РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ

РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ
АВИАЦИОННОЙ ТЕХНИКИ
Методические указания
1
СОДЕРЖАНИЕ
1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ РАБОТЫ……………………………………………...4
2. МЕТОДИКА И ПОРЯДОК РАСЧЕТА ХАРАКТЕРИСТИК
НАДЕЖНОСТИ ………………………………….………………………….4
3. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА…………………………………………………….9
4. ОЦЕНКА УРОВНЯ НАДЕЖНОСТИ …………………………………..23
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………………………..25
ПРИЛОЖЕНИЯ……………………………………………………………..26
1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ РАБОТЫ
Целью настоящей работы является оценка уровня надежности элемен2
тов, узлов и агрегатов изделий авиационной техники (АТ). В процессе выполнения работы необходимо освоить методику обработки статистических
данных об отказах и неисправностях АТ в эксплуатации с целью определение закона распределения времени наработки изделий до отказа и получения количественных показателей характеристик надежности.
2. МЕТОДИКА И ПОРЯДОК РАСЧЕТА
Исходными данными для решения настоящей задачи являются упорядоченные по возрастанию (вариационный ряд) значения наработки до отказа выборки изделий (ti), размер выборки (N), количество отказов в выборке
(n) и вид плана наблюдений.
Порядок расчета следующий:
1. Группировка данных.
2. Расчет эмпирических характеристик надежности.
3. Выбор теоретического закона распределения.
4. Определение неизвестных параметров закона распределения.
5. Проверка правильности принятой гипотезы о законе распределения.
6. Определение точности оценок параметров распределения.
7. Оценка надежности объекта.
Группировка данных. Интервал наработки, на котором обнаружены
неисправности, разбивается на несколько разрядов (интервалов) величиной
t. Количество разрядов k определяется правилом Старджена:
k  1  3,3  lg  n
(1)
Расчет эмпирических характеристик надежности. В каждом интервале ti производится расчет эмпирических значений плотности f *(t), интенсивности (t) отказов и вероятности безотказной работы P *(t) по формулам:
fi

t  
ni
ni
f i  t 






; t 
; Pi t   ,
i 1
N  ti
i t 


 N   ni ti
i 0


(2)
где ( N   ii 10 ni )=Nиi - число объектов, исправно проработавших на начало
рассматриваемого периода (т.е. на начало i-го разряда);
ni - число объектов, отказавших в интервале наработки ti.
Если в какой-либо интервалti попадает менее двух значений наработки, то его необходимо объединить с соседним и рассматривать интервал
2*t. При этом, соответственно, уменьшается количество интервалов разбиения.
Выбор теоретического закона распределения. На основе расчета
эмпирических характеристик строятся гистограммы распределения плотности, интенсивности отказов и вероятности безотказной работы как функции
3
времени наработки. Исходя из внешнего вида гистограмм, их схожести с
известными законами распределения (Приложение 1) и физической природы появления отказа, структуры изделия, условий и режимов эксплуатации,
принимается гипотеза о виде теоретического распределения отказов.
Экспоненциальное распределение. Причины отказов - внезапные концентрации нагрузок внутри или вне объекта. Отказ наступает при превышении нагрузкой допустимой величины. Очевидно, что интенсивность отказов
здесь не зависит от наработки. Такое распределение характерно для большого класса внезапных отказов, появляющихся без каких-либо предшествующих симптомов. Типичным примером такого отказа является отказ,
связанный с попаданием посторонних предметов в проточную часть двигателя. Также близки к экспоненциальному распределению отказы объекта,
состоящего из большого числа элементов, вероятности отказов которых малы (например, отказы радиоэлектронного, высотного оборудования самолетов).
Нормальное распределение. Это распределение имеет случайная величина, представляющая собой сумму большого числа независимых случайных величин, причем все они в об щей сумме играют относительно малую
роль. В практике эксплуатации нормальное распределение характерно для
отказов, связанных с накоплением повреждений в материале конструкции,
происходящем с постоянной или примерно постоянной скоростью развития.
Такими отказами могут являться износы, старение материалов, наклеп, происходящие с постоянной скоростью.
Логарифмически-нормальное распределение. Этому распределению
могут подчиняться отказы, имеющие следующую причину. Каждое воздействие внешней нагрузки приводит к накоплению повреждений в материале
детали. При этом величина добавляемого повреждения пропорциональна
уже накопленному. Отказ наступает при превышении накопленного повреждения определенной величины. Примером такого отказа может служить
усталостная долговечность лопаток, дисков, валов и других деталей
авиадвигателей, силовой набор, узлы крепления агрегатов и другие детали
планера ЛА.
Распределению Вейбулла обычно отвечает физическая модель так
называемого «слабого звена». Объект представляется состоящим из большого числа элементов, накопление повреждений в которых идет независимо
друг от друга. Отказ объекта наступает при отказе одного любого элемента.
При этом, независимо от типа распределения отказов каждого элемента,
распределение отказов объекта будет Вейбулловским. Оно хорошо описывает усталостную долговечность авиационных конструкций и приработочные отказы.
Распределение Рэлея характерно для объектов, имеющих интенсивные
износы, старение, накопление повреждений.
Равномерное распределение применяется, если отсутствуют физические предпосылки, приводящие к вышеперечисленным моделям, а гистограмма плотности не имеет явно выраженной тенденции к увеличению или
уменьшению.
Определение неизвестных параметров закона распределения. Ис4
ходя из вида плана наблюдений и закона распределения отказов, выбирается
метод определения неизвестных параметров.
Для плана наблюдений [NUN], т.е. для полной выборки, рекомендуется использовать метод моментов. Формулы для вычисления параметров
различных законов распределения с помощью этого метода приведены в
Приложении 2. Некоторую трудность здесь представляет нахождение параметров распределения Вейбулла. Их можно найти путем графического
решения системы уравнений:
N
to 

i 1
t im
N
(3)
N
to 

i 1
t im ln t
N
N
  ln t
m i 1
.
Для этого строятся кривые t0= f1(m) и t0= f2(m) по ряду значений m.
Точка пересечения этих кривых дает значения искомых параметров t 0 и m
(рисунок 1).
to
f1(m)
Для планов наблюдений
f2(m) [NUr] и [NUT] рекомендуется
применять метод разделяющих
разбиений или метод максимума
правдоподобия. Последний метод дает простое выражение для
вычисления параметра  для
плана [NUT] экспоненциального
закона распределения:
t0
m
m
Рисунок 1. Графическое решение уравнений

n
n

i 1
t i  N  n T
(4)
Параметры нормального и логарифмически-нормального законов распределения можно найти с использованием метода разделяющих разбиений.
Суть метода заключается в приравнивании значений теоретической и эмпирической функции распределений при некоторых значениях наработки и составлении системы уравнений, число которых равно числу неизвестных параметров закона распределения. Для нормального закона распределения эта
система будет состоять из двух уравнений:
F  t1   F mt ,  t , t1 ; F  t 2   F mt ,  t , t 2 ,
где mt- математическое ожидание;
t- среднеквадратическое отклонение;
5
(5)
F*, F - эмпирическая и теоретическая функции распределения.
Значения наработки t1 и t2 рекомендуется выбирать в первой и последней третях вариационного ряда. Так как F*(ti) = 1-P*(ti), а F(mt, t, ti) =
F[(ti-mt)/t], где F - стандартная нормальная функция распределения (таблица 2 Приложения 2), то из системы уравнений (5) можно получить следующую систему:
t1  m t
Z1 
t
t 2  mt
; Z2 
t
,
(6)
где zi - аргумент функции Ф(zi) при ее значении, равном F*(ti).
При решении системы (6) получим:
mt 
t1 Z 2  t 2 Z 1
t t
; t  2 1
Z 2  Z1
Z 2  Z1
(7)
Для логарифмически-нормального распределения:
ln t Z  ln t 2 Z 1
ln t 2  ln t1
m1  1 2
; 1 
,
(8)
Z 2  Z1
Z 2  Z1
где - ml и l - параметры логарифмически нормального распределения.
Тогда:
m t  exp m1  0,5 12 ,


 exp    1exp 2m


  12   exp  12   1 m t2
(9)
Параметры распределения Вейбулла для планов [NUr] [NUT] находятся, как и в предыдущем случае, путем графического решения системы
уравнений:
t
2
1
N
to 

i 1
n
1
N
t
m
i

N  n T
m
n
, to 
t1m ln t1  N  n T m ln T

i 1
N
n
  ln t i
m i 1
(10)
Проверка правильности принятой гипотезы осуществляется с помощью критерияПирсона. Для его использования необходимо определить некоторую величину U, характеризующую степень расхождения теоретического и эмпирического распределений, и оценить значимо ли это расхождение или не значимо. Если в качестве расхождения принять величину:
k
U2 
 n
i 1
 Nqi ti 
2
i
Nqi ti 
,
(11)
где qi(ti)- теоретическая вероятность отказа в интервале ti, то она не будет
зависеть от вида распределения отказов и при увеличении числа N будет
приближаться к распределению  Пирсона, т.е. U2=.
При экспоненциальном распределении значение q i(ti) определяется
выражением:
6
qi ti   e  t i1  e  t i ,
(12)
где ti-1, ti - наработки, соответствующие началу и концу интервала ti.
При нормальном распределении
 t  mt
qi ti   F  i
 t

 t  mt 
  F  i1


 t 
(13)
Распределение зависит от числа «степеней свободы» r, которое
равно числу разрядов k минус число «связей», наложенных на q i*. Число
связей равно числу неизвестных параметров распределения плюс единица
(дополнительная «связь» -
k

i 1
qi (t i )  1). Число разрядов k для плана наблю-
дения [NUN] равно числу интервалов разбиения вариационного ряда, a для
планов [NUT] и [NUr] на единицу больше, так как добавляется интервал от
Т (tn) до +:
r  k  s  1,
(14)
где s - число параметров закона распределения.
Распределение представлено в табличном виде (таблица 3 Приложения 2). По нему для каждого значения и числа степеней свободы r
можно найти вероятность того, что величина, распределенная по закону ,
превзойдет табличное значение.
Оценку согласованности распределений производят, задаваясь уровнем значимости  выраженной в процентах максимально допустимой вероятности того, что гипотеза отвергнута неправильно. Рекомендуемые
уровни значимости - 1, 5, 10%. Задавшись  по величине P=1- и r, по таблице распределения находится критическое значение кр. Если величина
U2, рассчитанная по формуле (11), попадает в критическую область (кр;
, то гипотеза о виде закона распределения отвергается и вероятность того, что гипотеза отвергнута ошибочно, не будет превышать . Принимается
гипотеза о другом виде распределения, и расчеты повторяются.
Определение точности оценок параметров распределения. Требуется установить, к каким ошибкам может привести замена истинного параметра закона распределения m его статистической оценкой m*. Для этого
используются доверительные интервалы и доверительные вероятности. Доверительным называется интервал I, который с заданной достаточно большой вероятностью как правило>90%) накрывает истинное значение па-
I 
  I


   . Величина 
P
m


m

m

раметра распределения, т.е. 
2
2


называется доверительной вероятностью.
Расхождение между m и m* является случайной величиной, связанной,
как правило, с недостаточным объемом выборки. Для различных параметров законов распределения эта случайная величина (или некоторая функция
от нее) подчиняется собственным законам распределения. Как правило, это
распределения Стьюдента, нормальное или Пирсона 2. Зная эти законы
7
распределения, можно получить расчетные формулы для вычисления граничных значений доверительных интервалов.
Например, для нормального закона распределения некоторая функция
T
N
m   m,

D
где m - математическое ожидание, D*- дисперсия, подчиняется закону
распределения Стьюдента с N-1 степенями свободы.
Отсюда можно определить доверительный интервал для m:

I    m  t 


D 
; m  t
N
D
N

.


Выражения для нахождения верхних и нижних границ доверительных
интервалов параметров различных законов распределения приведены в
Приложении 2.
Поcтроение графиков теоретического распределения. Строятся графики распределений f(t), (t) и P(t) при значениях параметров распределения, соответствующих верхним и нижним границам доверительного интервала.
Оценка надежности объекта. Осуществляется путем сравнения
расчетных и нормативных значений некоторых показателей надежности.
Как правило, в качестве таких показателей принимается либо -процентная
наработка до первого отказа t при заданном значении вероятности безотказной работы , выраженной в процентах, либо по величине коэффициента
К1000, равному числу отказов на 1000 часов наработки.
3. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА
Пример 1. Определить закон распределения неисправностей насосоврегуляторов двигателя НК-8-2У.
Дано: время наблюдения ta=1000 часов;
число изделий N=383;
число неисправных изделий n=16;
время наработки до отказов отдельных экземпляров ti: 50, 70,
150, 220, 250, 400, 480, 500, 590, 640, 660, 790, 880, 910, 940, 980
часов.
Группировка данных. Интервал наработки 0...1000 часов разбиваем на
разряды по правилу Старджена:
k = 1 +3,3*lg16=4,97
Число разрядов принимаем равным 5 c величиной ti=200 ч.
Расчет эмпирических характеристик надежности. По формулам (2)
вычисляем в каждом разряде значения fi*(t), i*(t) и Pi*(t). Результаты расчетов представляются в табличном виде (таблица 1).
Следует помнить, что Nиi - это разность между числом объектов N,
над которыми велось наблюдение, и числом объектов, отказавших на нача8
ло интервала i. Например, для четвертого интервала Nи4=383-3-2-4=374.
Таблица 1. Расчет эмпирических характеристик
t ,
№ инт. i-1
час
1
0
2
200
3
400
4
600
5
800
ti,
час
200
200
200
200
200
ti, час
200
400
600
800
1000
ni
3
2
4
3
4
i*=ni/Nиiti,
1/час
3.915*10-5
2.63*10-5
5.28*10-5
4.02*10-5
5.40*10-5
fi*=ni/Nti,
1/час
3.915*10-5
2.61*10-5
5.22*10-5
3.915*10-5
5.22*10-5
Pi*=fi*(t)/i*(t)
1.0
0.9922
0.9886
0.9739
0.9667
Выбор теоретического закона распределения. По данным таблицы 1
строятся гистограммы эмпирического распределения (рисунок 2).
(t)*105
f(t)*10 5
222233
5
5
4
4
3
222233
3
2
2
1
1
0
200
400
600
800
1000
0
t, час
200
400
600
а)
800
1000
б)
P(t)
1,0
0,9
0,8
0,3
0,2
0
200
400
600
800
1000
t, час
в)
Рисунок 2. Гистограммы эмпирического распределения
а) плотность распределения; б) интенсивность отказов;
в) вероятность безотказной работы
Насос-регулятор является сложным объектом, состоящим из множества элементов, вероятность отказов которых достаточно мала. Следова9
t, час
тельно, можно выдвинуть гипотезу, что отказы насоса-регулятора распределены по экспоненциальному закону. Этому предположению не противоречит
и внешний вид гистограмм.
Определение параметров закона распределения. Экспоненциальный
закон распределения является однопараметрическим, т.е. для его полного
определения необходимо найти один параметр - интенсивность отказов . В
настоящем примере осуществлен план наблюдений [NUT], следовательно,
параметр  можно вычислить с использованием метода максимума правдоподобия по выражению (4)
n
16
 n

 4,09 10 5.1 ч .
8620  367 1000
 ti  N  n t a
i 1
Отсюда, среднее время наработки до отказа Тср=1/=1/4,088*10-5=24460 ч.
Проверка правильности принятой гипотезы. Осуществляется с помощью критерия Пирсона 2, рассчитанного по выражению (11). Число разрядов при рас чете критерия на единицу больше числа разрядов разбиения вариационного ряда k, так как добавляется интервал от t a до +. Результаты
расчетов представлены в таблице 2
Таблица 2. - Расчет критерия Пирсона 
№ инт.
1
2
3
4
5
6
ti-1,
t , час
час i
0
200
200 400
400 600
600 800
800 1000
1000

ti,
час
200
200
200
200
200
ni
qi(ti)
3
2
4
3
4
367
0.0081462
0.0080809
0.0080156
0.0079503
0.0078851
0.959925
N*qi(ti) ni -N*qi(ti)
3.12
3.095
3.07
3.045
3.02
367.65
Ui2
-0.12
0.00463
-1.095
0.38725
0.93
0.28205
-0.045
0.00065
0.98
0.31822
-0.65
0.000115
2
2
U =Ui = 0.99397
Величина qi(ti) рассчитывается по выражению (12). Например, для
второго интервала:
q2 t 2   e 2000,0000409  e 4000,0000409  e 0,00818  e 0,01636  0,991853  0,983773  0,00808.
Число степеней свободы r в случае шести разрядов таблицы и одного
параметра закона распределения, в соответствии с (14), равно 4 (r=6-1-1).
Задавшись уровнем значимости =10%, по таблице 3 Приложения 2 в зависимости от P=1-и числа степеней свободы r=4находим критическое
значение2кр=7,78. Подсчитанное значение U2=0,99397 не попадает в критическую область (7,78; +), следовательно, принятая гипотеза об экспоненциальном законе распределения не противоречит статистическим данным.
10
Определение точности оценок параметров распределения. Верхнюю и
нижнюю границы доверительного интервала для параметра вычисляем по
формулам, приведенным в соответствующей таблице Приложения 2.
  N   21  
Н 
2

 
1

n 2 N  n 
2   21  

; 2n
2

  N   21  
В 
; 2n
2





[1/ч]
; 2 n  2

 [1/ч]


1
n   2 N  n 

2   21    

;2 n2
2


Для доверительной вероятности =90% и n=16 найдем значения

2
1  
2
; 2 n
и
2
1  
2
; 2 n  2
т.е. значения , соответствующие доверительной
1 
1 
 0,05 и
 0,95 соответственно, и числу степеней свовероятности
2
2
боды 2*n=2*16=32 и 2*n+2=2*16+2=34 (по таблице 3 приложения 2):
;32
Подставив найденные значения, получим:
4,09 10 5383 20,1
Н 
 2,59 10 5; [1/ч]

1 
16   2 383  16  

2 20,1 

4,09 10 5383 46,2
В 
 5,8510 5;. [1/ч]
1 

16  2 383  16  

2
46
,
2


Таким образом, интервал (2,59*10-5; 5,85*10-5) с доверительной вероятностью 90% покрывает истинное значение параметра .
Построение графиков теоретического распределения. Построение
графиков распределения производим для диапазона 0<t<20000 часов (рисунок 3). Расчетные данные сведены в таблицу 3.
11
Таблица 3 - Расчет теоретических характеристик
t, час
(t)*10-5
2000
4000
6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000
4,09
4,09
4,09
4,09
4,09
4,09
4,09
4,09
4,09
4,09
3,77
3,47
3,20
2,95
2,72
2,50
2,31
2,13
1,96
1,80
1/час
f(t)*10-5
1/час
Pн(t) 0,8895 0,7913 0,7040 0,6263 0,5571 0,4956 0,4409 0,3922 0,3489 0,3104
P(t)
0,9215 0,8491 0,7824 0,7209 0,6643 0,6121 0,5641 0,5198 0,4789 0,4413
Pв(t)
0,9495 0,9016 0,8560 0,8129 0,7718 0,7328 0,6959 0,6608 0,6274 0,5957
Вычисления проводились по формулам (таблица 1 Приложения 2 ):
Pt   e  t ; PH t   e  H t ; PB t   e  B t ; f t   e  t .
f(t)*10 5
222233
P(t)
5
1,0
4
0,8
Pв (t)
0,6
3
222233
P(t)
2
0,4
1
0,2
P (t)
0
4000
8000
12000 16000 20000 t, час
0
н
4000
8000
12000 16000 20000 t, час
Рисунок 3. Графики теоретического распределения.
Пример 2. Определить закон распределения неисправностей подшипников опор двигателя НК-8-2У.
Дано: время наблюдения ta=1000 часов;
число изделий N=352;
число неисправных изделий n=18;
время наработки до отказов отдельных экземпляров ti: 60, 110,
110, 110, 130, 170, 200, 230, 260, 280, 280, 370, 510, 570, 780,
790, 920, 1000 часов.
Группировка данных. Интервал наработки 0...1000 часов разбиваем на
разряды по правилу Старджена:
k = 1 +3,3lg18=5,14.
Число разрядов принимаем равным 5 величиной ti=200 ч.
12
Расчет эмпирических характеристик надежности. По формулам (2)
вычисляем в каждом разряде значения fi*(t), i*(t) и Pi*(t). Результаты расчетов представляются в табличном виде (таблица 4).
Tаблица 4 - Расчет эмпирических характеристик
ti-1,
t i,
ti,
час
час
час
1
0
200
200
2
200
400
3
400
4
5
№ инт.
ni
fi*=ni/Nti i*=ni/Nиiti
Pi*=fi*(t)/i*(t)
1/час
1/час
7
9,95*10-5
9,95*10-5
1.0
200
5
7,10*10-5
7,25*10-5
0,9801
600
200
2
2,84*10-5
2,94*10-5
0,9659
600
800
200
2
2,84*10-5
2,96*10-5
0,9602
800
1000
200
2
2,84*10-5
2,98*10-5
0,9545
Выбор теоретического закона распределения. По данным таблицы 4
строятся гистограммы эмпирического распределения аналогично примеру 1.
Надежность подшипников определяется усталостной долговечностью.
Следовательно, можно выдвинуть гипотезу, что отказы подшипников распределены по закону Вейбулла. Это подтверждает и внешний вид гистограмм.
Определение параметров закона распределения. Закон Вейбулла является двухпараметрическим, т.е. для его полного определения необходимо
найти два параметра - m и t0=1/.
Для плана наблюдений [NUT] параметры распределения можно найти
графическим методом с использованием выражения (10) и задаваясь различными значениями m:
m=0.5 f1(m)=604.90
m=0.7 f1(m)=2396.36
m=0.9 f1(m)=9505.34
m=0.8 f1(m)=4772.02
f2(m)=545.45
f2(m)=2338.33
f2(m)=9719.49
f2(m)=4779.34
Графики f1(m) и f2(m) пересекаются в точке с абсциссой, соответствующей m=0,79. При решении уравнений (10) одним из методов последовательного приближения с помощью компьютера получено уточненное значение m=0,793. Соответствующее значение t0=4560, =0,000219.
Среднее время наработки до отказа определяется по формуле:
Tср  t 01 / m (1 / m  1), час ,
где Г(1/m + 1) – Гамма-функция (таблица 16 Приложения 2).
Tср  45601 / 0,793 (1 / 0,793  1)  41122,5 *1,14  46879,6, час
Проверка правильности принятой гипотезы. Осуществляется с помощью критерия Пирсона 2, рассчитанного по выражению (11). Число разря13
дов при расчете критерия на единицу больше числа разрядов разбиения вариационного ряда k, так как добавляется интервал от t a до +. Результаты
расчетов представлены в таблице 5.
Величины qi(ti) рассчитывается по следующему выражению:
qi ti   e
 tm 
  i 1 
 t 
 0 
e
 tm
 i
t
 0





Таблица 5 - Расчет критерия Пирсона 
ti-1,
t i,
ti,
час
час
час
1
0
200
2
200
3
ni
qi(ti)
200
7
0.01454
5.118
1,882
0.69187
400
200
5
0.010519
3.703
1,297
0.45455
400
600
200
2
0.009338
3.287
-1,287
0.50399
4
600
800
200
2
0.008622
3.035
-1,035
0.35299
5
800
1000 200
2
0.008111
2.855
-0,855
0.25614
6
1000
00
334
0.948869
334.0017
-0.0017
8,99*10-9
N инт.
N*qi(ti) ni -N*qi(ti)
Ui2
U2=Ui2= 2,25956
Например, для третьего интервала:
qi ti   e
 4000 , 793 



 4560 
e
 6000 , 793 



 4560 
 e 0, 025379  e 0,035003
q3(t3)=0.974941 - 0.965602 = 0.009338
Число степеней свободы r в случае шести разрядов таблицы и двух
параметров закона распределения, в соответствии с (14), равно 3 (r=6-2-1).
Задавшись уровнем значимости =10%, по таблице 3 Приложения в зависимости от P=1-и числа степеней свободы r=3находим критическое
значение2кр=6,25. Подсчитанное значение U2=2,25956 не попадает в критическую область (6,25; +), следовательно, принятая гипотеза о законе
распределения Вейбулла не противоречит статистическим данным.
Определение точности оценок параметров распределения. Верхние и
нижние границы доверительных интервалов для параметров t0и m вычисляем по формулам, приведенным в соответствующей таблице Приложения:
14
 H      D  ;  B      D 
mH  m    Dm ; mB  m    Dm
Формулы для определения величин D(mи D( также представлены в
Приложении 2.
Выполним промежуточные вычисления:
n/; n/m2=28,594;
timlnti=11760,05; timlnti2=73047,74;
tam = 239,33; lnta=6,908; ln2ta=47,717.
n/timlnti2+(N-n)*tam ln2ta] =
= 28,594+0,000219*(73047,74+(352-16)239,33*47,717)=884.9288
D  
Dm  
884,9288
3,75  10  884,9288  11760,05  352  16  239,33  6,908
2
8
 8,799  10 8
3,75  10 8
3,75  10 8  884,9288  11760,05  352  16  239,33  6,908
2
 0,03728
Для доверительной вероятности =90% Z

H  0,000219  1,645 8,7999  10 8  0,00027 
B  0,000219  1,645 8,7999  10 8  0,0007 
mH  0,793  1,645 0,0378  0,474 
mB  0,793  1,645 0,0378  1,112 
Таким образом, интервал (-0,00027; 0,0007) с доверительной вероятностью
90% покрывает истинное значение параметра , а интервал (0,474; 1,112) значение параметра m.
Построение графиков теоретического распределения. Построение
графиков распределения производим для диапазона 0<t<20000 часов аналогично примеру 1. Следует учесть, что отрицательное значение  не имеет
смысла, так как при этом величина P(t) будет больше 1. Поэтому необходимо ограничить н=0 с соответствующим значением Pв(t)=1. Нижнее значение Pн(t) соответствует верхним значениям параметров в и mв.
Расчетные данные сведены в таблицу 6.
15
Таблица 6 - Расчет теоретических характеристик
t, час
(t)*10-5
2000
4000
6000
8000 10000
12000
14000 16000
3,61
3,12
2,87
2,71
2,58
2,48
2,41
3,29
2,67
2,31
2,06
1,87
1,71
1,58
18000
20000
2,34
2,28
2,24
1,46
1,36
1,27
1/час
f(t)*10-5
1/час
Pн(t)
0.378 0.0008 1,47*10-5 2*10-7 3*10-9 3,6*10-11 4*10-13 4*10-15
P(t)
0,9132 0,8544
Pв(t)
1,0
1,0
4*10-17 4*10-19
0,8049 0,7613 0,7222 0,6865 0,6538 0,6235 0,5953
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
0,5690
1,0
Пример 3. Определить закон распределения неисправностей редуктора, связанных с износом зубчатых колес
Дано: время наблюдения ta=6000 часов;
число изделий N=174;
число неисправных изделий n=31;
время наработки до отказов отдельных экземпляров ti:
360,920,987,1002,1380,1690,1850,1920,2780,3025,3272,3670,3810,
3880,7117,4190,4210,4380,4420,4500,4730,4800,4850,5050,5190,5
310,5360,5590,5870,5910,5920 часов.
Группировка данных. Интервал наработки 0...6000 часов разбиваем на
разряды по правилу Старджена:
k = 1 +3,3lg31=5,92.
Число разрядов принимаем равным 6 величиной ti=1000 ч.
В интервале от 2000 до 3000 часов наблюдался только один отказ, поэтому объединяем его с соседним и получаем новый интервал от 2000 до
4000 часов. Число разрядов при этом будет равно 5.
Расчет эмпирических характеристик надежности. По формулам (2)
вычисляем в каждом разряде значения fi*(t), i*(t) и Pi*(t). Результаты расчетов представляются в табличном виде (таблица 7).
Выбор теоретического закона распределения. По данным таблицы 7
строятся гистограммы эмпирического распределения.
Выдвигаем гипотезу о нормальном законе распределения, так как
именно оно характерно для отказов, связанных с износом. Это подтверждает и внешний вид гистограмм.
Определение параметров закона распределения. Нормальный закон
распределения является двухпараметрическим, т.е. для его полного определения необходимо найти два параметра - mt и t.
Таблица 7 - Расчет эмпирических характеристик
№ инт. ti-1, ti, час ti, час
час
1
0
1000 1000
ni
3
fi*=ni/Nti, i*=ni/Nиiti, Pi*=fi*(t)/i*(t)
1/час
1/час
1,724*10-5
1,724*10-5

16
2
3
4
5
1000
2000
4000
5000
2000
4000
5000
6000
1000
2000
1000
1000
5
6
9
8
2,874*10-5
1,724*10-5
5,172*10-5
4,598*10-5
2,924*10-5
1,807*10-5
5,625*10-5
5,298*10-5




Для плана наблюдений [NUT] параметры распределения можно найти
методом разделяющих разбиений с использованием выражений (5) и (6).
Выберем значения наработки t1=2000 и t2=5000 ч.
Значения F*(ti)=1-P*(ti) соответственно:
F*(t1)=1 - 0,9541=0,0459;
F*(t2)=1 - 0,8679=0,1321.
По таблице стандартной нормальной функции распределения (таблица 2 Приложения) находим значения квантилей Z, соответствующих значениям F*(ti):
Z1=-1,68; Z2=-1,115.
mt 
t1 z 2  t 2 z1  200  1,115  5000  1,68

 10817,4 ч.
z 2  z1
 1,115  1,68
t 
t 2  t1
5000  2000

 5217,4. ч.
z 2  z1  1,115  1,68
Проверка правильности принятой гипотезы. Осуществляется с помощью критерия Пирсона 2, рассчитанного по выражению ( 11 ). Число разрядов при расчете критерия на единицу больше числа разрядов разбиения
Таблица 8 - Расчет критерия Пирсона 
N инт.
ti-1,
ti, час ti,
час
час
ni
qi(ti)
N*qi(ti) ni-N*qi(ti)
Ui2
1
0
1000
1000
3
0.0301
5,24
-2,24
0,95756
2
1000
2000
1000
5
0.0158
2,75
2,25
1,84091
3
2000 4000
2000
6
0.0509
8,86
-2,86
0,92321
4
4000
5000
1000
9
0.0353
6,14
2,86
1,33218
5
5000
6000
1000
8
0.0454
7,90
0,10
0,00127
6
6000

143
0.8225
143,115
-0.115
0,00009
U2=Ui2=5,05522
вариационного ряда k, так как добавляется интервал от ta до +. Результаты
расчетов представлены в таблице 8.
Величина qi(ti) рассчитывается по следующему выражению:
17
 t  mt
qi ti   F  i
 t

 t  mt
  F  i 1

 t



Например, для четвертого интервала:
 5000  10817,4 
 4000  10817,4 
q4 t 4   F 
  F
  F  1,115  F 1,31
5217
,
4
5217
,
4




q4 t4   0,1321  0,0968  0,0353
Число степеней свободы r в случае шести разрядов таблицы и двух
параметров закона распределения, в соответствии с (14), равно 3 (r=6-2-1).
Задавшись уровнем значимости =10%, по таблице 3 Приложения в зависимости от P=1-и числа степеней свободы r=3находим критическое
значение2кр=6,25. Подсчитанное значение U2=5,05522 не попадает в критическую область (6,25; +), следовательно, принятая гипотеза о нормальном законе распределения не противоречит статистическим данным.
Определение точности оценок параметров распределения. Верхние и
нижние границы доверительных интервалов для параметров mt и
tвычисляем по формулам, приведенным в соответствующей таблице Приложения 2:
 H   t  Z t
mH  mt  Z   t
f 3 k 
; B   t  Z   t
N
f 2 k 
;m B  mt  Z   t
N
f 3 k 
N
f 2 k 
N 
Z - квантиль нормального распределения (таблица 4 Приложения 2);
для =90% Z;
k=( mt - ta)/t; f2(k) и f3(k) находятся по таблице 15 Приложения 2 в зависимости от величины k.
K
10817,4  6000
 0,92; f 2 k   6,923 и f 3 k   4,016.
5217,4
4,016
 3913,6;
174
4,016
 B  5217,4  1,645  5217,4 
 6521,2
174
6,923
mH  10817,4  1,645  5217,4 
 9105,4;
174
6,923
m B  10817,4  1,645  5217,4 
 12529,6.
174
 H  5217,4  1,645  5217,4 
18
Таким образом, интервал (3913,6; 6512,2) с доверительной вероятностью 90% покрывает истинное значение параметра t, а интервал
(9105,4;12529,6) - значение параметра mt.
Построение графиков теоретического распределения. Построение
графиков распределения производим для диапазона 0<t<12000 часов аналогично примеру 1. Нижнее значение Pн(t) соответствует в и mн; верхнее значение Pв(t) соответствует н и mв:
 t  mH , B 
;
PH ,B t   1  F 

  B ,H 
2
 t  mt 
1
f t  
 exp
;
2
2


2   t
t
f t 
 t  
.
Pt 
Расчетные данные сведены в таблицу 9.
Таблица 9 - Расчет теоретических характеристик
t, час
2000
4000
6000
8000
10000
12000
(t)*10-5,
1,92
3,61
6,09
9,37
13,46
18,22
1,83
3,26
4,99
6,61
7,56
8,45
Pн(t)
0,8621
0,7823
0,6844
0,5675
0,4443
0,3300
P(t)
0,9545
0,904
0,8186
0,7054
0,5616
0,409
Pв(t)
0,9965
0,9861
0,9515
0,8770
0,7422
0,5537
1/час
f(t)*10-5,
1/час
Определим -процентный ресурс для =99,99% и нижней оценки Pн(t) :
 t  mt 
;
 1  F 
100
 t 
 t  mt 
  1  0,9999  0,0001.
F  

 tB 

Квантиль, соответствующий вероятности 0,0001, определяется по таблице 2 Приложения 2:
Z
t  mt
 tB
 3,7,
19
отсюда t   tB  Z  mH  6521,2   3,7   9105,4  15023,04ч.
Отрицательное значение наработки объясняется тем, что отношение
в/mн=1,5 слишком мало и распределение с такими параметрами необходимо рассматривать как усеченно-нормальное. Величина tв этом случае находится из соотношения:
 t  mt
F  
 t
где
C
 t  mt
F  
 t

 

0,0001  C  F
0  mt
t
C
C
1 F
;
1
.
0  mt
t
1
1

 1,088.
1  F  1,4  1  0,0808
 0,0001  1,088  0,0808
 
 0,08089
1
,
088

Отсюда Z=-1,399, а tч.
Пример 4. При исходных данных примера 3 проверить гипотезу о
логарифмически-нормальном законе распределения.
Определение параметров закона распределения. ml и l.
Для плана наблюдений [NUT] параметры распределения можно найти
методом разделяющих разбиений с использованием выражений (5) и (6).
Выберем значения наработки t1=1500 и t2=5500 ч. Значения F*(ti)=1P*(ti) соответственно:
F  t1   1  0,9829  0,0171; F  t 2   1  0,8679  0,1321.
По таблице стандартной нормальной функции распределения (таблица 2 Приложения) находим значения квантилей Z, соответствующих значениям F*(ti):
Z1  2,1; Z 2  1,115.
ln t z  ln t 2 z1  7,313  1,115  8,613  2,1
m1  1 2

 10,08;
z 2  z1
 1,115  2,1
1 
ln t 2  ln t1 5500  1500

 1,32.
z 2  z1
 1,115  2,1
m t  exp m1  0,5 12   exp 10,08  0,5  1,32 2   57022ч;
t 
exp    1m
2
1
2
t

exp 1,32
2

 1  57022 2  123765ч.
Проверка правильности принятой гипотезы. Осуществляется с помощью критерия Пирсона 2, рассчитанного по выражению (11). Число разря20
дов при расчете критерия на единицу больше числа разрядов разбиения вариационного ряда k, так как добавляется интервал от ta до +. Результаты
расчетов представлены в таблице 10.
Таблица 10 - Расчет критерия Пирсона 
№ инт.
1
2
3
4
5
6
lnti-1
6,9077
7,6009
8,2941
8,5172
8,6995
lnti
8,9077
7,6009
8,2941
8,5172
8,6995
00
ti
1000
1000
2000
1000
1000
ni
3
5
6
9
8
143
qi(t)
0,0082
0,0219
0,0584
0,0285
0,0299
0,8531
N*qi(t) ni-N*qi(t)
1,43
1,57
3,81
1,19
10,16
-4,16
4,96
4,04
5,20
2,80
148,439 -5,439
U2=Ui2= 8,80662
Ui2
1,73485
0,37125
1,70435
3,29294
1,50414
0,19932
Величина qi(ti) рассчитывается по следующему выражению:
qi ti  
F ln ti  m1 
1

F ln ti1  m1 
1
.
Например, для четвертого интервала
 ln 5000  10,08 
 ln 4000  10,08 
q4 t 4   F 
  F
  F  1,187   F 1,356
1
,
32
1
,
32




q4 t4   0,117  0,0885  0,0285.
При уровне значимости =10%, числе степеней свободы r=3 и критическом значении 2кр=6,25. подсчитанное значение U2=8,80622 попадает в
критическую область (6,25; +  ). Но если принять =2,5%, то 2кр=9,35 и
U2=8,80622 не попадает в критическую область (9,35; +  ). Следовательно,
можно принять гипотезу о логарифмически-нормальном законе распределения, однако, следует иметь в виду, что нормальное распределение лучше
описывает рассматриваемые статистические данные.
Определение точности оценок параметров распределения. Верхние и
нижние границы доверительных интервалов для параметров ml и
lвычисляем по формулам, приведенным в соответствующей таблице Приложения 2:
 lH   l 
Z   1 f 3 k 
mlH  m1  Z   1
N
;  l   l 
Z   1 f 3 k 
f 2 k 
, mlB  m1  Z   1
N
N
f 2 k 
.
N
Z - квантиль нормального распределения (таблица 4 Приложения 2);
для =90% Z;
21
m1  ln t a
; f 2 k  и f 3 k  находятся по таблице 15 Приложения 2 в
1
зависимости от величины k.
k
K
10,08  ln 6000
 1,046; f2(k)=9,648 и f3(k)=4,962.
1,32
 lH  1,32  1,645 1,32 
4,962
 0,95;
174
 lB  1,32  1,645 1,32 
4,962
 1,68;
174
mlH  10,08  1,645 1,32 
9,648
 9,57;
174
mlB  10,08  1,645 1,32 
9,648
 10,59.
174
Таким образом, интервал (0,95;1,68) с доверительной вероятностью
90% покрывает истинное значение параметра l, а интервал (9,57; 10,59) значение параметра ml.
Построение графиков теоретического распределения. Построение
графиков распределения производится аналогично Примеру 3.
4. ОЦЕНКА УРОВНЯ НАДЕЖНОСТИ
Конечным результатом работы является сравнение фактических значений характеристик надежности с нормативными величинами. В качестве
нормативных величин можно выбрать либо гамма-процентную наработку
до первого отказа, либо коэффициент К1000.
Гамма-процентная наработка (t) – это наработка, в течение которой
изделие проработает до первого отказа с вероятностью , выраженной в
процентах.
По Нормам летной годности воздушное судно допускается к эксплуатации, если оно спроектировано и построено так, что в ожидаемых условиях
эксплуатации, при действии экипажа в соответствии с требованиями Руководства по летной эксплуатации, суммарная вероятность возникновения катастрофической ситуации, вызванной отказом функциональных систем, не
превышает 10-7, аварийной ситуации 10-6, сложной ситуации 10-4 на один
час типового полета.
Для анализа надежности можно принять допустимую вероятность отказа Q(t=1)=10-4, а вероятность безотказной работы P(t=1)=0,9999 и, соответственно, =99,99%. В этом случае величина t99,99 должна быть не менее 1 часа.
Определим гамма-процентную наработку t99,99 для примера 1.
22
 
 t
По условию: P t  e
Подставив численные значения, получим:
0,9999=e-0,0000409 * t. Отсюда
  ln 0,9999 
t 99,99  
  2,445 часа.
 0,0000409 
Таким образом, гамма-процентная наработка насосов-регуляторов удовлетворяет требованиям надежности и безопасности полетов.
Пример 2. Для распределения Вейбулла P(t)=exp(-tm/t0). Отсюда
t 99,99  ( ln 0,9999  4560)1 / 0,793  0,371 часа
Как видим, надежность подшипникового узла значительно меньше
требуемой. Для повышения надежности требуется произвести доработку
узла.
Для примера 3 величина t99,99=17,7 часа.
Пример 4. Для логарифмически-нормального закона распределения
 ln t  ml 
 .
P(t )  1  F 

l


 ln t  ml 
  1  0,9999  0,0001 .
F 

l


Квантиль, соответствующий вероятности 0,0001 определяется по таблице 2 Приложения:
z
ln t  ml
l
 3,7 , отсюда t  exp( l  z  ml ).
t 99,99  exp( 3,7  1,32  10,08)  180,55 часов.
Величина t99,99=180,55 часов удовлетворяет требованиям надежности.
Коэффициент К1000 равен числу отказов, приходящихся на 1000 часов
наработки изделия. Он определяется выражением: К1000=1000/Тср , где Тср –
среднее время наработки до отказа элемента, агрегата или системы.
Существуют нормативные значения К1000 для каждого типа самолета
для основных деталей, узлов и агрегатов всех функциональных систем.
Контрольным уровнем коэффициента принимается значение равное 0,2.
Оценка уровня надежности сводится к сравнению фактического и нормативного значений этого коэффициента.
Для ПРИМЕРА 1 значение К1000=1000/24460=0,041, для примера 2 К1000=1000/46879б6=0,021 , для примера 3 – К1000=1000/10817,4=0,092, для П
примера 4 – К1000=1000/57022=0,017. При сравнении с контрольным значением расчетных величин К1000, видим, что в примере 2 заключение, которое
можно сделать по коэффициенту К1000 (изделие удовлетворяет требованиям
надежности) не согласуется с заключением, сделанным на основе анализа
23
гамма-процентной наработки до первого отказа. В этом случае принимается
наихудший вариант, что идет в запас надежности.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Акимов В.М. «Основы надежности газотурбинных двигателей»
/ Москва, «Машиностроение»,1981 г. 207 стр.
2. Косточкин В.В. «Надежность авиационных двигателей и силовых установок» / Москва, «Машиностроение»,1976 г. 248 стр.
3. Милов Е.А. «Анализ эксплуатационной надежности авиационной техники». Метод. указания / Куйбышев, Куйбышевский авиационный институт, 1992 г. 38 стр.

24
Приложение 1
25
26
Приложение 2
Таблица 1 – Аналитический вид характеристик законов распределения
Наименование распределения
Равномерное
Плотность распределения
0 при t=0, x>a
1
при 0  t  a
a
Нормальное
Логарифмически
нормальное
Распределение
Вейбулла
Распределение
Релея
 t  mt
f 
t  t
1
 ln t  ml
f 
 l
m m 1
t e
t0

t

2
e

1
t
при 0  t  a
a
-t







tm
t0
 t  mt 

f 
1
 t 
t
 t  mt 

1  F 

 t 
 ln t  m l 

f 

l


 ln t  m l
1  F 
 l
m m 1
t
t0
t2
2
1
при 0  t  a
at
Вероятность
безотказной работы
0 при t>a
1 при t=0
  e  t
Экспоненциальное
Интенсивность
отказов



 t  mt
1  F 
 t
 ln t  m l
1  F 
 l

e
t
2

27

2



e
tm
t0
t2
2 2



Таблица 2 - Значения стандартной нормальной функции распределения
х
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-0,00 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4601 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641
-0,10 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247
-0,20 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859
-0,30 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483
-0,40 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121
-0,50 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776
-0,60 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2551
-0,70 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2297 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148
-0,80 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867
-0,90 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611
-1,00 0,1587 0,1563 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379
-1,10 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170
-1,20 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1039 0,1020 0,1003 0,0985
-1,30 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823
-1,40 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681
-1,50 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559
-1,60 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455
-1,70 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0334
-1,80 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294
-1,90 0,0288 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233
-2,00 0,0228 0,0179 0,0139 0,0107 0,0082 0,0062 0,0047 0,0035 0,0026 0,0019
-3,00 0,0014 0,0010 0,0007 0,0005 0,0003 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0000
28
Таблица З - Значения функции распределения Пирсона 2
Число
степеней
сво- 0,005
боды
0,3
*10-4
2 0,010
3 0,072
4 0,207
5 0,412
6 0,676
7 0,989
8 1,340
9 1,730
10 2,160
11 2,600
12 3,070
13 3,570
14 4,070
15 4,600
16 5,140
18 6,260
20 7,430
22 8,640
24 9,890
26 11,20
28 12,50
30 13,80
35 17,20
40 20,70
45 24,30
50 28,00
55 31,70
60 35,50
65 39,40
70 4330
75 47,20
80 51,20
85 55,20
90 59,90
95 63,20
100 67,30
1
Доверительная вероятность
0,01
0,025
0,05
0,16
*10-3
0,020
0,115
0,297
0,554
0,872
1,240
1,650
2,090
2,560
3,050
3,570
4,110
4,660
5,230
5,810
7,010
8,260
9,540
10,900
12,20
13,60
15,00
17,50
22,20
25,90
29,70
33,60
37,50
41,40
45,40
49,50
53,50
57,60
61,80
65,90
70,10
0,98
*10-3
0,051
0,216
0,484
0,831
1,240
1,690
2,180
2,700
3,250
3,820
4,400
5,010
5,630
6,260
6,910
8,230
9,590
11,000
12,400
13,80
15,30
16,80
20,60
24,40
28,40
32,40
36,40
40,50
44,60
48,80
52,90
57,20
61,40
65,60
69,90
74,20
0,39
*10-2
0,103
0352
0,711
1,150
1,640
2,170
2,730
3,330
3,940
4,570
5,230
5,890
6,570
7,260
7,960
9,390
10,900
12,300
13,800
15,40
16,90
18,50
22,50
26,50
30,60
34,80
39,00
43,20
47,40
51,70
56,10
60,40
64,70
69,10
73,50
77,90
0,1
0,2
0,016 0,064
0,211
0,584
1,060
1,610
2,200
2,830
3,490
4,170
4,870
5,580
6,300
7,040
7,790
8,560
9,310
10,900
12,400
14,000
15,700
17,30
18,90
20,60
24,80
29,10
33,40
37,70
42,10
46,50
50,90
5530
59,80
6430
68,80
7330
77,80
82,40
0,446
1,000
1,650
2,340
3,070
3,820
4,590
5,380
6,180
6,990
7,810
8,630
9,470
10,300
11,200
12,900
14,600
16300
18,100
19,80
21,60
23,40
27,80
32,30
36,90
41,80
46,00
50,60
55,30
59,90
64,50
69,20
73,90
78,60
83,20
87,90
29
0,8
0,9
0,95
0,975
0,99
0,995
1,64
2,71
3,84
5,02
6,63
7,88
3,22
4,64
5,99
7,29
8,56
9,80
11,00
12,20
13,40
14,60
15,80
17,00
18,20
19,30
20,50
22,80
25,00
27,30
29,60
31,80
34,00
36,30
41,80
47,30
52,70
58,20
63,60
69,00
74,40
79,70
85,10
90,40
95,70
101,10
106,40
111,70
4,61
6,25
7,78
9,24
10,60
12,00
13,40
14,70
16,00
17,30
18,50
19,80
21,10
22,30
23,50
26,00
28,40
30,30
33,20
35,60
37,90
40,30
46,10
51,80
57,50
63,20
68,80
74,40
80,00
85,50
91,10
96,60
102,10
107,60
113,00
118,50
5,98
7,81
9,49
11,10
12,60
14,10
15,50
16,90
18,30
19,70
21,00
22,40
23,70
25,00
26,30
28,90
31,40
33,90
36,40
38,90
41,30
43,80
49,90
55,80
61,70
67,50
73,30
79,10
84,80
90,50
96,20
101,90
107,50
112,10
118,80
124,30
7,38
9,35
11,10
12,80
14,40
16,00
17,50
19,00
20,50
21,90
2330
24,70
26,10
27,50
28,80
31,50
34,20
36,80
39,40
41,90
44,50
47,00
53,20
59,30
65,40
71,40
77,40
83,40
89,20
95,00
100,80
106,60
112,4
118,1
123,90
129,60
9,21
11,30
13,30
15,10
16,80
18,50
20,10
21,70
23,20
24,70
26,20
27,70
29,10
30,60
32,00
34,80
37,60
40,30
43,00
45,60
48,30
50,90
57,30
63,70
70,00
76,20
82,30
88,40
94,40
100,40
106,40
11230
118,20
124,10
130,00
135,80
10,60
12,80
14,90
16,70
18,50
20,30
22,00
23,60
25,20
26,80
28,30
29,80
31,30
32,80
34,30
37,20
40,00
42,80
45,60
48,30
51,00
53,70
60,30
66,80
73,20
79,50
85,70
92,00
98,10
104,2
110,3
116,3
122,3
128,3
134,2
140,2
Таблица 4 - Квантили нормального распределения

0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
Z
0,674
0,690
0,706
0,722
0,739
0,755
0,772
0,789
0,806
0,824
0,842
0,860
0,878
0,896
0,915
0,935
0,954
0,974
0,994
1,015
1,036
1,080
1,103
1,126
1,150
1,175
1,200
1,227
1,254
1,282
1,311
1,000
30

Z
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,925
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,975
0,980
0,990
0,991
0,993
0,994
0,995
0,996
0,997
0,9975
0,9980
0,9990
0,9995
0,9999
1,341
1,372
1,405
1,440
1,476
1,514
1,555
1,598
1,645
1,625
1,751
1,780
1,812
1,881
1,960
2,054
2,170
2,241
2,326
2,576
2,612
2,697
2,748
2,807
2,878
2,968
3,024
3,040
3,291
3,480
3,885
Таблица 5 - Квантили распределения Стьюдента
P
N-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
14
16
18
20
25
30
60

0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,95
0,98
0,99
1,000
0,816
0,765
Р0,741
0,727
0,718
0,711
0,706
0,703
0,700
0,695
0,692
0,690
0,688
0,687
0,684
0,683
0,679
0,674
1,376
1,061
0,978
0,941
0,920
0,906
0,896
0,889
0,883
0,879
0,873
0,868
0,865
0,862
0,860
0,856
0,854
0,848
0,842
1,963
1,336
1,250
1,190
1,156
1,134
1,119
1,108
1,100
1,093
1,083
1,076
1,071
1,067
1,064
1,058
1,055
1,046
1,036
3,078
1,886
1,638
1,533
1,476
1,440
1,415
1,397
1,383
1,372
1,356
1,345
1,337
1,330
1,325
1,316
1,310
1,296
1,282
6,314
2,920
2,353
2,132
2,015
1,943
1,895
1,860
1,833
1,812
1,782
1,761
1,746
1,734
1,725
1,708
1,697
1,671
1,645
12,706
4,303
3,181
2,776
2,571
2,447
2,365
2,306
2,262
2,228
2,179
2,145
2,120
2,101
2,086
2,060
2,042
2,000
1,960
31,821
6,965
4,541
3,747
3,365
3,143
2,998
2,896
2,821
2,704
2,681
2,624
2,583
2,552
2,528
2,485
2,457
2,390
2,326
0,999
63,657 636,619
9,965 31,598
5,841 12,941
4,604
8,610
4,032
6,869
3,707
5,959
3,499
5,405
3,355
5,041
3,250
4,781
3,169
4,587
3,056
4,318
2,977
4,140
2,921
4,015
2,878
3,922
2,845
3,850
2,787
3,725
2,750
3,646
2,660
3,460
2,576
3,291
Таблица 6 – Оценка параметров экспоненциального распределения
План наблюдения
Формулы для определения оценки *
N
N
t
[NUN]
i 1
i
n
N
 t  N  n T
[NUT]
i 1
i
r 1
N
 t  N  r t
[Nur]
i 1
31
i
r
Таблица 7 – Доверительные границы для параметров экспоненциального закона распределения
Формулы для определения двусторонних границ параметра  с
Планы
доверительной вероятностью 
наблюдений
Нижняя граница
Верхняя граница
   12 
[NUN]
2
2
2N  1
  N   12 
[NUТ]
   12 
,2n
2
2N  1
  N   12 
,2n
2
[NUr]
2
,2n


1

n 2 N  n   12 
,2n2 
2
2




1
n 2 N  n   12  
2 2 ,2n 

   12 
,2n
   12 
,2r
2
,2r
2r  1
2r  1
Таблица 8 – Оценка параметров распределения Вейбулла
1
План
Формулы для определения оценок   и m 
t0
наблюдения
 
N

[NUN]
N
t
i 1
m
i
N
N

 N
 N m
    ln ti  ti  N  tim ln ti  0
i 1
i 1
m
 i 1
n
  N
m
m
t

(
N

n
)
T
i
[NUT]
i 1
 n

 n m

m
m* 
m*

ln
t
t

(
N

n
)
T

n
t
ln
t

(
N

n
)
T
ln
T
   i   i

i
i
 
0
m
i

1
i

1
i

1


 

n
n
 
[NUr]
r
r
t
i 1
m
i
 ( N  r )t
m
r

 r

 r m

m
m 
    ln t i   t i  ( N  r )t r   n  t i ln t i  ( N  r )t rm ln t r   0
i 1
m
  i 1

 i 1

r
r
Таблица 9 – Доверительные границы для параметров распределения
32
Вейбулла
Планы
наблюдений
[NUN]
[NUT]
[Nur]
Формулы для определения двусторонних границ параметров
 и m с доверительной вероятностью 
Нижняя
Верхняя
Нижняя
Верхняя
граница mН
граница mВ
граница Н
граница В
  Z  D 
  Z  D 
 
m  Z  D m
 
m  Z  D m
Таблица 10 – Дисперсия оценок параметров  и m распределения Вейбулла
Планы ДисФормулы для определения дисперсий оценок параметров
наблю- персии
иm
дений оценок
D(*)
[NUN]
D(m*)
D(*)
[NUT]
*
D(m )
D(*)
N
N

m
2


t
ln
ti

i
m2
i 1
N
N  N
  N m


m
2
 2    ti ln ti     ti ln ti 
2
 m
i 1
  i 1

N
m2
2
N
N


N  N



 2    tim ln 2 ti     tim ln ti 
2
 m
i 1
  i 1

2

n
n 

   tim ln 2 ti   N  n T m ln 2 T 
2
m
 i 1

2
n
n  n
   n m 2


m
2
m
2
m
   ti ln ti   N  n T ln T     ti ln ti   N  n T ln T 

2  m2
 i 1
   i 1

n
2
2
n
n  n
   n m 2


m
2
m
2
m
   ti ln ti   N  n T ln T     ti ln ti   N  n T ln T 

2  m2
 i 1
   i 1

r


r




t im ln 2 t i  N  r t im ln 2 t 


2
m
 i 1

2
r
r 
   r m 2

 r

m
2
m
2
m
   t i ln t i  N  r t r ln t r     t i ln t i  N  r t r ln t r 

2  m 2
 i 1
   i 1

[Nur]
r
2
D(m*)
2
r
r  r
   rn m 2


m
2
m
2
m
   t i ln t i   N  r t r ln t r     t i ln t i   N  r t rn ln t r 

2  m 2
 i 1
   i 1

Таблица 11 – Оценка параметров распределения Релея
33
План
наблюдения
Формулы для определения оценок  
1
1

и m    2
t0 2 2
N
[NUN]
2 
t
i 1
2
i
2N

t0
2
n
[NUT]
2 
 ti2  ( N  n)  Ta
i 1
2n
r
[NUr]
2 
2
t
i 1
2
i
 ( N  r )  Tr

t0
2

t0
2
2
2r
Таблица 12 – Доверительные границы для параметров распределения Релея
Формулы для определения двусторонних границ параметра 
Планы
с доверительной вероятностью 
наблюНижняя
Верхняя
дений
граница Н
граница В
[NUN]
  Z  D 
  Z  D 
[NUT]
[Nur]
Таблица 13 – Дисперсия оценок параметра  распределения Релея
Планы ДисФормулы для определения дисперсий оценок параметров
наблю- персии
иm
дений оценок
1
[NUN] D(*)
N

2
[NUT] D(*)
n
2

 N 2

  t i  ln t i 
 i 1

2
N
N
    t i2  ln 2 t i
4
i 1
1
 N 2

  t i  ln t i  N  n  T 2  ln T 
 i 1

n
   
4
n
t
i 1
Окончание таблицы 13.
34
2
i
2
 ln 2 t i  N  n  T 2  ln 2 T

1
[Nur]
D(*)
r
2

 r 2

2
  t i  ln t i  N  r   Tr  ln Tr 
 i 1

r
   
4
r
t
i 1
2
i
2
 ln 2 t i  N  r   Tr  ln 2 Tr
2

Таблица 14 – Оценка параметров нормального распределения
План
Расчетные формулы
наблюдений
[NUN]
mt 
 ti
i 1
N
 t
N
N
;  t 
i 1
i
 mt

2
N 1
 mt  t n 


f
  
n 
t i  mt 
t





     ( N  n)  m   t   0
i 1 
t

F  t  n 
 t 
 mt  t r 


f

r
 t i  mt 
mt  t r   t 
  (N  r)
r   
0
 t 
 t
 mt  t r 
i 1 

F 



t


[NUТ]
[NUr]
Таблица 15 – Доверительные границы для параметров нормального
распределения
Формулы для определения двусторонних границ параметров
Планы
mt и t с доверительной вероятностью 
наблюНижняя
Верхняя
Нижняя
Верхняя
дений
граница mtН
граница mtВ
граница tН
граница tВ
[NUN]

t
m  t  , N 1
[NUT] m   Z  t
t

[Nur]
N
 t
N
f 2 K 

t
m  t  , N 1
mt  Z 
 t
N
 t
 t
N
f 2 K 
35
 t  Z 
N 1

2
1 
, N 1
2
 t
N
f 3 K 
 t
N 1
 12 
2
 t  Z 
 t
N
, N 1
f 3 K 
Таблица 16 – Оценка параметров логарифмически нормального
распределения
План
Расчетные формулы
Наблюдений
[NUN]
ml 
 ln t i
i 1
N
 ln t
N
N
;  l 
i 1
i
 ml

2
N 1
 ml  ln t n 


f


n 
 l
ln t i  ml 



  ( N  n)
0

 


 ml  ln t n 
i 1 
l


F 



l



 ml  ln t r

f

r
 ln t i  ml 
ml  ln t r   l
  (N  r)
r   
 l 
 l
 ml  ln t r
i 1 
F 

 l
[NUТ]
[NUr]



 0




Таблица 17 – Доверительные границы для параметров логарифмически
нормального закона распределения
Формулы для определения двусторонних границ параметров
Планы
ml и l с доверительной вероятностью 
наблюНижняя
Верхняя
Нижняя
Верхняя
дений
граница mlН
граница mlВ
граница lН
граница lВ
[NUN]
[NUT]
[Nur]

l
m  t  , N 1
m l  Z 
 l
N
 l
N

l
m  t  , N 1
f 2 K  m l  Z 
 l
N
 l
 l
N
f 2 K 
36
 l  Z 
N 1

2
1 
, N 1
2
 l
N
f 3 K 
 l
N 1
 12 
2
 l  Z 
 l
N
, N 1
f 3 K 
Таблица 18 - Значения коэффициентов К; f1(К); f2(К); f3(К)
К
-2,0
-1,9
-1,8
-1,7
-1,6
-1,5
-1,4
-1,3
-1,2
-1,1
-1,0
-0,9
-0,8
-0,7
-0,6
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1.2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
f1(К)
2,373
2,285
2,197
2,110
2,024
1,939
1,854
1,770
1,688
1,606
1,525
1,446
1,376
1,290
1,215
1,141
1,069
0,998
0,929
0,868
0,790
0,735
0,675
0,617
0,562
0,509
0,459
0,412
0,368
0,326
0,288
0,252
0,219
0,190
0,163
0,139
0,117
0,098
0,082
0,068
0,055
f2(К)
1,003
1,004
1,005
1,006
1,009
1,011
1,015
1,019
1,025
1,032
1,042
1,054
1,069
1,089
1,114
1,147
1,189
1,243
1,312
1,401
1,517
1,667
1,863
2,119
2,458
2,898
3,473
4,241
5,261
6,623
8,448
10,900
14,220
18,730
24,890
33,340
44,590
51,130
83,640
115,200
159,700
37
f3(К)
0,519
0,524
0,530
0,537
0,546
0,556
0,568
0,583
0,600
0,620
0,643
0,671
0,702
0,740
0,783
0,833
0,891
0,959
1,039
1,132
1,241
1,370
1,523
1,704
1,919
2,178
2,488
2,863
3,319
3,876
4,561
5,408
6,462
7,780
9,442
11,550
14,240
17,240
22,190
28,050
35,740
Таблица 19 – Значения Гамма-функции Г(х)
x
Г(x)
x
Г(x)
x
Г(x)
x
Г(x)
0,30 2,992 0,32 2,796 0,34 2,624 0,36 2,473
0,42 2,110 0,44 2,013 0,46 1,925 0,48 1,845
0,54 1,645 0,56 1,589 0,58 1,537 0,60 1,489
0,66 1,366 0,68 1,331 0,70 1,298 0,72 1,267
0,78 1,187 0,80 1,164 0,82 1,142 0,84 1,122
0,90 1,069 0,92 1,053 0,94 1,038 0,96 1,025
1,02 0,989 1,04 0,978 1,06 0,969 1,08 0,960
1,14 0,936 1,16 0,930 1,18 0,924 1,20 0,918
1,26 0,904 1,28 0,901 1,30 0,897 1,32 0,895
1,38 0,889 1,40 0,887 1,42 0,886 1,44 0,886
1,50 0,886 1,52 0,887 1,54 0,888 1,56 0,890
1,62 0,896 1,64 0,899 1,66 0,902 1,68 0,905
1,74 0,917 1,76 0,921 1,78 0,926 1,80 0,931
1,86 0,949 1,88 0,955 1,90 0,962 1,92 0,969
1,98 0,992 2,00 1,000 2,02 1,009 2,04 1,018
2,10 1,046 2,12 1,057 2,14 1,068 2,16 1,079
2,22 1,114 2,24 1,127 2,26 1,140 2,28 1,153
2,34 1,196 2,36 1,211 2,38 1,226 2,40 1,242
2,46 1,293 2,48 1,311 2,50 1,329 2,52 1,348
2,58 1,408 2,60 1,430 2,62 1,451 2,64 1,474
2,70 1,545 2,72 1,570 2,74 1,595 2,76 1,622
2,82 1,705 2,84 1,734 2,86 1,765 2,88 1,796
2,94 1,894 2,96 1,928 2,98 1,964 3,00 2,000
38
x
0,38
0,50
0,62
0,74
0,86
0,98
1,10
1,22
1,34
1,46
1,58
1,70
1,82
1,94
2,06
2,18
2,30
2,42
2,54
2,66
2,78
2,90
Г(x)
2,338
1,772
1,445
1,239
1,103
1,012
0,951
0,913
0,892
0,886
0,891
0,909
0,937
0,976
1,027
1,090
1,167
1,259
1,368
1,497
1,649
1,827
x
0,40
0,52
0,64
0,76
0,88
1,00
1,12
1,24
1,36
1,48
1,60
1,72
1,84
1,96
2,08
2,20
2,32
2,44
2,56
2,68
2,80
2,92
Г(x)
2,218
1,706
1,404
1,212
1,085
1,000
0,944
0,909
0,890
0,886
0,894
0,913
0,943
0,984
1,037
1,102
1,181
1,276
1,388
1,520
1,676
1,860
39