Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кратные, криволинейные и
поверхностные интегралы
Индивидуальные задания
Пособие разработано доц. Плаксиной В. П.,
доц.
Макагоновой
М.
А.,
ст.
преп.
Пепеляевой Н.В., ст. преп. Тонкоевой И. В.,
ст. преп. Скумбиной Т. Н..
Одобрено
методической
комиссией
кафедры «Высшая математика»
© 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ
Пермь 2007
Указания к выполнению заданий:
Выполните задания 1-4 с помощью двойного интеграла, задания 5-7 с помощью тройного
интеграла, задания 8-11 с помощью криволинейных интегралов, задания 12-13 с помощью
поверхностных интегралов.
В каждом задании выполните схематический чертеж.
Вариант 1
1
1.
Изменить порядок интегрирования
 dy
2
2.
Вычислить двойной интеграл
0

0
f ( x, y ) dx   dy
1
 2 y
0
 f ( x, y) dx .
 y
 x y dx dy по области D, определяемой условиями
D
3.
4.
5.
 xy  1


5.
 x  y  2
Вычислить с помощью двойного интеграла площадь области D, ограниченной кривой
(x 2  y 2 )3  a 2 (x 4  y 4 ) .
Вычислить с помощью двойного интеграла объем тела V, ограниченного поверхностями
2
2
2
 x  y  z  2 z
. Плотность тела V считать равной единице.
 2
 x  y 2  z 2
dx dy dz
Вычислить тройной интеграл 
по пространственной области V,
3
V (1  x  y  z )
x  z  3

ограниченной поверхностями  y  2
.
 x  0, y  0, z  0

6.
Вычислить интеграл
 ( x
2
 y 2 ) dx dy dz , если область V определяется неравенствами
V
z  0, r  x  y  z 2  R 2 .
2
7.
8.
9.
10.
2
2
64( x 2  y 2 )  z 2 , x 2  y 2  4
Вычислить массу тела, ограниченного поверхностью T : 
и
 y  0, z  0, ( y  0, z  0)
5
имеющего плотность   ( x 2  y 2 ) .
4
x
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  d  , если L – дуга окружности
y
L


x  2 sin t , y  2 cos t ,
t  .
6
3
Найти центр тяжести одной арки циклоиды x  2(t  sin t ), y  2(1  cos t ), 0  t  2 ,
считая плотность равной единице.
Вычислить криволинейный интеграл второго рода  (6  y)dx  xdy , где L – арка циклоиды
x  3(t  sin t ), y  3(1  cos t ), 0  t  2 .
L
x
y dx  xy2 dy по
11.
Вычислить с помощью формулы Грина криволинейный интеграл
12.
окружности L с центром в начале координат радиуса R, при положительном направлении
обхода.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода  x y z ds по пространственной области
2
L
S
 x  y  z  1,

S  ( x, y, z), определяемой условиями 
.
 x  0, y  0, z  0
13.
Вычислить по формуле Стокса криволинейный интеграл
 y dx  z dy  x dz , где L –
2
2
L
окружность, по которой плоскость z  3 пересекает сферу, заданную уравнением
x2  y 2  z 2  4 .
Вариант 2
2
1.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
 dx
6
2.
Вычислить двойной интеграл
 (9x
2
2 x
 f ( x, y) dy .
2
x
1
4
y 2  48x 3 y 3 ) dx dy по области D, ограниченной
D
x  1

линиями  y  x .
 y  x2

3.
4.
5.
Вычислить с помощью двойного интеграла площадь области D, определяемой

x 2  4x  y 2  0

уравнениями  x 2  8 x  y 2  0 .

x
 y  0, y 

3
z  4x 2  2 y 2  1

Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями  x  y  3  0
. Плотность
 x  0, y  0, z  0

тела V считать равной единице.
Вычислить тройной интеграл  15( x 2  z 2 ) dx dy dz по пространственной области V,
V
z  x  y

определяемой уравнениями  x  y  1
.
 x  0, y  0, z  0

6.
Вычислить интеграл
15 ( x
2
 z 2 ) dx dy dz , если область V ограничена поверхностями
V
7.
8.
9.
10.
z  x  y, x  y  1, x  0, y  0, z  0 .
Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностями:
x  y  1, z  x 2  y 2 , x  0, y  0, z  0 .
y
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  d по кривой L y  x 2 , 1  x  2 .
x
L
Определить центр тяжести дуги астроиды x  2 cos 3 t , y  2 sin 3 t , лежащей в первой

четверти 0  t  . Плотность считать равной единице.
2
Вычислить криволинейный интеграл второго рода  x 2dx  y 2dy , если L – контур эллипса
L
x2 y2

 1 , взятый при положительном направлении обхода.
a 2 b2
11.
Вычислить с помощью формулы Грина криволинейный интеграл  (2 xy  y) dx  x 2 dy по
L
2
2
x
y

 1 , пробегаемой так, что внутренность ограниченной
9
4
эллипсом области остается слева.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода  ( y  z )ds по пространственной
замкнутой кривой L
12.
S
13.
 x  y  z  1,

области S  ( x, y, z), определяемой условиями 
.
 x  0, y  0, z  0
Вычислить поверхностный интеграл второго рода  xdydz  ydzdx  zdxdy , где S S
внешняя сторона сферы x  y  z  a .
2
2
2
2
Вариант 3
1. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
2. Вычислить двойной интеграл
 e
x
y
1
x2
0
x3
 dx  f ( x, y )  dy .
dx dy по области D, ограниченной линиями
D
 y  x2
.

 x  0, y  1
3. Вычислить массу плоской пластины D, определяемой условиями
x 2  y 2  9
 2
2x  5 y
2
с распределенной на ней плотностью   2
.
 x  y  16
x  y2
 x  0, y  0 ( x  0, y  0)

2 x  y  2  0

4. Вычислить объем тела V, ограниченного плоскостями 4 x  3 y  2 z  0 . Плотность
 x  0, y  0, z  0

тела V считать равной единице.
5. Вычислить тройной интеграл  (3x  4 y ) dx dy dz по пространственной области V,
V
 y  x, y  0
x  1

определяемой уравнениями 
.
2
2
z  5 ( x  y )
 z  0
6. Вычислить интеграл
 8 y
2
ze 2 x y z dx dy dz , если область V ограничена поверхностями
V
x  1, y  2, z  1, x  0, y  0, z  0 .
7. Найти момент инерции куба 0  x  a,0  y  a,0  z  a относительно его ребра.
8. Вычислить криволинейный интеграл первого рода
x  3 cos t , y  3 sin t ,   t  2 .
 xy d по кривой L:
2
L
9. Вычислить статический момент относительно координатных осей прямолинейного
отрезка АВ, соединяющего точки А(0,0) и B(1,1). Плотность в каждой точке отрезка
равна произведению координат этой точки
10. Вычислить криволинейный интеграл второго рода  ( x 2  xy)dx  ydy , L-контур квадрата
L
АВСD с вершинами А(1,0), В(0,1), С(-1,0), D(0,-1), взятый при положительном
направлении обхода.
11. Найти функцию u  u ( x, y ) по ее полному дифференциалу
du  (e 2 y  5 y 3 e x ) dx  (2 xe2 y  15 y 2 e x ) dy .
2
12. Вычислить поверхностный интеграл первого рода  (3x  z )ds по пространственной
3
S
y z


области S  ( x, y, z), определяемой условиями  x    1, x  0, y  0, z  0 .
2 3


13. Вычислить поверхностный интеграл II рода  ( y  z )dydz  ( z  x)dzdx  ( x  y )dxdy , где
S
S - нижняя сторона части конической поверхности z  x 2  y 2 , при z  0, h .
Вариант 4
1.
2.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
Вычислить двойной интеграл
 (18x
2
1
1 x 2
1
 1 x 2
 dx  f ( x, y) dy .
y  32 x y ) dx dy по области D, ограниченной
2
3
3
D
x  1

линиями  y  x 3 .

3
y   x
3.
4.
5.
x 2  2x  y 2  0

Вычислить площадь плоской пластины D, определяемой условиями  x 2  4 x  y 2  0 .
 y  0, y  x

2
2
z  a  x

x  y  a
Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями 
. Плотность тела V
y

2
x

 z  0, y  0
считать равной единице.
dx  dy  dz
Вычислить тройной интеграл 
по пространственной области V,
x y z 4
V (1 
  )
3 4 8
x y z
   1
определяемой уравнениями  3 4 8
.
 x  0, y  0, z  0
6.
Вычислить интеграл
 z dx dy dz , если область V ограничена поверхностями
V
1

1
 x  0, x  , y  x, y  2 x,
x  0, x  , y  x, y  2 x .
2

2
 z  0, z  1  x 2  y 2
7.
Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями: цилиндром z 
и плоскостями x  0, y  0, z  0 и 2 x  3 y  12  0 .
x
y2
2
8.
Вычислить криволинейный интеграл первого рода
9.
1
y  , 2  x  3.
x
Найти массу кривой y  x 2 от точки x  0 до x  2 , если в каждой точке кривой плотность
равна квадрату ее абсциссы
Вычислить криволинейный интеграл второго рода  ( x 2  2 xy)dx  ( y 2  2 xy)dy , где L -
2
y d по кривой L:
L
10.
L
дуга параболы y  x 2 при x  1 при положительном направлении обхода.
11.
12.
Найти работу силы F  x  2 y, 3x  5 y, совершаемую при перемещении материальной
точки вдоль ломаной АВС, где А(1,-2), В(1, 3), С(5,3).
Вычислить поверхностный интеграл первого рода  ( x  18 y  24 z )ds по
S
13.
 x  2 y  3z  1, 
пространственной области S  ( x, y, z), определяемой условиями 
.
 x  0, y  0, z  0
Вычислить поверхностный интеграл II рода  x 2 dydz  y 2 dzdx  z 2 dxdy , где S - внешняя
S
сторона сферы x  y  z  1 при x  0, y  0, z  0 .
2
2
2
Вариант 5
1.
2.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
Вычислить двойной интеграл
 ( x  2 y) dx dy
2
2 x x2
1
2 x
 dx  f ( x, y) dy .
по области D, ограниченной линиями
D
3.
4.
 y  x 2
.

 y  x
Вычислить массу плоской пластины D, определяемой условиями
x 2  y 2  4
 2
2x  3y
2
с распределенной на ней плотностью   2
.
 x  y  25
x  y2
 x  0, y  0 ( x  0, y  0)

z  4  x 2

Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями  y  5, y  0 . Плотность считать
z  0

равной единице.
5.
Вычислить тройной интеграл
 ( x
2
 y 2 ) dx dy dz по пространственной области V,
V
6.
x 2  y 2  2z
определяемой уравнениями 
.
z  2
Вычислить тройной интеграл  z x 2  y 2 dx dy dz , если область V ограничена
7.
поверхностями x  y  2 x, y  0, z  0, z  a .
Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного плоскостями
8.
1 2
y .
2
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  ( x  y) d по кривой L:
V
2
2
2 x  3 y  12  0, x  0, y  0, z  0 и цилиндрической поверхностью z 

t  .
2
Найти массу участка кривой y  nx от точки с абсциссой x1  3 до точки с абсциссой
x  5 cos 2 t , y  5 sin 2 t
9.
L
x2  2 2 , если плотность в каждой точке равна квадрату ее абсциссы.
 y dx  z dy  x dz , L - отрезок прямой
10.
Вычислить криволинейный интеграл второго рода
11.
АВ, А(0,1,2), В(3,2,-1).
Найти площадь, ограниченную астроидой x  2 cos 3 t ,
12.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода
L
y  2 sin 3 t , 0  t  2 .
 zds по пространственной области
S
 x  y  z 2  1,
S  ( x, y, z), определяемой условиями 
.
z

0


13. Пользуясь формулой Стокса, вычислить криволинейный
интеграл  ( y 2  z 2 ) dx  ( z 2  x 2 )dy  ( x 2  y 2 )dz , где L – граница сечения куба
2
2
L
0  x  a,0  y  a,0  z  a плоскостью x  y  z 
3a
, которая обходится против часовой
2
стрелки, если смотреть из точки (2 a ,0,0).
Вариант 6
1.
2.
1
y
0
0
2
Изменить порядок интегрирования  dy  f ( x, y) dx   dy
Вычислить двойной интеграл
 x y
2
1
2 y 2
 f ( x, y) dx .
0
dx dy по области D, ограниченной линиями
D
 y 2  2 px
.

x  p
3.
4.
   4 sin 
Вычислить площадь плоской пластины D, определяемой уравнениями 
.
   2 sin 
2 z  x 2  y 2
Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями 
. Плотность тела V
y

z

4

считать равной единице.
5.
Вычислить тройной интеграл
dx dy dz
 1  x  y
по пространственной области V, определяемой
V
6.
x  y  z  1
уравнениями 
.
 x  0, y  0, z  0
Вычислить интеграл  ( x 2  y 2  z 2  1) dx dy dz , если область V определена условиями
7.
x  y  z  1, z  0 .
Найти объем тела, ограниченного параболоидом 2az  x 2  y 2 и шаром x 2  y 2  z 2  3a 2 .
8.
Вычислить криволинейный интеграл первого рода
V
2
2
2
 x
3

 y d по кривой L:
L
y  x3 , 0  x  1.
9.
10.
11.
x
на участке от x  0 до x  2 считая, что в каждой точке
2
плотность обратно пропорциональна ординате этой точки.
dx  dy
Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
, L-контур квадрата АВСD с
x y
L
вершинами А(1,0), В(0,1), С(-1,0), D(0,-1), взятый при положительном направлении
обхода.
Найти работу, совершаемую силой F  ( y, x) при перемещении материальной точки
Найти массу кривой y  2ch
вдоль верхней полуокружности x 2  y 2  4 в положительном направлении.
12.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода
 ( x  y  z)ds по пространственной
S
13.
 x  y  z  1, 
области S  ( x, y, z), определяемой условиями 
.
 x  0, y  0, z  0
С помощью формулы Остроградского-Гаусса вычислить поверхностный интеграл II рода
2
2
2
2
2
2
2
 x dydz  y dzdx  z dxdy по внешней стороне S сферы x  y  z  R .
S
Вариант 7
1
1.
2
2 y
1
0
Изменить порядок интегрирования  dy  f ( x, y ) dx   dy
0
2.
y
Вычислить двойной интеграл
0
 f ( x, y) dx .
 y  cos( x  y)  dx  dy по области D, ограниченной линиями
D


y  2

y   .
x  1

 x  2
3.
4.
y  0

Вычислить площадь плоской пластины D, определяемой уравнениями  y  x
.
x 2  y 2  2x

y  x2  z2
Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями 
. Плотность тела V
y  1
считать равной единице.
5.
Вычислить тройной интеграл
 x dx dy dz
по пространственной области V,
V
x 2  y 2  1

определяемой уравнениями  z  0
.
z  3

6.
Вычислить интеграл

V
7.
8.
9.
dx  dy  dz
a  ( x 2  y 2  z 2 )3 / 2
2
, если область V определена условием
x2  y2  z2  R2 .
Вычислить координаты центра масс и моменты инерции пирамиды, ограниченной
x y z
плоскостями x  0, y  0, z  0,    1 .
a b c
1
d по дуге астроиды L:
Вычислить криволинейный интеграл первого рода 
xy
L


y  sin 3 t , x  cos 3 t ,
t  .
6
3
 x  2 cos t
Вычислить массу эллипса L, определенного параметрическими уравнениями 
 y  3 sin t
(0  t  2 ) .
10.
Вычислить криволинейный интеграл второго рода  (2a  y)dx  xdy , где L – арка
11.
циклоиды x  a(t  sin t ), y  a(1  cos t ),0  t  2 при положительном направлении обхода.
Найти работу силы F  ( z, x, y) , совершаемую при перемещении материальной точки
12.
x 2  y 2  z 2  1
вдоль окружности 
, ориентированной против часовой стрелки со стороны
 x  y  z 1
оси Oz.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода  zds по пространственной области
L
S
 x  y  2 z  0,
S  ( x, y, z), определяемой условиями 
.
 0  z 1

13. Вычислить поверхностный интеграл II рода  zdxdy , где S - нижняя сторона части конуса
2
2
S
z  x 2  y 2 , заключенного между плоскостями z  0 и z  1 .
Вариант 8
3
1.
Изменить порядок интегрирования
Вычислить двойной интеграл
2
0
 dx  f ( x, y) dy   dx  f ( x, y) dy .
0
2.
0
4 x 2  2
 x y dx dy
3
 4 x 2
по области D, ограниченной линиями
D
y  x  4
.
 2
 y  2x
3.
Вычислить площадь плоской пластины D, определяемой уравнением ( x 2  y 2 ) 2  2a 2 x y .
4.
5.
 x  6  z 2  y 2
Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями  2
. Плотность тела
 x  y 2  z 2
V считать равной единице.
Вычислить тройной интеграл  x 2 y 2 z dx dy dz по пространственной области V,
V
 x  1, x  3

ограниченной плоскостями  y  0, y  2 .
 z  2, z  5

4 x 2
2
6.
Вычислить интеграл
 dx 
2
7.
8.
 4 x 2
dy
4  x2
4 x 2  y 2

( x 2  y 2 )dz .
0
Вычислить момент инерции круглого конуса, относительно его оси.
y3
Вычислить криволинейный интеграл первого рода 
d по кривой L:
x
L
y  x, 1  x  3.
 x  cos t

9.
Найти массу первого витка винтовой линии  y  sin t плотность которой в каждой точке
z  t

равна квадрату полярного радиуса этой точки
10. Вычислить криволинейный интеграл второго рода  y 2dx  z 2dy  x 2dz , где L – часть
L
кривой Вивиани x  a cos  , y  a sin  cos  , z  a sin  , 

2


2
направлении обхода.
11.
Найти функцию u  u ( x, y, z ) по ее полному дифференциалу du 
12.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода
 ( x
2
при положительном
dx  dy  dz
.
x yz
 y 2 )ds по пространственной
S
 x  y 2  z 2  0,
области S  ( x, y, z), определяемой условиями 
.
 0  z 1

13. Вычислить поверхностный интеграл II рода  ydzdx , где S - верхняя сторона
2
S
параболоида z  x  y , заключенного между плоскостями z  0 и z  2 .
2
2
Вариант 9
1.
2.
3.
1
3 x
0
2 x2
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле  dx  f ( x, y)  dy .
0  x  1
.
 2 y) dx dy по квадрату D: 
0  y  2
D
Вычислить массу плоской пластины D, определяемой условиями
x 2  y 2  9
 2
3y  x
2
с распределенной на ней плотностью   2
.
 x  y  25
x  y2
 x  0, y  0 ( x  0, y  0)

Вычислить двойной интеграл
 ( x
2
4.
5.
 z  x  y  3a

Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями  x 2  y 2  a 2 . Плотность тела V
z  0

считать равной единице.
Вычислить тройной интеграл
 ( x
2
 3 y 2 ) dx dy dz по пространственной области V,
V
 z  10 x

ограниченной плоскостями  x  y  1 .
 y  0, z  0

1
6.
Вычислить интеграл  dx
0
2 x 2  y 2
1 x 2


dy
0
x y
2
z2
x2  y2
2
dz .
7.
Найти весь объем, заключенный между конусом 2( x 2  y 2 )  z 2  0 и
гиперболоидом x 2  y 2  z 2  a 2 .
8.
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  ( x 2  y 2 ) d по дуге циклоиды L:
L
x  2(1  cos t ), y  2(t  sin t ), 0  t  2 .
9.
10.
Найти массу дуги линии x  e t cos t , y  e t sin t , z  e t от точки, соответствующей t  0
до произвольной точки, если плотность дуги обратно пропорциональна квадрату
полярного радиуса и в точке (1,0,1) равна единице.
Вычислить криволинейный интеграл второго рода  ( y 2  z 2 )dx  ( z 2  x 2 )dy  ( x 2  y 2 )dz ,
L
11.
где L – контур, образованный линиями пересечения сферы x 2  y 2  z 2  1 с
координатными плоскостями, ( x  0, y  0, z  0) при положительном направлении
обхода.
Убедившись, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом,
вычислить криволинейный интеграл  xdx  ydy по кривой L с началом в точке А(1,1) и
L
12.
концом в точке В(2,2).
Вычислить поверхностный интеграл первого рода
 ( xy  yz  zx)ds
по пространственной
S
13.
 x 2  y 2  z 2  0,
области S  ( x, y, z), определяемой условиями 
.
 0  z 1

2 2
Вычислить поверхностный интеграл II рода  x y zdxdy по верхней стороне верхней
S
половины сферы x  y  z  R .
2
2
2
2
Вариант 10
1
1.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле  dx
0
2.
3.
4.
5.
1
 f ( x, y) dy .
 2 x x2
2 y  x 2
xdxdy
по
области
D,
ограниченной
линиями
.

D x 2  y 2
y  x
 y  1

Вычислить площадь плоской пластины D, определяемой уравнениями  y   x
.
 x 2  y 2  2 y

Вычислить двойной интеграл
 y 2  z 2  2ax

Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями  y 2  z 2  2az, a  0 .
x  0

Плотность тела V считать равной единице.
Вычислить тройной интеграл  ( x  y  z ) dx dy dz по пространственной области V,
V
 x  0, x  1

ограниченной плоскостями  y  0, y  1 .
 z  0, z  1

6.
Вычислить тройной интеграл
 ( x
2
 y 2 ) dx dy dz , если область V ограничена
V
поверхностями x  y  2 z, z  2 .
2
7.
8.
2
 x 2  y 2  z 2  4, x 2  y 2  4 z 2
Вычислить массу тела, ограниченного поверхностями 
и
 x  0, y  0, x  0, y  0, z  0
имеющего массу   10 z .
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  ( x 4  y 2 ) d по кривой L:
L
11.
y  nx, 1  x  e .
Найти координаты центра масс первого полувитка винтовой линии
x  10 cos t , y  10 sin t , z  t , считая плотность постоянной
ydx  xdy
Вычислить криволинейный интеграл второго рода  2
, где L – дуга окружности
x  y2
L
радиуса 2 с центром в начале координат при положительном направлении обхода.
Вычислить площадь, ограниченную эллипсом x  4 cos t , y  3 sin t , 0  t  2 .
12.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода
13.
 x  y 2  4 z 2  0,


области S  ( x, y, z), определяемой условиями 
.
1
 0 z

2


Вычислить поверхностный интеграл второго рода  z dxdy  y dxdz  x dydz, где S –
9.
10.

x 2  y 2 ds по пространственной
S
2
S
верхняя сторона плоскости x  y  z  1, ограниченной координатными плоскостями.
Вариант 11
2
1.
2.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
Вычислить двойной интеграл

2 x 3
 dx 
f ( x, y )  dy .
1
2x
4  x  y dx dy по области D, ограниченной прямыми
D
3.
4.
5.
x  0

.
y  0
x  y  5

Вычислить площадь плоской пластины D, определяемой уравнением   a  sin 3 .
x 2  y

Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями  x 2  4  3 y . Плотность тела V
 z  0, z  9

считать равной единице.
xy
Вычислить тройной интеграл 
dx dy dz по пространственной области V,
z
V
4 z 2  x 2  y 2
ограниченной поверхностями 
.
 x  0, y  0, z  1
a
6.
Вычислить интеграл
 dx 
a
7.
8.
x2  y2
a2 x2
 a x
2
dy
2
 dz .
0
Найти объем тела, ограниченного параболоидами z  x 2  y 2 и z  x 2  2y 2 и плоскостями
y  x, y  2 x, x  1 .
y
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  d по кривой L:
x
L
9.
x  t, y  t 2 , 1  x  3 .
Вычислить статический момент первого витка винтовой линии x  t cos t , y  t sin t , z  t ,
относительно плоскости Оxy, считая плотность пропорциональной квадрату расстояния от
этой плоскости (   3z 2 ) .
10.
Вычислить криволинейный интеграл второго рода
 xy dx  yz dy  x dz , где L – дуга
2
L
11.
винтовой линии x  cos t , y  sin t , z  t от точки А (1,0,0) до точки В (1,0,2  ).
Найти работу, совершаемую при перемещении материальной точки вдоль дуги L от точки
А(0,0) до точки В(1,1) силой F   xy, x  y в случае, если L – отрезок прямой и в случае,
если L – дуга параболы y  x 2 .
 ( x
 y 2 )ds по пространственной
12.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода
13.
 x  y 2  1,
области S  ( x, y, z), определяемой условиями 
.
 0 z2 
Вычислить поверхностный интеграл второго рода  yz dydz  xz dxdz  xy dxdy, где S –
2
S
2
S
внешняя сторона поверхности, ограниченной плоскостями x  y  z  a, x  0, y  0, z  0 .
Вариант 12
1.
2.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
Вычислить двойной интеграл

0
x 3
1
2 x2
 dx  f ( x, y) dy .
xy  y 2 dx dy по области D, представляющей собой
D
3.
4.
5.
треугольник с вершинами О(0,0), А(10,1), В(1.1).
Вычислить площадь плоской пластины D, определяемой уравнением
( x 2  y 2 ) 2  2a 2  ( x 2  y 2 ) .
 y 2  z 2  3x
Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями  2
. Плотность тела
 x  y 2  z 2  4
V считать равной единице.
Вычислить тройной интеграл  (4  z) dx dy dz по пространственной области V,
V
y  x2

ограниченной поверхностями  y  1
.
 z  0, z  2

6.
Вычислить тройной интеграл
 (3x
2
 y 2 )  dx  dy  dz , если область V ограничена
V
x  10 y, x  y  1
.
x  0, y  0, z  0
Найти массу тела, ограниченного поверхностями
x 2  y 2  z 2 , x 2  y 2  4, y  0, z  0 ( y  0, z  0) , если плотность определяется по формуле
плоскостями
7.
  5( x 2  y 2 ) .
8.
Вычислить криволинейный интеграл первого рода
y
2
d по кривой L: y  e x , 0  x  2 .
L
9.
Вычислить моменты инерции первого витка винтовой линии x  cos t , y  sin t , z 
10.
относительно координатной оси Оy.
Вычислить криволинейный интеграл второго рода
x  2 cos t ,
x
2
1
t
2
ydx  xy2dy , где L – дуга эллипса
L
y  3 sin t , 0  t  2 при положительном направлении обхода.
( 2 , 3)
 (3x
y  y )dx  ( x 3  x)dy не зависит от пути
11.
Показать, что криволинейный интеграл
12.
интегрирования и вычислить этот интеграл.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода
2
( 0,1)
 xds по пространственной области
S
 x  y  1,
S  ( x, y, z), определяемой условиями 
.
 z  0, z  2 
13. Вычислить поверхностный интеграл второго рода  z dxdy, где S – внешняя сторона
2
2
S
2
эллипсоида
2
2
x
y
z
 2  2  1. .
2
a
b
c
Вариант 13
1.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

3/ 2
y 3
0
2 y2
 dy
 f ( x, y) dx .
25  x 2  y 2 dx dy по области D, определяемой
2.
Вычислить двойной интеграл
3.
неравенством x  y  9 .
Определить центр тяжести однородной плоской пластинки, ограниченной линиями:
D
2
4.
5.
x  y  1,
2
x  y  0,
x  2.
 z  x 2  y 2
Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями 
. Плотность
 y  x 2 , y  1, z  0
тела V считать равной единице.
Вычислить тройной интеграл  ( x 2  y 2 ) dx dy dz по пространственной области V,
V
6.
x 2  y 2  2z
ограниченной поверхностями 
.
z

2

Вычислить тройной интеграл  (4  8 x 3 ) dx dy dz , если область V ограничена
V
поверхностями
y  x,
y  0, x  1
7.
.
z  xy , z  0
Найти объем тела, определяемого неравенствами
8.
x2  y2
,
3x  y   3x .
99
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  ( x 2 y  xy 2 ) d по дуге L окружности
25  x 2  y 2  z 2  100, z  
x  5 sin t ,
9.
10.
y  5 cos t , 0  t 

2
L
, расположенной в первой координатной четверти.
 x  3(t  sin t )
(0  t  2 ) . Считать плотность
Найти центр тяжести одной арки циклоиды 
 y  3(1  cos t )
равной единице
Вычислить криволинейный интеграл второго рода  xzdx  yzdy  xydz , где L - дуга
L
11.
t
винтовой линии x  cos t , y  sin t , z 
от точки А(1,0,0) до точки В(1,0,1).
2
Найти функцию u  u ( x, y ) по ее полному дифференциалу
1
1
x
du  (
  ln y ) dx  dy .
2
x
y
1 x
12.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода
13.
 x  y 2  4,
области S  ( x, y, z), определяемой условиями 
.
z

0
,
z

4


2
Вычислить поверхностный интеграл второго рода  x dydz  y 2 dxdz  z 2 dxdy, где S –
 ( x  y)ds по пространственной
S
2
S
внешняя сторона поверхности верхней полусферы x 2  y 2  z 2  a 2 .
Вариант 14
1
1.
Изменить порядок интегрирования
 dx
2
2.
3.
4.
5.
0

0
0
f ( x, y ) dy   dx  f ( x, y ) dy .
( 2 x )
1
3
x
3  x  4
dx  dy
Вычислить двойной интеграл 
по
квадрату
D:
.

2
1  y  2
D ( x  y)
Вычислить площадь плоской пластины D, определяемой уравнением:
( x 2  y 2 ) 2  2a  x 3 , a  0 .
z  0

Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями  z  1  y . Плотность тела V

2
y  x
считать равной единице.
Вычислить тройной интеграл  ( x  y ) dx dy dz по пространственной области V,
V
6.
 y  x, y  0
x  1

ограниченной поверхностями 
.
2
2
z

30
x

60
y

 z  0
Вычислить тройной интеграл  21 x z dx dy dz , если область V ограничена
V
y  x, y  0, x  2
поверхностями
.
z  xy, z  0
7.
8.
9.
10.
Найти центр тяжести однородного полушара x 2  y 2  z 2  R 2 , z  0 .
y
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  d , если L – дуга параболы
x
L
y  3x 2 0  x  2 .
Определить центр тяжести дуги астроиды x  cos3 t , y  sin 3 t , лежащей во второй четверти

 t   , плотность считать равной 2.
2
Вычислить криволинейный интеграл второго рода   x cos ydx  y sin xdy , где L - отрезок
L
11.
прямой от точки А(0,0) до точки В ( ,2 ) .
Вычислить площадь, ограниченную эллипсом x  3 cos t ,
12.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода
13.
 x  y 2  1,
области S  ( x, y, z), определяемой условиями 
.
 z  0, z  1 
Вычислить поверхностный интеграл второго рода  x 3 dydz  y 3 dxdz  z 3 dxdy, где S –
y  sin t , 0  t  2 .
 ( x  y  z)ds по пространственной
S
2
S
внешняя сторона поверхности x  y  z  a .
2
2
2
2
Вариант 15
4
1.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
 dx  f ( x, y) dy .
0
2.
3.
4.
 z  0; z  1  y 2
Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями 
. Плотность
 x  y 2 ; x  2 y 2  1
тела V считать равной единице.
Вычислить интеграл  dx
0
6.
3
x
4
y  x

Вычислить двойной интеграл  2 y dx dy по области D, ограниченной линиями  y  0
.
D
x  y  2

Определить центр тяжести однородной пластинки, ограниченной линиями:
x 2  y 2  8, x  y  0, y  x  3 ( x  0, y  0) .
1
5.
25 x 2
2 x 2  y 2
1 x 2


dy
x2  y2
0
Вычислить тройной интеграл
z 2  dz .
 (15x  30 z) dx dy dz , если область V ограничена
V
поверхностями z  x  3 y , x  0, y  x, y  0, x  1.
Найти массу шара x 2  y 2  z 2  2 Rz , если плотность в каждой точке шара обратно
пропорциональна расстоянию от начала координат.
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  (3x 2  4 y) d , если L –дуга
2
7.
8.
2
L

9.
10.
3
t
окружности x  6 cos t , y  6 sin t
.
4
4
Вычислить статический момент относительно координатных осей прямоугольного отрезка
СД соединяющего точки (1,2) и (2,3). Плотность в каждой точке отрезка равно
произведению координат этой точки.
Вычислить криволинейный интеграл второго рода  x 2dx  ( x  z )dy  xy dz , где L – дуга
кривой x  sin t , y  sin 2 t , z  sin 3 t при 0  t 

L
12.
.
2
Вычислить работу, производимую силой F  ( x 2  y) i  ( x  y 2 ) j при перемещении
материальной точки из А(1,2) в В(2,1) по прямой, соединяющей эти точки.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода  ( y 2  1)ds по пространственной
13.
 x  y 2  2,
области S  ( x, y, z), определяемой условиями 
.
z

0
,
z

1


Вычислить поверхностный интеграл второго рода  ( x  y )dxdy  ( z  x)dxdz  ( y  z )dydz,
11.
S
2
S
где S – внешняя сторона конической поверхности x 2  y 2  z 2 , (0  z  h) .
Вариант 16
1.
2.
3.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
0
5/ 4y
4
 9 y 2
 dy
 f ( x, y) dx .

y  2
2

y
Вычислить двойной интеграл  2 dx dy по области D, ограниченной линиями  x  y .
D x

1
x 

y
Определить массу пластинки, ограниченной
2
2
линиями: x  y  8, y  x, x  2 ( y  x ) при заданной
плотности  ( x, y)  x 2  y 2 .
4.
 x  0, y  0, z  0

Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями  y  z  1
. Плотность
x  y 2  1

тела V считать равной единице.
a
5.
Вычислить интеграл
 dx 
a
6.
x2  y2
a2  x2
dy
 a2  x2
Вычислить тройной интеграл

dz .
0
 (3 y  12 z) dx dy dz , если область V ограничена
V
7.
8.
z  10( x  3 y ), x  y  1,
поверхностями
.
x  0, y  0, z  0
Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями
y  5 x 2  2, y  4 x 2  7, z  4  9 x 2  5 y 2 .
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  (4 x 6  y) d , если L –дуга кривой
L
9.
10.
11.
12.
2
y  , 2  x  4.
x
Найти массу кубической параболы y  x3 от точки x  1 до x  3 , если в каждой точке
кривой плотность равна квадрату ее абсциссы.
y dx  4 x dy
Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
, где L – отрезок прямой
x2  y2
L
от точки А(1,2) до точки В(2,8).
Найти работу, производимую силой F  x 6 i  xy j вдоль кубической параболы y  x 3 от
точки А(0,0) до точки В(2,8).
Вычислить поверхностный интеграл первого рода  (2  x 2  y 2 )ds по пространственной
S
 x  y 2  1, 
области S  ( x, y, z), определяемой условиями 
.
 z  0, z  2
13. Вычислить поверхностный интеграл второго рода  x dydz  y dxdz  z dxdy, где S –
2
S
положительная сторона куба, составленного плоскостями
x  0, y  0, z  0, x  1, y  1, z  1 .
Вариант 17
1.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
2.
Вычислить двойной интеграл
 sin
1
x 2 1
0
1
 dx 
f ( x, y )  dy .
x  y dx dy по области D, ограниченной линиями
2
2
D
3.
4.
5.
6.
 x 2  y 2   2
.
 2
 x  y 2  4 2
Найти центр тяжести однородной пластинки, ограниченной линиями: y 2  ax,
y  x.

 x  0, y  0, z  0

Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями  x  1, x  y  2
. Плотность

1
z  x 2  y 2
2

тела V считать равной единице.
R
R2  x2
0
0
Вычислить интеграл  dx

R2  x2  y2

dy
dz .
0
Вычислить тройной интеграл
 (3x  4 y) dx dy dz , если область V ограничена
V
поверхностями
y  x,
y  0, x  1
7.
.
z  5( x 2  y 2 ), z  0
Найти объем тела, ограниченного заданными поверхностями
z  x 2  y 2 , z  2 x 2  2 y 2 , y  x, y  x 2 с помощью тройного интеграла.
8.
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  (2 x 2  3 y) d , если L –дуга кривой
x  6 cos 2 t ,
9.
y  6 sin 2 t

L

t  .
6
2
Найти массу участка кривой y  3nx от точки с абсциссой x1  2 до точки с абсциссой
x2  5 , если плотность в каждой точке равна квадрату ее абсциссы.
10.
Вычислить криволинейный интеграл второго рода
 y dx  x dy , где L – дуга астроиды
L
x  a cos 3 t ,
11.
y  a sin 3 t от точки А(а,0) до точки В(0,а).
Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл

L
xdy  ydx
по
x2  y2
окружности ( x  1)  ( y  1)  1 пробегаемой так, что ее внутренность остается слева.
2
12.
2
Вычислить поверхностный интеграл первого рода
 ( x
2
 z )ds по пространственной
S
 x 2  y 2  1, 
области S  ( x, y, z), определяемой условиями 
.
 z  0, z  3
13. Вычислить поверхностный интеграл второго рода  x 2 y 2 z dxdy, где S – положительная
S
сторона нижней половины сферы
x  y  z  R2 .
2
2
2
Вариант 18
1.
2.
1
0
2
0
0
y
1
 2 y2
 dy  f ( x, y )  dx   dy
Изменить порядок интегрирования
Вычислить двойной интеграл
 ( x
2

f ( x, y )  dx .
 y 2 ) dx dy по области D, ограниченной линией
D
x  y  2ay .
Найти моменты инерции прямоугольника относительно его основания (a) и высоты (h).
 z  0, z  2  x
Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями 
. Плотность
2
x

1
,
x

y

тела V считать равной единице.
2
3.
4.
2
1 x 2
1
5.
Вычислить интеграл  dx
0
6.

 1 x 2
Вычислить тройной интеграл
a
dy  dz .
0

V
7.
8.
dx  dy  dz
, если область V ограничена плоскостями
x y z 6
(1    )
8 3 5
x y z
  1
.
8 3 5
x  0, y  0, z  0
Найти массу тела, ограниченного поверхностями
x 2  y 2  4, x 2  y 2  4 z, x  0, y  0, z  0 ( x  0, y  0) .
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  3 y d , если L – дуга кубической
L
параболы y  2 x
10.
1 x  2 .
x
Найти массу кривой y  ch на участке от x  0 до x  3 считая, что в каждой точке
3
плотность обратно пропорциональна ординате этой точки.
Вычислить криволинейный интеграл второго рода  y 2dx  z 2dy  ( x  y)dz , где L – отрезок
11.
прямой от точки А(1,0,2) до точки В (2,-1,0).
Убедившись, что подынтегральное выражение представляет собой полный дифференциал,
9.
3
L
(1, 2 )
вычислить интеграл
 (3x
2
 2 xy  y 2 ) dx  (2 xy  x 2  3 y 2 ) dy .
( 1, 1)
12.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода

x 2  y 2 ds по пространственной
S
 x 2  y 2  4,
области S  ( x, y, z), определяемой условиями 
.
 z  0, z  1
13. Вычислить поверхностный интеграл второго рода  z dxdy, где S – внешняя сторона
S
2
эллипсоида
2
2
x
y
z
 2  2  1.
2
a
b
c
Вариант 19
1.
2.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
Вычислить двойной интеграл

1
2 y
0
y
 dy 
f ( x, y )  dx .
R 2  x 2  y 2  dx  dy по области D, ограниченной
D
x  y  R

линиями  y  x
.

y  3  x
2
3.
4.
5.
6.
2
2
Найти моменты инерции J x и J y однородной плоской фигуры относительно
координатных осей. Плоская фигура ограничена линиями:
x y
x y
  1;
  1; y  0
(b2  b1  0, h  0) .
b1 h
b2 h
 z  0, z  1  y
Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями 
. Плотность тела
2
y

x

V считать равной единице.
2
2 x x2
0
0
Вычислить интеграл  dx

Вычислить тройной интеграл
1
dy  z  x 2  y 2  dz .
0
 ( x
2
 4 y 2 )  dx  dy  dz , если область V ограничена
V
x  20 (2 x  y ), x  y  1
плоскостями
.
x  0, y  0, z  0
7.
Найти объем тела, ограниченного поверхностями y  x 2  2, y  4 x 2  3, z  2  x 2  y 2 .
8.
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  (2 x  y) d , если L – дуга астроиды
y  2 sin 3 t , x  2 cos 3 t 0  t 
9.
10.

2
L
.
 x  cos t
Вычислить массу эллипса L, определенного параметрическими уравнениями 
 y  sin t
(0  t  2 ) .
Вычислить криволинейный интеграл второго рода  ( x 2  y 2 )dx  2 xy dy , где L – дуга
L
параболы x  y при y  1.
2
 x
ydx  xy 2 dy , если L
11.
С помощью формулы Грина вычислить криволинейный интеграл
12.
– окружность с центром в начале координат радиуса R, пробегаемая в положительном
направлении.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода  ( xy  z 2 )ds по пространственной
2
L
S
 x 2  y 2  1, 
области S  ( x, y, z), определяемой условиями 
.
 z  0, z  1
13.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода
 z
2
dxdy, где S – внешняя сторона
S
эллипсоида
x2 y2 z2


 1.
a2 b2 c2
Вариант 20
1.
2.
3.
4.
Изменить порядок интегрирования
0
x2
 2
0
1
0
 d x  f ( x, y) dy   dx  f ( x, y) dy .
x  2

y  x .
x  2 y

Вычислить массу круга x 2  y 2  2 Rx , если в каждой точке его плотность равна
расстоянию до начала координат.
 z  0, z  1  x 2
Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями 
. Плотность
 y  0, y  3  x
тела V считать равной единице.
Вычислить интеграл
4 x 2  y 2
4 x 2
 dx  d y  ( x
2
6.
2 x 2
x y dx dy
Вычислить двойной интеграл  2
по области D, ограниченной линиями
2
D x  y
2
5.
1
 4 x 2
Вычислить тройной интеграл
2
 y 2 )  dz .
0
 21 x z dx dy dz , если область V ограничена
V
7.
8.
поверхностями x  y, y  0, x  2, z  xy, z  0 .
Найти массу тела, ограниченного прямым круговым цилиндром радиуса R и высоты H,
если его плотность в любой точке пропорциональна квадрату расстояния этой точки от
центра основания цилиндра.
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  y d , если L – дуга кривой
L
y  3 x, 3  x  4 .
 x  2 cos t

9.
Найти массу первого витка винтовой линии  y  3 sin t плотность которой в каждой точке
z  t

равна квадрату полярного радиуса этой точки.
10. Вычислить криволинейный интеграл второго рода  (1  x 2 ) y dx  (1  y 2 ) x dy , где L –
L
11.
контур треугольника АВС с вершинами А(0,0), В(2,0), С(4,2) при положительном
направлении обхода.
С помощью формулы Грина вычислить криволинейный интеграл  6 x 2 y 2 dx  4 x 3 ydy , если
L
2
L – эллипс
12.
2
x
y

 1 , пробегаемый в положительном направлении.
9 25
Вычислить поверхностный интеграл первого рода

3
9  x 2  y 2 ds по пространственной
S
 x 2  y 2  1, 
области S  ( x, y, z), определяемой условиями 
.
 z  0, z  1
13.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода
 xz dxdy  xy dydz  yz dxdz, где S –
S
внешняя сторона пирамиды, составленной плоскостями x  0, y  0, z  0 и x  y  z  1 .
Вариант 21
1
1.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле  dy
0
2.
Вычислить двойной интеграл
2 2 y  y 2
f
y
( x, y ) dx .
3/ 2
 sin ( x  y) dx dy по области D, ограниченной линиями
D
3.
4.

y  0

.
y  x


x  y 
2

Найти массу пластинки, ограниченной лемнискатой Бернулли ( x 2  y 2 ) 2  8 x y ,
плотность которой в каждой точке равна квадрату расстояния ее до начала координат.
 x  y  2, y  1  z 2
Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями 
.
 x  0, y  0, z  0
Плотность тела V считать равной единице.
1
5.
Вычислить интеграл  dx
0
6.
1 x 2
1 x 2  y 2
dy 
0
Вычислить тройной интеграл
x 2  y 2  z 2  dz .
0
 (60 y  90 z) dx dy dz , если область V ограничена
V
7.
поверхностями y  x, y  0, x  1, z  xy, z  0 .
Найти массу тела, ограниченного поверхностями
x 2  y 2  z 2  4, x 2  y 2  z 2 , x  0, y  0 ( x  0, y  0, z  0) с плотностью   6 z .
8.
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  (2 x  3 y) d , если L – дуга циклоиды
L

9.
10.
3
x  3(1  cos t ), y  3(t  sin t ),
t
.
2
2
Найти массу дуги линии x  e t cos 2t , y  e t sin 2t , z  e t от точки, соответствующей
t  0 до t  2 , если плотность дуги обратно пропорциональна квадрату полярного радиуса
и в точке (1,0,1) равна 2.
Вычислить криволинейный интеграл второго рода  y dx  xy dy , где L – четверть дуги
L
эллипса с полуосями а=2, в=1, лежащая в первой координатной четверти при
положительном направлении обхода.
( 2 ,8 )
11.
Вычислить криволинейный интеграл
 (x
3
 2 xy)dx  x 2 dy по прямой y  4 x и по дуге
( 0, 0 )
параболы y  x .
3
12.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода
 xds по пространственной области
S
 x  y  z 2  7,
S  ( x, y, z), определяемой условиями 
.
z0


2
2
13.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода
 yz dxdy  xz dydz  xy dxdz, где S –
S
внешняя сторона поверхности, расположенной в первом октанте и составленной из
цилиндра x 2  y 2  R 2 и плоскостей x  0, y  0, z  0 и z  H .
Вариант 22
2
1.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
 d y  f ( x, y) dx .
 2
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Вычислить двойной интеграл
4 2 y 2
 4 2 y 2
ln( x 2  y 2 )
D ( x 2  y 2 ) dx dy по области D, ограниченной
 x 2  y 2  1
окружностями  2
.
 x  y 2  e
Найти момент инерции относительно оси Oх плоской фигуры, ограниченной линиями:
y  0, y  2 x  3, y  x .
 z  0, z  2 x, y  x  3

Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями 
.
y
x

2

Плотность тела V считать равной единице.
dx  dy  dz
Вычислить тройной интеграл 
, если область V ограничена
x
y
z
5
V (1 
  )
6 4 16
 x y z
 
1

плоскостями  6 4 16
.
 x  0, y  0, z  0
dx  dy  dz
, если область V ограничена поверхностями
2 x y
V
x  y  z  2, x  0, y  0, z  0 .
Найти массу тела, ограниченного поверхностями
x 2  y 2  4, x 2  y 2  4 z, x  0, y  0 ( x  0, y  0) с плотностью   5 y .
Вычислить тройной интеграл

Вычислить криволинейный интеграл первого рода  3x 2 d , если L – дуга кривой
L
9.
10.
y  2nx, 2  x  3 .
Найти координаты центра масс первого полувитка винтовой линии
x  5 cos t , y  5 sin t , z  t , считая плотность равной 3.
y dx  x dy
Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
, где L – верхняя
x2  y2
L
11.
полуокружность x  5 cos t , y  5 sin t при положительном направлении обхода.
С помощью криволинейного интеграла найти площадь, ограниченную кардиоидой
x  2 cos t  cos 2t , y  2 sin t  sin 2t , 0  t  2 .
12.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода
 zds по пространственной области
S
 x  y  z 2  4,
S  ( x, y, z), определяемой условиями 
.
z0


2
2
13.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода
 y
2
z dxdy  xz dydz  x 2 y dxdz, где S –
S
внешняя сторона поверхности, расположенной в первом октанте и составленной из
параболоида вращения z  x 2  y 2 , цилиндра x 2  y 2  1 и координатных плоскостей.
Вариант 23
1.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
4
y/2
6
6 y
0
0
4
0
 dy  f ( x, y)  dx   dy  f ( x, y)  dx .
2.
Вычислить двойной интеграл

D
3.
4.
dx dy
25  x 2  y 2
по области D, определяемой условием
x 2  y 2  16 .
Определить момент инерции относительно оси Oх однородной плоской фигуры,
x
ограниченной линиями: y  , y  a, x  a .
2
 z  x2  3y 2

x  y 1
Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями 
. Плотность
 x  0, y  0, z  0

5.
тела V считать равной единице.
Вычислить тройной интеграл  ( x 2  y 2  z 2 ) 3  dx  dy  dz по области V, определяемой
6.
x  z  1
уравнениями 
.
 y  0, y  1
Вычислить тройной интеграл
V
2
2
 ( x
2
 y 2 )  dx  dy  dz , если область V ограничена
V
7.
поверхностями x  y  3z, z  3 .
Найти массу тела, ограниченного поверхностями
x 2  y 2  z 2  9, x 2  y 2  4 ( x 2  y 2  4), z  0 ( z  0) с плотностью   2 x .
8.
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  5x d , если L – дуга кривой
2
2
L
x  t , y  2t 2 , 1  t  2 .
9.
Вычислить статический момент первого витка винтовой линии x  t cos 2 t , y  t sin 2 t , z  t ,
относительно плоскости Оxy, считая плотность пропорциональной квадрату расстояния от
этой плоскости   2z 2 .
10.
Вычислить криволинейный интеграл второго рода  (6  y)dx  (3  y)dy , где L – арка
11.
циклоиды x  3t  3 sin t , y  3  3 cos t ,0  t  2 .
Найти работу силы F   y, x от точки A(0,0) до точки B (0,2a ) вдоль дуги циклоиды
x  a(t  sin t ), y  a(1  cos t ) .
12.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода
L
 (2 x  5 y)ds
по пространственной
S
 x 2  y 2  z 2  5,
области S  ( x, y, z), определяемой условиями 
.
z0


13.
Вычислить интеграл  ( y 2  z 2 )dx  ( x 2  z 2 )dy  ( x 2  y 2 )dz, взятый по некоторому
L
замкнутому контуру, преобразовать с помощью формулы Стокса в интеграл по
поверхности, «натянутой» на этот контур.
Вариант 24
1
1.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле  dy
0
2.
Вычислить двойной интеграл
 x
2
3 2 y
 f ( x, y)  dx .
y
 ( y  x)  dx  dy по области D, ограниченной
D
 x  y 2
параболами 
.
 y  x 2
3.
x 2  y 2  1
 2 2
Найти массу плоской пластины D, ограниченной линиями  x  y  25
с
 x  0, y  0 ( x  0, y  0)

поверхностной плотностью  
4.
5.
x  4y
.
x2  y2
x 2  y 2  2 2 x  0

Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями  z  x 2  y 2  4
. Плотность
 z  0 ( z  0)

тела V считать равной единице.
3
Вычислить тройной интеграл  (5 x  z )  dx  dy  dz , если область V ограничена
2
V
 y  x, y  0
x  1

поверхностями 
.
2
2
z

x

y

 z  0
6.
Вычислить тройной интеграл
3
 (5x  2 z)  dx  dy  dz , если область V ограничена
V
7.
поверхностями y  x, y  0, x  1, z  x 2  y 2 , z  0 .
Найти объем однородного тела, ограниченного поверхностями
x 2  y 2  2 2 x, z  x 2  y 2  4, z  0 ( z  0) .
8.
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  2 y 2 d , если L – дуга кривой
L
y  2e , 1  x  2 .
x
1
t
2
9.
Вычислить моменты инерции первого витка винтовой линии x  cos t , y  sin t , z 
10.
относительно координатной оси Оx.
Вычислить криволинейный интеграл второго рода  ( y  z )dx  ( x  z )dy  ( x  y)dz , где L
11.
– дуга кривой x  t , y  t , z  t ,0  t  1.
Вычислить площадь, ограниченную эллипсом x  cos t ,
L
2
4
6
y  2 sin t , 0  t  2 .
12.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода
 ( z
2
 1)ds по пространственной
S
13.
 x 2  y 2  z 2  2,
области S  ( x, y, z), определяемой условиями 
.
z0


2 3
Вычислить интеграл  x y dx  dy  z dz , где контур L – окружность x 2  y 2  R 2 , z  0 ,
L
используя формулу Стокса, взяв в качестве поверхности полусферу z   R 2  x 2  y 2 .
Вариант 25
1.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
1
x3
2
2 x
0
0
1
0
 dx  f ( x, y) dy   dx  f ( x, y) dy .
2.
Вычислить двойной интеграл
 (6 x
2
y2 
D
25 4 4
x y ) 2 dx dy по области D, ограниченной
3
x  1

линиями  y  x 2 .

y   x
3.
4.
5.

x 2  6x  y 2  0

Найти площадь плоской пластины D, ограниченной линиями  x 2  10 x  y 2  0

x
y 
, y  x 3

3
x 2  y 2  6 2 x

Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями  z  x 2  y 2  36 . Плотность тела
 z  0 ( z  0)

V считать равной единице.
Вычислить тройной интеграл  ( x 2  y 2 )  dx  dy  dz , если область V определена
V
z0

неравенствами  2
.
2
2
2
2
r  x  y  z  R
 (3x
 4 y 2 )  dx  dy  dz , если область V ограничена
6.
Вычислить тройной интеграл
7.
плоскостями z  10 y, x  y  1, x  0, y  0, z  0 .
Найти объем однородного тела, ограниченного поверхностями
z  81  x 2  y 2 , z  5, x 2  y 2  45 (внутри цилиндра).
8.
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  (2 x 2  5 y) d , если L – дуга кривой
2
V
x  10 cos 2 t ,
9.
y  10 sin 2 t ,

3
t 

2
L
.
 x  2(t  sin t )
(0  t  2 ) . Считать плотность
Найти центр тяжести одной арки циклоиды 
 y  2(1  cos t )
равной 2.
 xy dx  ( x
 y 2 )dy , где L – контур
10.
Вычислить криволинейный интеграл второго рода
11.
четырехугольника АВСD с вершинами А(-1,0), В(1,0), С(2,1), D(2,2) при положительном
направлении обхода.
Найти площадь области, ограниченной линиями x  t 2 , y  t 3 , x  1 .
12.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода
2
L
 z ds по пространственной области
4
S
 x  y  z 2  1,
S  ( x, y, z), определяемой условиями 
.
z0


13. Поверхностный интеграл по замкнутой поверхности преобразовать с помощью формулы
Остроградского в тройной интеграл по объему тела, ограниченного этой поверхностью:
2
2
2
 x dydz  y dxdz  z dxdy . Интегрирование ведется по внешней стороне поверхности S.
2
2
S
Вариант 26
1.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
1
x2
0
0
2
2 x 2
 dx  f ( x, y) dy   dx  f ( x, y) dy .
2.
1
0
Вычислить двойной интеграл
 ( x  y)  dx  dy
по области D, ограниченной линиями
D
3.
4.
5.
3

 x  0, y  x ( x  0)
.
2

2

y  4  ( x  1)

Найти площадь плоской пластины D, ограниченной линиями y 2  x 3 , y 2  8  (6  x) 3 .
 x  y  z  4; x  3, y  2
Вычислить объем тела V, ограниченного плоскостями 
.
 x  0; y  0; z  0
Плотность тела V считать равной единице.
Вычислить тройной интеграл  y  dx  dy  dz , если область V определена условиями
V
y x z ,
2
2
y  h, h  0 .
 (15x  30 z)  dx  dy  dz , если область V ограничена
6.
Вычислить тройной интеграл
7.
поверхностями x  3 y  z, z  0, y  x, y  0, x  1 .
Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями
x  y  z  a, x  0, y  0, z  0 .
8.
Вычислить криволинейный интеграл первого рода
V
2
2
 2 x d , если L – дуга параболы
L
y  4x 1  x  3 .
Вычислить статический момент относительно координатных осей отрезка СВ,
соединяющего точки С(1,1) и В(3,5). Плотность в каждой точке отрезка равно
произведению координат этой точки.
Вычислить криволинейный интеграл второго рода  x 2dx  y 2dy , где L – дуга эллипса
2
9.
10.
L
2
2
x
y

 1 при положительном направлении обхода.
9
4
11.
y
x
i 2
j , совершаемой при перемещении вдоль
2
x y
x  y2
Найти работу силы F 
2
окружности x 2  y 2  1 в положительном направлении материальной точки.
12.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода

x 2  y 2 ds по пространственной
S
 x  y 2  z 2  1,
области S  ( x, y, z), определяемой условиями 
.
z0


13. Вычислить поверхностный интеграл второго рода  z dxdy  y dxdz  x dydz, где S –
2
S
верхняя сторона плоскости x  4 y  z  1, ограниченной координатными плоскостями.
Вариант 27
1.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
1
0
0
0
 2
 2 y 2
1
y
 dy  f ( x, y) dx   dy  f ( x, y) dx .
2.
3.
4.
5.
x2  y2
dx dy по области D, ограниченной линиями
Вычислить двойной интеграл  2
2 2
D (x  y )
 x  0, x  1
.

 y  0, y  1
Найти центр тяжести равнобедренного прямоугольного треугольника, если в каждой его
точке поверхностная плотность пропорциональна расстоянию до гипотенузы.
Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями x 2  y 2  4 y; z  6  x 2 ; z  0 .
Плотность тела V считать равной единице.
Вычислить тройной интеграл  (2 x  3 y  z )  dx  dy  dz , если область V ограничена
V
6.
 x  0, y  0, z  0
плоскостями 
.
 z  3, x  y  2
Вычислить тройной интеграл  x  dx  dy  dz , если область V определена неравенствами
V
7.
z  0, x  y  z  R .
Определить координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностями
x  y  z  2a, x  a, y  a, x  0, y  0, z  0 .
8.
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  (3x 3 y  4 xy3 ) d , если L – дуга
2
2
2
10.

L
t  .
2
Найти массу кривой y  x3 от точки x  0 до x  2 , если в каждой точке кривой плотность
равна квадрату ее абсциссы.
Вычислить криволинейный интеграл второго рода  x dy  y dx , где L – дуга астроиды
окружности x  2 cos t ,
9.
2
y  2 sin t ,
L
x  cos t , y  sin t от точки А(1,0) до точки В(0,1).
Найти работу силы F  (4x  y) i  ( x  2 y) j вдоль ломаной АВС, где А(1,2), В(1,5), С(3,5).
3
11.
3
 ( x
 y 2  2 z )ds по пространственной
12.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода
13.
 x  y 2  z 2  9,
области S  ( x, y, z), определяемой условиями 
.
z0


Вычислить с помощью формулы Остроградского интеграл  xz dxdy  xy dydz  yz dxdz,
2
S
2
S
где S – внешняя сторона пирамиды, составленной плоскостями x  0, y  0, z  0 и
x  y  z  1.
Вариант 28
1.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
1
y2
2
2 y
0
0
1
0
 dy  f ( x, y) dx   dy  f ( x, y) dx .
2.Вычислить двойной интеграл
x
 e
2
 y2
 dx  dy по области D, определяемой неравенством
D
3.
4.
x2  y2  a2 .
Найти площадь плоской пластины D, ограниченной линиями 3x 2  25 y, 5 y 2  9 x .
Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями
x 2  y 2  4 x; z  12  y 2 ; z  0 . Плотность тела V считать равной единице.
5.
Вычислить тройной интеграл
 (1  x)
2
 1  y 2  dx  dy  dz , если область V ограничена
V
6.
 x  1, x  1, y  1, y  1,
плоскостями 
.
z  1, z  1

Вычислить тройной интеграл  ( x 2  2 y 2 )  dx  dy  dz , если область V ограничена
V
поверхностями x  y  1, z  0, z  3 .
Определить момент инерции однородного полого кругового цилиндра относительно его
оси (ось Oz). Высота цилиндра равна h, внутренний радиус - a, внешний – в.
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  3 y d , если L – дуга параболы
2
7.
8.
2
L
y  x 1 x  4.
2
9.
10.
x
Найти массу кривой y  2ch на участке от x  0 до x  3 считая, что в каждой точке
2
плотность пропорциональна ординате этой точки.
Вычислить криволинейный интеграл второго рода  ( x 2  y  z )dx  z 2dy  ( x  y 2 )dz , где L
L
11.
– отрезок прямой от точки А(2,1,0) до точки В(4,3,1).
Убедившись, что подынтегральное выражение представляет собой полный дифференциал,
вычислить криволинейный интеграл  e x cos y dx  e x sin y dy от точки А(0,0) до точки
L
12.
В(x,y).
Вычислить поверхностный интеграл первого рода
 ( x
2
 y 2  2)ds по пространственной
S
 x  y 2  z 2  3,
области S  ( x, y, z), определяемой условиями 
.
z0


2
13.
Вычислить с помощью формулы Остроградского интеграл
 yz dxdy  xz dydz  xy dxdz,
S
где S – внешняя сторона поверхности, расположенной в первом октанте и составленной из
цилиндра x 2  y 2  R 2 и плоскостей x  0, y  0, z  0 и z  H .
Вариант 29
1.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
 3
 dx
2
0

0
f ( x, y) dy 
 4 x
 dx
 3
2
0
 f ( x, y) dy .
4 x 2  2
2.Вычислить двойной интеграл
 x  y
2
 dx  dy по области D, ограниченной окружностями
D
3.
4.
5.
 x 2  ( y  1) 2  1
.
 2
 x  y 2  4 y
Найти площадь плоской пластины D, ограниченной прямыми
x  y  1, x  3 y  1, x  y, x  2 y .
z  4  x 2 ; 2x  y  4
Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями 
.
 x  0; y  0; z  0. ( x  0)
Плотность тела V считать равной единице.
Вычислить тройной интеграл  ( x 2  y 2  z 2 )  dx  dy  dz , если область V ограничена
V
поверхностью 3( x  y )  z  3a 2 .
xy
Вычислить тройной интеграл 
 dx  dy  dz , если область V ограничена
z
V
2
6.
2
2
7.
поверхностями 4 z 2  x 2  y 2 , x  0, y  0, z  1 .
Найти массу тела, ограниченного цилиндрической поверхностью x 2  2 y и плоскостями
y  z  1, 2 y  z  2 , если в каждой его точке плотность равна ординате этой точки.
8.
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  3x d , если L – дуга кривой
L
t
x ,
2
9.
y  t2, 2  t  4.
 x  cos t
Вычислить массу эллипса L, определенного параметрическими уравнениями 
 y  sin t
(0  t  2 ) .
 y dx  x dy , где L – четверть дуги
10.
Вычислить криволинейный интеграл второго рода
11.
окружности x  R cos t , y  R sin t , лежащая в первой координатной четверти при
положительном направлении обхода.
Найти функцию u  u ( x, y, z ) по ее полному дифференциалу
1 y
x x
xy
du  (1   )dx  (  2 )dy  2 dz .
y z
z y
z
12.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода
L
 (21x  21y  z)ds
по
S
 x 2  y 2  z 2  10,
пространственной области S  ( x, y, z), определяемой условиями 
.
z0


13.
Вычислить с помощью формулы Остроградского интеграл  y 2 z dxdy  xz dydz  x 2 y dxdz, где
S
S – внешняя сторона поверхности, расположенной в первом октанте и составленной из
параболоида вращения z  x 2  y 2 , цилиндра x 2  y 2  1 и координатных плоскостей.
Вариант 30
1.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
1
0
e
 ln y
0
 y
1
1
 dy  f ( x, y) dx   dy  f ( x, y) dx .

2.Вычислить двойной интеграл
D
3.
dx dy
x2  y2
по области D, определяемой неравенствами
1  x2  y2  4 .
Найти массу плоской пластины D, ограниченной линиями
x 2  y 2  1; x 2  y 2  9, x  0, y  0
x y
с поверхностной плотностью   2
.
x  y2
( x  0, y  0)
5.
 z  9  y 2 ; 3x  4 y  12
Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями 
.
x

0
;
y

0
;
z

0
.
(
y

0
)

Плотность тела V считать равной единице.
Вычислить тройной интеграл  (15 x  30 z )  dx  dy  dz , если область V ограничена
6.
 x  3 y  z, z  0
поверхностями 
.
 y  x, y  0, x  1
Вычислить тройной интеграл  ( x  y  z ) dx dy dz , если область V определена условиями
4.
V
2
2
V
7.
 x yz 2
.

 x  0, y  0, z  0
Найти объем тела, ограниченного поверхностями 2 z  x 2  y 2 , x  y  8 .
8.
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  ( x  2 y) d , если L – дуга астроиды
L
x  5 cos 3 t ,
9.
10.
y  5 sin 3 t ,   t  2 .
Найти массу дуги линии x  e t cos 2t , y  e t sin 2t , z  e t от точки, соответствующей

t  0 до t  , если плотность дуги пропорциональна квадрату полярного радиуса.
2
Вычислить криволинейный интеграл второго рода  y 2dx  x 2dy , где L – контур
L
11.
треугольника ОАВ с вершинами О(0,0), А(2,2), В(0,2) при положительном направлении
обхода.
Найти площадь, ограниченную кривой x  2 sin 3 t , y  6 cos 3 t , 0  t  2 .
12.
Вычислить поверхностный интеграл первого рода
 ( xy  z
2
)ds по пространственной
S
13.
 x 2  y 2  z 2  1,
области S  ( x, y, z), определяемой условиями 
.
z

0


Вычислить поверхностный интеграл второго рода  zdxdy, где S – полусфера
z   R2  x2  y2 .