Контрольная-М2

АлтГТУ им. И.И. Ползунова
Центр дистанционного и интенсивного обучения
Кафедра высшей математики
Задания контрольных работ по математике
для студентов – заочников 1 курса (2 семестр)
Вариант № 1
Контрольная работа № 4
Тема: Дифференциальное исчисление функции одной переменной
1.
Найти производные y  
dy
следующих функций:
dx
в) y 
б) y  ( 2 3 x  ln x )3 ;
а) y  7 2 x  x 3 ;
cos 2 x
3x  1
 sin 4 2 x ;
г) y  ( tg3x )2 x ;
2
d2y
для функции y  e sin x .
2
dx
2.
Найти
3.
Написать уравнения касательных к гиперболе y 
4. Вычислить
x4
в точках её пересечения с осями координат.
x2
пределы, пользуясь правилом Лопиталя:
x3  3 x  2
;
x 1
x  x2
б) lim xe 2 x ;
а) lim
x 
5.Провести полное исследование функции и построить график:
y
( x  1 )2
;
x2
6. Число 8 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их кубов была наименьшей.
Контрольная работа № 5
Тема: Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
1.
Для функции z найти значения указанных производных в точке М:
xy
//
( M )  z yy// ( M ), M ( 3; 1 ) .
, z x/ ( M )  z y/ ( M ), M ( 2; 1 ) ; б) z  ln( x  2 y ), z xx
x y
x y
2. Найти производную функции z    1 в точке М(1; 2) в направлении вектора s  {–3; –4}.
y x
а) z 
grad u( M ) в точке М(1; 1; 1) для функции u  4 ln( 3  x 2 )  8xyz .
3.
Найти grad u( M ) и
4.
Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z 
5.
Исследовать функцию
x 2  y 2 в точке М(5; 4; 3).
z  x 2  y 2  xy  4x  5y на экстремум.
Контрольная работа № 6
Тема: Неопределённый и определённый интеграл
1.
Вычислить неопределённые интегралы:
а)
в)

cos x dx
;
5  2sin x

5x 2  2x  3
dx ;
x3  x
б)
 3x
г)
 sin
2
5

 5 ln xdx ;
3x dx .
2.
Вычислить определённый интеграл (указана рекомендуемая подстановка):
1

3  2x  x 2 dx , x +1 = 2sin t.
1
3.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
e

1
4.
dx
.
x ln x
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: x
= 4–(y –1)2, x = y2 – 4y + 3.
t6
t4
5. Найти длину дуги кривой x 
между точками её пересечения с осями координат.
, y  2
6
4
АлтГТУ им. И.И. Ползунова
Центр дистанционного и интенсивного обучения
Кафедра высшей математики
Задания контрольных работ по математике
для студентов – заочников 1 курса (2 семестр)
Вариант № 2
Контрольная работа № 4
Тема: Дифференциальное исчисление функции одной переменной
1.
Найти производные y  
а) y 
dy
следующих функций:
dx
2x  3 1  x ;
б) y  arccos 1  e  x ;
в) y 
1  sin 2 x
;
1  cos 2 x
г) y  ( 1  ln x )x ;
1
d2y
3
для функции y  x ln .
2
dx
x
3. В какой точке M0 кривой y2 = 2x3 нормаль параллельна прямой 4x – 3y + 2 = 0?
2.Найти
4.Вычислить пределы, пользуясь правилом Лопиталя:
( x 2  3 x  2 )2
; б) lim( tg x )tg 2 x ;
x 1 x 3  2 x 2  x  2
x 0
а) lim
5.Провести полное исследование функции и построить график:
y
x1
x2  4
6.Какое положительное число, будучи сложено c обратным ему числом, даёт наименьшую сумму?
Контрольная работа № 5
Тема: Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
1.
Для функции z найти значения указанных производных в точке М:
2
x y
, 2z x/ ( M )  z y/ ( M ), M ( 1; 0 ) ; б) z  y x , z x/ ( M )  z yy// ( M ), M( 2; 1 ) .
x y
2. Найти производную функции z  arctg( xy ) в точке М(1; 1) в направлении вектора s  {–1; 1}.
а) z 
grad u( M ) в точке М(2; 4; 4) для функции u  x y  y z .
3.
Найти grad u( M ) и
4.
Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности x  y  z  e z в точке М(2; –1; 0).
4.
Исследовать функцию
z  x 2  y 2  xy  2x  6y на экстремум.
Контрольная работа № 6
Тема: Неопределённый и определённый интеграл
1.
Вычислить неопределённые интегралы:
а)
в)
2.
x

45
3x 5  2 dx ;
2x  1
dx ;
x(x  1) 2
б)
 (1  x) ln x dx ;
г)
(sin 2 x  1)dx
.
cos 2 x

Вычислить определённый интеграл (указана рекомендуемая подстановка):
ln 2

e x  1 dx,
ex  1  t .
0
3.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:


0
x dx
.
(1  x)3
4.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = (x
5.
Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси
y = 0.
–1)2, y2 = x –1.
OX фигуры, ограниченной линиями y = 2x–x2,
АлтГТУ им. И.И. Ползунова
Центр дистанционного и интенсивного обучения
Кафедра высшей математики
Задания контрольных работ по математике
для студентов – заочников 1 курса (2 семестр)
Вариант № 3
Контрольная работа № 4
Тема: Дифференциальное исчисление функции одной переменной
1.
Найти производные y  
1
а) y 
dy
следующих функций:
dx
 ( x  e  x )2 ; б) y  cos 2 ( x 1  x )  2  x ;
2
x 4
3
г) y  (cos x )
x2
x
в) y  arcsin 3 x  arctg
3
;
x
;
d2y
для функции y  x ln( 1  x ) .
dx 2
3. Написать уравнение нормали к кривой x5 +y5 – 2xy = 0 в точке M0 (1;1).
2.
Найти
4.
Вычислить пределы, пользуясь правилом Лопиталя:
а) lim
x 1
5.
( 2 x 2  x  1 )2
;
x3  2 x2  x  2
1 
 1
;

ln
x
x
 1 

б) lim 
x 1
Провести полное исследование функции и построить график:
y  3 3 x2  2 x ;
6.
Число 36 разложить на два таких множителя, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
Контрольная работа № 5
Тема: Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
1.
Для функции z найти значения указанных производных в точке М:
x2
y /
, z xy// ( M )  z yy// ( M ), M( 1; 2 ) .
б) z 
, z x ( M )  z y/ ( M ), M( 1; 1 ) ;
1 y
x
 x2 y

2. Найти производную функции z  2 
  10  в точке М(2; 1) в направлении вектора s  {2; –2}.
 y x

а) z  arctg
1 2
x y  x 2  5z 2 .
4
4. Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности xyz  x  y  z в точке М(0; 1; –1).
grad u( M ) в точке М(–2; 0,5; 1) для функции u 
3.
Найти grad u( M ) и
5.
Исследовать функцию z  xy( x  y  1) на экстремум.
Контрольная работа № 6
Тема: Неопределённый и определённый интеграл
1.
Вычислить неопределённые интегралы:
а)

в)

5arctgx  2
dx ;
1 x2
3x 3  25
dx ;
x 2  3x  2
б)
 x arctgx dx ;
г)
 cos
4
2x dx .
2.
Вычислить определённый интеграл (указана рекомендуемая подстановка):
2
dx

x x 1
2
2
, z
1
.
x
3
3.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
13

5
x dx
x 2  25
.
4.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = (x
5.
Найти периметр фигуры, ограниченной линиями:
–2)3, y = 4x – 8.
x2 = (y+1)3 и y = 4.
АлтГТУ им. И.И. Ползунова
Центр дистанционного и интенсивного обучения
Кафедра высшей математики
Задания контрольных работ по математике
для студентов – заочников 1 курса (2 семестр)
Вариант № 4
Контрольная работа № 4
Тема: Дифференциальное исчисление функции одной переменной
1.
Найти производные y  
а) y  ln( x 
dy
следующих функций:
dx
x2  4 ) ;
б) y  cos 3 4 x  x8 x ;
2
в) y  e
1 4 x
 arctg
3x  1
2x  1
;
г) y  ( 3  x 3 )3 x ;
1
d2y
x
y

3
для
функции
.
dx 2
3. Найти точку на параболе y = x2 – 3x + 6, в которой касательная составляет угол 45 с осью OX.
2.
Найти
4.
Вычислить пределы, пользуясь правилом Лопиталя:
( x 2  2 x  3 )2
;
x 3 x 3  4 x 2  3 x


б) lim  ctgx 
x 0
а) lim
5.
Провести полное исследование функции и построить график:
y x
6.
1
;
x 
2x
;
x 1
2
Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен 72 куб. единиц, причём стороны основания относились бы, как 1:2. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?
Контрольная работа № 5
Тема: Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
1.
Для функции z найти значения указанных производных в точке М:
а) z  e

y
x
//
//
( M )  z xx
( M ), M ( 0; 2 ) .
, z x/ ( M )  2z y/ ( M ), M( 0,5; 0 ) ; б) z  y sin 2 2 x , z yx
2.
Найти производную функции z  x 3  2xy  y 2 x  1 в точке М(1; –1) в направлении вектора s  {3; 4}.
3.
Найти grad u( M ) и
4.
Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z  arctg
5.
Исследовать функцию
grad u( M ) в точке М(2; 2; 4) для функции u  xz 2  x 3 y .
z  x y  x 2  y  6x на экстремум.
Контрольная работа № 6
Тема: Неопределённый и определённый интеграл
1.
Вычислить неопределённые интегралы:
а)
в)
tg(x  1) dx
;
2
(x  1)
 cos

3x 3  1
dx ;
x2 1
 arccos 2x dx ;
г) sin 3x cos x dx .

б)
y
в точке М(1; 1; /4).
x
2.
Вычислить определённый интеграл (указана рекомендуемая подстановка):
1
x
2
1  x 2 dx , x = sin t.
0
3.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
0
1
e x
dx .
2
x
1

y = x 9  x 2 , y = 0 (0  x  3).
4.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
5.
Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси
y = x.
OX фигуры, ограниченной линиями: y = x3,
АлтГТУ им. И.И. Ползунова
Центр дистанционного и интенсивного обучения
Кафедра высшей математики
Задания контрольных работ по математике
для студентов – заочников 1 курса (2 семестр)
Вариант № 5
Контрольная работа № 4
Тема: Дифференциальное исчисление функции одной переменной
1.
dy
следующих функций:
dx
Найти производные y  
2  3 x2
;
1  2x
г) y  ( x )tg x ;
а) y 
б) y  ( 4  6 x )2 ln( 5 x )  arctg
d2y
для функции y 
dx 2
1
;
x
в) y  e sin
2
3x
 arcsin 1  x 2 ;
x  cos 2 x .
2.
Найти
3.
В точках пересечения прямой x – y + 1 = 0 и параболы y = x2 – 4x + 5 написать уравнения касательных.
4.
Вычислить пределы, пользуясь правилом Лопиталя:
( x 3  2 x  1 )2
;
x 1
x4  2 x  1
а) lim
5.
3
б) lim
x 0  0
ctg x
;
ln x
Провести полное исследование функции и построить график:
2
 x 1
y
 ;
 x 
6.
Периметр равнобедренного треугольника равен 12. Каковы должны быть его стороны, чтобы объём тела,
полученного вращением этого треугольника вокруг его основания, был наибольшим?
Контрольная работа № 5
Тема: Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
1.
Для функции z найти значения указанных производных в точке М:
а) z  x y 
y
3
x
//
///
( M )  z yyx
( M ), M ( 1; 0 ) .
, z x/ ( M )  z y/ ( M ), M ( 1; 1 ) ; б) z  xe  y , z xx
2. Найти производную функции z  2 y 3  x 2 в точке М(2; 2) в направлении вектора s  {–4; 3}.
3. Найти grad u( M ) и grad u( M ) в точке М(2; 1; –1) для функции u  x y  yz 2 .
4. Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z  x 2  2xy  y 2  x  2 y в точке
М(1; 1; 1).


5. Исследовать функцию z  e x / 2 x  y 2 на экстремум.
Контрольная работа № 6
Тема: Неопределённый и определённый интеграл
1.
Вычислить неопределённые интегралы:
а)

x2
dx ;
x6  5
б)
e
3x
(2  9x)dx ;
в)
2.
x4
 (x  3)(x
2
 2)
dx ;
г)
.
Вычислить определённый интеграл (указана рекомендуемая подстановка):
5

0
3.

dx
sin x cos 2 x
4
x
dx,
1  3x
1  3x  t .
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
1

0
dx
x  4x  3
2
4.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y =
5.
Вычислить длину дуги кривой
.
4  x 2 , y = 0, x = 0, x = 1.
y = arcsin x – 1  x 2 от точки x = 0 до точки x = 0,75 .
АлтГТУ им. И.И. Ползунова
Центр дистанционного и интенсивного обучения
Кафедра высшей математики
Задания контрольных работ по математике
для студентов – заочников 1 курса (2 семестр)
Вариант № 6
Контрольная работа № 4
Тема: Дифференциальное исчисление функции одной переменной
1.
Найти производные y  
а) y 
x x ;
dy
следующих функций:
dx
б) y 
sin( 1  2 x )
;
tg 3 2 x
в) y  ln 2 sin
x3
;
x1
г) y  x arctg x ;
d2y
для функции y  x 2 e x .
dx 2
3. В какой точке касательная к кривой y = x2 + 4x параллельна оси OX? Написать уравнение этой касатель2.
Найти
ной.
4.
Вычислить пределы, пользуясь правилом Лопиталя:
( 1  x )3  ( 1  3 x )
;
x 0
x  x5
а) lim
5.
Провести полное исследование функции и построить график:
y
6.
ex
;
x   x 4
б) lim
1  x3
;
x2
Периметр равнобедренного треугольника равен 12. Каковы должны быть его стороны, чтобы объём конуса, полученного вращением этого треугольника вокруг своей высоты, был наибольшим?
Контрольная работа № 5
Тема: Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
1.
Для функции z найти значения указанных производных в точке М:
 xy
/
/
а) z  xe , z x ( M )  z y ( M ), M ( 1; 0 ) ;
2.
б) z  y ln
x //
, z xx ( M )  z yy// ( M ), M ( 1; 1 ) .
y
2
2
Найти производную функции z  3 10  x  y  9 в точке М(2; 2) в направлении вектора s  {–3; 1}.
 y
 
2
2
2
4. Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности x  y  z  1 в точке М(2;2;3).
3.
Найти grad u( M ) и
5.
Исследовать функцию
grad u( M ) в точке М(2; 2; –1) для функции u  arctg    xz .
x
z  x 3  y 3  3xy  1 на экстремум.
Контрольная работа № 6
Тема: Неопределённый и определённый интеграл
6.
Вычислить неопределённые интегралы:
а)

earctgx  x
dx ;
1 x2
б)

ln x
dx ;
3
x
в)
7.

x2  2
dx ;
(x  1) 2 (x  1)
г)
 ctg x dx .
3
Вычислить определённый интеграл (указана рекомендуемая подстановка):

2
dx
 3  2cos x ,
t  tg
0
8.
x
.
2
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:


2
dx
.
(10  x)3
9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = e  1 , y = 0, x = ln2.
10. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линиями
x
y=
x 1 , y = 0, y = 1, x = 0,5.
АлтГТУ им. И.И. Ползунова
Центр дистанционного и интенсивного обучения
Кафедра высшей математики
Задания контрольных работ по математике
для студентов – заочников 1 курса (2 семестр)
Вариант № 7
Контрольная работа № 4
Тема: Дифференциальное исчисление функции одной переменной
1.
Найти производные y  
а) y  3 1 
x;
dy
следующих функций:
dx
x
б) y  tg 5
;
1  3x 2
в) y  sin( 2x )arctg( e  x ) ;
г) y  ( 2x )arcsin2 x ;
2.
3.
4.
d2y
для функции y  x 1  x 2 .
dx 2
Найти
Составить уравнение нормали к графику функции y   x  2 в точке пересечения с биссектрисой первого координатного угла.
Вычислить пределы, пользуясь правилом Лопиталя:
x2  2 x  1
;
x 1 2 x 2  x  1
а) lim
5.
б) lim(   2 x )tg x ;
x

2
Провести полное исследование функции и построить график:
y  3 ( x 2  8 )2 ;
6. Найти высоту цилиндра наибольшего объёма, который можно вписать в шар радиуса 5.
Контрольная работа № 5
Тема: Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
1.
Для функции z найти значения указанных производных в точке М:
а) z 
y sin
x /
//
( M )  z yy// ( M ), M ( 1; 2 ) .
, z x ( M )  z y/ ( M ), M ( 0; 1 ) ; б) z  x 2 y , z xx
y
 xy
2.
Найти производную функции z  xe
3.
Найти grad u( M ) и
4.
Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z  x 2  y 2  xy в точке М(1; 1; 1).
5.
Исследовать функцию
в точке М(1; 0) в направлении вектора s  {2; 2}.
grad u( M ) в точке М(1; –2; 4) для функции u  ln( 1  x 2 )  xy z .
z  3x  6y  x 2  xy  y 2 на экстремум.
Контрольная работа № 6
Тема: Неопределённый и определённый интеграл
1.
Вычислить неопределённые интегралы:
а)

в)

sin x dx
;
3
cos x  1
x3  1
dx ;
x3  x 2
б)
x
г)
 sin
2
ln 1  x dx ;
4
3x dx .
2.
Вычислить определённый интеграл (указана рекомендуемая подстановка):
5
dx
 (25  x )
25  x 2
2
0
3.
,
x = 5tg t.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

x
ctg dx .
2
0

4.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y =
1
, y = 0, x = 1, x= e3.
x 1  ln x
 x  e t cos t
5. Найти длину дуги линии 
, если параметр изменяется от t = 0 до t = ln.
t
 y  e sin t
АлтГТУ им. И.И. Ползунова
Центр дистанционного и интенсивного обучения
Кафедра высшей математики
Задания контрольных работ по математике
для студентов – заочников 1 курса (2 семестр)
Вариант № 8
Контрольная работа № 4
Тема: Дифференциальное исчисление функции одной переменной
1.
Найти производные y  
а) y 
1
1
3
3 ;
x
x
dy
следующих функций:
dx
б) y  arcsin e 2 x  ln x  tg 2 ( 5  2x ) ;
в) y  3ln( 1 x )  cos 3
2
x
;
3
1
г) y  ( x  1 ) sin x ;
d2y
для функции y 
dx 2
x ln( 1  e  x ) .
2.
Найти
3.
Записать уравнения касательных к кривой y  x  x 2 в точках пересечения её с осью абсцисс.
4.
Вычислить пределы, пользуясь правилом Лопиталя:
x3  3 x  2
;
x 1 x 2  x  2
а) lim
5.
1
;
x 
Провести полное исследование функции и построить график:
y
6.


б) lim  ctgx 
x 0
x3  1
;
x3
Найти высоту конуса наибольшего объёма, который можно вписать в шар радиуса 4.
Контрольная работа № 5
Тема: Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
1.
Для функции z найти значения указанных производных в точке М:
/
/
y x
///
, z y/ ( M )  z xxx
( M ), M ( 1; 1 ) .
а) z  ln( x  ln y ), 2z x ( M )  z y ( M ), M ( 1; 1 ) ; б) z  ye
2.
Найти производную функции z  arctg( e x  2 y ) в точке М(0; 0) в направлении вектора s  {3; –4}.
3.
Найти grad u( M ) и
4.
Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z 3  3xyz  2 в точке М(1; 1; 2).
5.
Исследовать функцию
grad u( M ) в точке М(3; 4; 1) для функции u  x 2  y 2  z .
z  x 3  8y 3  6xy  1 на экстремум.
Контрольная работа № 6
Тема: Неопределённый и определённый интеграл
1.
Вычислить неопределённые интегралы:
а)

в)

(2 ln x  3) 2
dx ;
x
x2 1
dx ;
(x  1) 2 (x  1)
б)
 arctg5x dx ;
г)
 cos
3
x dx .
2.
Вычислить определённый интеграл (указана рекомендуемая подстановка):
1
x
1
3.
4
dx
1  4x 2
, z
1
.
x
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
0
 xe dx .
x

4.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = (x
5.
Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси
2
y=x , y=
x.
+1)2, y2 = x +1.
OX фигуры, заключённой между параболами
АлтГТУ им. И.И. Ползунова
Центр дистанционного и интенсивного обучения
Кафедра высшей математики
Задания контрольных работ по математике
для студентов – заочников 1 курса (2 семестр)
Вариант № 9
Контрольная работа № 4
Тема: Дифференциальное исчисление функции одной переменной
1.
Найти производные y  
x x
а) y 
x x
dy
следующих функций:
dx
б) y  3ctg 3 x 
;
1 33
tg x ;
3
2
в) y 
x arccos x  ln x 2  1 ;
г) y  ( arctg2x )sin 3 x ;
d2y
для функции y  x arctgx 2 .
dx 2
2.
Найти
3.
Написать уравнение касательной к кривой y = x3 – 5x + 5 в точке с абсциссой x0 = 1.
4.
Вычислить пределы, пользуясь правилом Лопиталя:
x3  5 x2  7 x  3
;
x 1 x 3  4 x 2  5 x  2
а) lim
5.
x 1 0
Провести полное исследование функции и построить график:
y
6.
б) lim ( 1  x )ln( 1  x ) ;
x1
;
x  2x
2
Число 16 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их кубов была наименьшей.
Контрольная работа № 5
Тема: Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
1.
Для функции z найти значения указанных производных в точке М:
а) z  arcsin
x
1
, z x/ ( M )  2z y/ ( M ), M  ;
y
4

1  ; б) z  xe y  ye x , z y/ ( M )  z xy// ( M ), M ( 0; 0 ) .

2.
2
2
Найти производную функции z  x  y  4 в точке М(1; 1) в направлении вектора s  {0; –1}.
3.
Найти grad u( M ) и
4.
Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности x 2  y 2  z 2  4 в точке М(2;1;1).
5.
Исследовать функцию z  5xy  x  y  2 на экстремум.
Контрольная работа № 6
grad u( M ) в точке М(1; 1; –2) для функции u  x y  ( y  z ) x .
Тема: Неопределённый и определённый интеграл
1.
Вычислить неопределённые интегралы:
а)

dx
1  x (3arcsin x  7)
2
;
б)
 (2x  5) cos 4x dx ;
в)
2.

4x 4  8x 3  3x  3
dx ;
x 3  2x 2  x
г)
Вычислить определённый интеграл (указана рекомендуемая подстановка):
ln 3
e
ln 2
3.

sin 2 x
dx .
cos 4 x
x
dx
, ex = t .
x
e
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
8
dx
 (x  3)
2
.
2
4.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = 2x
5.
Найти длину дуги полукубической параболы
– x2 +3, y = x2 – 4x + 3.
y2 = x3 от начала координат до точки (4; 8).
АлтГТУ им. И.И. Ползунова
Центр дистанционного и интенсивного обучения
Кафедра высшей математики
Задания контрольных работ по математике
для студентов – заочников 1 курса (2 семестр)
Вариант № 10
Контрольная работа № 4
Тема: Дифференциальное исчисление функции одной переменной
1.
Найти производные y  
а) y 
3
dy
следующих функций:
dx
2  1  x2 ;
г) y  ( arctg3 x )
x
;
d2y
для функции y  ln(ln x ) .
dx 2
2.
Найти
3.
Написать уравнение касательной к кривой 
4.
Вычислить пределы, пользуясь правилом Лопиталя:
 x  arctg t
2
 y  ln( 1  t )
а) lim
x1
5.
в) y  e x tg ( 1 x ) ;
б) y  x(ln2 x  1 ) ;
x3  3 x  2
;
x3  x2  x  1
б) lim
x 0  0
в точке при t = 1.
ln tg x
;
ln tg 2 x
Провести полное исследование функции и построить график:
x4
;
x3  1
6. Число 72 разложить на два таких множителя, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
y
Контрольная работа № 5
Тема: Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
1. Для функции z найти значения указанных производных в точке М:
x y /
//
//
( M )  z xy
( M ), M ( 0; 1 ) .
, z y ( M ) z x/ ( M ) , M ( 2; 1 ) ; б) z  x  e xy , z xx
а) z 
x y
1
2. Найти производную функции z  xy  x 2  в точке М(2; 1) в направлении вектора s  {–1; 1}.
y
3. Найти grad u( M ) и grad u( M ) в точке М(1; 1; 0) для функции u  xy  4  z 2 .
4. Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z 2  x 2  y 2 в точке М(3; 4; 5).
5.
Исследовать функцию
z  2x 3  xy 2  y 2  5x 2 на экстремум.
Контрольная работа № 6
Тема: Неопределённый и определённый интеграл
1.
Вычислить неопределённые интегралы:
а)
в)


e x dx
;
e2x  1
x4
dx ;
(x  3)(x 2  2)
б)
 arcsin 5x dx ;
г)
 sin
3
x cos6 x dx .
2.
Вычислить определённый интеграл (указана рекомендуемая подстановка):
2

0
3.
x 2dx
16  x 2
x = 4cos t .
,
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:


1
dx
.
x x
2
4.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x
5.
Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси
arctgx, y = 0, x =
3.
OX фигуры, ограниченной линиями:
y = – x + 5x – 6, y = 0.
2