ДЗ1

18.10.2013
Домашнее
задание №1
По курсу «Моделирование»
Кудряшов Артем
ГР. 3121
Постановка задачи и исходные данные.
Требуется разработать и рассчитать марковскую модель многоканальной СМО с однородным
потоком заявок. В соответствии с полученными результатами требуется выбрать оптимальный
вариант построения СМО.
Исходные данные: вариант 7/8
Структурные и функциональные параметры систем.
Вариант
7
СИСТЕМА_1
СИСТЕМА_2
П
ЕН
П
ЕН
2
3/1
2
2/1
Критерий
эф-ти
(б
)минимальные
потери заявок
Обозначения :
П – число обслуживающих Приборов;
ЕН – Емкости Накопителей: X/Y/Z ( X – перед первым прибором,
Y – перед вторым прибором,
Z – перед третьим прибором).
Нагрузочные параметры (сек).
Номер
варианта
8
Интенс.
потока
Ср.длит
обслуж.
Вероятности
занятия
прибора ...
La1
(1/с)
b1
(с)
П1
П2
0,8
5
0,3
0,7
Описание исследуемых систем.
б). Система №1.
Двухканальная, поток заявок однородный, накопители ограниченной емкости.
Всегда существует стационарный режим, т.к. не может быть бесконечных очередей.
а). Система №2.
Двухканальная, поток заявок однородный, накопители ограниченной емкости.
Всегда существует стационарный режим, т.к. не может быть бесконечных очередей.
Перечень состояний для исследуемых систем.
А). Система №1.
В качестве состояния используем вектор {П1, П2}, где П1={0,1,2,3}, П2={0,1,2}, числа
обозначают число заявок в соответствующем приборе. Получим 12 различных состояний.
E
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
{П1,П2} {0,0} {1,0} {0,1} {2,0} {1,1} {0,2} {3,0} {2,1} {1,2} {3,1} {2,2} {3,2}
Б). Система №2.
В качестве состояния используем вектор {П1, П2}, где П1={0,1,2,3}, П2={0,1,2}, числа обозначают
число заявок в соответствующем приборе. Получим 15 различных состояний.
E
0
1
2
3
4
5
6
7
{П1,П2} {0,0} {1,0} {0,1} {2,0} {1,1} {0,2} {3,0} {2,1}
E
8
9
10
11
12
13
14
{П1,П2} {1,2} {3,1} {2,2} {3,2} {4,0} {4,1} {4,2}
4) Графы состояний
Система №1


E0 {0, 0}
 *p1
 *p2
E1 {1, 0}


E2 {0, 1}


 *p1
 *p2
E3 {2, 0}

 *p1
E4 {1, 1}

 *p2
E5 {0, 2}


 *p1

 *p1
E6 {3, 0}
E7 {2, 1}


 *p2
 *p2
 *p1
 *p2
E8 {1, 2}


 *p2
E9 {3, 1}
 *p1
E10 {2, 2}


 *p2
E11 {3, 2}
 *p1
 *p1
Система №2


E0 {0, 0}
 *p1
 *p2
E1 {1, 0}


E2 {0, 1}


 *p1
 *p2

E3 {2, 0}
 *p2
E4 {1, 1}

 *p2
E5 {0, 2}


 *p1

 *p1

 *p1
E6 {3, 0}
E7 {2, 1}


 *p2
E8 {1, 2}


 *p1
 *p1
 *p2
E12 {4, 0}
 *p2
E9 {3, 1}

 *p2
E13 {4, 1}


E11 {3, 2}


 *p1
E14 {4, 2}
 *p1
E10 {2, 2}

 *p1  *p2
 *p1
 *p1
 *p1
5). Матрицы интенсивностей переходов.
А). Система №1.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0
-
 * p1
 * p2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1

- -
0
 * p1
 * p2
0
0
0
0
0
0
0
2

0
- -
0
 * p1
 * p2
0
0
0
0
0
0
3
0

0

0
0
 * p1
 * p2
0
0
0
0
4
0


0

0
0
 * p1
 * p2
0
0
0
5
0
0

0
0
-  p1
0
0
 * p1
0
0
0
6
0
0
0

0
0
-  p2
0
0
 * p2
0
0
7
0
0
0


0
0
0
 * p1
 * p2
0
8
0
0
0
0


0
0
-2   p1
0
 * p1
0
9
0
0
0
0
0
0


0
-2   p2
0
 * p2
10
0
0
0
0
0
0
0


0
-2   p1
 * p1
11
0
0
0
0
0
0
0
0
0


-2 
- -
-2  -
-2  -

Система №2
12
13
14
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
 * p1
0
0
0
0
0
0
0
0
 * p2
0
 p1
0
-2  -  p1
 * p1
0
0
0


-2  -  * p1
0
0
 * p1
0
0
0
0
-  -  p2
 * p2
0
0
0

0
0

-2  -  p1
 * p1
0
0
0
0

0

-2 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0
-
 * p1
 * p2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1

- -
0
 * p1
 * p2
0
0
0
0
0
0
0
2

0
- -
0
 * p1
 * p2
0
0
0
0
0
0
3
0

0
- -
0
0
 * p1
 * p2
0
0
0
0
4
0


0
-2  - 
0
0
 * p1
 * p2
0
0
0
5
0
0

0
0
-  -  p1
0
0
 * p1
0
0
0
6
0
0
0

0
0
- -
0
0
 * p2
0
0
7
0
0
0


0
0
-2  - 
0
 * p1
 * p2
0
8
0
0
0
0


0
0
-2  -  p1
0
 * p1
0
9
0
0
0
0
0
0


0
-2  - 
0
10
0
0
0
0
0
0
0


0
11
0
0
0
0
0
0
0
0
0
12
0
0
0
0
0
0

0
13
0
0
0
0
0
0
0
14
0
0
0
0
0
0
0
6). Стационарные вероятности состояний.
Номер состояния Система №1
Обозначение
0
E0
1
E1
2
E2
3
E2
4
E4
5
E5
6
E6
7
E7
8
E8
9
E9
10
E10
11
E11
12
13
14
Система №2
Вероятность Обозначение
0,0160
E0
0,0192
E1
0,0448
E2
0,0230
E2
0,0538
E4
0,1255
E5
0,0277
E6
0,0645
E7
0,1506
E8
0,0774
E9
0,1807
E10
0,2168
E11
E12
E13
E14
Вероятность.
0,0116
0,0141
0,0324
0,0175
0,0390
0,0904
0,0231
0,0476
0,1082
0,0613
0,1284
0,1479
0,0331
0,0980
0,1475
9). Расчет характеристик СМО.
а). Система №1
Характеристика
Нагрузка
Загрузка
Длина очереди
Число заявок
Время ожидания
Время пребывания
Вероятность потери
Производительность
Прибор
П1
П2
Сумм.
П1
П2
Сумм.
П1
П2
Сумм.
П1
П2
Сумм.
П1
П2
Сумм.
П1
П2
Сумм.
П1
П2
Сумм.
П1
П2
Сумм.
Расчетная формула
y1=λ*q1/μ
y2=λ*q2/μ
y=y1+y2
ρ1=p1+p3+p4+p6+p7+p8+p9+p10+p11
ρ2=p2+p4+p5+p7+p8+p9+p10+p11
ρ=(ρ1+ρ2)/2
l1=p3+2p6+p7+2p9+p10+2p11
l2=p5+p8+p10+p11
L=l1+l2
m1=p1+2p3+p4+3p6+2p7+
+p8+3p9+2p10+3p11
m2=p2+p4+2p5+p7+2p8+p9+2p10+2p11
M=m1+m2
w1=l1/λ'1
w2=l2/λ'2
w=λ'1*w1/λ'+λ'2*w2/λ'=L/λ'
u1=m1/λ'1
u2=m2/λ'2
u=M/λ'
π1=p6+p9+p11
π2=p5+p8+p10+p11
π=q1*π1+q2*π2
λ'1=λ*q1(1-π1)
λ'2=λ*q2(1-π2)
λ'=λ'1+λ'2
Результат
1,2000
2,8000
4,0000
0,8137
0,9141
0,8639
0,9120
0,6736
1,5856
1,7257
1,8045
3,5302
5,6039
3,6852
4,5889
10,6038
9,8723
10,2168
0,3219
0,6736
0,5681
0,1627
0,1828
0,3455
Данные
λ
0,8000
μ
0,2000
q1
0,3000
q2
0,7000
p0
p1
p2
p3
p4
0,0160
0,0192
0,0448
0,0230
0,0538
p5
p6
p7
p8
p9
p10
p11
0,1255
0,0277
0,0645
0,1506
0,0774
0,1807
0,2168
Система №2
Характеристика
Нагрузка
Загрузка
Прибор
П1
П2
Сумм.
П1
П2
Длина очереди
Сумм.
П1
Число заявок
П2
Сумм.
П1
П2
Время ожидания
Время пребывания
Вероятность потери
Производительность
Сумм.
П1
П2
Сумм.
П1
П2
Сумм.
П1
П2
Сумм.
П1
П2
Сумм.
Расчетная формула
y1=λ*q1/μ
y2=λ*q2/μ
y=y1+y2
ρ1=p1+p3+p4+p6+p7+p8+
+p9+p10+p11+p12+p13+p14
ρ2=p2+p4+p5+p7+p8+p9+
+p10+p11+p13+p14
ρ=(ρ1+ρ2)/2
l1=p3+2p6+p7+2p9+p10+
+2p11+3p12+3p13+3p14
l2=p5+p8+p10+p11+p14
L=l1+l2
m1=p1+2p3+p4+3p6+2p7+p8+3p9+
+2p10+3p11+4p12+4p13+4e14
m2=p2+p4+2p5+p7+2p8+p9+
+2p10+2p11+p13+2p14
M=m1+m2
w1=l1/λ'1
w2=l2/λ'2
w=λ'1*w1/λ'+λ'2*w2/λ'=L/λ'
u1=m1/λ'1
u2=m2/λ'2
u=M/λ'
π1=p12+p13+p14
π2=p5+p8+p10+p11+p14
π=q1*π1+q2*π2
λ'1=λ*q1(1-π1)
λ'2=λ*q2(1-π2)
λ'=λ'1+λ'2
Результат
1,2000
2,8000
4,0000
0,8657
Данные
λ
0,8000
μ
0,2000
q1
0,3000
q2
0,7000
0,9007
0,8832
1,4939
p0
p1
0,0116
0,0141
0,6224
2,1163
2,3596
p2
p3
p4
0,0324
0,0175
0,0390
1,6710
p5
0,0904
4,0306
8,6285
2,9434
5,5027
13,6286
7,9024
10,4802
0,2786
0,6224
0,5193
0,1731
0,2115
0,3846
p6
p7
p8
p9
p10
p11
p12
p13
p14
0,0231
0,0476
0,1082
0,0613
0,1284
0,1479
0,0331
0,0980
0,1475
10). Выводы по работе.
Вероятности потери заявок систем: 0,5681 и 0,5193 соответственно, следовательно, если данный критерий
считать критерием эффективности, то система №2 будет являться более эффективной.