Домашнее задание №3 (к 9

«Количественные методы в политологии: обощение» (2009 – 2010 уч. год)
Домашнее задание №3 (к 9.02.2010)
1. Рассмотрим некоторую семью. Пусть X – с.в., равная числу девочек в семье. Ряд
распределения этой с.в. представлен ниже:
x
0
1
2
3
p 0.07 0.1 0.18 0.651
 проверьте, что действительно ли эта семья характеризуется повышенной (по
сравнению с равновероятностью) склонностью к рождению мальчиков?
 вычислите математическое ожидание с.в.
 графически покажите, что математическое ожидание – это своеобразный центр
масс.
2. Постройте график зависимости дисперсии биномиальной случайной величины как
функции от параметра p. При каком значении p дисперсия биномиальной случайной
величины будет максимальной при фиксированном значении n?
3. Вам предлагается инвестировать в некоторый крупный проект. Если инвестиционный
проект окажется успешным, то Ваш капитал вырастет на 10%. В противном случае он
уменьшится на 10%. Вероятность успешной реализации инвестиционного проекта равна p.
При каком минимальном значении p Вам, как ожидается, будет выгодно участвовать в
инвестиционном проекте?
4. В тесте 5 вопросов с 4 вариантами ответа каждый. Тест решается студентом, не
имеющим никакого представления о предмете и отвечающим наугад. Шкала оценки
такова:
Количество верных ответов
Оценка
5
5
4
4
3
3
0–2
2
 Найдите вероятность того, что:
o студент получит отличную оценку
o студент получит неудовлетворительную оценку
o студента получит оценку, не выше 3 («удовлетворительно»).
 Найдите ожидаемое число верных ответов студента и дисперсию этой с.в.
5. Компания собирается инвестировать в некоторый крупный проект и обращается за
ссудой в банк. Банк готов на каждый вложенный компанией рубль дать Х рублей. Если
инвестиционный проект окажется успешным, то капитализация компании вырастет на
10%. В противном случае она уменьшится на 10%. Вероятность успешной реализации
инвестиционного проекта равна p. Банк готов давать ссуду только тогда, когда Вы в
любом случае (при любом исходе) сумеете вернуть ему взятые средства. Определите,
каков максимальный размер Х (банковской ссуды, приходящейся на один вложенный
Вами рубль), который готов будет Вам предоставить банк. Считается, что компания
может расплачиваться с банком только средствами, выделенными на данный
инвестиционный проект.
6. Вычислите минимальное значение p, при котором компании, как ожидается, будет
выгодно участвовать в инвестиционном проекте, учитывая возможность получения
банковской ссуды в размере X.
1
«Количественные методы в политологии: обощение» (2009 – 2010 уч. год)
7. В одной из статей проф. R.D. Clarke за 1946 г. приведена статистика падений самолетовснарядов в южной части Лондона во время второй мировой войны. Вся область поделена
на 576 небольших участков, каждый площадью 0.25 кв.км. В табл. приведены числа Nk
участков ровно с k падениями. Общее число падений равно 537. Среднее число падений
на один участок – 0.9323.
k (число падений)
Nk (число участков с k
N*p(k;0.9323)
(ожидаемое при Пуассоновской
падениями)
вероятности)
0
1
2
3
4
5 и более
229
211
93
35
7
1
Найдите число участков, которое должно было бы быть зафиксировано для каждого k,
если число падений – с.в., описываемая распределением Пуассона с параметром λ =
0.9323.
8. Вероятность того, что респондент-москвич голосует за партию «Единая Россия», равна
0.54. Найдите математическое ожидание и стандартное отклонение числа респондентов –
москвичей, собирающихся голосовать на партию «Единая Россия» в случайном опросе
1600 человек.
9. Пусть вероятность того, что у самолета во время полета откажет двигатель, равна (1 –
p). Эта вероятность равна для всех двигателей; отказы каждого из двигателей –
независимые друг от друга события. Самолет может благополучно долететь, если как
минимум 50% его двигателей находятся в рабочем состоянии. При каких значениях p
самолет с 4 двигателями лучше самолета с 2 двигателями?
10. Если число аварий, происходящих ежедневно на автотрассе – это с.в., описываемая
распределением Пуассона с параметром λ = 3, какова вероятность того, что завтра на
автотрассе не произойдет ни одной аварии?
11. В магазин дорогой модной одежды в среднем заходят 6 человек в час. Считая, что
число посетителей распределено по Пуассону, найдите вероятность того, что в течение 10
минут зайдут:
 более 1 человека
 два человека
 более 2 человек
Сколько продавцов, на Ваш взгляд, целесообразно держать в магазине, если считать, что
продавец тратит на обслуживание 1 посетителя в среднем те же 10 минут? Дайте
обоснованный ответ.
12. Магазин работает 10 часов в сутки. Случайные величины X1, X2, …, X10 – количество
посетителей магазина в течение первого, второго и т.д. часа работы. Известно, что каждая
из этих величин имеет распределение Пуассона с параметром λ1, λ2, …, λ10
соответственно.
 Укажите распределение числа посетителей магазина за сутки.
 Чему равно среднее число посетителей магазина за сутки?
2
«Количественные методы в политологии: обощение» (2009 – 2010 уч. год)
13. В статье1 “A Scaling Model for Estimating Time-Series Party Positions from Texts” лектор
Trinity College (University of Dublin, Irlend) Jonathan B. Slapin и аспирант программы PhD
по политическим наукам в University of California, Los Angeles Sven-Oliver Proksch
предложили модель, позволяющую с помощью контент-анализа оценить позицию партии
в некотором политико-идеологическом пространстве.
В модели предполагается, что yijt – с.в., равная числу упоминаний некоторого слова j в
предвыборной программе i-той партии в год t, описывается распределением Пуассона с
параметром λijt, оцениваемым с помощью алгоритма максимизации математического
ожидания (Expectation Maximization algorithm) по формуле:
λijt = exp (αit + ψj + βj*ωit),
где αit – «фиксированный эффект» для i-той партии в год t; ψj – «фиксированный эффект»
слова j; βj – весовой коэффициент слова j; ωit – позиция i-той партии в изучаемом
политико-идеологическом пространстве в момент времени t.
Для 2005 г. все αit равны 1. Значения ωit для соответствующих партий приведены в
таблице:
Название партии
Значение ωit
PDS
0.93
Greens
0.39
SPD
-0.42
CDU
-1.06
FDP
-0.98
Для выражения «подоходный налог» βj = 5; ψj = -5.2
Для выражения «федеративная республика» βj = 0; ψj = 2.5
Используя полученные автором результаты, вычислите для каждого из указанных
выражений вероятность того, что оно встретится ровно 30 раз в программе каждой из
партий.
Slapin J.B., Proksch S.-O. (2008). “A Scaling Model for Estimating Time-Series Party Positions from Texts”.
American Journal of Political Science, Vol. 52, No.3, Pp. 705-722.
1
3