x  3 x 1  2 x 2 ; 6) 5 x  3 x 1  2(5 x 1  3 x 2 ) ;
2
7
7)  
5
2
x 1
5
 
7
2
2
2
2
2
2
 ( x 1)
 343 x 3 : 125 x 3 ;
Показательные неравенства
Определение: Неравенства вида
a x  c (a x  c),
f ( x)1 ( x )  f ( x)2 ( x )
 f ( x)
1 ( x )
 f ( x ) 2 ( x )

, где a  0, a  1, c  0
называются простейшими показательными неравенствами.
Основные приемы решения этих неравенств опираются
на свойства возрастания или убывания показательной
функции y  a x .
ax  c
a  1

 x  log a c
0  a  1

 x  log a c
f ( x)1 ( x )  f ( x)2 ( x )
 f ( x)  1

1 ( x)   2 ( x)
0  f ( x)  1

1 ( x)   2 ( x)
Пример: 1) 3 2 x  3 x  2
Так как a  3, 3  1, то y  3t возрастающая, значит
2x  x  2
x  2
Ответ : (2;)
69
Пример 2
1
 
2
2 x 1
1
 
2
2 x 1

1
16
1
 
2
4
t
1
1
1
Так как a  , 0   1, то y    убывающая, значит
2
2
2
2x  1  4
2 x  5, x  2,5
Ответ : (; 2,5)
№ 3.23 Найти область определения функции:
1
1) y   
3
1
2) y  1   
6
1 2 х
1
3) y   
3
3 ;
2 5 х
;
3 х 7
1 .
№ 3.24 Решить неравенства:
1
1) 4 x  ,
2
4) 81  91 4x ;
1
2)  
5
0,5 x 1
 125 ; 3)
 3 x  271 ;
5) 2 x  3 x  36 x  6 ;
6) 32 x  4  3x  3  0 ;
7) 2
x2
1
  2 x  3
2
70
1
8)  
4
10 x
 64
2
2  x2
3
№ 3.25 Решить неравенства:
2 x
2 x 1
1)     
 2,5
3
4 x 1  4  x 3
2)  
  
3
3
3
16
3) 22x 1  22x 2  22x 3  448
4) 3 x 2  3 x1  28
§13. Логарифм. Свойства логарифмов
Определение: Логарифмом числа b по данному основанию a
называется показатель степени, в которую надо возвести
основание a, чтобы получить число b.
a c  b  c  log a b
Пример:
1. log 2 8  3 , так как 23=8.
2. log 5
1
25
 2 ,
1
так как 5-2= 25 .
Из определения следует
a log a b
 b - основное логарифмическое тождество.
ln b- натуральный логарифм.
lg b – десятичный логарифм.
Свойства логарифмов.
1. Логарифм произведения:
log a ( x  y )  log a x  log a y
71
2. Логарифм частного:
log a x  log a x  log a y
y
3. Логарифм степени:
4. log
log a b с  с  log a b
1
b

log b
aс
с a
5. Формула перехода к новому основанию:
log b
c
log a b 
log a
c


1 
log b 
a

log a 
b 

Примеры:
3 log3 6  6
1.
2.
lg 144 lg 12 2 2  lg 12
lg 8  lg 18 lg (8  18)




2
2 lg 2  lg 3 lg (2 2  3)
lg 12
lg 12
lg 12
3. lg 2 11  log 44  log 11  log 1  2
2
2
2
4
44
4. log 0,3 9  log 100  log 9  log 0,3 0,09  2
0,3
0, 3
100
Упражнения
№ 3.26 Вычислить:
1) 10
lg100
;
2) 2log525+ log264;
72
3)
 log 5 
2 
2




2
; 4)
5
2log 10
5 ;
5) log 2 log 2 16 ; 6) 27
log
3
2
7) 8
;
log 5
8
1 ;
8) 2 log 1  3 log 27
2
1
4
3
№ 3.27
1) log
3
9 3
2) log
73 49
7
log 4
5) 0,1 0,1
4) lg 105 100
3) log
6) 7
7 4
1
7  49
 log 9
7
№ 3.28 Найти значение:
1) log 5 log 2 log 3 log 2 512
3) log 12 2  log 12 72
5)
3
2) log a a 2 a 2
4) log 5 35  log 5 7
1
1
log 4 7  log 4 32  log 4 28
2
2
1
1
6) log 3 12  log 3 32  log 3 6
2
2
№ 3.29 Вычислите:
1) 10 log 4
3)
2
8 2 

4
2) 9  log 254 5 125 5
log 2 30 log 2 480

; 4) log 32 log 2
log 120 2 log 7 ,5 2
73
8
2 ; 5)

log 2 96 log 2 24

log 1,5 2 log 6 2
1
1 2 log 1 3
1
№ 3.30 1) ( )
7
5
5
5
log 0,5 5
;2)
4  2 log 3
log
4)
7
.
1
2 32 ; 3)
27
3
log 1 0.5  log
3
27
2
5) log 3 log 9 4
4
№ 3.31 Упростите выражение:
log 3
2) 2 2  log 7 2  log 7 14
log 5
1) log 3 15  log 3 5  3 3
4) log 3 75  log 3 25
1
3) log 5 3  log 5 15  log 5
log2 7
 log 3
5) 2
1
9
log7 2
 log 3
6) 7
1
9
---------------------------------------------------------------------------№ 3.32 Упростить


2
2  (log a b)   log
a



1
№ 3.33
1
4
ab  log
4
b
ab  2


  log
a


4
b
 log 4
a
a
1 


a 2 
b  


Заметив, что 675=9  75, а 132=3  45, дать без
помощи таблиц ответ на вопрос, какое число больше:
log 135 675 или log 45
75
№ 3.34 Показать, что
log 3 2  log 4 3  log 5 4  log 6 5  log 7 6  log 8 7 
74
1
3
§14. Логарифмическая функция
y=logax – обратная функция к показательной y=ax, поэтому
график логарифмической функции симметричен графику
показательной функции относительно прямой y=x.
Рассмотрим функцию y=lgx – обратную функции y=10x:
x
-3
-2
-1
0
0,5
1
2
3
y=lgx
0,001
0,01
0,1
1
3,2
10
100
1000
Графики показаны на рисунке:
y=lgx и y=lnx
75
При основании а >1 функция возрастающая,
при а <1 –
убывающая.
Упражнения
№ 3.35
Постройте на одном и том же чертеже 1) y  log 3 x
2) y  log 5 x . Укажите сходство и различие в графиках этих
функций.
№ 3.36 Выполните аналогичное предыдущему задание для
функций 1) y  log 1 x,
2) y  log 1 x
3
4
№3.37 Перечислить свойства функций и построить графики:
1) y  log 4 x,
2) y  log 1 x
2
№3.38 При помощи графика проиллюстрируйте решении
неравенства
1) log 3 x  2
2) log 3 x  2
3) log 1 x  1
4) log 1 x  1
3
3
76
§15. Логарифмические уравнения и неравенства
Определение:
уравнение,
содержащее
переменную
под
знаком логарифма или в основании логарифма, называется
логарифмическим.
1 вид: log a x  b
Алгоритм:
1. Найти ОДЗ (x>0, a>0, a1)
2. Привести левую и правую части к логарифмам с
одинаковым основанием.
3. Приравнять логарифмические выражения и решить
рациональное уравнение.
4. Записать в ответ корни удовлетворяющие ОДЗ.
2 вид. Уравнения, решаемые при помощи свойств
логарифмов.
lg( x  3)  lg( x  2)  1  lg 5
lg( x  3)  lg( x  2)  lg 10  lg 5
ОДЗ :
x  3  0

x  2  0
x  3
 (3;  )

x  2
77
? Какие свойства логарифма применены в левой и правой
частях.
lg( x  3)( x  2)  lg
10
5
( x  3)( x  2)  2
x 2  5x  4  0
x4
x 1
(не удовлетворяет ОДЗ )
Ответ : 4.
3 вид. Замена переменной (сведение к квадратному
уравнению).
log 2a f ( x)  log a f ( x)  c  0
log a f ( x)  t ,
тогда t 2  t  c  0
Найдите корни выполните обратную замену.
log a f ( x)  t1
log a f ( x)  t 2
4 вид. Логарифмирование обеих частей уравнения по
одинаковому основанию.
x lg x  100 x логарифмирование по основанию 10:
x  0
ОДЗ 
x  1
lg x lg x  lg 100 x
lg x lg x  lg 100 x
lg 2 x  lg 100  lg x
lg 2 x  2  lg x  0
78
Пусть lg x  t
t2 t  2  0
t1  2
t 2  1
lg x  2
или lg x  1
x  100
x  0,1
Ответ : 0,1; 100
№ 3.39 Решите уравнения:
1
2
1) log 5 x  2 ; 2) log 9 x   ; 3) log 0, 4 x  1 ;
4) lg x  2
№ 3.40 1) log 1 (2 x  4)  2 ; 2) log  ( x 2  2 x  3)  log  6
2
3) log 0,3 (5  2 x)  1;
4) log 2 (3  x)  0
№ 3.41 1) log a x  2 log a 3  log a 5 ;
2) log a x  log a 10  log a 2 ;
3) lg( x  9)  lg( 2 x  1)  2 ; 4) log 3 ( x  1)  log 3 ( x  3)  1 ;
5)
1
1
log 2 ( x  4)  log 2 (2 x  1)  log 2 3 ;
2
2
6) lg( x 2  2 x  7)  lg( x  1)  0 ; 7) lg( 3x 2  12 x  19)  lg( 3x  4)  1 ;
8) log 5 ( x 2  8)  log 5 ( x  1)  3 log 5 2
№ 3.42 Решите уравнения:
1) log 3 x  log 3 8  log 3 2
79
2) log 4 x 2  7 x  49  log 2 2 x  7
3) log 6 2 x  42  log 6 x  9  log 6 x
4) 6  2 log2 x  8 x  5
log x
5) 3  9 9  8 x  18
№ 3.43 Решите уравнения:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
№ 3.44
1)
2)
3)
;
4)
5)
6)
80
7)
8)
9)
10)
11)
12)
____________________________________________________
№ 3.45 Логарифмические уравнения и системы уравнений
y  x  9
1) 
lg x  lg y  1
 x  y  10,1
3)
lg x  lg y  2
 x  y  29
5) 
lg x  lg y  2 lg 10
3

log x y  log y x  2
2) 
x  y  3

4
5 x  2 y  100
4) 
lg x  lg y  lg 16  1
log x  y   5  log 2 x  y 
6)  2
lg x  lg 4  lg 3  lg y
1

log 1  y  x   log 2 y  2
7)  2
 x 2  y 2  25

log 2 x  log x x  3 y   2

8) 
5
logx y
2

xy

y

2
3 x  2 y  576
log x log 3 log x y  0
11) 
9) 
10) 
log 2  y  x   4
lg
log y 27  1
81
x y
 256
xy  lg 1,5  1
№ 3.46 Решить уравнение:
2
1) log  x  0,1  0
2) log 0, 4 5  2 x   log 0, 4 2  1
3) lg 4x  3  2 lg x
2
4) ln  x  5  0
5) log 2 x  9 log x 2  10  0
Определение: Неравенства вида log a x  c, log a x  c
a  0,
a  1 называются
простейшими
логарифмическими
неравенствами.
! Решение логарифмических неравенств основано на том, что
функция
y  log a x
при a  1
является
монотонно
возрастающей (знак неравенства не меняется), а при
a  1 монотонно убывающей (знак неравенства меняется).
82
Пример 1:
y  log 3 (2 x  5)  2
ОДЗ .
2x  5  0
2x  5
x  2,5
log 3 (2 x  5)  log 3 9
(2,5;  )
Так как a  3, 3  1 то, y  log 3 t возрастающая, значит
2x  5  9
2 x  14
x7
Ответ : (2,5; 7)
2. log 0,5 (3 x  1)  log 0,5 ( x  1)
ОДЗ :
1

x  
3 (1;  )

 x  1
Так как a  0,5 и 0  0,5  1 то, y  log 0,5 t убывающая, значит
3 x  1  0,

x  1  1
3x  1  x  1
2x  2
x 1
Ответ : (1;  )
№ 3.47 Решите неравенства:
1) lg( 2 x  3)  lg( x  1) ; 2) lg( 3x  7)  lg( x  1) ;
3) log 0,3 (2 x  4)  log 0,3 ( x  1) 4) log 0,5 (4 x  7)  log 0,5 ( x  2)
5) log 0,5 x  log 2 (3  2 x) ; 6) lg x  lg( x  1)  lg 6 ;
7) log  ( x  1)  log  x  log  2 ; 8) log 2 ( x 2  x  12)  3
83
№ 3.48 Решить неравенства:
1) log 0,5 x  2  2
2) ln x  1  ln 3x  2
3) log  3x  2  log  x  1
4) log 1 6  0,3 x   1
9
5) log 1, 25 0,8 x  0,4  1
6) log 10 1  1,4 x   1
3
7) log 2 2 x  4 log 2 x  3  0
Упражнения для самостоятельной работы:
1. Вычислите log 2
b
, если log 2 b  3
16
2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень
уравнения log 1 2 x  35  15
3
1
2
3. Вычислите значение выражения: log 3 c , если log 3 c  16
4. Решите уравнение: ln 7  ln x  4  ln 14
5. Найти значение выражения: log 3 189  log 3 7
6. Решите неравенство: log 3 x  6  2
Ответы: 1)-1,
2).  3;2 , 3). 8, 4)6. 5) 3, 6). (-6;3),
84
Глава 4. Тригонометрические функции.
§16. Тригонометрические функции числового аргумента.
Определение:
 Синусом
числового
аргумента
называется
ордината точки M α x; y 
единичной
окружности:
sin   y .
 Косинусом числового аргумента называется абсцисса
точки M α x; y  единичной окружности: cos   x .
Градусы
30 

6
1
2
Радианы
sin 
3
2
cos 
tg 
1
3
ctg 

45
60 

3
3
1
3
3
85
3
3
2
1
2

4
2
2
2
2
3
1

3
3
1
 Тангенсом числового аргумента называется отношение
точки M α x; y  единичной
ординаты к абсциссе
окружности tg  
 Котангенсом
y
.
x
числового
аргумента
отношение абсциссы к ординате
называется
точки
M α x; y 
x
ctg


единичной окружности
y .
Упражнения
№4.1 Вычислите:
1) sin

6
 4 cos

3
 2tg


2
4

4
;
2)
3) sin 0  cos  sin 2 ;
№4.4 1) sin 217 2) cos
4) 3 sin
5
6
№4.3 Дано sin   0,8,
№4.4Найдите
сtg  
2 sin

4

6
3)ctg 237

2
 3ctg

4
 5 cos
 2 cos   ctg 2
3
;
2

6
4) cos1,2
    . Вычислите cos  , tg и ctg .
sin  , cos  , tg ,
4

и
 
3
2
86
если известно, что
№ 4.5 Найдите значение других основных
тригонометрических функций, если:
cos  
6
,
4
3) cos 
15
,
17
1)

2
 
; 2) sin  
2
,
3
0  

2
;
3
   2
2
№ 4.6 Выразите в радианной мере величины углов:
2) 120 , 310 , 360 ;
1) 45 , 36 , 180 ;
3) 150 , 216 , 90
№ 4.7 Выразите в градусной мере величины углов:
1)

3
,

2
,
5
36
; 2)
2 3

,
, 
5
4
9
; 3)

6
,
3
, 
5
№ 4.8 Вычислите
sin 2 , cos 2 , sin    , cos    , если дано:
4
5
1) sin   ; cos   
5 

;
  ;
  
13 2
2
2) cos   0,6; sin   
8 3
3
;
   2 ;    
17 2
2
17. Тригонометрические тождества
Основные тригонометрические тождества (соотношение
между тригонометрическими функциями одного и того же
аргумента):
87
1) cos 2   sin 2   1
sin 
cos 
3)ctg 
cos 
sin 
4)tg  ctg  1
1
1  tg 2 
cos 2 
1
1  ctg 2 
sin 2 
2)tg 
Формулы сложения и вычитания аргументов:
sin(    )  sin  cos   sin  cos 
sin(    )  sin  cos   sin  cos 
cos(   )  cos  cos   sin  sin 
cos(   )  cos  cos   sin  sin 
tg (   ) 
tg  tg
tg  tg
tg (   ) 
1  tg tg
1  tg tg
Формулы двойного угла:
Для вывода формул используем формулы суммы аргументов
sin(    )  sin  cos   cos  sin   2 sin  cos 
cos(   )  cos  cos   sin  sin   cos 2   sin 2 
Получили:
sin 2  2 sin  cos 
2tg
tg 2 
1  tg 2
cos 2  cos 2   sin 2 
88
Примеры:
sin x  2 sin
x
x
cos ;
2
2
cos 8t  cos 2 4t  sin 2 4t
Сумма и разность одноимённых тригонометрических
функций (Преобразование суммы тригонометрических
функций в произведение):
sin   sin   2 sin

cos
 
2
2
 
 
sin   sin   2 sin
cos
2
2
 
 
cos   cos   2 cos
cos
2
2
cos   cos   2 sin
 
2
sin
 
2
Формулы понижения степени
sin 2  
1  cos 2
,
2
cos 2  
1  cos 2
2
Обратите внимание на то, что степень понижается, а
аргумент увеличивается вдвое.
Упражнения:
№ 4.9 Упростить выражения:
1)
3)
tg  tg (450   )
1  tgtg (450   )
sin 10
0

2)
cos 2 2  4 sin 2  cos 2 
 sin 80 0 cos 80 0  cos10 0
sin 70 0

89
1
 ctg 2 2
cos 2  1
4)
2
sin  cos   cos  sin  2  cos  cos   sin  sin  2
5)
6) 4 sin 150   cos150     2 sin 2
7)
 
2 

4 cos  cos    cos  
 cos 3
3
3 


8)
1
1

2
1  tg  1  ctg 2
 3

sin 2 
 
2

10) 2
ctg   2 
12)
9)
sin 3 cos 3

sin 
cos 
sin   
11)
3 
2
ctg   
2 

2
sin 2
sin

4 
2 
6
cos 2
sin

6
2 
4
sin 2  2 sin 

 tg 2
sin 2  2 sin 
2
13) 4 sin 30 0   cos   2 cos60 0  2 
14)
2 cos 2   1




2ctg     sin 2    
4

4

№ 4.10 Найдите tg  , если cos 
3

,  ( ; ).
2
2 7
№ 4.11 Упростите cos 82 0  cos 22 0  sin 82 0  sin 22 0
№ 4.12 Найдите значение выражения:
1) 6 sin 2   4 cos 2  , если sin   0,8 .
90
2) 9 sin 2   5 cos 2  , если cos   0,4 .

3) 5 sin(    )  cos(   ), если sin  =0,5.
2

4) 4 cos(   )  sin    , если sin   0,5 .
2
5)
6tg  cos(   ), если sin  
6
.
4
6) 21 5 sin   ctg (   ), если cos  
7)
2,25 sin 2 x, если sin x 
1
5
и

2
5
.
6
 x  .
№ 4.13 Найдите значение дроби:
sin 32 0 cos 28 0  cos 32 0 sin 28 0
1)
;
sin 15 0 cos15 0
cos 2 22,5  sin 2 22,5
2)
;
cos 25 0 cos 20 0  sin 25 0 sin 20 0
6 sin 15 0 cos15 0
3)
2 cos 2 15  1
№ 4.14 Найти значения:
1) Sin 170 ; 2) Cos300 ; 3) tg160 4) ctg 315 ;
5) tg 450 ; 6) sin 400 ; 7) sin(
9) sin
8
7
) ; 8) cos( ) ;
3
5
9
5
7
; 10) cos( ) ; 11) tg ( 8 ) ; 12) ctg ( )
4
4
5
3
91
№ 4.15
1) sin 130  sin 140 2) cos 50  cos 70
3) tg 220  tg 210
4) ctg 220  ctg 210 5) sin 50  tg 50 6) cos 50  ctg50
7) ctg300  ctg315 8) sin 70  cos 70
№ 4.16 1) sin 100  sin 120 ; 2) cos 210  sin 210 ;
3) cos 200  sin 110 ; 4) tg140  tg 220 ;
5) cos 315  tg 215 ;
6) sin 150  cos 150  tg150 ; 7) sin 320  cos125  tg 250 ;
8) sin 230  tg160  ctg340
№ 4.17
1) sin(
5) sin(
3
3

) ,
  ) , 2) cos
   , 3). sin(    ) , 4). cos(
2
2
 2


3
  ) , 6) sin( 3   ) , 7) tg (   ) , 8) ctg (   ) ,
2
9) sin( 2   ) , 10) cos( 2   ) , 11) tg (
3
),
2
12) tg (1,57   ) .
_________________________________________________
№ 4.18 Упростите выражения:

1) cos(  2 )  sin(   2 )tg (   ) ;
2
2)
sin 4   cos 4 
 tg 2  ctg 2 .
2
2
cos   sin 
92
3)
sin 3   cos 3 
 cos   sin  .
1  sin   cos 
4) 2006  sin 4   cos 4   cos 2 .
5) 4 sin 2 2  16 sin 4   16 sin 2  .
6)
1  2 sin 2 
.
2tg (45   ) cos 2 (45   )
№ 4.19 1) Вычислите:
sin   cos 

3
, если sin 2  0,6;   
.
1
2
4
(sin   cos  )
2)
cos   sin 
3
, если sin 2  0,8;
   .
1
4
(sin   cos  )
3) 16ctg110 sin 105tg 70 cos105 .
4) 12ctg140 sin 75tg 40 cos 75 .
5)
1  2 sin 2 43
.
sin 176  sin 4
2 cos 2 48  1
6)
.
sin 186  sin 6
7)
3
(cos 4 75  cos 4 15) .
2
8) 16 cos 20 cos 40 cos 80 .
93
№ 4.20
Найдите значение выражения:
1
3
1) 27 sin  cos  , если sin   cos   .
1
3
2). 81(sin 3   cos 3  ), если sin   cos   .
§18. Тригонометрические функции
График функции y=sin x
График функции y=cos x
можно получить параллельным


переносом синусоиды на - , т.к. сos x  sin( x  )
2
2
94
График функции y=tg x
Для построения графика рассмотрим единичную окружность
и ось тангенсов (касательная к единичной окружности,
проходящая через точку (1;0))
График
функции
y=ctg x
95
№ 4.21
В одной и той же системе координат постройте графики
функций:
1)y=sin x и y= -2sinx; 2) y=cos x и y= cos2x;
x
2
x
2
x
2
3) y=sin x и y=sin ( ) ; 4) y=sin  1 и y=1-sin ;
5) y=cos и y= 2cosx;
x
2
x
2
6) y=cos  1 и y=1-cos ;
7)
8)
§19. Обратные тригонометрические функции
Функция арксинус
Определение. Арксинусом числа a, где |a|  1.называют такой
угол  из промежутка   ;   , синус которого равен a.


 2 2
Арксинус числа a обозначают так: arcsina («читается
арксинус а»).
аrcsin (-а) = - arcsin а
Пример 1. Найти arcsin 1 .
2
Так как sin   1 и       , то arcsin 1   .
6
2
2
6
2
96
2
6
Пример 2. Найти arsin   1  .
 2
arcsin   1    arcsin( 1 )    .
 2
2
6
Функция, обратная для функций y=sin x, x    ;  ,
 2 2 
называется арксинусом и обозначается y=arcsin x, x   1;1.
Определение. Аркосинусом числа a, где a  1, называется
такой угол  из промежутка 0; , косинус которого равен a.
Арккосинус числа a обозначается так: arccos a (читается
«арккосинус а»). arсcos (-а) = π – arсcos а
Пример 1. Найти arсcos
Так как
Пример 2.

4

cos

4

2
.
2
2 
и  0;  , то arccos 2   .
2 4
2
4

2
.
arccos  

 2 
; arсcos

2 =


 2 


π - arсcos 
2  =π


 2 
-
3
,
4
Так как cоs 3   2 и 3  0; , то
4
2
4

2  3

arccos 
 4
2


Функции арктангенс и арккотангенс
Определение. Арктангенсом числа a называется такой угол
97
  
; ,
 2 2
тангенс которого равен a.
 
Арктангенс числа a обозначают так: arctg a
(читается «арктангенс a»).
Пример1. Найти arctg
arctg (-а) = - arctg а
3.

Так как tg   3 и      ;  , то arctg 3  .
3
3
 2 2

3

Пример 2. Найти arctg  3 .



   
 
Так как tg     3 и     ; , то arctg  3   .

3

3
2 2
3
Определение. Арккотангенсом числа а называется такой
угол   0; , котангенс которого равен а.
Арккотангенс числа а обозначают arcctg a (читается
«арккотангенс а»).
arcctg (-а)= π- arcctg а
Пример 3. Найти arcctg (-1).
arcctg (-1)=π- arcctg 1=π -   3 ,
4
Так как ctg
4
3
3
3
 1 и
 0;  , то arcctg (-1)=
.
4
4
4

3
№ 4.22 Вычислите:1) arcsin 0 ; 2) arcsin 1 ; 3) arcsin    ;
 2 
98

2

3
4) arcsin    ; 5) arccos   ; 6) arccos ; 7) arccos   ;
2
 2
 2 
 2 
2
1
8) arccos1; 9) arctg
1
; 10) arctg (1) ; 11) arctg 0 ; 12) arctg 3
3
№ 4.23 Найдите значения выражений:

2
1
1) arcsin 0  arccos 0 ; 2) arcsin     arccos ;
2
 2 
3
3
 arccos
;
2
2
3) arcsin
4) arcsin( 1)  arccos

3
;
2
2
5) arccos( 0,5)  arcsin( 0,5) ; 6) arccos    arcsin( 1) ;
 2 

3

3
2
3
7) arccos    arcsin    ; 8) arccos  arcsin
;
2
2
 2 
 2 
9) arctg1  arctg 3 ;
10) arctg1  arctg (1) ;
11) arctg ( 3 )  arctg 0 ;
12) arctg

№ 4.24 Вычислите: 1) 2 arcsin  

2) arctg  3   arccos 


1
2

3) 3 arcsin  4 arccos 

1
 arctg 3
3
3
2
  arctg (1)  arccos
;
2 
2
3
  arcsin 1 ;
2 


1 
  arcctg  3 ;
2
99
3
2

1
2
4) arcsin( 1)  arccos  3arctg  

1 

3
§20. Тригонометрические уравнения
1. Простейшие тригонометрические уравнения.
Корни уравнения sin x  a вычисляются по формуле:
x    arcsin a  πk ,
k
k Z
Корни уравнения cos x  a вычисляются по формуле:
x   arccos a  2k ,
k Z
Корни уравнения tgx  a вычисляются по формуле:
x  arctga  πk ,
k Z
Корни уравнения ctgx  a вычисляются по формуле:
x  arcctga  k ,
Пример 1. sin 3 x 
3x  (1) k arcsin
3x  (1) k
x  (1) k

3

9
k Z
3
согласно формуле (1) получаем:
2
3
 k , k  Z
2
 k , k  Z , то

k
3
, k Z
100

Ответ: (1) k
9
Пример 2.

k
3
, k Z
sin 2x  1, применяя частную формулу,
получаем:
2x  
x


4
2
 2k , k  Z , то
 k , k  Z
Ответ: 

4
 k , k  Z
2. Определение: Уравнение, в котором каждое слагаемое
имеет одну и ту же степень, называется однородным.
A  sin x  B  cos x  0,
A  0, B  0 - уравнение первой степени.
A  sin 2 x  B sin x cos x  C cos 2 x  0,
A  0, B  0, C  0 -
уравнение второй степени.
Решаем делением на старшую степень косинуса или синуса.
При этом мы не теряем корней, т.к. если мы в данное
уравнение подставим cos x = 0, то получим sin x = 0, что
невозможно (sin2 x + cos2 x = 1)
101
Пример 1.
sin x  3 cos x  0 Разделим на cos x
sin x
 30
cos x
tgx   3

 , k  Z
3
2) 3 sin 2 x  sin x cos x  2 cos 2 x разделим на cos 2 x
x
3 sin 2 x sin x cos x 2 cos 2 x


0
cos 2 x
cos 2 x
cos 2 x
3tg 2 x  tgx  2  0
Пусть tgx  t , тогда 3t 2  t  2  0
t1  1
tgx  1
x

4
tgx 
или
 k , k  Z
t2 
2
3
2
3
x  arctg
2
 n, n  Z
3
3. Универсальная подстановка
sin 2 x 
2tgx
1  tg 2 x
и
sin 2 x 
2tgx
1  tg 2 x
102
Пример
sin 2 x  2 cos 2 x  1
 1  tg 2 x 
2tgx

 1

2
2 
1  tg 2 x
1

tg
x


2tgx  2(1  tg 2 x)  (1  tg 2 x)
0
1  tg 2 x
2tgx  2  2tg 2 x  1  tg 2 x
0
1  tg 2 x
tg 2 x  1  0
 3tg 2 x  2tgx  1
0
1  tg 2 x
tg 2 x  1
x  любое число
3tg 2 x  2tgx  1  0
Пусть tgx  t , тогда
3t 2  2t  1  0
1
t1  
t2  1
3
1
tgt  
или
tgt  1
3
1
t  arctg  k , k  Z
3
103
t

4
 n, n  Z
4. Понижение степени
1  cos 2 x
1  cos 2 x
; sin 2 x 
2
2
2
2
2
sin x  cos 2 x  sin 3 x  1,5
cos 2 x 
1  cos 2 x 1  cos 4 x 1  cos 6 x 3



2
2
2
2
cos 2 x  cos 6 x  cos 4 x  0
Применим формулу : cos   cos   2 cos
 
2
cos
2 cos 4 x  cos 2 x  cos 4 x  0
cos 4 x(2 cos 2 x  1)  0
cos 4 x  0
x

8

k
4
2 cos 2 x  1  0
или
,k Z
x

6
 n, n  Z
104
 
2
5. Решение с помощью формул сложения, формул суммы
и разности синусов (косинусов).
2 sin 11x  3 sin 5 x  cos 5 x  0
Разделим левую и правую части этого уравнения на 2
3
1
sin 5 x  cos 5 x  0
2
2
3

1

Так как
 cos , a  sin , то
2
6
2
6
sin 11x 
sin 11x  cos

6
sin 5 x  sin

6
cos 5 x  0

sin 11x  sin( 5 x  )  0
6
11x  5 x 
2 sin
sin( 8 x 
x
k
8

11x  5 x 
6

2
12


)0

96
,k Z
или
cos
cos(3x 
x

12
2

6 0
)0
7 n
 ,nZ
36 3
Упражнения:
Решить тригонометрические уравнения:
№ 4.25
1) 2 cos x  3  0 ; 2). 2 cos x  2  0 ;
3) 2 cos x  1  0 ;
4) 2 sin x  1  0 ; 5) 2sin x  1  0 ; 6) 2 sin x  3  0 ;
7) 2 sin x  2  0 ; 8) tgx  3  0 ;
105
9) 3tgx  1  0 ;
x
3
10) ctgx  1  0 ; 11) 3ctgx  1  0 ; 12) sin(  ) 
13) tg(4 x) 
x
2
3
1
; 14) cos( 2 x)   ;
2
3


6
4
2
;
2
x
2
15) ctg ( )  1 ;
x
3

16) 2 cos(  )  3 ; 17) 2 sin( 3x  )   2 ; 18) 3tg (  )  3 ;
x
2



6
6
4
3
x
2
19) sin(  )  1  0 ; 20) cos(  2 x)  1 ; 21) tg (  )  1 ;
22) 2 sin(
x

 )  3 ; 23) 2 cos(  3 x)  2
3 4
4

№ 4.26 (способ замены переменной)
2
1) sin x  2 sin x  3  0;
2) 2 sin 2 x  5 cos x  1  0;
 3



 х   3 sin   x   2  0;
 2

2

3) 2 sin 2 
2
4) tg x  2tgx  3  0;


2
5) ctg 2 x  tg  2 x   2  0;
2

6) 2 cos 2 x  4 sin 2 x  3;
2
2
7) 2cos x  sin x   1;
4
4
8) sin x  cos x  0.5;
2
2
9) 3 sin x  cos x  0;
4
2
10) tg x  tg x  12  0.
№ 4.27 (Разложение на множители)
1) sin x  1tgx  0;
2) 2 cos xctg3x  ctg3x;
3) sin 3 x  sin x  0;
4) sin 5 x  sin x;
5) cos 4 x  cos x  0;
6) cos 2 x  cos x;
106


7) cos 2 x  sin  6 x 

 3

 x   0;
 2

8) cos3x  2   sin 
;
2
9) cos 2x  cos  6x  0;
№ 4.28
10) cos 3x  sin x.
(Однородные уравнения)
1) sin x  cos x  0;
2) sin x  3 cos x  0;
2
2
3) 3 sin x  7 sin x cos x  2 cos x  0;
4) 4 sin 2 x  2 cos 2 x  3 sin 2 x  0;
2
5) 4 sin x  2 sin x cos x  1;


 x   2;
2

6) 3 sin 2 x  4 sin x cos x  5 sin 2 
2
2
7) sin x  cos x  0.5;
8) sin 2 x  2 3 cos 2 x  0;
10) sin 2 x  2 sin 2 x;
9) 2 sin 2 x  3 sin 2 x;
11) sin x  cos x  1;
12) 4 sin x  3 cos x  3.
№4.29 Решите уравнения:
1) 1  tg 2 x  2tgx;
2
3) cos 2 x  2 sin x;
5) tg 2 x  3tgx  0;
2) 1  4 sin 2 x  sin 2 2 x  0;
4) tgx  tg 2x;
2
6) 1  cos x  sin
7) 7 sin x  3 cos 2x  0.
107
x
;
2


2) tg   x   tgx  2  0;
4

№4.30 1) cos 3x  cos x  0;




3) tg x    tg x    2ctgx;
4
4



4) 3 sin  x 




  sin   x ;
4
4

2
6) 2 sin x  3 cos x.
2
5) 8 sin x  1  4 cos x;
____________________________________________________
№4.31 Решите уравнения:1) 2 cos 2 x  3 sin x  0;
3) cos 2 x  cos x  0;
2
2) 3 sin x  2 cos x;
4) cos 2   x   2 cos x  3; 5) cos 2 1.5  x   3 sin x  4;
6) tgx  2ctgx  1;
7) 4 sin 2x  3 cos 2x  3.
№4.32 Решите уравнения:
1) 2 cos 2 x  3 sin 2 x  0;
2) cos x  cos  2x  0;


3) cos x  sin    2 x   1;
4) 1  cos 2 x  sin x;
5) 1  cos 2 x  cos x;
6) 3 cos x  5 sin
3
2

7) sin x  cos x  4 sin x cos 2 x; 8) tg
108
x
 1;
2
x
x
 tgx  tg  tgx.
2
2
№4.33 Решите уравнения:
1) 3sin x  sin 2x  0
2) 2 sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x

3) sin(   x)  cos(  x)  3
2
2
2
5) cos x  sin x  0,5
7) sin x  3 cos x  0
9) sin
4) 2 sin x cos x 
1
2
6) 1  2 sin x  cos 2 x  0
8) sin 4x cos 2x  cos 4x sin 2x  0
15
8
15
8
1
x cos x  cos x sin x  
7
7
7
7
2
10) sin 102 x cos101x  cos102 x sin 101x 
1
2
Глава 5. Производная
§21. Формулы и правила вычисления производных
Определение. Производной функции y = f(х) в точке х0
называется предел отношения приращения функции
f(x0) = f(x0+x) – f(x0) к приращению аргумента x, когда
приращение аргумента стремится к нулю.
f ( x0 )
.
x0
x
f ( x0 )  lim
Другие обозначения производной: f ( x);
109
у( x);
dy
.
dx
Правила дифференцирования.
Пусть u = u(x) и v = v(х) – непрерывные функции в точке
х = х0, тогда существуют производные от суммы (разности),
произведения частного этих функций в заданной х 0.
1. Производная суммы: (u  v) = u  v
2. Производная произведения: (u  v) = u v + u  v
3. Постоянный множитель: (c  v) = c  v

 u  u   v  u  v
; v  0.
4. Производная частного:   
2
v
v
 
Таблица производных основных элементарных функций
и производных сложных функций
Сложная
у=f(х)
функция
у=f(x)
у=f (u)u
y=C
y=0
y=x
y=1
у=x
y=x-1
у=u
y=u-1u
1
y= u
у 
y x
у
1
x
y=ax
у 
2 x
у  
1
x2
y=axlna
у
1
u
y=au
110
1
 u
2 u
у  
1
 u
u2
y=aulnau
y=eu
y=euu
1
x ln a
y=logau
у 
1
x
y=lnu
у 
y=cosx
y=sinu
y=cosuu
y=cosx
y=-sinx
y=cosu
y=-sinuu
y=tgx
у 
y=tgu
у 
y=ctgx
у  
y=ctgu
у  
y=arcsinx
у 
y=arcsinu
у 
y=ex
y=ex
y=logax
у 
y=lnx
у 
y=sinx
y=arccosx
1
cos 2 x
1
sin 2 x
1
1 x 2
у  
1
y=arccosu
1 x 2
1

1 x 2
y=arctgx
у 
y=arcctgx
у  
1
1 x 2
1
 u
u ln a
1
 u
u
1
 u
cos 2 u
1
1  u2
у  
у 
y=arcctgu
у  
Найти производную функции:
1. у  3х 5  4 х 7  8
111
 u
1
1  u2
 u
1
 u
1  u2
y=arctgu
Решение типовых примеров.
1
 u
sin 2 u
1
 u
1  u2
Воспользуемся
правилом
дифференцирования
алгебраической суммы:
3х






 4  x 7  8  3 x 5  4  x 7  8 
7 
7


7 2 1
5
51
2
3  ( x )  4   x   8  3  5  x  4   x  0
2
 
5
 
5
 15 x 4  14 x 2  15 x 4  14 x 5
2. y=(x2+2)(2x+1)
Воспользуемся
правилом
дифференцирования
произведения: (uv)'=u'v+uv'
у=(x2+2)(2x+1)+(x2+2)(2x+1)=2x(2x+1)+(x2+2)2=
=4x2+2x+2x2+4=6x2+2x+4,
x2  2
3. y= 2
x 2
Воспользуемся правилом дифференцирования частного:

 u  u   v  u  v
  
v2
v
( x 2  2)( x 2  2)  ( x 2  2)( x 2  2) 2 x( x 2  2)  ( x 2  2)2 x
y 


( x 2  2) 2
( x 2  2) 2

2 x( x 2  2  x 2  2)
2x  4
8x
 2
 2
2
2
2
( x  2)
( x  2)
( x  2) 2
112
Упражнения:
№5.1 Найти производные следующих функций:
1)f(x)=x+3, 2) g(x)=x2+x+1, 3) h(x)=5+x-x3,
4) v( x)  x 3  x , 5) y(x)  x 5  x  x  8 ,
1
6) f ( x)  1  3x 2 , 7) u ( x)   , 8) f ( x)  6 x  2, 9) y ( x)  4 x  x 6 ,
x
10) f ( x)  x 3 (4  2 x  x 2 ), 11) v( x)  x 2 (3x  x 3 ),
12) y ( x) 
1
 5x  2
x
№5.2 Найти производные следующих функций:
2
3
4
7
1) y=-6x, 2) y  x , 3) y   x
4) y  5 x  4 x  3x 2 ,
5) y  1  6 x  3x 3  2 x
6) y  x  6x  2,
7) y  x 3 x  x ,





8) y  x 2  3x  1 2  4 x  3x 3 ,
9) y  x (2 x 5  x), 10) y  (2 x  3)(1  x 3 )
x2
x 2  6x  3
1  2x
x2
11) y 
, 12) y 
, 13) y 
, 14) y 
,
x 3
x4
3  5x
2x 1
15) y 
3x  2
2  4x
x 4
, 16) y 
, 17) y   2  x ,
2
5x  8
3 x
x
x2 3
x3  7 x
5  2x6
18) y 
  1, 19) y 
, 20) y 
2 x3
1 4x5
1 x3
113
№5.3 Найти производные следующих функций:
2) y  cos x , 3) y  9  x 2 ,
1) y=(3-5x)6 ,
9
6) y  3  x 2   2 x  7
1
x
4) y 
, 5) y   3   ,
3
2
5 x  1

5
№5.4 Найти производные следующих функций:
1) y  ( x  1)  e
4)
6)
x
y  x  23x x
y
y  x e
2
2)
5) y  3x  5 x 2  x 3  4 x
2

2
3x  1
 14 x 3 x 5
x
e


8) y  x  x  1  2
2
3
x2 1
3) y 
ex
x 2 3 x

2
x
7) y  x  4 e
 x 2 5 x 
2
2
4
5
№5.5 Найти производные следующих функций:
1)

  
y  x  1 ln x
2

3
4) y  a x  ln x 2  4 x  12
2
2)

ln x
y
x 1
5)
3)
x2
y
3  ln x
y  e x 1  ln x  5
6) y  3x  4  log 2 x  1  x 2 
№5.6 Найти производные следующих функций:
1). y  sin 2 x , 2) y  sin ax , 3) y  cos 3x ,
4) y  cosa  x , 5) y  sin 2 x  cos 3x , 6) y  x  cos 2 x
114
7) y  2 x 3  3  sin 2 5 x ,
8) y 
1
10) y  3  3tgx, 11) y  tgx,
2
sin 3 x
, 9) y=2tgx-sinx,
3
x
12) y  2 cos , 13) y  sin x  0,5
2
№5.7 Найти производные следующих функций:
1
2
x
3
2) y  sin 3x
1)
y  3 cos
4)
y  x 2  cosx  1
9) y  2tg 3 4 x
y
sin ax
a
5) y  sin 3  2x  cos3  2x
7) y 
3
6) y  2 sin 4 x
3)
tg 3x
3
8) y  2tg 3 x  3tg 2 x
3
10) y  4ctg 2 x 11) f(x)=(x+3) sin х
№5.8 Найти производные функции при данном значении
аргумента:
1) (x) = x3  3x2 + 4x  5 ; (2)
2) (x) = (x + 1) x  1 ; (5)
4) (t) = t2 + e2t ;
(0)
3) (z) = Error! ; (3)
5) (x) = ln Error! ; Error!
( 3)
6) (x) = cos2 x ; Error!
7) (y) = ln sin y ; Error!
8) (x) = ln ctg x ; Error!
9) (y) = ecos 2y ; Error!
115
§22. Геометрический смысл производной.
Пусть
x-произвольная
фиксированной
точки
точка,
x 0.
лежащая
Разность
в
окрестности
x-x0
называется
приращением независимой переменной (или приращением
аргумента) в точке x0 и обозначается x :
Геометрический
смысл
производной заключается в
следующем:
Производная функции в
точке
равна
угловому
коэффициенту касательной
к
графику
этой точке
функции
в
или тангенсу
угла наклона касательной
к
оси абсцисс (Оx).
y   tg  k
Уравнение касательной к графику функции.
Пусть даны функция y=f(x) и точка (x0;y0).
Составим уравнение касательной к графику данной функции
в заданной точке.
Уравнение прямой имеет вид y=kx+b.
116
Уравнение прямой, проходящей через данную точку (x0;y0),
выражается уравнением y-y0=k(x-x0).
Из
геометрического
смысла
производной
угловой
коэффициент:
k=f (x0)
Подставив в уравнение, получим
y-y0=f (x0)(x-x0) или
y=f(x0)+f (x0)(x-x0)
Алгоритм составления уравнения касательной:
1. Обозначить абсциссу точки касания x0.
2. Вычислить значение функции y0=f(x0)
3. Найти производную f (x) и вычислить её значение в точке
х0, f (x0)
4. Подставить найденные числа x0, f(x0), f (x0) в формулу.
Упражнения
№5.9 Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс
касательной, проходящей через данную точку М графика
функции:
1) f ( x)  x 3 М (1;1) ;
2) f ( x)   cos x
M ( ;1 ) ;
3) f ( x)  x 2  2 x M (1;3)
№5.10 Напишите уравнение касательной к графику функции
f в точке с абсциссой x 0 .
117
1) f ( x)  x 3  1, x0  1, x0  2
2) f ( x)  1  cos x, x0  0, x0 

2
3) f ( x)  2 x  x , x0  0, x0  2
2
4) f ( x)   sin x, x0  
5) f ( x)  3 sin x x0 

2

2
, x0  
, x0  
№5.11 Найдите точки графика функции
f , в которых
касательная параллельна оси абсцисс:
1) f ( x)  3x 3  6 x 2  2
№5.12
2) f ( x)  x 3  3x  1
Под каким углом пересекается с осью Ох график
функции:
1) f ( x)  3x  x 3
2) f ( x)   cos x.
№5.13
1) Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к
графику функции f(x)= 2х+ех в его точке с абсциссой х0=0.
2) Найдите tg угла наклона касательной, проведенной к
графику функции у=8е4х+2 в его точке с абсциссой х0 =-0,5.
№5.14 (устно)
1) К графику функции y=f(x) в точке с абсциссой х0=-1
проведена касательная. Найдите ее угловой коэффициент,
118
если на рисунке изображен график производной этой
функции.
2) К графику функции y=f(x) в точке с абсциссой х0=-4
проведена касательная. Найдите ее угловой коэффициент,
если на рисунке изображен график производной этой
функции.
119
3) К графику функции у =f(x) в точке с абсциссой х0=5
проведена касательная. Найдите ее угловой коэффициент,
если на рисунке изображен график производной этой
функции.
§23. Исследование функций.
Для практики важны теоремы, показывающие, как по знаку
производной можно установить характер монотонности
функции на промежутке.
Теорема 1. Если во всех точках промежутка x выполняется
неравенство f '(x1)>0, то функция y=f(x) возрастает на
промежутке x.
Теорема 2. Если во всех точках промежутка x выполняется
неравенство
f'(x1)<0, то функция y=f(x)
промежутке x.
120
убывает на
Алгоритм нахождения интервалов монотонности функции.
1. Найти область определения D( f )
2. Вычисляют производную f (x) данной функции.
3. Находят точки, в которых производная равна нулю или
не существует. Эти точки называются критическими
точками для функции f(x).
4. Найденными точками область определения функции
f(x) разбивается на интервалы, на каждом из которых
производная
f (x)
интервалы являются
сохраняет свой знак. Эти
интервалами монотонности
функции.
5. Исследуют знак
f (x) на каждом из найденных
интервалов.
Если на рассматриваемом интервале f (x)>0, то на этом
интервале f(x) возрастает; если же f (x)<0,
то на таком интервале f(x) убывает.
Пример: Исследовать на монотонность функцию y=2x3+3x2-1
Решение:
1. Область определения функции: D (у)=  ;
2. Найдем производную:
f '(x)=(2x3+3x2+1)'=6x2+6x=6x(x+1)
121
3. Найдём критические точки: 6x(x+1)=0
x=0, x=-1.
4.Определим знаки производной в каждом интервале между
критическими точками:
y
+
y
-
+
- 1
0
x
5. Таким образом,
заданная функция возрастает на  ;1 и
0; ; убывает на [-1;0]
Определение 1: Точка x0 называется точкой максимума
функции f(x), если существует такая окрестность точки x0,
что для всех х из этой
окрестности (x  x0) выполняется
неравенство: f(x0) > f(x).
Определение 2: Точка x0 называется точкой минимума
функции f(x), если существует такая окрестность точки x0,
что для всех х из этой окрестности (x  x0) выполняется
неравенство: f(x0)<f(x).
Точки максимума и минимума функции называются точками
экстремума данной функции, а значения функции в этих
точках называются экстремумами функции.
122
Теорема Ферма:
Пусть функция f(x) в некоторой точке x0 принимает
наибольшее или наименьшее значение; если в этой точке
существует производная f '(x0), то она равна нулю.
На геометрическом языке теорема Ферма означает, что в
точке
экстремума
касательная
к
графику
функции
горизонтальна, т.е. параллельна оси Ох:
Для
исследования
используется
функции
обратная
теорема
(достаточное условие экстремума).
Достаточным условием экстремума является смена знака
производной.
Теорема.
Если в точке x0 производная меняет знак с
«минуса» на «плюс», то точка x0 будет точкой минимума;
если с плюса на минус, то x0 точка максимума.
Точка,
где
производная
равна
нулю,
называется
стационарной.
Для исследования функции на экстремум следует найти все
ее стационарные точки и рассмотреть знаки производной
123
слева и справа от них.
Пример:
1
3
Исследуем на экстремумы функцию y  x 3  2 x 2  3x  1
1. Область определения : D (у)=  ;
2. Ее производная y=x2-4x+3.
3. Приравняв нулю, получим уравнение x2-4x+3=0.
Корни уравнения x1=1 и x2=3, это критические точки.
4. Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак
производной в каждом интервале между критическими
точками:
y
+
y
-
+
1
3
max
x
min
5. Находим значения функции в точках экстремума:
x max  1
xmin  3
y (1) 
y (3) 
Ответ: max(1;
1
7
1  2 1  3 1  1 
3
3
1 3
 3  2  32  3  3  1  1
3
7
), min (3; 1)
3
124
Упражнения для устной работы
1)На рис. изображен график производной функции
y=f'(x),
заданной
на
отрезке
[-2;9].
Исследуйте
на
монотонность y=f(x), укажите длину промежутка убывания.
2) Функция y=f(x) определена на промежутке (-7;2).
На рис. изображен график производной. Укажите точку
минимума функции на промежутке (-7;2).
125
3) Функция y=f(x) определена на промежутке (а;b). На
рисунке изображен график ее производной. Найдите число
точек минимума функции v=f(x) на промежутке (а:b).
4) Функция y=f(x) определена на промежутке (-5;7).
График ее производной изображен на рисунке. Найдите
промежутки возрастания функции y=f(x). В ответе укажите
наибольшую из длин этих промежутков.
126
Упражнения: № 5.15
Исследовать на монотонность
функции:
1). f ( x)  7 x 2  14 x  1,
2). f ( x)  x 4  6 x 2  5,
3). f ( x)  x( x 2  3),
4). f ( x) 
1 4
1
x 4
x  x 2  5, 5). f ( x)  x 3  x 4  5, 6). f ( x)   ,
4
3
4 x
7). f ( x) 
x
x3
1
,
8
).
f
(
x
)

,
9
).
f
(
x
)

 ln x.
1 x
x
x2 1
№ 5.16 Найти значения функций в точках максимума:
3
1) f ( x)  x 
5 2
x  2x
2
2) f ( x) 
x3 3 2
25
3) f ( x)   x  5 x 
6 4
12
5) f ( x) 
1 4 1 2
x  x 5
4
2
4
5
1
3
7) f ( x)  x 5  x 3  1
9) f ( x) 
1 3 1 2
x  x  6x
3
2
1
2
4) f ( x)  2 x 3  x 2  x 
4
5
1
3
6) f ( x)  x 5  x 3  71
59
60
1 4 5 3 1 2
x  x  x 2
12
18
4
8) f ( x) 
3
8
13
15
1 4
x  x3  x2  3
2
1
2
5
3
3
2
10) f ( x)  x 4  x 3 x 2  5
127
№ 5.17
Исследовать функции по общей схеме и построить
графики:
1) f ( x)  2  9 x  3 x 2  x 3 ,
2) f ( x )  x 4  2 x 2 ,
x3
3) f ( x)    x,
3
3x
,
1 x2
1
6) f ( x)  2 x  x 3 ,
6
9) f ( x) 
4) f ( x) 
7) f ( x ) 
5) f ( x) 
1 4
x  8x 2 ,
2
x
2x
, 8) f ( x) 
x 1
1 x2
6 x  1
1
1
, 10 f ( x)  5 x 3  3x 5 , 11) f ( x)  x 2  x 5 ,
2
2
5
x 3
12) f ( x)   x 3  3x  2
_____________________________________________________
№ 5.18 Решить задачи:
1. Найдите координаты точек, в которых касательные к
графику функции
y
x 1
,
x3
имеющие угловой коэфф и ц и е н т
–1, пересекают ось абсцисс.
2. Найдите координаты точек пересечения с осями координат
касательных к графику функции y 
коэффициент 9.
128
2x  3
, имеющих
x3
угловой
3. Найдите координаты точек пересечения с осью ординат
касательных к графику функции y 
3x  1
, имеющих угловой
x8
коэффициент 1.
4. Найдите координаты точек пересечения с осями координат
2x  2
, имеющих угловой
x 1
касательных к графику функции y 
коэффициент 4.
5. Найдите координаты точек пересечения с осью ординат
касательных к графику функции y 
x4
, имеющих угловой
x5
коэффициент –1.
6. Найдите координаты точек пересечения с осями координат
касательных к графику функции
y
3x  5 ,
x3
имеющих угловой
коэффициент 25.
7. Найдите точки экстремума функции y=x3-6x2-9x+3 на
промежутке
 6 .
  ; 2
 5 
8. Найдите точки экстремума функции y=-x3 -3x2 + 24x-4
на промежутке (5; 1 ) .
5
9. Найдите экстремумы функции y=x3-3x2-9x-4.
129
3
2
10. Найдите экстремумы функций y   x  6 x  15x  1 .
11. Найдите точки экстремума функций y  sin x  cos x
на промежутке 0; .
12. Найдите точки экстремума функций y  cos x  sin x на
промежутке 0; 2  .
13. Найдите экстремумы функций y  sin x  3 cos x на
промежутке 0;  .
14. Найдите экстремумы функций y  3 sin x  cos x на
промежутке 0;2 .
x
15. Найдите точки экстремума функций y  x  2e
x
16. Найдите точки экстремума функций y  2 x  3e
17. Найдите экстремумы функций y   x  2e
x
18. Найдите экстремумы функций y  3x  2e  x .
§24. Наибольшее, наименьшее значения функции.
Теорема Вейерштрасса: Непрерывная на отрезке [a;b]
функция
принимает
на
этом
наименьшее значения.
130
отрезке
наибольшее
и
Пусть теперь функция f(x)
имеет
на
отрезке
конечное
[a;b]
число
критических точек,
x1, x3 –точки минимума, x2 – точка максимума.
Наибольшее и наименьшее значения функции принимаются в
критических точках или в точках а и b.
Значит, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения
функции, имеющей на отрезке конечное число критических
точек,
нужно
вычислить
значения
функции
во
всех
критических точках и на концах отрезка, а затем из
полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.
Алгоритм решения задачи на наибольшее (наименьшее)
значение.
1. Перевести задачу на язык функций.
Выбрать параметр x, через который выразить интересующую
величину как функцию f(x).
2. Указать область допустимых значений параметра x,
например, x  [a; в ]
3. Найти производную функции y'=f'(x) и критические точки.
131
4. Вычислить значения функции f(x) на концах отрезка [a;b] и
в критических точках, принадлежащих отрезку: f(a), f(b),
f(x1), f(x2)... и т.д.
5. Выбрать из значений (4) наибольшее (наименьшее)
значение.
6. Записать ответ.
Упражнения
№5.19 Найти наибольшее и наименьшее значения функций
1) y(x)=x3-3x на отрезке [-1,5;2].
2) y(x)=-x4+2x2 +3 на отрезке [-2;4].
3) y ( x)  3x 5  5 x 3 на отрезке 0;2
4) f ( x) 
x
на отрезке  3;2
x 1
№5.20 Из куска картона с размерами
изготовить
открытую
вместимости,
вырезав
сверху
по
32см  20см
коробку
углам
надо
наибольшей
квадраты
и
загнув
образовавшиеся кромки. Найти объём коробки.
№5.21 Найти положительное число х, чтобы разность х – х2
была наибольшей.
№5.22
Число
24
представьте
в
виде
суммы
двух
неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих
чисел была наименьшей.
132
№5.23 Кусок проволоки длинной 48 см сгибают так, чтобы
образовался прямоугольник. Какую длину должны иметь
стороны
прямоугольника,
чтобы
его
площадь
была
наибольшей.
№5.24 Число 54 представьте в виде суммы 3х положительных
слагаемых, два из которых пропорциональны числам 1 и 2,
таким образом, чтобы произведение всех слагаемых было
наибольшим.
№5.25 Площадь прямоугольника 64см2 . Какую длину
должны
иметь
его
стороны,
чтобы
периметр
был
наименьшим.
№5.26 Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
f на данном промежутке:
1)
1
 3 
f ( x)  2 sin x  sin 2 x, 0;
2) f ( x)  x 
,  5;2,5

x2
 2
№5.27
Материальная
точка
совершает
прямолинейное
2
3
движение по закону S (t )  5t  2t 2  t 3 . В какой момент
времени скорость движения будет наибольшей и какова
величина этой скорости?
№5.28
Скорость
материальной
133
точки,
движущейся
1
6
прямолинейно, изменяется по закону v(t )  t 3  12t. В какой
момент
времени
ускорение
будет
наименьшим,
если
движение рассматривать в промежутке от 10с до 50с.?
§25. Физический смысл производной.
Определение: Производная функции в точке х0 есть скорость
изменения функции в момент х0.
1) При прямолинейном движении точки скорость v в
данный момент t=t0 есть производная v 
dS
 S  от пути по
dt
времени t, вычисленная для момента t0.
Ускорение a в данный момент t=t0 есть производная о
скорости v по времени t, вычисленная для момента t0, т.е.
a
dv
 v .
dt
Упражнения
№5.27
Тело
движется
прямолинейно
по
закону
s(t)=3+2t+t2(м). Определить его скорость и ускорение в
моменты времени t1 =1c и t2 =3c.
№5.28
Скорость
тела,
определяется законом
движущегося
прямолинейно,
v(t)=4t+5t2 (м/с). Какое ускорение
будет иметь тело через 5 с после начала движения.
134
№5.29
Материальная
точка
совершает
прямолинейное
1
3
движение по закону S (t )  3t  2t 2  t 3 .
а) Выведите формулу для вычисления скорости движения в
любой момент времени t;
б) Найдите скорость в момент t=2с;
в) Через сколько секунд после начала движения точка
остановится?
№5.30 Точка движется прямолинейно по закону х(t)=t+2t3 1(м). Найти ускорение на пятой секунде
№5.31
Тело,
прямолинейно
масса
по
которого
закону
m=0,5
s(t)=t+2t2-3
кг,
движется
(м).
Найти
кинетическую энергию тела через 7с после начала движения.
№5.32
Количество
электричества,
протекшего
через
проводник, начиная с момента времени t=0, даётся формулой
q=2t2 +3t+1. Найти силу тока в конце пятой секунды.
№5.33 Точка движения по координатной прямой согласно
закону x(t)= 14+2t+t2, где x(t) - координата в момент времени
t. В какой момент времени скорость точки будет равна 9?
Упражнения для самостоятельной работы.
Найдите производные функций:
135
2) у 
1) y=7-3x
х
5
4
3) y = x 3 - 4x 2 + 1
4) y  2 x  6
5) y = sin x +cos x – 4
6) у=cos 3x
7) y=log4x + lnx
3
10) y  5 x
9) y =sin2x
8) y=ex +7x
11) y=(3x2-2)(4x+ex)
2x  1
12) Найдите угловой коэффициент касательной к графику
функции
y = cos x –1 в точке с абсциссой x0= π
13) Уравнение касательной к графику функции у = 2 x 2  x в
то ( 1;3 ) имеет вид
14) Определите промежутки, на которых производная имеет
отрицательные значения
x
(-∞;-
-12
12)
ƒ
(-12;-
-3
(-3;5)
(5;∞)
5
3)
3
-1
3
15) Определите промежутки возрастания функции y = ƒ(x),
используя данные о её производной ƒ'(x) в таблице:
х
(- ∞; -9)
-9
(-9;-1)
-1
(-1;3)
3
(3;∞)
ƒ'(x)
+
0
-
0
+
0
-
136
16) Пусть S(t) – закон движения тела. Закончите фразу:
«Производная от S(t) – это …»
17) Исследовать на монотонность и экстремумы функцию:
y
x3
 4x  3
3
18) Зависимость пути от времени при прямолинейном
движении точки задана уравнением S  1 t 3  1 t 2  1 .
3
2
Вычислить её скорость в момент времени t=3c.
19) Скорость точки, движущейся прямолинейно задана
уравнением U (t )  2t 2  5t  3.
В какой момент времени
ускорение будет равно
2м / с2 ?
Ответы к упражнениям самостоятельной работы:
1
4
1)-3; 2). ; 3) 3x 2 - 8x; 4)
7)
1
1
 ;
x ln 4 x
1
х
; 5) cos x – sin x; 6).– 3sin 3x;
8) ex +7x ln7;
3
2
9) sin 2x; 10) 20 x  152x ;
11) 6x(4x+ex)+(3x2-2)(4+ex) 12) 0;
2 x  1
13). 5x -y-2=0;
14) (- 12; - 3) и (5; ∞); 15) (-∞; - 9) и ( - 1; 3);
16) скорость движения; 17) Возрастает на (-∞; - 2) и ( 2; +∞ ),
убывает на (-2;2), xmin=-2, xmax=2; 18) V=6м/с;
137
19). 2сек.
Глава 6. Первообразная. Интеграл
§26. Первообразная. Неопределённый интеграл
Интегрирование
является
обратным
действием
по
отношению к дифференцированию. Основными понятиями
этой
темы
являются
понятия
первообразной
и
неопределенного интеграла.
Если в некоторой области Х определены функции f(х)
и F(х), то функция F(х) называется первообразной для
функции f(х), если для всех хХ выполняется равенство:
F ( x )  f ( x )
Если функция F(х) – первообразная для функции f(x),
то
выражение
F(х)+С
называется
неопределенным
интегралом от функции f(х) и обозначается символом
 f ( x )dx  F ( x )  C ,
 f ( x )dx , т.е.
Таблица основных интегралов
Формулы
№
1
 f ( x)dx  F ( x)  C
 dx  x  C
Примеры
 4dx  4 x  C ,
138

2
3
x2
 xdx  2  C

 x dx 
x  1
C
 1
dx 1
 xC
3 3
2x 2
2
 2 xdx  2  C  x  C
x5
 x dx  5  C
4
1
1

3
3x 3
x dx 
C
4
ax
 a dx  ln a  C
8x
 8 dx  ln 8  C
5
 e dx  e
4x
 e dx 
6
 sin xdx   cos x  C
1
sin
6
xdx


cos x  C

6
7
 cos xdx  sin x  C
 5 cos xdx  5 sin x  C
8
 cos
x
4
9
10
x
dx
2
x
dx
 sin
2
x
x
C
x
dx
1
 tg 2 x  C
2
2x 2
 tgx  C
 cos
 ctgx  C
 sin
dx
 x  ln x  C
1 4x
e C
4
4dx
4
  ctg3 x  C
2
3x
3
dx
1
 5 x  2  5 ln 5 x  2  C
139
Методы интегрирования.
1. Интегрирование с использованием таблиц и правил.
2. Интегрирование с использованием преобразований:
а)
почленное деление;
б)
выделение целой части;
в)
применение свойств степени;
г)
применение тригонометрических формул.
Примеры:

1

1)  3 cos( 2 x  )dx  3  sin( 2 x  )  c
6
2)
 (2 
2
6
2
1
1 1
1
1
) dx   (4  4 
 )dx   4dx   4  dx   dx 
x
x
x x
x
4 x  4  2 x  ln x  c  4 x  8 x  ln x  c
x2  2x  3 x
x2 2x 3 x
dx

(

 x  x  x )dx 
x
3)
 (x  2  x
2

2
3
)dx 
1
3
11
2
 1
3
x
x
 2x 
c 
2
11
 1
3
1
x
x
1

 2x 
 c  x 2 2 x  3x 3  c
1
2
2
3
140
Упражнения
№ 6.1 Найти неопределённые интегралы:
 (7 x
1)
6
 sin x  3)dx , 2)  (4 x 3  3 sin x  1)dx ,
6
x
3
3).  (2  x  2 sin x)dx , 4)  (2  x  1)dx ,
5)  ( x 
2
 5)dx ,
cos 2 x
4
7)  (5 x  4 
2
x
2
6)  (3x   4)dx ,
1
)dx , 8)  ( 42  x  2 )dx ,
2x
sin x 2 x
3
x
8
5
x
9)  (3  9 x  )dx , 10)  (6 x  3  5 )dx ,
x
5  3 x2
dx ,
1) 
x
№ 6.2
1 x
2) 
x x
3) 
dx ,
1 4 x
x
dx ,
3
x4  2
4)

7)
x x 1 x2
dx ,

x
10)

4
x
dx ,
x2 1
 x 3 dx ,
5)

8)
6)

1 3 x2
x9
dx ,
x 3
3
x
dx ,

9)
1 x2
x
dx ,
x x
dx ,
x2


1)  e 2 x dx, 2)  x  e 5 x dx,
№6. 3



 
3)  e  x dx,


4)  2 x 3  e 3 x
5)  x 3  2 x dx, 6)  2 x  4 x dx, 7)  (7 x 6  5 x  3e x )dx,
141

№6.4 1) 
dx
2dx
3dx
dx
, 2) 
, 3) 
, 4) 
1 x
x3
2 x
4x  5
№6.5
1)  sin 4 xdx,
3dx
4) 
,
cos 2 x
dx
5) 
,
5 sin 2 x
2)  cos 3 xdx, 3)  (2 sin x  3 cos x)dx,
cos 2 x  3
6) 
dx,
cos 2 x
4  sin 3 x
7) 
dx
sin 2 x
№6.6
1) 
sin 2 x
dx,
sin x
x
x

2)   cos 2  sin 2 dx, 3)  sin 2 xdx,
2
2

4)  cos 2
x
dx
2
Определение постоянной интегрирования
В
равенстве
постоянное
 f ( x)dx  F ( x)  C
слагаемое
С
имеет
произвольное значение, поэтому этому
уравнению на плоскости соответствует
бесконечное
множество
кривых
(семейство
кривых),
уравнения которых отличаются друг от друга только постоянными слагаемыми.
Каждый интеграл дает семейство интегральных кривых.
Интегральные кривые одного семейства имеют одну и ту же
форму и смещены друг относительно друга по вертикали.
Сдвиг кривой определяется постоянной С.
142
Из дифференциального исчисления известно, что наклон
k кривой y = f(x) (угловой коэффициент касательной) в точке
с абсциссой х равен значению производной в этой точке,
т. е. k=y.
Рассмотрим теперь обратную задачу: зная
угловой
коэффициент касательной к кривой в любой ее точке k =f(x),
найти уравнение кривой.
Так как k = у', то dy=f(x)dx, откуда интегрированием
найдем y=f(x)dx. Вычислив этот неопределенный интеграл,
получим множество первообразных
y=F(x)+C.
Из семейства этих кривых, имеющих один и тот же наклон,
нам нужно уметь выделять ту, которая проходит через
данную точку.
Пример. Составить уравнение кривой, проходящей через
точку (3; 4), если угловой коэффициент касательной к этой
кривой в любой ее точке равен х2 - 2х.
Решение:
k = у',
у'= х2 -2х, тогда множество всех
x3
первообразных Y(x)=  x 2  C .
3
143
Теперь из найденного семейства кривых выделим ту кривую,
которая проходит через точку (3; 4). Для этого подставим в
уравнение координаты данной точки:
4
33
 32  C  C  4
3
Ответ:
x3
Y(x)=  x 2  4
3
Упражнения
№6.7
1. Найти
 x  3dx , если при х=2 первообразная функция
равна 9.
2. Найти
 sin x  cos x dx , если при x  2

первообразная
функция равна 2.
3.
2 
Найти    1dx , если при х=1 первообразная
x 
функция равна 2.
4.
1 x

Найти   e  cos x dx , если при х=0 первообразная
2

функция равна 1 .
2
№ 6.8 1). Найти уравнение линии, проходящей через точку
А(2; 1) и обладающей таким свойством, что угловой
коэффициент касательной к этой кривой в каждой её точке
144
равен абсциссе этой точки. Построить эту кривую.
2) Найти уравнение линии, проходящей через точку М(1; 1),
если угловой коэффициент касательной в каждой её точке
равен обратной величине абсциссы точки касания.
3) Скорость тела задана уравнением v  6t 1 м / сек . Найти
уравнение пути S, если за время t=3 сек тело прошло 60 м.


2
4) Скорость точки задана уравнением v  t  6t  7 м / сек .
Найти уравнение движения, если к моменту начала отсчёта
времени точка прошла путь S = 4 м.
5) Скорость точки задана уравнением v  4 cos t  м / сек .
Найти уравнение движения, если в момент t 

6
точка
находится на расстоянии S = 8 м от начала отсчёта пути.
§27. Определённый интеграл
Определение. Если F(x)+C – первообразная функция для f(x),
то
приращение F(b)-F(a) первообразных функций при
изменении
аргумента
x
от
доx=b
x=a
называется
определенным интегралом и обозначается
b
b

a
f ( x)dx , т.е.

f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a) .
b
a
145
Это равенство называется формулой Ньютона-Лейбница.
Пример:
x
x
0
4
4 x


 44

4
4
4
4
4
0 1  е dx  0 dx  0 е dx  x / 0  4  е / 0  (4  0)  4 е  е 4  




4  4(е  1)  4  4е  4  4е
4
№6.9 Вычислить определённые интегралы:
2
1)  xdx,
3
1
1
3
1
2
0

1
2)  x dx, 3)  x dx, 4)  2 x  1dx,
2

0
1
2


1

5)  3x  1 dx, 6)   x  4 x 2 dx, 7)  3 x 2  1 dx, 8)
2

1
1
1

0
2
1
2
dx
 2,
3 x
2
4
8
2
9

dx
dx
1 
3
dx,
9)  3 , 10)  x dx, 11)  4 x dx, 12)
, 13   x 
3
2
x
x


x
1
1
1
1
1
2
4
2
8
2

1 
2dx
2 x
2x 2  1
dx, 15 
14)   3x 2  2 x 
, 16  2 dx, 17) 
dx,
5
x
x
x
2
x

1
1
2
1
4
18) 
1
x 1
x
1


2
dx, 19)  1  x dx, 20) 
3
2
1
1
146
x  12 dx,
x2


2

1
0

4
2
2dx
2dx
,
24
)
dx,

2
2
cos
x
sin
x

0
21)  cos xdx, 22)  sin xdx, 23) 
4



2
2
2
3
25)  cos xdx, 26)  sin xdx, 27)  cos x  sin x dx,
3
 4
0

2
2



 2
28)  
 sin
2
cos
x

0
3
3
1 
1 


 1
x dx, 29)  1  2 dx, 30)  
 2 dx,
2
sin x 
sin x 

 
  cos x
2
6




31)  e  cos x dx, 32) 
x

0
4
x cos x  1
dx
x
2
§28. Геометрический смысл определённого интеграла
Геометрический
смысл
определенного
интеграла
заключается в том, что определенный интеграл равен
площади криволинейной трапеции, прилегающей к оси Ox и
ограниченной кривой у=f(x) и прямыми у=0; х=а;
у
у=f(x)
S
а
147
b
х
х=b
Если
функция
f(x)
определена,
непрерывна
и
имеет
первообразную F(x) на отрезке [а, b], то площадь фигуры
находится по формуле:
b
S   f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a)
b
a
Примеры криволинейных трапеций:
Задача: Найти площадь фигуры, ограниченной графиками
функций y=1-x и y=3-2x-x2.
Решение: нарисуем эти линии и найдём абсциссы точек
пересечения из уравнения
1-x=3-2x-x2. Решив уравнение,
получаем корни х=1 и х=-2.
148
1
S1   (3  2 x  x 2 )dx  (3 x  x 2 
2
x3 1
) 
3 2
1
(2) 3
(3  1  )  (3  (2)  (2) 2 
)9
3
3
S2=
1
1
9
AB  BC   3  3  , следовательно площадь фигуры
2
2
2
равна 9 
9
 4,5 Ответ: 4,5 кв. ед.
2
Упражнения
№ 6.10 1) Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми
у=5х, х=2 и осью Ox.
2) Найти площадь фигуры, заключенной между прямыми
у=4х-5, х= -3, х= -2 и осью Ox.
3) Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у=2х 2,осью
Ох и прямыми х=2 и х=4.
4)Найти площадь фигуры, заключенной между кривой у=х 2-х,
осью Ох и прямыми х=0 и х=2.
149
5) Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и линиями:
а) у=2х-х2,
б) у=9-х2,
в) у=х2-5х+4.
6) Найти площадь фигуры, заключенной между линиями:
a) у=2х-х2 и у=х,
b) y 
1
x и y  4 x,
2
c) х2 - 9у = 0 и х-3у+6=0,
d) 4у – х3 =0 и у-х=0.
№ 6.11
1
Найдите площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс,
прямыми
2
и графиком функции y=2sinx.
,
Найдите площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс,
прямыми
3
и графиком функции
Найдите значение выражения 3S, где S – площадь
фигуры, ограниченной параболой
4
и прямой
.
Найдите значение выражения 3S, где S – площадь
фигуры, ограниченной параболой
и прямой
.
5
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
,
,
.
150
6
Найдите площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс,
прямыми
и графиком функции
,
.
_________________________________________________
7
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
, x=0,
8
.
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
, осью ординат и
9
Вычислите
,
где
ограниченной линиями
Вычислите
10
,
где
,
площадь
,
S
–
фигуры,
.
площадь
,
фигуры,
.
Найдите значение выражения 3S, где S – площадь
11
фигуры, ограниченной линиями
,
,
.
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
12
,
.
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
,
14
–
,
ограниченной линиями
13
S
.
.
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
,
.
151
15
F1 ( ) и F2( ) – две различные первообразные функции
, причем F1 ( )=8, F2( )=12, F1 ( )=14.
Найдите F2( ).
§29. Применение определенного интеграла при решении
физических задач.
b
1.
Задача о вычислении пути: S   v(t )dt
a
2.
Задача о силе давления жидкости.
Сила давления Р жидкости на вертикально погруженную в
неё пластину, имеющую форму криволинейной трапеции
соответствующей функции y  f ( x), x  a, b вычисляется
по формуле:
b
P  g   x  f ( x)dx.
a
g - ускорение силы
 - плотность жидкости
b
3. Работа переменной силы A   f ( x)dx
a
152
Упражнения
№6.12
Тело
движется
прямолинейно
со
скоростью
v(t )  (2t 2  1) (м/с). Найдите путь, пройденный телом за
первые 5 с.
№6.13
Тело
движется
прямолинейно
со
скоростью
v(t )  (2t 3  1) (м/с). Найдите путь, пройденный телом за
промежуток времени от t=1 c до t=3 c.
№6.14 Скорость тела, движущегося прямолинейно, задается
2
формулой v(t )  (12t  3t )( м / с) . Найдите путь, пройденный
телом от начала его движения до остановки.
№6.15
Тело
движется
по
прямой
со
скоростью
v(t )  (6t  4)( м / с)
Найдите длину пути, пройденного телом за третью секунду,
№6.16 Определите давление воды на стенку шлюза, длина
которой 20м и высота 5м, считая шлюз доверху заполненным
водой.
№6.17 Вычислите работы, которую надо затратить на сжатие
пружины на 0,1м, если для сжатия ее на 0,01м нужна сила в
78 Н.
№6.18 Какую работы надо затратить на сжатие пружины на
153
4см, если известно, что сила в 2Н сжимает эту пружину на
1см?
№6.19 Сила в 6 Н растягивает пружину на 2 см. Какую
работу надо произвести, чтобы растянуть пружину до 6 см?
154
Ответы.
Глава1
№ 1.9. 1)1, 2)1, 3)нет, 4)4, 5)2, 6)нет, 7)11, 8)-2; 3, 9)3,
5 5
3 4
10)5, 11)3; 12) ; , 13)нет, 14)-5; 4, 15)2, 16)0; 2, 17)-109;
80, 18)1, 19)-1; 0, 20) 
1
12 12
; 2, 21)-2; -35, 22) 
;
,
511
129 127
5
2
23)  , 24)6, 25)1, 26)-6; -5; 
11
.
2
№ 1.12 1)29, 2)18, 3)12, 4)6, 5)20, 6)-4, 7)7, 8)0.
1
2
№ 1.14 1)-18, 2)  , 3)-92, 4)165, 5)5, 6)0, 7)82, 8)-6, 9)-3.
№ 1.15 1)-5; 3 , 2)4; 5, 3) 
11
3 1
11
; 2, 4) ; , 5)  ; 2 .
7
7
2 2
№ 1.16 1)-2; -1, 2)0; 2, 3)-3;6.
№ 1.20 1)беск. множ. вида ( x  t , y  t  1)
2)
3
( x  t, y  t )
5
3)беск.мн.
№ 1.21 1)(1; 4; 5), 2)(2; 3; 1), 3)(1; y; y-3), y  R , 4)(2; 4; 1),
5)(4; 3; 2),
6)(5; 3; 1), 7)(3; 5; 4),
8)(6; 2; 5).
№ 1.22 1)(3; 1; 4; 6), 2)(0; 0; 0; 0), 3)(8; 6; 4; 2), 4)(1; 2; 3; 4).
№ 1.23 Проходит.
№ 1.24 1)если a  4 , то x  
12
6
, y
;
4a
4a
155
если a  4 , то x  t , y 
t 3
;
2
если a  4 , то нет решения.
1
2
2)если a  , то x 
1
a2a  3
2a 2  a  1
, y
; если a  , то нет
2
21  2a 
21  2a 
решения.
3)если a  3 , то x  2 , y  1 ; если a  3 , то x  t , y 
a  6  3t
.
a
№ 1.25 a  1 .
№ 1.26 a  2 и a  4 .
№1.27 1). (-2,5;+∞); 2) (-∞;4); 3). (0,75;+∞); 4). (-∞; -9,75).
№1.28 1). x  3 u x  2 ; 2). х  R ; 3).
1
 x6;
3
5
2
1
2
4). нет
2
3
решений; 5).   x  1 ; 6). x  1 u x  4 ; 7). x  , x  ; 8).
6  x  2.
№1.29 1). (-∞;-2]U(1;+∞);
2). (-∞;-2]U(1;+∞);
∞;0]U(5;+∞); 4). (-∞;-2]U(1;+∞);
5). (-∞;-1)U[2;+∞);
3). (6). (-
∞;0]U(5;+∞).
№1.30 1).  ;3   2;2; 2).  ;8  1;6 ;
3).  9;5  10; ; 4).  4;0 ; 5).3
№ 1.31 №1.32.1). (-∞;-3]U(-1;1);
∞;3] x ≠-3;
2). (-∞;-5]U[5;+∞);
4). [-2;-2)U[6;+∞) ; 5). (0;+∞).
156
3). (-
№1.33 1). (-∞;-2)U(0,25;1] U [4;+∞);
№ 1.34 1). (-∞;1- 14 ]U(-1;3) U (1+ 14 ;+∞);2). нет решений;
5  13


3).  5;  U  ; 
3  3


Глава 2
1
2
1
4
2
3
№ 2.13 1) ; 2)  ; 3) 0; 4) ; 5) 2; 6) 
1
1
; 7) .
27
2
№ 2.14 1) -1/5; 2) 0; 3) 4; 4) 1/2; 5) 1/3; 6) 2; 7) 1/4; 8) 1/12;
9) 3; 10) 4; 11) 4; 12)  2 5 ; 13) 1/4.
Глава 3
№3.2 в)1; г)1.
1
1
 14

4 

2
ab

a

b
№ 3.3 б)

 ; г) c ; д) 3.


1
4
№3.5 в) 32
№3.6 в)
128
27
№3.7 г) 10
№3.8 в) равны
№ 3.9 1): а)
4) а)-11
; б)
; в)8
; б)9 ; в)-12; г)
; 2): 4,5; 3): а)6; б)18; в)13; г)81;
;
157
5): а)
; б) ; в) ;
6) а) ; б)
; в)
№3.10 1)96; 2)-1; 3)2013; 4)2; 5)-4; 6)-2; 7)9; 8)16.
5
2
3
2
№3.16 1)  ; 2) -5; 3)  ; 4) -4; 5) -6; 6) 3;
7) 1; 8) 3; 9) -2; 10) 0; 11) 
9
4
14)  ; 15)
20).
9
1
; 16) ;
2
6
17)
12
;
5
12)
5
;
2
13)
1
;
10
13
11
2
; 18)
; 19)  ;
2
5
5
7
.
10
№ 3.17 1) -2; 2) 2; 3) 2.
№ 3.18 1) 7; 2) 10,5; 3) 3,8 ; 4) 14; 5) -2; 6) 1,8.
№ 3.19 1) 2, 2).  6 ; 3) 1; 4) 0; 2 ; 5) 3; 6) 8; 7) 0.
№ 3.20 1)0; 2)0; 3)0; 4)3; 5)3;x 6)2; 7)2,5; 8)
3
; 9)0;-2; 10) -1
4
2
3
№3.21 1)9; 2)1; - ; 3)1; 4)-2;7; 5) -1; 6)1,5; 7)-2; 8)2;
9) log 2 (   2  1) , где  1.
№3.23 1) 1; ; 2)
2

  ;
5

7

 ; 3)   ; 

3
№ 3.24 1)  0,5; , 2)  4; , 3)  ;6,
1
5)   ;  ,

2
6) 0;1 .
158
4)  ;0,5 ,
№ 3.30 1) 14, 2) 13, 3) 8, 4) -0,8, 5) -8.
№ 3.31 1) 6, 2) 2, 3) -1+log35, 4) log53, 5) 6, 6)
2
, 7)-1
9
№3.40 1)-1; 2) 0; 3) 1; 2; 4) 65/33; 5) 5; 6) 1; 2; 7) 30;
100
№ 3.42 1)16, 2) 7, 3)14, 4) 2,5, 5) 3,6.
№ 3.43 1)-1; 2) 0; 3) 1; 2; 4) 65/33; 5) 5; 6) 1; 2; 7) 30; 100.
№ 3.44 1) 1; 2) 10;
3)
; 4) -2; 3; 5) 7; 6)
7) 7; 8) 13; 9) 2; 10) 0,01; 10; 11) 2; 12) 30;
№ 3.45 1: 1)15;
2)216;
;
.
3)13/21; 4)5
2: 1)100; 1000; 2) 28/9; 12
3: 1)1; 2)1; 4 3)1.
2
4: 1)64;
2)1/25; 25 3
5: 1) (1; 10)
2) (0,5; 0,25)
3) (10; 0,1) 4) (16; 10)
6: 1) (25; 4); (4;25)
2) (6; 2)
4) (16; 4) 5) (3; 27)
6) (2; 6)
№ 3.46 1) x   0,9 ;
3) (3; 4);
 7 2 2


;

2
2 

7) (9;25) , (25; 9).
2) 2;1;3) 1;3; 4)4;6; 5) 2 9 ;2.
№ 3.48 1) 2;6 ; 2) 1; ;
3) нет решений; 4)  10;20 ;
159
5)  0,5;0,5 ; 6)  0,5; 5  ; 7) 0;1  8;

7
Глава 4
№ 4.9 1) 1; 2) 1;
3). -2; №4 0; №5 1; №6 1; №7 0; №8
1; №9 2; №10 1; №11 3,5; №12 0; №13. 1; №14. 1.
№ 4.10 
19
3
№ 4.11
1
2
№ 4.12 1) 5,28; 2) 8,36; 3) -3; 4) -2,5; 5) -1,5; 6) -17,5;
7) -1,2
№ 4.13 а) 2 3 ; б) 1; в) 3
№ 4.18 1) 1; 2) -2; 3)0; 4)2006;
5)0;
6) 1;
№ 4.19 1)0,8; 2)0,6; 3)4; 4)-3; 5)0,5; 6) 0,5; 7)-0,75; 8)2;
№ 4.20 1)12; 2)39.
№ 4.26 1) 
4)

4
6) 
9) 

2
 2k , k   ;2) 

3
 k и  arctg 3  k , k   ; 5) 1 arcctg 2   k и
2

4

6
 k , k   ;
 k , k   ;
7) 

6
2
 2k , k  
3
 2k , k   ;3) 
2
8) 
k , k   ;
3 
 k , k ;
8
2

3
 k , k   ;
10)  arctg 2  k , k   .
№ 4.27 1) k , k   ; 2)

6
 k , k   ;
160


k
 2k , k   ;
3)

k ;
k ,
2
2
k , k ;
3
8)
4)
6)

2
k и    k , k ;
6

4
3

5

2
k
5
2
k , k   ; 7)    k и    k , k   ;
3
4 2
8 4


k , k   ; 9) k , k   ;
2
4
№4.28 1)
5)
 k , k   ; 2)
10) 

3

4
 k и

8


2
k , k .
 k , k   ;
1
3
3) arctg 2  k и arctg  k , k   ;
4)
6)

4

8)
4
 k и arctg
 k и arctg

2
 k и
10) k и

4

3
1
 k , k   ;
2
5)
1
 k , k   ;
2
1
 k и  arctg  k , k   ;
4
3
7) 
 k , k   ;
 k , k   ;

9) k и
11) 2k и

2

3

3
 k , k   ;
 k , k   ;
 2k , k   ;
12)   2k и  2arctg 0,75  2k , k   .
№4.29
3) 

6
1)

8


2
k , k ;
2)

4

 k , k   ; 4) k , k   ;
161

2
k , k ;
5) k и 

6
 k , k   ;
и
1
3
6) 2k , k   ; 7) (1) k arctg  k , k   .
№4.30 1)
4) 


2
k , k   ; 2) 
12

6) 

3

4
5)

6
6
k

6
2
k , k ;
3

3

2
7) 

2
 k и
 k и 
 k и 

4
 k и
3

8

2)  1
6
k

6
 k , k   ;

2
 k и arctg
6)  1k 1
4k  3 , k   ;
3
 k , k   .
4

6

6
 2k , k   ;
 2k , k   ;
 k , k   ;
 2k , k   ;
8) 2k и 2k  arctg3 , k   .
П П
 п, п  Z ;
12 2
3) (1) п 
П
П П
 Пп, п  Z ;
 п, п  Z 5) 
6
12 2
162
2
3
4) k и  1k
 2k , k   ;


 k , k   ; 2)   2k и 
№4.33 1) Пп; 2) (1) п 
4) (1) п 
3
4)  2k  1 , k   ; 5) 
2
 2k , k   ;
3

 k , k   ; 6)    2k , k   .
 k , k   ;
 k и arctg 2  k , k   ; 7)
№4.32 1)
3)
3
 k , k   ; 3)    k , k   ;
 k , k   ; 5)  1
k 1
№4.31. 1)  1
3)

П
 Пп, п  Z ;
3
6) Пп, п  Z
7) 
П
 Пк, к  Z ;
3
10) (1) 
8)
П
п, п  Z
2
9)
П
 2 Пп, п  Z ;
2
П
 Пп, п  Z .
6
Глава 5
2
4) (1  ln 2(2 x 2  3x))  23 x x
2
5) 3  10 x  3x 2  6 x 2  10 x3  2 x 4 ln 4 4 x
6) 2  3x e  x  2 x  3  ln 14  14 x
2
2
7)  2x 2  3x e  x
3
№5.5 1) 6 x  ln x  


3 x2 1
x
2
3 x 5
8) 2 x  3x  x  x  1 5  2 x   ln 2 2
2
3) 2 x  x 2  1e  x
2) 2x 3  3x 2  2xe x 3x
№5.4 1) (x+2)ex
2)
 x 2 5 x 
4
5
 x 1


 ln x 
x  1  x

1
2
3)
2 x ln  x   x
3 ln 2 x
5)
1 

3x  42 x  1
e x 1  ln  x  5 
 6) 3  log 5 x  1  x 2   2
x 5
x  x  1 ln 5


4) a x  2 x  ln a  ln x 2  4 x  12 
2

№5.6 1) 2 cos 2x 2) a  cosa  x
 a  sin a  x 5) 2  cos 2x  3  sin 3x
7)
6 x 2  15  sin 10 x
№5.7 1)
 sin
x
3
3)  3 sin 3x
3
 cos 3 x 3)
2
163
2x  4 

x  4 x  12 
2
4)
6) 1  2  sin 2x
8) cos 3x .
2)
2
cos ax
4) 2 x  cosx  1  x 2  sin x  1 5) 2  cos3  2x  2  cos3  2x
2
6) 24  sin 2 4 x  cos 4 x 7) 1  tg 3x 8)


6  tg  3  x   tg 2  2  x 

2
2
9) 24  tg 4 x  1  1  tg 4 x



2
2
10)  24  ctg 2 x  1  ctg 2 x .
№5.9 1) 3; 2) 0; 3) 4.
№5.10 1) y  3x  1, y  12 x  17; 2) y  2, y  1 

2
x
№5.11 1) (-1;-1), (0;2), (1;-1)
1)arctg 3 в т. (0;0),   arctg 6 в т. ( 3;0)
№ 5.12


3

2)
в т. (  2n;0),
в т. (   2n;0), n  Z
4
2
4
2
№ 5.16
1) 6; 2) 13,5; 3) 25; 4) 1; 5) 5; 6) 72; 7) 2; 8) 3; 9) 2;
10) 5.
№5.18 12+24+18
№5.19 3) f(2)=56 наиб., f(1)=-2 наим. 4) f(-2)=2 наиб., f(-3)=1,5
наим.
№5.22 12+12
№5.24 12м, 12м
№5.25 8см, 8см

3 3
3
№5.26 1) f ( ) 
наиб., f ( )  2 наим.
3
2
2
1
2) f (3)  4 наиб., f (5)  5 наим.
3
164
Глава 6
№6.7 1)
4)
1 2
x  3x  13 , 2) sinx – cosx = 1, 3) 2 ln x  x  3 ,
2
1 x
e  sin x ,
2
№6.8 1)
1 2
x  1 , 2) y  ln x  1 , 3) S=2t3 +t+3,
2
1
3
4) S  t 3  3t 2  7t  4 ,
№6.9 1) 1,5; 2) 9; 3)
2
3
10) 4 ; 11) 45;12)
17) 3,69; 18)
6
2
;
3
15 ;
64

5) S=4sint+6.
4) 2; 5) 2; 6)
2
2;
3
7) 3,25; 8)
1
3
; 9) ;
6
8
; 13) 21 13 ; 14) 47; 15) 0,277;
3 2 1
16) 2,14;
19) 0,8; 20) 0,114; 21) 1; 22) 2; 23) 2; 24) 2;
25) 1 1 ; 26).0,75; 27) 2; 28) 3,96; 29) -0,68; 30)
3
2
3;
3
31) e   1 ; 32)-0,31.
№ 6.10 1) 10, 2) 15, 3)
37
1
,
3
1
4) 1, 5) 4 ; 36; 4,5 , 6) ; 18; 13,5; 2
6
3
№6.11 1) 1 , 2) 0,25, 3) 4, 4) 32, 5) 4, 6) 3, 7) 0,2, 8) 12,
9) 16, 10) 32, 11) 10, 12) 9, 13) 4,5, 14) 9, 15) 6
№6.12 265/3 м.
№6.16 2,45 МН
№6.13 42 м. №6.14 32 м.
№6.15 19 м.
№6.17 39 Дж №6.19 0,54 Дж
165
Литература:
1. Валуцэ И.И. Математика для техникумов,-М: Наука.
Гл.ред.физ-мат.лит., 1989.-576с.
2. Зайцев И.Л. Элементы высшей математики,-М:Наука,
1974.-415с.
3. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа,- М:
Просвещение, 2003.-384с.
6. Богомолов Н.В. Сборник дидактических заданий по
математике,-М:Высшая школа, 1987.-192с.
7. Яковлев Г.Н. Математика для техникумов. Алгебра и
начала анализа,-М:Наука. Гл.ред.физ-мат. лит., 1988.-464с.
8.Кочагин В.В. Математика. Тематические тренировочные
задания,-М: Эксмо, 2009.-136с.
166