ГБОУ ВПО «Ставропольский государственный медицинский университет» Министерства здравоохранения Российской Федерации

ГБОУ ВПО
«Ставропольский государственный медицинский университет»
Министерства здравоохранения Российской Федерации
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»
ДЛЯ БАКАЛАВРОВ НАПРАВЛЕНИЯ ПОДГОТОВКИ
080100.62 «ЭКОНОМИКА»
Ставрополь, 2013
1
Методические указания к выполнению контрольной работы составлены в
соответствии с программой дисциплины «Линейная алгебра» для бакалавров
направления подготовки 080100.62 «Экономика».
В них отражены основные требования к объему, оформлению, структуре
и содержанию контрольной работы.
Составители: Е.И. Дискаева, О.В. Вечер, Е.И. Камениченко, С.В. Батурина,
Э.Д. Шевцова
Рецензент: доцент кафедры физики Ставропольского государственного
аграрного университета Хащенко А.А.
2
Содержание
1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАНИЯ И ЕГО ОБЪЕМ…………………..
4
1.1. Выбор вариантов контрольной работы ………………………….
4
1.2. Задания контрольной работы……………………………………..
4
2. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ………………………………………
8
3. ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ К НАПИСАНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ
КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ …………………………………………… 23
3.1. Требования к написанию контрольной работы………………….. 23
3.2. Требования к оформлению контрольной работы………………..
23
4. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ РАБОТ НАД
КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТОЙ…………………………………..………. 23
5. ПОРЯДОК ЗАЩИТЫ И ОТВЕТСТВЕННОСТЬ СТУДЕНТА ЗА
ВЫПОЛНЕНИЕ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ………………………..
24
6. СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ………………….
25
3
1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАНИЯ И ЕГО ОБЪЕМ
Контрольная работа по дисциплине «Линейная алгебра» является одной
из форм самостоятельной работы студента.
Цель контрольной работы – углубить и закрепить практические знания
студентов по избранным вопросам избранным вопросам математического
анализа.
Контрольная работа состоит из восьми заданий и выполняется по
вариантам.
1.1. Выбор вариантов контрольной работы
Вариант контрольной работы соответствует последней цифре в номере
зачетной книжки студента. Если последняя цифра 0, то вместо
соответствующей цифры необходимо выбрать 10. Выбор варианта должен
осуществляться строго в соответствии с этим правилом, в противном случае
работа считается незачтенной и возвращается студенту на переработку.
1.2. Задания контрольной работы
Задание №1. Пусть даны три матрицы:
1 1 1
 9 0 2
 1 1 7 
A   5 4 1 , B   5 4 6  , C   5 4 2  .
 2 1 1 
 2 1 1 
 2 3 1






1.
2.
3.
4.
5.
Вычислить выражение:
A  B  CT ;
A  C  BT ;
A  B  CT ;
AT  B  C 2 ;
A2  C T ;
6. B 2  C T ;
7. A  BT  C ;
8. A  C T  B ;
9. B  AT  C ;
10. BT  A  C .
Задание №2. Вычислить обратную матрицу A1 двумя способами: а) с
помощью элементарных преобразований; б) используя присоединенную
матрицу. Проверить, что A1  A  E .
1.
1 0 0 
A  1 1 2  ;
1 1 3 


2.
4
 6 3 4 
A   4 4 3  ;
 1 4 4 


3.
5.
7.
9.
4
A   5
3

0
A   1
4

1
A   3
2

1
A   0
1

2 1 
3 2  ;
2 1 
3 2
2 3  ;
0 5 
2 3 
2 4  ;
1 0 
2 3
1 1  ;
3 4 
3

4. A   1
5

5

6. A   1
 5

1

8. A   2
1

4

10. A   2
5

Задание №3. Найти ранг матрицы: а)
б) методом элементарных преобразований.
 0 2 4 
 1  4
5 

2.
1.  3 1 7  ;


 0 5  10 
 2 3 0 


 1 1 1 2 
3.  2 1 1 5  ;
4.
 1 10 6 1 


5.
7.
9.
3
5

1

7
1
 1

0

0
4
 5

2

6
1 3 2 5 
3 2 3 4 
;
3 5 0 7 

5 1 4 1 
0 1 0 3
1 0 0 5 
;
1 1 0 2 

0 1 1 3 
2 6 4
2 3 1
;
1 3 5

3 9 6
6.
8.
2 2
3 1  ;
3 4 
3 1
5 2  ;
2 1 
3 1
0 4  ;
2 3 
3 3 
3 2  .
5 4 
методом окаймляющих миноров;
3
1

1

2
1 1 4
4 10 1 
;
7 17 3 

2 4 3
2
3

5

1
2

5

7
3 1 7
7 6 2  ;
8 1 1 
3 5 1
1 3 4 
;
1 1 7 

7 9 1
 2 1 3 2 4 
 4 2 5 1 7  ;


 2 1 1 8 2 


2 4 6
1 2 3
10. 
 3 6 9

1 2 3
5
1
1
.
1

1
Задание №4. Вычислить определители второго порядка:
2.
5 4
,
5 3
n  1 n2
;
n2 n  1
n 1 n
;
n
n 1
4.
5 5
,
1 3
a  b2
a b
a b
;
a  b2
5 2
,
7 3
a b a b
;
a b a b
6.
9 2
,
7 1
cos 
sin 
sin 
;
 cos 
7.
5
2
,
7 3
a2
a b
;
a  b b2
8.
6 2
,
7 5
sin 
sin 
cos 
;
cos 
9.
4 9
,
7 3
cos 
sin 
10.
5 3
,
8 3
n  m nm
.
nm n  m
1.
5 2
,
7 3
a 2 ab
;
ab b 2
3.
5 2
,
7 3
5.
 sin 
;
cos 
Задание №5. Вычислить определители третьего порядка. При
вычислении применить: а) метод треугольников; б) теорему Лапласа, разлагая
по любой строке или столбцу:
1.
3.
5.
7.
9.
2
5
1
2
5
1
7
5
2
1
5
2
5
5
9
1 3
3 2 ,
4 3
1 3
3 2,
4 3
1 9
4 2 ,
4 3
1 1
4 1 ,
1 1
0 1
4 4 ,
1 2
a
b
c
a
c
b
0
b
0
a
x
x
1
x
x
b
c
a
b
a
c
a
c
e
x
b
x
x
1
x
c
a;
b
c
b;
a
0
d ;
0
x
x;
c
x
x;
1
2.
4.
6.
8.
10.
6
1 1 1
1 4 9 ,
1 8 4
3 1 9
5 3 1 ,
2 1 7
4 1 5
1 8 5,
2 1 2
3 4 1
7 4 0 ,
4 1 5
1 1 1
5 4 1,
2 1 1
ax
x
x
x
bx
x
x
x
cx
ax
x
x
0 x
x 0
x x
a x
x a
x x
a x
x b
c x
;
x
x
bx
x ;
x
cx
x
x;
1
x
x;
a
a
x.
c
Задание №6. Доказать совместность системы и решить ее тремя
методами: а) методом Гаусса, б) методом Крамера, в) матричным методом:
 х1  2 х 2  3х3  12,

1.  2 х1  3х 2  х3  11,
 4 х  х  2 х  1.
 1
2
3
 х1  2 х 2  3х3  7,

2.  2 х1  5 х 2  6 х3  5,
3х  4 х  5 х  11.
 1
2
3
 х1  3х 2  6 х3  17,

3. 5 х1  6 х 2  3х3  13,
 6 х  4 х  3х  7.
 1
2
3
12 х1  4 х 2  3х3  0,

 1,
6.  4 х1  х 2
 х  х  5 х  2.
 1
2
3
 2 х3  0,
 3х1

7.  4 х1  2 х 2  3х3  0,
5 х  2 х  4 х  2.
 1
2
3
 3х1  х 2  2 х3  6,

8. 5 х1  3х 2  2 х3  4,
4 х  2 х  3х  2.
 1
2
3
 х1  3х 2  4 х3  17,

4.  4 х1  3х 2  5 х3  43,
2 х  6 х  5 х  43.
 1
2
3
15 х1  7 х 2  12 х3  3,

9.  3х1  х 2  2 х3  3,
 5 х  2 х  4 х  3.
 1
2
3
3х1  5 х 2  3х 3  8,

10.  х1  2 х 2  х 3  8,
 х  5 х  3х  6.
 1
2
3
 х1  2 х 2  3х3  4,

5. 7 х1  6 х 2  2 х3  35,
6 х  2 х  3х  25.
 1
2
3
Задание №7. Найдите все собственные значения собственные векторы
данной матрицы:
1.
88 
 47
 ;
A  
  20  37 
6.
16 
 19
 ;
A  
  14  11
2.
 30 100 
 ;
A  

6

19


7.
  5  12 
 ;
A  
8
15


3.
 52 204 
 ;
A  

12

47


8.
 76 666 
 ;
A  

8

70


4.
 157 780 
 ;
A  
  30  149 
9.
 13 30 
 ;
A  
  3  6
5.
  19  24 
 ;
A  
20
25


10.
  2  8
 .
A  
7
13


7
Задание №8. Рассматривается двухотраслевая модель экономики. Задана
балансовая таблица за прошедший год.
1) Найдите валовой выпуск каждой отрасли в прошедшем году; запишите

вектор валового выпуска d для прошедшего года.
2) Найдите матрицу Леонтьева A .
3) Найдите матрицу полных затрат H .
4) В следующем году конечное потребление продукции отрасли I
увеличился на a% , а отрасли II – уменьшился на b% . Найдите конечное
потребление продукции каждой отрасли в следующем году. Запишите вектор

конечного потребления x / для следующего года.
5) Найдите валовой выпуск каждой отрасли в следующем году; запишите

вектор валового выпуска d / для прошедшего года.
6) На сколько процентов изменился валовой выпуск каждой отрасли в
следующем году по сравнению с прошедшим?

7) Известен вектор норм добавленной стоимости  в прошедшем году.
Найдите равновесные цены продукции каждой отрасли в прошедшем году.

Запишите вектор равновесных цен р .
№1.
Отрасли
производства
I
II
Произв. потребление
Отрасль I
Отрасль II
6
7
4
4
Конечное
потребление
2
1
  4
a  20%, b  30%,    
 6
№2.
Отрасли
производства
I
II
Произв. потребление
Отрасль I
Отрасль II
5
4
3
3
Конечное
потребление
5
3
 7
a  20%, b  40%,    
 3
№3.
Отрасли
производства
I
II
Произв. потребление
Отрасль I
Отрасль II
1
5
6
7
 1
a  50%, b  70%,    
7
8
Конечное
потребление
1
7
№4.
Отрасли
производства
I
II
Произв. потребление
Отрасль I
Отрасль II
5
7
3
6
Конечное
потребление
3
4
  3
a  40%, b  60%,    
 5
№5.
Отрасли
производства
I
II
Произв. потребление
Отрасль I
Отрасль II
5
1
1
1
Конечное
потребление
1
1
  6
a  50%, b  20%,    
 4
№6.
Отрасли
производства
I
II
Произв. потребление
Отрасль I
Отрасль II
3
2
2
3
Конечное
потребление
6
3
 1
a  30%, b  20%,    
1
№7.
Отрасли
производства
I
II
Произв. потребление
Отрасль I
Отрасль II
2
3
3
1
Конечное
потребление
1
2
 6
a  40%, b  20%,    
 2
№8.
Отрасли
производства
I
II
Произв. потребление
Отрасль I
Отрасль II
7
7
5
7
Конечное
потребление
5
4
  2
a  40%, b  30%,    
 2
№9.
Отрасли
производства
I
II
Произв. потребление
Отрасль I
Отрасль II
1
4
5
3
  5
a  70%, b  10%,    
 5
9
Конечное
потребление
3
7
№10.
Отрасли
производства
I
II
Произв. потребление
Отрасль I
Отрасль II
2
2
2
6
Конечное
потребление
2
2
  4
a  70%, b  50%,    
 4
2. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ
В контрольной работе представлены основные задачи по темам
«Матрицы и определители», «Системы линейных уравнений», «Элементы
векторной алгебры», «Модели Леонтьева».
Прежде чем приступать к решению задач, следует изучить теоретический
материал, представленный в списке литературы или лекционным курсом по
предмету. При этом необходимо обратить внимание на определения основных
понятий линейной алгебры, подробно разобрать примеры, поясняющие эти
определения.
Не следует приступать к выполнению контрольного задания до решения
достаточного количества задач по материалу, соответствующему этому
заданию. Опыт показывает, что чаще всего неумение решить ту или иную
задачу контрольной работы вызывается тем, что студент не выполнил это
требование.
Для удобства студентов ниже приведены примеры решения типовых
задач, представленных в заданиях контрольной работы. Поэтому
предварительно рекомендуется внимательно ознакомиться с разобранными
примерами.
Контрольные
работы
должны
выполняться
самостоятельно.
Несамостоятельно выполненная работа не дает возможности преподавателюрецензенту указать студенту на недостатки в его работе, в усвоении им
учебного материала, в результате чего студент не приобретает необходимых
знаний и может оказаться неподготовленным к экзамену или зачету.
Задание №1. Пусть даны три матрицы:
1 5 1
 1 0 2
 0 1 9 




A   4 4 2  , B   1 4 6  , C   5 1 4  .
 2 1 0 
 2 1 1 
 3 3 1






Вычислить выражение: A  C  B  C T .
10
Решение.
Вычислим C , для этого транспонируем матрицу C, т.е. поменяем строки
и столбцы местами:
 0 1 9 
 0 5 3 


T
C   5 1 4   C   1 1 3  .
 3 3 1
 9 4 1




Найдем выражение A  C  B .
T
Вычислим A  C . Матрицу А можно умножить на матрицу С только в том
случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы С. Это
условие выполняется. Воспользуемся правилом умножения матриц:
 1 5 1   0 1 9 
A  C   4 4 2    5 1 4  
 2 1 0   3 3 1 

 

1   1  5  1  1  3
1  9  5  4  1 1 
 1  0  5   5   1  3


  4  0  4   5    2   3 4   1  4  1   2   3 4  9  4  4   2   1  
  2   0  1   5   0  3  2    1  1  1  0  3  2   9  1  4  0  1 


 22 7 30 
  26 6 50  .
 5 3 14 


Аналогично вычислим A  C  B умножив A  C на В:
2
28 
 22 7 30   1 0 2   75
A  C  B   26 6 50    1 4 6    132 74 38  .
 5 3 14   2 1 1   26 26 6 

 
 

T
Выражение A  C  B  C будет равно:
2
28   0 5 3   75 3 31 
 75

A  C  B  C T   132 74 38    1 1 3    133 75 35  .
 26 26 6   9 4 1   35 22 5 

 
 

Задание №2. Вычислить обратную
а) используя присоединенную матрицу;
преобразований. Проверить, что A1  A  E :
1 2

А  2 2
3 3

11
матрицу A1 двумя способами:
б) с помощью элементарных
3

3 .
4 
Решение.
б) Вычислим определитель матрицы А, используя метод треугольников:
1 2 3
A  2 2 3  8  18  18  18  9  16  1  0 .
3 3 4
Матрица А невырожденная, поэтому существует матрица, ей обратная
 A11 A21 A31 
1
A
A1 
A22 A32  .
12

A 

 A13 A23 A33 
Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А:
2 3
2 3
A11  (1)11
 8  9  1;
A21  (1) 21
 (8  9)  1;
3 4
3 4
A12  (1)1 2
2 3
 (8  9)  1;
3 4
A22  (1) 2 2
1 3
 4  9  5;
3 4
A13  (1)13
2 2
 0;
3 3
A23  (1) 23
1 2
 (3  6)  3;
3 3
A31  (1)31
2 3
 0;
2 3
A32  (1)3 2
1 3
 (3  6)  3;
2 3
A33  (1)33
1 2
 2  4  2.
2 2
 1 1 0 
 1 1 0 
1
Тогда A1   1 5 3  ; A1   1 5 3  .
1

 0 3 2 
 0 3 2 


1
Проверим, верно ли найдена матрица A . Если A1  A  E , то A1
найдена верно.
 1 1 0   1 2 3 
A1  A   1 5 3    2 2 3  
 0 3 2   3 3 4 

 

1  2  1  2  0  3
1  3  1  3  0  4 
 1  1  1  2  0  3
  1  1  (5)  2  3  3 1  2  (5)  2  3  3 1  3  (5)  3  3  4  
 0  3  3  2  (2)  3 0  2  3  2  (2)  3 0  3  3  3  ( 2)  4 


12
2  2
3  3   1 0 0 
 1  2
 1  10  9 2  10  9 3  15  12    0 1 0   Е .
 66
66
9  8   0 0 1 

Итак, матрица A1 найдена верно.
б) Припишем к матрице А справа единичную матрицу и будем выполнять
элементарные преобразования строк объединенной матрицы до тех пор, пока
матрица А не превратится в единичную:
1

2
3

1

~0
0

2 3 1 0 0  2 3  1 2 3 1 0

~  0 2 3 2 1
2 3 0 1 0 

3 4 0 0 1 
  0 3 5 3 0
Ë  1 0 1 1
2 3 1 0 0


1 2 1 1 1 3 2 ~  0 1 2 1

0 0
1 0
3 5 3 0 1  

0 
0  1 ~

1  
2 2 
Ë
1 1  Ë ~

3 2  2 1
 1 0 0 1
1 0


~  0 1 0 1 5
3 .
0 0 1 0
3 2 

1 0
 1
3  .
Таким образом, А1   1 5
 0
3 2 

Задание №3. Найти ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б)
методом элементарных преобразований:
 2 4 3 1 0 
 1 2 1 4 2 

.
 0 1 1 3 1 


 4 7 4 4 5 
Решение.
а) Найдем минор 2–го порядка данной матрицы А, отличный от нуля
2 4
4 3
М1 
 4  4  0; М 2 
 4  6  2  0,
1 2
2 1
следовательно, r(A)≥2. Найдем миноры третьего порядка, окаймляющие минор
М2 и отличные от нуля:
13
2 4
М 3  1 2
0
1
3
1  4  3  2  4  1  0, тогда r(A)≥3. Найдем среди миноров
1
4-го порядка, окаймляющие М3 отличные от нуля.
2 4 3 1 Ë
0
0
1
9
1 2 1 4 2 4
1 2
1 4
М4 


0 1 1 3
0
1 1
3
4 7 4 4
0
1
0 12

0
1
 1  (1) 21 1
1
1
9
3  (3  9  12)  0;
0 12
2 4 3
1 2 1
М5 
0 1 1
4 7 4

 
0 2 4
2 1 4

1 0 0
5 4 12
3
3
0
9
0
2 4 3
2
 1  (1)3 4 1 4 3 
1
4 12 9
5
1
1
2 1 1
 4  3 1 1 1  12(6  3  4  4  6  3)  12  0  0.
4 3 3
Все миноры 4–го порядка данной матрицы, окаймляющие минор М3,
равны нулю. Это значит, что r(A)=3.
б) Методом элементарных преобразований приведем данную матрицу А к
ступенчатому виду
 2 4 3 1 0   1 2 1 4 2  2 4  1 2 1 4 2 
 1 2 1 4 2   2 4 3 1 0 
 0 0 1 9 4 





 ~
А
~
~
 0 1 1 3 1   0 1 1 3 1 
 0 1 1 3 1 

 



  0 1 0 12 3 
 4 7 4 4 5   4 7 4 4 5 
 1 2 1 4 2 
 1 2 1 4 2 
1  2 1  4 2 


 0 1 1 3 1 
 0 1 1 3 1 
0
1

1
3
1

1




~
~
~
.
 0 0 1 9 4 
 0 0 1 9 4  1 0 0
1
9  4






0
1
0
12

3
0
0
1
9

4
0
0
0
0
0








Получили матрицу ступенчатого вида. Заключаем, что r(A)=3, так как
14
1 2
1
D 0
1
 1  1  1  1  1  0.
0
0
1
Задание №4. Вычислить определители второго порядка:
10 2 a 3 a
,
.
7 3 b b 3
Решение.
Вычислим определитель второго порядка, используя определение:
а
а
D    11 12  а11а22  а12 а21 .
а21 а22
Отсюда 1 
10 2
 10   3  2  7  44 .
7 3


a3 a
2
 a 3  b3  a  b  a  b  a 2  b 2  1  a  b  a  b   1 .
Аналогично,  2 
3
b b
Задание №5. Вычислить определители третьего порядка. При
вычислении применить: а) метод треугольников; б) теорему Лапласа, разлагая
по любой строке или столбцу:
2 1 3 a b c
5 3 2 , b c a.
1 4 3 c a b
Решение.
а) Применим метод треугольников. Воспользуемся формулой:
а11 а12 а13
D    а21 а22 а23  а11а22 а33  а21а32 а13  а12 а23а31 
а31 а32 а33
 а13а22 а31  а32 а23а11  а21а12 а33 .
2 1 3
1  5
1
3
2   2   3   3  1  1  2  5  3   4  
4 3
1  3  3  2   2    4   5  1   3  50
Аналогично,
15
a b c
2  b c a  a  c  b  a  c  b  a  c  b  c  c  c  a  a  a  b  b  b 
c a b
 3  a  c  b  c 3  a 3  b3 .
б) Используем теорему Лапласа, разлагая определитель по первой строке.
Воспользуемся формулой:
a11 ... a1 j ... a1n
a21 ... a2 j ... a2 n
. . . . . . . .
an1 ... anj ... ann
2
 ai1 Ai1  ...  ain Ain .
1
3
Отсюда, 1  5 3 2  a11  A11  a12  A12  a13  A13 .
1 4 3
Вычислим алгебраические дополнения:
3 2
3 2
11
2
A11   1  M 11   1 

 9  8  1 ;
4 3 4 3
A12   1
 M 12   1 
5 2
5 2

   15  2   17 ;
1 3
1 3
A13   1
 M 13   1 
5 3
5 3

 20  3  23 .
1 4 1 4
1 2
13
3
4
2
1
3
1  5
3
2  a11  A11  a12  A12  a13  A13 
4 3
1
  2    1  1  17  3   23  50.
Аналогично,
a b c
 2  b c a  a11  A11  a12  A12  a13  A13 .
c a b
A11   1  M 11   1 
c a c a

 c  b  a2 ;
a b a b
A12   1
 M 12   1 
b a
b a

  b2  a  c   a  c  b2 ;
c b
c b
A13   1
 M 13   1 
b c b c

 b  a  c2 .
c a c a
11
1 2
13
2
3
4
16
a b c
 2  b c a  a11  A11  a12  A12  a13  A13 
c a b
 a   c  b  a 2   b   a  c  b2   c  b  a  c 2  
 a  c  b  a 3  b  a  c  b3  c  b  a  c 3  3  a  c  b  c 3  a 3  b 3 .
Задание №6. Доказать совместность системы и решить ее тремя
методами: а) методом Гаусса, б) методом Крамера, в) матричным методом:
5 x  y  z  0;

 x  2 y  3z  14;
4 x  3 y  2 z  16.

Решение .
Совместимость данной системы проверим по
Капели. С помощью элементарных преобразований
матрицы А и расширенной матрицы A :
 5 1 1
 1 2 3  4 5  1 2
A   1 2 3  ~  4 3 2  
~  0 5
4 3 2 
 5 1 1
  0 11




теореме Кронекера –
найдем ранг данной
3 
10  11/ 5 ~
16  
3 
1 2

~  0 5 10  .
0 0
6 

Аналогично,
3
14 
 5 1 1 0   1 2 3 14   1 2
A   1 2 3 14  ~  4 3 2 16  ~  0 5 10 40  ~
 4 3 2 16   5 1 1 0   0 11 16 70 

 
 

.
3
14 
1 2
~  0 5 10 40  .
0 0
6
18 

Имеем rang A =rang A =3, следовательно, система совместима. Число
неизвестных n=3=r, следовательно, система определена и имеет единственное
решение.
а) Решим систему методом Гаусса. Исходя из вышеприведенных
преобразований расширенной матрицы, исходная система может быть
представлена в виде:
17
 x  2 y  3z  14;

5 y  10 z  40;
6 z  18.

Отсюда получаем: z=3; y=2; x=1.
б) Решим систему методом Крамера. Вычислим определитель системы.
5 1 1
= 1 2 3 = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = –25 – 10 + 5 = –30.
4 3 2
Определитель системы ∆≠0, следовательно, система имеет единственное
j
решение, определяемое по формулам Крамера x j  , j  1, n. Через ∆j,

j=1,2,…,n обозначим определитель, полученный из определителя ∆ заменой j–
го столбца столбцом свободных членов.
0 1 1
1 = 14 2 3 = (28 – 48) – (42 – 32) = –20 – 10 = –30.
16 3 2
5 0 1
2 = 1 14 3 = 5(28 – 48) – (16 – 56) = –100 + 40 = –60.
4 16 2
5 1 0
3 = 1 2 14 = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = –50 – 40 = –90.
4 3 16
x = 1/ = 1; y = 2/ = 2; z = 3/ = 3.
Отсюда получаем: x = 1; y = 2; z = 3.
в) Решим систему матричным методом. Обозначим
 x
0
 5 1 1




X   y  , B   14  , A   1 2 3  .
z
 16 
4 3 2 
 


 
Решение запишется в виде Х=А–1·В. Найдем обратную матрицу А-1.
Определитель ∆=–30≠0. Вычислим алгебраические дополнения:
2 3
1 1
1 1
 5 ,
 1 ,
 1 ,
A11 =
A 21 = 
A 31 =
3 2
3 2
2 3
A 12 = 
A 13 =
1 3
 10 ,
4 2
1 2
 5 ,
4 3
A 22 =
5 1
 14 ,
4 2
A 23 = 
5 1
 19 ,
4 3
18
A 32 = 
A 33 =
5 1
 16 ,
1 3
5 1
 11 .
1 2
В итоге обратная матрица равна:
1
1 
 1

30
30 
 5 1 1   6

1
7
8
1 

1
.

A 
  10 14 16    

15 15 
30 
  3

5

19
11



1
19
11

 
30
30 
 6
Cделаем проверку:
 5 1 1  5 1 1 
1
A  A1 
  1 2 3    10 14 16  
30 
 

 4 3 2   5 19 11 
 25  10  5 5  14  19 5  16  11 
1 



5

20

15

1

28

57

1

32

33

30 


20

30

10

4

42

38

4

48

22


0  1 0 0
 30 0
1 

0 30 0    0 1 0   E.

30 
0 30   0 0 1 
 0
Находим матрицу Х.
1
1 
14 16 
 1

0


 6


30
30
30
30   1 
 x

 0 

1
7
8
98
128




1
  14   0  
   2 .

X   y  A B  
 3
15 15    
15 15   
z
16



  3
 
 
1
19
11
266
176

 0 

 

30
30 
30
30 
 6

Отсюда получаем: x = 1; y = 2; z = 3.
Задание №7. Найдите все собственные значения собственные векторы
1
данной матрицы: 
 3
1
.
5 
Решение.
Составим характеристическую матрицу A  E :
1
1  



3
5




Найдем характеристический многочлен f    det A  E  , где E –
единичная матрица.
19
det 
1 
1
 1   5     3  2  6  8    2  4  0 ,
3 5
получим собственные значения
1  2, 2  4 .
Находим собственные векторы.
  1 1   x1   0 
       , чья матрица имеет ранг
Возьмем 1  2, тогда 

3
3

  x2   0 
 1 1   1 1 

 ~ 
   x1  x2  0 ,
r1  1 ,
считаем
свободной

3
3
0
0

 

переменной x1  1 , тогда x2  x1  1 , и один из собственных векторов
1
f1    , множество собственных векторов собственного значения 1  2,
1
S 1  x : x  C1 f1  0 . Для собственного значения
1  4,
будет
  1 1   x1   0 
       , очевидно, что ранг матрицы
соответственно получаем: 

3
3

  x2   0 
системы равен 1.
 3x1  x2  0 , считая свободной переменной
1 
x1 . Пусть x1  1 , тогда x2  3 . Собственный вектор f 2    образует
 3
множество собственных векторов 2  4 , будет S 2  x : x  C2 f 2  0.
Решаем одно уравнение
Задание №8. Рассматривается двухотраслевая модель экономики. Задана
балансовая таблица за прошедший год.
1) Найдите валовой выпуск каждой отрасли в прошедшем году; запишите

вектор валового выпуска d для прошедшего года.
2) Найдите матрицу Леонтьева A .
3) Найдите матрицу полных затрат H .
4) В следующем году конечное потребление продукции отрасли I
увеличился на 70% , а отрасли II – уменьшился на 10% . Найдите конечное
потребление продукции каждой отрасли в следующем году. Запишите вектор

конечного потребления x / для следующего года.
20
5) Найдите валовой выпуск каждой отрасли в следующем году; запишите

вектор валового выпуска d / для прошедшего года.
6) На сколько процентов изменился валовой выпуск каждой отрасли в
следующем году по сравнению с прошедшим?

7) Известен вектор норм добавленной стоимости   5, 5T в прошедшем
году. Найдите равновесные цены продукции каждой отрасли в прошедшем

году. Запишите вектор равновесных цен р .
Отрасли
Произв. потребление
Конечное
производства
Отрасль I
Отрасль II потребление
I
1
4
3
II
5
3
7
Решение.
1)
Валовой выпуск продукции получается сложением объемов
производственного и конечного потребления по каждой из отраслей:
I) 1 4  3  8
II ) 5  3  7  15
 Вектор валового выпуска за прошедший

год, равен: x  8, 15T .
2)
Найдем матрицу Леонтьева. Элементы матрицы вычисляются по
xij
a

формуле: ij x , где xij – объем производства потребления продукции i
j
отраслью j , xi – валовый выпуск отрасли j .
x11 1
  0.125
x1 8
x
5
a21  21   0.625
x1 8
x12
4

 0.262
x2 15
x
3
a22  22 
 0.200
x2 15
a11 
a12 
 0.125 0.267 

A  
0
.
625
0
.
200


3) Найти матрицу полных затрат H  E  A .
1
1  0.625  0.267   0.875  0.267 


E  A  
1  0.2    0.625
0.8 
 0.625
Обращение матрицы второго порядка проведем с помощью формулы:
1
a b
1 d  b

 

 
c
d

c
a
ad

bc




21
1
 0.875  0.267 
 
H  E  A  

0
.
625
0
.
8


0.267  1.5
0.5 
 0.8
1

  


0.875  0.8  0.267  0.625  0.625 0.875  1.17 1.64 
1
4) Найдем конечное потребление продукции каждой отрасли в

следующем году. Запишем вектор конечного потребления x / для следующего
года.
Объем конечного потребления продукции отрасли I увеличивается на
70% 

/
d

3

1


  5.1 , аналогично для второй
70% и становится равным: 1
 100% 
10% 

/
d

7

1


  6.3 . Таким образом, вектор конечного
2
отрасли:
100
%


/
потребления для следующего года равен: d  5.1; 6.3 .
5) Найдем валовый выпуск каждой отрасли в следующем году. Запишем

вектор валового выпуска d / для прошедшего года.
T


Вектор валового выпуска x связан с вектором конечного потребления d

 
уравнением Леонтьева: x  Ax  d , откуда


 

1
E  Ax  d  x  E  A d  H  d .
/
Поэтому вектор валового выпуска x для следующего года равен:
 1.5
0.5  5.1  10.8 

   
 .
x  Hd /  
1.17 1.64  6.3  16.3 
6) Определим на сколько процентов изменился валовый выпуск каждой
отрасли в следующем году по сравнению с прошедшим.
x1/  x1
10.8  8
x1 
100% 
100%  35.7%
x1
8
x2/  x2
16.3  15
x2 
100% 
100%  8.7%
x2
15
Валовый выпуск обеих отраслей увеличился.
7) Определим вектор равновесных цен с помощью «двойственного»


 
уравнения Леонтьева: p  A p   ,


T
 – вектор норм добавленной стоимости.
1.5 1.17  5 
13.4 
T
   
 .
Имеем p  H   
0
.
5
1
.
64
5
10
.
7

  

22
3. ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ К НАПИСАНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ
КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
3.1. Требования к написанию контрольной работы
При выполнении контрольной работы следует соблюдать указанные ниже
правила. Работа, выполненная без соблюдения этих правил, не зачитывается и
возвращается студенту для переработки.
1. Решения задач следует располагать в порядке номеров, указанных в
заданиях, сохраняя номера задач.
2. Каждое новое задание начинается с новой страницы.
3. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие.
4. В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку,
следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными из
соответствующего номера.
5. Решение задач нужно излагать подробно и аккуратно, объясняя все
действия. В конце решения следует записать ответ.
3.2. Требования к оформлению контрольной работы
При выполнении контрольной работы следует соблюдать указанные ниже
правила. Работа, выполненная без соблюдения этих правил, не зачитывается и
возвращается студенту для переработки.
1. На титульном листе контрольной работы должны быть указаны
название дисциплины, фамилия, имя, отчество, группа, специальность, номер
зачетной книжки студента, дата сдачи контрольной работы.
2. Контрольную работу следует выполнять в тетради пастой любого
цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента.
4. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ РАБОТ НАД
КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТОЙ
Прежде чем приступить к решению контрольной работы по дисциплине
«Линейная алгебра», студент должен освоить теоретический материал по темам
контрольной работы и разобрать приведенные примеры решения. Если по
теоретической части возникли вопросы, студент должен обратиться за
консультацией к преподавателю или воспользоваться дополнительными
источниками информации. Только после этого стоит приступать к решению
своего варианта контрольной работы.
23
5. ПОРЯДОК ЗАЩИТЫ И ОТВЕТСТВЕННОСТЬ СТУДЕНТА ЗА
ВЫПОЛНЕНИЕ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Студент обязан предоставить контрольную работу на проверку в
соответствии с календарным планом. Если у преподавателя нет претензий к
работе, то студент допускается к защите. Если в работе имеются недостатки, то
после получения прорецензированной работы студент должен исправить в ней
все отмеченные преподавателем ошибки и недочеты.
Защита контрольной работы осуществляется на последнем практическом
занятии по дисциплине. По результатам защиты студенту выставляется оценка.
Без зачета по контрольной работе студент не может быть допущен к зачету или
экзамену по данной дисциплине.
24
6. СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. А.Г. Курош Курс высшей алгебры. Изд-во «Лань», 2011, 432 с.
2. Владимирский Б.М. Математика: Учебник [Текст] / Б.М.
Владимирский, А.В. Горстко, Я.М. Ерусалимский. – СПб.: Лань, 2008.
– 960с.
3. Виленкин И.В. Высшая математика: учебное пособие для вузов [Текст]
/ И.В. Виленкин, В.М. Гробер. – Ростов-на-Дону,: Феникс, 2011, 392с.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть.
[Текст] / Д.Т.Письменный. – М.: Рольф, 2000. – 288 с.
2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 2 часть.
[Текст] / Д.Т.Письменный. – М.: Рольф, 2000. – 256 с.
3. Рябушко, А.П. Сборник индивидуальных заданий по высшей
математике: Учебное пособие. В 3ч. Ч.1 [Текст] / А.П.Рябушко,
В.В.Бархатов, В.В.Державец, И.Е.Юруть. – Мн.: «Высшая школа»,
1990. – 270 с.
4. Рябушко, А.П. Сборник индивидуальных заданий по высшей
математике: Учебное пособие. В 3ч. Ч.2 [Текст] / А.П.Рябушко,
В.В.Бархатов, В.В.Державец, И.Е.Юруть. – Мн.: «Высшая школа»,
1991. – 352 с.
5. Рябушко, А.П. Сборник индивидуальных заданий по высшей
математике: Учебное пособие. В 3ч. Ч.3 [Текст] / А.П.Рябушко,
В.В.Бархатов, В.В.Державец, И.Е.Юруть. – Мн.: «Высшая школа»,
1991. – 288 с.
6. Щипачев, В.С. Высшая математика [Текст] / В.С.Щипачев. – М.:
Высшая школа, 2001. – 479 с.
7. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Т.1 [Текст] /
П.Е.Данко, А.Т.Попов, Т.Я.Кожевникова. – М: Высшая школа, 2003. –
304 с.
8. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Т.2 [Текст] /
П.Е.Данко, А.Т.Попов, Т.Я.Кожевникова. – М: Высшая школа, 2003. –
415 с.
25
26
27
28