контрольные работы № 1 и № 2

Контрольные работы №№1,2
по дисциплине «Высшая математика»
для студентов заочного отделения
экономических специальностей
Контрольная работа №1.
Задачи №№ 1-10. Найти произведение матриц: А·В и В·А.
1.
 1 2 0 


 2 0 1 2
0  2 4 
, В  
А  

3 1 7
 8 10 5 1 


 4  3  1


2.
5 0 6 
  1


 
А   1 2  1, В   2 
3 5 8 
  1


 
3.
 1 5 


 2  2
А   1 0  3 4, В  
1 4 


3  5 


4.
 1 2 0 


 7 1 2 5
3 1 1 
, В  
А  
5 0  2
 3 0 1 4 


2 1 4 


5.
2

1
А  5 1 0 3, В  
3

0

6.
 0 3 1 
3 


 
А 2
1
5 , В    2 
  4 0  2
2 


 
7.
 1 3 0 


 5 0 1 3 
 2 1 1 
, В  
А  
3 0  2
 2 0 1 4


4 1 2 


8.
0  2 1 
  2


 
А   3  1 4 , В  1 
 5 0  3
 3


 
9.
2 0 


  4 1
А  7 21 0  1, В  
1 3 


 0  1


10.
  2 3 0


8 1 3 2 
 1 1 7 
, В  
А  
5 0 1 
 4 0 1 5


2 1 5 


0 

 4
1 

 1
Задачи №№ 11-20. Для данного определителя найти миноры и алгебраические
дополнения элементов a3j и ai2. Вычислить определитель.
11.
1
3
1
2
1 2 0
6 2 5
i=4, j=1
0 6
4
3 5 1
12.
2
6
0
4
13.
2
1
3
0
7 2
1
1 1 0
i=4, j=1
4 0
2
5 1  3
14.
4  5 1  5
3 2
8 2
i=1, j=3
5
3
1
3
2 4 6 8
15.
3
5
3
2
4
1
1 2
2
5
1 2
2
0
i=2, j=4
1
4
16.
3
4
1
0
17.
2 1 2 0
3 4 1 2
i=2, j=3
2 1 0 1
1 2 3 2
18.
3 2
1 1
4 5
1 2
19.
0
4
0
1
20.
0 2 1
7
4 8 2 3
i=4, j=2
10 1  5 4
8 3
2 1
4
2
1
3
1 1
1 3
i=4, j=3
2 2
4 3
0 1 3
3 9 0
i=3, j=3
2 1 3
2
0 6
2 0 5
3 5 0
i=1, j=2
0 2 3
1 3 4
0 2
2 3
i=3, j=1
1 0
3 3
Задачи №№ 21-30. По заданной матрице А вычислить обратную матрицу A 1 и
установить, что A  A 1  E .
21.
 2  1  3


A   8  7  6
 3
4
2 

22.
 3 5  6


A 2 4
3
 3 1
1

23.
1  1
2


A   2  1 1
1 0
1

24.
  6 1 11


A   9 2 5
 0 3 7


25.
 3 1 2


A   1 0 2
 1 2 1


26.
 2 3 2


A   1 3  1
 4 1 3


27.
 6 7 3


A   3 1 0
 2 2 1


28.
3
4
 2


A   3 1  4
 1 2
2 

29.
 1 7 3


A    4 9 4
 0 3 2


30.
2 6 1


A   1 3 2
0 1 1


Задачи №№ 31-40. Найти ранг матрицы А.
31.
 1 0 1 2


A   2 1 0 2
 1 10  6 1 


32.
9
1 3 5 7


A  1  2 3  4 5 
 2 11 12 25 22 


33.
3

2
A
1

2
1 1 4

4 10 1 
7 17 3 

2 4 3 
34.
 1 3 1 2


A   2 1 3 5
 1 10  6 1 


35.
4

8
A  4

4
8

3 5 2 3 

6 7 4 2 
3 8 2 7 

3 1 2  5
6  1 4  6 
36.
8
2
1 
3 1


2

2

3

7
2


A
1 11  12 34  5 


2
 16 3 
1  5
37.
1
3 
1 2


4

1

5

6


A
1  3  4  7


2
1

1
0


38.
 2 1 2 3 


A   2 9  4 7 
  4 3 1  1


39.
1 2 3 6


A   2 3 1 6
 3 1 2 6


40.
3

2
A
1

2
1 1 4

4 10 1 
7 17 3 

2 4 3 
Задачи №№ 41-50. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить её:
а) по формулам Крамера;
б) методом обратной матрицы;
в) методом Гаусса.
41.
2 x1  x2  3 x3  7

2 x1  3 x2  x3  1
3 x  2 x  x  7
 1
2
3
42.
2 x1  x2  2 x3  3

 x1  x2  2 x3  4
4 x  x  4 x  3
 1 2
3
43.
 3 x1  x2  x3  12

 x1  2 x2  4 x3  6
5 x  x  2 x  3
 1 2
3
44.
 2 x1  x2  3x3  4

 x1  3x2  x3  11
 x  2 x  2 x  7
 1
2
3
45.
 3 x1  2 x2  4 x3  12

 3 x1  4 x2  2 x3  6
2 x  x  x  9
 1
2
3
46.
8 x1  3 x2  6 x3  4

 x1  x2  x3  2
 4 x  x  3x  5
 1 2
3
47.
 4 x1  x2  3x3  9

 x1  x2  x3  2
8 x  3 x  6 x  12
 1
2
3
48.
2 x1  3x2  4 x3  33

 24
 7 x1  5 x2
 3x
 11x3  39
 1
49.
2 x1  3 x2  4 x3  12

 7 x1  5 x2  x3  33
 4x
 x3  7

1
50.
 x1  4 x2  x3  6

5 x2  4 x3  20

3 x  2 x  5 x  22
 1
2
3
Задачи №№ 51-60. Даны вершины треугольника АВС. Найти: а) уравнение стороны АВ; б) уравнение высоты СН; в) уравнение медианы АМ; г) точку N пересечения медианы АМ и высоты СН; д) уравнение прямой, проходящей через
вершину С параллельно стороне АВ; е) расстояние от точки С до прямой АВ.
51.
A   2;4; B  3;1; C  10;7;
52.
A   3;2; B  14;4; C  6;8;
53.
A  1;7 ; B   3;1; C  11;3;
54.
A  1;0; B   1;4; C  9;5;
55.
A  1;2; B  7;1; C  3;7 ;
56.
A   2;3; B  1;6; C  6;1;
57.
A   4;2; B   6;6; C  6;2;
58.
A  4;3; B  7;3; C  1;10;
59.
A  4;4; B  8;2; C  3;8;
60.
A   3;3; B  5;7; C  7;7;
Задачи №№ 61-70. Даны координаты вершин пирамиды М1, М2, М3, М4. Найти
а) объем пирамиды; б) площадь грани М1М2М3; в) длину ребра М1М4; г) косинус
угла между ребрами М1М4 и М1М2; д) расстояние от точки М4 до грани М1М2М3.
61.
M 1  3;1;4; M 2   1;6;1; M 3   1;1;6; M 4  0;4;1
62.
M 1  6;6;2; M 2  5;4;7; M 3  2;4;7; M 4  7;3;0
63.
M 1  7;5;3; M 2  9;4;4; M 3  4;5;7; M 4  7;9;6
64.
M 1  6;1;1; M 2  4;6;6; M 3  4;2;0; M 4  1;2;6
65.
M 1  5;5;4; M 2  3;8;4; M 3  3;5;10; M 4  5;8;2
66.
M 1  0;7;1; M 2  4;1;5; M 3  4;6;3; M 4  3;9;8
67.
M 1  9;5;5; M 2   3;7;1; M 3  5;7;8; M 4  6;9;2
68.
M 1  2;4;3; M 2  7;6;3; M 3  4;9;3; M 4  3;6;7
69.
M 1  3;5;4; M 2  5;8;3; M 3  1;9;9; M 4  6;4;8
70.
M 1  3;3;9; M 2  6;9;1; M 3  1;7;3; M 4  8;5;8
Задачи №№ 71-80. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
М1, М2, М3 . Координаты точек взять из предыдущей задачи №№ 61-70.
Задачи №№ 81-90. Кривые второго порядка и прямые на плоскости.
81.
Найти координаты точек пересечения двух взаимно перпендикулярных
прямых, проходящих через фокусы эллипса
x2 y2

 1 , если известно,
25 9
что точка А(-2;6) лежит на прямой, проходящей через его правый фокус.
82.
83.
84.
85.
Через правый фокус гиперболы
x2 y2

 1 проведена прямая, перпенди16 9
кулярная асимптоте с положительным угловым коэффициентом. Определить уравнение прямой, проходящей через левый фокус гиперболы и делящий пополам отрезок первой прямой между осями Ох и Оу.
Через фокус параболы y 2  4 x проведена прямая, пересекающая директрису в точке с ординатой 5. Найти уравнение прямой, проходящей через
точку пересечения директрисы с осью Ох и перпендикулярной первой
прямой.
Найти уравнение эллипса с центром в начале координат и фокусами на
оси Ох, если его эксцентриситет равен ε=0.8, а прямая, проходящая через
его левый фокус, перпендикулярна прямой x  y  10 и проходит через
точку А(0;4).
Найти уравнение гиперболы с центром в начале координат и фокусами на
оси Ох, если её эксцентриситет ε=1.25, а взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через фокусы гиперболы, пересекаются в точке А(0;5).
86.
Найти уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох с вершиной в начале координат, если известно, что две взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через фокусы параболы и точку пересечения
директрисы с осью Ох, пересекаются в точке А(-3;4), а параметр параболы положителен.
87.
Найти большую полуось эллипса
88.
x2
y2

 1 , если прямая, проходящая
a 2 144
через его левый фокус, перпендикулярна прямой x  2 y  1  0 и проходит
через точку А(-2;6).
Найти уравнение гиперболы с центром в начале координат и фокусами на
оси Ох, если прямая 4 x  3 y  20  0 проходит через правый фокус гиперболы и перпендикулярна асимптоте с положительным угловым коэффициентом.
89.
Найти уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох с вершиной в начале координат, если точка А (-3;6) лежит на прямой, которая
проходит через её фокус и перпендикулярна прямой, соединяющей точку
В(6;9) и точку пересечения директрисы параболы с осью Ох (параметр
параболы положителен).
90.
Найти точку пересечения двух взаимно перпендикулярных прямых, проходящих через фокусы гиперболы
x2
y2

 1 , если известно, что прямая,
64 225
проходящая через правый фокус отсекает на оси Оу отрезок 17.
Контрольная работа №2.
Задачи №№91-100.
Решить задачу линейного программирования геометрическим методом.
91.
Z  2 x1  x 2  max
92.
 x1  5 x 2  4

 2 x1  x 2  10
 x x 2
1
2

93.
Z  x1  2 x 2  max
x1  1  0


 2 x1  x 2  14
 x  5 x  4
2
 1
94.
 x1  6 x 2  12

 x1  x 2  2
 x x 7
2
 1
95.
Z  7 x1  x 2  max
Z  3x1  x 2  max
96.
Z  8 x1  2 x 2  min
 x1  3x 2  12

3x1  2 x 2  15
 x x 2
2
 1
Z  x1  x 2  min
x1  3


 x1  3x 2  9  0

x2  1  0

98.
x1  6


  3x1  5 x 2  2
x  5x  4  0
2
 1
99.
Z  x1  x 2  max
7 x1  x 2  6

2 x1  x 2  3
 x  x  6
2
 1
 x1  2 x 2  4

 3x1  2 x 2  12
 x  x 1
1
2

97.
Z  x1  x 2  max
Z  x1  3x 2  max
 x1  5 x 2  4  0

 2 x1  3x 2  6

x1  x 2  0

100.
Z  x1  5 x 2  max
x1  3


 x1  x 2  2
2 x  x  1
2
 1
Задачи №№101-110.
Для производства двух видов продукции А1 и А2 на фабрике использован материал трёх сортов В1, В2, и В3, имеющийся на складе в количествах b1, b2 и b3,
соответственно. На изготовление одного изделия Аj расходуется aij кг материала сорта Вi. Матрица расхода (aij) задана. От реализации единицы продукции А1
и А2 фабрика имеет прибыль соответственно с1 и с2 рублей. Какое количество
продукции А1 и А2 надо производить, чтобы получить максимальную прибыль
от реализации всей продукции.
101.
b1  760; b2  560; b3  540;
102.
16 28 


c1  6; c2  4; 16 8 
8 1


103.
b1  860; b2  732; b3  882;
16 32 


c1  17; c2  32; 15 25 
9 3


104.
12 11


c1  5; c2  3; 12 3 
10 3 


105.
b1  864; b2  640; b3  863;
b1  610; b2  784; b3  840;
106.
b1  472; b2  592; b3  591;
 4 8


c1  5; c2  6; 14 8 
14 2 


b1  1200; b2  993; b3  1092;
 20 40 


c1  8; c2  12;  16 28 
 20 4 


108.
10 15 


c1  11; c2  6; 16 8 
16 3 


109.
b1  630; b2  541; b3  376;
14 7 


c1  7; c2  4; 12 4 
 8 6


18 27 


c1  5; c2  4; 16 8 
18 8 


107.
b1  544; b2  480; b3  445;
b1  594; b2  614; b3  574;
 11 22 


c1  5; c2  7; 10 10 
8 2


110.
b1  1110; b2  700; b3  1066;
15 30 


c1  16; c2  18; 16 10 
19 2 


Задачи №№111-120.
На некоторой станции формируются скорые и пассажирские поезда. Известно, что скорый поезд состоит из одного багажного, одного почтового, трёх
плацкартных, семи купейных и трёх мягких вагонов. Пассажирский поезд
включает в себя один багажный, 8 плацкартных, 3 купейных и 2 мягких вагона.
В одном плацкартном, купейном и мягком вагонах можно перевезти соответственно 60, 40 и 20 пассажиров.
В депо станции имеется 11 багажных вагонов, а – почтовых, 72 –
плацкартных, b – купейных и 26 – мягких вагонов. В день можно сформировать не более с пассажирских поездов. Сколько необходимо сформировать
скорых и пассажирских поездов, чтобы число перевезенных в них пассажиров
было максимальным?
111.
a  8; b  70; c  10.
112.
a  7; b  69; c  11.
113.
a  7; b  71; c  12.
114.
a  9; b  79; c  11.
115.
a  8; b  71; c  10.
116.
a  7; b  69; c  13.
117.
a  9; b  71; c  12.
118.
a  7; b  72; c  10.
119.
a  8; b  73; c  11.
120.
a  9; b  70; c  12.