Лабораторная работа 1 - Волгоградский филиал Российского

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
(РГТЭУ)
ВОЛГОГРАДСКИЙ ФИЛИАЛ
Н. Е. Шевелева
В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н А Я
М А Т Е М А Т И К А
в
Microsoft Excel
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ
Волгоград
2013
УДК 519.6(076.5)
ББК 22.19я73
Ш 32
Рецензенты:
Жуков С. С., кандидат физико-математических наук, доцент кафедры физики
Волгоградского государственного технического университета;
Музюкова Е. В., кандидат экономических наук, доцент, заведующий кафедрой
высшей математики и информатики Волгоградского филиала Российского государственного торгово-экономического университета
Печатается по решению учебно-методического совета ВФ РГТЭУ,
протокол № 3 от 25 июня 2013 г.
Издается в авторской редакции
Шевелева Н. Е.
Вычислительная математика в Microsoft Excel: лабораторный практикум /
М-во образования и науки Рос. Федерации, Волгоградский филиал ФГБОУ ВПО
«Российский государственный торгово-экономический университет»; Н. Е. Шевелева.
– Волгоград: Волгоградский филиал РГТЭУ, 2013. – 98 с.
ISBN 978-5-905855-25-2
Кратко изложены основные численные методы для решения задач в области экономики
и управления. Предложены варианты реализаций рассматриваемых методов в Microsoft Excel.
Предназначено для студентов экономических специальностей высших учебных заведений, а также для преподавателей экономических дисциплин и специалистов, работающих в различных экономических областях.
УДК 519.6(076.5)
ББК 22.19я73
ISBN 978-5-905855-25-2
© ФГБОУ ВПО «Российский государственный
©
торгово-экономический университет», 2013
Н.Е. Шевелева, 2013
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ...................................................................................................................... 5
Лабораторная работа 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ............................. 7
Лабораторная работа 2. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ................................................................................. 10
Отделение корней уравнения ............................................................................... 10
Метод дихотомии (деления отрезка пополам) ................................................... 12
Метод простых итераций...................................................................................... 15
Метод Ньютона ..................................................................................................... 19
Метод хорд ............................................................................................................. 21
Метод секущих ...................................................................................................... 24
Использование встроенных инструментов MS EXCEL .................................... 26
Лабораторная работа 3. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ........................................................................................ 30
Метод Якоби .......................................................................................................... 31
Метод Зейделя ....................................................................................................... 36
Метод минимальных невязок (Ричардсона) ....................................................... 40
Использование встроенных инструментов MS EXCEL .................................... 42
Лабораторная работа 4. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ............................................ 44
Интерполяционная формула Лагранжа............................................................... 45
Интерполяционная формула Ньютона ................................................................ 47
Метод наименьших квадратов ............................................................................. 49
Использование встроенных инструментов MS EXCEL .................................... 51
Лабораторная работа 5. ОПТИМИЗАЦИЯ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ .......... 55
Метод градиентного спуска ................................................................................. 55
Метод наискорейшего градиентного спуска ...................................................... 57
Метод Гаусса–Зейделя (наискорейшего покоординатного спуска) ................ 58
Использование встроенных инструментов MS EXCEL .................................... 60
Лабораторная работа 6. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ....................... 61
Формула левых (правых) разностей .................................................................... 61
Формула центральных разностей, построенная по трем узлам ....................... 64
Формула центральных разностей, построенная по пяти узлам ........................ 65
Лабораторная работа 7. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ................................. 68
Формула левых (правых) прямоугольников ....................................................... 68
Формула средних прямоугольников ................................................................... 73
Формула трапеций................................................................................................. 77
Формула Симпсона ............................................................................................... 81
Использование макросов MS EXCEL ................................................................. 84
Лабораторная работа 8. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО
ПОРЯДКА ...................................................................................................................... 86
Метод Эйлера......................................................................................................... 87
Модифицированный метод Эйлера ..................................................................... 90
3
Метод Рунге–Кутта четвертого порядка точности ............................................ 90
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЗАЧЕТУ/ЭКЗАМЕНУ ..................................... 93
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК .......................................................................... 95
4
ВВЕДЕНИЕ
Бурное развитие математического моделирования в экономических
науках и необходимые для современного экономиста навыки использования
вычислительной техники делают необходимым наряду с изучением классического курса математики освоение современных численных методов.
Моделирование как один из методов научного познания дает возможность изучать поведение системы в заданных экспериментатором условиях с
минимальными материальными затратами. Построение математической модели
экономического процесса состоит из нескольких этапов. Сначала формулируются цель и предмет исследования, затем выявляются структурные и функциональные элементы модели, взаимосвязи между ними, существенные факторы,
отвечающие цели исследования, и отбрасывается то, что наименьшим образом
влияет на ход решения задачи. На заключительном этапе проводятся расчеты
по математической модели и анализ полученного решения. При этом для практических задач, поддающихся математическому моделированию, довольно редко удается найти точное (аналитическое) решение, и именно на завершающем
этапе применяются численные методы. Выбор того или иного метода в значительной степени определяется постановкой задачи, а также используемой математической моделью объекта. Поэтому необходимо иметь представление о
методах вычислительной математики как о наборе действующих способов решения численных задач и областях их применения, о реализации вычислений в
виде алгоритмов для ЭВМ и анализе погрешности используемых методов с
учетом точности представления числовых данных в ЭВМ.
Как правило, решение задач с использованием численных методов проводится на базе алгоритмических языков программирования либо на основе специализированных пакетов прикладных программ. Кроме того, с минимальными
затратами реализовать численные методы можно, используя навыки работы в
табличном процессоре Microsoft Excel или в приложении для работы с электронными таблицами OpenOffice.org Calc.
Лабораторный
практикум
«Вычислительная
математика
в
Microsoft Excel» содержит краткое изложение основных численных методов
для решения задач в области экономики и управления и варианты реализаций
рассматриваемых методов в среде Microsoft Excel. Реализация большинства методов вычислений рассматривается достаточно подробно, на уровне пошаговых
инструкций, и не требует специальной подготовки в области информатики и
программирования на ЭВМ. Этапы решения иллюстрируются видом рабочего
листа MS Excel с формулами и результатом расчета. Это позволяет использовать предлагаемый материал и в процессе изучения соответствующих разделов
дисциплины «Вычислительная математика», и для самостоятельного обучения.
Содержание практикума направлено на обеспечение процесса обучения
достаточным количеством заданий для освоения основных численных методов,
причем немалое внимание уделяется специфике дисциплины «Вычислительная
математика», заключающейся в наличии для решения определенной математи5
ческой задачи ряда методов, имеющих одну идеологию, но свои особенности.
Это позволяет преподавателю, ведущему занятия, выбирать форму работы с
практикумом, соответствующую уровню подготовки студентов, начиная от
совместного разбора рассмотренного в практикуме примера до индивидуальной
задачи, решение которой предполагается реализовать предложенным методом.
Лабораторный
практикум
«Вычислительная
математика
в
Microsoft Excel» предназначен для студентов экономических специальностей
всех форм обучения, а также для преподавателей экономических дисциплин и
специалистов, работающих в различных экономических областях.
6
Лабораторная работа 1
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ
ЦЕЛЬ
Ознакомиться с основными понятиями теории погрешностей.
ЗАДАЧА
Дан ряд

a
n 1
n
. Найти сумму ряда аналитически. Вычислить значения частичN
ных сумм ряда S N   a n и найти величину погрешности при значениях N = 10,
n 1
102, 103, 104.
Вариант
0
1
2
3
4
Вариант
an
48
5n 2  6n  5
60
2
n  6n  8
36
11n 2  5n  4
46
n 2  5n  6
12
2
5n  6n  8
5
6
7
8
9
an
24
n 2  4n  3
144
2
5n  6n  8
32
2
n  9n  20
84
2
13n  14n  48
20
2
n  4n  3
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ И РЕАЛИЗАЦИЯ В MS EXCEL
Алгоритм
1. Найти сумму ряда аналитически.
Используя функцию S N    a n , вычислить значения частичных сумм ряN
2.
n 1
да при указанных значениях N.
3. Для каждого N вычислить величину абсолютной погрешности.
Пусть а – точное значение, а* – приближенное значение некоторой величины. Абсолютной погрешностью приближенного значения а* называется величина a*  a  a * .
4. Определить количество верных цифр в S  N  .
Значащими цифрами числа а* называют все цифры в его записи, начиная с
первой ненулевой слева.
7
Значащую цифру числа а* называют верной, если абсолютная погрешность
числа не превышает единицы разряда, соответствующего этой цифре.
Приближенное число можно представить в виде конечной десятичной дроби
am  0 .
a*  am 10 m  am110 m1  am2 10 m2    amn 110 mn 1
Тогда, если цифра a k в изображении числа а* верная, то выполняется неравенство a  a *  10 k ,   1, чаще всего   0,5 .
Аналитическое решение
N
72
Дан ряд  2
n  0 n  5n  4
N
72
1
72 N  1
1 
SN   2
 72





n  0 n  5n  4
n  0 n  1n  4 
3 n0  n  1 n  4 
N
 1 1   1 1   1 1   1 1 
 24                  
 2 5   3 6   4 7   5 8 
1  1
1   1
1 
 1



 

 
 n  1 n  2   n n  3   n  1 n  4 
1
1
1 
1
1
1 
1 1 1
 13
 24     




  24   

2 3 4 N  2 N 3 N  4
 12 N  2 N  3 N  4 
1
1
1 
13
 13
S  lim S N  lim 24   


 24   26 .

N 
N 
12
 12 N  2 N  3 N  4 
Реализация в MS Excel
1. Для расчета суммы ряда создать вспомогательный столбец n: Правка – Заполнить – Прогрессия…:
8
2.
Провести расчет:
Вид рабочего листа с результатом расчета
Вид рабочего листа с формулами
Примечания: Фигурные скобки означают, что соответствующая формула выводится массивом, т. е. с использованием комбинации
Ctrl + Shift + Enter.
9
Лабораторная работа 2
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
ЦЕЛЬ
Ознакомиться с численными методами решения конечных уравнений и их реализацией в MS Excel.
ЗАДАЧА
Решить трансцендентное уравнение с точностью ε одним из методов:
1) половинного деления,  = 10–3;
2) простой итерации,  = 10–6;
3) Ньютона (касательных),  = 10–9;
4) секущих,  = 10–9;
5) хорд,  = 10–9.
Вариант
0
1
2
3
4
Уравнение
x e 2
3 sin x  0,7  0,5x  0
x  2 ln x  1
2
x
cos x  x  1  0
5 sin x  x  ln x
2
Вариант
5
6
7
8
9
Уравнение
x  cos 2  x   1
x ln x  1  1
2
ln x  1  x  2  1
2 ln x  0,5x  1  0
x 2  3 sin x  0
АЛГОРИТМЫ МЕТОДОВ И ИХ РЕАЛИЗАЦИЯ В MS EXCEL
Отделение корней уравнения
Реализация в MS Excel
2
1. Уравнение x  2  0 .
2. Графическое отделение корней:
10
2
3.
Аналитическое отделение корней уравнения:
 рассматриваемая функция f x  x 2  2 .
Функция f  x  имеет единственный корень на интервале a; b , если
значения f  x  на концах отрезка имеют разные знаки ( f a   f b   0 ),
и первая и вторая производные сохраняют свой знак на всем интервале;
Вид рабочего листа с результатом расчета
Вид рабочего листа с формулами
 один из отрезков, на котором функция f x  x 2  2 меняет знак,
1; 2:
11
Метод дихотомии (деления отрезка пополам)
Алгоритм
1. Отделить корни уравнения f  x   0 – найти отрезок a 0 ; b0  , на котором
f  x  меняет знак: f a 0   f b0   0 .
b  a0
2. Определить середину отрезка x 0  0
.
2
3. Вычислить значение функции f  x 0  .
4. В зависимости от знака f  x 0  определить новые границы отрезка a i ; bi  ,
i = 1, 2… следующим образом:
 если f a 0   f  x 0   0 , то a i  a i 1 , bi  xi 1 , i = 1, 2…;
 если f a 0   f  x 0   0 , то a i  xi 1 , bi  bi 1 , i = 1, 2….
b  ai
5. Вычислить x i  i
.
2
6. Вычислить погрешность по формуле ri  bi  a i .
7. Итерационный процесс заканчивается, как только ri   .
Реализация в MS Excel
1. Уточнение корня с помощью таблицы вычислений:
Вид рабочего листа с результатом расчета
Вид рабочего листа с формулами
2.
12
Уточнение корня с использованием режима Итерации MS Excel (вручную):
 создать копию листа: Правка – Переместить/Скопировать лист…:
 удалить строки с итерационным процессом:
 настроить MS Excel на выполнение итераций вручную: Сервис – Параметры – Вычисления – вручную; итерации разрешить, Предельное число итераций – 1, Относительная погрешность – 0,001:
13
 организовать в таблице циклическую ссылку: в ячейке, где хранилось
старое значение корня, поставить ссылку на ячейку, где рассчитано
новое, более точное значение корня:
Примечание: При итерировании листа ячейки с циклическими ссылками вычисляются слева направо и сверху вниз.
Для обновления вычислений в книге используется F9, для обновления листа Shift + F9.
 нажимать клавишу F9 (Обновить), наблюдая за поведением погрешности:
Уточнение корня с использованием режима Итерации MS Excel (автоматически):
 в расчетных формулах задать начальное приближение;
 настроить MS Excel на выполнение итераций автоматически: Сервис
– Параметры – Вычисления – автоматически; итерации разрешить, Предельное число итераций – 100, Относительная погрешность – 0,001;
 нажать кнопку Выполнить (F9) для получения результата итерационного процесса (промежуточные итерации скрыты).
4. После окончания вычислительного процесса выполнить: Сервис – Параметры – Вычисления и вернуть предустановленные настройки.
3.
14
Метод простых итераций
Алгоритм
1. Отделить корни уравнения f  x   0 – найти отрезок a; b , на котором f  x 
меняет знак: f a 0   f b0   0 .
2. Найти максимум и минимум первой производной f  x  на отрезке a; b .
Если f  x   0 , найти ее максимум M  max f  x  . Если f  x   0 , следует
a ;b 
3.
4.
5.
6.
7.
взять функцию f  x  с противоположным знаком.
Эквивалентное преобразование f  x   0  x  g  x  выбирается в виде
x  x    f  x , где принимается   M . Т. о., функция g  x  имеет вид:
f x 
.
g x   x 
M
b  a0
Задать начальное приближение, например x 0  0
.
2
Следующее приближение к корню рассчитывается по формуле
f  x i 1 
.
x i  x i 1 
M
f xi 
Погрешность найденного приближения оценивается по формуле ri 
M
или ri  x i  x i 1 .
Итерационный процесс заканчивается, как только ri   .
Реализация в MS Excel
1. Отделение корней уравнения (см. Отделение корней уравнения).
2. Проверка знаков первой производной f '  x  и второй производной f ' '  x  с
использованием условного форматирования Формат – Условное форматирование…:
15
Т. о., если производные не изменяют знак и не равны нулю, цвет ячеек не
изменяется.
3. Максимум и минимум первой производной f '  x  :
4.
16
Уточнение корня методом простых итераций с помощью таблицы вычислений:
Вид рабочего листа с результатом расчета
Вид рабочего листа с формулами
Формулу для вычисления функции g(x) можно распространить и на случай
f  x   0 , задав проверку на знак первой производной:
D23 = ЕСЛИ(ABS($D$18)>ABS($D$17);B23+C23/$B$20;B23-C23/$B$20)
5. Уточнение корня с использованием режима Итерации MS Excel (вручную):
 создать копию листа: Правка – Переместить/Скопировать лист…,
на которой удалить строки с итерационным процессом:
Вид рабочего листа с результатом расчета
17
Вид рабочего листа с формулами
 настроить MS Excel на выполнение итераций вручную: Сервис – Параметры – Вычисления – вручную; итерации разрешить, Предельное число итераций – 1, Относительная погрешность – 0,001;
 организовать в таблице циклическую ссылку: в ячейке, где хранилось
старое значение корня, поставить ссылку на ячейку, где рассчитано
новое, более точное значение корня:
 нажимать клавишу F9, наблюдая за поведением погрешности:
Примечание: Если задать другое начальное приближение, то значение корня
может отличаться.
6. После окончания вычислительного процесса выполнить: Сервис – Параметры – Вычисления и вернуть предустановленные настройки.
18
Метод Ньютона
Алгоритм
1. Отделить корни уравнения f  x   0 – найти отрезок a; b , на котором f  x 
меняет знак: f a 0   f b0   0 .
2. Исследовать первую производную f  x  и вторую производную f  x  на
отрезке a; b . Убедиться, что на данном отрезке производные не обращаются в нуль и их знаки не изменяются.
3. Выбрать x 0  a , если f a   f a   0 или x 0  b , если f b   f b   0 .
4. Следующее приближение к корню рассчитывается по формуле
f  x i 1 
x i  x i 1 
.
f  x i 1 
5. Погрешность найденного приближения оценивается по формуле
f xi 
или ri  x i  x i 1 .
ri 
x 
min
f
a ;b 
6.
Итерационный процесс заканчивается, как только ri   .
Реализация в MS Excel
1. Отделение корней уравнения (см. Отделение корней уравнения).
2. Исследование первой производной f '  x  и второй производной f ' '  x  (см.
Метод простых итераций).
3. Уточнение корня методом Ньютона с помощью таблицы вычислений:
Вид рабочего листа с результатом расчета
19
Вид рабочего листа с формулами
4.
Уточнение корня с использованием режима Итерации MS Excel (вручную):
 создать копию листа: Правка – Переместить/Скопировать лист…,
на которой удалить строки с итерационным процессом:
Вид рабочего листа с результатом расчета
Вид рабочего листа с формулами
 настроить MS Excel на выполнение итераций вручную: Сервис – Параметры – Вычисления – вручную; итерации разрешить, Предельное число итераций – 1, Относительная погрешность – 0,001;
20
 организовать в таблице циклическую ссылку: в ячейке, где хранилось
старое значение корня, поставить ссылку на ячейку, где рассчитано
новое, более точное значение корня:
 нажимать клавишу F9, наблюдая за поведением погрешности:
5.
После окончания вычислительного процесса выполнить: Сервис – Параметры – Вычисления и вернуть предустановленные настройки.
Метод хорд
Алгоритм
1. Отделить корни уравнения f  x   0 – найти отрезок a; b , на котором f  x 
меняет знак: f a 0   f b0   0 .
2. Исследовать первую производную f  x  и вторую производную f  x  на
отрезке a; b . Убедиться, что на данном отрезке производные не обращаются в нуль и их знаки не изменяются.
f ' a   f a   0 , x  a; b или x 0  b , если
3. Выбрать x 0  a , если
f ' b   f b   0 , x  a; b .
4. Следующее приближение к корню рассчитывается по формуле:
21
f  x i 1 
b  x i  , если f x   f x   0 , x  a; b , i  1, 2 
f b   f  x i 1 
f  x i 1 
x i  a  , если f x   f x   0 , x  a; b , i  1, 2 
x i  x i 1 
f  x i 1   f a 
5. Погрешность найденного приближения оценивается по формуле
f xi 
или ri  x i  x i 1 .
ri 
min f x 
x i  x i 1 
a ;b 
6.
Итерационный процесс заканчивается, как только ri   .
Реализация в MS Excel
1. Отделение корней уравнения (см. Отделение корней уравнения).
2. Исследование первой производной f '  x  и второй производной f ' '  x  (см.
Метод простых итераций).
3. Уточнение корня методом хорд с помощью таблицы вычислений:
Вид рабочего листа с результатом расчета
Вид рабочего листа с формулами
4.
22
Уточнение корня с использованием режима Итерации MS Excel (вручную):
 создать копию листа: Правка – Переместить/Скопировать лист…,
на которой удалить строки с итерационным процессом:
 настроить MS Excel на выполнение итераций вручную: Сервис – Параметры – Вычисления – вручную; итерации разрешить, Предельное число итераций – 1, Относительная погрешность – 0,001;
 организовать в таблице циклическую ссылку: в ячейке, где хранилось
старое значение корня, поставить ссылку на ячейку, где рассчитано
новое, более точное значение корня:
 нажимать клавишу F9, наблюдая за поведением погрешности:
5.
После окончания вычислительного процесса выполнить: Сервис – Параметры – Вычисления и вернуть предустановленные настройки.
23
Метод секущих
Алгоритм
1. Отделить корни уравнения f  x   0 – найти отрезок a; b , на котором f  x 
меняет знак: f a 0   f b0   0 .
2. Исследовать первую производную f  x  и вторую производную f  x  на
отрезке a; b . Убедиться, что на данном отрезке производные не обращаются в нуль и их знаки не изменяются.
f a   f a   0 , x  a; b или x 0  b , если
3. Выбрать x 0  a , если
f b   f b   0 , x  a; b .
4. Вычислить x1  x 0   .
5. Следующее приближение к корню рассчитывается по формуле:
f xi 
x i  x i 1  .
x i 1  x i 
f  x i   f  x i 1 
6. Погрешность найденного приближения оценивается по формуле
f xi 
или ri  x i  x i 1 .
ri 
x 
min
f
a ;b 
7.
Итерационный процесс заканчивается, как только ri   .
Реализация в MS Excel
1. Отделение корней уравнения (см. Отделение корней уравнения).
2. Исследование первой производной f '  x  и второй производной f ' '  x  (см.
Метод простых итераций).
3. Уточнение корня методом секущих с помощью таблицы вычислений:
Вид рабочего листа с результатом расчета
24
Вид рабочего листа с формулами
4.
Уточнение корня с использованием режима Итерации MS Excel (вручную):
 создать копию листа: Правка – Переместить/Скопировать лист…,
на которой удалить строки с итерационным процессом:
 настроить MS Excel на выполнение итераций вручную: Сервис – Параметры – Вычисления – вручную; итерации разрешить, Предельное число итераций – 1, Относительная погрешность – 0,001;
 организовать в таблице циклическую ссылку: в ячейке, где хранилось
старое значение корня, поставить ссылку на ячейку, где рассчитано
новое, более точное значение корня:
25
 нажимать клавишу F9, наблюдая за поведением погрешности:
5.
После окончания вычислительного процесса выполнить: Сервис – Параметры – Вычисления и вернуть предустановленные настройки.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВСТРОЕННЫХ ИНСТРУМЕНТОВ MS EXCEL
1.
Уточнение корня с использованием команды Подбор параметра MS Excel:
Сервис – Подбор параметра:
 точность итерационного процесса устанавливается Сервис – Параметры – Вычисления.
По умолчанию команда Подбор параметра прекращает вычисления,
когда выполняется 100 итераций или при получении результата, который находится в пределах 0,001 от заданного целевого значения;
 команда Подбор параметра позволяет найти решение для уравнения
с одним неизвестным.
2.
Уточнение корня с использованием надстройки Поиск решения MS Excel:
Сервис – Поиск решения:
 подключение надстройки Поиск решения MS Excel: Сервис –
Надстройки – Поиск решения;
26
 параметры итерационного процесса устанавливаются Сервис – Поиск
решения – Параметры:
Максимальное время служит для ограничения времени, выделенного на поиск решения задачи. Значение, заданное в этом поле, не может
превышать 32 767 с (примерно девять часов).
Предельное число итераций управляет временем решения задачи
путем ограничения числа вычислительных циклов (итераций).
Относительная погрешность определяет, насколько точно должно
совпадать вычисленное значение левой части ограничения со значением правой части, чтобы данное ограничение было выполнено.
Допустимое отклонение предназначено для задания допуска на отклонение от оптимального решения, если множество значений влияющей ячейки ограничено множеством целых чисел.
Сходимость используется для завершения процесса поиска решения,
когда изменение целевой функции происходит очень медленно (применяется только к нелинейным задачам).
Линейная модель служит для ускорения поиска решения путем применения к задаче оптимизации линейной модели (график зависимости
целевой функции от каждого ограничения может быть представлен
прямой линией). Нелинейные модели предполагают использование
нелинейных функций, фактора роста и экспоненциального сглаживания, что замедляет вычисления.
Неотрицательные значения – позволяет установить нулевую нижнюю границу для тех влияющих ячеек, для которых не было задано
соответствующее ограничение в диалоговом окне Добавить ограничение.
Автоматическое масштабирование используется, когда числа в изменяемых ячейках и в целевой ячейке существенно различаются.
Показывать результаты итераций – приостанавливает поиск решения для просмотра результатов отдельных итераций. После каждой
27
итерации открывается окно диалога Текущее состояние поиска решений, которое позволяет сохранить сценарий, прекратить поиск или
продолжить его со следующей итерации. Следует иметь в виду, что
промежуточные результаты могут не удовлетворять всем заданным
ограничениям.
Загрузить модель – в одноименном диалоговом окне можно ввести
ссылку на диапазон ячеек, содержащих модель оптимизации.
Сохранить модель – в одноименном диалоговом окне можно ввести
ссылку на диапазон ячеек, предназначенный для хранения модели оптимизации.
Оценка линейная выбирается для работы с линейной моделью, для
вычисления оценок используется линейная аппроксимация.
Оценка квадратичная выбирается для работы с нелинейной моделью, для вычисления оценок используется более точная квадратичная
аппроксимация.
Разности прямые – используется в большинстве задач, где скорость
изменения ограничений относительно невысока. Увеличивает скорость работы средства Поиск решения.
Разности центральные – используется для функций, имеющих разрывную производную (для вычисления частных производных применяется более точная аппроксимация, использующая большее количество точек). Данный способ требует больше вычислений, однако его
применение может быть оправданным, если выдано сообщение о том,
что получить более точное решение не удается.
Метод поиска Ньютона требует больше памяти, но выполняет меньше итераций, чем в методе сопряженных градиентов.
Метод поиска сопряженных градиентов реализует метод сопряженных градиентов, для которого требуется меньше памяти, но выполняется больше итераций, чем в методе Ньютона. Данный метод следует
использовать, если задача достаточно большая и необходимо экономить память или если итерации дают слишком малое отличие в последовательных приближениях.
 Надстройка Поиск решения позволяет найти решение для уравнения
с несколькими переменными.
28
29
Лабораторная работа 3
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ
ЦЕЛЬ
Ознакомиться с численными методами решения систем линейных уравнений и
их реализацией в MS Excel.
ЗАДАЧА
0
1
2
3
30
Уравнение
 2 x1  4 x 2  5 x 3  3,1x 4  0,35;
 x  5 x  3x  2,3x  1;
 1
2
3
4

 10 x1  x 2  3x 3  x 4  7;
0,5 x1  2 x 2  4 x 3  2,3x 4  11.
10 x1  5 x 2  1x 3  5 x 4  21;
2 x  30 x  21x  5 x  6;
 1
2
3
4

2 x1  8 x 2  23 x 3  12 x 4  5;
2 x1  8 x 2  2 x 3  14 x 4  6.
34 x1  3x 2  x 3  4 x 4  5;
 x  2 x  5 x  4 x  6;
 1
2
3
4

2 x1  x 2  20 x 3  x 4  7;
4 x1  5 x 2  2 x 3  2 x 4  10.
5 x1  5 x 2  5 x 3  2 x 4  8;
2 x  2 x  5 x  4 x  7;
 1
2
3
4

2 x1  7 x 2  10 x 3  x 4  7;
4 x1  5 x 2  2 x 3  x 4  1.
Вариант
Вариант
Решить систему линейных уравнений с точностью ε одним из методов:
1) Якоби,  = 10–3;
2) Зейделя,  = 10–6;
3) минимальных невязок,  = 10–9.
5
6
7
8
Уравнение
18 x1  5 x 2  10 x 3  7 x 4  14;
 x  5 x  3x  12 x  15;
 1
2
3
4

3 x1  2 x 2  2 x 3  9 x 4  19;
 x1  2 x 2  15 x 3  9 x 4  13.
8 x1  5 x 2  10 x 3  8 x 4  14;
 x  5 x  3 x  12 x  15;
 1
2
3
4

3 x1  2 x 2  5 x 3  9 x 4  12;
10 x1  2 x 2  15 x 3  29 x 4  13.
5 x1  2 x 2  3 x 3  3 x 4  36;
 x  4 x  6 x  24 x  27;
 1
2
3
4

3 x1  x 2  7 x 3  9 x 4  18;
4 x1  x 2  2 x 3  6 x 4  27.
 20 x1  4 x 2  5 x 3  31x 4  35;
5 x  2 x  3x  23 x  1;
 1
2
3
4

 x1  10 x 2  9 x 3  x 4  7;
 x1  3x 2  10 x 3  3x 4  11.
4
7 x1  13 x 2  7 x 3  2 x 4  20;
3x  4 x  x  x  11;
 1
2
3
4

6 x1  2 x 2  2 x 3  x 4  10;
2 x1  4 x 2  2 x 3  10 x 4  4.
Вариант
Вариант
Уравнение
9
Уравнение
3x1  x 2
x  5x
 1
2

 x1  2 x 2
3x1  x 2
 x 3  x 4  7;
 3 x 3  x 4  9;
 5 x 3  2 x 4  3;
 2 x 3  7 x 4  14.
АЛГОРИТМЫ МЕТОДОВ И ИХ РЕАЛИЗАЦИЯ В MS EXCEL
Метод Якоби
Алгоритм
1. Выписать для системы AX  B матрицу коэффициентов A и вектор правой
части B .
2. Преобразовать исходную систему к виду X  CX  F , где элементы матрицы C определяются по формулам:
c ii  0 ,
aij
i  j  ,
cij  
aii
элементы столбца F :
b
fi   i .
a ii
3. Проверить условие сходимости: имеет ли матрица A диагональное преобладание или в преобразованной системе уравнений X  CX  F имеет ли
норма матрицы коэффициентов значение, меньшее единицы C  1 (в качестве нормы можно взять евклидову норму Õ 
n
x
i 1
4.
5.
2
i
).
Задать вектор нулевого приближения X 0   F .
Вычислить координаты вектора следующего, более точного приближения к
решению по итерационной формуле:
X k 1  CX k   F
или
31
 k 1 b1  a12 x 2k  a13 x 3k    a1n x nk
;
 x1 
a
11

k
k
k
b

a
x

a
 x k 1  2
21 1
23 x 3    a 2 n x n
;
2

a 22
  

k
k
k
 x nk 1  bn  a n1 x1  a n 2 x 2    a nn1 x n 1 .

a nn
6. Окончание итерационного процесса:
 оценить погрешность r k 1  max xik 1  xik  ;
 итерационный процесс заканчивается, как только r k 1   .
Реализация в MS Excel
1. Решить систему линейных алгебраических уравнений:
20,9 x1  1,2 x 2  2,1x 3  0,9 x 4  21,7;
1,2 x  21,2 x  1,5 x  2,5 x  27,46;

1
2
3
4

2,1x1  1,5 x 2  19,8 x 3  1,3 x 4  28,76;
0,9 x1  2,5 x 2  1,3 x 3  32,1x 4  49,72.
2.
Расположить на листе исходные данные:
3.
Рассчитать элементы матрицы C и столбца F :
32
Вид рабочего листа с результатом расчета
Вид рабочего листа с формулами
4.
Уточнение корней системы линейных уравнений методом Якоби с помощью таблицы вычислений (в качестве начального приближения выбрать
значения столбца F ):
33
Вид рабочего листа с результатом расчета
Вид рабочего листа с формулами
Примечание: Фигурные скобки означают, что соответствующая формула выводится массивом, т. е. с использованием комбинации
Ctrl + Shift + Enter.
5. Уточнение корня с использованием режима Итерации MS Excel (вручную):
 создать копию листа: Правка – Переместить/Скопировать лист…,
на которой удалить ячейки с итерационным процессом:
34
 настроить MS Excel на выполнение итераций вручную: Сервис – Параметры – Вычисления – вручную; итерации разрешить, Предельное число итераций – 1, Относительная погрешность – 0,001;
 организовать в таблице циклические ссылки: в ячейках, где хранились
старые значения корней, поставить ссылку на ячейки, где рассчитаны
новые, более точные значения корней:
 нажимать клавишу F9, наблюдая за поведением погрешности:
35
6.
После окончания вычислительного процесса выполнить: Сервис – Параметры – Вычисления и вернуть предустановленные настройки.
Метод Зейделя
Алгоритм
1. Выписать для системы AX  B матрицу коэффициентов A и вектор правой
части B .
2. Преобразовать исходную систему к виду X  CX  F , где элементы матрицы C определяются по формулам:
c ii  0 ,
aij
i  j  ,
cij  
aii
элементы столбца F :
b
fi   i .
a ii
3. Проверить условие сходимости: имеет ли матрица A диагональное преобладание или в преобразованной системе уравнений X  CX  F имеет ли
норма матрицы коэффициентов значение, меньшее единицы C  1 (в качестве нормы можно взять евклидову норму Õ 
n
x
i 1
4.
5.
36
2
i
).
Задать вектор нулевого приближения X 0   F .
Вычислить координаты вектора следующего, более точного приближения к
решению по итерационным формулам:
 k 1 b1  a12 x 2k  a13 x 3k    a1n x nk
;
 x1 
a
11

k 1
k
k
b

a
x

a
 x k 1  2
21 1
23 x 3    a 2 n x n
;
2

a 22
  

k 1
k 1
k 1
b

a
x

a
x



a
x
k 1
n
n
1
1
n
2
2
nn

1
n
1
xn 
.

a nn
6.
Окончание итерационного процесса:
 оценить погрешность r k 1  max xik 1  xik  ;
 итерационный процесс заканчивается, как только r k 1   .
Реализация в MS Excel
1. Расположить на листе исходные данные и уточнить корни системы линейных уравнений методом Зейделя с помощью таблицы вычислений (в качестве начального приближения выбрать значения столбца F):
Вид рабочего листа с результатом расчета
37
Вид рабочего листа с формулами
2.
Уточнение корня с использованием режима Итерации MS Excel (вручную):
 создать копию листа: Правка – Переместить/Скопировать лист…,
на которой удалить ячейки с итерационным процессом:
 настроить MS Excel на выполнение итераций вручную: Сервис – Параметры – Вычисления – вручную; итерации разрешить, Предельное число итераций – 1, Относительная погрешность – 0,001;
38
 организовать в таблице циклические ссылки: в ячейках, где хранились
старые значения корней, поставить ссылку на ячейки, где рассчитаны
новые, более точные значения корней:
 нажимать клавишу F9, наблюдая за поведением погрешности:
После окончания вычислительного процесса выполнить: Сервис – Параметры – Вычисления и вернуть предустановленные настройки.
4. Поскольку подсчет номера итерации и расчет погрешности работают некорректно, следует модифицировать формулы:
3.
и снова провести расчет:
39
5.
После окончания вычислительного процесса выполнить: Сервис – Параметры – Вычисления и вернуть предустановленные настройки.
Метод минимальных невязок (Ричардсона)
Алгоритм
1. Выписать для системы AX  B матрицу коэффициентов A и вектор правой
части B .
2. Преобразовать исходную систему к виду X  CX  F , где элементы матрицы C определяются по формулам:
c ii  0 ,
aij
i  j  ,
cij  
aii
элементы столбца F :
b
fi   i .
a ii
3. Проверить условие сходимости: имеет ли матрица A диагональное преобладание или в преобразованной системе уравнений X  CX  F имеет ли
норма матрицы коэффициентов значение, меньшее единицы C  1 (в качестве нормы можно взять евклидову норму Õ 
n
x
i 1
2
i
).
Задать вектор нулевого приближения X 0   F .
Вычислить вектор невязки  0  AX 0  B .
 0   À 0 
6. Вычислить  0 
.
À 0 2
7. Вычислить координаты вектора следующего, более точного приближения к
решению по итерационной формуле X 1  X 0   0 0 .
1
1
8. Вычислить вектор невязки   AX  B , затем процедура вычисления повторяется.
4.
5.
40
9.
Оценить погрешность R 1 
норму Õ 
n
x
i 1
2
i

B
(в качестве нормы можно взять евклидову
).
10. Итерационный процесс заканчивается, как только R   .
i
Реализация в MS Excel
Вид рабочего листа с результатом расчета
41
Вид рабочего листа с формулами
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВСТРОЕННЫХ ИНСТРУМЕНТОВ MS EXCEL
1.
42
Уточнение корня с использованием надстройки Поиск решения MS Excel:
Сервис – Поиск решения:
Вид рабочего листа с результатом расчета
Вид рабочего листа с формулами
2.
Решение системы линейных уравнений с использованием обратных матриц:
43
Лабораторная работа 4
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ЦЕЛЬ
Ознакомиться с численными методами получения аналитической зависимости
по экспериментальным точкам и их реализацией в MS Excel.
ЗАДАЧА
0
1
2
3
4
44
Аналитический вид Значения сефункции для про- точной функверки
ции на отрезке
интерполяции
xi
yi
1
1,09
f  x  = ln  x + 2 
2
1,39
3
1,60
4
1,79
0,3 x
1
0,80
f x  = 0,6e
2
1,09
3
1,47
4
1,99
1
0
f  x  = x ln x
2
1,38
3
3,29
4
5,54
0,5 x+0,5
1
2,17
f x = 0,8
2
3,58
3
5,91
4
9,74
1
0,27
f  x  = 0,4ln 2x 
2
0,55
3
0,71
4
0,83
Вариант
Вариант
Известны значения функции y i  f  x i  ( i  0;1; ; n ) в n  1 точке
( i  0;1; ; n ). Восстановить функцию на отрезке x 0 ; x n  , пользуясь:
1) интерполяционной формулой Лагранжа;
2) интерполяционной формулой Ньютона;
3) кубическими сплайнами;
4) методом минимальных квадратов.
5
Аналитический вид
функции для проверки
ex
f x  =
x
6
f x = 0,6 ln x + 0,1e x
7
f x  = 0,3 + e 0,9 x 2
8
f x = e 0,3 x  ln 0,7 x
9
f x = 0,4ln x 2 
xi
Значения сеточной функции на отрезке
интерполяции
xi
yi
1
2,71
2
3,69
3
6,69
4
13,64
1
0,27
2
1,15
3
2,67
4
6,29
1
0,63
2
1,11
3
2,31
4
5,25
1
1,71
2
1,49
3
1,72
4
2,29
1
0
2
5,54
3
8,78
4
11,09
АЛГОРИТМЫ МЕТОДОВ И ИХ РЕАЛИЗАЦИЯ В MS EXCEL
Интерполяционная формула Лагранжа
Алгоритм
1. Рассчитать коэффициенты формулы Лагранжа ck ( k  0;1; ; n ) по формулам:
Ï x  x j 
n
c k x  
j 0
jk
Ï x k  x j 
n
.
j 0
jk
2.
Теперь в любой точке отрезка x 0 ; x n  можно высчитать приближенное значение функции f  x  по формуле:
n
f ( x)  Ln ( x)   c k ( x)  f ( x k ) .
k 0
Погрешность можно оценить по формуле:
x  x 0   x  x1 ...x  x n 
R L  x   f  x   Ln  x  
Ì ,
n  1!
где M  max | f n1 x | , x  x 0 ; x n .
4. Определить коэффициенты интерполяционного многочлена для заданных
точек отрезка x 0 ; x n  путем решения системы уравнений:
3.
n
n
a x
i 1
i
i 1
k
 yk .
Реализация в MS Excel
1. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции
x 1
, заданной таблично:
f  x   lg x 
x
i
0
1
2
3
4
xi
1
3
6
8
9
yi
0
–0,1895
–0,0552
0,0281
0,1323
Построить график и отметить на нем узлы интерполяции. Вычислить значение функции в точке х = 2,005.
2. Расчет значения функции в заданной точке:
Указание:
При реализации алгоритма учитывать обозначение f  x i   y i .
45
3.
Определение для заданных исходных данных коэффициентов интерполяционного многочлена:
Вид рабочего листа с данными для расчета
Вид рабочего листа с формулами
46
Вид рабочего листа с результатом расчета
4.
График функции f  x   lg x 
x 1
x
Интерполяционная формула Ньютона
Алгоритм
1. Вычислить значения разделенных разностей первого порядка
f ( xi )  f ( x j )
f ( xi ; x j ) 
,
xi  x j
второго порядка
f ( xi ; x j )  f ( xi ; x k )
,
f ( xi ; x j ; x k ) 
xi  x k
порядка n
47
f  x 0 ; x1 ;...; x n 1   f  x1 ;...; x n 
.
x0  xn
2. Теперь в любой точке отрезка x 0 ; x n  можно высчитать приближенное значение функции f  x  по формуле:
Pn x   f x 0   x  x 0   f x 0 ; x1   x  x 0   x  x1   f x 0 ; x1 ; x 2    
f  x 0 ; x1 ;...; x n  
 x  x 0   x  x1     x  x n 1  f x 0 ; x1 ; ; x n  .
3. Погрешность можно оценить по формуле:
RP x   f x   Pn x   x  x 0   x  x1   ...  x  x n   f x 0 ; x1 ;...; x n 1  .
n
Реализация в MS Excel
1. Расположить на листе исходные данные и провести вычисления:
Указание:
При реализации алгоритма учитывать обозначение f  x i   y i и
обозначение на рабочем листе разделенных разностей i -го порядка через i y .
Примечания: 1. В отличие от формулы Лагранжа, где каждый член зависит от
всех узлов интерполяции, любой k-й член формулы Ньютона
зависит от первых (от начала отсчета) узлов, и добавление новых узлов вызывает лишь добавление новых членов формулы
(в этом преимущество формулы Ньютона).
2. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона, построенные по одной сеточной функции, совпадают.
3. Если узлы интерполяции расположены неравномерно, в качестве интерполирующего многочлена лучше использовать полином Лагранжа, а если равномерно, то полином Ньютона,
так как он дает меньшую вычислительную погрешность.
48
Метод наименьших квадратов
Алгоритм
1. Выбирается
число
m
–
степень
обобщенного
многочлена
2
m
g m x  a0  a1 x  a 2 x    a m x (причем m  n , n – количество заданных
узлов функции), который будет аппроксимировать функцию f  x  .
2. Составляется система линейных уравнений для поиска числовых коэффициентов:
a n  1  a n x  a n x 2   a n x m  n y ;

1 i
2 i
m i
i
 0
i 0
i 0
i 0
i 0
n
n
n
 n
a 0  x i   x i2 a1    a m  x im 1   y i x i ;
 i 0
i 0
i 0
i 0

n
n
n
 n m
m 1
2m
x i  a1  x i    a m  x i   y i x im .
a 0 
i 0
i 0
i 0
i 0
3. Система решается одним из известных методов (допустим, Гаусса), определяются коэффициенты a 0 ; a1 ;  ; a m .
Многочлен с полученными коэффициентами a 0 ; a1 ;  ; a m обладает минимальным квадратичным отклонением.
Если m  n , то аппроксимирующий многочлен g m  x  совпадает с многочленом Лагранжа для системы точек x 0 ; x1 ; ; x n .
4. Теперь в любой точке отрезка x 0 ; x n  можно высчитать приближенное значение функции f  x  по формуле:
m
f ( x)   a k x k .
k 0
Реализация в MS Excel
1. Аппроксимировать квадратичным полиномом функцию f  x  , заданную
таблично, и вычислить значение в точке х = 2,005:
49
Вид рабочего листа с результатом расчета
Указание:
Для определения столбца неизвестных a i использовать
надстройку Поиск решения: Сервис – Поиск решения.
Вид рабочего листа с формулами
2.
50
График квадратичной аппроксимации:
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВСТРОЕННЫХ ИНСТРУМЕНТОВ MS EXCEL
1.
Аппроксимация с использованием функции ЛИНЕЙН:
 подготовить данные для квадратичной аппроксимации (столбцы значений переменных x i , xi2 , y i ):
 выделить для вывода массива значений диапазон 5 строк и 3 столбца
(сколько переменных, столько выделяется столбцов);
 вставить функцию ЛИНЕЙН:
51
Вид рабочего листа с формулами
 завершить вывод массива Ctrl + Shift +Enter:
52
Вид рабочего листа с результатом расчета
2.
Аппроксимация с использованием надстройки Анализ данных MS Excel:
Сервис – Анализ данных… – Регрессия:
Примечание: Если надстройка Анализ данных… MS Excel отсутствует, выполнить: Сервис – Надстройки – Пакет Анализа.
53
Вид рабочего листа с результатом расчета
54
Лабораторная работа 5
ОПТИМИЗАЦИЯ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ
ЦЕЛЬ
Ознакомиться с численными методами оптимизации и их реализацией в
MS Excel.
ЗАДАЧА
С точностью ε = 0,0001 приблизиться к точке минимума (максимума) целевой
функции
F  Ax12  Bx22  Cx1  Dx2  M ,
начиная движение от точки x1( 0 ) = 0, x2( 0 ) = 0 :
1) методом градиентного спуска;
2) методом Гаусса – Зейделя.
Вариант
0
1
2
3
4
ЦФ
min
max
min
max
min
A
3
-4
4
-2
2
B
2
-3
3
-4
3
C
-12
8
-24
16
-4
D
-12
24
6
16
-18
M
31
-50
42
-45
33
Вариант
5
6
7
8
9
ЦФ
max
min
max
min
max
A
-2
4
-3
3
-3
B
-3
2
-4
4
-2
C
12
-32
6
-12
16
D
12
-4
24
-32
4
M
-29
68
-36
90
-24
АЛГОРИТМЫ МЕТОДОВ И ИХ РЕАЛИЗАЦИЯ В MS EXCEL
Метод градиентного спуска
Алгоритм
1. Заданную квадратичную функцию
f x1 , x 2   a11 x12  a 22 x 22  2a12 x1 x 2  b1 x1  b2 x2  c
представить в виде:
1
f x1 , x 2   X T AX  X T B  C ,
2
2a12 
 x1 
 2a
b 
 ,
A   11
B   1  ,
где X    ,
C  c.
 x2 
 2a12 2a 22 
 b2 
Градиент функции
f  x1 , x 2   AX  B .
2. Следующее приближение к экстремуму рассчитывается по формуле:
X k 1  X k   hf X k   (с равным шагом)
или
55
X k 1  X k   hk f X k   (с дробным шагом: если f X k 1   f X k   , то шаг
h
уменьшается, например, hk 1  k ).
3
i
3. Итерационный процесс заканчивается, как только R   .
Реализация в MS Excel
1. Минимизировать квадратичную функцию
f  x1 , x 2   11x12  3x 22  6 x1 x 2  2 10 x1  6 10 x 2  22 ,
начиная движение от точки x1( 0 ) = 0, x2( 0 ) = 0 .
Подготовить исходные данные на листе:
Указание:
2.
56
Элементы матрицы В рассчитываются с использованием функции КОРЕНЬ().
Приблизиться к точке минимума с помощью таблицы вычислений:
Вид рабочего листа с результатом расчета
Вид рабочего листа с формулами
Метод наискорейшего градиентного спуска
Алгоритм
1. Заданную квадратичную функцию представить в виде:
1
f x1, , x 2   X T AX  X T B  C .
2
Градиент функции
f x1, , x2   AX  B .
2. Шаг метода в направлении спуска (определяемый из условия минимума
функции f  X  ):
h
f  X 
2
.
 Af  X 
3. Следующее приближение к экстремуму рассчитывается по формуле:
X k 1  X k   hf X k   .
i
4. Итерационный процесс заканчивается, как только R   .
f  X 
T
57
Реализация в MS Excel
Вид рабочего листа с результатом расчета
Вид рабочего листа с формулами
Метод Гаусса–Зейделя (наискорейшего покоординатного спуска)
Алгоритм
1. Заданную квадратичную функцию представить в виде:
1
f x1, , x 2   X T AX  X T B  C .
2
Градиент функции
f x1, , x2   AX  B .
58
2.
Направление спуска – i-ый орт пространства e i  0 0  0 1 0  0 . Шаг метода в направлении спуска (определяемый из условия минимума функции
f  X  ):
T
e  e
h
e   Ae
i T
i T
i
i
.
Следующее приближение к экстремуму рассчитывается по формуле:
X k 1  X k   hf X k   .
i
4. Итерационный процесс заканчивается, как только R   .
3.
Реализация в MS Excel
Вид рабочего листа с результатом расчета
Вид рабочего листа с формулами
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВСТРОЕННЫХ ИНСТРУМЕНТОВ MS EXCEL
1.
Безусловная оптимизация с использованием надстройки Поиск решения
MS Excel: Сервис – Поиск решения:
59
60
Лабораторная работа 6
ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
ЦЕЛЬ
Ознакомиться с численными методами дифференцирования и их реализацией в
MS Excel.
ЗАДАЧА
Вычислить значения производной функции f  x  на отрезке 1; 2 с точностью ε:
1) по формуле левых (правых) разностей,  = 10–1;
2) по формуле центральных разностей (случай трех узлов),  = 10–2;
3) по формуле центральных разностей (случай пяти узлов),  = 10–4.
Вариант
0
1
2
3
4
Функция
f x   ln 2 x  2 x  2
2
f x   4 x  1
1
f x  
1  x3
f x  0,6e 0,3 x
1
f x   3
x 2
Вариант
5
Функция
f x   e 2 x
6
f x   1  x
7
f x   ln 3x 2  2
8
f x   1  x
9
f x   2 x  x
АЛГОРИТМЫ МЕТОДОВ И ИХ РЕАЛИЗАЦИЯ В MS EXCEL
Формула левых (правых) разностей
Формулы левых и правых разностей имеют первый порядок точности по
шагу, т. е. r  h1 , следовательно, чтобы вычислить значения производной
функции f  x  на отрезке a; b с точностью   10 1 , необходимо выбрать
h  10 1  0,1 .
ba
2. Разбить отрезок a; b на n 
частичных отрезков (построить на отрезh
ке a; b сетку с шагом h): x 0  a ; x i  x 0  ih , i  1, 2 .
3. Вычислить значение функции f  x  в узлах сетки f i  f  x i  .
4. Вычислить приближенные значения производной в узлах сетки по одной из
формул:
f  f i 1
i  1, 2 , n ;
fi '  i
,
формула левых разностей
h
1.
61
f i 1  f i
i  0, 2 , n  1 .
,
h
5. Для проверки продифференцировать функцию аналитически и вычислить
точные значения производной в узлах сетки.
fi ' 
формула правых разностей
Аналитическое решение


1
x 
1  x 

Найти производную функции f  x    x  
.
x

 y  f x 
Логарифмическая производная ln y   
.
y
f x 
/
1

/
 x  

y  
1  x   
1 
1 
/
ln y     ln  x  
    x  x  ln  x  x   
y  
x




1  
1 
 1

 2  ln  x    1
x 
 2 x x  
1

 x 
x
1 

/
y   yln y    x  
x

1  
1 
 1
 2  ln  x    1 .

x 
 2 x x  
Реализация в MS Excel



1.
62
1
x 
x
1

Найти производную функции f  x    x  
на интервале 0,5; 2.
x

Подготовить исходные данные на листе и провести расчет:
Вид рабочего листа с результатом расчета
Вид рабочего листа с формулами
2.
Графическое сравнение результатов дифференцирования
63
Формула центральных разностей, построенная по трем узлам
1.
2.
3.
4.
5.
Формула центральных разностей, построенная по трем узлам, имеет второй
порядок точности по шагу, т. е. r  h 2 , следовательно, чтобы вычислить
значения производной функции f  x  на отрезке a; b с точностью   10 2 ,
необходимо выбрать h  10 2  0,01 .
ba
Разбить отрезок a; b на n 
частичных отрезков (построить на отрезh
ке a; b сетку с шагом h): x 0  a ; x i  x 0  ih , i  1, 2 .
Вычислить значение функции f  x  в узлах сетки f i  f  x i  .
Вычислить приближенные значения производной в узлах сетки по формуле:
f  f i 1
f i '  i 1
i  1, 2 , n  1.
,
2h
Для проверки продифференцировать функцию аналитически и вычислить
точные значения производной в узлах сетки.
Реализация в MS Excel
1. Для расчета значений столбца А формулу ввести сразу во все ячейки столбца:
 выделить первую ячейку диапазона А12;
64
 Правка – Перейти – Ссылка: А161;
 удерживая Shift, нажать ОК;
 ввести формулу;
 завершить ввод формулы Ctrl+Enter.
2. Аналогично ввести формулы в остальные столбцы.
Вид рабочего листа с результатом расчета
Вид рабочего листа с формулами
Формула центральных разностей, построенная по пяти узлам
1.
Формула центральных разностей, построенная по пяти узлам, имеет четвертый порядок точности по шагу, т. е. r  h 4 , следовательно, чтобы вычислить
65
2.
3.
4.
5.
значения производной функции f  x  на отрезке a; b с точностью   10 4 ,
необходимо выбрать h  10 4  0,0001 .
ba
Разбить отрезок a; b на n 
частичных отрезков (построить на отрезh
ке a; b сетку с шагом h): x 0  a ; x i  x 0  ih , i  1, 2 .
Вычислить значение функции f  x  в узлах сетки f i  f  x i  .
Вычислить приближенные значения производной в узлах сетки по формуле:
f  8 f i 1  8 f i 1  f i  2
, i  2, 3, n  2 .
f i '  i2
12 h
Для проверки продифференцировать функцию аналитически и вычислить
точные значения производной в узлах сетки.
Реализация в MS Excel
Вид рабочего листа с результатом расчета
66
Вид рабочего листа с формулами
67
Лабораторная работа 7
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ЦЕЛЬ
Ознакомиться с численными методами интегрирования и их реализацией в
MS Excel.
ЗАДАЧА
Вычислить приближенное значение интеграла с точностью ε = 0,0001 одним из
методов:
1) по формуле прямоугольников;
2) по формуле трапеций;
3) по формуле Симпсона.
Для проверки вычислить точное значение интеграла по формуле Ньютона–
Лейбница.
Вариант
0
3
sin x
2 x dx
интеграл
Вариант
1
x
 cos xdx
интеграл
0
4
dx
2 ln x
2
 cos x dx
0
5
1
2
1
6
1
0,5
2
dx
 1 + ln x
1
4
x
 e dx
2
0
7
2
dx
 sin x
3
2
3

1 + ln xdx
1
8
3
9
1,5
dx
 x+e
x
0
cos x
 x + 1dx
0
АЛГОРИТМЫ МЕТОДОВ И ИХ РЕАЛИЗАЦИЯ В MS EXCEL
Формула левых (правых) прямоугольников
Разбить отрезок a; b на n частичных отрезков (построить на отрезке a; b
ba
сетку с шагом h 
): x 0  a ; x i  x 0  ih , i  1, 2 , n  1, x n  b .
n
2. Вычислить значение функции f  x  в узлах сетки f i  f  x i  .
3. Вычислить площади частичных прямоугольников по формулам:
x
формула левых прямоугольниs i   f  x dx  hf  x i 1 
ков
x
1.
i
i 1
xi
формула правых прямоугольни- s  f  x dx  hf  x 
i
i

ков
x
4. Найти приближенное значение интеграла
i 1
n
I h   si .
i 1
68
5.
Разбить отрезок a; b на 2n частичных отрезков (построить на отрезке
a; b сетку с шагом h  b  a ): x 0  a ; x i  x 0  ih , i  1, 2 , 2n  1 , x 2 n  b .
2n
Найти приближенное значение интеграла с новым шагом I h .
2
Произвести оценку погрешности по формуле Рунге ( p – порядок точности
квадратурной формулы, для формулы левых и правых прямоугольников
p  1)
Ih  Ih
.
r  2p
2 1
7. Уменьшать шаг, пока погрешность не станет меньше требуемой точности
ri   .
8. Для проверки вычислить точное значение интеграла по формуле Ньютона–
Лейбница.
6.
Аналитическое решение
2
Вычислить значение интеграла  ln  x  1 dx .
1
2
2
1
1
 ln x  1 dx   ln x  1 d x  1  x  1 ln x  1
  x  1 ln  x  1
2
1
2
   x  1 d ln  x  1 
1
2
1
2
  dx   x  1 ln  x  1
2
1
x
2
1

1
 27 
 3 ln 3  2 ln 2  2  1  ln    1 .
 4 
Реализация в MS Excel
2
1.
Вычислить значение интеграла  ln  x  1 dx .
1
Подготовить исходные данные на листе:
69
70
Вид рабочего листа с формулами
Провести расчет приближенного значения определенного интеграла по
формуле левых (правых) прямоугольников с помощью таблицы вычислений:
Вид рабочего листа с результатом расчета
2.
3.
Исследование производных для оценивания погрешности используемых для
расчета методов:
Вид рабочего листа с результатом расчета
Вид рабочего листа с формулами
4.
Вычисление приближенного значения определенного интеграла с заданным
шагом с использованием режима Итерации MS Excel (вручную):
 создать копию листа: Правка – Переместить/Скопировать лист…,
на которой удалить строки с итерационным процессом;
 оценка погрешности данного метода приближенного вычисления
определенного интеграла находится по формуле:
71

ba
h max f x  ;
a ; b 
2
Вид рабочего листа с результатом расчета
Вид рабочего листа с формулами
 настроить MS Excel на выполнение итераций вручную: Сервис – Параметры – Вычисления – вручную; итерации разрешить, Предельное число итераций – 1, Относительная погрешность – 0,001;
 организовать в таблице циклические ссылки:
72
 нажимать клавишу F9, наблюдая за вычислительным процессом:
5.
После окончания вычислительного процесса выполнить: Сервис – Параметры – Вычисления и вернуть предустановленные настройки.
Формула средних прямоугольников
Разбить отрезок a; b на n частичных отрезков (построить на отрезке a; b
ba
сетку с шагом h 
): x 0  a ; x i  x 0  ih , i  1, 2 , n  1, x n  b .
n
2. Посчитать координаты средних точек частичных отрезков
x  xi
x i 1 2  i 1
.
2
3. Вычислить значение функции f  x  в средних точках f i 1 2  f x i 1 2  .
4. Вычислить площади частичных прямоугольников по формуле:
1.
si 
 f x dx  hf x
xi
i 1 2
.
x i 1
5.
Найти приближенное значение интеграла
n
I h   si .
i 1
6.
Разбить отрезок a; b на 2n частичных отрезков (построить на отрезке
a; b сетку с шагом h  b  a ): x 0  a ; x i  x 0  ih , i  1, 2 , 2n  1 , x 2 n  b .
2n
Найти приближенное значение интеграла с новым шагом I h .
2
7.
Произвести оценку погрешности по формуле Рунге ( p – порядок точности
квадратурной формулы, для формулы средних прямоугольников p  1 )
73
r
Ih  Ih
2
.
2p 1
8. Уменьшать шаг, пока погрешность не станет меньше требуемой точности
ri   .
9. Для проверки вычислить точное значение интеграла по формуле Ньютона–
Лейбница.
Реализация в MS Excel
1. Расчет приближенного значения определенного интеграла по формуле
средних прямоугольников с помощью таблицы вычислений:
Вид рабочего листа с результатом расчета
74
Вид рабочего листа с формулами
2.
Вычисление приближенного значения определенного интеграла с заданным
шагом с использованием режима Итерации MS Excel (вручную):
 создать копию листа: Правка – Переместить/Скопировать лист…,
на которой удалить строки с итерационным процессом;
 оценка погрешности данного метода приближенного вычисления
определенного интеграла находится по формуле:
ba

h max f x  ;
a ; b 
2
Вид рабочего листа с результатом расчета
75
Вид рабочего листа с формулами
 настроить MS Excel на выполнение итераций вручную: Сервис – Параметры – Вычисления – вручную; итерации разрешить, Предельное число итераций – 1, Относительная погрешность – 0,001;
 организовать в таблице циклические ссылки:
 нажимать клавишу F9, наблюдая за вычислительным процессом:
76
3.
После окончания вычислительного процесса выполнить: Сервис – Параметры – Вычисления и вернуть предустановленные настройки.
Формула трапеций
Разбить отрезок a; b на n частичных отрезков (построить на отрезке a; b
ba
сетку с шагом h 
): x 0  a ; x i  x 0  ih , i  1, 2 , n  1, x n  b .
n
2. Вычислить значение функции f  x  в узлах сетки f i  f  x i  .
3. Вычислить площади частичных трапеций по формуле:
x
h
s i   f  x dx   f  x i 1   f  x i  .
2
x
4. Найти приближенное значение интеграла
1.
i
i 1
n
I h   si .
i 1
5.
Разбить отрезок a; b на 2n частичных отрезков (построить на отрезке
a; b сетку с шагом h  b  a ): x 0  a ; x i  x 0  ih , i  1, 2 , 2n  1 , x 2 n  b .
2n
Найти приближенное значение интеграла с новым шагом I h .
2
Произвести оценку погрешности по формуле Рунге ( p – порядок точности
квадратурной формулы, для формулы трапеций p  2 )
Ih  Ih
.
r  2p
2 1
7. Уменьшать шаг, пока погрешность не станет меньше требуемой точности
ri   .
8. Для проверки вычислить точное значение интеграла по формуле Ньютона–
Лейбница.
6.
Реализация в MS Excel
1. Расчет приближенного значения определенного интеграла по формуле трапеций с помощью таблицы вычислений:
77
Вид рабочего листа с результатом расчета
78
Вид рабочего листа с формулами
2.
Вычисление приближенного значения определенного интеграла с заданным
шагом с использованием режима Итерации MS Excel (вручную):
 создать копию листа: Правка – Переместить/Скопировать лист…,
на которой удалить строки с итерационным процессом;
 оценка погрешности данного метода приближенного вычисления
определенного интеграла находится по формуле:
ba 2

h max f x  ;
a ; b 
2
Вид рабочего листа с результатом расчета
79
Вид рабочего листа с формулами
 настроить MS Excel на выполнение итераций вручную: Сервис – Параметры – Вычисления – вручную; итерации разрешить, Предельное число итераций – 1, Относительная погрешность – 0,001;
 организовать в таблице циклические ссылки:
 нажимать клавишу F9, наблюдая за вычислительным процессом:
80
3.
После окончания вычислительного процесса выполнить: Сервис – Параметры – Вычисления и вернуть предустановленные настройки.
Формула Симпсона
1.
2.
3.
4.
5.
Разбить отрезок a; b на n частичных отрезков (построить на отрезке a; b
ba
сетку с шагом h 
): x 0  a ; x i  x 0  ih , i  1, 2 , n  1, x n  b .
n
Посчитать координаты средних точек частичных отрезков
x  xi
.
x i 1 2  i 1
2
Вычислить значение функции f  x  в узлах сетки f i  f  x i  .
Вычислить значение функции f  x  в средних точках f i 1 2  f xi 1 2  .
Вычислить площади частичных трапеций по формуле:
x
h
s i   f  x dx   f  x i 1   4 f x i 1 2   f  x i  .
6
x
Найти приближенное значение интеграла
i
i 1
6.
n
I h   si .
i 1
7.
Разбить отрезок a; b на 2n частичных отрезков (построить на отрезке
a; b сетку с шагом h  b  a ): x 0  a ; x i  x 0  ih , i  1, 2 , 2n  1 , x 2 n  b .
2n
Найти приближенное значение интеграла с новым шагом I h .
2
Произвести оценку погрешности по формуле Рунге ( p – порядок точности
квадратурной формулы, для формулы Симпсона p  4 )
Ih  Ih
.
r  2p
2 1
9. Уменьшать шаг, пока погрешность не станет меньше требуемой точности
ri   .
10. Для проверки вычислить точное значение интеграла по формуле Ньютона–
Лейбница.
8.
Реализация в MS Excel
1. Расчет приближенного значения определенного интеграла по формуле
Симпсона с помощью таблицы вычислений:
81
Вид рабочего листа с результатом расчета
Вид рабочего листа с формулами
2.
82
Вычисление приближенного значения определенного интеграла с заданным
шагом с использованием режима Итерации MS Excel (вручную):
 создать копию листа: Правка – Переместить/Скопировать лист…,
на которой удалить строки с итерационным процессом;
 оценка погрешности данного метода приближенного вычисления
определенного интеграла находится по формуле:
ba 4

h max f IV x ;
a; b 
2
Вид рабочего листа с результатом расчета
Вид рабочего листа с формулами
 настроить MS Excel на выполнение итераций вручную: Сервис – Параметры – Вычисления – вручную; итерации разрешить, Предельное число итераций – 1, Относительная погрешность – 0,001;
 организовать в таблице циклические ссылки:
 нажимать клавишу F9, наблюдая за вычислительным процессом:
83
3.
После окончания вычислительного процесса выполнить: Сервис – Параметры – Вычисления и вернуть предустановленные настройки.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАКРОСОВ MS EXCEL
1.
84
Интегрирование с использованием макросов MS Excel: Сервис – Макрос –
Редактор Visual Basic:
 вставить новый модуль: Insert – Module;
 ввести текст процедуры:
 проверить работу процедуры:
Вид рабочего листа с результатом расчета
85
Лабораторная работа 8
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
ЦЕЛЬ
Ознакомиться с численными методами решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и их реализацией в MS Excel.
ЗАДАЧА
0
1
ДУ с н.у.
xy '2 y  3x
y 1  1
yy '  3
2
2
x2
1
y = 2x 
x
y1  1
y 0   3
4 y 0   4
5
ДУ с н.у.
Точное решение
y'  4 x  2 y
y = 5e 2 x  2 x  1
y 0  6
y'  x  y   1
2
x y  5 xy  6
y' 1  x 2  y  0
86
y= x 
y 6   10
y '2 xy  y  0
3
Точное решение
y = 6 x  64
2
Вариант
Вариант
Решить уравнение y '  f  x, y  с начальными условиями y  x 0   y 0 одним из методов:
1) Эйлера;
2) Эйлера с пересчетом;
3) Рунге–Кутта четвертого порядка точности;
4) Адамса четвертого порядка точности.
Найденное приближенное решение сравнить с точным.
6
5
y = 3e x

2
7
x
y = 4 x  1 x 2

y 0  1
y'  e 2 x  4 y
y0  0,5
y 1
y'    2
8
x x
y 1  1
y2  x 
1
y' 
 2
xx  1 x x  1
9
y2  0,25
y= x
1
1 x
y = e 4 x  0,5e 2 x
y=
ln x  1
y=
x
1
x2
АЛГОРИТМЫ МЕТОДОВ И ИХ РЕАЛИЗАЦИЯ В MS EXCEL
Метод Эйлера
Построить сетку с шагом h . Значение шага выбирается из соображений
требуемой точности, учитывая, что порядок точности метода Эйлера p  1 .
Левая граница отрезка, на котором строится сетка, x 0 задана начальными
условиями задачи Коши.
2. Решение дифференциального уравнения ищется в виде сеточной функции.
Значение y 0 известно из начальных условий, все следующие значения y
рассчитываются по формуле Эйлера:
y i 1  y i  hf  x i , y i  ,
где f  x i , y i  – правая часть дифференциального уравнения.
3. Для проверки сравнить значения приближенного решения со значениями
точного решения в узлах сетки.
1.
Реализация в MS Excel
1. Решить дифференциальное уравнение первого порядка:
ДУ с н.у.
y'  2x  y 
Точное решение
2
y = 1,5e 2 x  x 2  x  0,5
y0  1
Подготовить исходные данные на листе и провести расчет по методу Эйлера:
Вид рабочего листа с результатом расчета
87
Вид рабочего листа с формулами
2.
Графическое сравнение результатов решения дифференциального уравнения:
Модифицированный метод Эйлера
1.
88
Построить сетку с шагом h . Значение шага выбирается из соображений
требуемой точности, учитывая, что порядок точности модифицированного
метода Эйлера p  2 . Левая граница отрезка, на котором строится сетка, x 0
задана начальными условиями задачи Коши.
Решение дифференциального уравнения ищется в виде сеточной функции.
Значение y 0 известно из начальных условий, все следующие значения y
рассчитываются по модифицированной формуле Эйлера (формула Эйлера с
пересчетом):
h
y i 1  y i   f xi , y i   f xi 1 , ~
y i 1  ,
2
где f  x i , y i  – правая часть дифференциального уравнения;
~
y i 1  y i  hf  x i , y i  – вычисляется предварительно по формуле простого
метода Эйлера.
3. Для проверки сравнить значения приближенного решения со значениями
точного решения в узлах сетки.
2.
Реализация в MS Excel
1. Провести расчет по модифицированному методу Эйлера:
Вид рабочего листа с результатом расчета
Вид рабочего листа с формулами
2.
Графическое сравнение результатов решения дифференциального уравнения:
89
Метод Рунге–Кутта четвертого порядка точности
Построить сетку с шагом h . Значение шага выбирается из соображений
требуемой точности, учитывая, что порядок точности метода p  4 . Левая
граница отрезка, на котором строится сетка, x 0 задана начальными условиями задачи Коши.
2. Решение дифференциального уравнения ищется в виде сеточной функции.
Значение y 0 известно из начальных условий, все следующие значения y
рассчитываются по формулам Рунге–Кутта:
k  2k 2  2k 3  k 4
y i 1  y i  1
,
6
k 1  hf  x i , y i  ,
k 
h

k 2  hf  xi  , y i  1  ,
2
2

k 
h

k 3  hf  x i  , y i  2  ,
2
2

k 4  hf  x i 1 , y i  k 3  ,
где f  x i , y i  – правая часть дифференциального уравнения;
k1 , k 2 , k 3 , k 4 – вспомогательные функции, значения которых вычисляются
предварительно для каждого i .
1.
90
3.
Для проверки сравнить значения приближенного решения со значениями
точного решения в узлах сетки.
Реализация в MS Excel
1. Провести расчет по методу Рунге–Кутта четвертого порядка точности:
Вид рабочего листа с результатом расчета
Вид рабочего листа с формулами
2.
Графическое сравнение результатов решения дифференциального уравнения:
91
92
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЗАЧЕТУ/ЭКЗАМЕНУ
ТЕМА 1. Классификация численных методов. Основы теории погрешностей
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Численные методы. Требования устойчивости, сходимости, экономичности.
Классификация численных методов по группам решаемых задач.
Устранимая и неустранимая погрешности математического моделирования.
Приближенные числа, их абсолютные и относительные погрешности.
Погрешности арифметических операций.
Прямая задача теории погрешностей (погрешности вычисления значений
функции).
Обратная задача теории погрешностей (определение допустимой погрешности аргументов по допустимой погрешности функции).
ТЕМА 2. Численное решение нелинейных уравнений с одним неизвестным
1.
2.
Методы отделения корней уравнения: графический способ, аналитический
способ.
Методы уточнения приближенных корней: метод дихотомии (половинного
деления), метод хорд, метод Ньютона (касательных), метод секущих, метод
простых итераций.
ТЕМА 3. Численное решение систем уравнений
1.
2.
3.
Точные методы решения систем линейных уравнений: метод Гаусса, метод
Халецкого, метод прогонки.
Итерационные методы решения систем линейных уравнений: метод Якоби,
метод Зейделя.
Численное решение систем нелинейных уравнений: метод Ньютона, метод
простой итерации.
ТЕМА 4. Приближение функций
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Постановка задачи интерполирования.
Полиномиальная интерполяция: интерполяционные формулы Ньютона, интерполяционный многочлен Лагранжа. Оценка погрешности интерполяции.
Интерполирование функций сплайнами (кусочно-полиномиальная интерполяция).
Оценка погрешности интерполирования кубическими сплайнами.
Обратное интерполирование.
Аппроксимация функций методом наименьших квадратов.
Равномерное приближение функций.
ТЕМА 5. Численные методы оптимизации
1.
Методы одномерной безусловной оптимизации: метод половинного деления, метод золотого сечения, метод Фибоначчи, метод Пауэлла, метод секущих, метод касательной.
93
2.
3.
4.
5.
6.
Методы многомерной локальной безусловной оптимизации нулевого порядка: метод прямого поиска (метод Хука–Дживса), метод деформируемого
многогранника (метод Нелдера–Мида), метод вращающихся координат
(метод Розенброка), метод параллельных касательных (метод Пауэлла).
Метод случайного поиска.
Методы многомерной локальной безусловной оптимизации первого порядка: метод градиентного спуска, метод наискорейшего спуска, метод
наискорейшего покоординатного спуска (метод Гаусса–Зейделя), метод сопряженных градиентов.
Методы многомерной локальной безусловной оптимизации второго порядка: метод Ньютона, метод Ньютона–Рафсона.
Методы локальной условной оптимизации: метод множителей Лагранжа
(аналитический метод), метод Франка–Вулфа (линейные ограничения), методы штрафных (нелинейные ограничения) и барьерных функций (использование двойственности).
Методы глобальной оптимизации (схемы перебора): метод Монте–Карло,
метод ветвей и границ, метод динамического программирования.
ТЕМА 6. Численное дифференцирование
1.
2.
Некорректность операции численного дифференцирования. Формулы численного дифференцирования.
Погрешности, возникающие при численном дифференцировании (погрешность усечения и погрешность округления) и их оценка.
ТЕМА 7. Численное интегрирование
1.
2.
3.
Численное интегрирование на основе формул Ньютона–Котеса: формула
прямоугольников, формула трапеций, формула Симпсона (формула парабол), формула Ньютона.
Методы статистических испытаний (методы Монте–Карло).
Численное интегрирование на основе метода Гаусса.
ТЕМА 8. Численное решение дифференциальных уравнений
1.
2.
3.
4.
94
Аналитические приближенные методы решения задачи Коши: метод последовательного дифференцирования, метод неопределенных коэффициентов, метод последовательных приближений.
Численные методы решения задачи Коши. Разностные схемы: метод Эйлера, симметричная схема, метод Адамса.
Численные методы решения задачи Коши. Методы Рунге–Кутта.
Методы решения краевой задачи Коши: метод конечных разностей, метод
прогонки.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Копченова, Н. В. Вычислительная математика в примерах и задачах : Учеб.
пособие для вузов / Н. В. Копченова, И. А. Марон. – 3-е изд., стер. – СПб. :
Лань, 2009.
2. Марчук, Г. И.
Методы
вычислительной
математики: Учеб.
пособие / Г. И. Марчук. – 4-е изд., стер. – СПб. : Лань, 2009.
3. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков,
Г. М. Кобельков. – М. : Наука, 2003.
4. Вержбицкий, В. М. Основы численных методов / В. М. Вержбицкий. – М. :
Высшая школа, 2002.
5. Вержбицкий, В. М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные
уравнения) / В. М. Вержбицкий. – М. : ОНИКС 21 век, 2005.
6. Вержбицкий В. М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения) / В. М. Вержбицкий. – М. : Высшая
школа, 2001.
7. Численные методы [Электронный ресурс]. – Режим доступа:
http://solidbase.karelia.ru/edu/meth_calc/files/vved.shtm, свободный.
8. Введение в вычислительную математику [Электронный ресурс]. – Режим
доступа:
http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/student/courses.asp, свободный.
9. Лабораторные работы по курсу «Вычислительная математика» [Электронный
ресурс].
–
Режим
доступа:
–
http://nsu.ru/matlab/Exponenta_RU/educat/systemat/amosova/lr.asp.htm,
свободный.
10. Основы численных методов [Электронный ресурс]. – Режим доступа:
http://www.tgspa.ru/info/education/faculties/ffi/ito/programm/osn_chm/index.ht
m, свободный.
11. Численные методы [Электронный ресурс]. – Режим доступа:
http://mathserfer.com/theory.php?tema=chmeth, свободный.
12. Трифонов, А. Г. Постановка задачи оптимизации и численные методы ее
решения [Электронный ресурс] / А. Г. Трифонов. – Режим доступа:
http://matlab.exponenta.ru/optimiz/book_2/index.php, свободный.
13. Методы оптимизации систем автоматизированного проектирования [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.optimizaciya-sapr.narod.ru/,
свободный.
14. Методы оптимизации [Электронный ресурс]. – Режим доступа:
http://www.theweman.info/topics/t1.html, свободный.Сайт кафедры математической кибернетики МАИ [Электронный ресурс]. – Режим доступа:
http://www.dep805.ru/education/sessia.php, свободный. –
16. Он-лайн решение обыкновенных дифференциальных уравнений [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://alexlarin.net/Chmethods/duint.html, свободный. – Загл. с экрана.
95
17. Ахмеров, Р. Р. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений [Электронный ресурс] / Р. Р. Ахмеров. – Режим доступа:
http://www.nsc.ru/rus/textbooks/akhmerov/index.html, свободный.
18. Тарасевич, Ю. Ю. Численные методы на Mathcad'е [Электронный ресурс] /
Ю. Ю. Тарасевич.
–
Режим
доступа:
http://www.exponenta.ru/educat/systemat/tarasevich/default.asp, свободный.
19. Алексеева, Е. В.
Численные
методы оптимизации:
учеб.
пособие [Электронный
ресурс] /
Е. В. Алексеева,
О. А. Кутненко,
А. В. Плясунов.– Новосибирск : Новосиб. ун-т, 2008. – Режим доступа:
http://www.math.nsc.ru/LBRT/k5/Plyasunov/Posobie3.pdf, свободный.
20. Сайт кафедры информатики и компьютерного проектирования МХТУ им.
Д. И. Менделеева.
[Электронный
ресурс].
–
Режим
доступа:
http://technosystems1.narod.ru/study/maths/practics.html, свободный. – Загл. с
экрана.
96
Учебное издание
Шевелева Наталья Евгеньевна
Вычислительная математика
в Microsoft Excel
Лабораторный практикум
Издается в авторской редакции
Дизайн обложки Т.П. Фатина
Подписано в печать 01.07.2013. Формат 60х84/16.
Бумага офсетная. Печать трафаретная. Гарнитура Таймс.
Уч.-изд.л. 1,4. Тираж 200. Заказ № 102.
Федеральное
государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Волгоградский филиал
«Российский государственный торгово-экономический университет»
400131, Волгоград, ул. Волгодонская, 11