Приложение № 1 - История школы

Муниципальное казённое образовательное учреждение
Дугинская средняя общеобразовательная школа
Исследовательская работа по математике на тему
Работу выполнил: Нефедкин Никита
Класс: 9
Руководитель: Гусева Елена Борисовна,
учитель математики
Сычевка
2012 год
Содержание:
I. Введение
II. Основная часть.
1.История возникновения теории графов.
2.Основные понятия теории графов.
3.Применение теории графов для решения различных задач.
4.Применение теории графов в различных сферах деятельности.
III. Заключение.
IV. Список литературы.
I. Введение.
Тема моей исследовательской работы «Его высочество Граф Математический». Я выбрал эту тему не случайно. Еще с раннего детства мой папа
любил мне задавать разные задачки. Однажды он предложил мне, не отрывая руки от бумаги начертить раскрытый почтовый конверт. Я, конечно, не
смог справиться. Папа показал мне решение. … Прошло несколько лет, и я
уже учусь в 9 классе. В этом году
на занятиях элективного курса «Десять
встреч с графами» я опять встретился с этой задачей. Оказывается то, что такой конверт действительно можно начертить «одним росчерком», легко
объясняется с помощью теории графов. И я решил подробно изучить эту тему.
1. Проблема: понять важность теории графов.
Подпроблема: действительно ли графы значительно упрощают решение многих задач.
Объект: графы.
Гипотеза: если изучу теорию графов, проанализирую информацию по этой
теме, то смогу ответить на возникшие вопросы и использовать полученные
знания в дальнейшем.
Цель:
Познакомиться с новым для меня направлением развития дискретной математики - теорией графов, её возникновением, содержанием и возможными
путями применения.
Задачи:
1. Появление теории графов в математике. Изучить историю.
2. Изучить теорию графов.
3. Рассмотреть практическое применение теории графов.
4. Рассмотреть применение теории графов в различных сферах деятельности.
II. 1. История возникновения теории графов
Изучив литературу по данной теме, информацию Интернет-ресурсов,
я для себя открыл следующие интересные факты об истории возникновения
теории графов.
Родоначальником теории графов принято считать математика
Леонарда Эйлера. Однако теория графов многократно переоткрывалась разными авторами при решении различных прикладных задач.
Вот самые знаменитые из таких задач.
1.
Задача о Кенигсбергских мостах.
Философ Иммануил Кант, гуляя по городу Кенигсбергу (сейчас этот го-
род называется Калининград), поставил задачу: можно ли пройти по всем
семи мостам и при этом вернуться в исходную точку так, чтобы по каждому
мосту пройти только один раз.
Многие кёнигсбергцы пытались решить эту задачу как теоретически,
так и практически, во время прогулок. Но никому это не удавалось, однако
не удавалось и доказать, что это даже теоретически невозможно.
В 1736 году задача о семи мостах заинтересовала выдающегося математика, члена Петербургской академии наук Леонарда Эйлера, о чём он
написал в письме итальянскому математику и инженеру Мариони от 13 марта 1736 года. В этом письме Эйлер пишет о том, что он смог найти правило,
пользуясь которым легко определить, можно ли пройти по всем мостам, не
проходя
дважды
ни
по
одному
Рис.1. Иллюстрация к задаче о Кенигсбергских мостах
из
них.
2.
З а да ч а о т р ех до м а х и ко л о дц а х
Имеется 3 дома и 3 колодца. Провести от каждого дома к каждому
колодцу тропинку так, чтобы тропинки не пересекались.
3.
Задача о четырех красках.
Внимательно рассматривая географическую карту, можно заметить, что
кроме графов, изображающих железные или шоссейные дороги, есть еще
один – граф, состоящий из границ между странами (областями, районами)
(рис.2).
Рис.2.
Эта задача ведет свою историю с 1852 г. Однажды английский студент Френсис Гутри раскрашивал карту Великобритании. Каждое графство
он выделял цветом. К сожалению, выбор красок у него был невелик, и приходилось их использовать повторно. Гутри старался, чтобы два графства,
имеющие общий участок границы, были окрашены в разные цвета. Это занятие заставило его задуматься о том, какого наименьшего числа красок достаточно для раскрашивания любой карты. Гутри считал, что четырех красок всегда хватит, но доказать это не мог. Френсис был любознательным молодым
человеком, поэтому с этим наблюдением он отправился к своему брату,
Фредерику, который на тот момент, по счастливому стечению обстоятельств,
был студентом у Огастеса де Моргана, великого английского математика, известного, среди прочего, своими законами де Моргана в логике.
Де Морган не смог ни доказать, ни опровергнуть утверждение Гутри,
но задача его заинтересовала. Впервые в литературу, однако, задача попала
в 1879 году благодаря работе Артура Кейли. С этого момента начался нелегкий путь к решению этой задачи. Надо сказать, что первые решения появились почти сразу - в том же году доказательство опубликовал Альфред Кемпе, а год спустя - Питер Тэт.
4.
Кубик Рубика.
В 1859 г. английский математик Уильям Гамильтон выпустил в прода-
жу головоломку. Она представляла собой деревянный додекаэдр(12гранник), в вершинах которого вбиты гвоздики (рис. 3). Каждая из 20 вершин
была помечена названием одного из крупных городов мира – Дели, Брюссель, Кантон и т.д. Требовалось найти замкнутый путь, проходящий по ребрам додекаэдра и позволяющий побывать в каждой его вершине по одному
разу. Путь следовало отмечать с помощью шнура, зацепляя его за гвоздики.
Рис. 3.
Игрушка не имела такой популярности, какой еще недавно пользовался «кубик Рубика», но оставила след в математике. Кубик Рубика стал необыкновенно популярной головоломкой, изобретенной в 1975 году преподавателем архитектуры Будапешта Эрне Рубиком для развития пространственного воображения у студентов. Кубик Рубика – это куб, как бы разре-
занный на 27 одинаковых кубичков. В исходном положении каждая грань
куба окрашена в один из 6 цветов. Остроумный механизм позволяет поворачивать любой слой из 9 кубичков, примыкающих к одной грани куба, вокруг
ее центра; при этом цвета граней смешиваются. Задача состоит в том, чтобы
вернуть разноцветные грани кубика в исходное положение.
Рис. 4.
Решить все эти задачи или доказать, что они не имеют решений легко
с помощью теории графов.
2. Основные понятия теории графов
Графом называется несколько точек (эти точки называются вершинами), соединённых линиями (называемыми рёбрами). С дворянским титулом «граф» их связывает общее происхождение от латинского слова «графио» - пишу.
На рисунке 5 изображены различные графы.
Рис. 5.
Если линия имеет направление, она называется дугой, а граф, содержащий только дуги, — ориентированным. Вершины, соединённые ребром,
называют смежными. Рёбра, имеющие общую вершину, тоже называют смежными.
Пара вершин графа может соединяться двумя или более рёбрами
(или дугами одинакового направления, если граф ориентированный), тогда
они называются кратными (рис. 6 а, б).
Рис. 6.
Ребро (или дуга) может начинаться и заканчиваться в одной вершине, такое ребро называется петлёй (рис. 7).
Рис. 7.
Часто по умолчанию предполагают, что в графе нет ни кратных рёбер, ни
петель. В дальнейшем мы будем считать, что их нет, если не сказано обратное.
Число рёбер, выходящих из одной вершины, называют степенью этой
вершины. Например, на рисунке 8 у вершины А степень 1, у вершины В — 3,
у С — 2. Сумма степеней вершин этого графа равна 10. Количество рёбер —
5.
В
А
С
Рис.8.
1.1.
Полный граф и его свойства
Граф называют нулевым, если в нём есть вершины, но нет рёбер (рис.
9). Если не все вершины соединены рёбрами, то граф называют неполным (рис.
10). В полном графе (рис. 11) любые две вершины соединены одним ребром.
В
Рис. 9.
Рис. 8.
Рис. 9.
Рис. 10.
Рис. 11.
В полном графе с n вершинами число ребер равно
1.2.
Путь, маршрут и цикл в графе.
Маршрутом в графе называется последовательность рёбер, в которой со-
седние рёбра имеют общую вершину. Первая вершина называется началом
маршрута, последняя — концом.
Путём (или цепью) в графе называется маршрут, в котором нет повторяющихся рёбер. Если в пути нет повторяющихся вершин, его называют простым
путём. Длина маршрута равна количеству рёбер в порядке их прохождения. Расстоянием между вершинами в графе называют длину кратчайшего пути от одной вершины до другой. Например, на рисунке 12 длина пути АF ВСЕ равна
4, а расстояние от А до Е равно 2 (два ребра).
Цикл — это путь, у которого совпадают начало и конец. Если в цикле
все вершины разные, его называют простым циклом. Если в цикле все рёбра
разные, то такой цикл называется эйлеровым. Маршрут, содержащий все рёбра
или все вершины графа, называется обходом графа. Рассмотрим граф на рисунке 12.
СЕDЕВF, FАВСЕ — маршруты, FАВСЕ — путь, СЕDЕВРF — не является
путём, т.к. ребро DЕ повторяется. АF В А, АFВСЕВА — циклы, АF В А — простой цикл, АFВСЕВА — эйлеров цикл.
F
А
C
Рис. 12.
1.3.
Связные вершины. Компоненты связности графа.
Граф называется связным, если любые две его вершины соединены путём.
Несвязный граф состоит из нескольких «кусков», каждый из которых является
связным графом. Эти куски называют компонентами связности графа. Связный
граф имеет одну компоненту связности.
Например, на рисунке 13 граф а) имеет две компоненты связности,
граф б) 3 компоненты связности.
а)
б)
Рис. 13.
Если в связном графе после удаления ребра граф превратится в несвязный,
такое ребро называют мостом. Пример моста — рёбра АВ и СР на рисунке 14.
Р
А
Рис. 14.
1.4.
Дерево. Мост и число рёбер в дереве.
Деревом называется связный граф, не имеющий циклов. Примеры графов,
которые являются деревьями, приведены на рисунке 15.
Рис. 15.
На рисунке 16 изображены графы, но не деревья.
Рис. 16.
1.4.1. Свойства дерева.
o В дереве нельзя вернуться в исходную вершину, двигаясь по рёбрам
и проходя по одному ребру не более одного раза.
o В дереве любые две вершины соединены ровно одним путём.
o В дереве с п вершинами п - 1 рёбер.
o В дереве есть вершина, из которой выходит только одно ребро
Такая вершина называется висячей (рис. 17 — кругами выделены висячие
вершины).
Рис. 17.
 При удалении любого ребра из дерева граф становится несвязным.
Признаки дерева — те свойства графа, по которым мы можем определить, что граф — дерево. Вообще говоря, все они эквивалентны определению дерева.
1. Если граф связный и в нём нет циклов, то граф — дерево.
2. Если у связного графа число рёбер на один меньше числа вершин, то
граф — дерево.
3. Если в графе любые две вершины соединены ровно одним простым
путём (таким, в котором рёбра не повторяются), то граф — дерево.
1.5.
Эйлеровы кривые. Эйлеров путь, эйлеров цикл, условия их существования в графе.
Эйлеров путь – это путь, при котором мы рисуем граф «одним росчерком»,
не отрывая карандаш от бумаги, при этом каждое ребро входит в обход ровно
один раз. Если при этом начало и конец пути совпадают, то такой путь называют
эйлеровым циклом.
Легко убедиться, что граф на рисунке 18 а) возможно обойти, если начать
обход с одной из вершин А или В, а закончить во второй вершине. Граф на рисунке
18 в) можно обойти, начав с любой вершины и закончив в ней же.
Граф на рисунке 18 б) обойти «одним росчерком» невозможно.
Рис. 18.
Докажем это:
Представим, что вершина не является началом или концом обхода. Тогда
мы сколько раз «зашли» в эту вершину, столько раз и «вышли». Значит, вершина
чётная.
Если начало обхода совпадает с концом, то эта вершина тоже чётная. Если
же начало и конец обхода — разные вершины графа, то их степень нечётная.
Мы получили такие свойства графа:
— если в графе все вершины чётные, то это эйлеров цикл;
— если в графе две вершины нечётные, то это эйлерова линия, но
не эйлеров цикл;
— если в графе больше двух нечётных вершин, то он не является
эйлеровой линией.
1.6.
Теорема Эйлера. Плоские графы.
Плоским графом называют такой граф, который можно нарисовать на
плоскости так, чтобы его рёбра не пересекались нигде, кроме вершин.
Говорят, что плоский граф правильно нарисован, если его рёбра не пересекаются. Например, на рисунке 19 а) и б) изображены плоские графы, граф
на рисунке 19 в) — не является плоским.
Рис. 19.
Правильно нарисованный плоский граф разбивает плоскость на части,
которые называют гранями. При этом внешнюю часть плоскости тоже считают гранью графа. Например, на рисунке 19 а) 3 грани.
ДЛЯ плоского графа верна теорема Эйлера.
Для правильно нарисованного связного плоского графа выполняется
равенство: В + Г - Р = 2, где В — число вершин, Г — число граней, Р
— число рёбер графа.
Доказательство:
Будем удалять ребра до тех пор, пока не получится дерево. После удаления ребра число ребер уменьшится на 1, число граней тоже уменьшится на 1,
потому что 2 грани, которые разделяло ребро, сольются в одну грань. Число
вершин останется прежним. Значит, при удалении ребра значение выражения
В + Г – Р = В + 1 – (В – 1) = 2.
В + Г - Р = 2 называют формулой Эйлера.
Справедливы следующие утверждения.
1. Для правильно нарисованного плоского графа без кратных рёбер выполняется неравенство 2Р ≥ ЗГ.
2. Для правильно нарисованного плоского графа без кратных рёбер выполняется неравенство Р ≤ 3В — 6.
3. Применение теории графов при решении различных задач.
1). Решение трех знаменитых задач.
Если применить теорию графов к задачам, представленным в начале
моей работы, то их решение становится очевидным.
а) Задача о Кенигсбергских мостах.
Предположим, что мосты – ребра, а части города – вершины графа. В
получившемся графе четыре нечётные вершины (то есть все), следовательно,
невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды.
Рис. 20. Граф кенигсбергских мостов.
б) Задача о трех колодцах.
Рис. 21. Иллюстрация к задаче о трех колодцах.
Предположим, что эти 9 тропинок можно проложить. Обозначим домики точками Д1, Д2, Д3, колодцы - точками К1, К2, К3. Каждую точку-дом
соединим с каждой точкой-колодцем. Получились ребра (графа) в количестве девяти штук, которые попарно не пересекаются. Такие ребра образуют
на рассматриваемой плоскости задачи многоугольник, поделенный на
меньшие многоугольники. Для такого разбиения должно выполняться известное соотношение Эйлера B - P + Г = 1. Добавляем к рассматриваемым
граням еще одну - внешнюю часть плоскости относительно рассматриваемомого многоугольника. Тогда соотношение Эйлера примет вид B - P + Г = 2,
причем B = 6 и P = 9. Получается, Г = 5. Каждая из пяти граней имеет по крайней мере четыре ребра, так как, по условию задачи Эйлера, ни одна из дорожек не должна напрямую соединять два колодца или два дома. Так как
любое ребро лежит ровно в 2-х гранях, то кол-во ребер графа должно быть
не меньше 5*4/2 = 10. Это противоречит условию исходной задачи, по которому их число равно девять! Полученное противоречие доказывает,
что ответ в задаче о 3-х колодцах Эйлера отрицателен.
в) Задача о четырех красках.
Рассмотрим для произвольной карты следующий граф: его вершины –
столицы государств, а ребрами связаны те из них, чьи государства имеют
общий участок границы (рис.22).
Рис. 22.
Для полученного графа задача формулируется так: раскрасить его
вершины, используя только четыре краски, чтобы при этом любые две вершины, которые соединены ребром, были разного цвета.
ТЕОРЕМА РАМСЕЯ
Для любых М и К найдется такое N, что из любого полного графа,
имеющего не менее N вершин, ребра которого раскрашены в М цветов,
можно выделить полный подграф с К вершинами, все ребра которого покрашены в один цвет.
Рис. 23. Иллюстрация к задаче о четырех красках.
Другие задачи, решаемые с помощью графов.
2). Логические задачи.
Задача 1. Аркадий, Борис. Владимир, Григорий и Дмитрий при встрече обменялись рукопожатиями (каждый пожал руку каждому по одному разу).
Сколько всего рукопожатий было сделано?
Решение:
Начертим граф, в котором вершина - каждый из пяти молодых людей,
названная первой буквой его имени (рис.2), а производимое рукопожатие —
ребро графа (рис. 3).
Рис. 24.
Если подсчитать число ребер графа, то это число и будет равно количеству
совершенных рукопожатий между пятью молодыми людьми. Их 10.
Задача 2.
Маша сказала своей подружке Лене: «У нас в классе двадцать пять человек. И представь, каждый из них дружит ровно с семью одноклассниками». «Не
может этого быть», - ответила Лена. Почему она так решила?
Решение:
Представим себе, что между каждыми двумя друзьями протянута веревочка, тогда каждый из 25 учеников будет привязан к 11 концам веревочек, и
значит, всего у протянутых веревочек будет 25 · 7 = 175 концов. Но их общее число не может быть нечетным, так как у каждой веревочки 2 конца.
Задача 3.
В районе 11 городов, причём каждый соединён дорогами не менее
чем с 5 другими. Докажите, что из любого города этого района можно
добраться до любого другого, может быть проезжая через другие города.
Решение.
Предположим, что есть два города А и В, которые не соединяет путь
(маршрут). Рассмотрим эти два города. Каждый соединён дорога ми не
менее чем с 5 другими, при этом все эти города различны, потому что если
какие-то из этих городов совпали, то найдётся путь, соединяющий города А
и В (рис. 25). Но в таком случае в районе нашлось 12 городов, а по условию
их всего 11. Противоречие. Значит, любые два города района соединены
путём.
А
В
Рис. 25.
Задача 4.
Необходимо составить расписание для 6-го класса на вторник с учётом
следующих обстоятельств:
— учитель истории может дать либо первый, либо второй, либо третий уроки, но только один урок;
— преподаватель биологии согласен дать только последний урок;
— учитель
математики может дать либо только первый, либо только
третий урок;
— учитель географии может дать один, либо второй, либо третий, урок.
Сколько и каких вариантов расписания, удовлетворяющих всем вышеперечисленным условиям одновременно, может составить завуч школы?
Решение.
Начертим граф (рис. 26). Выпишем все возможные варианты.
Рис. 26.
Ответ: 3 варианта: ИГМБ, МИГБ,
3). Задачи, решаемые с помощью деревьев.
Задача 1.
В государстве Морляндия 17 островов, между ними проложены
маршруты так, что с каждого острова выходит ровно четыре маршрута.
Докажите, что в Морляндии есть такие два острова, что с одного до другого можно добраться двумя разными путями (но может быть, с пересадками на других островах).
Решение.
Представим себе острова вершинами графа, а. маршруты — рёбрами
этого графа. В таком графе сумма степеней вершин равна 17 • 4 и значит, в
нём 17 • 4 : 2 = 34 ребра. Если в этом графе есть цикл, то между любыми
вершинами цикла есть два пути — с противоположным направлением
обхода. Если же циклов в этом графе нет, то граф является деревом или
состоит из нескольких деревьев, а в любом дереве число рёбер на 1 меньше
числа вершин. Но у нас в графе рёбер больше, чем вершин, значит в графе
есть цикл.
Задача 2.
На острове-столице Морляндии 53 города, некоторые из них соединены дорогами, и любые два города соединяет ровно один путь (последовательность дорог). Сколько дорог в столице Морляндии?
Решение.
Пусть города будут вершинами графа, а маршруты — рёбрами этого
графа. В этом графе любые два города соединяет ровно один путь, и граф
является деревом. В дереве вершин на одну больше, чем рёбер, значит,
дорог на одну меньше, чем городов, следовательно их 52.
Задача 3.
В 2009 году водное сообщение между 17 островами Морляндии
стало невозможным из-за нашествия акул. Правительство организовало
воздушное сообщение так, чтобы с каждого острова можно было попасть
на любой другой (но, может быть, с пересадками). Было проложено 16
маршрутов. Докажите, что если один маршрут закрыть, то найдётся остров, с которого нельзя будет добраться до столицы (столица расположена на одном острове).
Решение.
Пусть острова — вершины графа, а рёбра — маршруты. Так как с
любого острова можно попасть на любой другой, то граф — связный, в нём
17 вершин и 16 рёбер, рёбер на 1 меньше, значит это дерево. Если один
маршрут закрыть (удалить одно ребро из дерева), то граф станет несвязным.
Тогда рассмотрим вершину (остров) из той компоненты связности, в которую
не входит столица. С этого острова нельзя будет добраться до столицы.
Задача 4.
Маша и Саша любят играть в такую игру: в рыболовной прямоугольной сетке размером 4x5 ячеек по очереди перерезают по одной
верёвочке так, чтобы сетка не распалась на куски. Победитель тот, кто
разрежет последнюю верёвочку. Кто выиграет при правильной игре?
Решение.
Представим узлы сетки вершинами, а верёвочки — рёбрами графа. В
начале игры было 5 · б вершин и 5 · 5 + 4 · 6 — 49 рёбер (рис. 25).
Рис. 27.
Можно удалять рёбра до тех пор, пока в графе остались циклы. Как
только граф станет деревом, при удалении любого рёбра он перестанет
быть связным, и игрок не сможет сделать ход. Вершин при этом осталось
30, и рёбер стало 30 — 1 = 29. За игру будет удалено 49 - 29 = 20 рёбер,
последний ход сделает второй игрок и выиграет.
5). Задачи, решаемые «одним росчерком».
Задача 1.
Можно ли начертить раскрытый конверт «одним росчерком»?
Решение.
Наложим на конверт граф. Тогда число нечетных вершин ровно 2. Значит
такой конверт начертить можно.
Задача 2.
Ваня, приехав из аквапарка, рассказывал, что в парке на озере имеются 5
островов, с каждого из которых ведёт 1, 3 или 5 мостов. Можно ли утверждать, что хотя бы один из этих мостов обязательно выходит на берег озера?
Можно ли обойти все мосты, побывав на каждом из них ровно по одному
разу?
Решение.
Предположим, что мосты — рёбра, а острова — вершины графа. Все
они нечётные. Тогда их количество в графе должно быть четно. (Островов 5, и
каждый из них имеет нечётную степень, т.е. нарушается теорема о числе нечётных вершин.) Поэтому должен быть мост на берег озера, берег и будет ещё одной вершиной графа.
В получившемся графе 6 нечётных вершин, значит его нельзя обойти
заданным образом.
Задача 3.
Какой наименьший путь должна пройти поливальная машина, чтобы полить
все улицы, показанные на рисунке 28? Улицы образуют квадрат со стороной
300 м (между перекрёстками 100 м). Стороны квадрата — тоже улицы.
Решение.
Рассмотрим граф, где улицы — рёбра, перекрёстки — вершины. Поливальная машина должна проехать по каждой улице хотя бы один раз, значит, хотя бы 2400 м. Покажем, что маршрут такой длины невозможен, если машина
не умеет отрываться от дороги. Нечётное число улиц пересекается на восьми перекрёстках, т.е. восемь вершин имеют нечётную степень. Следовательно, начертить граф, не отрывая карандаша, невозможно. Любой маршрут поливальной машины должен проходить по каким-то улицам дважды, чтобы осталось не более
двух нечётных вершин, т.е. по 6 : 2 = 3 улицам.
Рис. 28.
6). Задачи, решаемые с помощью теоремы Эйлера.
Задача 1.
Дома соединены тропинками так, что никакие две тропинки не пересекаются.
Докажите, что есть дом, из которого выходит не более 5 тропинок.
Решение.
Рассмотрим граф, в котором вершины – дома, тропинки – ребра. Этот граф плоский. Пусть от каждой вершины отходит не менее 6 ребер. Вершин В, ребер
Р
= 6 · В : 2 = 3 В. чтобы проверить, будет ли граф плоский, подставим в неравенство Р ≤ 3В – 6. Получилось 3В < 3В – 6, что неверно. Значит, граф не является
плоским. Противоречие. Значит в любом плоском графе есть вершина, степень
которой не более 5.
7). Задачи, решаемые с помощью ориентированных графов.
Задача 1.
В городе 10 остановок. Диспетчер составил схему маршрутов и получилось так, что с трёх остановок выходит по 2 маршрута, а входит по 3, с четырёх
остановок выходит по 4 маршрута и по столько же входит, с двух выходит по 3
маршрута, входит по 2 и с одной выходит 1 маршрут и входит 2 маршрута. То, что
на остановку приходит и уходит неравное количество маршрутов, он объяснил
тем, что это начальные или конечные остановки для данных автобусов. Докажите,
что он всё равно ошибся.
Решение.
Обозначим маршруты рёбрами со стрелками. Если ребро откуда-нибудь
вышло, оно вошло в другую вершину. В сумме число входящих и выходящих маршрутов должно быть одинаково. Если это не выполняется (как в нашей задаче), такого
ориентированного графа не существует.
Задача 2.
В тоннелях, прокопанных между городами гномов, поставили двери,
через которые можно пройти только в одну сторону. Из каждого города
тоннель ведёт в любой другой. Можно ли поставить двери так, что, выйдя из
любого города, в него нельзя будет вернуться?
Решение.
Можно. Для этого достаточно занумеровать города и провести стрелки от городов с меньшими номерами к городам с большими.
Задача 3.
В озеро выпустили 40 щук. Щука сыта, если она съела трёх других щук
(сытых или голодных). Какое наибольшее число щук может насытиться?
Съеденная сытая щука тоже считается сытой.
Решение. Рассмотрим ориентированный граф, в котором от щуки (вершины)
идёт дуга к съеденной щуке (другой вершине). Чтобы щука была сытой, нужно, чтобы от вершины шло не менее 3 дуг. Если сытых щук N, всего должно
выходить не менее ЗN дуг. Но к любой из 40 вершин ведёт не более одной
дуги, т.к. съесть щуку можно лишь один раз. Значит, дуг не более 40. ЗN ≤ 40,
N ≤ 13. Пример для 13 щук нетрудно нарисовать, фактически неважно, в каком порядке будут съедаться щуки, лишь бы каждая не съела больше чем
трёх щук.
8). Графы и лабиринты.
Способ обходить все ребра графа можно использовать, например, для
отыскания пути, позволяющего выбраться из лабиринта.
Лабиринты, как известно, состоят из коридоров, их перекрестков, тупиков
(любой участок можно проходить по нескольку раз), и маршруты в них могут
быть представлены графами, в которых ребра соответствуют коридорам, а
вершины — входам, выходам, перекресткам и тупикам.
На рисунках 29 и 30 приведены планы известных лабиринтов.
Рис 29.
Рис. 30.
Разработаны алгоритмы, позволяющие обойти любой лабиринт, не
пользуясь его схемой.
Одно из правил обхода любого лабиринта было предложено французским математиком Тарри. Это правило встречалось нам в теореме о прохождении по каждому ребру графа дважды, по одному в каждом направлении. Согласно ему при обходе лабиринта следует, попадая в любой перекресток А впервые по некоторому пути а, при возвращении в этот перекресток
А избегать пользоваться путем а до тех пор, пока это возможно; и лишь только в том случае идти по пути а в обратную сторону, когда все остальные
пути из А будут пройдены дважды.
4. Применение теории графов в различных сферах деятельности.
1) Графы в информатике.
Графами являются блок-схемы программ для ЭВМ.
Рис. 31.
Графы играют весьма важную роль в теории информации. Предположим, что определенное число сообщений требуется закодировать в виде конечных последовательностей различной длины, состоящих из нулей и
единиц. Если вероятности кодовых слов заданы, то наилучшим считается
код, в котором средняя длина слов минимальна по сравнению с
прочими распределениями вероятности.
2) Графы и биология
Графы играют большую роль в биологической теории ветвящихся
процессов. Для простоты я покажу только одну разновидность ветвящихся
процессов – размножение бактерий. Предположим, что через определенный промежуток времени каждая бактерия либо делится на две новые, либо погибает. В итоге получается вот такое дерево.
Рис. 32.
3) Графы и физика.
Еще недавно одной из наиболее сложных и утомительных задач для
радиолюбителей было конструирование печатных схем. Печатной схемой
называют пластинку из какого-либо диэлектрика (изолирующего материала), на которой в виде металлических полосок вытравлены дорожки. Пересекаться дорожки могут только в определенных точках, куда устанавливаются необходимые элементы, их пересечение в других местах вызовет замыкание электрической цепи. В ходе решения этой задачи необходимо вычертить плоский граф, с вершинами в указанных точках.
4) Графы и история.
Графы используются при составлении родословных.
Вот родословная А. С. Пушкина.
Рис. 33.
III. Заключение.
Познакомившись с теорией графов, я пришел к выводу, что в любой
области науки и техники встречаешься с графами. Графы - это замечательные
математические объекты, с помощью которых можно решать математические, экономические и логические задачи, различные головоломки и упрощать условия задач по физике, химии, электронике, автоматике. Многие математические факты удобно формулировать на языке графов. Теория графов
является частью многих наук. Теория графов — одна из самых красивых и
наглядных математических теорий. В последнее время теория графов находит всё большее применение и в прикладных вопросах.
Приложение.
Решение головоломки Кубик Рубика.
Алгоритм решения этой задачи включает два этапа: на первом собираются кубички, располагающиеся в серединах ребер куба (реберные), на
втором – угловые. Каждый кубичек может находиться на одном и том же месте в нескольких положениях (реберный – в двух, угловой в трех). В соответствии с этим
каждый этап делится на два шага: на первом кубички только
расставляются на нужные места, а на втором
они, если это необходимо,
разворачиваются на своих местах так, чтобы их цвета совпали с «правильными» цветами граней. Ориентирами при определении правильных положений реберных и угловых кубичков, служат квадраты в центрах граней: их
взаимное расположение не меняется при вращении граней, а их цвета задают будущие цвета граней куба.
Записывать последовательность ходов (операции) будем, пользуясь
обозначениями, рисунок 1; например, это ФП’- это последовательность из
двух воротов: фасадной (передней) грани на 90 по часовой стрелке и правой
- на 90 против часовой. Весь процесс сборки основан на операции F=
ПВФВ’Ф’П’Ф и обратно к ней операции F’=Ф’ПФВФ’В’П’.
1-й этап. Сборка реберных кубичков.
1. Для расстановки реберных кубичков применяется операция F(или F’),
меняющая местами ровно два из них. (Действие операции на реберных кубичках показано на рисунке).
2. Для разворачивания применяется операция F 2  F  F ; в результате на
своих местах поворачиваются два кубичка (а и b на рисунке 2)
рис.1
рис.2
2-й этап. Сборка угловых кубичков.
1. Для расстановки угловых кубичков применяется операция FВ’F’В, действие которой показано стрелками на рисунке 3, и обратная операция
В’FВF’,переставляющая те же кубички в обратном порядке.
2. Для разворачивания угловых кубичков применяется операция F 4 , действие которой показано на рисунке 4, и обратная к ней операция F '4 , поворачивающая те же три кубичка в противоположном направлении.
рис.3
рис.4
Указанные операции можно использовать и в рамках других общих
схем. Например, нетрудно правильно собрать все реберные кубички, кроме
четырех, лежащих в одной грани, после чего можно перейти к выполнению
первого этапа алгоритма. Общее число ходов при этом заметно сокращается,
но остается все еще большим. Дальнейшее сокращение можно получить, в
частности, за счет расширения набора стандартных операций. Имеются и
принципиально другие схемы сборки. Лучшие из них позволяют обойтись
примерно 50 ходами - поворотами, но теоретически из любого состояния кубика можно вернуться в исходное не более чем за 23 хода.
Задача поиска оптимального (по числу ходов) алгоритма является самой сложной и не решенной пока математической задачей, связанной с кубиком Рубика. Представляет интерес также изучение группы, порожденной
поворотами граней, и др. Кубик Рубика служит не только развлечением, но и
прекрасным наглядным пособием по алгебре, комбинаторике, программированию.
IV. Список литературы и Интернет-ресурсов.
1. Е. Г. Коннова «Поступаем в ВУЗ по результатам олимпиад»,Ростов-на-Дону,
«Легион – М», 2009;
2. Касаткин В. Н. "Необычные задачи математики", Киев, "Радяньска школа"
1987(часть 2);
3. Нешков К. И., Пышкало А. М., Рудницкая В. Н."Множества. Отношения.
Числа. Величины», М. "Просвещение", 1978;
4. Я познаю мир. Математика. – М.: АСТ, 1998г.
5.Внеклассная работа. Обучение элементам теории графов в 4-6 классах.
О.И.Мельников, В.В.Куприянович. – М.: Просвещение, 2000г.
6.Сборник олимпиадных задач. А.Горбачев. – М.: МЦНМО, 2005г.
7. http://ru.wikipedia.org
9. http://www.vseznaika.ru
10. http://lib.repetitors.eu