Объем пирамиды

Объем пирамиды
Согласно Архимеду, еще в V до н.э. Демокрит установил, что объем
пирамиды равен одной трети объема призмы с тем же основанием и той же
высотой. Полное доказательство этой теоремы дал Евдокс Книдский в IV до
н.э.
В «Началах» Евклида доказывается, что в равновеликих пирамидах
площади оснований обратно пропорциональны соответствующим высотам.
Первое непосредственное вычисление объема пирамиды, дошедшее до нас,
встречается у Герона Александрийского.
Интересно отметить, что в древних документах встречаются правила для
определения объема усеченной пирамиды, но нет правил вычисления объема
полной пирамиды. В «Московском папирусе» имеется задача, озаглавленная
«Действия с усеченной пирамидой», в которой излагается верное вычисление
объема одной усеченной пирамиды. В вавилонских клинописных табличках
также не встречается вычисление объема пирамиды, но зато в них есть много
примеров вычисления объема усеченной пирамиды.
Теорема. Две треугольные пирамиды, имеющие равные высоты и равные
площади оснований, имеют равные объемы.
Теорема.
Объем
треугольной
пирамиды
равен
одной
третьей
1
произведения площади ее основания на высоту: V= SH, где S – площадь
3
основания, H – высота пирамиды.
Доказательство. Пусть SABC – треугольная пирамида с вершиной S и
основанием ABC.
Дополним эту пирамиду до треугольной призмы с тем же основанием и
высотой. Эта призма составлена из трех пирамид: данной пирамиды SABC и
еще двух треугольных пирамид SCC1B1 и SCBB1.
У второй и третьей пирамид равные основания – треугольники CC1B1 и
B1BC и общая высота, проведенная из вершины S. Поэтому у них равные
объемы.
У первой и третьей пирамид тоже равные основания – треугольники SAB
и BB1S и совпадающие высоты, проведенные из вершины C. Поэтому у них
тоже равные объемы.
Значит, все три пирамиды имеют один и тот же объем.
Так как сумма объемов равна объему призмы, то объемы пирамид равны
1
3
V= SH.
Теорема доказана.
Теорема. Объем n-угольной пирамиды равен одной третьей произведения
1
3
площади основания на высоту: V= SоснH.
Доказательство. Есть произвольная пирамида. Разобьем ее основание на
треугольники. Пирамиды, у которых основаниями являются эти треугольники,
а вершинами – вершина данной пирамиды, составляют данную пирамиду.
Объем данной пирамиды равен сумме объемов составляющих ее
пирамид.
Так как все они имеют ту же высоту H, что и данная пирамида, то объем
1
3
ее равен: V= S1H+S2H+…+SnH =
1
1
(S1+S2+…+Sn)Н= SоснH.
3
3
Теорема доказана.
Теорема.
Объем
усеченной
пирамиды
находится
по
формуле
1
V  H(S  S1S2  S ) , где H – высота усеченной пирамиды, S1 и S2 – площади
1
2
3
ее оснований.
Доказательство. Есть усеченная пирамида с площадями оснований S1 и
S2 (S2>S1) и высотой H.
Достроим усеченную пирамиду до полной.
Тогда объем усеченной пирамиды есть разность объемов полной
пирамиды и дополняющей.
V
1
1
1
S (H  h)- S h  (S H  (S  S )h) .
2 1
3 2
3 1
3 1
Основания усеченной пирамиды подобны, следовательно, их площади
относятся как квадраты длин соответствующих сторон, т.е.
S 2 ( H  h) 2

S1
h2
. Отсюда находим h 
H S1
. Подставляя это выражение
S2  S1
1
в формулу объема и преобразовав ее, получаем V  H(S1  S1S2  S2 ) .
3
Теорема доказана.
Примеры решения задач
Задача № 1. Вычислите объем
правильной четырехугольной пирамиды,
если ее высота 3 см, а сторона основания
равна 4 см.
РЕШЕНИЕ:
1
Объем пирамиды V= Sосн*Н. Sосн=АВ2=16 см2. V=16 см3.
3
ОТВЕТ: 16 см3
Задача № 2. Объем правильной
четырехугольной пирамиды равен 18 см3.
Вычислить высоту пирамиды, если
площадь ее основания равна 9 см2.
РЕШЕНИЕ:
1
Объем пирамиды V= Sосн*Н. Отсюда H=3V/Sосн=6 см.
3
ОТВЕТ: 6 см
Задача № 3. Высота правильной
треугольной пирамиды равна 3 3 см.
Вычислить объем пирамиды, если длина
стороны ее основания равна 2 см.
РЕШЕНИЕ:
1
Объем пирамиды V= Sосн*Н. Sосн=АС2 3 /4= 3 см2. Отсюда V=3 см3.
3
ОТВЕТ: 3 см3
Задача № 4. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды, если сторона
ее основания равна 2 см, а высота
пирамиды 2 3 см.
РЕШЕНИЕ:
1
Объем пирамиды V= Sосн*Н. Sосн=6АС2 3 /4=6 3 см2. Отсюда V=12 см3.
3
ОТВЕТ: 12 см3
Задача № 5. Вычислите объем
правильной четырехугольной пирамиды,
высота которой равна 6 см, а радиус
окружности, вписанной в основание,
равен 2 см.
РЕШЕНИЕ:
1
Объем пирамиды V= Sосн*Н. Sосн=АВ2. АВ=2r, где r – радиус вписанной
3
окружности. Следовательно, АВ=4 см, Sосн=16 см2, V=32 см3.
ОТВЕТ: 32 см3
Задача № 6. Основание пирамиды —
треугольник, длины двух сторон которого
равны 2 см и 6 см, а угол между этими
сторонами 30°. Вычислите объем
пирамиды, если ее высота равна 3 см.
РЕШЕНИЕ:
1
1
Объем пирамиды V= Sосн*Н. Sосн= АВ*АС*sin30°=3 см2. Отсюда V=3 см3.
3
2
ОТВЕТ: 3 см3
Задача № 7. Высота правильной
четырехугольной пирамиды равна 9 см.
Вычислите объем пирамиды, если радиус
окружности, описанной около основания,
равен 2 см.
РЕШЕНИЕ:
1
Объем пирамиды V= Sосн*Н. Sосн=АВ2. АВ=АС/ 2 . АС=2R, где R – радиус
3
описанной окружности. Отсюда АС=2 2 см, АВ=2 см, Sосн=4 см2, V=12 см3.
ОТВЕТ: 12 см3
Задача № 8. Точка О – центр грани
A1B1C1D1 куба ABCDA1B1C1D1.
Вычислите объем пирамиды OABCD,
если площадь грани куба равна 9 см2.
РЕШЕНИЕ:
Пирамида OABCD – правильная, в основании которой квадрат. Объем пирамиды
1
V= Sосн*Н. Sосн=Sгр=9 см2. Высота пирамиды равна стороне куба H=3 см.
3
Отсюда V=9 см3.
ОТВЕТ: 9 см3
Задача № 9. Длина диагонали основания
правильной четырехугольной пирамиды
равна 4 2 см, а высота пирамиды – 3 см.
Вычислите объем пирамиды.
РЕШЕНИЕ:
1
Объем пирамиды V= Sосн*Н. Sосн=АВ2. АВ=АС/ 2 =4 см (свойство диагонали
3
квадрата). Отсюда Sосн=16 см2, V=16 см3.
ОТВЕТ: 16 см3
Задача № 10. Найдите сторону
основания правильной четырехугольной
пирамиды, если ее объем равен 16 см3, а
высота 3 см.
РЕШЕНИЕ:
1
1
Объем пирамиды V= Sосн*Н. Sосн=АВ2. V= АВ2*H. Выразив из формулы АВ,
3
3
получим АВ= 3V / H =4 см.
ОТВЕТ: 16 см
Задача № 11. Длина стороны основания
правильной четырехугольной пирамиды
равна 2 6 см, а ее боковое ребро
наклонено к плоскости основания под
углом 60°. Вычислите объем пирамиды.
РЕШЕНИЕ:
1
Объем пирамиды V= Sосн*Н. Sосн=АВ2=24 см2. Высота OS=OCtg60°.
3
OC=AC/2=AB 2 /2=2 3 см. Следовательно, OS=2 см, V=48 см3.
ОТВЕТ: 48 см3
Задача № 12. Длина бокового ребра
правильной четырехугольной пирамиды
равна 8 см. Вычислите объем пирамиды,
если боковое ребро наклонено к
плоскости основания под углом 30°.
РЕШЕНИЕ:
1
Объем пирамиды V= Sосн*Н. Sосн=АВ2. Высота OS=SCsin30°=4 см.
3
ОС=SCcos30°=4 3 см. AC=2OC=8 3 см. AB=AC/ 2 =4 6 см. Отсюда Sосн=96
см2, V=384 см3.
ОТВЕТ: 384 см3
Задача № 13. Вычислите объем
правильной треугольной пирамиды, если
длина стороны ее основания равна 2 3
см, а длина бокового ребра - 4 см.
РЕШЕНИЕ:
1
Объем пирамиды V= Sосн*Н. Sосн=АС2 3 /4=3 3 см2. Высота пирамиды OS=
3
SB2  OB2 , где ОВ – радиус описанной окружности. ОВ=АС 3 /3= 2см.
Отсюда OS=2 3 см, V=6 см3.
ОТВЕТ: 6 см3
Задача № 14. Угол между боковым
ребром и плоскостью основания
правильной треугольной пирамиды равен
60°. Радиус окружности, описанной около
основания пирамиды, равен 4 см.
Вычислите объем пирамиды.
РЕШЕНИЕ:
1
Объем пирамиды V= Sосн*Н. Высота пирамиды SO=OBtg60°=4 3 см, где ОВ –
3
радиус описанной окружности. ОВ= АС 3 /3. Отсюда АС=4 3 см. Sосн=АС2 3
/4=12 3 см2, V=48 см3.
ОТВЕТ: 48 см3
Задача № 15. Основание пирамиды квадрат со стороной 3 2 см. Вычислите
объем пирамиды, если длина каждого
бокового ребра пирамиды равна 5 см.
РЕШЕНИЕ:
1
Объем пирамиды V= Sосн*Н. Sосн=АD2=18 см2. Высота SO= SС 2  OС 2 ,
3
OC=AC/2=AD 2 /2=3 см. Отсюда SO=4 см, V=24 см3.
ОТВЕТ: 24 см3
Задача № 16. Вычислите объем
правильной четырехугольной усеченной
пирамиды, если ее высота 3 см, а стороны
оснований равны 2 см и 4 см.
РЕШЕНИЕ:
1
Объем усеченной пирамиды V= (S1+ S1S2 +S2). S1=42=16 см2, S2=22=4 см2.
3
3
Отсюда V=28 см .
ОТВЕТ: 28 см3
Задача № 17. Основание пирамиды прямоугольник. Одно боковое ребро пирамиды
перпендикулярно плоскости основания, а
прилегающие к нему образуют с основанием
углы 30° и 60°. Вычислите объем пирамиды, если
ее высота равна 3 см.
РЕШЕНИЕ:
1
V= Sосн*Н. Sосн=АВ*ВС. АВ=SBtg30°= 3 см, BC=SBtg60°=3 3 см. Отсюда
3
V=9 см3.
ОТВЕТ: 9 см3
Задача № 18. В правильной
четырехугольной пирамиде радиус
описанной около основания окружности
равен 3 см. Боковые ребра наклонены к
основанию под углом 45°. Найдите объем
пирамиды.
РЕШЕНИЕ:
1
Объем пирамиды V= Sосн*Н. Sосн=AD2. AD=AC/ 2 , AC=2AO, где АО – радиус
3
описанной окружности. Следовательно, AC= 6 см, Sосн=18 см2. Высота
SO=АО=АС/2=3 см. Отсюда V=18 см3.
ОТВЕТ: 18 см3
Задача № 19. Вычислите площадь
диагонального сечения правильной
четырехугольной пирамиды, если ее
объем равен 24 см3, а длина стороны
основания равна 3 2 см.
РЕШЕНИЕ:
1
Площадь сечения Sсеч= АС*OS. АС=AD 2 =6 см. OS- высота пирамиды.
2
2
OS=3V/S осн=3V/AD =4 см. Отсюда Sсеч=12 см3.
ОТВЕТ: 12 см3
Задача № 20. Длины сторон оснований
правильной четырехугольной усеченной
пирамиды равны 2 см и 10 см, а длина
бокового ребра - 41 см. Вычислите
объем пирамиды.
РЕШЕНИЕ:
1
Объем усеченной пирамиды V= (S1+ S1S2 +S2). S1=100 см2, S2=4 см2. Высота
3
пирамиды равна высоте диагонального сечения, которое является равнобокой
трапецией с основаниями 2 2 см и 10 2 см. Н= l 2  x 2 , где l – боковое ребро,
х=(10 2 -2 2 )/2=4 2 см. Отсюда H=3 см, V=122 см3.
ОТВЕТ: 122 см3
Задача № 21. Основание пирамиды —
треугольник, длины сторон которого
равны 10 см, 10 см, 12 см, а высоты
боковых граней равны между собой.
Вычислите объем пирамиды, если длина
высоты боковой грани равна 5 см.
РЕШЕНИЕ:
1
Объем пирамиды V= Sосн*Н. Площадь основания находится по формуле
3
Герона. Sосн= p(p  AB)(p  AC)(p  BC) , где р=(АВ+ВС+АС)/2=16 см, Sосн=48 см2.
Высота SO попадает в центр вписанной окружности. OL=Sосн/p=3 см. SO=
SL2  OL2 = 4 см. Отсюда V=64 см2.
ОТВЕТ: 64 см2
Задача № 22. Расстояние от середины
высоты правильной четырехугольной
пирамиды, у которой все ребра равны, до
бокового ребра равно 3 2 см. Найдите
объем пирамиды.
РЕШЕНИЕ:
1
Объем пирамиды V= Sосн*Н. Sосн=AD2. Из треугольника SOC 3
MN:OC=SM:SC. SM=SO/2, OC=AC/2=AD 2 /2. Поскольку SC=AD, получаем
MN 2 :АD=OS:2AD. Отсюда OS=2 2 MN=12 см, AD=12 2 см, V=1152 см3.
ОТВЕТ: 1152 см3
Задача № 23. Основанием пирамиды
служит ромб со стороной равной 2 3 см,
и углом 30°. Боковые грани, проходящие
через стороны острого угла ромба,
перпендикулярны плоскости основания, а
две другие наклонены к нему под углом
60°. Найдите объем пирамиды.
РЕШЕНИЕ:
1
Объем пирамиды V= Sосн*Н. Sосн=AD2sin30°=6 см2. Высота пирамиды
3
SC=ВСtg60°=2 см. Отсюда V=4 см3.
ОТВЕТ: 4 см3
Задача № 24. В тетраэдре ребра равны 6
2 см. Через середину ребра проведена
перпендикулярная ему плоскость.
Найдите объем пирамиды, вершина
которой совпадает с вершиной тетраэдра,
а основанием является полученное
сечение.
РЕШЕНИЕ:
1
Объем пирамиды V= Sосн*Н. Площадь основания находится по формуле
3
Герона Sосн= p(p  AC)(p  AO)(p  OC) . Поскольку треугольники SAB и SCB
равносторонние, а OCSB, AOSB, то AO=OC. По теореме Пифагора OC=
СВ 2  OВ 2 , OB=SB/2=3 2 см. ОС=3 6 см. Высота пирамиды SO=SB/2.
Отсюда V=36 см3.
ОТВЕТ: 36 см3
Задача № 25. Основание
четырехугольной пирамиды прямоугольник. Объем пирамиды равен 9
см3, а угол между диагоналями основания
- 30°. Вычислите радиус окружности,
описанной около основания, если
боковые ребра пирамиды наклонены к
основанию под углом 45°.
РЕШЕНИЕ:
Радиус описанной окружности равен OC (половине AC). Поскольку все ребра
наклонены к плоскости основания под углом 45°, то высота SO=ОС. Площадь
1
основания Sосн=ОС2(sin30°+sin(180°-30°))=OC2. Объем пирамиды V= Sосн*SO=
3
1
ОС3. Отсюда OC=3 см.
3
ОТВЕТ: 3 см.
Задача № 26. Основанием пирамиды
служит прямоугольный треугольник с
углом 15°. Все боковые ребра составляют
с плоскостью основания угол 30°.
Найдите объем пирамиды, если ее высота
равна 4 см.
РЕШЕНИЕ:
1
1
Объем пирамиды V= Sосн*Н. Площадь основания Sосн= АВ*ВСsin15°.
3
2
BC=ABcos15°=2SOctg30°cos15°. Отсюда Sосн=SO2sin2*15° ctg230°, V=8 см3.
ОТВЕТ: 8 см3
Задача № 27. Длина стороны основания
правильной четырехугольной пирамиды
равна 6 см. Вычислите объем пирамиды,
если угол между апофемами смежных
боковых граней равен 60°.
РЕШЕНИЕ:
1
Объем пирамиды V= Sосн*Н. Sосн=AD2=36 см2. Высота SO= SM 2  OM 2 ,
3
OM=AD/2= 3 см. Треугольник KMS – равносторонний. КМ=АС/2=3 2 см
(средняя линия треугольника ACD). Отсюда SO= 3 см, V=108 см3.
ОТВЕТ: 108 см3
Задача № 28. Основанием пирамиды
служит ромб со стороной 2 3 см и
острым углом 60°. Найдите объем
пирамиды, если ее двугранные углы при
ребрах основания равны 45°.
РЕШЕНИЕ:
1
Объем пирамиды V= Sосн*Н. Sосн=AD2sin60°=6 3 см2. Высота OS=AD/2= 3 см
3
(прямоугольный треугольник с углом 45°). Отсюда V=6 см3.
ОТВЕТ: 6 см3
Задача № 29. Найдите объем правильной
треугольной пирамиды, у которой
боковое ребро наклонено под углом 30° и
удалено от середины противолежащей
стороны основания на расстояние 3 см.
РЕШЕНИЕ:
1
Объем пирамиды V= Sосн*Н. Высота SO=OBtg30°. OB=2/3BD. BD=DE/sin30°=6
3
см. Отсюда ОВ=4 см, SO=4/ 3 см. Площадь основания Sосн=АС2 3 /4.
АС=BD/sin60°=4 3 см. Следовательно Sосн=12 3 см2, V=16 см3.
ОТВЕТ: 16 см3
Задача № 30. В пирамиде боковые ребра
взаимно перпендикулярны и равны 6 см,
8 см и 10 см. Вычислите объем
пирамиды.
РЕШЕНИЕ:
1
Объем пирамиды V= Sосн*Н. Если допустить, что треугольникABS является
3
основанием пирамиды, то его высота – SC. Следовательно, Sосн=AS*SB/2=24
см2, V=80 см3.
ОТВЕТ: 80 см3
Задания для самостоятельной работы
Вариант 1
1. Пирамидой называется многогранник, который состоит из…
1) Плоского многоугольника – основания
2) Точки, не лежащей в плоскости основания
3) Отрезков, соединяющих вершину с точками основания
2. Укажите тип пирамиды, изображенной на рисунке…
1) Правильная; 2) Треугольная; 3) Четырехугольная; 4) Наклонная
3. Объем пирамиды находится по формуле…
1
2
1) V  Sh
1
2) V  Sосн h
3
1
3) V  Sоснl
3
4. Площадь основания пирамиды равна 4 см2, а высота пирамиды – 6 см. Чему
равен ее объем…
1) 8
2) 12
3) 24
5. Вычислите объем правильной четырехугольной пирамиды, если ее высота 3
см, а сторона основания равна 4 см.
6. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 32 см 3, высота
пирамиды равна 6 см. Найдите радиус окружности, вписанной в основание.
7. Длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равна 2
6 см, а ее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°.
Вычислите объем пирамиды.
8. Основанием треугольной пирамиды является прямоугольный треугольник с
меньшим катетом 3 см и острым углом 30о. Найти объем пирамиды, если ее
высота равна гипотенузе основания.
9. Основание пирамиды — треугольник, длины сторон которого равны 10 см,
10 см, 12 см, а высоты боковых граней равны между собой. Вычислите объем
пирамиды, если длина высоты боковой грани равна 5 см.
10. Основанием пирамиды служит треугольник с длинами сторон 2 см, 3 см и
2 см. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 60 о. Найти
объем пирамиды.
Вариант 2
1. Правильная треугольная пирамида называется…
1) Икосаэдр
2) Тетраэдр
3) Усеченной
4) Равносторонней
2. Укажите тип пирамиды, изображенной на рисунке…
1) Правильная; 2) Треугольная; 3) Четырехгранная; 4) Равносторонняя
3. Объем n-угольной пирамиды равен…
1) произведению площади основания на высоту
2) одной третьей произведения площади основания на высоту
3) одной второй произведения площади основания на высоту
4. В основании пирамиды лежит квадрат со стороной 2 см. Чему равен объем
пирамиды, если ее высота 3 см…
1) 12
2) 4
3) 8
5. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 18 см 3. Вычислить
высоту пирамиды, если площадь ее основания равна 9 см2.
6. Длины оснований правильной усеченной треугольной пирамиды равны 12 см
и 4 см. Найти объем усеченной пирамиды, если ее высота равна 3 см.
7. Длина бокового ребра правильной четырехугольной пирамиды равна 8 см.
Вычислите объем пирамиды, если боковое ребро наклонено к плоскости
основания под углом 30°.
8. В треугольной пирамиде SABCD ребро SC перпендикулярно ребрам AS и
SB. Чему равен объем пирамиды, если SA=6 см, SB=8 см, SC=6 см и АВ=10 см?
9. Расстояние от середины высоты правильной четырехугольной пирамиды, у
которой все ребра равны, до бокового ребра равно 3 2 см. Найдите объем
пирамиды.
10. Основание пирамиды - прямоугольный треугольник. Боковые ребра
пирамиды равны. Боковые грани, проходящие через катеты, составляют с
плоскостью основания углы 30о и 60о. Найти объем пирамиды, если ее высота
равна 3 см.
Вариант 3
1. Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два не соседних боковых
ребра, называется…
1) Параллельным основанию
2) Перпендикулярным
3) Диагональным
4) Радиальным
2. Укажите тип пирамиды, изображенной на рисунке…
1) Шестиугольная; 2) Пятиугольная; 3) Четырехугольная; 4) Треугольная
3. Объем усеченной пирамиды находится по формуле…
1
3
1
2) V  H ( S1  S1S2  S2 )
3
1
3) V  H ( S1  S1S2  S2 )
3
1) V  H ( S1S2 )
4. Чему равна высота пирамиды, если ее объем 6 см3, а площадь основания 9
см…
1) 3; 2) 2; 3) 4
5. Высота правильной треугольной пирамиды равна 3 3 см. Вычислить объем
пирамиды, если длина стороны ее основания равна 2 см.
6. Найдите высоту правильной четырехугольной пирамиды, если ее объем
равен 16 см3, а сторона основания 4 см.
7. Вычислите объем правильной треугольной пирамиды, если длина стороны ее
основания равна 2 3 см, а длина бокового ребра - 4 см.
8. В треугольной пирамиде SABCD ребра SA, SB и SC взаимно
перпендикулярны. Чему равен объем пирамиды, если площади граней SAB,
SAC и SBC равны 8 см2, 4 см2, 9 см2?
9. Основанием пирамиды служит ромб со стороной равной 2 3 см, и углом 30°.
Боковые грани, проходящие через стороны острого угла ромба,
перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к нему под
углом 60°. Найдите объем пирамиды.
10. Основанием четырехугольной пирамиды SABCD служит прямоугольник
ABCD. Точка F лежит на ребре SC, причем SF:SC=2:3. Чему равно значение
9V/V1, если V1 – объем пирамиды, а V – объем верхней части пирамиды,
отсеченной плоскостью, проходящей через точки A, D и F?
Вариант 4
1. Плоскость, пересекающая пирамиду параллельно основанию…
1) Отсекает равную пирамиду
2) Отсекает подобную пирамиду
3) Отсекает две подобные пирамиды
2. Укажите тип пирамиды, изображенной на рисунке…
1) Правильная; 2) Прямая; 3) Усеченная; 4) Прямоугольная
3. Площадь основания правильной треугольной пирамиды вычисляется по
формуле…
1) S=a2 3 /4
2) S=a2 2 /4
3) S=a2 3 /2
4. Чему равна площадь основания пирамиды, если ее объем 15 см3, а высота 5
см…
1) 3
2) 5
3) 9
5. Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды, если сторона ее
основания равна 2 см, а высота пирамиды 2 3 см.
6. Найдите высоту правильной четырехугольной пирамиды, если ее объем 16
см3, а длина диагонали основания равна 4 2 см.
7. Угол между боковым ребром и плоскостью основания правильной
треугольной пирамиды равен 60°. Радиус окружности, описанной около
основания пирамиды, равен 4 см. Вычислите объем пирамиды.
8. Найти объем правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой
имеют длину 3 2 см.
9. В тетраэдре ребра равны 6 2 см. Через середину ребра проведена
перпендикулярная ему плоскость. Найдите объем пирамиды, вершина которой
совпадает с вершиной тетраэдра, а основанием является полученное сечение.
10. Основанием четырехугольной пирамиды SABCD служит прямоугольник
ABCD. Точка F лежит на ребре SC, причем SF:SC=1:6. Чему равно значение
72V/V1, если V1 – объем пирамиды, а V – объем нижней части пирамиды,
отсеченной плоскостью, проходящей через точки A, D и F?
Вариант 5
1. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины,
называется…
1) Медианой
2) Высотой
3) Апофемой
4) Биссектрисой
2. Укажите тип пирамиды, изображенной на рисунке…
1) Усеченная; 2) Треугольная; 3) Шестиугольная; 4) Равносторонняя
3. Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды вычисляется по
формуле…
1) S=2a
2) S=a2
3) S=ah
4. Чему равен объем пирамиды, в основании которой лежит прямоугольник со
сторонами 2 см и 3 см, если высота пирамиды 4 см…
1) 12
2) 8
3) 6
5. Вычислите объем правильной четырехугольной пирамиды, высота которой
равна 6 см, а радиус окружности, вписанной в основание, равен 2 см.
6. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 18 см3. Вычислить
площадь ее основания, ели высота пирамиды 6 см.
7. Основание пирамиды - квадрат со стороной 3 2 см. Вычислите объем
пирамиды, если длина каждого бокового ребра пирамиды равна 5 см.
8. Основаниями усеченной пирамиды служат равнобедренные прямоугольные
треугольники, длины гипотенуз которых равны 7 см и 5 см. Найти объем
усеченной пирамиды, если ее высота равна 12 см.
9. Основание четырехугольной пирамиды - прямоугольник. Объем пирамиды
равен 9 см3, а угол между диагоналями основания - 30°. Вычислите радиус
окружности, описанной около основания, если боковые ребра пирамиды
наклонены к основанию под углом 45°.
10. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 5 см, 6 см и 5 см.
Боковые грани пирамиды образуют с ее основанием равные двугранные углы
по 45о. Найти объем пирамиды.
Вариант 6
1. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания,
называются…
1) Апофемой
2) Боковыми ребрами
3) Высотой
4) Медианой
2. Укажите тип пирамиды, изображенной на рисунке…
1) Правильная; 2) Треугольная; 3) Четырехугольная; 4) Наклонная
3. Площадь прямоугольного треугольника находится по формуле…
1) S=ab/2, где a и b – катеты треугольника
2) S=ab 2 , где a и b – катеты треугольника
3) S=ab, где а и b – стороны треугольника
4. В основании пирамиды лежит квадрат. Объем пирамиды равен 12 см3, ее
высота 4 см. Чему равна сторона основания пирамиды…
1) 4
2) 9
3) 2
5. Основание пирамиды — треугольник, длины двух сторон которого равны 2
см и 6 см, а угол между этими сторонами 30°. Вычислите объем пирамиды,
если ее высота равна 3 см.
6. Объем правильной шестиугольной пирамиды равен 12 см3. Найдите сторону
основания пирамиды, если ее высота пирамиды 2 3 см.
7. Вычислите объем правильной четырехугольной усеченной пирамиды, если ее
высота 3 см, а стороны оснований равны 2 см и 4 см.
8. Основаниями усеченной пирамиды служат ромбы с острым углом 60 о и
сторонами длиной 8 см и 6 см. Найти объем усеченной пирамиды, если ее
высота равна 3 /2 см.
9. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с углом 15°. Все
боковые ребра составляют с плоскостью основания угол 30°. Найдите объем
пирамиды, если ее высота равна 4 см.
10. Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 3 см,
стороны большего основания – 9 2 см. Боковое ребро составляет с основанием
угол 45о. Найти объем усеченной пирамиды.
Вариант 7
1. В правильной пирамиде отрезок, соединяющий вершину пирамиды с
центром ее основания, является…
1) Медианой
2) Высотой
3) Биссектрисой
2. Укажите тип пирамиды, изображенной на рисунке…
1) Правильная; 2) Треугольная; 3) Четырехугольная; 4) Пятиугольная
3. Площадь равностороннего треугольника находится по формуле…
1) S=a2 3 /4; 2) S=a2 2 /4; 3) S=a2 3 /2
4. Чему равен объем усеченной пирамиды, если ее высота 3 см, а площади
оснований – 4 см2 и 9 см2…
1) 19; 2) 64; 3) 52
5. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 9 см. Вычислите
объем пирамиды, если радиус окружности, описанной около основания, равен
2 см.
6. Основание пирамиды — треугольник, длины двух сторон которого равны 2
см и 6 см, а угол между этими сторонами 30°. Объем пирамиды равен 3 см3.
Найдите высоту пирамиды.
7. Основание пирамиды - прямоугольник. Одно боковое ребро пирамиды
перпендикулярно плоскости основания, а прилегающие к нему образуют с
основанием углы 30° и 60°. Вычислите объем пирамиды, если ее высота равна 3
см.
8. Основанием пирамиды служит ромб с острым углом 60о. Боковые грани
наклонены к плоскости основания под углом 60о. Найти объем пирамиды, если
радиус вписанного в ромб круга равен 3 3 см.
9. Длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6
см. Вычислите объем пирамиды, если угол между апофемами смежных
боковых граней равен 60°.
10. Основанием четырехугольной пирамиды SABCD служит прямоугольник
ABCD. Точка F лежит на ребре SВ, причем FВ:SВ=2:5. Чему равно значение
25V/V1, если V1 – объем пирамиды, а V – объем верхней части пирамиды,
отсеченной плоскостью, проходящей через точки A, D и F?
Вариант 8
1. Пирамида, две грани которой подобные n-угольники, а остальные грани трапеции называется…
1) Правильной
2) Наклонной
3) Усеченной
4) Икосаэдром
2. Укажите тип пирамиды, изображенной на рисунке…
1) Неправильная; 2) Четырехугольная; 3) Усеченная; 4) Наклонная
3. Площадь равнобедренного треугольника находится по формуле…
1) S=ah, где a – основание треугольника, h – высота, проведенная к
основанию
2) S=ah/2, где a – основание треугольника, h – высота, проведенная к
основанию
3) S=a2sin
4. Чему равна высота усеченной пирамиды, если ее объем 19 см 3, а площади
основании 4 см2 и 9 см2…
1) 2; 2) 3; 3) 4
5. Точка О – центр грани A1B1C1D1 куба ABCDA1B1C1D1. Вычислите объем
пирамиды OABCD, если площадь грани куба равна 9 см2.
6. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды имеет длину 4 см и
составляет с плоскостью основания угол 60о. Найти объем пирамиды.
7. В правильной четырехугольной пирамиде радиус описанной около основания
окружности равен 3 см. Боковые ребра наклонены к основанию под углом 45°.
Найдите объем пирамиды.
8. Основание пирамиды – равнобедренный треугольник, длина основания
которого равна 6 см, высота – 9 см. Длина каждого бокового ребра равна 13 см.
Найти объем пирамиды.
9. Основанием пирамиды служит ромб со стороной 2 3 см и острым углом 60°.
Найдите объем пирамиды, если ее двугранные углы при ребрах основания
равны 45°.
10. Найти объем правильной четырехугольной усеченной пирамиды, если ее
диагональ равна 18 см, а длины сторон оснований равны 14 см и 10 см.
Вариант 9
1. Пирамида называется правильной, если…
1) Ее основанием является правильный многоугольник
2) Все грани – равные треугольники
3) Вершина проектируется в центр основания
2. Укажите тип пирамиды, изображенной на рисунке…
1) Правильная; 2) Шестиугольная; 3) Прямая; 4) Наклонная
3. Площадь треугольника по трем его сторонам находится по формуле…
1) S= p( p  a)( p  b)( p  c) , где a, b и c – стороны треугольника, p –
периметр
2) S=p(p-a)(p-b)(p-c), где a, b и c – стороны треугольника, p –
полупериметр
3) S= p( p  a)( p  b)( p  c) , где a, b и c – стороны треугольника, p –
полупериметр
4. Чему равен объем правильной четырехугольной пирамиды, если ее высота 6
см, а сторона основания 2 см…
1) 12
2) 8
3) 6
5. Длина диагонали основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4
2 см, а высота пирамиды – 3 см. Вычислите объем пирамиды.
6. Основанием треугольной пирамиды служит прямоугольный треугольник с
гипотенузой длиной 8 см и острым углом 45 о. Найти объем пирамиды, если ее
высота равна 3 см.
7. Вычислите площадь диагонального сечения правильной четырехугольной
пирамиды, если ее объем равен 24 см3, а длина стороны основания равна 3 2
см.
8. Найти объем правильного тетраэдра с ребром 3 2 см.
9. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, у которой боковое ребро
наклонено под углом 30° и удалено от середины противолежащей стороны
основания на расстояние 3 см.
10. Основаниями усеченной пирамиды служат равнобедренные треугольники с
углом 60о при вершине. Высоты треугольников равны 3 см и 4 см. Найти объем
усеченной пирамиды, если ее высота равна 15 3 см.
Вариант 10
1. Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на основание,
называется…
1) Высотой основания
2) Медианой
3) Высотой пирамиды
4) Биссектрисой
2. Укажите тип пирамиды, изображенной на рисунке…
1) Четырехугольная; 2) Правильная; 3) Треугольная; 4) Наклонная
3. Объем произвольно пирамиды равен…
1) произведению площади основания на высоту
2) одной третьей произведения площади основания на высоту
3) одной третьей площади перпендикулярного сечения на боковое ребро
4. У двух пирамид равные основания. Чему равна высота второй пирамиды,
если ее объем в два раза больше объема первой, а высота первой пирамиды 6
см…
1) 3; 2) 6; 3) 12
5. Найдите сторону основания правильной четырехугольной пирамиды, если ее
объем равен 16 см3, а высота 3 см.
6. Объем пирамиды равен 120 см3. Через середину высоты проведена
плоскость, параллельная основанию. Найти объем полученной усеченной
пирамиды.
7. Длины сторон оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды
равны 2 см и 10 см, а длина бокового ребра - 41 см. Вычислите объем
пирамиды.
8. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 171 см3. Найти объем
другой правильной четырехугольной пирамиды, у которой сторона основания в
3 раза меньше, а высота равна высоте данной пирамиды.
9. В пирамиде боковые ребра взаимно перпендикулярны и равны 6 см, 8 см и 10
см. Вычислите объем пирамиды.
10. Основанием четырехугольной пирамиды является прямоугольник с
диагональю длиной 2 3 см и углом 60о между диагоналями. Каждое из
боковых ребер образует с плоскостью основания угол 45о. Найти объем
пирамиды.
Ответы
Вариант
1
Вариант
2
Вариант
3
Вариант
4
Вариант
5
Вариант
6
Вариант
7
Вариант
8
Вариант
9
Вариант
10
1
1
2
3
2
3
2
2
3
3
3
2
3
2
2
3
4
2
4
3
2
1
3
2
2
3
1
2
1
1
2
3
2
4
1
2
2
3
2
2
1
2
2
3
5
16
6
3
12
32
3
12
9
16
16
6
2
52
3
3
9
2
3
6
16
105
7
48
384
6
48
24
28
9
18
12
122
8
3
48
8
18
109
37
8
108
9
19
9
64
1152
4
36
3
8
108
6
16
80
10
1
18
5
65
6
342
12
872
185
3