Математический и естественнонаучный цикл

Математический и естественнонаучный цикл









Формируемые компетенции: ОК9,10,12,14, ПК10,11,14
Общекультурные компетенции (ОК):
стремлением к саморазвитию, повышению своей квалификации и мастерства (ОК-9);
осознать социальную значимость своей будущей профессии, обладать высокой мотивацией
к выполнению профессиональной деятельности (ОК-10);
использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной
деятельности, применять методы математического анализа и моделирования,
теоретического и экспериментального исследования (ОК-12);
способностью оформлять, представлять и докладывать результаты выполненной работы
(ОК-14);
профессиональные компетенции (ПК):
осознать социальную значимость своей будущей профессии, обладать высокой мотивацией
к выполнению профессиональной деятельности (ОК-10);
знать основные положения, законы и методы естественных наук; способностью выявить
естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной
деятельности, готовностью использовать
для
их
решения соответствующий
естественнонаучный аппарат (ПК-11);
готовностью применять математический аппарат для решения поставленных задач,
способностью применить соответствующую процессу математическую модель и проверить
ее адекватность (ПК-12);
готовностью применять знания и навыки управления информацией (ПК-13);
способностью самостоятельно изучать новые разделы фундаментальных наук (ПК-14).
Базовая часть
1. Математический анализ
Дисциплина реализуется на ФММиПУ ТОГУ кафедрой Прикладная математика.
Содержание дисциплины:
Действительные числа. Последовательности и их пределы. Метод математической
индукции. Бином Ньютона. Число е. Бесконечно большие последовательности; их связь с
бесконечно малыми.)
Пределы и непрерывность функций. Односторонние пределы и односторонняя
непрерывность. Классификация точек разрыва. Пределы на бесконечности. Предел сложной
функции. Фундаментальные последовательности. Полнота числовой прямой. Верхняя и нижняя
грани числового множества. Функции, непрерывные на промежутках. Теорема Коши о
промежуточном значении. Теорема о непрерывной обратной функции. Непрерывность
элементарных функций. Теоремы Вейерштрасса о функциях, непрерывных на отрезке.
Равномерная непрерывность. Параметрическое задание кривых на плоскости и функций.
Производная и дифференциал. Определение производной, ее геометрический и
механический смысл. Формула для приращения дифференцируемой функции. Производная
сложной функции, обратной функции. Дифференцирование параметрически заданных функций.
Односторонние
производные.
Бесконечная
производная.
Дифференцирование
комплекснозначных функций. Дифференциал функции. Производные высших порядков.
Дифференциалы высших порядков.
Основные теоремы дифференциального исчисления. Исследование функций при
помощи производных. Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Теорема Коши.
Правила Лопиталя. Многочлен Тейлора. Асимптоты графика функции. Использование
формулы Тейлора в приближенных вычислениях. Интерполяционный многочлен.
Приближенное решение уравнений.
Неопределенный интеграл. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных
и тригонометрических функций.
Определенный интеграл. Формулировка и геометрический смысл критерия
интегрируемости. Интегрирование неравенств. Геометрические и механические приложения.
Приближенное вычисление.
Числовые ряды. Теоремы сравнения. Признак Даламбера и радикальный признак Коши.
Абсолютная
и
условная
сходимость.
Признак
Лейбница.
Фундаментальные
последовательности. Критерий Коши сходимости ряда.
Несобственные интегралы. Интегральный признак Коши. Признаки сходимости Абеля
и Дирихле.
Функции многих переменных. Предел. Непрерывность. Частные производные 1-го и
высших порядков. Дифференцируемые функции. Касательная плоскость и нормаль к
поверхности. Дифференциалы 1-го и высших порядков. Производная по направлению.
Градиент. Формула Тейлора. Экстремумы функции нескольких переменных. Выпуклые
множества. Выпуклые функции. Непрерывные отображения. Дифференцируемые
отображения. Матрица Якоби. Теоремы о неявной функции. Геометрические приложения.
Теорема об обратном отображении. Криволинейные координаты. Условный экстремум.
Функциональные
последовательности
и
ряды.
Равномерно
сходящиеся
функциональные последовательности и ряды, их свойства. Степенные ряды.
Дифференцирование и интегрирование степенных рядов. Ряд Тейлора и условие его сходимости к исходной функции. Ряды Тейлора элементарных функций.
Ряды Фурье. Неравенство Бесселя и его следствия. Сходимость в среднем ряда Фурье
кусочно-непрерывной функции; равенство Парсеваля. Теоремы Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных функций.
Интегралы, зависящие от параметра. Несобственные интегралы, зависящие от
параметра.
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля.
Геометрические и механические приложения двойных и тройных интегралов. Полярные,
цилиндрические и сферические координаты. Геометрический смысл модуля якобиана.
Выражение для работы переменной силы вдоль криволинейного пути. Потенциальное
векторное поле. Формула Грина. Гладкие и кусочно-гладкие поверхности. Ориентируемые
поверхности. Поток векторного поля через ориентированную поверхность. Формула ГауссаОстроградского. Дивергенция. Ротор. Оператор "набла". Дифференциальные операции
второго порядка в векторном анализе. Формула Стокса.
Дисциплина нацелена на формирование общекультурных компетенций ОК9,10,12,14, ,
профессиональных компетенций ПК10,11,14 выпускника.
Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации
учебного процесса: (лекции,, практические занятия, коллоквиумы, самостоятельная
работа студента, консультации).
Программой дисциплины предусмотрены следующие виды контроля: текущий
контроль успеваемости в форме РГР, рубежный контроль в форме экзамен и
промежуточный контроль в форме экзамен.
Общая трудоемкость освоения дисциплины составляет 16 зачетных единиц,468
часов.
2. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Дисциплина реализуется на ФММиПУ ТОГУ кафедрой Прикладная математика.
Содержание дисциплины:
Алгебра матриц. Свойства основных операций над матрицами.
преобразования матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду.
Элементарные
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛУ). Классификация СЛУ. Свойства
решений СЛУ. Ранг матрицы. Линейное пространство Rn
Определители. Перестановки. Подстановки. Основные свойства определителей. Обратная
матрица и способы ее нахождения.
Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы
комплексного числа. Операции над комплексными числами.
Векторная алгебра. Векторы на прямой, на плоскости и в пространстве. Определение и
свойства скалярного произведения векторов. Смешанное и векторное произведения векторов
в пространстве. Примеры применения векторной алгебры в геометрии, механике и физике.
Аналитическая геометрия прямых на плоскости и плоскостей и прямых в
пространстве.
Эллипс, гипербола и парабола (коники).
Поверхности второго порядка (квадрики).
Многочлены и рациональные дроби. Делимость многочленов.Корни многочленов.
Теорема Безу. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Эрмита.
Линейные пространства. Бесконечномерные и конечномерные линейные пространства.
Теорема об изоморфизме конечномерных ЛП.
Линейные отображения линейных пространств. Линейные операторы. Собственные
значения и собственные векторы линейных операторов. Характеристический многочлен
матрицы и линейного оператора. Достаточные условия и критерий диагонализируемости
линейного оператора. Теорема о существовании жорданова базиса линейного оператора.
(Построение жорданова базиса.) Функции от матриц и от операторов.
Линейные, билинейные и квадратичные функционалы (формы). Закон инерции для
квадратичных форм. Знакоопределенные квадратичные формы, необходимые признаки
знакоопределенности. Критерий Сильвестра.
Евклидовы и унитарные пространства. Неравенство Коши – Буняковского. Матрица
Грамма. Теорема об изоморфизме конечномерных евклидовых и унитарных пространств.
Задача о наилучшем приближении. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Метод
наименьших квадратов. Примеры задач линейной алгебры и теории приближений, решаемых
этим методом.
Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Сопряженный
оператор. Эрмитовы операторы и эрмитовы матрицы. Унитарные операторы и унитарные
матрицы. Самосопряженные операторы и симметрические матрицы. Ортогональные
операторы. Ортогональные матрицы.
Билинейные и квадратичные формы в евклидовых пространствах.
Теорема о
приведении квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.
Теорема о метрической классификации гиперповерхностей второго порядка.
Элементы тензорной алгебры. Действия над тензорами. Тензоры в евклидовом
пространстве. Примеры тензоров, возникающих в динамике и теории упругости.
Дисциплина нацелена на формирование общекультурных компетенций ОК9,10,12,14, ,
профессиональных компетенций ПК10,11,14 выпускника.
Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации
учебного процесса: (лекции,, практические занятия, коллоквиумы, самостоятельная
работа студента, консультации).
Программой дисциплины предусмотрены следующие виды контроля: текущий
контроль успеваемости в форме РГР, рубежный контроль в форме экзамен и
промежуточный контроль в форме экзамен.
Общая трудоемкость освоения дисциплины составляет 10 зачетных единиц,288
часов.
3. Теория функций комплексного переменного
Дисциплина реализуется на ФММиПУ ТОГУ кафедрой Прикладная математика.
Содержание дисциплины:
Действия над комплексными числами и простейшие функции комплексного
переменного. Арифметические действия над комплексными числами, натуральная степень
комплексного числа, экспонента и дробно-линейная функция. Регулярные функции и
интегралы по кривым на комплексной плоскости.
Ряды Тейлора и Лорана. Изолированные особые точки. Вычисление интегралов
при помощи вычетов.
Операционное исчисление. Преобразование Лапласа, формула обращения
преобразования Лапласа. Элементарные теоремы операционного исчисления, применение
операционного исчисления к решению линейных уравнений и систем с постоянными
коэффициентами и специальной правой частью.
Аналитическое продолжение.
Логарифмический вычет, принцип аргумента, теорема Руше.
Дисциплина нацелена на формирование общекультурных компетенций ОК9,10,12,14, ,
профессиональных компетенций ПК10,11,14 выпускника.
Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации
учебного процесса: (лекции,, практические занятия, коллоквиумы, самостоятельная
работа студента, консультации).
Программой дисциплины предусмотрены следующие виды контроля: текущий
контроль успеваемости в форме РГР, рубежный контроль в форме экзамен и
промежуточный контроль в форме экзамен.
Общая трудоемкость освоения дисциплины составляет 4 зачетных единиц, 108
часов.
4. Комбинаторика и теория графов
Дисциплина реализуется на ФММиПУ ТОГУ кафедрой Прикладная математика.
Содержание дисциплины:
Принципы перечисления. Основные теоретико-множественные понятия. Правило
суммы и произведения. Сочетания и перестановки с повторениями и без повторений.
Биномиальные коэффициенты.
Биномиальная и полиномиальная формулы.
Треугольник Паскаля. Свойства биномиальных коэффициентов. Тождества, содержащие
биномиальные коэффициенты.
Производящие функции.
Операционное исчисление для последовательностей.
Производящие функции стандартных последовательностей. Линейные рекуррентные
соотношения и их решение методом производящих функций.
Принцип включения-исключения. Варианты формулы включения-исключения и их
применение к конкретным задачам комбинаторики (задача о беспорядках, подсчет числа
инъективных отображений).
Разбиения. Упорядоченные и неупорядоченные разбиения, и их производящие функции.
Графы Ферре разбиений. Пентогональная теорема Эйлера (формулировка).
Основные характеристики графов. Матрицы смежности и инциденций. Изоморфизм
графов. Маршруты на графе, подсчет числа маршрутов. Число компонент и число независимых
циклов.
Эйлеровы и гамильтоновы графы. Условие существования эйлерова цикла. Теорема
Дирака о гамильтоновых графах. Применение специальных циклов при конструировании и
тестировании сложных систем.
Деревья. Остовные деревья и построение базиса системы циклов графа.
Раскраска графов. Оценки хроматического числа графа. Построение хроматического
многочлена. Применение раскрашенных графов к задаче составления расписаний.
Дисциплина нацелена на формирование общекультурных компетенций ОК9,10,12,14, ,
профессиональных компетенций ПК10,11,14 выпускника.
Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации
учебного процесса: (лекции,, практические занятия,, самостоятельная работа
студента, консультации).
Программой дисциплины предусмотрены следующие виды контроля: текущий
контроль успеваемости в форме РГР, рубежный контроль в форме зачет.
Общая трудоемкость освоения дисциплины составляет 3 зачетных единиц, 108
часов.
5. Математическая логика
Дисциплина реализуется на ФММиПУ ТОГУ кафедрой Прикладная математика.
Содержание дисциплины:
Классическая логика, ее предмет и аппарат. Предмет логики, логика и язык. Знак, его
предмет и смысл. Язык как знаковая система. Понятие. Суждение и высказывание. Разделение
высказываний на истинные и ложные: возможность альтернативных точек зрения и, как
следствие, иных неклассических логик. Умозаключения и рассуждения, правильные и
неправильные рассуждения. Различные уровни анализа высказывании: представление о логике
высказываний и логических предикатов.
Математика как дедуктивная наука. Теория множеств и ее парадоксы.
Доказательства в дотеоретикомножественной математике. Представление об евклидовом
аксиоматическом методе. Основные понятия теории множеств. Операции над множествами, их
изображение с помощью диаграмм Венна. Взаимно-однозначное соответствие; эквивалентность
и мощность множеств. Счетные и несчетные множества. Теорема Кантора; существование
множеств сколь угодно больший мощностей. Парадоксы теории множеств - сигнал к анализу
логического аппарата математики.
Возникновение современной математической логики и ее прикладные аспекты.
Логика высказываний. Логические связки и соответствующие им таблицы истинности.
Высказывательные формы («Высказывания с переменными») и соответствующие им булевы
функции. Язык логики высказываний.
Интерпретации логических формул. Логические законы и логическое следование.
Общезначимые (тавтологии) и выполнимые логические формулы. Совместные множества
логических формул. Эффективная распознаваемость этих свойств.
Важнейшие логические законы. Примеры правильных (и неправильных) схем
умозаключений. Полные системы булевых функций. Примеры неполных систем.
Проблема эффективного распознавания полноты конечных систем булевых функций.
Невозможность ее решения «по определению». Теорема Поста о полноте как инструмент
эффективного распознавания полноты.
Общее представление о формальном исчислении и классическое исчисление
высказываний. Язык, аксиомы и правила вывода формального исчисления. Формальный
вывод и выводимые формулы. Общие свойства формальных выводов. Логические исчисления.
Классическое исчисление высказываний (ИВ), примеры выводов в нем. Производные правила
вывода. Правило одновременной подстановки.
Использование гипотез в математических рассуждениях. Формальный вывод из гипотез.
Теорема дедукции и ее применения. Разрешимые исчисления. Интерпретации формул ИВ.
Критерий выводимости для ИВ. Разрешимость и непротиворечивость ИВ.
Логика и исчисление предикатов. Декартово произведение множеств и декартова
степень. Определения n-местного предиката и его множества истинности.
Операции над предикатами: логические связки и кванторы. Свободные и связанные
переменные (их вхождение в формулы) Преобразование множеств истинности предикатов под
действием логических связок и квантеров. Вынесение квантеров из-под отрицания и взаимная
выразимость квантеров. Язык логики (исчисления) предикатов 1-го порядка. Термы и формулы.
Интерпретации формул. Выполнимые и общезначимые формулы. Общезначимость
подстановок в пропозициональные тавтологии; иные общезначимые формулы.Формулировка
исчисления предикатов 1-го порядка. Примеры выводов в нем. Критерий выводимости для
исчисления предикатов. Непротиворечивость исчисления предикатов.
Дисциплина нацелена на формирование общекультурных компетенций ОК9,10,12,14, ,
профессиональных компетенций ПК10,11,14 выпускника.
Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации
учебного процесса: (лекции,, практические занятия, коллоквиумы, самостоятельная
работа студента, консультации).
Программой дисциплины предусмотрены следующие виды контроля: текущий
контроль успеваемости в форме опросов, рубежный контроль в форме зачет
Общая трудоемкость освоения дисциплины составляет 3 зачетных единиц, 108
часов.
6. Дифференциальные уравнения
Дисциплина реализуется на ФММиПУ ТОГУ кафедрой Прикладная математика.
Содержание дисциплины:
Задача Коши для нормального уравнения 1-го порядка, типы уравнений,
решаемых в квадратурах. Интегральные кривые. Уравнения с разделяющимися переменными,
с однородной правой частью, линейные, в полных дифференциалах.
Уравнения, не разрешенные относительно старшей производной, понижение
порядка.
Теоремы Коши и Коши-Липшица. Непродолжаемые решения. Существование и
единственность, теорема о выходе графика из компакта, признак отсутствия решений со
взрывом.
Линейные уравнения порядка n. Пространство решений однородного уравнения,
фундаментальная система решений. Вронскиан и его свойства. Построение фундаментальной
системы решений в случае постоянных коэффициентов, неоднородное уравнение: его общее
решение, метод вариации постоянных и ядро Коши.
Нормальные линейные системы 1-го порядка. Однородная система, пространство ее
решений, фундаментальная матрица, теорема о приведении матрицы к жордановой форме,
матричная экспонента, неоднородная система, ее общее решение, метод вариации
произвольных постоянных, матрица Коши.
Автономные нормальные системы 1-го порядка. Устойчивость, асимптотическая
устойчивость и неустойчивость положения равновесия, теорема Ляпунова об асимптотической
устойчивости.
Дисциплина нацелена на формирование общекультурных компетенций ОК9,10,12,14, ,
профессиональных компетенций ПК10,11,14 выпускника.
Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации
учебного процесса: (лекции,, практические занятия, коллоквиумы, самостоятельная
работа студента, консультации, курсовая работа).
Программой дисциплины предусмотрены следующие виды контроля: текущий
контроль успеваемости в форме курсовой работы, рубежный контроль в форме экзамена
Общая трудоемкость освоения дисциплины составляет 5к зачетных единиц, 144
часа.
7. Теория вероятностей и математическая статистика
Дисциплина реализуется на ФММиПУ ТОГУ кафедрой Прикладная математика.
Содержание дисциплины:
Элементарная теория вероятностей. Основные понятия и теоремы. Статистической
определение вероятности. Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторного
анализа. Вероятностное пространство. Аксиоматика Колмогорова. Условные вероятности.
Формула полной вероятности. Формула Байеса. Испытания Бернулли.
Математические основы теории вероятностей. Дискретные случайные величины.
Функция распределения. Числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсия,
ковариация и коэффициент корреляции. Основные абсолютно непрерывные распределения.
Характеристические функции и их основные свойства. Предельные теоремы теории
вероятностей. Виды сходимости случайных величин.
Многомерные распределения. Дискретные и абсолютно непрерывные многомерные
распределения. Многомерный нормальный закон распределения. Распределения функций от
случайных величин. Формула свертки.
Дискретные цепи Маркова. Понятие случайного процесса. Процессы с независимыми
приращениями. Марковские процессы. Конечные цепи Маркова. Счетные цепи Маркова.
Основные задачи и понятия выборочной теории. Задачи математической статистики.
Выборка. Вариационный ряд выборки. Порядковые статистики. Эмпирическая функция
распределения. Выборочные харастеристики.
Точечное и интервальное оценивание неизвестных параметров распределения.
Точечные оценки неизвестных параметров распределения и параметрических функций.
Состоятельность, несмещенность. Понятие оптимальной оценки. Эффективные оценки.
Методы построения оценок. Метод моментов. Метод максимального
правдоподобия.
Условные математические ожидания. Формула полного математического ожидания. Условные
распределения. Регрессия. Достаточные статистики. Центральная статистика. Построение
доверительных интервалов с помощью центральных статистик.
Проверка статистических гипотез. Статистические гипотезы и статистического
критерия. Критерии согласия.
Корреляционный анализ
Дисперсионный анализ
Дисциплина нацелена на формирование общекультурных компетенций ОК9,10,12,14, ,
профессиональных компетенций ПК10,11,14 выпускника.
Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации
учебного процесса: (лекции, лабораторные работы, практические занятия,
коллоквиумы, самостоятельная работа студента, консультации, РГР, курсовая
работа).
Программой дисциплины предусмотрены следующие виды контроля: текущий
контроль успеваемости в форме курсовой работы, рубежный контроль в форме
экзамена, зачета
Общая трудоемкость освоения дисциплины составляет 7 зачетных единиц, 216
часов.
8. Уравнения математической физики
Дисциплина реализуется на ФММиПУ ТОГУ кафедрой Прикладная математика.
Содержание дисциплины:
Уравнения с частными производными первого порядка. Решение линейных
уравнений в частных производных первого порядка методом характеристик. Уравнение
Лиувилля и система Гамильтона. Стационарные решения уравнения Лиувилля. Уравнение
переноса и его решение методом характеристик.
Уравнения
диффузии
(теплопроводности).
Вывод
уравнения
диффузии
(теплопроводности), а также задачи Коши и краевой задачи для него. Принцип максимума и его
следствия. Метод разделения переменных для уравнения теплопроводности. Функции Бесселя.
Поведение решения задачи Коши на больших временах.
Фундаментальное решение (функция Грина) и обобщенные функции. Общее
понятие фундаментального решения и его физический смысл. Регулярные и обобщенные
функции. Производные обобщенных функций. Преобразование Фурье обобщенных функций.
Свойства  - функции. Фундаментальное решение задачи Коши для уравнения
теплопроводности.
Уравнение Шредингера. Фундаментальное решение задачи Коши для свободного
уравнения Шредингера. Представление решения общей задачи Коши с помощью разложения по
собственным функциям. Решение задачи Коши для одномерного гармонического осциллятора.
Волновое уравнение. Вывод волнового уравнения из уравнений колебаний
кристаллической решетки. Формула Даламбера на оси. Решение волнового уравнения на
полуоси с краевыми условиями I , II и III рода. Решение задачи Коши для волнового
уравнения в трехмерном и двумерном (метод спуска) пространствах.
Уравнения Лапласа и Гельмгольца. Фундаментальное решение уравнения
Гельмгольца в трехмерном пространстве. Условие излучения, формула Кирхгофа. Решение
уравнения Гельмгольца в полупространстве. Уравнение Пуассона в трехмерном и двумерном
пространствах. Ньютонов потенциал. Решение краевых задач для уравнения Лапласа с
помощью функции Грина. Задача Дирихле для полупространства и круга.
Дисциплина нацелена на формирование общекультурных компетенций
профессиональных компетенций ПК10,11,14 выпускника.
ОК9,10,12,14,
,
Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации
учебного процесса: (лекции, лабораторные работы, практические занятия,
коллоквиумы, самостоятельная работа студента, консультации, курсовая работа).
Программой дисциплины предусмотрены следующие виды контроля: текущий
контроль успеваемости в форме курсовой работы, рубежный контроль в форме
экзамена.
Общая трудоемкость освоения дисциплины составляет 5 зачетных единиц, 144
часов.
9. Методы оптимизации
Дисциплина реализуется на ФММиПУ ТОГУ кафедрой Прикладная математика.
Содержание дисциплины:
Экстремальные задачи и методы их решения. Классификация задач и методов
оптимизации. Примеры задач оптимизации. Общая схема решения задач оптимизации.
Методы решения экстремальных задач. Методы одномерной минимизации нулевого
порядка. Интерполяционный многочлен Лагранжа и процедура интерполяции с кратными
узлами. Методы квадратичной и кубической аппроксимации. Методы одномерной глобальной
оптимизации. Стандартные программы.
Элементы выпуклого анализа. Метод Лагранжа с выпуклой целевой функцией.
Теорема Куна-Таккера и ее приложения. Достаточные условия условного минимума.
Вариационные методы. Задача Лагранжа. Простейшая задача классического
вариационного исчисления. Задача Больца. Изопериметрическая задача. Задача со старшими
производными. Уравнение Эйлера-Пуассона.
Численные методы математического программирования. Метод Ньютона и
Левенберга-Маркварда для решения нелинейной задачи наименьших квадратов. Стандартные
программы алгоритмов. Методы штрафных и барьерных функций и способы ускорения их
сходимости. Симплекс метод. Линейное программирование.
Дисциплина нацелена на формирование общекультурных компетенций ОК9,10,12,14, ,
профессиональных компетенций ПК10,11,14 выпускника.
Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации
учебного процесса: (лекции, лабораторные работы, самостоятельная работа
студента, консультации).
Программой дисциплины предусмотрены следующие виды контроля: текущий
контроль успеваемости в форме отчетов по л.р., рубежный контроль в форме экзамена.
Общая трудоемкость освоения дисциплины составляет 5 зачетных единиц, 144
часов.
10. Физика
Дисциплина реализуется на ФММиПУ ТОГУ кафедрой Физика..
Содержание дисциплины:
Физические основы механики. Классическая механика, состояние и уравнения
движения, законы сохранения; кинематика и динамика твердого тела, жидкостей и газов,
релятивистская механика, принцип относительности.
Физика колебаний и волн. Гармонический и ангармонический осциллятор, кинематика
волновых процессов. Интерференция и дифракция.
Молекулярная физика и термодинамика. Статистическая физика и термодинамика,
фазовые превращения.
Электричество и
магнетизм.
Электростатика и электродинамика. Уравнения
Максвелла. Оптика. Волновая оптика.
Квантовая физика. Принцип неопределенности, квантовые операторы и уравнения.
Дисциплина нацелена на формирование общекультурных компетенций ОК9,10,12,14, ,
профессиональных компетенций ПК10,11,14 выпускника.
Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации
учебного процесса: (лекции, лабораторные работы, коллоквиумы, самостоятельная
работа студента, консультации).
Программой дисциплины предусмотрены следующие виды контроля: текущий
контроль успеваемости в форме отчетов по л/р, рубежный контроль в форме экзамена.
Общая трудоемкость освоения дисциплины составляет 8 зачетных единиц, 216
часов.
Вариативная часть
1. Алгоритмы дискретной математики
Дисциплина реализуется на ФММиПУ ТОГУ кафедрой Прикладная математика.
Содержание дисциплины:
Понятие алгоритма, основные требования, предъявляемые к алгоритму.
Вычислимые функции. Примитивно рекурсивные, частично рекурсивные и
общерекурсивные функции.
Машина Тьюринга. Конфигурация машины Тьюринга. Композиция машин Тьюринга.
Тезис Тьюринга.
Нормальные алгоритмы Маркова.
Неразрешимые алгоритмические проблемы.
Языки. Порождающие грамматики. Классификация грамматик и языков.
Конечные автоматы. Детерминизация и минимизация конечных автоматов.
Некоторые алгоритмы на графах. Алгоритм Прима и алгоритм Крускала нахождения
дерева покрытия графа минимального веса.
Алгоритм Дейкстры для нахождения кратчайшего пути между двумя заданными
вершинами.
Сети и потоки в сетях. Алгоритм Форда – Фалкерсона нахождения максимального
потока в сети.
Задача планирования. Алгоритм нахождения критического пути в сети.
Дисциплина нацелена на формирование общекультурных компетенций ОК9,10,12,14, ,
профессиональных компетенций ПК10,11,14 выпускника.
Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации
учебного процесса: (лекции, лабораторные работы, самостоятельная работа
студента, консультации).
Программой дисциплины предусмотрены следующие виды контроля: текущий
контроль успеваемости в форме отчетов по л/р, рубежный контроль в форме зачета.
Общая трудоемкость освоения дисциплины составляет 2 зачетных единиц, 72
часов.
2. Функциональный анализ
Дисциплина реализуется на ФММиПУ ТОГУ кафедрой Прикладная математика.
Содержание дисциплины:
Метрические пространства. Примеры. Непрерывные отображения метрических
пространств. Сходимость в метрических пространствах. Открытые и замкнутые множества,
предельные точки, сепарабельность. Полнота в метрических пространствах. Примеры. Теорема
о пополнении
Принцип
сжимающих
отображений.
Его
применения к
алгебраическим,
дифференциальным и интегральным уравнениям.
Компактные множества в метрических пространствах. Непрерывные отображения
компактных множеств. Критерии Хаусдорфа. Примеры.
Линейные нормированные пространства. Связь с метрическими пространствами.
Выпуклые множества в нормированных пространствах.
Линейные операторы в нормированных пространствах. Непрерывность и
ограниченность. Норма. Пространство его полнота. Алгебра операторов
Компактность в нормированных пространствах. Лемма Рисса и теорема Арцела.
Конечномерные пространства. Компактность
Обратные операторы. Линейность обратного оператора. Теорема Банаха о
гомеоморфизме (без доказательства). Теорема Банаха об обратимости I+A и обобщенная
теорема Банаха.
Линейные функционалы в нормированных пространствах. Примеры. Сопряженное
пространство, его полнота. Теорема Хана-Банаха и ее следствия
Евклидовы и гильбертовы пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Теорема об
ортогональном разложении. Равенство Парсеваля. Ортогональные системы, их полнота и
замкнутость. Ряды Фурье в гильбертовых пространствах
Спектр и резольвента линейного оператора. Открытость множества регулярных точек
Дисциплина нацелена на формирование общекультурных компетенций ОК9,10,12,14, ,
профессиональных компетенций ПК10,11,14 выпускника.
Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации
учебного процесса: (лекции, практические занятия, самостоятельная работа
студента, консультации).
Программой дисциплины предусмотрены следующие виды контроля: текущий
контроль успеваемости в форме опросов, рубежный контроль в форме экзамена.
Общая трудоемкость освоения дисциплины составляет 6 зачетных единиц, 180
часов.
3. Нелинейные уравнения математической физики
Дисциплина реализуется на ФММиПУ ТОГУ кафедрой Прикладная математика.
Содержание дисциплины:
Квазилинейные уравнения в частных производных. Система уравнений Коши-Ковалевской.
Нелинейные гиперболические уравнения второго порядка.
Нелинейное эллиптическое уравнения второго порядка.
Построение точных решений одного класса квазилинейных уравнений в частной производной
первого порядка.
Некоторые частные случаи гамильтониана.
Уравнения Лиувиля и синус-уравнение Гордона.
Нелинейные уравнения параболического типа
Дисциплина нацелена на формирование общекультурных компетенций ОК9,10,12,14, ,
профессиональных компетенций ПК10,11,14 выпускника.
Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации
учебного процесса: (лекции, практические занятия, самостоятельная работа
студента, консультации).
Программой дисциплины предусмотрены следующие виды контроля: текущий
контроль успеваемости в форме опросов, рубежный контроль в форме зачет
Общая трудоемкость освоения дисциплины составляет 3 зачетных единиц, 108
часов.
4. Теория случайных процессов и основы теории массового
обслуживания
Дисциплина реализуется на ФММиПУ ТОГУ кафедрой Прикладная математика.
Содержание дисциплины:
Определение случайного процесса. Свойство конечномерных распределений процесса.
Условие согласованности. Теорема Колмогорова о согласованности распределениях. Основная
классификация случайных процессов. Ковариационная и корреляционная функции
комплекснозначного случайного процесса.
Стационарные процессы в узком и широком смысле. Непрерывность и
дифференцируемость в среднеквадратичном. Связь этих свойств с дифференцируемостью
корреляционной функции. Теорема Бохнера-Хинчина для стационарных процессов.
Спектральная функция и спектральная плотность
Однородные цепи Маркова. Переходные вероятности. Уравнения Колмогорова-Чепмена.
Простейшая классификация состояний цепи Маркова. Эргодические классы состояний.
Непроводимая цепь Маркова. Стационарное распределение цепи Маркова, система уравнений
для вычисления стационарного распределения. Однородная эргодическая цепь Маркова.
Эргодическое (финальное) распределение. Связь эргодического и стационарного
распределений. Эргодическая теорема для конечных цепей Маркова.
Марковский однородный процесс с непрерывным временем и дискретным множеством
состояний. Переходные вероятностные функции. Уравнения Колмогорова-Чепмена.
Стохастическая
непрерывность.
Интенсивности
переходов.
Непрерывность
и
дифференцируемость переходных вероятностных функций. Системы прямых и обратных
дифференциальных уравнения Колмогорова. Решение систем уравнений Колмогорова для
марковского
процесса
с
конечным
множеством
состояний,
их
бесконечная
дифференцируемость. Стационарное распределение и система уравнений для его отыскания.
Случайный пуассоновский процесс, его среднее и корреляционная функция. Марковость,
однородность и стохастическая непрерывность. Инфинитезимальная матрица. Теорема
Хинчина для пуассоновского процесса. Простейший поток однородных событий, его связь с
пуассоновским процессом. Распределение интервалов между моментами смены состояний
пуассоновского процесса.
Винеровский случайный процесс. Броуновское движение. Стандартный винеровский
процесс. Марковость, однородность и стохастическая непрерывность. Корреляционная
функция. Непрерывность и недифференцируемость траекторий. Принцип отражения.
Распределение основных функционалов стандартного винеровского процесса: момента первого
достижения заданного уровня; максимума траектории на отрезке; первого момента достижения
максимума
Гильбертово пространство случайных величин с конечным вторым моментом.
Непрерывность и дифференцируемость случайных процессов в среднеквадратичном.
Производная случайного процесса. Интегрирование случайных процессов по неслучайной мере.
Интегрирование неслучайных функций по элементарной стохастической мере. Каноническое
стохастическое интегральное представление случайных процессов. Интегрирование случайных
процессов по ортогональной стохастической мере (стохастический интеграл). Стохастический
интеграл Ито. Стохастический дифференциал. Формула Ито. Понятие о стохастическом
дифференциальном уравнении.
Задача фильтрации случайного процесса. Шум. Схемы фильтрации. Оценки
фильтрируемого процесса. Фильтр. Схема фильтрации Калмана-Бьюси. Наилучшая линейная
фильтрация в схеме Калмана-Бьюси.
Характеристики потоков заявок и показатели эффективности элементов систем массового
обслуживания.Характеристики потоков заявок и показатели эффективности элементов СМО.
Простейший поток и его свойства Потоки Пальма Потоки Эрланга Длительность обслуживания заявок в элементах СМО и поток их освобождений.
Системы массового обслуживания с бесприоритетным обслуживанием заявок. Понятие о
марковском случайном процессе. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний
марковских систем с непрерывным временем и дискретными состояниями. Процесс гибели и
размножения. Формула Литтла. Одноканальная система массового обслуживания с отказами.
Многоканальная система массового обслуживания с отказами. Принципы обслуживания в СМО
потоков заявок с ожиданиями. Одноканальная система массового обслуживания с
неограниченной очередью заявок, ожидающих обслуживания. Многоканальная система
массового обслуживания с ожиданием и ограниченным накопителем очереди. Многоканальная
система массового обслуживания с ожиданием и неограниченным накопителем очереди.
Многоканальная система массового обслуживания с не-ограниченным накопителем очереди и
ограниченным временем ожидания. Многоканальная система массового обслуживания с
ограниченным накопителем очереди и ограниченным временем ожидания. Системы массового
обслуживания с ограниченным числом источников заявок и неограниченной очередью.
Системы массового обслуживания с огра-ниченным числом источников заявок и отказами
обслуживания.
Системы массового обслуживания с приоритетным обслуживанием заявок. Принципы
обслуживания в СМО разноприоритетных заявок. Закон сохранения в системах массового
обслуживания с приоритетами. Среднее время ожидания в системах массового обслуживания с
приоритетами. Среднее время ожидания в системах массового обслуживания с
фиксированными относительными приоритетами. Среднее время обслуживания в системах
массового обслуживания с абсолютными фиксированными приоритета-ми. Среднее время
ожидания в одноканальных системах массового обслуживания с линейно изменяющимися
относительными приоритетами. Среднее время ожидания в одноканальных системах массового
обслуживания с не линейно изменяющимися относительными приоритетами.
Дисциплина нацелена на формирование общекультурных компетенций ОК9,10,12,14, ,
профессиональных компетенций ПК10,11,14 выпускника.
Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации
учебного процесса: (лекции, практические занятия, лабораторные работы,
самостоятельная работа студента, консультации).
Программой дисциплины предусмотрены следующие виды контроля: текущий
контроль успеваемости в форме опросов, рубежный контроль в форме зачет
Общая трудоемкость освоения дисциплины составляет 5 зачетных единиц, 144
часа.
Дисциплины по выбору студента:
1. Теория функции действительной переменной
Дисциплина реализуется на ФММиПУ ТОГУ кафедрой Прикладная математика.
Содержание дисциплины:
Измеримые по Лебегу подмножества числовой прямой. Измеримые функции.
Последовательности измеримых функций; теоремы Лебега, Рисса, Егорова. Теорема Лузина
(С-свойство Лузина измеримой функции). Интеграл Лебега от ограниченных и
неограниченных функций. Предельный переход под знаком интеграла Лебега: теорема
Лебега о мажорантной сходимости, теоремы Леви и Фату. Сравнение интегралов Римана и
Лебега.
Пространство Lp. Неравенства Гельдера и Минковского для интегралов. Полнота
пространства Lp. Плотность некоторых классических множеств функций в Lp.
Абсолютно непрерывные функции. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега с
переменным верхним пределом. Теорема Лебега о восстановлении абсолютно непрерывной
функции по ее производной.
Функции ограниченной вариации. Представление функции ограниченной вариации в виде
суммы непрерывной функции и функции скачков. Представление непрерывной функции
ограниченной вариации в виде суммы абсолютно непрерывной и сингулярной функций.
Интеграл Римана-Стилтьеса от непрерывной функции по функции ограниченной вариации.
Связь между интегралами Римана-Стилтьеса и Лебега.
Понятие о мере и интеграле Лебега в пространстве Rn. Теорема Фубини.
Дисциплина нацелена на формирование общекультурных компетенций ОК9,10,12,14, ,
профессиональных компетенций ПК10,11,14 выпускника.
Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации
учебного процесса: (лекции, практические занятия, самостоятельная работа
студента, консультации).
Программой дисциплины предусмотрены следующие виды контроля: текущий
контроль успеваемости в форме опросов, рубежный контроль в форме зачет
Общая трудоемкость освоения дисциплины составляет 3 зачетных единиц, 108
часов.
2. Дополнительные главы алгебры
Дисциплина реализуется на ФММиПУ ТОГУ кафедрой Прикладная математика.
Содержание дисциплины
Начала теории чисел, теории групп и конечных полей, а также их приложения к
построению кодов, исправляющих ошибки, и к криптографическим протоколам. основные
алгебраических структуры и их обобщение на языке универсальной алгебры; в частности,
вводится понятие морфизма алгебраических систем. Свойства колец вычетов и конечных групп
используются в дальнейшем при описании криптографических протоколов, в частности,
протокола RSA.
Теория решеток, которая предоставляет математические основы современных методов
поиска зависимостей в данных – импликаций и ассоциативных правил на множествах
признаков. Изложение начинается с повторения основных понятий теории отношений и теории
графов. Важнейшим разделом современной прикладной теории решеток является анализ
формальных понятий, исходным объектом которого служит бинарное отношение на
множествах объектов и их свойств (признаков). На основе отношения определяется
соответствие Галуа и оператор замыкания. Замкнутые множества объектов (признаков)
образуют решетку (понятий), которая, с одной стороны, позволяет наглядно представлять
иерархию классов объектов, а с другой – зависимости на признаках, определяемых в терминах
импликаций и ассоциативных правил (частичных импликаций).
Дисциплина нацелена на формирование общекультурных компетенций ОК9,10,12,14, ,
профессиональных компетенций ПК10,11,14 выпускника.
Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации
учебного процесса: (лекции, практические занятия, самостоятельная работа
студента, консультации).
Программой дисциплины предусмотрены следующие виды контроля: текущий
контроль успеваемости в форме опросов, рубежный контроль в форме зачет
Общая трудоемкость освоения дисциплины составляет 3 зачетных единиц, 108
часов.
3. Теория вариационных неравенств и методы их решения
Дисциплина реализуется на ФММиПУ ТОГУ кафедрой Прикладная математика.
Содержание дисциплины:
Вариационные неравенства, Минимизация выпуклых функционалов. Свойство
производной выпуклого функционала,
Задача минимизации в случае негладких функционалов, Субдифференциал выпуклого
функционала, Условие слабой полунепрерывности снизу функционалов
Существование решения экстремальной задачи. Задача Синьорини. Вариационная
постановка. Теорема существования решения
Задача теории упругости с трением на границе области. Вариационная постановка.
Теорема существования решения, теорема единственности решения
Метод конечных элементов. Метод конечных элементов для решения задачи Синьорини
Оценка погрешности метода конечных элементов в задаче Синьорини
Метод поточечной верхней релаксации с проектированием для решения задачи Синьорини
Общая схема итеративной prox-регуляризации. Метод итеративной prox-регуляризации
для решения задачи Синьорини Скорость сходимости, Метод итеративной prox-регуляризации
для решения задачи с трением
Дисциплина нацелена на формирование общекультурных компетенций ОК9,10,12,14, ,
профессиональных компетенций ПК10,11,14 выпускника.
Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации
учебного процесса: (лекции, практические занятия, самостоятельная работа
студента, консультации).
Программой дисциплины предусмотрены следующие виды контроля: текущий
контроль успеваемости в форме опросов, рубежный контроль в форме экзамен
Общая трудоемкость освоения дисциплины составляет 4 зачетных единиц, 108
часов.
4. Вариационное исчисление
Дисциплина реализуется на ФММиПУ ТОГУ кафедрой Прикладная математика.
Содержание дисциплины.
Введение в теорию вариационного исчисления. Линейное пространство. Линейное
нормированное пространство
Функционал. Первая вариация функционала. Понятие минимума функционала.
Необходимое условие минимума. Достаточные условия экстремума функционала
b
Уравнение Эйлера для функционала F (u )   F ( x, u, u)dx . Лемма Дюбуа Раймонда.
a
b
Вторая вариация для функционала F (u )   F ( x, u ( x), u( x)) dx . Условия Лежандра.
a
b
Достаточное
условие
(Якоби)
минимума
функционала
F (u )   F ( x, u ( x), u ( x)) dx ,
где
a
u(a)=u(b)=0.
Необходимое условие экстремума функционала, заданного на выпуклом множестве.
Выпуклый функционал на выпуклом множестве. Достаточное условие выпуклости. Теорема об
экстремуме выпуклого функционала.
Дисциплина нацелена на формирование общекультурных компетенций ОК9,10,12,14, ,
профессиональных компетенций ПК10,11,14 выпускника.
Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации
учебного процесса: (лекции, практические занятия, самостоятельная работа
студента, консультации).
Программой дисциплины предусмотрены следующие виды контроля: текущий
контроль успеваемости в форме опросов, рубежный контроль в форме экзамен
Общая трудоемкость освоения дисциплины составляет 4 зачетных единиц, 108
часов.
5. Численное решение задач математической физики
Дисциплина реализуется на ФММиПУ ТОГУ кафедрой Прикладная математика.
Содержание дисциплины:
Решение краевых задач уравнения теплопроводности, уравнения гиперболического
типа методом сеток. Дифференциальное уравнение и краевые условия. Построение сетки и
введение сеточных функций. Явная, неявная схемы. Нахождение решения с помощью метода
прогонки.Схемы с весами,
Кранка-Николсона, «ромб». Методы повышения порядка
аппроксимации начальных и краевых условий.
Устойчивость разностных схем для уравнений в частных производных. Понятие об
устойчивости. Сходимость как следствие аппроксимации и устойчивости. Анализ устойчивости
с помощью спектрального критерия Неймана.
Оценка погрешности конечно-разностного решения по правилу Рунге.
Решение краевых задач для двумерного уравнения теплопроводности методом
конечных разностей. Явная схема. Чисто неявная схема. Экономичные разностные схемы.
Решение краевых задач для уравнений эллиптического типа методом конечных
разностей. Разностная аппроксимация уравнения и краевых условий. Метод установления.
Решение системы разностных уравнений универсальными итерационными методами (методы
Якоби, Зейделя, итерации с параметром). Метод релаксации. Метод матричной прогонки.
Методы построения разностных схем для краевых задач математической физики.
Метод разностных аппроксимаций. Метод неопределенных коэффициентов. Интегроинтерполяционный метод.
Метод конечных разностей при аппроксимациях специального вида. Случай
переменного коэффициента. Случай неравномерной сетки. Случай разрывных коэффициентов.
Вариационно-разностные и проекционно-разностные методы. Вариационная
постановка краевой задачи. Метод Ритца. Проекционная постановка краевой задачи. Метод
Галеркина. Метод конечных элементов.
Дисциплина нацелена на формирование общекультурных компетенций ОК9,10,12,14, ,
профессиональных компетенций ПК10,11,14 выпускника.
Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации
учебного процесса: (лекции, практические занятия, самостоятельная работа
студента, консультации).
Программой дисциплины предусмотрены следующие виды контроля: текущий
контроль успеваемости в форме опросов, рубежный контроль в форме зачет.
Общая трудоемкость освоения дисциплины составляет 4 зачетных единиц, 144
часов.
14. Динамическое программирование
Дисциплина реализуется на ФММиПУ ТОГУ кафедрой Прикладная математика.
Содержание дисциплины.
Динамическое программирование – это метод оптимизации многошаговых процессов
принятия решений, позволяющий указать пути исследования целого класса экстремальных
задач.
Введение в динамическое программирование.
Задачи оптимального управления. Программное и позиционное управления. Подход
динамического программирования. Принцип оптимальности. Уравнение Гамильтона-Якоби.
Теорема о верификации. Множество достижимости, разрешимости. Их связь с функцией
Беллмана. Уравнение Беллмана
Задачи с интегральными квадратичными функционалами для линейных управляемых
систем.
Задачи на бесконечном интервале времени.
Постановка задачи поиска стабилизирующего управления. Задача со стабилизирующим
функционалом. Задача для стационарной динамической системы (подынтегральный
функционал с дисконтирующим множителем). Примеры.
Линейно-выпуклые задачи.
Понятие о линейно-выпуклой задаче. Множества достижимости и разрешимости. Синтез
управления в задаче разрешимости. Задача быстродействия.
Линейно-выпуклые задачи с фазовыми ограничениями в конечном числе моментов
времени.
Множество достижимости и разрешимости при фазовых ограничениях. Синтез
управления при фазовых ограничениях.
Классические задачи динамического программирования.
Задача о наибольшей общей подпоследовательности: даны две последовательности, требуется
найти самую длинную общую подпоследовательность.
Задача о порядке перемножения матриц: даны матрицы A1, ..., An, требуется минимизировать
количество скалярных операций для их перемножения.
Задача о выборе траектории.
Задача последовательного принятия решения.
Задача об использовании рабочей силы.
Задача управления запасами.
Задача о ранце: из неограниченного множества предметов со свойствами «стоимость» и «вес»,
требуется отобрать некое число предметов таким образом, чтобы получить максимальную
суммарную стоимость при ограниченном суммарном весе.
Алгоритм Флойда-Уоршелла: найти кратчайшие расстояния между всеми вершинами
взвешенного ориентированного графа.
Алгоритм Беллмана — Форда: найти кратчайший путь во взвешенном графе между двумя
заданными вершинами.
Дисциплина нацелена на формирование общекультурных компетенций ОК9,10,12,14,
, профессиональных компетенций ПК10,11,14 выпускника.
Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации
учебного процесса: (лекции, практические занятия, самостоятельная работа
студента, консультации).
Программой дисциплины предусмотрены следующие виды контроля: текущий
контроль успеваемости в форме опросов, рубежный контроль в форме зачет.
Общая трудоемкость освоения дисциплины составляет 4 зачетных единиц, 144
часов.