Разработка урока по геометрии по теме: «Вычисление угла между скрещивающимися прямыми, между
advertisement
Разработка урока по геометрии по
теме: «Вычисление угла между
скрещивающимися прямыми, между
прямой и плоскостью».
10 класс.
Учитель математики МБОУ СОШ №3
Г. Мытищи
Солдатова Л.В.
2013 год.
1
Слайд 2.
Цели урока:
Показать, как используется скалярное произведение векторов при
решении задач на вычисление углов между двумя прямыми, между
прямой и плоскостью.
Повторить понятия: угла между векторами, между скрещивающимися
прямыми, между прямой и плоскостью. Повторить понятие скалярного
произведения векторов, формулу скалярного произведения в
координатах.
Развивать навыки самостоятельной работы.
Воспитывать математическую грамотность при решении задач по
геометрии.
Ход урока.
1. Актуализация знаний по теме урока.
Слайд 3.
Повторяем теорию:
Как находят координаты вектора, если известны координаты его
начала и конца?
Как находят координаты середины отрезка?
Как найти длину вектора?
Как находят расстояние между двумя точками?
Чему равно скалярное произведение векторов?
Как найти угол между векторами?
Какие векторы называются перпендикулярными?
Чему равно скалярное произведение перпендикулярных векторов?
Слайд 4.
Ответы на вопросы:
⃗⃗⃗⃗⃗ {хВ − хА ; уВ − уА ; 𝑧В − 𝑧А }.
1) АВ
2) хС =
хВ +хА
2
; уС =
уВ +уА
3) |а⃗| = √х2 + у2 +
2
𝑧 2.
; 𝑧С =
𝑧В +𝑧А
2
.
4) АВ = √(хВ − хА )2 + (уВ − уА )2 + (𝑧В − 𝑧А )2.
5) а⃗ × ⃗в = |а⃗||в
⃗ | cos 𝛼.
2
а⃗×в
⃗
6) cos 𝛼=|а||в|
⃗ ⃗ cos 𝛼
.
7) Если между ними угол 900 .
8) 0.
Взаимопроверка. Ребята пишут ответы на листочках.
2.Парная работа.
Класс делится на 3 группы (по рядам).
Обсуждение ответов на задания в карточках. Три варианта.
№ Вопрос.
1 вариант
2 вариант
1 Найдите координаты ортогональной A(-5, 6, -7)
B(2, -4, 6)
проекции точки на плоскость ОУZ
2 Найти расстояние от точки до A(-5, 6, -7)
B(2, -4, 6)
плоскости Оху.
3 На каком расстоянии от оси ОZ A(5, -3, 7)
B(-2, 7, -6)
находится точка
4 Найдите расстояние между точками A(1, 3, 2)
B(0, 2, 4)
А1 (0, 2, 4)
В1 (1, 1, 4)
5 Найдите координаты середины М(3, -2,0)
М(5, -4,0)
отрезка МР
Р(0,-8,5)
Р(0,8,-5)
6 Найдите координаты вектора АВ
А(-3, -5, 9)
A(-5, 6, -7)
B(2, -4, 6)
В(-3, -5, 9)
7 Найдите длину вектора АВ
A(-5, -6, 7)
A(-3, -3, -4)
В(-3, -5, 9)
В(-5, -6, -7)
8 Найдите скалярное произведение а⃗(-5;6;1)
а⃗(1;-4;5)
векторов: ⃗⃗⃗а × в
⃗
⃗ (0;-9;7)
в
⃗ (-4;5;-6)
в
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
9 При каких значения к, угол между (0;
(0;
к; −3) и
к; −2) и
0
векторами равен 90 ?
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(−1;
(7;
3; −1)
4; 3) и
10 Даны три точки А(0; 1; -1), В(1;-1; 2), Угла С
С(3;1;0).Найдите
косинус
угла
треугольника АВС
Угла В
3 вариант
C(-3, -5, 9)
C(-3, -5, 9)
C(-5, 2, 6)
C(1, 1, 4)
С1 (2, 2, 2)
М(-3, 2,0)
Р(0,-6,-7)
A(5, -3, 7)
В(-5, 6, -7)
А(-3, -5, 9)
B(2, -4, 6)
а⃗(6;-3;0)
⃗ (-8;4;-5)
в
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(0;
к; −2) и
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(−6; 5; 7) и
Угла А
Слайд 5.
Ответы на задания:
№
1
2
3
4
1 вариант
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(0; 6; −7)
7
√34
√6
2 вариант
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(0; −4; 6)
6
√53
√2
3 вариант
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(0; −5; 9)
9
√29
√6
3
5
6
7
8
9
10
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(1,5;
−5; 2,5)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(5; 1; −3)
3
-47
-1
√30
15
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(2,5;
2; −2,5)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(2;
−11; 16)
√22
-54
1,5
2√42
21
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(−1,5; −2; −3,5)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(−10; 9; −14)
√35
-60
2,8
3√35
35
Самопроверка. Ответы записаны на тех же листочках. Сдают затем на
проверку учителю.
Слайд 6.
Оценивание.
ответов
20-19
18-14
13-10
9-1
оценка
5
4
3
2
3.Решение задач устно по готовому чертежу:
Слайд 7.
Задача 1.
Дано: Д∈ (АВС),
АМ=МD; ВN=ND; CP=PD; K∈ 𝐵𝑁.
Определите
взаимное
D
расположение прямых:
M
P
а) ND и АВ;
N
б) РК и ВС;
A
C
в) NМ и АВ;
K
г) МР и АС;
В
д) К 𝑁и АС;
F
е) МD и ВС
Ответ:
а) пересекаются в точке В ;
б) пересекаются в точке F;
в) параллельны;
г) параллельны;
д) скрещивающиеся;
е) скрещивающиеся.
4
Слайд 8.
Задача 2.
Дан куб АВСДА1 В1 С1 Д1
Найти: угол между прямыми:
1. ВС и СС1 ;
2. АС и ВС;
3. Д1 С1 и ВС;
4. А1 В1 и АС.
В1
С1
А1
Д1
В
С
А
Д
Ответы:
1. 900 ; 2. 450 ;
Слайд 9.
3. 900 ; 4. 450 .
А
Задача 3.
Дано:
О
ОВ∥ СД,
ОА и СД скрещивающиеся прямые.
Найти угол между ООА и СД, если :
а) ∠АОВ = 400 ; б) ∠АОВ = 1350 ; в) ∠АОВ = 900 ;
В
Д
С
Ответ: 400 , 450 , 900 .
Слайд 10.
Задача 4.
Дан куб АВСДА1 В1 С1 Д1
Найти: угол между скрещивающимися прямыми:
В1
1. ВС и А Д1 ;
А1
2. АС и В1 Д1 ;
3. Д1 С1 и ВА1 ;
В
4. А1 В1 и ВС1
А
С1
Д1
С
Д
Ответы: 450 , 450 , 450 , 900
5
Слайд 11.
Задача 5.
Дан куб АВСДА1 В1 С1 Д1
Найти угол между прямой и плоскостью:
1. ВС и А1 В1 С1 Д1 ;
2. А С1 и АВСД;
3. Д1 С1 и АА1 С1 С;
4. А1 В1 и АВСД
В1
С1
А1
Д1
В
С
А
Ответы: 00 , 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑞
Д
√2
, 450 , 00 .
2
4. Решение задач на доске.
Слайд 12.
Задача 1.
Дано:
А(3; −2; 4), В (4; −1; 2), С (6; −3; 2), Д (7; −3; 1),
Найти: угол между прямыми АВ и СД.
Решение:
1.найдем координаты векторов АВ и СД.
2. Воспользуемся формулой: cos 𝜑 =
|х1 х2 +у1 у2 +𝑧1 𝑧2 |
√𝑥12 +𝑦12 +𝑧12 √𝑥22 +𝑦22 +𝑧22
.
Ответ: 𝜑 = 300 .
6
Слайд 13.
Задача 2.
Докажите, что четырехугольник АВСД с вершинами А(0; 2; -3), В(1;1;1), С(2;-2;-1), Д(3;-1;-5) является параллелограммом и найдите
угол между диагоналями.
Схема решения:
1) доказать: АВ=СД и ВС=АД.
2) доказать АС∩ ВД = О.
3) найти координаты векторов АС и ВД.
4) воспользуемся формулой: cos 𝜑 =
|х1 х2 +у1 у2 +𝑧1 𝑧2 |
√𝑥12 +𝑦12 +𝑧12 √𝑥22 +𝑦22 +𝑧22
.
Слайд 14.
Решение:
1.|АВ| = √(−1 − 0)2 + (1 − 2)2 + (1 + 32 )=√18;
|СД| = √(3 − 2)2 + (−1 + 2)2 + (−5 + 1)2 )=√18;
|ВС| = √(2 + 1)2 + (−1 − 2)2 + (−1 − 1)2 )=√22;
|АД| = √(3 − 0)2 + (−1 − 2)2 + (−5 + 32 )=√22;
2.ОАС (1; 0; −2) и ОВД (1; 0; −2) ⇒ АС∩ ВД = О.
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
⃗⃗⃗⃗⃗ = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(2; −4; 2) и ⃗⃗⃗⃗⃗
3.АС
ВД = (4;
−2; −6).
4. cos 𝜑 =
|2×4+(−4)×(−2)+2×(−6)|
√22 +(−4)2 +22 √4 2 +(−2)2 +(−6)
𝝋 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔
=
2
|8+8−12|
=
4
√24×√56 2√6×4√14
=
√21
.
84
√21
.
84
Ответ: 𝝋 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔
√21
.
84
7
Слайд 15.
Задача 3.
Даны четыре точки пространства А (-3; 4; 0), В(2; -1;4), С(-2;2;-1),
Д(1;0;2). Найдите угол между векторами: АС и ВД; АВ и СД.
Схема решения:
1. найти координаты векторов АС и ВД.
2. Найдем по формуле cos 𝜑 между векторами АС и ВД.
3. найти координаты векторов АВ и СД.
4. Найдем по формуле cos 𝛾 между векторами АВ и СД.
Слайд 16.
Решение:
⃗⃗⃗⃗⃗ (−2 + 3; 2 − 4; −1) = АС
⃗⃗⃗⃗⃗ (1; −2; −1).
1.АС
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
ВД(1 − 2; 0 + 1; 2 − 4) = ⃗⃗⃗⃗⃗
ВД(−1; 1; −2).
|1×−1)+1×(−5)+(−1)×(−2)|
2. cos 𝜑 =
√6√6
1
=
|−1−2+2|
5
1
= .
6
𝜑 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 .
6
⃗⃗⃗⃗⃗ (2 + 3; −1 − 4; 4 − 0) = ⃗⃗⃗⃗⃗
3.АВ
АВ(5; −5; 4).
⃗⃗⃗⃗⃗
СД(1 + 2; 0 − 2; 2 + 1) = ⃗⃗⃗⃗⃗
СД(3; −2; 3).
4.cos 𝛾 =
5. 𝜸 =
|5×3+(−5×(−2)+4×3|
√25+25+16√9+4+9
37√3
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔
.
66
1
Ответ: 𝜑 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔
6
=
|15+10+12|
√66√22
и 𝜸 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔
=
37
22√3
=
37√3
66
.
Д1
Слайд 17.
Дано: куб АВСДА1 В1 С1 Д1 ; АВ =а.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 .
Найти: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
ВА1 × ВС
37√3
.
66
А1
1 способ
С1
В1
Д
С
∆ВА1 С1 − правильный.
ВА1 = ВС1 = а√2.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 ВС
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 )=600 .
Угол (ВА
А
В
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 = а√2 × а√2 cos 600 = а2 . Ответ: а2
ВА1 × ВС
8
Слайд 18.
2 способ
С1
Д1
Дано: куб АВСДА1 В1 С1 Д1 ; АВ =а.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 × ВС
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 .
Найти: ВА
А1
В1
Решение:
Д
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 = ВС
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
ВА1 = ВА
АА1 ; ВС
СС1 ;
Сс
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 =(ВА
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
ВА1 × ВС
АА1 )( ВС
СС1 )=
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
ВА × ВС
ВА × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
СС1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
АА1 × ВС
АА1 × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
СС1 =А
В
0+0+0+а× а × cos 00 =а2 .
Ответ: а2 .
Слайд 19.
3 способ.
z
Д1
Дано: куб АВСДА1 В1 С1 Д1 ; АВ =а.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 .
Найти: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
ВА1 × ВС
А1
Решение:
Введем прямоугольную систему координат.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 {а; 0; а} и ВС
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 {0; а; а}.
ВА
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 =а× 0 + 0 × а + а × а = а2 .
ВА1 × ВС
Ответ: а2 .
С1
В1
у
Д
C
х
А
В
5. Подведение итогов урока.
6 Домашняя работа: стр. 60-61. №10(2), 11(2), 13(2), 25(3,4).
9