матемx

Государственное учреждение образования «Климовская средняя школа»
ОПИСАНИЕ ОПЫТА ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
«РАЗВИТИЕ УМЕНИЙ УЧАЩИХСЯ 8 КЛАССА РЕШАТЬ КВАДРАТНЫЕ
УРАВНЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ ПРОБЛЕМНОГО ОБУЧЕНИЯ НА УЧЕБНЫХ
ЗАНЯТИЯХ ПО МАТЕМАТИКЕ»
Сулейко Елена Михайловна,
учитель математики
+ 375293814802;
e-mail: kl1cov76@mail.ru
Нельзя чему-то научить человека,
можно только помочь ему сделать для себя это открытие.
Галилео Галилей
Информационный блок
Название темы опыта
Развитие умений учащихся 8 класса решать квадратные уравнения
посредством проблемного обучения на учебных занятиях по математике
Актуальность опыта
Анализируя задания централизованного тестирования по математике, я
пришла к выводу, что для решения большинства из этих заданий учащимся
необходимо уметь решать квадратные уравнения. Поскольку форма контроля
знаний в виде централизованного тестирования требует умения быстро
находить решение и экономить время, то моя задача научить учащихся
выстроить
цепочку
логически
обоснованных
рассуждений
на
основе
имеющихся знаний: проанализировать условие и найти наиболее рациональный
способ решения.
Следовательно, передо мной, как перед учителем, стоит проблема «Как
научить учащихся решать квадратные уравнения?».
Изучая традиционные и современные методы обучения математике, я
поняла, что решить данную проблему мне поможет применение проблемных
ситуаций на различных этапах учебного занятия. Знания, полученные в
процессе
решения
проблемных
ситуаций,
–
это
знания,
полученные
самостоятельно, они наиболее эффективно фиксируются в памяти учащегося.
Однако важно не просто «нагрузить» учащихся багажом теоретических знаний,
а научить применять их на практике, решать с их помощью конкретные задачи,
выбирая при этом наиболее рациональный способ решения.
Цель опыта
Подведение учащихся к выбору наиболее рациональных способов
решения квадратных уравнений через решение проблемных ситуаций.
2
Задачи опыта
1.
Определить
эффективные
способы
и
приёмы
организации
самостоятельной деятельности учащихся при решении квадратных уравнений.
2.
Содействовать
усвоению
учащимися
теоретических
знаний,
необходимых для решения квадратных уравнений.
3.
Формировать
умения
и
навыки
практического
применения
усвоенных теоретических знаний для решения стандартных практических
заданий.
4.
Способствовать
развитию
познавательной
активности
и
способностей учащегося применять полученные теоретические знания и
практические умения в нестандартных ситуациях.
5.
Создать условия для развития навыков самостоятельного выбора
наиболее рационального способа решения квадратного уравнения.
3
Описание технологии опыта
Поделюсь своим подходом реализации проблемного обучения при
изучении темы «Квадратные уравнения».
Обучение теме «Квадратные уравнения» в курсе математики 8 класса
строится по следующему плану:
1.
понятие квадратного уравнения;
2.
неполные квадратные уравнения;
3.
метод выделения полного квадрата;
4.
формула корней квадратного уравнения;
5.
теорема Виета и теорема, обратная теореме Виета.
На первых уроках данной темы учащиеся проявляют меньшую степень
самостоятельности, на фоне созданной проблемной ситуации я подвожу
учащихся к проблеме и сама её формулирую, а дети принимают участие в
поиске способа решения этой проблемы.
Знакомство
с
квадратными
уравнениями
начинаем
с
понятия
«квадратного уравнения». Данное понятие для учащихся является новым, но с
понятием «квадрат числа» они уже знакомы. Создав соответствующую
проблемную ситуацию, в которой учащиеся соотнесут понятие квадрата числа
как соответствующей степени этого числа и квадратного уравнения и сделают
вывод, что квадратное уравнение – это уравнение второй степени, я могу ввести
«книжное» определение квадратного уравнения.
При изучении темы «Неполные квадратные уравнения», исходя из
определения квадратного уравнения, предлагаю учащимся сформулировать
определение неполного квадратного уравнения и привести примеры этих
уравнений. Выясняем, что при b=0 или с=0 или b=0 и с=0 одновременно данные
уравнения будут неполными квадратными.
На примерах, которые привели учащиеся, выстраиваем алгоритм решения
неполных квадратных уравнений. Отмечу, что ранее на уроках математики
учащиеся уже встречались с такими уравнениями, но сегодня они не только
4
решают такие уравнения, но формулируют алгоритм решения неполных
квадратных уравнений:
1) если уравнение имеет вид ах2=0, то оно имеет один корень х=0;
2) если уравнение имеет вид ах2+bх=0, то используется метод разложения
на множители: х(ах+b)=0; значит, либо х=0, либо ах+b=0. В итоге получается
𝑏
два корня: x1=0; x2=- .
𝑎
3) если уравнение имеет вид ах2+с=0, то его преобразуют к виду ах2=-с и
𝑐
далее х2=- . Это уравнение может иметь два или не иметь ни одного решения.
𝑎
𝑐
Попробуйте определить в каких случаях? В случае, когда - < 0, уравнение
𝑎
𝑐
х2=- не имеет действительных корней (значит, не имеет корней и исходное
𝑎
𝑐
𝑐
𝑎
𝑎
уравнение ах2+с=0). В случае, когда - > 0, т.е. - = m, где m>0, уравнение х2=m
имеет два корня x1=√𝑚, x2=- √𝑚.
В качестве примера приведу проблемные задания направленные как на
построение алгоритма решения неполных квадратных уравнений, так и на его
применение: решите уравнения 8х2 +4=0; (х-3)2-1=0; (х-3)2+1=0; х2+ǀхǀ=0.
После того как учащиеся усвоили методы решения неполных квадратных
уравнений перед ними возникает проблема решить полное квадратное
уравнение. Перед учащимися два уравнения х2+6х-7=0 и (х+3)2-16=0.
Появилась проблема: как решить первое уравнение? Обратимся ко второму
уравнению. Можем найти его корни? Давайте упростим левую часть второго
уравнения. Что получили? Теперь обозначим для себя проблему: как решить
квадратное уравнение, от чего будем отталкиваться? Будем применять метод
выделения полного квадрата.
Решение уравнения 5х2-3x-2=0 вновь ставит перед учащимися очередную
проблему, и если учащиеся не видят сразу способ решения, я предлагаю
3
5
2
5
разделить обе части уравнения на 5, получим х 2  х   0.
Применим метод выделения полного квадрата
5
2
2
2
2
3
2
3 3 3
2 
3
9
2 
3
49
2
х  х   х  2 х        х   
  х  
.
5
5
10  10   10 
5 
10  100 5 
10  100
2
2

3
49

Следовательно, уравнение можно записать так:  х   
. Тогда
10 
100

х
3
7
3
7
или х   ,

10
10
10 10
х
4
2
  или х  1.
10
5
2
5
Ответ:  ; 1.
Фундаментом, несомненно, являются формулы сокращенного закона
умножения, только хорошее знание этих формул помогает учащимся применять
данный метод при решении квадратных уравнений.
Следующая проблема перед учащимися: всегда ли нужно решать
квадратные уравнения способом выделения полного квадрата или есть другой
способ решения? Эта проблема актуальна при изучении формулы корней
квадратного уравнения. Учащимся предлагаю решить квадратное уравнение
ах2+bх+с=0 методом выделения полного квадрата. Таким образом, мы
доказываем формулу корней квадратного уравнения. И только после этого я
знакомлю учащихся с определением дискриминанта уравнения D=b2-4ас.
Рассматриваем всевозможные случаи решения полных квадратных уравнений:
D < 0, D = 0, D > 0. Для себя определяем, когда уравнение вида ах2+bx+c=0, где
а≠0 не имеет действительных корней, имеет единственный корень, имеет два
корня.
Итогом данной работы является составление алгоритма решения
уравнения вида ах2+bx+c=0.
1. Вычислить дискриминант по формуле D=b2-4ас.
2. Если D<0, то квадратное уравнение ах2+bx+c=0 не имеет корней.
3. Если D=0, то квадратное уравнение имеет единственный корень,
который находятся по формуле х=-
𝑏
2𝑎
.
6
4. Если D>0, то квадратное уравнение ах2+bx+c=0 имеет два различных
корня. (Приложение 1)
Перед учащимися можно поставить следующую проблему: будет ли этот
алгоритм универсальным? Будет ли он применим для решения неполных
квадратных уравнений? Или с его помощью решаются только полные
квадратные уравнения? Учащиеся самостоятельно решают данную проблему,
применяя данный алгоритм для решения неполных квадратных уравнений.
Однако они должны сделать вывод, что неполные квадратные уравнения по
этому алгоритму все же решать не стоит в целях экономии времени.
Следующим
этапом
является
решение
приведенных
квадратных
уравнений, которые имеют вид х2+px+q=0, где p и q - данные числа. Важным
моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение теоремы
Виета, и теоремы обратной теореме Виета, которые утверждают наличие
зависимости между корнями и коэффициентами приведенного квадратного
уравнения.
В качестве проблемного задания предлагаю учащимся решить устно
следующую задачу: в уравнении вида х2+px+q=0, где p и q - данные числа
корнями являются числа 5 и -8. Найдите коэффициенты квадратного уравнения.
Учащиеся могут решить эту задачу, составив систему уравнений, но
решить ее устно вызовет у них затруднение. Возникает вопрос: нельзя ли
решить эту задачу, используя другой, более рациональный способ решения?
Необходимо помнить, что при нахождении корней квадратного уравнения
«подбором» ссылаться нужно на теорему, обратную теореме Виета, а не на
прямую, как часто делают учащиеся. Для того чтобы распространить теорему
Виета на случай нулевого дискриминанта, приходится условиться, что в этом
случае квадратное уравнение имеет два равных корня.
А если поставить перед учащимися проблемный вопрос: «Существуют ли
другие методы решения квадратных уравнений помимо рассмотренных?», то
можно дополнить традиционный текст учебника некоторыми очевидными
фактами [2].
7
К формулировке этих фактов я подвожу учащихся через систему
проблемных заданий. Например, найти корни уравнения известным способом:
методом выделения полного квадрата, по формуле корней квадратного
уравнения или по теореме Виета.
Проанализируйте группу уравнений, их корни
Уравнение
Сумма
Х1
Х2
коэффициентов
х2+х-2=0
0
1
-2
х2+4х-5=0
0
1
-5
х2-3х+2=0
0
1
2
3х2+3х-6=0
0
1
-2
5х2-8х+3=0
0
1
3/5
-7х2+2х+5=0
0
1
-5/7
-2х2-5х+7=0
0
1
-7/2
и найдите:
1) сумму коэффициентов квадратного уравнения;
2) закономерность между корнями каждого уравнения и суммой его
коэффициентов.
Сделайте вывод. (Если сумма коэффициентов равна 0, то один корень
с
равен 1, а второй находится как частное )
а
Проанализируйте следующую группу уравнений:
Уравнение
Сумма
Х1
Х2
коэффициентов а и с
х2 - 11х - 12=0;
11
-1
12
8х2 +15х+7=0;
15
-1
-7/8
- 5х2 - 8х -3=0;
-8
-1
-3/5
40х2 -7х-47=0;
-7
-1
47/40
15х2 - 2х-17=0.
-2
-1
17/15
8
Учащиеся приходят к выводу, что если в квадратном уравнении ах2+bx+c
𝑐
=0, а≠0, а+c=b, то х1=-1, х2=- .
𝑎
По-своему полезным окажется для учащихся решение квадратных
уравнений способом «переброски старшего коэффициента». Отмечу, что
учащиеся, которые усвоили этот способ, с удовольствием применяют его в 9
классе, при решении квадратных неравенств, производя многие вычисления
устно.
Учащиеся рассматривают два квадратных уравнения: ах2+bх+с=0, где
а≠0, и у2+bу+ас=0. Дискриминант каждого из них находят по формуле D=b2–
4ac, тогда корни х1,2 =
−b ± √b2 − 4ac
2𝒂
и у1,2 =
−b ± √b2 − 4ac
2
. Делают вывод, что всё
отличие только в коэффициенте а в знаменателе. Значит, найдя корни
уравнения у2+bу+ас=0 и поделив их на коэффициент а, получим корни
уравнения ах2+bх+с=0, т. е. х1=у1/а и х2=у2/а .
Решим уравнение 60х2–119х–2=0.
Решение. «Перебросим» коэффициент 60, как множитель, к свободному
члену, в результате получим уравнение у2–119у–120=0. По теореме, обратной
теореме Виета получаем: у1=-1, у2=120. Тогда
х1=–1/60, x1=–
1
;
60
x2=120/60, x2=2.
Ответ: –
1
60
; 2.
О полной самостоятельности учащихся можно говорить тогда, когда они
сами могут выдвинуть и сформулировать новую проблему, рационально ее
решить и оценить это решение.
Чтобы научить школьников самостоятельно и творчески учиться, нужно
включать их в специально организованную деятельность, сделать их хозяевами
этой деятельности. Давно доказано психологами, что люди лучше усваивают
то, что обсуждают с другими, а лучше всего помнят то, что объясняют другим
[1]. Я считаю, что использование проблемных ситуаций способствует развитию
9
активности и самостоятельности учащихся, так как центральным звеном всей
образовательной деятельности является поисково-познавательная деятельность.
Такая деятельность влияет, прежде всего, на познавательную сферу личности:
формируются устойчивые познавательные интересы, и мотивы учебной
деятельности, вырабатывается познавательное отношение
к учебному
материалу (Приложение 2).
10
Результативность и эффективность опыта
Анализируя результативность учебной деятельности учащихся, опираюсь
на поурочный контроль, позволяющий определить уровень усвоения материала.
Рассматриваю в первую очередь умение учащихся «видеть» проблемные
задания, при изучении темы и умение применять теоретические сведения при
решении уравнений.
Затем
подвожу
итоги
контрольной
работы.
Анализ
выполнения
контрольной работы по теме показал, что умеют применять рациональные
способы решения квадратных уравнений. Были учащиеся, которые допустили
ошибки при нахождении дискриминанта, корней уравнения, но эти ошибки
исправимы при соответствующей системной работе.
Говоря о результатах централизованного тестирования, хочется сказать,
что те учащиеся, которые ставили перед собой цель подготовиться к
централизованному тестированию, то, в частности,
проблем с заданиями
связанными с темой «Квадратные уравнения» у них не возникало. Предлагаю
данные результатов централизованного тестирования моих выпускников.
Год
2011
2014
Средний балл на ЦТ
42,5
29,75
Опытом своей работы я делилась на постоянно действующих районных
семинарах. Проводила открытые занятия с использованием проблемных
ситуаций. Анализ отзывов педагогов позволяет судить о востребованности
моего опыта.
11
Заключение
Всем ли учащимся доступно проблемное обучение? Практически всем.
Однако уровень проблемности и степень познавательной самостоятельности
будут сильно различаться в зависимости от возрастных и индивидуальных
особенностей учащихся, от степени их обученности методам проблемного
обучения. Одни учащиеся с легкостью усваивают несколько способов решения
квадратных уравнений, другие учащиеся не видят неполных квадратных
уравнений, приведенных квадратных уравнений, усваивают только алгоритм
решения квадратных уравнений через формулы корней квадратного уравнений
и поэтому проблемные задания даются дифференцированно. Исходя из своего
опыта работы, я сделала вывод, что тема «Квадратные уравнения» очень важна
для изучения курса математики средней школы. И, анализируя, результаты
своей работы, я вижу, что умение быстро, рационально и правильно решать
квадратные уравнения облегчает прохождение многих тем курса математики:
решение задач на составление квадратных уравнений; разложение квадратного
трехчлена на множители, квадратная функция и её график; неравенства второй
степени с одной переменной; тригонометрические уравнения и неравенства;
иррациональные
уравнения;
показательные
уравнения
и
неравенства;
логарифмические уравнения и неравенства.
12
Список литературы
1.
Александрович, Н. В. Использование проблемных ситуаций на уроке как
условие
повышения
эффективности
педагогического
процесса
/Н.В.
Александрович // – Матэматыка: праблемы выкладання. – 2015. – № 3. – С. 3745.
2.
Булавацкі, М. Нетрадыцыйны погляд на тэму «Квадратныя ўраўненні»
/М. Булавацкi // – Матэматыка: праблемы выкладання. – 2013. – № 2. – С. 57-62.
3.
Махмутов, М. И. Современный урок / М.И.Махмутов – М.: Педагогика,
1985. – 184 с.
13