Тема 2. Сложные процентные и учетные ставки 2.1. Сложные процентные ставки

МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Тема 2. Сложные процентные и учетные
ставки
2.1. Сложные процентные ставки
2.1.1. Рост суммы при нецелом числе периодов времени
Задание. Денежная сумма 100 тыс. руб. положена на счет на условиях
начисления сложных процентов по ставке 5% в месяц. Через шесть с половиной
месяцев вкладчик решил закрыть счет. Какая сумма причитается вкладчику?
Проведите расчет разными способами: по формуле сложных процентов, по
смешанной формуле, по формуле, не учитывающей дробную часть периода.
Методические указания. Воспользуйтесь формулами:
где [t] – целая часть периода t, а {t} – дробная часть того же периода.
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. При расчете по первому способу, по чистой формуле сложных
процентов, получаем:
При расчете по второму способу, по смешанной формуле, получаем:
что на 41 руб. больше, чем при первом способе.
Наименьшая сумма получается при способе расчета, когда дробная часть
периода отбрасывается. При этом
Использование разных способов расчета приводит к различным результатам.
Вкладчику при оформлении договора необходимо уточнить, как проводятся
расчеты в данной финансовой организации.
2.1.2. Сложная переменная ставка и средние геометрические
величины
1
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Задание 1. Пусть промежуток t1 составляет 1,5 года, промежуток t2 – 1 год и
промежуток t3 – 2,5 года. Общий срок вклада T равен 5 годам. Соответствующие
годовые процентные ставки:
i1 = 40%;
i2 = 60%;
i3 = 20%.
Определть среднюю процентную ставку i.
Методические указания. Воспользуйтесь формулой средней сложной ставки:
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. Найдем доли промежутков времени:
t1 = 1,5/5=0,3,
t2 = 1/5=0,2,
t3 = 2,5/5=0,5.
Определим среднюю сложную процентную ставку i:
Средняя ставка составляет 33% годовых (1,33−1=0,33=33%).
Если бы промежутки были одинаковой длительности, то средний коэффициент
роста оказался бы равен среднему геометрическому отдельных коэффициентов:
Средняя ставка в этом случае составила бы 39% годовых.
Задание 2. Пусть по условиям договора первый год наращения суммы идет по
ставке 5% в месяц, затем еще полгода по ставке 4% в месяц, а потом еще
полгода по ставке 3% в месяц. Определить, до какой суммы за два года вырастет
первоначальный вклад размера 100 тыс. руб.
Методические указания.
переменной ставке:
Воспользуйтесь
формулой
роста
по
сложной
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение.
Задание 3. Средствами Excel сформируйте расчетную таблицу для
определения роста вклада по сложной переменной процентной ставке и расчета
величины средней ставки. Постройте соответствующие графики.
Методические указания. Возьмите за основу предыдущее задание. Следует,
однако, построить расчетную таблицу, ориентированную не только на
конкретные, но и на произвольные исходные данные. Важно отметить, что не
только длины периодов времени, но и число таких периодов может быть не
известно заранее.
2
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Решение. Результаты расчета представлены в табл. 2.1.1.
Таблица 2.1.1
Эта таблица аналогична приведенной раньше табл. 1.1.1, построенной для
расчетов с простой процентной ставкой. Ее можно получить из табл. 1.1.1
соответствующей перестройкой.
В ячейки строк 1, 2, 4, 6, 8, 10, 12 и 14 введены заголовки. Ячейки строк 3 и
5, а также ячейка А7 содержат исходные данные для расчета. Числа в этих
ячейках отмечены жирным шрифтом.
Остальные ячейки содержат расчетные формулы. Они приведены в таблице
2.1.2.
Таблица 2.1.2
3
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Укажем
порядок
ввода
формул
в
таблицу
Excel,
при
котором
последовательность расчета становится особенно простой и естественной.
1. В ячейку В2 вводим формулу
=СУММ(5:5)
для расчета общего срока вклада. Суммируется вся строка 5, содержащая не
только заданные в примере сроки, но и пустые ячейки, в которые такие сроки
могут быть впоследствии дополнительно введены.
2. Вводятся формулы расчета долей сроков в строку 9. Для этого выделяется
вся строка 9, после этого строится формула
=А5/$B7.
Ввод завершается нажатием сочетания клавиш Ctrl+Enter (ввод в диапазон).
Таким образом, доли сроков оказываются рассчитанными не только для
имеющихся сроков из строки 5, но и для пустых ячеек этой строки, в которых
такие сроки могут в будущем появиться. Пока эти ячейки пустые, их доли
времени при расчете автоматически оказываются равными 0.
3. Вводятся формулы расчета роста вклада в строку 13. Для этого следует
выделить всю строку 13, перейти по клавише Enter в ячейку В13, сформировать
формулу
=А13*(1+В3)^В5
и ввести ее во всю строку 13 нажатием клавиш Ctrl+Enter. Затем в ячейку А13
ввести формулу
=А7.
4. Вводятся формулы для расчета сомножителей в строку 15. Для этого следует
выделить всю строку 15, сформировать формулу
=(1+А3)^A9
и ввести ее в выделенную строку 15, нажав клавиши Ctrl+Enter.
5. В ячейку С7 вводится формула расчета средней ставки
=ПРОИЗВЕД(15:15) – 1.
6. В ячейку D7 вводится формула расчета итоговой величины вклада
7. =А7*(1+C7)^B7.
На этом формирование расчетной таблицы заканчивается.
Дальше можно обратиться к Мастеру диаграмм и построить графики,
отражающие рост вклада по сложной переменной ставке и по средней ставке.
Такие графики представлены на рис. 2.1.1.
4
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Рис. 2.1.1. Рост вклада по сложной переменной и по средней ставке
2.1.3. Расчет темпов инфляции
Задание. В табл. 2.1.3 представлены цепные темпы инфляции в экономике
России за 1994 год (в числовом формате).
Таблица 2.1.3
Месяц
янв.
февр.
март
апр.
май
июнь
июль
авг.
сент.
окт.
нояб.
дек.
Цепной 0,210 0,100 0,089 0,097 0,081 0,050 0,050 0,046 0,077 0,150 0,140 0,164
темп
Рассчитайте основные характеристики инфляции по этим данным.
Методические указания. Темп инфляции характеризует процентный прирост
уровня цен. Индекс инфляции показывает, во сколько раз изменился уровень цен
за анализируемый период. Индекс и темп за один и тот же период времени
связаны соотношением:
I = 1 + h.
Темпы показывают инфляционный прирост уровня цен на конец данного
месяца по отношению к концу предыдущего месяца. Для определения прироста
уровня цен по отношению к фиксированной базе – началу года (или концу
предыдущего года) следует преобразовать цепные темпы в базовые.
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. Сначала переведем цепные темпы в цепные индексы. Цепные
индексы (в числовом формате) представлены в табл. 2.1.4.
Таблица 2.1.4
5
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Месяц
янв.
февр.
март
апр.
май
июнь
июль
авг.
сент.
окт.
нояб.
дек.
Цепной 1,210 1,100 1,089 1,097 1,081 1,050 1,050 1,046 1,077 1,150 1,140 1,164
индекс
Последовательным умножением цепные индексы переводятся в базовые.
Например, апрельский базовый индекс – это результат перемножения
январского, февральского, мартовского и апрельского цепных индексов. Базовые
индексы даны в табл. 2.1.5.
Таблица 2.1.5
Месяц янв.
февр.
март
апр.
май
июнь
июль
авг.
сент.
окт.
нояб.
дек.
Базов. 1,210 1,331 1,449 1,590 1,719 1,805 1,895 1,982 2,135 2,455 2,799 3,258
индекс
Теперь базовые индексы инфляции можно преобразовать в базовые темпы
инфляции. Для этого следует вычесть из индекса 1 и, если требуется, перевести
темпы в процентный формат. Результаты представлены в следующей табл. 2.1.6.
Таблица 2.1.6
Месяц янв.
февр.
март
апр.
май
июнь
июль
авг.
сент.
окт.
нояб.
дек.
Базов. 0,210 0,331 0,449 0,590 0,719 0,805 0,895 0,982 1,135 1,455 1,799 2,258
темп
Средний индекс инфляции определяется корнем 12-й степени из произведения
цепных индексов, т. е. из базового декабрьского индекса:
Таким образом, средний темп инфляции составляет 0,103, или 10,3%, в месяц.
Аналогичным образом можно сосчитать средний индекс и средний темп
инфляции в отдельных интервалах времени, например, в отдельных кварталах.
В первом квартале месячный средний индекс равен:
Средний месячный темп инфляции в первом квартале равен 0,132, или 13,2%.
Во втором квартале средний месячный индекс равен:
Средний месячный темп инфляции во втором квартале равен 0,076, или 7,6%.
В третьем квартале средний индекс равен:
Средний месячный темп инфляции в третьем квартале равен 0,058, или 5,8%.
В четвертом квартале средний индекс равен:
6
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Средний месячный темп инфляции в первом квартале равен 0,151, или 15,1%.
Можно провести расчет средней месячной величины индекса, полученной по
средним квартальным:
Он, естественно, приводит опять к уже известной средней месячной величине
индекса за год.
2.1.4. Задания для самостоятельного выполнения
Задание 1. Денежная сумма 150 тыс. руб. положена на счет на условиях
начисления сложных процентов по ставке 4% в месяц. Через семь с половиной
месяцев вкладчик решил закрыть счет. Какая сумма причитается вкладчику?
Проведите расчет разными способами: по формуле сложных процентов, по
смешанной формуле, по формуле, не учитывающей дробную часть периода.
Задание 2. Пусть промежуток t1 составляет 2,5 года, промежуток t2 – 1 год и
промежуток t3 – 3,5 года. Общий срок вклада T равен 7 годам. Соответствующие
годовые процентные ставки:
i1 = 45%;
i2 = 50%;
i3 = 25%.
Определть среднюю процентную ставку i.
Задание 3. По условиям договора первый год наращения суммы идет по
ставке 8% в месяц, затем еще полгода по ставке 6% в месяц, а потом еще
полгода по ставке 4% в месяц. Определить, до какой суммы за два года вырастет
первоначальный вклад размера 200 тыс. руб.
Задание 4. В таблице представлены цепные темпы за 1 год (в числовом
формате):
Месяц
янв.
февр.
март
апр.
май
июнь
июль
авг.
сент.
окт.
нояб.
дек.
Цепной
0,150 0,100 0,079 0,087 0,085 0,080 0,075 0,050 0,078 0,090 0,095 0,100
темп
Рассчитайте основные характеристики инфляции по этим данным.
2.2. Годовые, квартальные, месячные ставки
процента
2.2.1. Уравновешенные ставки процента
Методические указания. При расчете уравновешенных ставок процента
следует учесть, что выбор длины периода не влияет на полученный результат.
Например, рассмотрим промежуток времени длиной 2,5 года. Он содержит 10
кварталов. При годовом расчете коэффициент наращения равен:
7
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
При квартальном расчете такой коэффициент равен:
Но эти коэффициенты равны друг другу, поскольку годовая и квартальная
ставки связаны соотношением:
Отсюда получаем:
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Задание 1. Годовая ставка равна 40%. Найти уравновешенную полугодовую,
квартальную, месячную и дневную ставки процента.
Решение.
Таким образом, уравновешенные ставки принимают следующие значения:
полугодовая 18,32%, квартальная 8,77%, месячная 2,84%, дневная 0,09%.
Задание 2. Ставка процента за период 3,5 месяца равна 20%. Найти
эквивалентную ей ставку за период 6 месяцев.
Решение. Введем обозначения: t = 3,5; i = 0,2; t’ = 6.
Требуется найти i'. В соответствии с формулой
имеем:
Отсюда:
Таким образом, эквивалентная ставка за 6 месяцев равна 36,69%.
2.2.2. Относительные ставки процента
Задание 1. Пусть годовая процентная ставка равна 40%. Требуется найти
относительные полугодовую, квартальную, месячную и дневную ставки процента.
8
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Методические указания. Пусть период начисления по процентной ставке i
делится на m одинаковых промежутков времени. Тогда процентная ставка i',
связанная с этими промежутками, определяется через ставку i в соответствии с
соотношением:
Отсюда:
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение.
Таким образом, относительные ставки принимают следующие значения:
полугодовая 20%, квартальная 10%, месячная 3,33%, дневная 0,11%.
Задание 2. Ставка процента за период 3,5 месяца равна 20%. Найти
относительную ставку за период 6 месяцев.
Методические указания. Следует воспользоваться соотношениием:
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. Введем обозначения:
t = 3,5;
i = 0,2;
t' = 6.
Требуется найти i'. В соответствии с формулой для относительной процентной
ставки имеем:
Отсюда получаем: i' = 0,3428. Относительная ставка за 6 месяцев составляет,
таким образом, 34,28%.
Сопоставление результатов рассмотренных выше примеров показывает
следующее. Относительная ставка по своей величине оказывается выше
уравновешенной ставки при переходе к периоду меньшей длины (от годового
9
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
периода к полугодию, кварталу и т. д.). При переходе к периоду большей длины
(от 3,5 к 6 месяцам), напротив, относительная ставка ниже уравновешенной.
Задание 3. Номинальная годовая ставка равна 40%. Определить
коэффициент наращения для промежутка времени, равного полугодию, на основе
относительных ставок для разных периодов начисления.
Решение. Ставка i = 0,4.
Отсюда, как было рассчитано выше:
Величина коэффициента наращения за одно и то же полугодие, вычисленная
по различным относительным ставкам, оказывается различной:
Какая же из этих величин правильная? Ответ на этот вопрос (т. е. применение
той или иной формулы расчета) должен быть оговорен в контракте. Если это не
сделано, то каждая из договаривающихся сторон может подразумевать свою
формулу, что в дальнейшем может оказаться причиной недоразумений и
конфликтов.
Отметим, что ранее был проведен расчет уравновешенных ставок для
номинальной 40%-ной годовой ставки. Расчеты по этим ставкам для любого
промежутка времени, в частности для полугодия, дают одну и ту же величину,
точную величину коэффициента наращения. Она равна 1,1832 и отличается от
всех результатов, рассчитанных с применением относительных ставок.
2.2.3. Задания для самостоятельного выполнения
Задание 1. Годовая ставка равна 60%. Найти уравновешенную полугодовую,
квартальную, месячную и дневную ставки процента.
Задание 2. Ставка процента за период 5,5 месяца равна 30%. Найти
эквивалентную ей ставку за период 8 месяцев.
Задание 3. Годовая процентная ставка равна 30%. Требуется найти
относительные полугодовую, квартальную, месячную и дневную ставки процента.
Задание 4. Ставка процента за период 5,5 месяца равна 35%. Найти
относительную ставку за период 6 месяцев.
10
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Задание 5. Номинальная годовая ставка равна 30%. Определить
коэффициент наращения для промежутка времени, равного полугодию, на основе
относительных ставок для разных периодов начисления.
2.3. Рост по простым и сложным процентным
ставкам
2.3.1. Характеристики роста по простым и сложным
процентам
Задание. Рассчитайте значения коэффициента нарастания по кварталам в
течение одного года для простых и сложных процентных начислений при ставке
30% годовых. Что можно сказать о соотношении между этими коэффициентами в
пределах одного года и за пределами года?
Методические
выражениями:
указания.
Для
расчетов
коэффициентов
воспользуйтесь
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. Результаты расчетов в пределах года представлены в табл. 2.3.1.
Таблица 2.3.1
Срок t кварталы
Простые проценты (1 + i t)
Сложные проценты (1 + i)t
0
1,000
1,000
1
1,075
1,068
2
1,150
1,140
3
1,225
1,217
4
1,300
1,300
В таблице ясно прослеживается более высокий рост по простым процентам.
Расхождение между нарастанием по простым и сложным процентам особенно
велико в середине годового периода и становится менее заметным по мере
приближения к его левой или правой границе. При сроке вклада менее одного
года для вкладчика более выгоден расчет по простым процентам, причем эта
выгода особенно велика при сроке вклада около двух кварталов и становится
меньшей при более коротких и при более длинных сроках вклада.
Впрочем, расхождение даже в середине года составляет один процентный
пункт при ставке 30% годовых.
В табл. 2.3.2 приведены расчеты коэффициентов нарастания по той же
годовой ставке 30%, но для сроков, превышающих год. Здесь хорошо видна
разница в нарастании по простым и сложным процентам. Для вкладчика
существенно более выгодны расчеты по сложным процентам, причем тем
выгоднее, чем больше срок вклада.
Каждый рубль, положенный на счет с приростом по ставке 30% годовых, через
100 лет превратится по простым процентам в 31 рубль, а по сложным процентам
– в 247 900 000 000 рублей.
Такое расхождение иллюстрирует разницу в росте по закону арифметической и
геометрической прогрессии.
11
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Таблица 2.3.2
Срок t
кварталы
1
2
3
5
10
100
Простые проценты (1 + i t)
1,3
1,6
1,9
2,5
4,0
31,0
Сложные проценты (1 + i)t
1,3
1,7
2,2
3,7
13,8
247,9
2.3.2. Формулы срока удвоения
Задание. Рссчитайте сроки удвоения по простой и по сложной ставке для
различных вариантов величины ставки.
Методические рекомендации. Воспользуйтесь формулами срока удвоения для
простых процентов:
и для сложных процентов:
Решение. В табл. 2.3.3 показаны результаты расчетов срока удвоения для
различных величин ставок простых и сложных процентов.
Для небольших процентных ставок (1–5%) срок удвоения по сложным
процентам заметно короче, чем по простым процентам. Он составляет около 70%
от срока удвоения по простым процентам. С ростом процентных ставок оба срока
укорачиваются, причем по простым процентам сокращение срока удвоения идет
быстрее, чем по сложным процентам, так что расхождение между ними
постепенно сокращается. При ставке, равной 100%, сумма удваивается за один и
тот же срок – за 1 год по каждому виду процентов. При дальнейшем росте ставки
простые проценты дают меньший срок удвоения, чем сложные.
Таблица 2.3.3
Ставка %%
годовых
1
2
5
10
20
40
100
Число лет для
простых
процентов
100
50
20
10
5
2,5
1
Число лет для
сложных
процентов
69,66
35,00
14,21
7,27
3,80
2,06
1
2.3.3. Связь между простыми и сложными ставками
Задание 1. Кредит предоставляется на условиях 20% годовых по сложной
процентной ставке. Какова эквивалентная ставка простых процентов при сроках:
1 месяц, полгода, год, 2 года?
12
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Методические указания. Воспользуйтесь формулой:
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. По условию ic = 0,2. В соответствии с формулой для t = 1/12,
получаем:
Для t = 0,5 получаем:
Для t = 1:
Для t = 2:
Проведенные в примере расчеты на конкретных числовых данных
демонстрируют характер изменения величины простой процентной ставки в
зависимости от изменения длины промежутка времени.
В приведенном задании был проведен расчет эквивалентной простой
процентной ставки по заданной величине сложной процентной ставки.
Рассмотрим теперь пример расчета эквивалентной сложной ставки по заданной
простой ставке.
Задание 2. Вклад положен в банк на условиях нарастания по 20 простых
процентов в год. Определить эквивалентную ставку сложных процентов при
сроках: 1 месяц, полгода, год, 2 года.
Методические указания. Воспользуйтесь формулой:
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. По условию
По соответствующей формуле получаем для t = 1/12:
13
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Для t = 0,5 получаем:
Для t = 1:
Для t = 2:
В этом примере, как и в предыдущем, прослеживается характер изменения
эквивалентной сложной процентной ставки в зависимости от изменения длины
промежутка времени.
Задание 3. Остров Манхеттен был куплен в XVII веке за 24 доллара.
Стоимость земли этого острова 350 лет спустя оценивается примерно в 40 млрд
долларов. Расхождение между первоначальной ценой и теперешней стоимостью
колоссальное. Однако и время прошло немалое. Для того, чтобы оценить
изменение стоимости, представим себе, что первоначальные 24 доллара были
положены в банк на 350 лет по какой-то процентной ставке. Найдите величину
этой ставки. Если она окажется приемлемой, то такое изменение стоимости земли
острова будет оправданным.
Определите величину годовой процентной ставки, обеспечивающей такой рост
денежной суммы для двух вариантов:
1) для простой процентной ставки;
2) для сложной процентной ставки.
Постройте графики роста.
Методические указания. Воспользуйтесь формулами:
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. Проведем расчет отдельно для простой и для сложной ставки.
1. Расчет простой процентной iп ставки дает
Таким образом, простая ставка составляет 476190476% годовых. Это
фантастическая величина, на практике подобных ставок, конечно, не бывает.
2. Расчет сложной процентной ставки ic дает
14
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Таким образом, сложная ставка составляет всего 6,25%, вполне приемлемую
величину. По этой сложной ставке 24 доллара тогда, 350 лет тому назад,
соответствуют 40 миллиардам долларов сейчас.
Графики роста по этим двум ставкам преставлены на рис. 2.3.1. Обе линии
начинаются и заканчиваются вместе: начинаются на высоте 24 и заканчиваются
на высоте 40 млрд.
Прямая линия соответствует росту по простой ставке. Каждый год она
поднимается на одну и ту же величину, равную годовым процентным деньгам. Эта
величина превышает 114 млн долларов:
Годовой прирост, выраженный в процентах к величине, достигнутой в
предыдущем году, т. е. процентный годовой прирост, является величиной
переменной. Он изменяется от громадной величины 476190476% в начале срока,
114285714,22 / 24 = 4761904,76,
до весьма малой величины, менее трех десятых процента, в конце срока,
114285714,22 / (40000000000 − 114285714,22) = 0,00287.
Кривая на рис. 2.3.1 соответствует росту по сложной ставке. Ежегодный
процентный прирост не изменяется и составляет 6,25% от уже достигнутой
величины. Однако, выраженный в деньгах, такой прирост изменяется
чрезвычайно сильно, от 1,50 долларов в начале срока до более чем двух
миллиардов (точнее, 2354605551,10) долларов в конце срока.
Рис. 2.3.1. Рост по простой и сложной ставке
15
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
2.3.4. Непрерывный рост суммы и сила роста
Задание 1. Проведите расчет силы роста в зависимости от величины
процентной ставки.
Методические указания. Воспользуйтесь формулой:
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. В табл. 2.3.4 дан ряд
соответствующей ей величины силы роста.
значений
процентной
ставки
и
Таблица 2.3.4
Ставка
процента
0,01
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
Сила роста
0,010
0,049
0,095
0,140
0,182
0,223
0,262
0,300
Табличные расчеты показывают, что при малых значениях процентная ставка
практически совпадает с силой роста, однако с увеличением ставки расхождения
между их численными значениями нарастают. При этом ставка процента по
своему численному значению всегда оказывается больше силы роста.
Задание 2. Требуется рассчитать рост вклада в размере 100 тыс. руб. за 1,5
года по формуле сложных процентов с использованием 30%-ной годовой ставки и
по формуле с использованием соответствующей величины силы роста.
Методические указания. Используйте таблицу, рассчитанную в предыдущем
задании.
Решение. Согласно расчетам, приведенным в табл. 2.3.4, величине i = 0,35
соответствует α = 0,3.
По формуле сложных процентов:
По формуле с использованием силы роста:
2.3.5. Задания для самостоятельноговыполнения
Задание 1. Рассчитайте значения коэффициента нарастания по кварталам в
течение одного года для простых и сложных процентных начислений при ставке
20% годовых. Что можно сказать о соотношении между этими коэффициентами в
пределах одного года и за пределами года?
Задание 2. Рассчитайте значения коэффициента нарастания по полугодиям в
течение одного года для простых и сложных процентных начислений при ставке
30% годовых. Что можно сказать о соотношении между этими коэффициентами в
пределах одного года и за пределами года?
16
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Задание 3. Рассчитайте значения коэффициента нарастания по месяцам в
течение одного года для простых и сложных процентных начислений при ставке
30% годовых. Что можно сказать о соотношении между этими коэффициентами в
пределах одного года и за пределами года?
Задание 4. Рссчитайте сроки утраивания по простой и по сложной ставке для
различных вариантов величины ставки.
Задание 5. Рссчитайте сроки возрастания вклада в четыре раза по простой и
по сложной ставке для различных вариантов величины ставки.
Задание 6. Кредит предоставляется на условиях 15% годовых по сложной
процентной ставке. Какова эквивалентная ставка простых процентов при сроках:
1 месяц, полгода, год, 2 года?
Задание 7. Вклад положен в банк на условиях нарастания по 30 простых
процентов в год. Определить эквивалентную ставку сложных процентов при
сроках: 1 месяц, полгода, год, 2 года.
Задание 8. Проведите расчет силы роста в зависимости от величины
процентной ставки: 0,4; 0,5; 0,6.
Задание 9. Требуется рассчитать рост вклада в размере 150 тыс. руб. за 2,5
года по формуле сложных процентов с использованием 20%-ной годовой ставки и
по формуле с использованием соответствующей величины силы роста.
2.4. Дисконтирование по сложной ставке
2.4.1. Дисконтирование по сложной ставке процента
Задание 1. Какую сумму следует сейчас положить на счет на условиях
нарастания в соответствии с формулой сложных процентов по ставке 20%
годовых, чтобы через 5 лет получить 100 тыс. рублей? Чтобы через 20 лет
получить 100 тыс. рублей?
Определите величину дисконта.
Методические указания. Используйте формулу дисконтирования по сложной
процентной ставке:
и формулу дисконта:
D = S – P.
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. В нашем примере
S = 100;
i = 0,2.
Для t = 5:
17
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Для t = 20:
Таким образом, на 5 лет достаточно положить 40 188 руб., а на 20 лет гораздо
меньшую сумму – 2 608 руб. Каждая из этих сумм через указанное время
превратится в 100 000 руб. Дисконтирующий множитель в первом случае равен
0,40188, а во втором случае 0,020608. Дисконт в первом случае равен:
В примере рассмотрен случай с целым числом периодов начисления. В том
случае, когда количество периодов не является целочисленным, используют тот
из подходов, который соответствует способу начисления процентов. В
зависимости от того, предполагается ли при начислении использовать
уравновешенную или относительную ставку, тот же вид ставки применяется и при
дисконтировании.
Задание 2. Определите результаты дисконтирования одной и той же суммы
100 тыс. руб. по простой и по сложной процентной ставке 30% годовых за
полугодие и за три года.
Методические указания. Используйте формулы дисконтирования по простой и
по сложной процентной ставке:
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. За полугодие дисконтирование по простой ставке дает величину:
Дисконтирование по сложной ставке за тот же срок дает большую величину:
За трехлетний срок дисконтирование по простой ставке приводит к величине:
За тот же период дисконтирование по сложной ставке приводит к заметно
меньшей величине:
2.4.2. Сложная учетная ставка
18
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Задание. Долговое обязательство на сумму 100 тыс. рублей учитывается по
сложной учетной ставке 20% годовых за полтора года до наступления срока его
погашения. Определить текущую стоимость этого обязательства и величину
дисконта.
Методические указания. Воспользуйтесь формулами:
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. В данном примере:
S = 100; d = 0,2; t = 1,5.
Требуется найти: P и D = S – P,
Текущая стоимость обязательства равна 71 554 руб., дисконт составляет 28
446 руб.
2.4.3. Задания для самостоятельного выполнения
Задание 1. Какую сумму следует сейчас положить на счет на условиях
нарастания в соответствии с формулой сложных процентов по ставке 22%
годовых, чтобы через 4 года получить 100 тыс. рублей? Определите величину
дисконта.
Задание 2. Какую сумму следует сейчас положить на счет на условиях
нарастания в соответствии с формулой сложных процентов по ставке 22%
годовых, чтобы через 20 лет получить 100 тыс. рублей?
Определите величину дисконта.
Задание 3. Определите результаты дисконтирования одной и той же суммы
200 тыс. руб. по простой и по сложной процентной ставке 25% годовых за
полугодие и за два года.
Задание 4. Долговое обязательство на сумму 150 тыс. рублей учитывается по
сложной учетной ставке 25% годовых за 2,5 года до наступления срока его
погашения. Определить текущую стоимость этого обязательства и величину
дисконта.
Задание 5. Какую величину необходимо положить в банк под 15% годовых,
чтобы через 3 года получить 150 000 руб. Расчеты провести по сложной и
простой процентной ставке.
2.5. Годовые, квартальные, месячные учетные
ставки
2.5.1. Уравновешенные учетные ставки
19
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Задание 1. Годовая учетная ставка равна 20%. Найти уравновешенную
полугодовую, квартальную, месячную и дневную учетную ставку.
Методические указания. Воспользуйтесь
учетных ставок для разных периодов времени.
формулами
перевода
сложных
Решение.
Таким образом, в процентном выражении уравновешенные учетные ставки
принимают следующие значения: полугодовая 10,56%, квартальная 5,42%,
месячная 1,84%, дневная 0,06%.
Задание 2. Учетная ставка за период 2,5 месяца установлена в размере 5%.
Найти эквивалентную ей ставку за период 6 месяцев.
Методические указания. Воспользуйтесь формулой:
.
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. Введем обозначения:
t = 2,5; d = 0,05; t' = 6.
Требуется найти d'.
В соответствии с формулой
получаем:
Отсюда:
В процентном выражении учетная ставка за шестимесячный период составляет
11,58%.
2.5.2. Относительные учетные ставки
20
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Задание. Для 20%-ной годовой учетной ставки рассчитать относительные
учетные ставки для разных периодов времени и с их помощью определить
величину дисконтного множителя за 6-месячный период времени.
Методические указания. Используйте формульные расчеты в соответствии с
формулами относительных учетных ставок.
Решение. Согласно условию, d = 0,2.
Отсюда:
В соответствии со значениями относительных учетных ставок вычисляем
величину дисконтного множителя на полугодовой период:
Полученные результаты численно различаются. Если договаривающиеся
стороны не готовы пренебречь такими различиями, то в договоре должна быть
указана формула расчета.
Отметим, что для этой же номинальной годовой учетной ставки были
рассчитаны уравновешивающие ставки для различных периодов времени. Все
они дают одну и ту же точную величину дисконтного множителя, равную 0,8944 и
отличающуюся от всех вариантов, полученных с помощью относительных ставок.
2.5.3. Задания для самостоятельного выполнения
Задание 1. Годовая учетная ставка равна 30%. Найти уравновешенную
полугодовую, квартальную, месячную и дневную учетную ставку.
Задание 2. Учетная ставка за период 3,5 месяца установлена в размере 7%.
Найти эквивалентную ей ставку за период 6 месяцев.
Задание 3. Учетная ставка за период 3 месяца установлена в размере 5%.
Найти эквивалентную ей ставку за период 4 месяца.
Задание 4. Для 18%-ной годовой учетной ставки рассчитать относительные
учетные ставки для разных периодов времени и с их помощью определить
величину дисконтного множителя за 4-месячный период времени.
Задание 5. Для 15%-ной годовой учетной ставки рассчитать относительные
учетные ставки для разных периодов времени и с их помощью определить
величину дисконтного множителя за 8-месячный период времени.
21
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
2.6. Дисконтирование по простым и сложным
учетным ставкам
2.6.1. Характеристики дисконтирования по простым и
сложным учетным ставкам
Задание. Рассчитайте дисконтный множитель по простой и по сложной
учетной ставке при одной и той же величине учетной ставки 20% годовых в
пределах одного года и за пределами года.
Методические указания. Для расчетов воспользуйтесь выражениями:
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. В табл. 2.6.1 представлена величина дисконтного множителя в
течение одного года при учете с простой и сложной ставкой при величине ставки,
равной 20% годовых.
Таблица 2.6.1
Срок t (квартал)
0
1
2
3
4
Простая ставка (1 – d
t)
1,0000
0,9500
0,9000
0,8500
0,8000
Сложная ставка (1 –
d)t
1,0000
0,9457
0,8944
0,8459
0,8000
На концах периода дисконтные множители, рассчитанные разными способами,
совпадают. Внутри периода они расходятся, причем множители по простой ставке
выше множителя по сложной. Наибольшее расхождение (около 5,6%) приходится
на середину периода (2 квартал).
В табл. 2.6.2 рассчитана величина
нескольких лет при тех же условиях.
дисконтного
множителя
в
течение
Таблица 2.6.2
Срок t (годы)
1
2
3
4
5
Простая ставка (1 – d
t)
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
Сложная ставка (1 –
d)t
0,80
0,64
0,51
0,41
0,33
Дисконтирование по сложной ставке идет замедленно, а по простой –
равномерно, расхождения между дисконтными множителями, рассчитанными по
одинаковым величинам простой и сложной ставки, постепенно нарастают.
2.6.2. Связь между простыми и сложными учетными ставками
22
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Задание 1. Вексель учитывается по учетной ставке 20 сложных годовых
процентов. Какова эквивалентная ей простая учетная ставка при сроках: 1 месяц,
полгода, год, 2 года?
Методические указания. Используйте формулу:
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. По условию d = 0,2. В соответствии с формулой для t = 1/12
получаем:
Аналогично для t = 0,5 получаем:
Для t = 1:
Для t = 2:
Расчеты показывают характер изменения величины эквивалентной простой
учетной ставки при изменении длины промежутка времени.
В задании продемонстрирован расчет эквивалентной простой учетной ставки
по заданной сложной ставке. В следующем задании следует провести
противоположный расчет, расчет сложной учетной ставки по заданной простой
ставке.
Задание 2. Вексель учитывается по простой учетной ставке из расчета 20%
годовых. Определить величину эквивалентной ей сложной учетной ставки для
промежутков времени: 1 месяц, полгода, год, 2 года.
Методические указания. Воспользуйтесь формулой:
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. По условию примера d = 0,2. В соответствии с расчетной формулой,
получаем для t = 1/12:
23
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
По той же формуле для t = 0,5 получаем:
Далее, для t = 1:
Наконец, для t = 2:
Проведенные расчеты демонстрируют характер изменения сложной учетной
ставки при изменении длины промежутка времени.
2.6.3. Непрерывное дисконтирование и сила дисконта
Задание. Рассчитайте эквивалентную величину силы дисконта для различных
величин учетной ставки.
Методические указания. Воспользуйтесь формулой:
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. В табл. 2.6.3 представлен ряд
соответствующий ряд значений силы дисконта.
значений учетных ставок и
Таблица 2.6.3
Учетная ставка
d
0,01
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
Сила дисконта
β
0,010
0,051
0,105
0,162
0,223
0,288
0,357
0,431
2.6.4. Задания для самостоятельного выполнения
Задание 1. Рассчитайте дисконтный множитель по простой и по сложной
учетной ставке при одной и той же величине учетной ставки 30% годовых в
пределах одного года и за пределами года.
Задание 2. Вексель учитывается по учетной ставке 18 сложных годовых
процентов. Какова эквивалентная ей простая учетная ставка при сроках: 1 месяц,
полгода, год, 2 года?
Задание 3. Вексель учитывается по простой учетной ставке из расчета 22%
годовых. Определить величину эквивалентной ей сложной учетной ставки для
промежутков времени: 1 месяц, полгода, год, 2 года.
Задание 4. Рассчитайте эквивалентную величину
различных величин учетной ставки: 0,4; 0,45; 0,5.
24
силы
дисконта
для
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
2.7. Параметры расчетов с процентными и учетными
ставками
2.7.1. Расчет продолжительности срока по процентным
ставкам
Задание 1. Банк принимает вклады по процентной ставке, равной 24%
годовых. Какой срок вклада обеспечивает его 7-кратный рост по простой
процентной ставке? по сложной процентной ставке?
Методические указания. Воспользуйтесь формулами:
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. Найдем отдельно результаты для простой и для сложной ставки.
1. Срок для простой процентной ставки определяется формулой
2. Срок для сложной процентной ставки определяется формулой
Задание 2. Номинальная ставка сложного процента составляет 24% годовых.
На какой срок следует открыть вклад размером 100 тыс. руб., чтобы он вырос до
величины 800 тыс. руб.? Расчет провести при номинальной годовой,
уравновешенной и относительной месячных ставках и для ставки непрерывных
процентов.
Методические указания. Воспользуйтесь формулами:
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. Согласно условиям примера,
Р = 100,
S = 800,
i = 0,24.
В соответствии с формулой определяем необходимую продолжительность срока
для исходной годовой процентной ставки:
Таким образом, продолжительность срока составляет 9,667 лет.
25
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Вычислим этот срок на основе уравновешенной месячной ставки. Величина
этой ставки определяется формулой
Продолжительность срока, рассчитанная на основе этой месячной ставки,
составит следующую величину:
Мы получили тот же результат (расхождение на 1 в последнем знаке связано с
погрешностью округлений при вычислениях).
Определим теперь продолжительность срока на основе относительной ставки.
Величина этой ставки i?мес определяется формулой
Продолжительность срока, рассчитанная на основе относительной ставки,
равна следующей величине:
Продолжительность срока составляет по этой ставке 8,75 лет, что на 11
месяцев меньше срока по предыдущим расчетам.
Вкладчику выгоднее, чтобы расчеты с ним велись по относительной ставке
процента. Банку, напротив, выгоднее расчеты с вкладчиком по уравновешенной
ставке. Вопрос о способе расчета должен быть оговорен заранее.
Естественная согласованность
уравновешенной ставки.
расчетов
возникает
при
использовании
Рассчитаем
продолжительность
срока
по
формуле,
основанной
на
использовании силы роста. Величина силы роста определяется соотношением:
Отсюда
Результат расчета совпадает с тем, который был получен для исходной и для
уравновешенной ставки.
2.7.2. Расчет продолжительности срока по учетным ставкам
Задание. Сложная учетная годовая ставка равна 20%. За какое время до
истечения срока векселя на 500 тыс. руб. следует его учесть, чтобы получить по
нему 350 тыс. руб.? Расчет провести для различных видов ставок.
Методические указания. Воспользуйтесь формулами:
26
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Обозначения в формулах смотри в контенте по соответствующей теме.
Решение. В соответствии с условием,
Р = 350, S = 500, d = 0,2.
Срок дисконтирования по исходной годовой учетной ставке определяем по
формуле
Для получения по векселю 350 тыс. руб. его следует учесть за 1,598 лет до
указанного в векселе срока.
Эту же величину можно вычислить на основе уравновешенной месячной
учетной ставки. Величина этой ставки определяется по формуле
Срок дисконтирования по такой месячной ставке рассчитывается следующим
образом:
Мы получили то же время, что и при предыдущем способе расчета.
Вычислим теперь этот срок на основе относительной месячной учетной ставки.
Величина такой ставки d' определяется выражением
d' = d/12 = 0,01667.
Расчет проводим по формуле
Мы видим, что срок дисконтирования вырос. Отсюда следует, что ту же сумму
350 тыс. руб. можно получить при учете данного векселя за большее время до
истечения его срока. Держателю векселя выгоднее, чтобы дисконтирование шло
по относительной учетной ставке, чем по номинальной или уравновешенной
учетной ставке.
Рассмотрим теперь расчет времени с использованием силы дисконта. Сила
дисконта b определяется формулой
Отсюда получаем:
27
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Мы получили прежний результат, как и следовало ожидать.
2.7.3. Расчет величины процентной ставки
Задание 1. При какой величине годовой процентной ставки срок удвоения
вклада составляет 8 лет? Ответ следует найти для простой и для сложной
процентной ставки.
Методические
сложной ставки.
указания.
Воспользуйтесь
формулами
расчета
простой
и
Решение.
1. Простая процентная ставка определяется формулой
т. е. величина простой процентной ставки составляет 12,5% годовых.
2. Сложная процентная ставка определяется формулой
т. е. величина сложной процентной ставки составляет приблизительно 9%
годовых.
Задание 2. Какова должна быть процентная ставка для того, чтобы сумма
задолженности удвоилась за 3 года? Провести расчеты для начисления годовой
ставки, различных способов начисления месячной ставки и для непрерывной
процентной ставки.
Методические
ставок.
указания.
Воспользуйтесь
формулами
расчета
процентных
Решение. В нашем примере:
S/P = 2; t = 3; m =12.
В соответствии с формулами находим процентные ставки. Годовая ставка i при
годовом начислении процентов:
Годовая ставка в процентном выражении
месячная ставка i' определяется формулой
28
равна
26%.
Уравновешенная
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Уравновешенная месячная ставка в процентном выражении есть 1,944%. Если
величину
образом,
друг с другом.
возвести в 12-ю степень, то получится 1,26. Таким
, расчеты по годовой и месячной ставке согласованы
Рассмотрим теперь относительную месячную ставку. Она рассчитывается по
той же формуле, что и уравновешенная, т. е. для относительной, как и для
уравновешенной:
i' = 0,01944.
Рассмотрим теперь относительную месячную ставку. К ее расчету можно
подойти двумя способами.
По первому способу расчета, когда месячная ставка i' определяется на основе
годовой ставки i, имеем:
По второму способу расчета, когда месячная ставка i' определяется
непосредственно, а уже потом по ней вычисляется годовая, имеем:
Формула расчета и численный результат совпадают с формулой и результатом
для уравновешенной ставки и отличаются от того, что было получено для
относительной ставки первым способом. Годовая ставка i, рассчитанная по такой
относительной ставке, будет равна следующей величине:
Это отличается от величины 0,26, полученной первым способом.
Таким образом, при расчетах с использованием относительной ставки следует
заранее оговорить способ расчета. Для уравновешенных ставок это не требуется.
Найдем теперь силу роста в условиях примера по формуле:
Эту же величину можно получить и другим способом. Поскольку мы уже
определили годовую ставку i = 0,26, то можно воспользоваться другой формулой:
Результаты расчетов совпадают.
2.7.4. Расчет величины учетной ставки
Задание. Вексель учитывается за два года до срока уплаты. Какова должна
быть величина сложной учетной ставки, чтобы владелец векселя получил 60% от
его суммы? Провести расчет для разных вариантов учетных ставок.
29
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Методические указания. Воспользуйтесь формулами расчета учетных ставок.
Решение. По условию примера,
P / S = 0,6; t = 2.
Годовая учетная ставка d рассчитывается в соответствии с формулой
Таким образом, сложная годовая учетная ставка, выраженная в процентах,
равна 22,54%.
Уравновешенная месячная учетная ставка d' рассчитывается через полученную
годовую ставку d по формуле
Эту же ставку можно вычислить непосредственно по исходным данным:
Для относительной ставки разные способы расчета дают различные
результаты. В соответствии с первым способом, d' определяется по годовой
ставке d:
Согласно второму способу, d' рассчитывается непосредственно и равно уже
вычисленному значению 0,021. По этой ставке определяется теперь годовая
ставка d в соответствии с формулой
Эта величина отличается от той величины годовой ставки, которая была
получена в начале решения примера.
Таким образом, если имеют дело с относительной ставкой, то должен быть
оговорен способ ее расчета.
Наконец, для непрерывной учетной ставки получаем:
2.7.5. Задания для самостоятельного выполнения
Задание 1. Банк принимает вклады по процентной ставке, равной 14%
годовых. Какой срок вклада обеспечивает его 6-кратный рост по простой
процентной ставке?
Задание 2. Банк принимает вклады по процентной ставке, равной 14%
годовых. Какой срок вклада обеспечивает его 6-кратный рост по сложной
процентной ставке?
30
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
Задание 3. Номинальная ставка сложного процента составляет 14% годовых.
На какой срок следует открыть вклад размером 120 тыс. руб., чтобы он вырос до
величины 900 тыс. руб.? Расчет провести при номинальной годовой и
уравновешенной ставках и для ставки непрерывных процентов.
Задание 4. Номинальная ставка сложного процента составляет 14% годовых.
На какой срок следует открыть вклад размером 120 тыс. руб., чтобы он вырос до
величины 900 тыс. руб.? Расчет провести при номинальной годовой и
относительной месячных ставках.
Задание 5. Сложная учетная годовая ставка равна 17%. За какое время до
истечения срока векселя на 400 тыс. руб. следует его учесть, чтобы получить по
нему 300 тыс. руб.? Расчет провести для различных видов ставок.
Задание 6. При какой величине годовой процентной ставки срок удвоения
вклада составляет 5 лет? Ответ следует найти для простой и для сложной
процентной ставки.
Задание 7. При какой величине годовой процентной ставки срок утраивания
величины вклада составляет 6 лет? Ответ следует найти для простой и для
сложной процентной ставки.
Задание 8. Какова должна быть процентная ставка для того, чтобы сумма
задолженности выросла в четыре за 5 лет? Провести расчеты для начисления
годовой ставки, различных способов начисления месячной ставки и для
непрерывной процентной ставки.
Задание 9. Вексель учитывается за три года до срока уплаты. Какова должна
быть величина сложной учетной ставки, чтобы владелец векселя получил 50% от
его суммы? Провести расчет для разных вариантов учетных ставок.
31