Методы и средства вычислительной математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра алгебры и математической логики
Обухов А.Г.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И
КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
(МЕТОДЫ И СРЕДСТВА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ)
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для аспирантов
по направлению 09.06.01 Информатика и вычислительная техника
(Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ )
очной и заочной форм обучения
Тюменский государственный университет
2014
2
Обухов А.Г. Математическое моделирование, численные методы и комплексы
программ (Методы и средства вычислительной математики). Учебно-методический
комплекс. Рабочая программа для аспирантов по направлению 09.06.01 Информатика и
вычислительная техника (Математическое моделирование, численные методы и
комплексы программ) очной и заочной форм обучения. Тюмень, 2014, _10_ стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с
учетом рекомендаций и ОПОП ВО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины Математическое моделирование, численные
методы и комплексы программ (Методы и средства вычислительной математики)
опубликована на сайте ТюмГУ: Методы и средства вычислительной математики.
Учебно-методический комплекс [электронный ресурс] / Режим доступа:
http://www.umk3plus.utmn.ru, свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики.
Утверждено проректором по научной работе Тюменского государственного
университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Кутрунов В.Н., д-р физ.-мат. наук, проф.,
заведующий кафедрой алгебры и математической логики
© Тюменский государственный университет, 2014.
© Обухов А.Г., 2014.
3
1. Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины Математическое моделирование, численные
методы и комплексы программ (Методы и средства вычислительной
математики).
Главной целью дисциплины Математическое моделирование, численные методы
и комплексы программ (Методы и средства вычислительной математики) является
обзор областей применения и конкретных методов численного анализа, достоинств и
ограничений в их использовании при решении прикладных задач в разных разделах
науки.
Большое
количество
задач
алгебры,
математического
анализа,
дифференциальных и интегральных уравнений, возникающих в важных практических
проблемах, не допускают решения классическими аналитическими способами. Это
привело к формированию отдельной математической дисциплины, благодаря которой
подобные задачи могут быть доведены до конечных численных результатов. Умение
эффективно и грамотно реализовывать и применять численные методы имеет большое
значение для корректного исследования математических моделей с использованием
современной
компьютерной
техники.
Кроме
того,
в
последующей
научной
деятельности нынешние аспиранты могут столкнуться с необходимостью разработки
или усовершенствования численных алгоритмов для новых прикладных задач. Для
этого необходима глубокая проработка имеющегося широкого спектра подходов и
методов вычислительной математики. Поэтому данная дисциплина занимает особое
место в процессе подготовки аспирантов по специальности 05.13.18 - математическое
моделирование, численные методы и комплексы программ.
Задачами изучения дисциплины является освоение материала по основным
задачам и методам вычислительной математики, а так же более глубокая
самостоятельная проработка особенностей применения численных алгоритмов на
примере конкретной задачи в процессе подготовки реферата.
1.2. Место дисциплины в структуре образовательной программы
Дисциплина Математическое моделирование, численные методы и комплексы
программ (Методы и средства вычислительной математики) входит в вариативную
часть обязательных дисциплин отрасли науки и научной специальности учебного
плана.
Дисциплина Математическое моделирование, численные методы и комплексы
программ (Методы и средства вычислительной математики) читается на последнем
4
семестре
обучения
аспирантов
специальности
05.13.18 -
математическое
моделирование, численные методы и комплексы программ. Знания, полученные при
изучении этой дисциплины, могут быть использованы в некоторых специальных
дисциплинах последнего, шестого семестра, таких как Математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ (Теория и средства математического
моделирования) и Математическое моделирование, численные методы и комплексы
программ (Теория комплексов программ). Главным назначением данного курса
является предполагаемое использование результатов его изучения в последующей
научно-исследовательской деятельности.
Изучение дисциплины Математическое моделирование, численные методы и
комплексы программ (Методы и средства вычислительной математики) требует от
слушателей владение математическим аппаратом фундаментальных математических
дисциплин:
алгебры,
дифференциальных
математического
уравнений,
уравнений
анализа,
функционального
математической
физики
анализа,
и
других
математических и компьютерных дисциплин.
Таблица 1.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
№
Наименование
п/п обеспечиваемых
(последующих)
дисциплин
1. Математическое
моделирование,
численные
методы и
комплексы
программ
(Теория и
средства
математического
моделирования)
2. Математическое
моделирование,
численные
методы и
комплексы
программ
(Теория
комплексов
программ)
Темы дисциплины необходимые (которые можно использовать)
для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1
2
3
Классификация Численные методы
уравнений
решения задач для
математической дифференциальных
физики
уравнений с
частными
производными
Методы конечных разностей
Классификация Численные методы
уравнений
решения задач для
математической дифференциальных
физики
уравнений с
частными
производными
Методы конечных разностей
5
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы.
В результате
компетенциями:
освоения
ОП
выпускник
должен
обладать
следующими
Умение воспринимать, осваивать и применять методы неклассических разделов
математики и математического моделирования. (ПК1)
Умение воспринимать, осваивать и применять цифровые алгоритмы интегральных
преобразований: Фурье, Лапласа, Гильберта и др. (ПК2)
Готовность организовать внедрение результатов научных исследований в
практику: производство, образование, экономику, медицину и т.д. (ПК7).
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать: область применения, теоретические основы, особенности и современные
проблемы развития методов вычислительной математики.
Уметь: применять методы численного решения задач в области своей научноисследовательской
работы,
публично
представлять
научные
результаты,
ориентироваться в современных алгоритмах компьютерной математики.
Владеть: методами и средствами вычислительной математики, программными
средствами реализации вычислительных алгоритмов, способами их тестирования и
предварительной апробации.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 6. Форма промежуточной аттестации зачет. Общая трудоемкость
дисциплины составляет 1 зачетную единицу, 36 академических часов, из них 24 часа
выделены на самостоятельную работу.
6
3.Тематический план
Самостоятельная
работа*
Виды учебной и
Из них в
Итого
самостоятельной
интеракчасов
Формы
работы
тивной
по
контроля
форме, в
теме
часах
Тема
1
2
Предмет и задачи
численных
методов.
Классификация
уравнений
математической
физики.
Численные методы
решения задач для
дифференциальных
уравнений с
частными
производными.
Методы конечных
разностей.
3
6
7
8
9
4
8
12
4
Реферат
4
8
12
4
Реферат
4
8
12
4
Реферат
Итого (часов):
12
24
36
12
Лекции *
№
1
2
3
4. Содержание дисциплины.
4.1. Предмет и задачи
математической физики.
численных
методов.
Классификация
уравнений
Предмет, задачи, краткая история развития и современная роль вычислительной
математики. Погрешность, ее структура, анализ погрешностей. Методы решения
нелинейных уравнений и систем. Условия и скорость сходимости методов. Способы
приближения функций. Интерполяция сплайнами. Применение интерполяционных
многочленов для решения задач численного дифференцирования и интегрирования.
Аппроксимация
функций.
Метод
наименьших
7
квадратов,
сглаживание
экспериментальных данных. Физические задачи, приводящие к дифференциальным
уравнениям в частных производных. Колебательные процессы, теплопроводность и
диффузия, стационарные процессы. Классификация уравнений в частных производных
второго порядка. Постановка основных задач: задача Коши, краевые задачи, смешанные задачи, корректность постановки задач.
4.2. Численные методы решения задач для дифференциальных уравнений с
частными производными.
Метод рaздeлeния пeрeмeнных. Свeдeниe нaчaльнo-крaeвых зaдaч к начальным.
Пoкooрдинaтная рeдукция уравнений. Мeтoды рaсщeплeния. Мeтoды конечных
разностей. Мeтoд конечных объемов. Мeтoд конечных элементов. Методы граничных
элементов. Метод характеристик.
4.3. Методы конечных разностей.
Основные понятия теории разностных схем. Разностная сетка, шаблон. Метод
разностной аппроксимации. Схемы бегущего счета для линейного уравнения переноса.
Аппроксимация и ее порядок. Методы исследования устойчивости разностных схем.
Теорема о сходимости. Нелинейное уравнение переноса, консервативные разностные
схемы. Классические схемы для уравнения теплопроводности. Экономичные схемы
расщепления для многомерных задач. Метод прямых. Прямые и итерационные методы
решения краевых задач для эллиптических уравнений. Конечно-элементные схемы.
5. Планы семинарских занятий.
Семинарские занятия не предусмотрены учебным планом.
6. Темы лабораторных работ. (Лабораторный практикум).
Лабораторные работы не предусмотрены учебным планом.
7. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы
аспирантов.
№
Темы
1
Предмет и задачи
численных методов.
Классификация
Виды СРС
Обязательные
Дополнительные
Чтение
Подготовка
дополнительной
реферата
литературы
8
Объем
часов
8
2
уравнений
математической
физики.
Численные методы
решения задач для
дифференциальных
уравнений с
частными
производными.
Методы конечных
разностей.
3
Подготовка
реферата
Чтение
дополнительной
литературы
8
Подготовка
реферата
Чтение
дополнительной
литературы
8
8. Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы
формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Примерная тематика рефератов.
1. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
Проблемы обусловленности.
2. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
Проблемы сходимости.
3. Прямые методы решения алгебраической проблемы на собственные значения.
4. Итерационные методы решения алгебраической проблемы на собственные
значения.
5. Применение метода наименьших квадратов для обработки экспериментальных
данных.
6. Методы нахождения всех корней многочленов.
7. Методы расщепления для численного решения параболических уравнений.
8. Жесткие системы ОДУ. Типы неявных методов Рунге-Кутты и особенности их
реализации.
9. Схемы конечных элементов для решения краевых задач для эллиптических
уравнений.
10. Интегро-интерполяционный метод построения разностных схем.
9. Образовательные технологии.
Аудиторные занятия.
9
В связи с большим спектром задач и методов вычислительной математики и
ограниченными временными рамками, предусмотренные учебным планом лекционные
занятия являются обзорными. Задача курса состоит в привлечении внимания
аспирантов к возможностям и современным проблемам численных методов, а также к
инициированию
самостоятельного
освоения
методов
для
их
эффективного
использования в практической работе.
Активные и интерактивные формы.
Лекционные занятия проводятся в диалоговом режиме, проводится обсуждение
особенностей применения конкретных численных методов с учетом имеющегося у
аспирантов опыта решения задач вычислительной математики.
Внеаудиторные занятия:
Самостоятельная работа: проработка рекомендованной литературы по разделам
вычислительной математики.
Заключительный реферат с его публичным обсуждением.
10. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины.
10.1. Основная литература:
1. Демидович, Б. П. Численные методы анализа: приближение функций,
дифференциальные и интегральные уравнения : учебное пособие для обучающихся по
направлениям 510000 "Естественные науки и математика", 550000 "Технические
науки", 540000 "Педагогические науки"/ Б. П. Демидович, И. А. Марон, Э. З. Шувалова.
- 5-е изд., стер. - Санкт-Петербург: Лань, 2010. - 400 с.
2. Пантина, И. В. Вычислительная математика [Электронный ресурс] : учебник /
И. В. Пантина, А. В. Синчуков. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: МФПУ Синергия, 2012. 176 с. - (Университетская серия). URL: http://znanium.com/catalog.php?bookinfo=451160.
10.2. Дополнительная литература:
1. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М.
Кобельков / [Электронный ресурс]. - М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. - 636 с. (Классический
университетский
учебник).
URL:
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=222833 (дата обращения: 30.10.2014)
2.
Вержбицкий,
В.М.
Численные
методы
(математический
анализ
и
обыкновенные дифференциальные уравнения) : учебное пособие [Электронный
10
ресурс].
-
М.
:
Директ-Медиа,
2013.
-
400
с.
URL
:
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=214561 (дата обращения: 30.10.2014).
11. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень
программного обеспечения и информационных справочных систем (при
необходимости).
В процессе освоения курса используется расширение Wavelet Toolbox системы
MatLab.
12. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины.
Для сокращения временных затрат на математические выкладки и в целях
демонстрации работы отдельных численных алгоритмов может быть использовано
мультимедийное оборудование.
13. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
(модуля).
Методические указания отсутствуют.
11