Заочка методичка Заносова

Методические указания для заочного отделения по
дисциплине «Математика»
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Прежде чем приступить к выполнению контрольных работ, необходимо
повторить
курс
математики
средней
школы,
познакомиться
с
принятой
математической символикой. Материал, предлагаемый для изучения, содержит две
контрольные работы, охватывающий все разделы и темы программы по математике.
Вариант контрольной работы выбирается по последней цифре в журнале. Номера
задач указаны в таблице, в которой по горизонтали - номер задания, по вертикали номер варианта.
1
2
3
4
5
6
7
0
1
11
21
31
41
51
61
1
2
12
22
32
42
52
62
2
3
13
23
33
43
53
63
3
4
14
24
34
44
54
64
4
5
15
25
35
45
55
65
5
6
16
26
36
46
56
66
6
7
17
27
37
47
57
67
7
8
18
28
38
48
58
68
8
9
19
29
39
49
59
69
9
10
20
30
40
50
60
70
При выполнении контрольной работы необходимо соблюдать следующие
правила:
1. каждая работа выполняется в отдельной тетради, на обложке которой указывается учебная дисциплина, номер контрольной работы, номер
варианта, Ф.И.О.;
2. условия задач необходимо записывать полностью. К геометрическим
задачам необходимо сделать чертеж;
3. решения задач должны сопровождаться краткими, но достаточными
объяснениями. Для решения выбирать оптимальный вариант;
4. проверяемые работы сохраняются и предоставляются на экзамене;
2
5. студент должен ознакомиться с рецензией преподавателя и дать
объяснения по всем замечаниям, чтобы быть готовым к защите
работы;
6. если работа не зачтена, то ее необходимо переделать и сдать на
повторную рецензию;
7. основной материал изучать по учебникам.
3
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ
1 Функции и пределы
Повторите определения функциональной зависимости, области определения и
области изменения функции.
Символически функции записываются так: у = f(x), y=φ(x) и т.д. Символы f и φ
указывают на закон соответствия между значениями аргумента х и значениями
функции у.
Пример. Найти область определения функции: y 
1
x  5x  6
2
Решение. Функция определена для всех значений аргумента, кроме тех, при
которых знаменатель обращается в нуль. Решив уравнение x2 – 5x + 6 = 0, найдем
его корни: x1  2 и x2  3 , следовательно, область определения D(y) — вся числовая
ось, кроме точек х = 2 и х = 3. Понятие предела переменной величины — одно из
важнейших понятий математики. Повторите определение пределов переменной
величины.
Теоремы о пределах.
lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x);
x a
xa
x a
lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x);
x a
x a
x a
lim  f ( x) / g ( x)  lim f ( x) / lim g ( x) , если lim g ( x)  0
x a
x a
xa
x a
Следствия.
lim k  f ( x)  k  lim f ( x);
x a
x a
lim x n  a n , lim n x  n a
x a
x a
lim P( x)  P(a)
x a
Пример 1. Вычислить lim (5x 3  6 x 2  x  5)
x2
Решение. По правилу нахождения предела многочлена, находим:
4
lim (5x 3  6 x 2  x  5)  5  23  6  2 2  2  5  13
x2
x 2  8x  7
Пример 2. Вычислить lim
x 1
x 1
Решение. В данном случае Теорема о пределе частично не применима, т.к.
lim ( x  1) . Числитель дроби разложим на множители и сократим дробь на (х – 1):
x 1
х2 – 8х + 7 =:0;
x1  1 ;
x2  7;
х2 – 8х + 7 = (х – 1) ∙ (х – 7)
lim ( x  1)  ( x  7) /( x  1)  lim ( x  7)  6
x 1
x 1
3x 3  1
x  x 3  x  8
Пример 3. Вычислить lim
Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби на х3:
lim (3  1/ x 3 ) /(1  1/ x 2  8 / x 3 )  (3  0) /(1  0  0)  3
x
II Решение системы методом Гаусса
 x  y  2 z  1

 2 x  y  2 z  4
 4 x  y  4 z  2

Постепенным исключением переменных находим xn ; xn 1...; x1 .
1. Оставим первое уравнение неизменным. Исключим х из второго и третьего
уравнений, умножив поочередно на (–2) и (–4) первое уравнение и сложив поочередно
со вторым и третьим уравнениями.

 x  y  2 z  1 |  (2) |  (4)
 3 y  2 z  2

 3 y  4 z  2
2. Оставим второе уравнение неизменным, исключим у из третьего уравнения,
помножив второе уравнение на (–1) и сложив с третьим уравнением.
 x  y  2 z  1
 3 y  2 z  2 |  (1)
 2 z  4
Из третьего уравнения найдем z: z = 4/(–2);
z = –2 Подставив значение z
во второе уравнение, найдем у:
5
–3у – 2 ∙ (–2) = –2;
у=2
Подставив значения у и г в первое уравнение, найдем х:
х + 2 + 2∙ (–2) = –1;
x = –1
Ответ. (1; 2; –2).
III. Векторы
Вектор — это величина характеризующаяся не только значением, но и
направлением. Вектор обозначается либо a , либо AB , где А — начало вектора;
В — конец вектора. Расстояние AB называется длиной (модуль) вектора AB .
Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число,
равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними,
a  b  a  b  Cos(a, ^ b) Произведение применяется в физике, механике.
Пример 1. Найти проекцию вектора a на ось L, образующую с вектором угол 60°, если | a | — 6.
Решение. По формуле Пр.L a  a  Cos , получим Пр.L a  6  Cos60  3 .
Пример 2. Найти длину вектора AB , если А(1; 1) и В(4; -3).
Решение. По формуле AB  ( xb  xa ) 2  ( yb  y a ) 2 , находим
AB  (4  1) 2  (3  1) 2  5
Пример 3. Найти (2a  3b)  (a  2b) , если a  3; b  2 и   (a,b)  60
2
2
Решение. (2a  3b)  (a  2b)  2 a  4 a b  3 b a  6 b 
2
2
2 a  a b  6 b  2  32  2  3  Cos60 6  22  3
Пример 4. Найти модуль вектора c  3a  b , если a  2; b  3 и
  (a,b)  120
2
2
2
Решение. c  c  (3 a  b ) 2  9 a  6 a b  b 
9  2 2  6  2  3  (1/ 2)  32  63  7,937
Пример 5. Вычислить угол между векторами a  (4;3) и b  (3;4)
6
Решение. По формуле Cos(a, b) 
x1 x2  y1 y 2
x 21  y 21
x 22  x 22
Cos(a,b)  (4  3  3  (4)) /( (4) 2  32  32  (4) 2 )  0,96 ;
Cos(a,b)  163 7
Пример 6. Даны точки А(3; -2) и В(10; -9). Найти точку М(х;у), делящую
отрезок АВ в отношении λ=2/5 (от А к В)
Решение. Так как точка М делит отрезок АВ от А к В, то x1  3,
y1  2, x2  10, y2  9 и λ=2/5 Подставим эти данные в формулы
X
x1  x2
1 
XM 
и
Y
y1  y 2
,
1 
найдем
координаты
точки
M.
3  2 / 5  10
 2  2 / 5  (9)
 5; YM 
 4
1 2/ 5
1 2 / 5
Получим точку M(5;-4)
IV. Метод координат. Прямая линия
Уравнение первой степени относительно переменных X и У, т.е. уравнение вида
Ах + By + С = 0 при условии, что координаты А и В равны нулю, называется общим
уравнением прямой.
Задача 1. Даны координаты вершин треугольника А(-2; 2), B(0; -8), С(12;6).
Вычислить длину медианы BD.
Решение. xd  ( xa  xc ) / 2; xd  (2  12) / 2  5
y d  ( y a  y c ) / 2;
y d  (2  6) / 2  4;
BD  ( xb  xd ) 2  ( yd  yd ) 2
Задача 2. Треугольник задан вершинами А(2; -1), В(-7; 3) и С(-1; -5). Составить
уравнение биссектрисы угла С.
Решение. Найдем точку М пересечения биссектрисы угла С со стороной АВ.
Известно, что биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на
части,
пропорциональные
Следовательно,  
длинам
прилежащих
сторон
треугольника.
BM CB

. Так как
AM CA
CB  (1  7) 2  (5  3) 2  10; CA  (1  2) 2  (5  1) 2  5 , то   10 / 5  2
7
Вычислим координаты точки М:
X M  (7  2  2) /(1  2)  1; YM  (3  2  (1)) /1  2)  1/ 3
Абсциссы точек С и М равны, следовательно, биссектриса угла С параллельна оси
Оу: х = -1 или х + 1 = 0
V. Производная
Чтобы ясно представить себе понятие производной, необходимо уяснить,
что такое средняя скорость изменения функции с изменением аргумента от х1 до
х2, а затем разобрать понятие скорости изменения функции в данной точке, т.е.
y
x  0  x
при x=x0
lim
Производная функции у = f(x) обозначается
y ', f ( x),
dy df ( x)
,
dx dx
Производная функции у — f(x) при данном значении аргумента выражает
истинную скорость изменения функции в данной точке. Так как каждому
значению
аргумента
соответствует
определенное
единственное
значение
производной, то производная есть функция того же аргумента, что и данная
функция. Необходимым условием существования производной в данной точке,
т.е. для выбранного нами значения аргумента, является непрерывность функции
при выбранном значении аргумента.
Если график данной непрерывной функции изображается на плоскости
кривой, то значение производной этой функции в данной точке численно равно
условному коэффициенту касательной к кривой в этой точке.
lim
x 0
y
 yx  x0  kкас
x
(в точке с абсциссой
х = x0)
Асимптоты кривой
Определение 1.
Прямая y  kx  b называется наклонной асимптотой
( f ( x)  kx  b)  0 .
кривой y  f (x) при x   , если xlim
 
Отсюда
f ( x)  kx  b  a( x) ,
(1)
8
a ( x)  0 . Из (1) имеем
где xlim
 
k
f ( x) b  a( x)

, b  f ( x)  kx  a( x)
x
x
Отсюда
k  lim
x  
f ( x)
x
(2)
b  lim ( f ( x)  kx)
(3)
x  
Имеет место и обратное: из (2) и (3) следует, что прямая y  kx  b является
наклонной асимптотой графика функции y  f (x) . По формулам (2) и (3)
вычисляются угловой коэффициент k и начальная ордината b асимптоты y  kx  b
при x   .
Аналогично определяется и находится асимптота кривой y  f (x) при
x  
Очевидно, что если k  0 , то уравнение асимптоты примет вид
yb
(4)
Определение 2. Асимптота, определяемая уравнением (4), называется
горизонтальной асимптотой.
Определение 3. Прямая x  a называется вертикальной асимптотой, если
lim f ( x)   или lim f ( x)  
x a 0
x a  0
Для определения вертикальных асимптот надо отыскать те значения х,
вблизи которыз функция f(x) неограниченно возрастает по модулю. Обычно это
точки разрыва второго рода данной функции.
Пример 1. Найти асимптоты кривой
f ( x) 
x2 1
x2
Так как
x2 1
x2 1
  , lim
 
x 2 0 x  2
x 20 x  2
lim
то прямая x=2 является вертикальной асимптотой. Находим
9
k  lim
x 
f ( x)
x2 1
 lim
1
x  x( x  2)
x
 x2 1

x 2  1  x 2  2x
2x  1
b  lim ( f ( x)  kx)  lim 
 x   lim
 lim
2
x 
x  x  2
x  x  2
x2

 x
Итак, y  x  2 является наклонной асимптотой данной функции при x   .
Таким образом, данная функция имеет вертикальную асимптоту y  x  2
y
y=x+2
x=2
0
2
x
Общая схема исследования функций и построения графиков
С учетом изложенного выше можно рекомендовать следующую схему
исследования функции и построения ее графика.
1) найти область определения функции;
2) исследовать функцию на четность и нечетность;
3) исследовать функцию на периодичность;
4) исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва;
5) найти критические точки первого рода;
6) найти интервалы монотонности и экстремумы функции;
7) найти критические точки второго рода;
8) найти интервалы выпуклости и точки перегиба;
9) найти асимптоты графика функции;
10) найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это
возможно);
10
11) построить график функции.
Пример 1. Построить график функции
f ( x) 
x3
.
x2  4
1) Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = – 2
и x = 2.
2) Функция нечетна, так как
( x) 3
x3
f (  x) 
 2
  f ( x)
( x) 2  4
x 4
3) Функция непериодическая.
4) Функция непрерывна во все области ее определения. Точки x = – 2 и x = 2
являются точками разрыва.
5) Находим
f ' ( x) 
x 2 ( x 2  12)
.
( x 2  4) 2
Очевидно, что f ' ( x)  0 при x  0 и x  2 3 . Кроме того f ' ( x) не существует
при x  2 . Следовательно, f (x) имеет следующие критические точки первого
рода: x1  2 3, x2  2, x3  0, x4  2, x5  2 3.
6) Методом пробных точек определяем знак производной в каждом из
интервалов:
(;2 3 ), (2 3;2), (2;0), (0;2), (2;2 3 ), (2 3;) (рис.
119).
Следовательно, функция f(x) в интервалах (;2 3 ) и (2 3;) возрастает, а в
интервалах (2 3;2), (2;0), (0;2), (2;2 3 ) убывает.
+
–
–
–
–
+
Рис. 119
x
В точке x1  2 3 функция имеет максимум, а точке x5  2 3 — минимум.
Так как при переходе через критическую точку x3  0 производная не меняет знак,
то в этой точке экстремума нет. Имеем:
ymax  f (2 3)  3 3 и y min  f (2 3 )  3 3
11
(;2 3 )  2 3 (2 3;2) –2
(2;0) 0
(0;2) 2
(2;2 3 ) 2 3 (2 3;)
f(x)
–
3 3
–
+
0
–
+
+
f(x)
+
0
–
–
0
–
–
+
f(x) –
–
–
+
0
–
+
+
т.р
т.м.
.
ы
Вывод
x
т.п.
т.р
т.м
.
.
8 x( x 2  12)
7) Находим f " ( x)  2
.
( x  4) 3
Так как f " ( x)  0 при x  0 и f " ( x) не существует при x  2 , то x2  2 б x3  0
и x4  2 являются критическими точками второго рода.
8) Определяем знак второй производной f " ( x) и каждом из интервалов
(;2), (2;0), (0;2) и (2; ) (рис. 120).
-
+
-
+
Рис. 120
x
Мы видим, что интервалах (;2) и (0;2) график функции обращен
выпуклостью вверх, а в интервалах (2;0) и (2;) — выпуклость вниз. Вторая
производная меняет знак в каждой из критических точек второго рода, однако
точки x  2 не принадлежат области определения функции и поэтому лишь точка
x  0 является точкой перегиба с горизонтальной касательной (так как f ' (0)  0 ).
Имеем f (0)  0 , следовательно, точкой перегиба является начало координат.
3
x3
  и lim 2x  
9) Так как xlim
2
20 x  4
x 2  0 x  4
то x  2 и x  2 являются вертикальными асимптотами. Далее, находим
k  lim
x 
f ( x)
x3
 lim
 1,
x  x ( x 2  4)
x
12
 x3

b  lim ( f ( x)  kx)  lim  2
 x   0
x
x x  4


Следовательно, y  x является наклонной асимптотой.
Результаты исследования заносим в табл. 6. По полученным данным строим
график функции (рис.121).
y
y=x+2
x=2
-2
0
2
x
Рис. 121
Первая производная пути по времени дает уравнение скорости движения
тела, S't — V, а вторая производная St" — а — ускорения. Процесс нахождения
производной функции называется дифференцированием.
Пример 1.
f ( x)
x 2  x  xSinx
.
x
Найти
f (x).
Решение. Выполним деление на х почленно: f(x) - х - х -1/2 + Sinx
Применим теорему о производной алгебраической суммы:
f '( x)  1 
1 3 / 2
1
x
 Cos  1 
 Cosx
2
2x x
3
Пример 2. y  x Cosx.
Найти у'.
Решение, у' = (x3)'Cosx + x3(cosx)' = 3x2Cosx + x3(–Sinx) = x2(3Cosx – xSinx)
13
Пример 3. у = (Зх – 6x2 + 8)10.
Найти у'.
Решение, у' = 10(Зx - 6х2 + 8)9 • (3x - 6х2 + 8)' = 10(Зx - 6ж2 + 8)9 • (3 - 12х)
Пример 4. У – Sin2x/tg2x.
Найти y’
Решение
y' 
( Sin 2 x) ' tg 2 x  Sin 2 x(tg 2 x) '

tg 2 2 x
Cos 2 x(2 x) ' tg 2 x  (2 x) ' (2 x) ' Sin2 x / Cos 2 2 x


tg 2 2 x

2tg 2 x(Cos 2 x  1/ Cos 2 x)
 2Sinx
tg 2 2 x
Пример 5. Построить график функции у = х3 — 6х2 + 9х — 3
Решение.
1. Функция определена на всей числовой прямой, т.е. Д(у) — R
2. Исследуем функцию на четность и нечетность.
Имеем у(-х) = (-x)3 - 6(-x)2 + 9(-x) - 3 = -x3 - 6x2 - 9х - 3 Функция не является
ни четной, ни нечетной.
3.Функция не является периодической.
4.Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
Чтобы найти точки пересечения с осью Оу, положим x = 0, тогда у =-3. Точки
пересечения с осью Ох в данном случае найти затруднительно, т.к. при у — 0 x3 —
6x2 4- 9x — 3 = 0.
5.Найдем интервалы монотонности функции и ее экстремумы. Имеем: у' —
Зx2 — 12x + 9; 3x2 — 12x + 9 = 0. Отсюда получаем критические точки x1 = 1, x2
= 3. Эти точки разбивают область определения функции на интервалы:
—  <x<1; 1<x<З и 3<x<  . Исследуем знак у' в каждом из интервалов. В
интервалах -  <x <1иЗ<x<  , у’>0, т.е. функция возрастает, а в интервале 1<
x<3,
у’< 0, т.е. функция убывает. При переходе через точку x =1 производная
меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку x = 3 — с минуса на
плюс. Значит, Уmах = y(1) = 1, Уmiп = y(3) = -3.
6. Найдем интервалы выпуклости графика функции и точки его перегиба.
Имеем: у" = 6х - 12,
6х - 12 = 0,
х = 2. Точка х = 2 делит область определения
14
функции на два интервала: -  < х < 2 и 2 < х <  . В первом из них у" < 0, а во
втором у" > 0, т.е. в интервале-  < х < 2 кривая выпукла вверх, а в интервале 2 < x
<  выпукла вниз. Таким образом, получаем точку перегиба (2; — 1).
6.Используя полученные данные, строим искомый график (рис.1).
Рис. 1.
VI. Неопределенный интеграл
Перед изучением темы необходимо повторить формулы дифференцирования функций. Основная задача интегрального исчисления обратна
основной задаче дифференциального исчисления и формулируется так: дана
функция f(x), требуется найти такую функцию F(x), чтобы dF(x) = f(x)dx, т.е. F'(x)
= f(x)
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x). F(x) + С, где С —
произвольная постоянная, представляет совокупность всех первообразных для
функции f(x) и называется неопределенным интегралом. Обозначается:
 f ( x)dx
 F ( x)  С
Пример 1.
4/5
 (x 
x 2 Sinx  x
)dx   ( x 4 / 5  Sinx  x 3 / 2 )dx 
2
x
4/5
3 / 2
 x dx   Sinxdx   x dx 
x9 / 5
x 1/ 2
 Cosx
C 
9/5
1/ 2
5 5 4
2
x x  Cosx 
C
9
x
15
Пример 2.

2  1  x2
1 x
2
dx   (
Пример 3. Найти
2
1  x2

)dx  2arcSinx  x  C
3xdx
1  2x2
Решение. Применим подстановку 1  2x  z , где z — новая переменная.
Возведем обе части в квадрат: 1 + 2х2 = z2. Продифференцируем обе части
равенства: 4xdx = 2zdz, xdx — z/2dz
Интеграл имеет вид:
 (3z/2)dz/z = 3/2 
dz - 3/2z +С
2
Выполним замену z  1  x , получим

3xdx
1  2x
2
 3/ 2 1  2 x 2  C
Пример 4. Найти
 Sin5 xCosxdx
Решение. Cosxdx есть дифференциал функции Sinx, Cosxdx = dSinx.
Поэтому

Sin5 xCosxdx   Sin5 xdSinx  1/ 6Sin 6 x  C
Пример 5. Найти
 lnxdx/x
=
2
Решение. Положим и — lnx, dv = dx/x2, тогда du = dx/x,


dv =

dx/x2 -
x-2dx - (-l)x-1 = -1/x; v = -1/x
По формуле

udv = uv —

vdu, получим:
2
ln x
ln x
1 dx
ln x
ln x 1
dx






x
dx  
 C
 x2


x
x x
x
x
x
VII. Определенный интеграл
Вычисление определенного интеграла непосредственным переходом к
пределу интегральной суммы является операцией довольно трудной и не всегда
выполняемой.
Формула
Ньютона-Лейбница
дает
возможность
вычислить
определенный интеграл с помощью неопределенного.
16
b
b
a
a
 f ( x)dx  F ( x)
Все
 F (b)  F (a)
методы
интегрирования,
рассматриваемые
при
изучении
не-
определенного интеграла, используются и при вычислении определенного
интеграла.
Пример 1.
3
2
 (2 x  1)dx  (2
1
x2
 x)
3
3
1
2
2
1
1
 (  33  3)  (  1  1)  15  ( )  15
3
3
3
3
Пример 2.


 2Sinxdx  2Cosx

2
 3Cosx


 2(Cos
2


2
 Cos )  2(0  (1))  2
2
Пример 3
2 2
.

0
3 xdx
x2  1
Решение. Предположим,
x2  1  t , тогда x2 + 1 = t2; 2xdx = 2tdt;
xdx = tdt;
2
tH =1, tB = (2 2)  1  3 .
2 2

0
3xdx
3
3
3
3
3tdt

  3dt  3 dt  3t  3(3  1)  6
2
1
1
x 1 1 t
1
Определенный интеграл был вычислен способом подстановки, т.е. с
помощью замены переменной. Обратите внимание на вычисление новых пределов
интегрирования.
4
Пример 4- Вычислить
 x ln xdx
e
Решение. Положим и = lnx; dv = xdx, тогда du = dx/x; v =x2/2.
Следовательно:
4
5
x2
1 2 dx
e2 1 2
4
x
ln
xdx

l
n
x

x

8ln
4

 x
e
e
2
2 e
x
2 4
Определенный
интеграл
был
4
 8ln 4 
e
вычислен
e2
e2
e2
4
 8ln 4  4 
2
4
4
с
применением
формулы
интегрирования по частям, которая имеет вид:
17
b
 udv  uv
b
b
a
  vdu
a
a
Интегральное исчисление дает общий прием для вычисления площадей
плоских фигур, объемов тел вращения, работы, силы и др. Решим ряд задач.
Рис. 2
Задача 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2,
х=-
1; x = 3; у=0
Решение. Сделаем чертеж (рис. 2)
b
S   ydx 
a
3
1
 x dx  3 x
2
3
1
3
1
1
1
28
1
 (33  (1)3 )  (27  1) 
 9 ед2 .
3
3
3
3
Задача 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = Sinx; х =
—  ; х = 0; у = 0
Решение. Сделаем чертеж (рис. 3). Вычислим интеграл:

0
 Sinxdx  Cos

0

 Cos ( )  Cos 0  1  1  2
 Cos
0
S  2  2
0
ед2,
или
S    Sinxdx  Cos

0
 Cos 0  Cos ( )  1  1  2

18
Рис. 3
Задача 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у2 = 4x; у = х
Решение. Сделаем чертеж (рис. 4). Вычислим пределы интегрирования, для
чего решаем систему уравнений относительно х:
 y2  4x

y  x
x 2  4 x, x 2  4 x  0, x( x  4)  0, x1  0, x2  4
4
4
x1/ 2
S1  2 xdx  2 x dx  2
3/ 2
0
0
4

1/ 2
4
S 2  xdx 
0
1 2
x
20
4
0

0
4 3/ 2 4
32
2
 4  8 
 10 ед 2
3
3
3
3
1
 16  8ед 2
2
2
2
Sиск  10  8  2 ед 2
3
3
Рис. 4
Задача 4- Сила в 8H растягивает пружину на 6см. Какую работу она
производит?
19
Решение. По закону Гука F — хк,
где х — величина растяжения (сжатия), к — коэффициент пропорциональности.
b
A   f ( x)dx;
a
k
8  k  0, 06;
8
;
0, 06
Задача 5. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном
направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью V — 6t2 + 2t (м/с),
второе - со скоростью V = 42 + 5 (м/с). На каком расстоянии друг от друга они
окажутся через 5с?
Решение. Очевидно, что искомая величина есть разность расстояний,
пройденных первым и вторым телом за 5с.
5
S1   (6t 2  2t )dt  (2t 2  t 2 )
5
0
 275(m);
0
5
S2  (4t  5)dt  (2t 2  5t )
5
0
 75(m)
0
S1 - S2 = 275 - 75 = 200(m)
VIII. Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися
переменными
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между
собой независимую переменную x, искомую функцию y и ее производные или
дифференциалы.
Символически дифференциальное уравнение записывается так:
F ( x, y, y' )  0, F ( x, y, y" )  0, F ( x, y, y' , y",..., y ( n) )  0 .
Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая
функция зависит от одного независимого переменного.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей
производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение.
20
Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется
такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.
Общим решение (или общим интегралом) дифференциального уравнения
называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных
постоянных, каков порядок уравнения. Так, общее решение дифференциального
уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную.
Частным решением дифференциального уравнения называется решение,
полученное из общего при различных числовых значениях произвольных
постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определенных
начальных значениях аргумента и функции.
График частного решения дифференциального уравнения называется
интегральной кривой.
Общему
решению
дифференциального
уравнения
соответствует
совокупность (семейство) всех интегральных кривых.
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в
которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.
Дифференциальным
уравнением
с
разделяющимися
переменными
называется уравнение вида
dy
 f ( x) ( y ) ,
dx
Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные:
dy
 f ( x)dx, ,
 ( x)
а затем проинтегрировать обе части полученного равенства:
dy
  ( y)   f ( x)dx.
1. Найти общее решение уравнения x(1  y 2 )dx  ydy.
 Разделив переменные, имеем
xdx 
ydy
1 y2
Интегрируем обе части полученного уравнения:
21
 xdx 
ydy
;
1 y2
x2 1
1
 ln( 1  y 2 )  ln C.
2 2
2
Так как произвольная постоянная С может принимать любые числовые
значения, то для удобства дальнейших преобразований вместо С мы написали
1/ 2 ln C . Потенцирую последнее равенство, получим
x 2  ln[ C (1  y 2 )].
Это и есть общее решение данного уравнения.
2. Найти частное решение уравнения s tg t dt  ds  0 , удовлетворяющее
начальным условиям s  4 при t   / 3 .
 Разделив переменные, имеем
tg t dt 
ds
0
ы
Проинтегрируем обе части полученного уравнения:
 tg t dt  
ds
 ln C ;  ln cos t  ln s  ln C ,
s
или
ln s  ln C  ln cos t , s  C cos t .
Это общее решение данного уравнения. Для нахождения значения
произвольной постоянной С подставим значения t   / 3 и s  4 в выражение для
~
общего решения: 4  C cos( / 3) , или 4  C / 2 , откуда C  8 .
Следовательно, искомое частное решение, удовлетворяющее указанным
начальным условиям, имеет вид s  8 cos t.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение вида
dy
 f ( x) y   ( x)  0 ,
dx
где f (x) и  (x ) – функции от x, называется линейным дифференциальным
уравнением первого порядка. В частном случае
f (x)
и  (x ) могут быть
постоянными величинами.
Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с
помощью подстановки y  uz , где u и z – новые функции от x.
22
1. Найти общее решение уравнения
dy
2y

 ( x  1) 3 .
dx x  1
 Это линейное уравнение: здесь f ( x)  2 /( x  1),  ( x)  ( x  1) 3 . Положим
y  uz и продифференцируем это равенство по x :
dy
dz
du
u
z .
dx
dx
dx
Подставив теперь выражения для y и
u
dy
в данное уравнение, получим
dx
dz
du 2uz
z

 ( x  1) 3 ,
dx
dx x  1
или
u
dz
2u 
 du
3
 z

  ( x  1) .
dx
 dx x  1 
Так как одну из вспомогательных функций u или z можно выбрать
произвольно, то в качестве u возьмем одно из частных решений уравнения
du
2u

 0,
dx x  1

du
dx
 2
; ln u  2 ln( x  1), u  ( x  1) 2
u
x 1
(произвольную постоянную С принимаем равной нулю, так как находим
одно из частных решений).
Подставим теперь выражение для u в уравнение (*); тогда получим
уравнение
( x  1) 2
dz
dz
 ( x  1) 3 , или
 x  1.
dx
dx
Отсюда находим
 dz   ( x  1)dx; z 
( x  1) 2
 C.
2
Зная u и z , теперь получаем общее решение данного уравнения:
 ( x  1) 2
 ( x  1) 4
y  uz  ( x  1) 2 
 C 
 C ( x  1) 2 .
2
2


2. Найти частное решение уравнения cos x dy  y sin x dx  dx , если y  1 при
x  0.
 Разделив все члены данного уравнения на cos x dy , получим уравнение
23
dy
1
 y tg x 
,
dx
cos x
которое является линейным. Положим y  uz ; тогда
выражения для y и
u
dy
dz
du
u
z
. Подставив
dx
dx
dx
dy
в уравнение (*), имеем
dx
dz
du
1
z
 uz tg x 
,
dx
dx
cos x
или
u
dz
1
 du

 z
 u tg x  
dx
 dx
 cos x
Для отыскания u получаем уравнение
du
du
 u tg x  0 , т.е.
 tg x dx  0 ,
dx
u
откуда

du
   tg x dx; ln u  ln cos x; u  cos x
u
Подставляя выражение для u в уравнение (*), имеем
cos x
dz
1
dz
1

, или

, т.е. z  tg x  C.
dx cos x
dx cos 2 x
Следовательно, общее решение данного уравнения записывается так:
y  uz  cos x(tg x  C )  sin x  C cos x .
3. Используя начальные условия y  1, x  0, имеем 1  sin 0  C cos 0 , откуда
C  1 . Таким образом, искомое частное решение имеет вид y  sin x  cos x.
IX.Ряды
Числовым рядом называется выражение вида
a1  a2  a3  ...  an  ...,
где числа
a1, a2 , a3 ,...an ,
называемые членами ряда, образуют беконечную
последовательность
Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм
24
S1  a1 ,
S 2  a1  a 2 ,
S 3  a1  a 2  a3 ,
. . . . . . . . .
S n  a1  a 2  a3  ...  a n
S n  S . Этот предел называется суммой
при n   имеет конечный предел: lim
n 
S n не существует, то ряд называется
сходящегося ряда. Если конечный предел lim
n 
расходящимся.
Пример 1. Написать пять первых членов последовательности, если ее n-й
член a n имеет вид: 1)
1
1
2n  1
2  (1) n1
; 2)( 1) n 
; 3) n ; 4)
.
4n  1
4n  1
n
2
Пример 2. Написать n-й член последовательности по данным первый ее
членам:
1)
1 1 1 1
1 1 1
2
3
4
1 2 3
4
, , , ,...; 2) 1, , , ,...; 3) 1,
,
,
,...; 4) , , , ,... .
2 4 6 8
2 3 4
1 2 1 2  3 1 2  3  4
4 9 16 25
Пример 3.

1
1
1
1
1
 n(n  1)  1  2  2  3  3  4  ...  n(n  1)  ....
n
Решение. По определению частичной суммы ряда имеем:
1
S1  a1  ,
2
S 2  a1  a 2 
1 1 2
  ,
2 6 3
S 3  a1  a 2  a3 
2 1 3
  ,
3 12 4
S 4  a1  a 2  a3  a 4 
3 1 4

 ,
4 20 5
. . . . . . . . . . . . . .
Таким образом, получаем следующую последовательность частичных сумм:
1 2 3 4
, , , , ...,
2 3 4 5
общий член которой равен
n
. Ясно, что эта последовательность сходится
n 1
и ее предел равен единице:
25
lim S n  lim
n 
n 
n
 1.
n 1
Это означает, что данный ряд сходится и сумма его равна единице.
Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки
сходимости рядов с положительными членами.
Ряд может сходиться только при условии, что его общий член a n при
a n  0 – это
неограниченном увеличении номера n стремится к нулю: lim
n 
необходимый признак сходимости ряда.
a n  0 , то ряд расходится — это достаточный признак
Если же lim
n 
расходимости ряда.
Для знакоположительных числовых рядов имеют место следующие
достаточные признаки, по которым можно установить их сходимость или
расходимость
1. Признак сравнения. Если члены знакоположительного ряда
a1  a2  ...  an  ...,
(1)
начиная с некоторого номера, не превосходят соответствующих членов ряда
b1  b2  ...  bn  ...,
(2)
то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1)
следует расходимость ряда (2).
При исследовании рядов на сходимость и расходимсость по этому признаку
часто используются геометрическая прогрессия
a  aq  aq 2  ...  aq n  ...(a  0),
которая сходится при q  1 и расходится при q  1 , и гармонический ряд
1
1 1
1
  ...   ...,
2 3
n
являющийся расходящимся рядом.
Признак Даламбера.
Если для ряда lim
n 
a n 1
 l,
an
26
то при l  1 ряд сходится, при l  1 – расходится (при l  1 вопрсо о сходимости
ряда остается нерешенным).
Пример 1. Пользуясь необходимым признаком сходимости, показать, что
ряд
1
1 2 3
n
   ... 
 ...,
2 3 4
n 1
расходится.
Решение. Найдем
lim a n  lim
n 
n 
n
 1.
n 1
Таким образом, предел общего члена ряда при n   отличен от нуля, т.е.
необходимый признак сходимости не выполняется. Это означает, что данный ряд
расходится.
Разложение функции в степенные ряды Тейлора
Рядом Тейлора для функции f (x) называется степенной ряд вида
f " (0) 2 f ' ' ' 3
f ( n ) (0) n
f ( x)  f (0)  f ' (0) x 
x 
x  ... 
x  ... .
2!
3!
n!
(1)
При представлении элементарной функции в виде суммы ряда Тейлора
обычно
поступают
следующим
образом:
вычисляют
последовательные
производные данной функции в точке x  0 , а затем, пользуясь формулами (1),
составляют для нее ряд Тейлора и определяют интервал сходимости полученного
ряда. В этом интервале ряд Тейлора сходится к породившей его функции f (x) ,
если только все значения f (0), f ' (0),..., f (n) (0),... получаются непосредственной
подстановкой значения x  0 в выражения f ( x), f ' ( x),..., f ( n) ( x), ... .
Применяя рассмотренный способ, можно найти разложение в ряд Тейлора
для следующих функций:
ex  1 x 
sin x  x 
x 2 x3
xn
  ... 
 ... (  x  ), (2)
2! 3!
n!
x3 x5
x 2 n1
  ...  (1) n
 ...(  x  ), (3)
3! 5!
(2n  1)!
27
cos x  1 
x2 x4
x 2n
  ...  (1) n
 ... (  x  ), (4)
2! 4!
(2n)!
(1  x) m  1  mx 
m(m  1) 2
m(m  1)...( m  n  1) n
x  ... 
x  ... (1  x  1), (5)
2!
n!
1
 1  x  x 2  ...  x n  ... (1  x  1), (6)
1 x
ln( 1  x)  x 
x 2 x3
xn
  ...  (1) n1
 ... (1  x  1). (7)
2
3
n
помимо указанного способа, можно получить разложения функций в ряд
Тейлора, исходя из известных разложений, например, разложений (2)-(7). При
этом возможно использование следующих действий над степенными рядами
внутри их интервалов сходимости:
1)
два степенных ряда можно почленно складывать и умножать (по
правилу умножения многочленов);
2)
степенной ряд можно почленно умножать на общий множитель;
3)
степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать
любое число раз.
Так как степенной ряд для своей суммы есть ряд Тейлора, то полученное в
результате указанных действий разложение будет искомым.
Пример 1. Разложить в ряд Тейлора функцию f ( x)  e3 x .
Решение. Вычислим значения данной функции и ее последовательных
производных при x  0
f ( x)  e 3 x ,
f ' ( x)  3e 3 x ,
f " ( x)  3 2 e 3 x ,
f (0)  1,
f ' (0)  3,
f "(0)  32 ,
f ' ' ' ( x)  33 e 3 x ,
f ' ' ' (0)  33 ,
. . . . . .
. . . . . .
f ( n ) ( x)  3n e 3 x ,
. . . . . .
f ( n ) (0)  3n ,
. . . . . .
Подставляя полученные значения в общее выражение ряда Тейлора для
28
произвольной функции, получим
3
32
33
3n
e 3 x  1  x  x 2  x 3  ...  x n  ... .
1!
2!
3!
n!
Это и есть разложение в ряд Тейлора для функции f ( x)  e3 x . Полученный
ряд сходится к породившей его функции f ( x)  e3 x при любом значении x.
Заметим, что то же самое разложение можно получить из ряда Тейлора для
функции e x заменой x на 3x .
X. Элементы комбинаторики
Группы, составленные из каких-либо элементов, называются соединениями.
Различают три основных вида соединений: размещения, перестановки и
сочетания.
1.Размещения. Размещениями из п элементов по т в каждом называют такие
соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы
одним), либо порядком их расположения.
m
Число размещений из п элементов по т обозначается символом An и
вычисляется по формуле:
Anm 
n!
(n  m)!
2.Перестановки.
Перестановками
из
п
элементов
называют
такие
соединения из всех п элементов, которые отличаются друг от друга порядком
расположения элементов.
Число перестановок из п элементов обозначается символом Рп и
вычисляется по формуле Рп = п!.
4. Сочетания. Сочетаниями из п элементов по т в каждом называются такие
соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Число
m
сочетаний из п элементов по m обозначается Cn . Оно находится по формуле:
Cnm 
n!
m!(n  m)!
Пример 1. Найти число размещений из 10 элементов по 4.
29
Решение. Согласно формуле
A104 
Anm 
n!
(n  m)!
получим:
10!
10!

 10  9  8  7  5040
(10  4)! 6!
5
5
Пример 2. Решить уравнение An 30 An 2
Решение.
Используя
m
формулу An  n(n  1)(n  2)...[n  (m  1)] ,
перепишем
уравнение в виде:
n(n  1)(n  2)(n  3)(n  4)  30(n  2)(n  3)(n  4)( n  5)
Учитывая, что п  6, разделим обе его части на (п — 2)(n — 3)(n — 4) :
п(п - 1) = 30(п - 5), п2 - 31п+ 150 = 0; n1 = 6, п2 = 25
13
4
0
Пример 3. Вычислить: а) C15 ; б) C6  C5
a)
C1513 
б)
15!
 (15  14  13!) /(13! 2!)  (15  14) /(2  1)  15  7  105
13!(15  13)!
C64  C50 
6!
 1  (6  5  4!) /(4! 2!)  1  (6  5) /(2  1)  1  15  1  16
4!(6  4)!
5.
Элементы теории вероятности
Для предсказания какого-либо события, результата, опыта или наблюдения
необходимо знать комплекс условий, в которых происходит событие, опыт или
наблюдение. Для того, чтобы оценить вероятность события числом, имеющим
точный математический смысл, надо, чтобы опыт мог быть повторен в одних и
тех же условиях достаточно много раз. Пусть опыт произведен п раз,
интересующее нас событие наблюдается в т случаях из п. т/п — частота
осуществления события (0  т  п). Оказывается, что при достаточно большом
числе повторений частота осуществления события т/п близка к некоторому числу
Р, причем близость возрастает с увеличением п.
Событие называется достоверным, если оно непременно должно произойти.
Событие называют невозможным, если оно заведомо не произойдет.
Вероятность достоверного события V равна единице: P(V) = 1.
Вероятность невозможного события Е равна нулю: Р(Е) = 0.
Вероятность любого события А подчинена условиям 0  т  п;
30
(0  Р(А)  1):
События А и В называются несовместимыми, если наступление одного из
них исключает возможность появления другого.
Пример 1. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают
наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?
Решение. Общее число различных исходов п = 1000. Число исходов,
благоприятствующих получению выигрыша, составляет т = 200. Согласно
формуле Р = т/п, получим Р(А) = 200/1000 = 1/5 = 0, 2.
Пример 2. В коробке 5 белых, 10 красных и 15 синих шаров. Какова
вероятность того, что взятый наугад шар будет или белый или красный?
Решение. Число исходов 5 4-10-1-15 = 30; Р(Б) = 5/30 = 1/6; Р(К) = 10/30 =
1/3; Р(Б ИЛИ К) = 1/6 + 1/3 = 1/2.
Два несовместных и единственно возможных события называются
противоположными и обозначаются: А и A ; Р(А) + Р( A ) = 1.
Если А и В независимые события, то Р(А и В) = Р(А) • Р(В)
Пример 3. Найти вероятность совместного появления герба при одном
бросании двух монет.
Решение. А - первая монета, В - вторая монета. Р(А)= 1/2; Р(В) = 1/2; Р(А
и В) = 1/2 • 1/2 = 1/4
Числовые характеристики дискретных случайных величин
Математическое ожидание дискретной случайной величины
Характеристикой
среднего
значения
случайной
величины
служит
математическое ожидание.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют
сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:
M ( X )  x1 p1  x2 p2  ...  xn pn .
Если дискретная случайная величина принимает счетное множество
возможных значений, то

M ( X )   xi p i ,
i 1
31
причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства
сходится абсолютно.
Математическое ожидание обладает следующими свойствами.
Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой
постоянной:
M (C )  C.
Свойство
2.
Постоянный
множитель
можно
выносить
за
знак
математического ожидания:
M (CX )  CM ( X ).
Свойство 3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых
случайных
величин
равно
произведению
математических
ожиданий
сомножителей:
M ( X 1 X 2 ... X n )  M ( X 1 )  M ( X 2 )...M ( X n ).
Свойство 4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно
сумме математических ожиданий слагаемых:
M ( X 1  X 2  ...  X n )  M ( X 1 )  M ( X 2 )  ...  M ( X n ).
Математическое
ожидание
биномиального
распределения
равно
произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном
испытании:
M ( X )  np.
Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины
вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее
квадратическое отклонение.
Дисперсия дискретной случайной величины
Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание
квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D( X )  M  X  M ( X ) .
2
Дисперсию удобно вычислять по формуле
D( X )  M ( X 2 )  M ( X ) .
2
32
Дисперсия обладает следующими свойствами.
Свойство 1. Дисперсия постоянной равна нулю:
D (C )  0.
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии,
предварительно возведя его в квадрат:
D(CX )  C 2 D( X ).
Свойство 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна
сумме дисперсий слагаемых:
D( X 1  X 2  ...  X n )  D( X 1 )  D( X 2 )  ...  D( X n ).
Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа
испытаний на вероятности появления и не появления события в одном
испытании:
D( X )  npq.
Средним квадратическим отклонением случайно величины называют
квадратный корень из дисперсии:
 ( X )  D( X ).
Пример Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х,
заданной законом распределения:
а)
X
4
p
0,2 0,3 0,5
6
10
;
б)
X
p
0,21 0,54 0,61
.
0,1 0,5 0,4
Решение. а) Математическое ожидание равно сумме произведений всех
возможных значений Х на их вероятности:
M ( X )  4  0,2  6  0,3  10  0,5  6.
Пример 1. Найти математическое ожидание случайной величины Z, если
известны математические ожидания X и Y:
а) Z  X  2Y , M ( X )  5, M (Y )  3;
Решение.
а)
Используя
б) Z  3 X  4Y , M ( X )  2, M (Y )  6.
свойства
математического
ожидания
(математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий
33
слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак математического
ожидания), получим
M ( Z )  M ( X  2Y )  M ( X )  M (2Y )  M ( X )  2M (Y )  5  2  3  11
Пример 2. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение
дискретной случайной величины X , заданной законом распределения:
X
5
p
0,4 0,3 0,1 0,2
2
3
4
Решение. Дисперсию можно вычислить исходя из ее определения, однако
мы воспользуемся формулой
D( X )  M ( X 2 )  M ( X ) ,
2
которая быстрее ведет к цели.
Найдем математическое ожидание X :
M ( X )  5  0,4  2  0,3  3  0,1  4  0,2  0,3.
Напишем закон распределения X 2 :
X2
p
25
4
9
16
0,4 0,3 0,1 0,2
Найдем математическое ожидание X 2 :
M ( X 2 )  25  0,4  4  0,3  9  0,1  16  0,2  15,3.
Найдем искомую дисперсию:
D( X )  M ( X 2 )  M ( X )  15,3  (0,3) 2  15,21.
2
Найдем искомое среднее квадратическое отклонение:
 ( X )  D( X )  15,21  3,9 .
XI.Приближенное вычисление определенных интегралов
Формулы прямоугольников:
b
 ydx 
a
b
 ydx 
a
ba
( y0  y1  y2  ...  yn1 );
n
ba
( y1  y2  ...  yn1 ).
n
34
Формула трапеций:
b
 ydx 
a
b  a y0  y n
(
 y1  y2  ...  yn1 ).
n
2
Формула параболических трапеций (формула Симпсона):
b
 ydx 
a
ba
y0  y2n  4( y1  y3  ...  y2n1 )  2( y2  y4  ...  y2n2 ).
6n
1
Пример 1. Вычислить по формуле Симпсона
dx
0 1  x 2 , приняв n  2.
Имеем
1
dx
 1 x
2

0
1 0
y0  y4  4( y1  y 3 )  2 y2 .
62
Так как y  f ( x)  1 /(1  x 2 ), y0  f (0)  1, y1  f (1 / 4)16 / 17, y 2  f (1 / 2)  4 / 5,
y3  f (3 / 4)  16 / 25, y4  f (1)  1/ 2, то
1
dx
 1 x
2
0

1  1  16 16 
4
1   4    2    0,78539.

12  2  17 25 
5
Точное значение интеграла есть  / 4  0,78540 ; относительная погрешность
  0,00127% .
35
Формулы приближенного вычисления интегралов
ПОСТАНОВКА ВОПРОСА. Пусть требуется вычислить определенный
интеграл
b
 f ( x)dx,
где f (x) данная функция, непрерывная на отрезке a; b . Если
a
функция f (x) задана аналитически и мы можем найти ее первообразную F (x) (т.е.
можем найти неопределенный интеграл функции
f (x)),
то вычисление
определенного интеграла легко выполняется по формуле Ньютона-Лейбница:
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a).
a
Например, пусть требуется вычислить интеграл
2
x
2
dx. Так как мы можем
1
найти неопределенный интеграл, именно
2
 x dx 
x3
 C,
3
то для вычисления
определенного интеграла возьмем какую-либо из первообразных функций, проще
x3
всего
и применим формулу.
3
2
x3
x
dx

1
3
2
2

2 3 13 7
  .
3 3 3
(Здесь мы пользуемся общепринятой записью «двойной подстановки»:
символ F ( x) a или F ( x)ba означает F (b)  F (a). ) Приведем еще несколько примеров.
b
7
dx
1 1
1
 1 1 
2 (3x  1) 2   3  3x  1 2   60  15  20 ,
7


1
1
4  1
cos
xdx

x

sin
2
x
0
 2
  8  4 ,
4
0
4
2
dx
1
x

0 4  x 2  2 arc tg 2 0  8 .
2
2
Если же первообразная функция F (x) не может быть найдена или если
функция
y  f (x)
задана графически или таблицей, то для вычисления
определенного интеграла применяют приближенные формулы.
Идея приближенного вычисления интеграла заключается в следующем.
36
Заменяем функцию y  f (x) новой, достаточно близкой к ней функцией y  f1 ( x) ,
такой, что интеграл от этой функции можно вычислить сравнительно просто.
Искомый интеграл
b
 f ( x)dx
заменяем интегралом
b
 f ( x)dx ,
1
и это будет
a
a
приближенное значение искомого интеграла.
При выводе формул приближенного вычисления определенного интеграла
очень
удобно
исходить
из
геометрической
иллюстрации
определенного
интеграла. Если f ( x)  0 на отрезке a; b , то определенный интеграл численного
равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной кривой
y  f (x),
отрезком a; b оси Ox ,
y
y  f (x)
0
а
b
x
рис. 46
b
прямыми x  a и x  b (рис. 46), т.е. S   f ( x)dx. Поэтому задача о приближении
a
определенного интеграла равносильна задаче о приближенном вычислении
площади криволинейной трапеции. Вместо вычисления площади криволинейной
трапеции, ограниченной кривой
y  f (x) ,
мы вычисляем площадь другой
криволинейной трапеции, ограниченной новой кривой y  f1 ( x). В зависимости от
выбора новой кривой мы получим ту или иную формулу приближенного
вычисления интеграла. Формулы приближенного вычисления интеграла называют
также формулами механических квадратур.
37
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ДЛЯ ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИКА
1-10. Вычислить пределы:
1.
2.
3.
4.
lim ( x 2  9) /( x 2  4 x  3) lim (5x  x 3  1) /( 4 x  2 x 3 )
x3
x
lim ( x  16) /( x  4) lim (3x  6 x 2 ) /( x 2  1)
x 16
x 
x 0
x
lim ( x 3  27) /( x  3) lim 4 x /( 2 x 2  x)
x3
x
x 0
lim x / Sin 3 x
lim ( x 2  6 x  5) /( x 2  25) lim (6 x 3  1) /( 2 x 3  x  1)
x5
lim Sinx / 2 Sin 2 x
lim (1  Cos2 x) / 3x 2
x 0
lim (1  Cosx) / x 2
x0
5.
lim ( x 2  4 x  5) /( x  1) lim (3x  5) /(8x  1)
lim Sin 5 x / Sinx
6.
lim ( x  3  2) /( x  1) lim (3x 2  x) / x( x 2  1)
lim tg 2 x / 3 x
7.
lim (3x  1) /( x  5) lim ( x 2  4 x  3) /( x 2  1)
lim tg
lim ( x  5) /( x 3  125) lim (2  3x 3 ) /( x 3  x  1)
lim x 2 /(1  Cosx)
8.
9.
x1
x
x 1
x
x 
x 1
x5
x
x 0
x 0
x 0
x
/ 2x
2
x 0
lim ( x 4  2 x 5 ) /(1  x 5 ) lim ( x 2  6 x  8) /( x 2  16)
x
x4
( x  25) /( x  5) lim (3x  2 x 3  1) /( 4 x 3  8)
10. xlim
25
x 
lim Sin 2 xSinx / 3x 2
x0
11. А(–2; 3), В(2; –3). Найти длину отрезка АС, если АС/СВ = 1/2.
12.
А(8;4),В(–2;6),С(4;0) — вершины треугольника ABC. Найти угол А..
13.
Даны две вершины равностороннего треугольника (0; 0) и (2 3;0) .
Найти координаты третьей вершины треугольника и вычислить длины его сторон.
14.
Серединой отрезка является точка (–2; 4), один из его концов точка
(4; 1). Найти координаты второго конца отрезка.
15.
Показать, что треугольник с вершинами А(–3; –2), В(1;4), С(–5; 0)
равнобедренный.
16.
Даны координаты точек А(3; –2) и В(6;4). Точки С и D делят отрезок
АВ на три равные части. Найти координаты точек С и D.
17.
Дан параллелограмм ABCD с вершинами А(–3; –2), В(3; –3), С(5; 0).
Найти координаты вершины D.
18.
Найти острый угол между прямой 2х – 3y + 6 = 0 и прямой,
проходящей через точки (4;–5) и (–3;2).
38
19.
Найти уравнение прямой, проходящей через точки пересечения прямых
2х – у – 1 = 0 и x – у + 7 = 0; х – 7у – 1 = 0 и 2х – 5у +1 = 0.
20.
Дан треугольник ABC с вершинами А(8; 4), В(–2; 6), С(4; 0). Написать
уравнение медианы BD.
21-30. Найти производные функций:
a) f ( x) 
x2  x x  1
 Cosx  2;
б ) f '( x)  eSinx  ln Cos 2 x
x3
21.
f ' (0)
22.
2 3
5x2  x
2
a) f '( x)  x  2Sinx 
;
f ' (1)
б) f ( x)  xex  e x
3
x2
23.
3
3
f ' (0) а) f ( x) x Sinx  2 x  2 x  Cos(  ); б ) f ( x)  x 1  x 2
6
x3
24.
2
f ' (  ) а) f ( x) 3x  x  6  Cosx  2; б ) f ( x)  ln tgx
4
x2

1
б ) f ( x)  ln Sinx  Sin 2 x
2
25.
3
f ' ( 4 ) a) f ( x)  ( x  1)Cosx  log 2 3;
26.
5 x 4  x 4 Cosx
a ) f ( x) 
 x  ln 3;
f ' (0)
б ) f ( x)  x 1  x 2
x4
27.

1
1
x
a ) f ( x)  x 2 Cosx  3; б ) f ( x)  Cos 2
f' ( 2 )
2
2
2
28.
f ' (1)
a ) f ( x) 
a ) f ( x) 
2 x 2 Sinx  x5
 x5 ;
3
б ) f ( x)  ln(5  x 2 )
x
x 2 x  xSinx
 Sin

; б ) f ( x)  ln Cosx  1 x 3
4
3
29.
f ' (0)
30.
f ' (-1) f ( x)  3  Sinx ; б ) f ( x)  1 (4  5 x 3 ) 6
3  Sinx
3
x
31-40 Исследуйте следующие функции и постройте их графики:
31. y=(x+4)2 (x-5)
32. y=x3-4x2-3x+6
33.
у = х3 + 6x2 + 9х + 8
34. у - 2х3 - Зх2 - 12х - 1
35. у= -х3 + х
36. у = -х2+ 2x4-15
39
37. у = 1/(х2 + 1)
38. у = х4 - 5х2 + 4
39. у = х/пх
40. у = х - x
41-50. Найти интегралы:
2
2  Cos 2 x
 Cos 2 x dx;
41. а)
б)
 (1  x  x
2
)dx
0
 /2
42. а)
 (2 x
 Sinx) dx;
3
б)
Cosx
dx
3
/ 4 Sin x


1
43. а)
 ( x  1)
2
dx;
б)
6 x2
0 1  2 x3 dx
 /2
44. а)
45. а)
 (2

x
 Sinx  3)dx;
x x
3
x
2
dx;
б)
47. а)
3x
1 x
9
б)
2
dx
1
1
(
x
0
 2)dx
4
x3
1  3x
SinxCosxdx
/2
2
e2 x  e x Cosx
dx;

ex
46. а)

б)


4
dx;
б)
3x12  x 2 Sinx
dx;

x2
48. а)
x
0
2
б)
x 2  9dx
2
x3 1
xdx
0
1
49. а)
e
Cosx
Sinxdx;
б)
3e x
0 e x  2 dx
4
50. а)
x
 (2e  Sinx)dx;
б)

x x 2  7dx
2 2
51-60 Решить системы методом Гаусса:
5x + y-3z = -2
51.
4z + 3y + 2z = 16
5x-3y + 4z =11
52.
2x-y-2z = -6
2х-3y + z = 17
3x-2y+z =2
3x-2y + z =
5х-3y + 4z = 6
10
40
53.
x + 5y-2z = -15
2x-y-z = 0
54
2х-2у-z =3
x-2y + z = 0
5x + 3y + 3z = 48
55
2х + 6y - 3z=18
x-2y+3z =6
2x + 3y - 4z = 20
56.
8х-3y + 2z = 21
57.

4 x  5( y  1)  1

1
5
 y  z  1
2
12
1
3
5
 6 x  3 y  2 z  1
7 x  3 y  5 z  32

59. 5 x  2 y  z  11
2 x  y  3 z  14

3x-2y-5z=6
x  2 y  z  2

3 x  6 y  3 z  6
5 x  10 y  5 z  10

58.
60.
2 x  y  2 z  1

3x  y  3z  1
4 x  y  5 z  3

61. Какова вероятность правильно угадать все 6 чисел на карточке
спортлото, если ив 49 чисел можно выбрать 6 ?
62. Среди 100 электроламп 5 испорченных. Какова вероятность того, что
две взятые наугад электролампы испорчены?
63. В коробке лежат 15 белых шаров, 10 красных и 15 синих. Какова
вероятность появления красного шара при вынимании одного шара из коробки?
64. В группе 30 спортсменов: 10 бегунов, 12 лыжников и 8 прыгунов.
Вероятность выполнения нормы на разряд у бегуна — 0, 9; у лыжника — 0, 8; у
прыгуна — 0, 7. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наугад,
выполнит норму.
65. Найти вероятность совместного появления герба при одном бросании
трех монет.
66. Имеется партия из 100, деталей из которых возможны 3% бракованных.
Какова вероятность того, что взятая наугад деталь бракованная?
67. Два спортсмена-стрелка стреляют в мишень. Вероятность попадания
первого — 0, 8; а второго — 0, 9. Какова вероятность того, что оба спортсмена
попадут в мишень?
41
68. Среди 200 деталей 2, 5% бракованных. Какова вероятность того, что две
наугад взятые детали бракованные?
69. Четырехтомное собрание сочинений расположено на полке в случайном
порядке. Какова вероятность того, что они стоят по порядку номеров?
70. В группе 80% студентов успевают на 4 и 5, а 20% имеют тройки. Найти
вероятность того, что среди пяти выбранных наугад студентов окажутся трое,
успевающие без троек, и двое, имеющие тройки.
42
.Рецензия
На методическую разработку:»Методические указания и контрольные
задания» для студентов-заочников образовательных учреждений среднего
профессионального образования.
Методическая разработка имеет своей целью показать значимость математики
для познания ряда наук.
На конкретных примерах показаны применения основных разделов
математики.
Преподаватель формирует навыки практического применения математики к
решению задач, приближает выбор избранной специальности.
Методическая разработка рекомендуется для преподавателей математики в
качестве пособия к решению задач и для студентов заочного отделения.
Рецензенты:
Лобова О.В.,
Косенкова Л.В..
43
Литература
1. Александр Луканкин: Математика: учебник для учащихся учреждений
среднего профессионального образования
Издательство: ГЭОТАР-Медиа, 2013 г.
2. Математика. Задачник. Учебное пособие для
образовательных учреждений начального и среднего
профессионального образования.
Автор: Башмаков Марк Иванович
Издательство: Академия (Academia) дата выпуска: 2013 г.
издание: 2-е
3. Элементы высшей математики : учебник для студентов образоват.
учреждений СПО, обучающихся по группе специальностей 2200 "Информатика
и вычисл. техника" / В. П. Григорьев, Ю. А. Дубинский. - 9-е изд., стер. - Москва :
Академия, 2013.
4. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник для среднего
профессионального образования / М. С. Спирина, П. А.Спирин. - 5-е изд., стер. Москва : Академия, 2013.
44