Раздел 1. Основы линейной алгебры и аналитической геометрии

Правительство Российской Федерации
Государственное образовательное бюджетное учреждение
высшего профессионального образования
«Государственный университет Высшая школа экономики»
Факультет Психологии
Программа дисциплины
Математика для психологов
для направления 030300.62 «Психология» подготовки бакалавра
Автор: старший преподаватель Тюрникова Г.В.
Рекомендована секцией УМС
Математические и статистические
методы в экономике
Председатель
_________________ А.С. Шведов
«____»__________________ 2007 г
Одобрена на заседании кафедры
Высшей математики
Зав. кафедрой С.А. Логвенков
________________________
«_____» ______________ 2007 г.
Утверждена УС факультета
Психологии
Ученый секретарь
________________________________
« ____» ___________________2007 г.
Москва
I.Пояснительная записка.
Требования к студентам: знание курса математики по программе средней
общеобразовательной школы.
Аннотация: Курс ставит одной из своих целей привить необходимую
математическую культуру использования науки в социально-экономической и
деловой сферах; обучение математическим методам на материале, включающем
количественные характеристики социально-экономических, психологических
процессов и явлений.
Теперь уже не обсуждается вопрос, стоит ли преподавать математику
гуманитариям, она давно преподается. Вопрос в том, как ее им преподавать.
Проблема здесь, в первую очередь, психологическая, так как, почему-то многие
относят математику к самой, что ни на есть, точной науке, ставя равенство
между математикой и техническими дисциплинами, вторая – некачественное
преподавание математики в школе.
Автор же считает, что математика – самая гуманитарная и, несомненно,
самая гуманистическая наука. Ее следует ставить в один ряд с поэзией, музыкой.
И изучать ее могут все, в том числе и юристы, и врачи, и теологи, и журналисты,
и музыканты, и др. И не потому, что «любая наука достигает совершенства,
когда ей удается пользоваться математикой» (для психологии актуально), но
ради формирования стиля мышления, ощущения гармонии, и т.п. В этом
общепедагогическая значимость дисциплины.
Психологам же, помимо названных причин, математика необходима
именно в прикладном значении: математические методы в психологии
невозможно изучать без классического курса математики, теории вероятностей,
математической статистики.
Объем теоретического материала невелик. Курс построен так, что не
требуется
углубленная
школьная
подготовка,
но
при
его
изучении
предполагается наличие терпения, аккуратности и воли. Наличие мощных
программных средств, в том числе математического направления, позволяют не
концентрироваться на громоздких рутинных операциях, появляется время для
анализа, выводов, философии: какую роль играет математика в формировании
мировоззрения, становления психики человека, и т.д.
К важнейшим аспектам общеобразовательной значимости математики для
психологов следует отнести:

мировоззренческий. Он связан с формированием системного
мышления; системного подхода к анализу процессов и явлений
окружающего мира;

логический. Он связан с формированием и развитием логического
мышления; систематизацией знаний об окружающем мире;

«пользовательский». Он связан с приобретением и использованием
навыков математической постановки и решения классических
оптимизационных задач, моделирования, прогнозирования и
экстраполяции;
2

творческий. Связан с развитием и формированием творческого
мышления, самореализацией личности.
Дидактические цели курса (Учебная задача курса):
Дидактическими целями курса являются:
Знать:
основные методы классического математического анализа,
линейной алгебры, аналитической геометрии. Основные
направления приложений методов математического анализа
и линейной алгебры в современной области социальных
наук.
Уметь:
использовать
полученные
знания
при
постановке
прикладных
задач,
их
решении;
содержательно
интерпретировать получаемые количественные результаты;
правильно и уместно использовать математическую
терминологию в своей профессиональной деятельности.
Понимать:
роль математики в исследовании социально-экономических,
психических процессов и явлений, роль логической
культуры в становлении взаимоотношений между людьми,
становлении личности, формировании качеств личности.
Исследовать: возможности использования, применения полученных
знаний в профессиональной деятельности, развития
творческого, логического, парадоксального и др. типов
мышления, самоактуализации.
II.Тематический план учебной дисциплины.
№
Название темы
(1-5 модули 1-го курса)
Всего Аудиторные часы
часов
Самостоятельная
работа
Лекции Сем. и практ.
занятия
1
2
Раздел 1. "Основы
линейной алгебры и
аналитической
геометрии"
Тема 1. Матрицы и
определители.
Тема 2. Системы
линейных уравнений.
Тема 3. Векторы.
Тема 4. Собственные
значения и собственные
векторы.
Тема 5. Прямая и
плоскость.
Раздел 2. "Основы
математического
анализа"
Тема 1. Функции и
графики.
64
12
12
40
18
4
4
10
14
2
2
10
9
2
2
5
9
2
2
5
14
2
2
10
160
40
40
80
8
2
2
4
3
3
4
Тема 2.
8
Последовательность.
Тема 3. Предел функции.
10
Тема 4. Непрерывность
8
функции.
Тема 5. Производная
12
функции. Дифференциал.
Тема 6.Исследование
12
функции.
Тема 7.Первообразная и
16
неопределенный интеграл.
Тема 8.Определенный
10
интеграл.
Тема 9.Несобственный
8
интеграл.
Тема 10.Обыкновенные
дифференциальные
16
уравнения.
Тема 11.Функция многих
переменных.
12
Производная.
Дифференциал.
Тема 12. Экстремумы
функции многих
16
переменных.
Тема 13. Числовые ряды.
12
Тема 14.Функциональные
(степенные, ряды Фурье)
12
ряды.
Раздел 3. Элементы
50
дискретной математики
Тема 1.Элементы теории
14
множеств.
Тема 2. Элементы
14
математической логики.
Тема 3. Комбинаторика.
22
Раздел 4. Основы теории
58
вероятностей.
Тема 1. События.
18
Операции над событиями.
Тема 2.Вероятность.
Сложение, умножение
18
вероятностей.
Тема 3. Повторение
22
испытаний.
Итого
324
2
2
4
2
2
6
2
2
4
4
4
4
2
2
8
4
4
8
2
2
6
2
2
4
4
4
8
2
2
8
4
4
8
4
4
4
4
4
4
8
8
34
2
2
10
2
2
10
4
4
14
12
12
34
4
4
10
3
3
12
5
5
12
72
72
180
4
III.Формы контроля. Формирование итоговой оценки.
Изучение «Математики» - 1,2,3,4, 5 модули I курса.
1 модуль – 7 рабочих недель; формы текущего контроля:
– домашнее задание № 1 (срок сдачи*) – 6-я неделя);
2 модуль – 8 рабочих недель; формы текущего контроля:
- контрольная работа № 1 (5-я неделя);
– зачет ( зачетная неделя);
3 модуль – 7 рабочих недель; формы текущего контроля:
– домашнее задание № 2(срок сдачи – 6-я неделя);
4 модуль – 7 рабочих недель; формы текущего контроля:
- контрольная работа № 2 (5-я неделя);
– домашнее задание № 3(срок сдачи – 7-я неделя);
5 модуль – 7 рабочих недель; формы контроля:
– экзамен( зачетная неделя).
Зачет содержит практические задания.
Экзаменационный билет содержит теоретические вопросы (см. IV раздел),
практические задания. Один из дополнительных вопросов – творческий –
«математика в психологии» обязателен для каждого билета, оценивается
дополнительно.
По желанию, студенты могут писать дополнительные рефераты, эссе,
тематика которых согласовывается с преподавателем. Этот вид работы
оценивается отдельно, так как не является обязательным, и учитывается при
выставлении итоговой оценки.
Итоговая оценка за первый и второй модули:
O1  0,1 Oд.з.1  0,2  Oт.р.  0,3  Oк . р.1  0,4  Озач.
Итоговая оценка за третий, четвертый и пятый модули:
O2  0,1  Oд.з.2  0,1  Oд.з.3  0,15  От. р.  0,25  Ок . р.2  0,4  Оэкз
где: Oк . р .i – оценка за i-ю контрольную работу(i=1;2);
Oт.р.
– средняя арифметическая оценка за текущую работу в каждом
полугодии;
Oд.з.i
Озач.
Оэкз.
– оценка за I –ое домашнее задание (i=1;2;3);
– оценка, полученная на зачете;
– оценка, полученная на экзамене.
Итоговая оценка (годовая):
Oи  0,4  O1  0,6  O2 .
Все формы контроля оцениваются по 10-балльной шкале с округлением до
целых единиц на стадии промежуточного контроля.
Итоговая оценка по 5-балльной и по 10-балльной шкале проставляется в
ведомость и зачетную книжку студента.
Оценка «отлично» по 5-балльной шкале соответствует 8, 9, 10 по 10балльной шкале; «хорошо» – 6, 7; «удовлетворительно» – 4, 5;
«неудовлетворительно» – 1, 2, 3.
Указан последний срок сдачи работы. Позже – работы не принимаются; засчитывается
академическая задолжность (0 баллов).
*)
5
IV.Учебно-методическое обеспечение дисциплины:
Базовые учебники:
Линейная алгебра:
1. Игнатьева А.В., Краснощекова Т.И., Смирнов В.Ф. Курс высшей
математики. М.: Высшая школа, 1968.,с.692.
2. Ильин В.А., Позняк Э.Г., Линейная алгебра. М.: Наука, 1984г.,с.294.
Аналитическая геометрия:
1. Игнатьева А.В., Краснощекова Т.И., Смирнов В.Ф. Курс высшей
математики. М.: Высшая школа, 1968.,с.692.
2. Выгодский М.Я., Аналитическая геометрия. М.: Высшая
школа,1962г.,528.
Основы математического анализа:
1. Игнатьева А.В., Краснощекова Т.И., Смирнов В.Ф. Курс высшей
математики. М.: Высшая школа, 1968.,с.692.
2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления (для
втузов). Т.1,2.-М.:Наука,1965.-с.548, с.312.
3. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.1,2.-М.:Наука,1965.-с.479,
с.655.
Теория множеств:
1. Верещагин Н.К., А.Шень. Начала теории множеств. Лекции по
математической логике и теории алгоритмов.- М.:МЦНМО, 1999. – 128с.
Математическая логика:
1. Ерусалимский Я.М. Дискретная математика: теория, задачи, приложения.
Учебное пособие. – М.: Вузовская книга,
Комбинаторика:
1. Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. М.: Наука. 1975.
2. Ерусалимский Я.М. Дискретная математика: теория, задачи, приложения.
Учебное пособие. – М.: Вузовская книга, 2001. – 280с.
Основная:
1. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической
статистики. Серия «Учебники для вузов». – СПб, «Лань», 1999,2002.
2. Боровков А.А. Теория вероятностей. – М.: Эдиториа УРСС, 1999. – 472с.
3. Гмурман В.Е.Теория вероятностей и математическая статистика.-М.:
Высшая школа, 1999.
4. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. Учебник для
университетов. 7-е издание. – М.: Эдиториал УРСС, 2001.
5. Кудрявцев В.А., Демидович Б.В. Краткий курс высшей математики. М.:
Наука, 1978.
6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1984.
7. Шевцов Г.С. Линейная алгебра. М.: Гардарики, 1999.
8. Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1998.
9. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. М.: Высшая школа, 1998.
6
10. .Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Линейная алгебра с элементами
аналитической геометрии. М.: ГУ-ВШЭ, 1998.
11. .Самовол В.С., Агафонов В.Г., Куренкова Е.А. Математика. Часть I.
Основы математического анализа. М.: Издательство РГГУ, 1997.
12. .Самовол В.С., Куренкова Е.А. Математика. Часть II. Основы линейной
алгебры. М.: Издательство РГГУ, 1998.
13. .Рогов А.Т. Задачник по высшей математике. М.: Высшая школа, 1973.
14. .Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической
статистики. – СПб, «Лань», 1999.
15. .Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Метаматика для техникумов. – М.:
Наука,1980.- 496с.
16. .Вентцель Е.С., Теория вероятностей. – М.: Высшая школа,2002. – 575с.
17. .Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее
инженерные приложения. – М.: Высшая школа,2000. – 383 с.
18. .Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистики. – М.: Высшая школа,1970.-239с.
19. .Гмурман В.Е.Теория вероятностей и математическая статистика.-М.:
20. .Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: «Наука», 1974.
21. .Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б., Теория
вероятностей и математическая ститистика. – М.: Высшая школа, 1991. –
400с.
22. .Математическая энциклопедия.Т.1 – 5. – М.: Советская энциклопедия,
1984.
23. .Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления. Т.1,2,3. – М.:Наука,1966.-с.607,с.807,с.656.
24. .Чернов Г., Мозес Л. Элементарная теория статистических решений. – М.:
«Советское радио», 1962
25. .Холл М. Комбинаторика. М.: Мир. 1970.
26. .Шипачев В.С. Основы высшей математики. Учебное пособие для вузов. –
М.: Высшая школа. 1998. – 479с.
27. .Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. Учебное пособие
для вузов. – М.: Высшая школа, 2001. – 384с.
28. .Яглом А.М., Яглом И.М.Неэлементарные задачи в элементарном
изложении. М.: Гостехиздат. 1954.
Дополнительная:
1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике (для инженеров
и учащихся втузов).- 13-е изд., исправленное. – М.: Наука,1986.-544с.
2. Лихтарников Л.М., Сукачева Т.Г. Математическая логика. Курс лекций.
Задачник – практикум и решения. Серия «Учебники для вузов». – СПб,:
Лань,1999.
3. Очерки по истории математики: Учебное пособие / под редакцией
Б.В.Гнеденко/. – М.: Изд-во МГУ, 1997.
4. Савельев Л.Я. Комбинаторика и вероятность. Новосибирск. Наука.1975.
5. Сидоренко Е.В. Метода математической обработки в психологии. – СПб.:
Речь, 2000.
6. Стоянов Йордан. Контрпримеры в теории вероятностей. – М.: Факториал,
1999.
7. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. – М.: ИНФРА-М,
2003.
7
8. Чернов Г., Мозес Л. Элементарная теория статистических решений. – М.:
«Советское радио», 1962.
9. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложение. М.: Мир. 1964.
10. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. – М.: Агар, 2000.
11. Ширяев Л.Н. Вероятность. М.: Наука. 1980.
12. Математический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия,
1988.
13. Математическая энциклопедия. Т. 1-5. М.: Советская энциклопедия, 1977.
14. Райзер Г. Комбинаторная математика. М.: Мир. 1966.
15. Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ. М.: ИЛ. 1963.
16. Шикина Г.Е., Шикин Е.В. Гуманитариям о математике. М.: УРСС, 2001.
17. Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989.
18. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. М.:
Наука, 1966.
19. Фридман Л.М. Учитесь учиться математике. М.: Просвещение, 1985.
20. Глейзер Г.И. История математики в средней школе. М.: Просвещение, 1970.
21. Клайн М. Математика. Поиск истины. М.: Мир, 1988.
22. Арнольд В.И. Истории давние и недавние. М.: Фазис, 2002.
23. Славутский И.Ш. И в шутку и всерьез о математике. С-Пб.: Информатизация
образования, 1998.
24. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Элементы дискретной математики.
Учебник для вузов. – М.:ИНФРА-М;
25. Хургин Я.И. Ну и что? М.: Интерконтакт, Наука, 2002.
26. Грес П.В. Математика для гуманитариев. М.: Юрайт, 2000.
27. Кук Д., Бейз Д. Компьютерная математика. М.: Наука, 1990.
28. Курбатов В.И., Угольницкий Г.А. Математические методы социальных
технологий. М.: Вузовская книга, 1998.
29. Пухначев Ю.В., Попов Ю.П. Математика без формул. М.: Знание, 1978.
V.Содержание программы.
Раздел 1. Основы линейной алгебры и аналитической геометрии
Матрицы и операции над ними. Определитель, его свойства и методы
вычисления. Минор, алгебраическое дополнение. Обратная матрица. Ранг
матрицы.
Система линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений,
размерность пространства решений. Неоднородные системы линейных
уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Методы решений: метод Крамера,
метод Гаусса, матричный метод, метод подстановки. Геометрическая
интерпретация решения.
Векторы и операции над ними. Разложение вектора по базису. Линейно
зависимые, линейно независимые системы векторов.
Собственные значения и собственные векторы.
Прямая и плоскость в R 3 .
Раздел 2. Основы математического анализа.
Функции и их графики. Способы задания функций. Свойства функции.
Сложная функция. Обратная функция. Функция, заданная неявно.
Последовательность.
Свойства
последовательностей.
Предел
последовательности.
Предел функции y  f  x . Теоремы о пределах. 1-й, 2-й замечательные
пределы. Бесконечно большие, бесконечно малые функции.
8
Непрерывность функции. Основные теоремы. Классификация точек
разрыва.
Производная функции в точке. Геометрический смысл производной.
Основные теоремы. Производные основных элементарных функций.
Производная сложной функции. Дифференциал. Производные высших порядков.
Правило Лопиталя.
Исследование функций. Применение производных для исследования
функций. Экстремальные задачи и их решение.
Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного
интеграла. Методы интегрирования: замена переменной, интегрирование по
частям. Методы интегрирования некоторых классов элементарных функций.
Определенный интеграл функции y  f  x на отрезке a, b как предел
интегральных сумм. Геометрический смысл и свойства определенного
интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Приложения определенного интеграла.
Несобственный интеграл.
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши.
Дифференциальные уравнения высших порядков.
Функции многих переменных. Производные функций многих переменных.
Дифференциал. Экстремумы функции многих переменных.
Числовые ряды (знакоположительные, знакочередующиеся). Основные
определения. Признаки сходимости.
Функциональные ряды. Степенной ряд. Область сходимости. Ряд Фурье.
Раздел 3. Элементы дискретной математики.
Комбинаторика. Перестановки. Размещения. Сочетания. Элементы теории
множеств и математической логики.
Раздел 4. Основы теории вероятностей.
Основы теории вероятностей. События. Операции над событиями.
Вероятность. Сложение, умножение вероятностей. Формула полной вероятности.
Формула Бейеса. Повторные испытания. Случайная величина и ее функция
распределения. Числовые характеристики случайных величин.
VI.Вопросы для оценки качества освоения дисциплины.
Матрицы и операции над ними.
Определитель, его свойства, вычисление.
Минор, алгебраическое дополнение.
Ранг матрицы.
Обратная матрица.
Система линейных уравнений, основные понятия.
Теорема Кронекера-Капелли.
Методы решения систем линейных уравнений.
Однородные системы линейных уравнений. Базисные
переменные.
10. Собственные значения и собственные векторы.
11. Векторы, линейные операции над векторами.
12. Скалярное произведение векторов. Приложения.
13. Векторное произведение векторов. Приложения.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
и
свободные
9
14. Смешанное произведение векторов. Приложения.
15. Линейная зависимость и независимость векторов.
16. Функция. Основные понятия.
17. Способы задания функции. Сложная функция. Обратная функция.
18. Свойства функций.
19. Последовательность. Свойства. Предел последовательности.
20. Односторонние пределы.
21. Предел функции y  f  x  .
22. Основные теоремы о пределах функции.
23. Бесконечно малые функции. Их свойства.
24. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые.
25. Бесконечно большие функции. Их свойства.
26. Первый замечательный предел.
27. Второй замечательный предел.
28. Непрерывность функции. Основные понятия.
29. Точки разрыва, их классификация. Примеры.
30. Непрерывность элементарных функций.
31. Свойства функций, непрерывных в точке.
32. Производная функции в точке. Геометрическая интерпретация.
33. Основные теоремы.
34. Производные основных элементарных функций.
35. Производная сложной функции.
36. Дифференциал. Геометрическая интерпретация.
37. Правило Лопиталя.
38. Монотонность функции.
Экстремумы.
39. Выпуклость, вогнутость функции. Точки перегиба.
40. Производные высших порядков функции одного переменного.
41. Производные функции нескольких переменных.
42. Производные высших порядков функции многих переменных.
43. Экстремумы функции многих переменных.
44. Первообразная. Неопределенный интеграл. Геометрическая интерпретация.
45. Свойства неопределенного интеграла.
46. Методы интегрирования: замена переменной.
47. Методы интегрирования: интегрирование по частям.
48. Методы интегрирования некоторых классов элементарных функций:
элементарные дроби, рациональные функции, тригонометрические функции.
49. Примеры некоторых интегралов, не выражающихся через элементарные
функции.
50. Определенный интеграл. Геометрический смысл.
51. Свойства определенного интеграла.
52. Формула Ньютона-Лейбница.
53. Приложение определенного интеграла.
54. Несобственные интегралы.
55. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия.
Геометрический смысл. Задача Коши.
56. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися
переменными.
57. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
58. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
59. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение
порядка.
10
60. Линейные однородные дифференциальные уравнения высшего порядка с
постоянными коэффициентами.
61. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высшего порядка с
постоянными коэффициентами со специальной правой частью.
62. Числовые ряды. Основные понятия. Свойства ряда.
63. Необходимые признаки сходимости ряда.
64. Достаточные признаки сходимости: признак Даламбера.
65. Достаточные признаки сходимости: признак Коши.
66. Достаточные признаки сходимости: интегральный признак.
67. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
68. Абсолютная и условная сходимость.
69. Степенные ряды. Область сходимости.
70. Ряд Тейлора.
71. Ряд Фурье. Основные понятия.
Тематика контрольных работ
Контрольная работа №1. Основы линейной алгебры и аналитической
геометрии.
Контрольная работа №2. Производная функции одного аргумента.
Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Несобственный интеграл.
Тематика домашних заданий.
Домашнее задание №1. Основы линейной алгебры и аналитической
геометрии.
Домашнее задание №2. Предел функции у=f(х). Непрерывность функции
у=f(х). Производная функции у=f(х). Дифференциал функции у=f(х). Полное
исследование функции у=f(х).
Домашнее задание №3. Интегралы. Дифференциальные уравнения.
Производные функций многих переменных. Экстремум функции многих
переменных. Ряды.
Методические указания студентам:
Домашние задания, эссе, рефераты, т.п. рекомендуется выполнять в
Word’e, с соблюдением соответствующих ГОСТов.*)
Рекомендации по использованию информационных технологий.
Все изучаемые разделы допускают использование информационных
технологий в той или иной мере.
Для
вычислительных
операций,
экспериментальной
работы
рекомендуются:
- Mathcad. Компьютерная программа for Windows;
- Maple. Компьютерная программа for Windows;
- Excel. Компьютерная программа for Windows; и другие.
Для эссе, рефератов, домашних заданий, т.д. рекомендуется Word.
Автор программы ________________ /Тюрникова Г.В./
*)
Все уточняется во время консультаций.
11