Одномерная выборка

Задание № 10. Вариант 17
Одномерная выборка
Построим вариационный ряд:
Сделаем таблицу для построения графика эмпирической функции F*(x),
которая определяется формулой:


x  x1,
0,


i 

*
*
F ( x )  p ( X  x )   , x i  x  x i1,
n




x  xn .
1,
k - количество одинаковых чисел в выборке,
m - номер числа в вариационном ряду
График эмпирической функции представлен в конце задания вместе с
графиком гипотетической функции F0(x).
Определим количество непересекающихся и примыкающих друг к другу M
интервалов:
M
 
M  10
int n
Где n  100
- количество чисел в выборке
Построим гистограмму равноинтервальным методом:
Aj
j

M
j
h
1

x1
x1  h
...
...
...
...
...
x1  M  h
h
M

x 1  (M  1)  h
Определим длину интервала:
Xn  X1
hj
1
M
h
Bj
h  0.442

p *j
f j*
1
n
p1*
h
...
...
M
*
pM
h
n
f*(x)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
2
3
4
5
x
Построим гистограмму равновероятностным методом:
j
Aj
Bj

x11  x10
2




hj
j
p *j
f j*
B1  A 1
n
M
1
M
p1*
h1
1
x1
2
x11 x10
2
x 21  x 20
2
B2  A 2
n
M
1
M
p *2
h2
...
...
...
...
...
...
...
M
x M (M1)1  x M (M 1)
2
BM  A M
n
M
1
M
*
pM
hM





xn
f*(x)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
2
3
4
5
x
Вычислим точечные оценки числовых характеристик:
Состоятельная оценка математического ожидания:
mx

x
1
n
n


mx  1.154
xi
i 1
Несмещенная состоятельная оценка дисперсии:
2
S0
n
1
n1


2
xi 
i 1
n
n1

2
 x
2
S0  0.928
Несмещенная состоятельная оценка среднеквадратического отклонения:
S0
2
S0  0.963
S0
Вычислим интервальные оценки математического ожидания и дисперсии с
надежностью =0.95.
Доверительный интервал для математического ожидания:
Согласно центральной предельной теореме при достаточно большом n
закон распределения можно считать нормальным, поэтому воспользуемся
следующей формулой для случайной величины X с неизвестным законом
распределения:
 S0  z 
 S0  z 
x
 mx  x 
n
n
где z=arg(/2)=arg(0.475)=1.96 - значение аргумента функции
Лапласа, тогда интервал равен:
0,965 < mx < 1,343
Доверительный интервал для дисперсии:
2
S0  z  
2
2
2
 S  Dx  S0  z  
n1 0
2
n1
2
 S0
0,669 < Dx < 1,186
Выдвинем двухальтернативную гипотезу о законе распределения
случайной величины:
Но - величина Х распределена по экспоненциальному закону

  e t , t  0
f (t )  f0 (t )  
; F( t )  F0 ( t ) 

t0
 0,

1  e t , t  0


t0
 0,
Н1 - величина Х не распределена по экспоненциальному закону
f ( x )  f 0 ( x ) ; F( x )  F0 ( x )
Определим оценки неизвестных параметров гипотетического закона
распределения:
1

x

  0.866
Проверим гипотезу с помощью критерия 2. Вычислим значения критерия
2 на основе равноинтервального статистического ряда. Теоретические
вероятности попадания случайной величины вычислим по формуле:
 Bi  
 Ai 


  
 

x  
x 
pi Fo Bi  Fo Ai  1  e
  1  e

Данные для расчета теоретических вероятностей представлены в
таблице:
Определим значение критерия 2 по формуле:

2
M
n

i  1
pi  p''i2
pi
Найдем значения критерия для каждого значения, а затем общий.
Тогда, значение критерия равно:
2
  12.027
Определяем число степеней свободы:
k=M-1-s,
где s - число параметров, от которых зависит выбранный гипотезой H0
закон распределения,
s1
k8
При заданном уровне значимости =0.05 сравним полученное значение
критерия 2 со значением 2,k из таблицы распределения 2, которое
равно:
2k  15.51
Поскольку 2<2,k, то гипотеза H0 принимается.
Проверим гипотезу с помощью критерия Колмогорова:
Выберем 20 значений из вариационного ряда для данного критерия и
вычислим значения гипотетической функции:
По графику определим максимальное отклонение между функциями F*(x)
и F0(x):
Z  0.0729
Определяем значение критерия:

nZ
  0.729
Из таблицы распределения Колмогорова выбираем критическое значение
, где =1-=0.95
=1.36
Поскольку , то гипотеза H0 принимается.
Построим график гипотетической функции F0(x) совместно с графиком
эмпирической функции распределения F*(x):
F*(x), Fo(x)
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.45
0.9
1.35
1.8
2.25
X
2.7
3.15
3.6
4.05
4.5
Задание № 11. Вариант 17
Двумерная выборка
- количество двумерных чисел
Вычислим точечную оценку коэффициента корреляции:
n  50
Оценки математических ожиданий:
mX
mY

x
1
n

y
1
n
n


xi
mX  4.546

yi
mY  5.483
i 1
n

i 1
Оценки дисперсий:
So ( x )
n1
1
2
D( y)
n
1
2
D( x)
So ( y )
n1


xi 

yi 
i 1
n

n
2
n1
n
2
i 1
n1
2
 x

D( x)  10.783

D ( y)  9.827
2
 y
Состоятельная оценка корреляционного момента равна:
n
1
KXY
n1


xi  yi 
i 1
n
n1

x y
KXY  10.091
Состоятельная оценка коэффициента корреляции равна:
KXY
RXY
2
RXY  0.98
2
So ( x )  So ( y )
Вычислим интервальную оценку коэффициента корреляции с надежностью
=0.95 по формуле:
2a
e
2a
e
1
1
2b
 RXY 
e
1
2b
e 1
1
  RXY 
z
z
 1  RXY 
 b 0.5  ln 


n3
n3
 1  RXY 
 1  RXY 
z - значение аргумента функции Лапласа, т.е.
Ф(z)=/2=0.95/2=0.475, которое в нашем случае равно 1.96. Тогда
коэффициенты a и b равны:
Где  a
0.5  ln 
a  2.02
b  2.592
Таким образом, доверительный интервал для коэффициента корреляции
имеет вид:
I(Rxy)=[0,965 ; 0,989]
Проверим гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости:
H0 : R XY  0 ; H1 : R XY  0
Определяем значение критерия:
Z
RXY  n
Z  35.114
2
1  RXY
Из таблицы функции Лапласа определяем критическое значение Z,
которое равно 1.96.
Гипотеза Ho отклоняется, поскольку Z>Za
Вычисляем оценки параметров а0 и а1 линии регрессии

y( x)
a1 
a0  a1  x
KXY
Sо ( x )
a1  0.936
2
a0  mY  a1  mX
a0  1.229
Построим диаграмму рассеивания и линию регрессии:
y
12
10
8
6
4
2
2
0
2
4
6
2
x
8
10