Практика №10.

Практика №10.
П.1.Вычисление криволинейных интегралов первого типа.
Пример10.1. Найти с помощью криволинейного интеграла длину астроиды x  cos 3 t , y  a sin 3 t.
Решение.
Воспользуемся
L
формулой

ds. В
нашем
случае
( L)
xt  3a cos 2 t sin t , y t  3a sin 2 t cos t , ds  9a 2 cos 4 t sin 2 t  9a 2 sin 4 t cos 2 t dt 
3a
sin 2tdt.
2
Поскольку кривая симметрична относительно осей координат, то


3a
 cos 2t  2
L   ds  4  sin 2tdt  6a 
 6a
2
2  0

( L)
0
2
10.2.Вычислить данный криволинейный интеграл первого типа:
ds
L x  y , где (L) – отрезок прямой y  x  2, соединяющий точки (2;4) и (1;3).
10.3.Вычислить данный криволинейный интеграл первого типа:
x
ds
( L) x  y , где (L) – отрезок прямой y  2  2, соединяющий точки (0;-2) и (4;0).
10.4.Вычислить данный криволинейный интеграл первого типа:
2
 yds, где (L) – дуга параболы y  2 x от точки (0;0) до точки (1; 2) .
( L)
10.5.Вычислить данный криволинейный интеграл первого типа:
2
2
2
2
  x ds, где (L) – верхняя половина окружности x  y  a .
(L)
10.6.Вычислить данный криволинейный интеграл первого типа:

x 2  y 2 ds, где (L) – кривая x  a(cos t  t sin t ), y  a(sin t  t cos t ) (0  t  2 ).
( L)
10.7.Вычислить данный криволинейный интеграл первого типа:
 xyds, где (L) – прямоугольник, ограниченный прямыми x=0, x=4, y=0, y=2.
(L)
10.8.Вычислить данный криволинейный интеграл первого типа:
1

( L)
ds
x y
2
2
, где (L) – отрезок прямой y 
x
 2, соединяющий точки (0;-2) и (4;0).
2
10.9.Вычислить данный криволинейный интеграл первого типа:
 xds, где (L) – отрезок прямой, соединяющий точки (0;0;) и (1;2).
( L)
10.10.Вычислить данный криволинейный интеграл первого типа:
ds
( L) x 2  y 2  4 , где (L) – отрезок прямой, соединяющий точки (0;0;) и (1;2).
10.11.Вычислить данный криволинейный интеграл первого типа:
2
2
 ( x  y)ds, где (L) – правый лепесток лемнискаты   a cos 2 .
( L)
10.12.Вычислить данный криволинейный интеграл первого типа:

x 2  y 2 ds, где (L) – окружность x 2  y 2  ax .
( L)
10.13. Вычислить с помощью криволинейного интеграла площадь цилиндрической
поверхности, ограниченной снизу плоскостью xOy, а сверху указанными поверхностями
вида z  f ( x; y ) :
y 2  2 x, z  2 x  4 x 2 .
10.14. Вычислить с помощью криволинейного интеграла площадь цилиндрической
поверхности, ограниченной снизу плоскостью xOy, а сверху указанными поверхностями
вида z  f ( x; y ) :
xy
x2  y2  R2 , z 
.
2R
10.15. Вычислить с помощью криволинейного интеграла площадь данной цилиндрической
поверхности, ограниченной снизу плоскостью xOy, а сверху указанными поверхностями
вида z  f ( x; y ) :
4
y 2  ( x  1) 3 , z  2  x.
9
10.16. Найти площадь боковой поверхности параболического цилиндра y 
3 2
x , ограниченного
8
плоскостями z=0, x=0, z=x, y=6.
10.17. Вычислить площадь части цилиндрической поверхности y  x 2 (1  x  2) над плоскостью
xOy, срезанной сверху поверхностью z=x+y.
2
10.18. Найди массу дуги эллипса x  a cos t , y  b sin t (0  t  2 ) , если линейная плотность её в
точке (x;y) равна  ( x; y)  y .
10.19. Найти массу дуги параболы y 
плотность  ( x; y ) 
x2
, лежащей между точками (1;0,5) и (2;2), если линейная
2
y
.
x
10.20. Вычислить массу кривой x  ln( 1  t 2 ), y  2arctg t–1 на участке от t=0 до t=1, если линейная
y
плотность её  ( x; y )  x .
e
10.21. Вычислить массу четвёртой части эллипса
линейная плотность  ( x; y )  xy.
x2 y 2

 1, лежащей в первом квадранте, если
a 2 b2
П.2. Вычисление криволинейных интегралов второго типа
10.22. Вычислить криволинейный интеграл второго типа:
 xydx, где (L) – дуга синусоиды y  sin x от x  0 до x   .
(L)
10.23. Вычислить криволинейный интеграл второго типа:
x y
( L )xdy, где (L) – отрезок прямой a  b  1 от точки (a;0) до точки (0;b).
10.24. Вычислить криволинейный интеграл второго типа:
2
2
2
 ( x  y )dx, где (L) – дуга параболы y  x от точки (0;0) до точки (2;4).
( L)
10.25. Вычислить криволинейный интеграл второго типа:
2
2
 ( x  y )dy, где (L) – контур прямоугольника, образованного прямыми x=1, x=3, y=1, y=5 в
( L)
положительном направлении (т.е. направлении против часовой стрелки).
10.26. Вычислить криволинейный интеграл второго типа:
2
2
2
2
 ( x  y )dx  (x  y )dy в положительном направлении по эллипсу
( L)
x2 y2

 1.
a 2 b2
3
10.27. Вычислить криволинейный интеграл второго типа:
2
2
 4 x sin ydx  y cos 2 xdy вдоль прямой линии от точки (0;0) до точки (3;6).
( L)
10.28. Вычислить криволинейный интеграл второго типа:
 xdy,
где (L) – контур треугольника, образованного осями координат и прямой
( L)
x y
  1в
2 3
положительном направлении.
10.29. Вычислить криволинейный интеграл второго типа:
 ydx  xdy, где (L) – четверть окружности
x  r cos t , y  r sin t от t  0 до t 
( L)

.
2
10.30. Вычислить криволинейный интеграл второго типа:
(1;1)
 2 xydx  x dy вдоль кривых: а) y=x;
2
б) y  x 2 ; в) y  x3 ; г) y 2  x.
( 0; 0 )
10.31. Вычислить криволинейный интеграл второго типа:
 (2a  y)dx  xdy , где (L) – арка циклоиды x  a(t  sin t ) , y  a(1  cos t ) (0  1  2 ).
( L)
10.32. Вычислить криволинейный интеграл второго типа:
ydx  xdy
( L) x2  y 2 по окружности x  a cos t , y  a sin t в положительном направлении.
10.33. Вычислить криволинейный интеграл второго типа:
xy( ydx  xdy)
вдоль правого лепестка лемнискаты
( L) x 2  y 2
 2  a 2 cos 2
в положительном
направлении.
10.34. Вычислить интеграл, предварительно убедившись, что он не зависит от пути
( 2; 3)
интегрирования:
 xdy  ydx.
( 1; 2 )
10.35. Вычислить интеграл, предварительно убедившись, что он не зависит от пути
(1; 2 )
2 xdx y 2  3x 2

dy.
интегрирования: 
y3
y4
( 0;1)
4
10.36. Вычислить интеграл, предварительно убедившись, что он не зависит от пути
(1; 2 )
ydx  xdy
интегрирования: 
.
x2
( 2;1)
10.37. Вычислить интеграл, предварительно убедившись, что он не зависит от пути
( 3; 0 )
интегрирования:
 (x
4
 4 xy3 )dx  (6 x 2 y 2  5 y 4 )dy.
( 2; 1)
10.38. Вычислить интеграл, предварительно убедившись, что он не зависит от пути
( 2 ; )
y2
y
y y
y
интегрирования:  (1  2 cos )dx  (sin  cos )dy.
x
x
x x
x
(1; )
10.39. Проверить, являются ли данные выражения полными дифференциалами функций двух
переменных, и если да, то найти эти функции:
( x 2  2 xy  y 2 )dx  ( x 2  2 xy  y 2 )dy.
10.40. Проверить, являются ли данные выражения полными дифференциалами функций двух
переменных, и если да, то найти эти функции:
(3x 2  2 xy  y 2 )dx  ( x 2  2 xy  3 y 2 )dy.
10.41. Проверить, являются ли данные выражения полными дифференциалами функций двух
переменных, и если да, то найти эти функции:
(e2 y  5 y 3e x )dx  (2 xe2 y  15 y 2e x )dy.
10.42. Проверить, являются ли данные выражения полными дифференциалами функций двух
переменных, и если да, то найти эти функции:
1
2x
(12 x 2 y  2 )dx  (4 x3  3 )dy.
y
y
10.43. Проверить, являются ли данные выражения полными дифференциалами функций двух
переменных, и если да, то найти эти функции:
2 x(1  e y )
ey
dx

dy.
(1  x 2 )2
1  x2
10.44. Проверить, являются ли данные выражения полными дифференциалами функций двух
переменных, и если да, то найти эти функции:
( x 2  2 xy  5 y 2 )dx  ( x 2  2 xy  y 2 )dy
.
( x  y )3
5
10.45. Проверить, являются ли данные выражения полными дифференциалами функций двух
переменных, и если да, то найти эти функции:
y
x
(
 2
)dx  2 xydy.
2
2
x  y2
1 x  y
ОТВЕТЫ
10.2.
2
ln 2
2
10.3.
5 ln 2.
10.4.
1
(3 3  1)
3
10.5.
a 2
2
10.6.
3

a2 
2 2
(1  4 )  1.
3 

10.7.
24
10.8.
ln
3 5  17
2
10.9.
3
2
10.10.
ln
5 3
2
6
10.11.
1
(56 7  1).
54
10.12.
2a 2
10.13.

.
4
10.14.
R2.
10.15.
11
.
3
10.16.
16
(10 10  1).
27
10.17.
23
.
6
10.18.
2b(b  a
arcsin 

), где  
a 2  b2
– эксцентриситет эллипса.
a
10.19.
125  8
6
10.20.
2
16

ln 2
.
2
10.21.
ab(a 2  ab  b 2 )
.
3(a  b)
10.22.

7
10.23.
ab
.
2
10.24.
56
 .
15
10.25.
32
10.26.
 (a 2  b 2 ).
10.27.
18.
10.28.
3.
10.29.
0.
10.30.
а)1;
б)1;
в)1;
г)1.
10.31.
 2a 2 .
10.32.
 2 .
10.33.
0.
10.34.
8
10.35.
5
.
8
10.36.
3
 .
2
8
10.37.
64.
10.38.
  1.
10.39.
( x; y ) 
x3
y3
 x 2 y  xy2 
 C.
3
3
10.40.
( x; y)  x3  x 2 y  xy2  y 3  C.
10.41.
( x; y)  xe2 y 5 y 3e x  C.
10.42.
( x; y )  4 x3 y 
x
 C.
y2
10.43.
ey 1
( x; y ) 
 C.
1  x2
10.44.
( x; y)  ln( x  y) 
2 y2
 C.
( x  y)2
10.45.
не является полным дифференциалом.
9