Материалы заданий Всероссийского конкурса научных работ школьников по математике

Материалы заданий Всероссийского конкурса научных работ школьников
Юниор в 2011/12 учебном году
по математике
Общая характеристика заданий
В рамках всероссийского конкурса научных работ школьников Юниор проводится два конкурсных мероприятия, которые дают одинаковый вклад в итоговую
оценку участника. Это
(1) защита подготовленного научного проекта перед членами жюри конкурса;
(2) предметной олимпиады в рамках выбранной секции.
Задачи олимпиадного задания значительно различаются по сложности. Но и
простые и сложные задачи обязательно содержат элементы новизны и оригинальности, требуют для своего решения глубоких знаний программы и умения их творчески применять. Такая форма задания позволяет, с одной стороны, наиболее точно
проранжировать участников олимпиады и выявить наиболее талантливых и способных из них.
Для оценки научного проекта члены жюри заслушивают каждого участника
конкурса, задают вопросы, обсуждают с участником постановку задачи, методы решения и результаты. Для более точной оценки лучших участников, претендующих
на высокие места, члены жюри слушают дважды.
Ниже приведены задания олимпиадной части конкурса и тезисы научных проектов лучших участников.
Олимпиадное задание
Заключительного тура Всероссийского конкурса научных работ школьников Юниор-2012 года
по математике
Олимпиадное задание для школьников 11 класса
1. При каком значении a многочлен x 2012  ax 2011  ax  1 делится на
2
одночлен  x  1 ?
2. Найти наименьшее натуральное число, дающее остатки: 1 – при делении на 2,
2 – при делении на 3, 3 - при делении на 4, 4 – при делении на 5, 5 – при делении на 6.
3. Найти объем правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания a , если плоский
угол при вершине равен углу наклона бокового ребра к плоскости основания.
Ответы
2012 1006

2010 1005
Решение: P( x)  x 2012  ax 2011  ax  1 .
1. Ответ: a 
 P(1)  0
Условие деления: 

 P(1)  0
P(1)  1  a  a  1  0  a

 P(1)  2012  2011a  a  0  a  2012  1006

2010 1005
2. Ответ: 59
Решение. n  2k  1
n  3m  2
 k  3r  1
 2k  1  3m  2  2k  3m  1  
 n  6r  1
m  2r  1
r  2w  2
 n  12w  11
n  4l  3  6r  1  4l  3  2l  3r  2  
 l  3w  2
 w  1  5u
 n  60u  1
n  5s  4  12w  11  5s  4  12w  5s  7  
s  1  12u
n  6t  5  60u  1  6t  5  t  10u  1
т.е. n  60u  1  nmin  59
3. Ответ: V 
Решение:
a3
6
5 1
t  sin  / 2

a
2a
 cos  
 cos   2 sin  / 2   2
5 1
2 sin  / 2
2
2t  2t  1  0  2t  2
1
1
1  2t 2
2t
1
2
5 1
tg 2 

1


1

 2 


2
2
2
cos 
2t
2t
2t
2
2t
5 1


a2 2
a2
tg  
5 1
2
4
1 2 a
a3
V a 
5 1 
3
2
6
h2 
5 1
Олимпиадное задание для школьников 10 класса
1. Найти наименьшее значение выражения:
x 2  1  y   y 2  1  x  .
2
2
2. В какой наименьшей степени все натуральные числа, не кратные 7, дают при делении на 7 остаток 1?
3. Треугольник ABC вырезан из бумаги, перегибается и складывается по прямой, параллельной
одной из сторон треугольника. Какое наименьшее возможное значение может принимать площадь
образовавшейся фигуры, если площадь треугольника ABC равна s ?
Ответы
1. Ответ:
2.
Решение : первое слагаемое – расстояние точки M ( x; y ) до точки A(0;1) ,
второе – расстояние точки M ( x; y ) до точки B (1;0) . Наименьшая сумма –
- длина отрезка AB , т.е. 2 .
2. Ответ: 6
Решение: k  2 не подходит, поскольку для чисел n  7m  2 числа n 2  49m 2  28m  4
имеют при делении на 7 остаток 4.
k  3 не подходит, поскольку для чисел n  7m  3 числа n3  7t  27  7(t  3)  6
имеют при делении на 7 остаток 6.
k  4 не подходит, поскольку для чисел n  7m  2 числа n4  7t  16  7(t  2)  2
имеют при делении на 7 остаток 2.
k  5 не подходит, поскольку для чисел n  7m  2 числа n5  7t  32  7(t  4)  4
имеют при делении на 7 остаток 4
k  6 подходит, поскольку для чисел
n  7m  1 числа n6  7t  1
n  7m  2 числа n6  7t  64  7(t  9)  1
n  7m  3 числа n6  7t  36  7t  729  7(t  104)  1
n  7m  4 числа n6  7t  46  7t  4096  7(t  585)  1
n  7m  5 числа n6  7t  56  7t  15625  7(t  2232)  1
n  7m  6 числа n6  7t  66  7t  (7  1)6  7(t  k )  1
имеют при делении на 7 остаток 1.
3. Ответ:
2s
3
Решение:
 h  x 2  h  2 x 2 
s
Sтрап ( x)  
 
  s  2 x2h  3x  ,
h
 h   h  
2s
S м ин.фиг . 
3
Sфиг ( x)  s  S трап ( x) , xм ин 
h
3
Олимпиадное задание для школьников 9 класса
1. Теплоход от Нижнего Новгорода до Астрахани идет 5 суток, а от Астрахани до Нижнего Новгорода – 7 суток. Сколько суток будет плыть по течению плот от Нижнего Новгорода до Астрахани?
2. Двузначное число в сумме с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, дает
полный квадрат. Найти все такие числа.
3. Задан треугольник и две точки A и B внутри него. Помогите проложить кратчайший маршрут
из точки A в точку B , при условии, что необходимо побывать на каждой стороне треугольника.
Ответы
1. Ответ: 35 суток.
 s
 v  v  7  s  7vt  7v p
p
Решение:  t
s

 5  s  5vt  5v p
 vt  v p
 vt  6v p

s
s
 7   35
v p 6  1
vp
2. Ответ: 29.92,38,83, 47,74, 56, 65,
Решение: 10a  b  10b  a  11(a  b)  a  b  11
3. Задан треугольник и две точки A и B внутри него. Помогите проложить кратчайший маршрут
из точки A в точку B , при условии, что необходимо побывать на каждой стороне треугольника.
Решение. Пусть начало маршрута в точке A и установлен порядок посещения сторон треугольника (всего 6 вариантов). Один из них изображен на рисунке. Пошаговый порядок построения маршрута ( черным цветом изображен произвольный маршрут).
1. симметрия А относительно первой стороны посещения ( А – красная)
2. симметрия точки В относительно последней стороны посещения ( точка В1 – красная)
3. симметрия точки В1 относительно второй стороны посещения (В2 – красная)
4. отрезок А(В2) пересекает сторону ( первую и вторую) в искомых точках маршрута
5. искомая точка пересечения маршрута с третьей стороной определяется отрезком 3 и 4 (зеленые)
Доказательство оптимальности: длина отрезка А(В2) меньше длины ломаной, соединяющей эти
точки, и равна длине красного маршрута.
Тезисы научных работ
Победителей Всероссийского конкурса научных работ школьников Юниор
По математике (учащихся 11-го класса)
2012 год
Принцип Дирихле в комбинаторной геометрии
МОУ Физико-математический лицей, г. Сергиев Посад
Склонин Илья, Гудыма Денис
Научный руководитель: Забавин Валерий Николаевич, ФГУ "12 ЦНИИ Минобороны России",
начальник лаборатории, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник.
Комбинаторная геометрия изучает геометрические задачи на максимум и минимум, связанные
с нахождением наилучших в каком-нибудь смысле расположений конечных систем точек или
геометрических фигур. Решения этих задач носят в значительной степени комбинаторный характер и направлены на отыскание некоторых целых чисел, например, чисел, указывающих количество рассматриваемых точек или фигур. Типичным примером задачи комбинаторной геометрии может служить задача плотнейшей укладки равных кругов в некоторой части плоскости
с обобщением на многомерное пространство.
Возникновение комбинаторной геометрии связано с большим значением, которое приобрели в современной науке и технике те области математики, которые ставят своей целью отыскание оптимальных режимов работы определённых механизмов или больших систем. Этот круг
вопросов привёл к появлению ряда самостоятельных научных направлений (теория игр, теория информации, теория кодирования, оптимальное управление и многие другие). В некоторых из них непосредственно используется комбинаторная геометрия.
При решении задач комбинаторной геометрии применяются методы из разных областей
математики. Среди них важное значение имеют методы, основанные на принципе Дирихле.
Изложенное выше обосновывает актуальность выбранной темы.
Одна из задач, обсуждаемых в комбинаторной геометрии – каково максимальное количество
точек, которые можно разместить в заданной области так, чтобы расстояние между любыми двумя
из них было больше заданного числа.
Цель работы – получить оценку этого количества для квадрата.
Используются теоретические методы исследования, не выходящие (с единственным исключением) за рамки школьных курсов планиметрии и алгебры.
Книг и статей, посвященных комбинаторной геометрии, десятки и сотни. При работе над данной темой использовались книги [1-8]. В первой из них [1] коротко изложены история и причины
возникновения комбинаторной геометрии и рассмотрены некоторые задачи, которые позволяют
понять предмет комбинаторной геометрии. Книги [2-5]- это сборники задач, в которых найдены
примеры применения принципа Дирихле. В книге [5] найден оптимальный способ разбиения
квадрата. Книги [6-8] использовались при доказательстве некоторых неравенств.
Результат работыТеорема.
Пусть в квадрате K со стороной а находится k точек. Если k>
a
a2
4
( +1), то какие
2
2 3R
2 3 R
то две точки расположены на расстоянии, не больше 2R.
Доказательство основано на следующих утверждениях:
1. Если фигуры F1 , F2 ,..., Fm с площадями S1 , S2 , …, Sm содержатся в фигуре F с площадью S и
S1 + S2 +…+ Sm >S, то некоторые две из фигур F1 , F2 ,..., Fm имеют общую точку (непрерывный
принцип Дирихле [3]).
2. Квадрат с расположенными в нем несколькими одинаковыми непересекающимися кругами
можно разрезать на выпуклые многоугольники так, чтобы каждый многоугольник содержал ровно
один круг (доказательство приведено в [5]).
3. Если радиус круга R, то площадь многоугольника, ни одна из сторон которого не лежит на
стороне квадрата, не меньше 2 3R 2; площадь многоугольника, некоторые стороны которого лежат на сторонах квадрата, не меньше (2+ 3 )R 2 (доказано в настоящей работе).
Теорема обобщает известную олимпиадную задачу [2]: в единичный квадрат бросили 51 точку;
доказать, что некоторые три из них обязательно лежат внутри круга радиуса
кировку – числа «51» и «
1
. Если убрать мас7
1
» - получится такая задача: в квадрат 5x5 бросили 26 точек; доказать,
7
что некоторые две из них расположены на расстоянии, не больше
2 . Из доказанной теоремы
следует, что это утверждение верно и для 24-х точек.
Используемая литература
1. Яглом И.М. О комбинаторной геометрии. - М.,УРСС, 2004.
2. Горбачев Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике. – М., МЦИМО,2004.
3. Башмаков М.И., Беккер Б.М., Гольховой В.М. Задачи по математике. Алгебра и анализ. Библиотечка «Квант». Вып.22. – М., Наука, 1982.
4. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Геометрические оценки и задачи из комбинаторной
геометрии. – М., Наука, 1971.
5. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Геометрия (планиметрия). – М.,Физматлит, 2000.
6. Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике. – М., Физматлит, 2010.
7. Зельдович Я.Б., Мышкис А.С. Элементы прикладной математики. – М., Наука, 1967.
8. В.Н.Тихомиров. Рассказы о максимумах и минимумах. Библиотечка «Квант». Вып.56. – М.,
Наука, 1986.
О представлении конечных унаров классами вычетов по модулю
МОУ лицей №2, г. Волгоград
400105, г. Волгоград, ул. Богунская д.18
Ишанкулова Юлия
11 класс
400105, г. Волгоград, ул. Штеменко д. 36 кв. 67
Научный руководитель: Лецко Владимир Александрович, доцент кафедры алгебры и геометрии
ВГСПУ
Умножение на фиксированное натуральное число a с последующим приведением по модулю
задает на множестве классов вычетов по модулю данного натурального числа m отображение в
себя. Тем самым, на множестве классов вычетов по модулю m задается структура унара.
Например, умножение на 2 задает на множестве классов вычетов по модулю 12 унар, изображенный на рисунке 1:
Цель работы - показать, что для любого конечного унара U можно подобрать такие числа a
(множитель) и m (модуль), что унар, порожденный некоторыми классами вычетов по модулю m
умножением на a, будет изоморфен унару U.
Введем термины и обозначения, которых будем придерживаться в дальнейшем.
Пусть U –
– унарная операция, заданная на U. Для x U обозначим
через x
x, а через x n – результат n-кратного применения операции
Элемент x назовем циклическим, если
x t = x. Наименьшее такое t назовем длиной
цикла. Наименьшее целое неотрицательное h такое, что x h является циклическим, назовем глубиной элемента x. Степенью элемента x назовем мощность множества {yU y
x}.
Введем на множестве U отношение
t,s
x t = y s. Введенное отношение будет отношением эквивалентности. Классы эквивалентности этого отношения назовем компонентами
связности унара U.
Нами изучено строение унара U(m,a), порожденного на множестве классов вычетов по модулю
m умножением на фиксированное число (фиксированный класс) a.




1 2
k
1 2
k
p
p

p
p
Пусть d = GCD(a, m), a
, m
, где GCD(a0, m0) = 1.
0
0
1p
2
1p
2
ka
km
Лемма 1.
Степень элемента b равна d, если d делит b, и 0 – в противном случае.
Лемма 2.
i
Элемент
i
i
Лемма 3.


1
2 p
k
b

p
0 является
1p
2
kb
k}.


циклическим
тогда
и
только
тогда,
когда
1 2
k

p
Глубина элемента b
0равна наименьшему натуральному числу h, такому что
1p
2 p
kb
i
k}.
i+
i
i
Лемма 4.
Пусть где m(b) = m0/GCD(m0, b). Длина цикла циклического элемента b равна ordm(b)(a) (т.е.
порядку числа a по модулю m(b)), если m(b) > 1 и 1, в случае m(b) = 1.
Лемма 5.
Число компонент связности унара U(m,a) равно

(d
)
ord
(a
).
d
d
|m
,d

1
1
 
0
Основной результат:
Для любого конечного унара U найдутся такие числа a (множитель), m (модуль) и
b1, b2,…, br, что унар, порожденный элементами b1, b2,…, br умножением на a по модулю m, будет изоморфен унару U.
При доказательстве этого утверждения мы опирались на приведенные выше леммы, а также на
китайскую теорему об остатках и теорему Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии [1].
Доказательство является конструктивным и позволяет находить нужные a, m и набор bi для
любого наперед заданного конечного унара.
Более того, из доказательства следует, что для любого конечного унара существует бесконечно
много представлений классами вычетов по модулю.
Пусть, например, нам надо представить унар, изображенный на рисунке 2.
Получить данный унар можно, положив m = 585, a = 3, b1 = 5, b2 = 200, b3 = 395, b4 = 117, b5 =
10.
Другой способ – взять m = 2448, a = 4, b1 = 17, b2 = 629, b3 = 1241, b4 = 144, b5 = 34.
Еще одно представление получим, положив m = 18515, a = 23, b1 = 5, b2 = 810, b3 = 1615,
b4 = 3703, b5 = 15. И т. д.
Вопрос о нахождении наименьшего модуля, подходящего для представления данного унара,
является в общем случае достаточно сложным (см. [2])
Литература:
1. Бухштаб А.А., Теория чисел. – М.; Просвещение, 1966.
2. Архив конкурса «Математический марафон», задача ММ60. – режим доступа: http://wwwold.fizmat.vspu.ru/konkurs/ans60.htm . – [3.01.2012]