Геометрические иллюзии

1
Содержание:
1. Введение………………………………………………………………………3
2. Где мы встречаем иллюзии?...........................................................................4
3. Что такое угол зрения?....................................................................................5
4. Почему рельсы сходятся?................................................................................6
5. Острый глаз?.....................................................................................................7
6. Под одним углом зрения?................................................................................8
7. Иллюзии в архитектуре:
- иллюзии при строительстве колокольни при соборе
Санта-Мария дель Фьоре во Флоренции ……………..11
- иллюзии при строении Парфенона…………………………………12
8.Вывод……………………………………………………………………………….14
9. Список использованной литературы……………………………………………..15
2
Введение
Почему один и тот же предмет, видимый невооруженным глазом, вблизи
кажется крупнее, чем когда мы смотрим на него издалека? Почему, чтобы
разглядеть детали висящей на стене картины, мы подходим к ней ближе?
Почему «убегающие» вдаль параллельные рельсы кажутся пересекающимися в
воображаемой точке? Ответы на эти и другие «почему», связанные с тем, как
мы видим окружающий мир, помогает найти геометрия, строгие законы
которой объясняют некоторые особенности зрительного восприятия.
Приступая к решению геометрической задачи как правило, первым делом
строим чертеж. В древние времена решение на этом и заканчивалось. Все
доказательства сводились к одному слову: «Смотри».
Но всегда ли мы можем доверять нашему зрению? Оказывается, нет! Ученые
придумали
и
построили
много
обманчивых
картинок,
наглядно
демонстрирующих, сколь ограничены возможности наших глаз.
Не верь своим глазам!
Мы привыкли доверять собственному зрению, однако оно нередко
обманывает нас, показывая то, чего в действительности не существует. В такие
моменты мы сталкиваемся со зрительными иллюзиями - ошибками зрительного
восприятия.
3
Иллюзии.
Вопросы изображения на плоскости пространственных фигур с давних пор
волновали не только геометров, но и художников, стремившихся научиться
рисовать трехмерные объекты на двумерном холсте. Как писал Леонардо да
Винчи, первое намерение живописца сделать так, чтобы плоская поверхность
показывала тело рельефным и отделяющимся от этой плоскости».
Художники
хотели
вызвать
у
зрителя
ощущение
пространства,
находящегося за плоскостью картины. Картина должна была играть роль
своеобразного окна, в котором окружающий мир представал бы таким, каким
мы его видим сквозь прозрачное стекло.
Для этого необходимо было найти метод изображения объемных тел,
который не только отражал бы их структуру и взаимное расположение в
пространстве (в том числе удаленность от наблюдателя), но и учитывал бы
механизмы работы человеческого глаза. Такой метод нашли, создали
умышленную иллюзию.
Иллюзия (с точки зрения математики)- франц. [Illusion-обманчивое
представление, заблуждение] - искажённое восприятие действительности;
принятие кажущегося, мнимого за действительное.
Разработанная в соответствии с особенностями зрительного восприятия,
иллюзия позволяет изобразить видимый предмет наиболее реалистично. Глядя
на картины, написанные в соответствии с ее законами, мы испытываем
ощущение, что рассматриваем трехмерную сцену. Как же создается столь
поразительная иллюзия пространства? Вспомним, что чем дальше от глаза
находится предмет, тем меньшим по величине он кажется. Учитывая эту
особенность зрения, художник рисует на заднем плане предметы и
человеческие фигуры меньших размеров, чем на переднем, создавая
впечатление их разной удаленности и добиваясь тем самым глубины
4
изображения. Визуальный эффект усиливают сходящиеся в воображаемой
точке параллельные линии. (Вспомните иллюзию «пересекающихся» рельсов.)
Что такое угол зрения?
Евклид в сочинении «Оптика» утверждал: мы видим предмет, когда на него
попадают исходящие из глаза и распространяющиеся по прямым линиям лучи
зрения. Образуемая ими фигура представляет собой конус (ее также называют
«пирамидой зрения») с вершиной внутри глаза и основанием на поверхности
рассматриваемого предмета. Среди множества всех «касающихся» предмета
лучей зрения выделяют два, которые проходят через его крайние точки*. Они
образуют угол, под которым предмет виден целиком. Его называют углом зрения
(рис. 1).
Рис. 1
* Как правило, крайние точки предмета — это концы отрезка, являющегося
его высотой. Если «лучи зрения» проходят через произвольные точки
предмета, мы видим лишь его часть, заключенную между ними.
Рис. 2
5
Рассматривая один и тот же предмет из различных точек, мы видим его под
разными углами (рис. 2), Таким образом, угол зрения определен неоднозначно.
Его величина зависит от расстояния, на которое предмет удален от глаза, в чем
легко убедиться экспериментально.
По отношению к наблюдаемому объекту употребляют еще термин угловой
размер. Так поступают, в частности, в астрономии. Например, угловой размер
Луны равен 0,5°.
Внимательный человек, наверное, заметил несуразность: сначала было
сказано, что угол зрения зависит от расстояния, а затем сообщили постоянное
значение углового размера Луны. Дело в том, что по сравнению с расстоянием
до Луны расстояния между разными наблюдателями на Земле очень маленькие,
слишком далеко она находится от нашей планеты.
Почему рельсы сходятся?
По мере удаления предмета от глаз мы сначала перестаем различать его детали, затем
очертания, наконец, наступает момент, когда предмет становится столь мал, что
воспринимается как точка.
Вспомните часто наблюдаемую зрительную иллюзию: две «убегающие» от нас
параллельные линии (трамвайные или железнодорожные рельсы, края шоссе и т.д.)
кажутся сходящимися в некоторой точке на горизонте. При этом сама точка
представляется нам бесконечно удаленной и недосягаемой. Такое же впечатление
создают ряды объектов, расположенных по краям прямолинейной дороги; фонарные
или телеграфные столбы; деревья аллеи; опоры свода станции метро и др. (рис. 3).
Зрение словно пытается убедить нас в том, что вопреки законам геометрии
параллельные прямые пересекаются.
Рис.3
6
Эта иллюзия объясняется рассмотренной нами выше особенностью зрительного
восприятия. Объект (шпала), находящийся на различных расстояниях от наблюдателя,
виден под разными углами зрения и по мере удаления вдоль параллельных прямых
(рельсов) его угловой размер уменьшается, что приводит к видимому уменьшению расстояния между линиями (в данном случае оно определяется величиной шпалы). Очевидно,
когда угол зрения достигает некоторой «критической» величины, глаз перестает
различать удаляющийся объект как тело, имеющее размеры, и прямые «сливаются» для
него в одну точку. Иначе говоря, существует предельное значение угла зрения наименьшее значение, при котором глаз способен видеть раздельно две точки.
Острый глаз.
Так и есть. Для здорового глаза при нормальном освещении это значение
равно примерно 1'. Чтобы нагляднее представить себе такой маленький угол,
приведём простой пример: под углом в 1' с расстояния 1,7 м видна типографическая
точка диаметром всего 0,5 мм. Действительно,
tg α =h/L=0,5/1700≈0.0003,
α=1'
(рис. 4)
(рис.4)
Любой предмет, наблюдаемый под меньшим углом, будь то огромная бесконечно
удаленная от нас звезда или витающая в воздухе крошечная пылинка, воспринимается
глазом как точка.
Способность человеческого глаза различать две близко расположенные точки называют
остротой зрения. Ее определяют как отношение 1' к предельному значению угла
зрения испытуемого. Считается, что нормальная острота зрения равна единице.
Однако у некоторых людей она достигает 1,5-2 единиц и более. Они в буквальном
смысле слова обладают «острым глазом». Границы зрения таких людей расширены,
благодаря чему они видят окружающий мир «дальше и глубже», чем обычный человек.
7
Отменным зрением могли бы похвастаться древние охотники и воины, основным
оружием которых на протяжении многих столетий был лук. Славой искусных лучников
пользовались в разное время древнеегипетские, скифские, английские воины.
Известно, например, что последние с расстояния 100 м (!) могли попасть стрелой в
стрелу, древко которой имело толщину всего 1 см. Только люди с очень острым зрением
способны разглядеть на таком расстоянии мишень столь малого диаметра. (Добавим,
что и луки у англичан были лучше остальных. Например, благодаря им, англичане
победили французов, вооруженных арбалетами в битве при Креси.)
Необычайно острым зрением обладали тульские мастера — герои сказа
Н.Лескова «Левша», подковавшие «аглицкую блоху». Согласно легенде, мастера
изготовили для блохи крошечные подковки и выбили на них свои имена, а особо
отличился Левша, сделавший к подковкам такие маленькие гвоздики, что их и в
микроскоп нельзя было разглядеть.
Под одним углом зрения
На практике нередко приходится сравнивать относительные размеры сразу
нескольких находящихся в поле зрения предметов. Если предметы удалены от глаза
на одно и то же расстояние и расположены достаточно близко друг к другу, их
сравнить легко. В этом случае мы редко ошибаемся в своей оценке: более высокий
предмет виден под большим углом (рисунок 5), поэтому и кажется выше. Сложнее
провести подобную оценку, когда предметы находятся на разном расстоянии от
глаза.
Рис.5
8
Рис. 6
Нередко мы можем наблюдать под одним и тем же углом зрения предметы разного
размера, в том числе отличающиеся по форме (рис. 6). Тогда их видимые размеры
кажутся одинаковыми.
Рис.7
Например, если выстроить друг за другом по росту несколько матрешек (Рис.7)
и смотреть на них со стороны самой маленькой фигурки, а затем начать медленно
отходить назад, не изменяя при этом направления взгляда, то можно наблюдать, как
матрешки будут постепенно «сливаться», загораживая друг друга. Наконец, на
некотором расстоянии будет видна только одна из них — та, что расположена ближе
остальных.
Если
теперь
сместить
фигурки
в
горизонтальных
плоскостях,
перпендикулярных направлению взгляда, таким образом, чтобы все они были
полностью видны, матрешки будут казаться одного размера.
9
Аналогичный опыт можно провести с любыми имеющимися под рукой предметами,
расположив их на некотором расстоянии друг от друга (причем наибольшего
визуального эффекта можно достичь, если использовать предметы, схожие по форме:
спичку и карандаш, орех и апельсин и т.п.). В таком случае достаточно сравнить их
линейные размеры: высоты, диаметры и т.д. Результат будет таким же, а это означает,
что независимо от формы предметов, наблюдаемая иллюзия должна описываться «на
языке математики» одним и тем же законом, в котором ключевую роль играют,
вероятно, такие параметры, как линейный размер и расстояние до предмета.
Еще один наглядный пример, подтверждающий отмеченную закономерность, дает
солнечное затмение, во время которого Луна полностью закрывает собой солнечный
диск. В этот момент размеры обоих тел кажутся нам одинаковыми, поскольку Луна и
Солнце видны с Земли под одним углом зрения.
С позиции геометрии, во всех приведенных примерах мы имеем дело с подобными
фигурами или соответствующими отрезками, а именно высотами, различных по форме
фигур; более того, в каждом случае мы сталкиваемся с преобразованием гомотетии,
центр которой совпадает с глазом наблюдателя. Поэтому можно утверждать, что
если два предмета видны под одним углом зрения, то их линейные размеры
отличаются во столько же раз, во сколько раз отличаются расстояния до
предметов (рис. 8):
Рис. 8
10
На основе последнего равенства можно не только сравнить расстояния, а
также относительные размеры двух объектов, наблюдаемых под одним углом
зрения, но и найти любую из входящих в него величин по трем остальным.
Например, если нужно определить (а правильнее было бы сказать, оценить)
высоту столба (вышки, дерева и т.п.) и в распоряжении нет никаких
измерительных инструментов, можно поступить следующим образом. Отойти
от столба на расстояние, на котором большой палец вытянутой вперед руки
закроет его полностью (то есть их видимые размеры станут одинаковыми),
подсчитав при этом число сделанных шагов. Для взрослого человека среднее
расстояние от глаза до большого пальца вытянутой руки составляет 60 см,
длина самого пальца — 7 см, а длина шага — 65 см. По этим данным легко
вычислить примерную высоту столба.
Аналогично определяется расстояние до недоступного объекта по его
известной высоте. Отметим, что описанный способ надежен для оценки
сравнительно близких расстояний до нескольких сотен метров; чем меньше
предмет и чем дальше он находится, тем выше погрешность измерений.
Иллюзии в архитектуре.
При взгляде снизу на высокие здания обычно создается иллюзия, что в верхней
части они уже, чем у основания, и немного отклонены назад. Один из приемов,
позволяющих устранить возникающую иллюзию, предложил известный художник
и архитектор эпохи Возрождения Джотто ди Бондоне, Когда ему было поручено
строительство колокольни при соборе Санта-Мария дель Фьоре во Флоренции,
он спроектировал ее так, что вверху колокольня значительно шире, чем у основания
(рис. 9). Это придало сооружению внушительный и в то же время величественный
вид.
11
Рис. 9
Считается, что подобными приемами пользовались еще древнегреческие
зодчие. Например, они знали, что вертикальные и горизонтальные прямые при
значительной
длине
издалека
выглядят
не
параллельными,
а
слегка
расходящимися и сходящимися соответственно. Чтобы колонны здания не распадались», их слегка наклоняли к центру, а чтобы лежащая сверху и поддерживающая крышу горизонтальная балка (архитрав) не выглядела прогнувшейся книзу, ее
центральную часть немного «сужали».
Много оптических поправок было внесено при строительстве одного из шедевров
древнегреческого искусства Парфенона, храма богини Афины, построенного в V
веке до н. э, (рис. 10). Укажем некоторые из них.
Колонны Парфенона стоят не перпендикулярно его основанию, а немного
наклонены внутрь, а их стволы утолщены в середине на 1,75 см. Благодаря этому, как
отмечал известный римский архитектор и инженер Витрувий, храм производит
впечатление прочного, как монолит, сооружения.
12
Оценить, насколько тонкими средствами был достигнут подобный эффект,
можно по такому показателю: колонны отклонены от вертикали всего на 6 см, и
если продлить их оси вверх, они пересекутся на высоте 2,4 км над землей!
Стволы колонн Парфенона сужаются кверху, теряя при этом в диаметре две
пятых своей толщины. Тем самым создается иллюзия их большей высоты.
Кроме того, угловые колонны шире остальных. Если бы они были такого же
диаметра, то казались бы на фоне святилища храма тоньше. Таким образом
оказалась учтена еще одна зрительная иллюзия.
Архитрав в центре на 6 см уже, чем по краям. Стесанная по кривой линии
балка издали выглядит абсолютно ровной. Парфенон стоит на слегка выпуклой
каменной платформе: ее центральная точка возвышается над крайними точками
на 22,8 см (что составляет всего одну тысячную долю ее длины), ступени
здания тоже слегка изогнуты. Подобные искривления помогли избежать
иллюзии «провисания».
Наконец, скульптурные изображения на фронтоне храма были выполнены
более рельефно, и это сглаживало визуальный эффект резкого уменьшения
фигур, возникающий при взгляде снизу. Надо сказать, что в те времена мастера
редко обрабатывали заднюю поверхность статуй на фронтонах зданий,
поскольку она была попросту не видна находившемуся у подножия
наблюдателю. Однако украшавшие Парфенон скульптуры были обработаны
так,
словно предназначались для экспозиции на уровне земли.
Рис.10
13
Вывод
С давних пор человек не только поражался обманам зрения, но и сознательно
прибегал к некоторым из них в своей деятельности. На протяжении столетий
архитекторы и живописцы использовали оптические иллюзии для создания
определенных пространственных впечатлений, которым мы легко поддаемся.
Большой интерес к иллюзиям проявляли в разное время и представители
естественных наук, в частности физики и астрономы, которых всегда волновала
надежность визуальных наблюдений. Сами ученые создали немало обманчивых
картинок, наглядно демонстрирующих, сколь ограничены возможности
человеческого глаза.
Геометрические иллюзии создают богатые возможности для художников,
фотографов, модельеров. Однако инженерам и математикам приходится быть
осторожными с чертежами и подкреплять «очевидное» точными расчетами.
14
Список литературы:
1. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика/ Сост. А.П.Савин,
В.В. Станцо, А.Ю. Котова: Под общ.ред. О.Г.Хинн; -М.: ООО «Фирма
«Издательство АСТ», 1999.-480с.
2. Научно-практический журнал для старшеклассников: «Математика для
школьников»,- Чехов: Издательство ООО «Школьная Пресса» , 2005.-64с.
3. Большой толковый словарь./ Сост. и гл. ред. С.А.Кузнецов.-СПб.:
«Норинт», 2000.-1536 с.
4. Учебный справочник школьника.-М.:Дрофа, 1999.-1664 с.
5. Новый иллюстрированный энциклопедический словарь / Ред. Кол.: В.И.
Бородулин, А.П. Горкин, А.А. Гусев, Н.М. Ланда-М.: Большая
Российская энциклопедия, 2000.-912 с.: ил.
6. Иллюстрированная энциклопедия для детей / Ред. О.Г Белошеев, О.В.
Зут-Минск: Белфакс, 1996.-752 с.
7. http://noviteh.com.i
8. http://www.log-in.ru
9. allillusion@gmail.com
10.http://www.psu.msu.ru
11.http://www.prikolof.ru
15