3. Предел функции

ОГЛАВЛЕНИЕ
I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
1. Основные числовые множества. Абсолютная величина
действительного числа. Линейные множества ............................................
Примеры решения типовых задач
Задания для самостоятельной работы
2. Функция. Основные элементарные функции
Примеры решения типовых задач
Задания для самостоятельной работы
3. Предел функции
3.1. Предел функции в точке
3.2. Бесконечные пределы функций
3.3. Пределы функций на бесконечности
3.4. Свойства функций, имеющих конечные пределы
3.5. Замечательные пределы
3.6. Односторонние пределы
Примеры решения типовых задач
Задания для самостоятельной работы
4. Бесконечно малые функции
Примеры решения типовых задач
Задания для самостоятельной работы
5. Непрерывность функции
5.1. Определение непрерывной функции в точке
5.2. Односторонняя непрерывность
5.3. Точки разрыва функции
5.4. Свойства непрерывных функций
5.5. Понятие равномерной непрерывности
Примеры решения типовых задач
Задания для самостоятельной работы
I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
1. Основные числовые множества.
Абсолютная величина действительного числа.
Линейные множества
Основные числовые множества:
1. Множество натуральных чисел  1;2;3;...; n;... ;
2. Множество целых чисел  0; 1; 2; 3;...;  n;... ;
3. Множество рациональных чисел
p

  p  , q   , каждое
q

p
отождествляется с бесконечной периодической дробью;
q
4.
Бесконечные
непериодические
дроби
называются
иррациональными числами I.
5. Множество действительных чисел определяется равенством

I.
6. Множество комплексных чисел  a  ib a, b  , i 2  1 .
число
Множество действительных чисел , дополненное элементами 
и  , называется расширенным множеством действительных чисел и
обозначается ; таким образом, 
;    ;  .
Правило обращения периодической десятичной дроби в
обыкновенную:
1. Для обращения простой периодической дроби в обыкновенную
нужно: в числителе поставить период десятичной дроби, а в знаменателе –
число, состоящее из девяток, взятых столько раз, сколько знаков в периоде
десятичной дроби.
3 1
45 5
Пример. 0,333...  0,(3)   ; 0,4545...  0,(45) 
 .
9 3
99 11
2. Для обращения смешанной периодической дроби в обыкновенную
нужно: в числителе взять число, стоящее в десятичной дроби до второго
периода, минус число, стоящее в десятичной дроби до первого периода. В
знаменателе написать столько девяток, сколько цифр в периоде, и
приписать к ним столько нулей, сколько цифр в исходной десятичной
дроби от запятой до первого периода.
453  45 408 34
Пример. 0,45333...  0,45(3) 

 .
900
900 75
Определение. Множество, каждый элемент которого является
действительным числом, называют линейным множеством.
2
Определение.  -окрестностью точки a 
 a   ; a    . Обозначение: S (a, ) .
a 
называют интервал
a 
x
Определение. Проколотой  -окрестностью точки a 
a
называют
линейное множество вида  a   ; a   a; a    . Обозначение: S (a,  )
Множество X 
называется ограниченным сверху (снизу), если
существует число c  такое, что для любого x  X выполнено условие:
x  c ( x  c ). При этом число c называют верхней (нижней) границей
множества X .
Если множество X является одновременно ограниченным сверху и
снизу, то оно называется ограниченным.
Определение. Наименьшая из верхних границ непустого линейного
множества X называется точной верхней границей множества X .
Обозначение: sup X . Читается как «супремум множества X ».
Определение. Наибольшая из нижних границ непустого линейного
множества X называется точной нижней границей множества X .
Обозначение: inf X . Читается как «инфимум множества X ».
Определение. Число M называют наибольшим элементом
непустого линейного множества X , если выполняются два условия:
1. x  X x  M ;
2. M  X .
Обозначение: M  max X .
Пример 4. Для X  0;5 5,5 max X  5,5 . Для X   0;5 max X
не существует.
Определение. Число m называют наименьшим элементом непустого
линейного множества X , если выполняются два условия:
1. x  X x  m ;
2. m  X .
Обозначение: m  min X .
Пример 5. Для X  0;5 5,5 min X  0 .
Примеры решения типовых задач
Пример 1. Доказать, что число 3  2 иррационально.
Доказательство. Предположим противное, т.е. допустим, что число
1
также является
3  2 рационально. Тогда число 3  2 
3 2
рациональным как частное двух рациональных чисел. Поэтому число
3

 

1
2   3  2  3  2  также является рациональным, что

2
противоречит иррациональности числа 2 . Значит, наше предположение
неверно. Число 3  2 иррационально.
Пример 2. Решить уравнение x  5  x  3  8 .
Решение. Чтобы решить уравнение, содержащее переменную под
знаком модуля, надо освободиться от знака модуля, используя его
определение:
 x, если x  0,
x 
 x, если x  0.
1. Находим критические точки, т.е. значения переменной, при
которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль:
x  5  0  x  5 ;
x  3  0  x  3.
2. Разбиваем область допустимых значений переменной на
промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком
модуля, сохраняют знак. На каждом из найденных промежутков решаем
уравнение без знака модуля:
а) x  5 , ( x  5)  ( x  3)  8 ,  x  5  x  3  8 , 8  8 – ложно. На
рассматриваемом промежутке решений нет;
б) 5  x  3 , x  5  ( x  3)  8 , x  5  x  3  8 , 2 x  6 , x  3 не
входит в рассматриваемый промежуток;
в) x  3 , x  5  ( x  3)  8 , x  5  x  3  8 , 8  8 – верно. Таким
образом, равенство x  5  x  3  8 выполняется при всех x из
рассматриваемого промежутка.
Итак, x  3;   .
Пример 3. Решить неравенство x 2  3x  2  2 x  x 2 .
Решение. Неравенство равносильно следующей совокупности систем:
  x 2  3 x  2  0,
 2
2
  x  3 x  2  2 x  x ;
 2
  x  3 x  2  0,
  x 2  3x  2  2 x  x 2 .

  
Решая которую, находим последовательно:
4
 ( x  1)( x  2)  0,
  x  1; x  2,


1



 x   x  2   0;   1  x  2;

 
2
 2

 1  x  2,
 ( x  1)( x  2)  0,
 

 ( x  2)  0;
  x  2;

1
Откуда
 x  1, x  2 , 1  x  2 . Объединяя найденные решения,
2
1 
1 
получим  ;2  . Итак, x   ;2 .
2 
2 
Задания для самостоятельной работы
1. Представить обыкновенные дроби в виде десятичных:
9
11
2
1
а) ;
б)
;
в) ;
г)
;
д)
40
3
16
99
5
12
5
37
е) 1 ;
ж) 2 ;
з)
;
и) 1 ;
к)
12
55
44
99
41
;
33
144
.
13
2. Представить десятичные дроби в виде обыкновенных:
г)
а) 2,4 ;
б) 1,6875 ;
в) 13,666 ;
д) 3,(123) ;
11,0101... ;
ж)
з)
и)
к)
е) 8,41(6) ;
19,3(108) ;
20,(445) .
20,44343... ;
1,41919... ;
3. Доказать, что не существует рационального числа такого, что
r  3.
2
4. Доказать, что не существует рационального числа такого, что
r  5.
2
5. Доказать, что не существует рационального числа такого, что
r  7.
2
6. Доказать, что сумма рационального числа и иррационального есть
число иррациональное.
7. Указать два иррациональных числа, сумма которых рациональна.
8. Указать два иррациональных числа, разность которых рациональна.
5
9. Указать два иррациональных числа, произведение которых
рационально.
11. Решить уравнения:
а) x  3  2 x  1  8 ;
б) x  3  2 x  1  4 ;
в) x 2  9  x  2  5 ;
г) x 2  1  x  1  0 ;
д) x  2  3 x  3 ;
е) 2 x  1  x  3 ;
ж) x 2  x  1  2 x  1 ;
з) x 2  x  3   x  1 ;
и) ( x  1) 2  2 x  1  1  0 ;
к) x 2  2 x  3 x  1  3  0 .
12. Решить неравенства:
x2  5x  6
а)
 0;
x 7
x 2  7 x  10
 0;
б) 2
x  6x  9
x 2  3x  2
1;
в) 2
x  3x  2
x2  5x  4
1;
г)
x2  1
x2  6x  7
д)
 0;
x4
е) 3x  x  3  5  1;
x 2  3x  1
 3;
ж) 2
x  x 1
x2  5x  4
1;
з)
x2  4
x3
 2;
и) 2
x  5x  6
x 2  x  12
 2x .
к)
x3
13. Ответьте на следующие вопросы о множестве X :
1. Является ли оно ограниченным сверху?
2. Является ли оно ограниченным снизу?
3. Является ли оно ограниченным?
4. Существует ли точная верхняя граница для данного множества?
Если да, то найдите ее.
5. Существует ли точная нижняя граница для данного множества?
Если да, то найдите ее.
а) X   2;3 ;
б) X   1;4 ;
 n2

n  ;
в) X   2
n 1

д) X   4;5 ;
 n4

n  ;
г) X   4
 2n  1

е) X   ;3 ;
6
 2n 2

n ;
ж) X   2
 3n  1

и) X  1;   ;
 n

з) X  
n ;
n 1

к) X   1;2  .
2. Функция. Основные элементарные функции
Пусть даны непустые линейные множества X , Y и каждому
элементу x  X по некоторому правилу f ставится в соответствие одинединственный элемент y  Y , обозначаемый f ( x) . В этом случае говорят,
что задана функция, или отображение f из множества X в множество Y ,
и пишут f : X  Y . При этом множество X называется областью
определения функции f и обозначается через D( f ) . Множество всех
элементов y  f ( x) называется областью значений функции f и
обозначается через E ( f ) .
Функция y  f ( x) называется четной, если для всех x  D( f ) верно
f ( x)  f ( x) , т.е. ее график симметричен относительно оси Oy .
Функция y  f ( x) называется нечетной, если для всех x  D( f )
верно f ( x)   f ( x) , т.е. ее график симметричен относительно начала
координат.
Если график не меняется при сдвиге на T единиц ( T  0 ) вдоль оси
Ox , т.е. f ( x  T )  f ( x) для всех x  D( f ) , то функция y  f ( x)
называется периодической. Наименьшее такое число T называется
периодом функции. Если функция y  f ( x) периодическая с периодом T ,
T
то функция вида y  af (kx  b) будет периодической с периодом .
k
Степенная функция y  x a (где a  R ); показательная функция y  a x
( a  0 , a  1); логарифмическая функция y  log a x ( a  0 , a  1);
тригонометрические функции y  sin x , y  cos x , y  tg x , y  ctg x ;
y  arcsin x ,
y  arccos x ,
обратные тригонометрические функции
называются
основными
элементарными
y  arctg x ,
y  arcctg x
функциями.
Элементарной называется всякая функция, которая может быть
получена из основных элементарных функций с помощью применения
конечного числа арифметических операций и операции суперпозиции.
Например, элементарной является функция y  2tg x  arcsin( x3 )  log5 x.
В качестве примера неэлементарной функции приведем следующую
функцию:
7
 x, если x  0,
y x
 2 , если x  0.
Графиком функции y  f ( x) называется множество точек плоскости
с координатами  x; f ( x)  , где x  D( f ) .
Преобразование графиков функций
Преобразование, которое следует провести
Функция
с графиком y  f ( x) на плоскости Oxy
f ( x)  A, A  0
Сдвиг вверх по оси Oy графика функции y  f ( x)
на A единиц, если A  0 , и сдвиг вниз на A
единиц, если A  0
f ( x  a), a  0
Сдвиг вправо по оси Ox графика функции
y  f ( x) на a единиц, если a  0 , и сдвиг влево на
a единиц, если a  0
kf ( x), k  0 , k  1
Растяжение вдоль оси Oy относительно оси Ox в
k раз, если k  1, сжатие вдоль оси Oy в 1 k раз,
если 0  k  1
Сжатие вдоль оси Ox относительно оси Oy в k
f (kx), k  0 , k  1
раз, если k  1, растяжение в 1 k раз, если 0  k  1
 f ( x)
Симметричное отображение графика относительно
оси Ox
Часть графика, расположенная ниже оси Ox ,
f ( x)
симметрично отражается относительно этой оси,
остальная часть остается без изменения
f ( x)
Симметричное отображение графика относительно
оси Oy
y  f ( x) ,
Стереть часть графика функции
f (x)
лежащую слева от оси Oy ; оставить часть графика
y  f ( x) , лежащую справа от оси Oy и на ней;
часть графика функции y  f ( x) , расположенную в
x  0,
области
симметрично
отобразить
относительно оси Oy в область x  0
Примеры решения типовых задач
Пример
1.
Найти
y  log 1  x 2  6 x  9   x 2  2 x  8 .
область
2
8
определения
функции
Решение. Область определения заданной функции состоит из тех
значений x , при которых оба слагаемых принимают действительные
значения. Для этого должны выполняться два условия:
 x 2  6 x  9  0,
 2
 x  2 x  8  0.
Решим данную систему:
 x  32  0,
 x  3,
.


 x  2  x  4   0;  x  2 или x  4.
Итак, D( y)   ; 3  3; 2  4;   .
Пример 2. Найти множество значений функций:
а) f ( x)  x 2  4 x  1 ; б) f ( x)  3  5cos x .
Решение. а) Графиком функции f ( x)  x 2  4 x  1 является парабола,
ветви которой направлены вверх. Найдем координаты верщины параболы
b
4
2
x0  
   2 , y0  f ( x0 )   2   4   2   1  3 . Поэтому множество
2a
2
значений функции E ( f )   3;   .
б) Так как cos x  1 , то 1  cos x  1 . А далее последовательно
получим:
или
5  5cos x  5 ,
5  5cos x  5 ,
5  5cos x  5 ,
5  3  3  5cos x  5  3 , или 2  3  5cos x  8 . Окончательно получим:
E ( f )   2;8 .
Пример 3. Выяснить, является ли функция четной или нечетной:
x4  x2  1
1 x
а) f ( x)  ln
; б) f ( x) 
.
cos  x  2 
1 x
Решение. а) Найдем
1
1  (  x)
1 x
1 x
1 x 
f ( x)  ln
 ln
 ln 
  f ( x) .
   ln
1  (  x)
1 x
1 x
1 x 
Так как f ( x)   f ( x) , то по определению данная функция является
нечетной.
б) Найдем
4
2
 x     x   1 x4  x2  1
x4  x2  1
x4  x2  1

f ( x) 



.
cos    x   2 
cos  2  x  cos  ( x  2)  cos( x  2)
Так как f ( x)   f ( x) и f ( x)  f ( x) , то по определению данная
функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего
вида).
Пример 4. Определить, является ли данная функция периодической,
и найти ее наименьший положительный период, если он существует.
9
а) f ( x)  cos6 x ; б) f ( x)  sin 2 2 x .
Решение. а) Наименьшим положительным периодом функции
является число
f ( x)  cos x
2 . Покажем, что наименьший
2 
положительный период cos6x – число
 .
6
3



Действительно, cos6  x    cos  6 x  2   cos6 x , т.е. T 
–
3
3

период данной функции. С другой стороны, если T1  0 – какой-либо
другой период этой функции, то cos6  x  T1   cos6 x для всех x , т.е.
cos  6 x  6T1   cos6 x , x . Отсюда следует, что 6T1 – период функции
cost , где t  6 x , и, значит, 6T1  2 , т.е. T1 
Таким образом, T 
функции f ( x)  cos6 x .

3

3
.
– наименьший положительный период
1  cos 4 x
, то период данной функции
2
совпадает с периодом функции cos 4x . Рассуждая как в пункте а), легко
показать, что наименьший положительный период функции cos 4x равен
2 
 . Таким образом, наименьший положительный период функции
4
2
б) Поскольку
f ( x)  sin 2 2 x равен
sin 2 2 x 

.
2
Пример 5. Построить графики данных функций, исходя из основных
элементарных функций:

1

а) y  3sin  x   ; б) y   3|x2| .
4
6

Решение. а) В качестве исходного возьмем график функции y  sin x .


Построение графика функции y  3sin  x   разобьем на три этапа:
4

1. y  sin x – известная элементарная функция;


2. y  sin  x   – сдвигаем вправо по оси Ox график функции
4

y  sin x на

единиц;
4


3. y  3sin  x   – растягиваем вдоль оси Oy относительно оси Ox
4

в 3 раза.
10
На рис. 1 изображены последовательные
приводящие к построению искомого графика.
преобразования,
y
3
1
x

4
0

2

y  sin x


y  sin  x  
4



y  3sin  x  
4

Рис. 1
б)
В качестве исходного возьмем график функции
1
Построение графика функции y   3|x2| разобьем на 4 этапа:
6
x
1) y  3 – известная элементарная функция;
y  3x .
x
2) y  3 – стираем часть графика функции y  3x , лежащую слева от
оси Oy ; оставляем часть графика y  3x , лежащую справа от оси Oy ; часть
графика функции y  3x ,
y
расположенную в области
x  0,
симметрично
отобразить относительно
оси Oy в область x  0 ;
y  3x
y 3
x
y  3 x 2
1
y   3|x2|
6
x
.
Рис. 2
11
y  3 x 2
3)
–
сдвигаем вправо по оси
Ox
график
функции
x
y  3 на 2 единицы;
1
4)
–
y   3|x2|
6
сжатие вдоль оси Oy в 6
раз.
На
рис.
2
изображены последовательные преобразования, приводящие к построению
искомого графика.
Задания для самостоятельной работы
14. Найти область определения функции. Найти max D( f ) ,
min D( f ) , sup D( f ) и inf D( f ) :
а)
x 1
1  2x
б) y  2
 3 2x  1 ;
2
y  arccos
 lg( x  3x) ;
x  5x  6
3
в)
x 5
x6
г) y  lg 2
 3 x5 ;
5 2
y  lg 2
 x  5x  6 ;
x  10 x  24
x  4x  3
д) y  arcsin(1  x)  lg(lg x) ;
е) y  sin x  16  x 2 ;
x 3
x
ж) y  arcsin
з) y  lg( x  1)  arcsin ;
 lg(4  x) ;
2
2
x 1
1
и) y  lg
 9  x2 ;
 lg(2 x  3) .
к) y  x  3
x2
x2
15. Найти множество значений функции:
1
а) f ( x) 
;
б)
2  cos3x
2
в) f ( x)  21 x ;
г)
д) f ( x)  log0,5 ( x  2) ;
е)
ж) f ( x)  5sin x  2cos x ;
з)
и) f ( x)  arcsin
x2  1
;
2x
3x
;
1  x2
f ( x)  2  x  x 2 ;
f ( x)  x 2  8x  20 ;
f ( x)   arctg x   ;
f ( x) 
к) f ( x)  log (arccos x) .
16. Выяснить, является ли функция четной или нечетной:
2
б) y  2 x  3 3 x ;
а) y  16 x 2  x  1 ;
г) y  ln  cos x  sin x  ;
в) y  cos 2  x  1  x 2 ;
е) y   2 x  3 e2 x1 ;
1
з) y 
;
sin x  cos x
x 2 sin 3 x
к) y  6
.
x 1
д) y  esin xcos x ;
x
1;
x2
x3  4 x
и) y  2
;
3x  4
ж) y  ln
12
17. Определить, является ли данная функция периодической, и найти
ее наименьший положительный период, если он существует:
x
x
а) f ( x)  sin  tg x ;
б) f ( x)  tg ;
2
4
г) f ( x)  sin 2 x  cos3x ;
в) f ( x)  tg  2 x  1 ;
д) f ( x)  sin3x  cos3x ;
е) f ( x)  sin 4 x  cos4 x ;
2
3x
ж) f ( x)  3tg ;
4
x
x

з) f ( x)   sin  cos  ;
2
2

и) f ( x)  cos2 4 x ;
к) f ( x)  1  cos

2
x.
18. Построить графики данных функций:
1 

1 
 
а) f ( x)  sin  3x   ;
б) f ( x)  tg  2 x   ;
2 
6
2 
3
 x 

1
в) f ( x)  2sin    ;
г) f ( x)  3cos  x   ;
4
2
 3 6
д) f ( x)  ln  2 x  5  3 ;
е) f ( x)  log 2  3  x  ;
ж) f ( x)  x  4 x  8 ;
1
 2;
з) f ( x)  3   
4
к) f ( x)  3  2 3 x2  2 .
3 x2
2
и) f ( x)  ctg  2 x    ;
3. Предел функции
3.1. Предел функции в точке
Определение. Точка a называется предельной точкой области
определения D( f ) , если в любой ее окрестности содержатся точки из
области определения, отличные от нее самой.
Пусть точка a является предельной точкой области определения,
a .
Определение. Число A называется пределом функции f в точке
a
(или «при x , стремящемся к a »), если для любого числа   0
существует число   0 такое, что неравенство
| f ( x)  A | 
выполняется для всех x , для которых 0 | x  a |  .
Комментарий к определению. Любую близость f ( x) к A можно
достичь, приближая x к a . Сложность формулировки определения
13
вызвана необходимостью точно указать смысл выражений «значения
аргумента x , близкие к a » и «значения функции f ( x) близкие к A ».
Обозначение: lim f ( x)  A или f ( x)  A .
xa
xa
Пример 1. Если y  x , то lim x  1 , lim x 2  0
2
2
x1
Пример 2. Если y 
x0
x
x
x
x 1, x  0;
, то lim  1 , lim  1 , lim

x 2 x
x 2 x
x 0 x
x  1, x  0
не существует.
x
x
x
. lim  1 , lim  1 .
x0 x
x x 2 x
Запись определения предела с
математической логики выглядит так:
Пример 3. y 
использованием
символов
df
lim f ( x)  A   0   0 x  D( f ) 0 | x  a |  | f ( x)  A |  
xa
.
Определение предела можно переписать и в другом виде:
df
lim f ( x)  A   0   0 x  D( f )  x  a, a    x  a   
xa
 A    f ( x)  A    .
Это определение также можно записать в окрестностной форме:
df
o
lim f ( x)  A   0   0 x  D( f )  x  S (a,  )  f ( x)  S ( A,  )  .
xa


3.2. Бесконечные пределы функций
Определение. Говорят, что предел функции f ( x) равен  при
x  a , если для любого K  найдется   0 такое, что из неравенства
0 | x  a |   следует неравенство f ( x)  K .
Обозначение: lim f ( x)   .
x a
Определение. Говорят, что предел функции f ( x) равен  при
x  a , если для любого K  найдется   0 такое, что из неравенства
0 | x  a |   следует неравенство f ( x)  K .
Обозначение: lim f ( x)   .
x a
Замечание.
Если
lim f ( x)   ,
x a
lim f ( x)   .
xa
14
то
используют
обозначение
3.3. Пределы функций на бесконечности
Определение. Число A называют пределом функции f ( x) при
x   , если для любого   0 будет существовать K такое, что из
неравенства x  K следует неравенство | f ( x)  A |   .
Обозначение: lim f ( x)  A .
x  
Определение. Число A называют пределом функции f ( x) при
x  , если для любого   0 будет существовать K такое, что из
неравенства x   K следует неравенство | f ( x)  A |   .
Обозначение: lim f ( x)  A .
x  
Замечание. Если A , говорят, что f ( x) имеет в точке конечный
предел. В случае, когда A   , предел называется бесконечным.
Пример. Функция y  e x имеет предел при x   , а именно,
e x  0 при x   . Покажем это. Пусть   0 – произвольно.
Необходимо доказать существование числа K  0 такого, что | e x |  при
1
x  K . Решая неравенство | e x |  , получим x  ln . Следовательно, в

1
качестве искомого числа K можно взять K  ln .

3.4.
Свойства функций, имеющих пределы
Теорема 1 (единственность предела). Если функция f ( x) имеет
предел lim f ( x)  A ( a  , A  ), то это предел единственный.
xa
Теорема 2 (необходимое условие существования предела). Если
функция f ( x) имеет конечный предел при x  a , то она ограничена в
некоторой окрестности точки a .
Теорема 3. Если функция f ( x) имеет конечный предел при x  a ,
равный A , и A  C , то существует проколотая окрестность точки a такая,
что для любого x из этой окрестности будет выполняться неравенство
f ( x)  C .
Теорема 4. Пусть в некоторой окрестности S ( a ) имеет место
неравенство f ( x)  g ( x) . Тогда, если существуют конечные пределы
lim f ( x) и lim g ( x) , то lim f ( x)  lim g ( x) .
x a
x a
x a
x a
Теорема 5 («о двух милиционерах»). Пусть в некоторой окрестности
o
S (a)
для функций
f ( x) ,
g ( x) ,
15
h( x )
имеют место неравенства
Если
существуют
конечные
f ( x )  g ( x )  h( x ) .
lim f ( x)  lim h( x)  b , то существует предел lim g ( x)  b .
x a
x a
пределы
x a
Теорема 6 (об арифметических операциях с пределами функций).
Если функции f ( x) и g ( x) имеют конечные пределы при x  a , то
справедливы равенства
lim  f ( x)  g ( x)   lim f ( x)  lim g ( x) ,
xa
xa
xa
lim  f ( x)  g ( x)   lim f ( x)  lim g ( x) ,
x a
x a
x a
а если lim g ( x)  0 , то и равенство
x a
f ( x)
f ( x) lim
xa
.
lim

x  a g ( x)
lim g ( x)
xa
Теорема 7 (о замене переменной в пределах). Пусть выполнены три
условия:
1) существует конечный предел lim f ( x)  b ;
x a
2) существует конечный предел lim g (t )  c ;
t b
o
3) существует такая проколотая окрестность S ( a ) точки a , что для
o
любого x  S (a) выполнено условие: f ( x)  b .
Тогда существует lim g ( f ( x))  lim g (t )  c.
x a
t b
Теорема 8. Если существуют конечные пределы
lim f ( x)  0 , то существует предел lim  f ( x) 
x a
xa
g ( x)

 lim f ( x)
xa

lim g ( x)
x a
g ( x)
lim
xa
и
.
3.5. «Замечательные пределы»
Рассмотрим несколько пределов, которые носят такое название,
поскольку они широко используются при решении как теоретических, так
и практических задач.
Первый «замечательный предел»:
sin x
lim
 1.
x 0
x
Второй «замечательный предел»:
x
 1
lim 1    e ,
x 
 x
здесь символом « e » обозначено иррациональное число 2,71828...
16
1
t
Равенство lim(1  t )  e также называют вторым «замечательным
t 0
пределом».
Рассмотрим
пример
Я.И. Перельмана,
иллюстрирующий
экономическую интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах.
x
 1
Число e есть предел lim 1    e .
x 
 x
В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному
капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал
растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая
сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть
в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные
деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении
года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден. ед. Посмотрим
теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги
присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении
полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 1,5  150 , а еще через полгода – в
150 1,5  225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1 3 года, то по
истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100  1  1 3  237 (ден. ед.).
Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до
0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:
10
100  1  1 10   259 (ден. ед.),
3
100  1  1 100 
100
 270 (ден. ед.),
100  1  1 1000   271 (ден. ед.).
При безграничном сокращении сроков присоединения процентов
наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к
некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раза
капитал, положенный под 100 % годовых, увеличиться не может, даже
если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду,
потому что
x
 1
lim 1    e .
x 
 x
К «замечательным пределам» относят равенства:
log (1  x)
ln(1  x)
lim a
 log a e , в частности, lim
 1,
x 0
x 0
x
x
ax 1
ex  1
lim
 ln a ( a  0) , в частности, lim
 1,
x 0
x 0
x
x
1000
17
(1  x)   1
lim
 .
x0
x
3.6. Односторонние пределы
Понятие предела функции в точке можно разложить на две
составляющие части: предел функции f ( x) , когда x  a , оставаясь
меньше a , т.е. x  a слева, и предел функции f ( x) , когда x  a ,
оставаясь больше a , т.е. x  a справа. В этом случае говорят об
односторонних пределах, обозначая их lim f ( x) или f (a  0) (для
x  a 0
левостороннего предела) и lim f ( x) или f (a  0) (для правостороннего
x  a 0
предела).
Определение. Пусть точка a является предельной точкой для
множества D  D( f )  ; a  . Тогда число b называется пределом слева
функции f ( x) при x  a , если
   0    0  x  D( f )  a    x  a | f ( x)  b |    .
Определение. Пусть точка a является предельной точкой для
множества D  D( f )  a;   . Тогда число c называется пределом справа
функции f ( x) при x  a , если
   0    0  x  D( f )  a  x  a   | f ( x)  b |    .
Сравнение этих определений и определения предела функции в
точке a показывает, что если функция имеет предел в точке a , то этот
предел одновременно является ее левосторонним и правосторонним
пределами в этой точке.
Связь между пределом и односторонними пределами функции
устанавливает следующая теорема.
Теорема. Для того чтобы существовал lim f ( x) , необходимо и
x a
достаточно, чтобы существовали односторонние пределы f (a  0) и
f (a  0) , и f (a  0) = f (a  0) . В этом случае общее значение
односторонних
пределов
равно
значению
предела
функции:
f (a  0)  f (a  0)  lim f ( x) .
x a
Замечание. Предел элементарной функции f ( x) при x  a , где a
принадлежит области ее определения, равен значению функции при x  a .
В этом случае говорят, что функция f ( x) непрерывна в точке a .
18
Примеры решения типовых задач
2 x2  5x  3
 7 .
Пример 1. Доказать, что lim
x 3
x3
Решение. Рассмотрим величину:
2 x2  5x  3
2 x 2  5 x  3  7 x  2 2 x 2  12 x  18
x2  6x  9
7 

2

x3
x3
x3
x3
2 x3.

Пусть   0 – произвольное число, выберем    
x  3     , то 2 x  3   , следовательно,
2
; тогда если
2 x2  5x  3
7 2 x3  .
x3
2 x2  5x  3
 7 .
Таким образом, по определению, lim
x 3
x3
Пример 2. Вычислить lim  5 x 2  3x  2  .
x2
Решение. Используя свойства пределов функций, получим:
lim  5x 2  3x  2   lim 5 x 2  lim 3x  lim 2  5 lim x 2  3 lim x  lim 2 
x2


x2
x2
2
x2
x2
x2
x2
 5 lim x  3 lim x  lim 2  5   2   3   2   2  20  6  2  28 .
x 2
2
x 2
x 2
x 2  3  3 x 2  60
Пример 3. Вычислить lim
.
x 2
2x2  5x  4
Решение.
x 2  3  3 x 2  60
22  3  3 22  60
1 4
5
lim


 .
2
2
x2
2 x  5x  4
22  52  4
8  10  4 2
0
Чтобы раскрыть неопределенность вида   , заданную отношением
0
двух многочленов, надо в числителе и в знаменателе выделить множитель,
равный нулю при предельном значении х , и сократить на него.
x 2  16
.
x 4 x 2  3 x  4
Решение. Подставляя предельное значение x  4 в числитель и
знаменатель, получаем, что оба выражения обращаются при этом в нуль.
0
Имеем неопределенность вида   . Стоящие в числителе и знаменателе
0
Пример 4. Вычислить lim
19
многочлены можно разложить на множители. Следует помнить, что если
x1 , x2 – корни квадратного трехчлена ax 2  bx  c , то справедлива формула
ax 2  bx  c  a( x  x1 )( x  x2 ) .
Таким образом, имеем:
0
 0 
x  16
( x  4)( x  4)
x  4 4  4 8
= lim
 lim

 .
x 4 x  3 x  4
x 4 ( x  4)( x  1)
x 4 x  1
4  1 5
x3  3x  2
.
Пример 5. Вычислить lim 3
x 2 x  x 2  6 x
0
Решение. Имеет место неопределенность вида   . Так как x  2
0
является корнем многочленов из числителя и знаменателя, то ( x  2)
выделяется как сомножитель в числителе и знаменателе:
2
lim
2
0
 0 
x  3x  2
( x  2)( x 2  2 x  1)
x2  2x  1 4  4  1 9
lim 3 2
= lim
 lim 2


x 2 x  x  6 x
x 2
x 2
( x  2)( x 2  3x)
x  3x
46
10
3
.
0
Чтобы раскрыть неопределенность вида   , в которой числитель
0
или знаменатель содержит иррациональность, следует соответствующим
образом избавиться от нее (например, умножить на сопряженное
выражение или ввести новую переменную).
6 x 2
.
x 2
x3  8
Решение. Подставляя предельное значение x  2 в числитель и
0
знаменатель, получаем неопределенность вида   . Знаменатель
0
представляет собой «сумму кубов», поэтому при разложении его на
множители
получаем:
После
x3  8  x3  23  ( x  2)( x 2  2 x  4) .
умножения числителя и знаменателя на сопряженное числителю
выражение 6  x  2 , имеем:
Пример 6. Вычислить lim
lim
x2
0
 0 
6 x 2
( 6  x  2)( 6  x  2)
= lim

3
x 2 ( x  2)( x 2  2 x  4)( 6  x  2)
x 8
20
6 x4

x 2 ( x  2)( x  2 x  4)( 6  x  2)
1
1
1
.
 lim 2


x2 ( x  2 x  4)( 6  x  2)
(4  4  4)( 6  2  2) 48
 lim
2
Пример 7. Вычислить lim
x 0
5
( x  1) 2  1
.
x
0
Решение. Имеет место неопределенность вида   . Произведем
0
замену: x  1  y 5 , x  y 5  1. Тогда при x  0 имеем y  1.
( x  1) 2  1
y2  1
( y  1)( y  1)
 lim 5
 lim

x 0
y 1 y  1
y 1 ( y  1)( y 4  y 3  y 2  y  1)
x
y 1
2
 lim 4
 .
3
2
y 1 y  y  y  y  1
5
5
lim

Чтобы раскрыть неопределенность вида   , заданную отношением

двух многочленов, надо числитель и знаменатель разделить на самую
высокую степень x , а затем перейти к пределу.
7 x 4  2 x3  5
Пример 8. Вычислить lim 4
.
x  6 x  3 x 2  7 x

Решение. Имеем неопределенность вида   . Для ее раскрытия

можно либо разделить числитель и знаменатель на наибольшую степень
переменной x и, учитывая, что величина, обратная бесконечно большой
величине, есть бесконечно малая величина, раскроем исходную
неопределенность, либо вынести переменную в наибольшей степени в
числителе и знаменателе дроби и сократить на наибольшую степень.
2 5

7  4
  
4
3

7x  2x  5
x x  7.
lim 4
=
lim
x 6 x  3 x 2  7 x
x 
3 7
6 2  3 6
x
x
10 x  3
Пример 9. Вычислить lim 3
.
x 2 x  4 x  3

Решение. Имеем неопределенность вида   . Раскрываем ее

аналогично тому, как это сделано в примере 8.
21
10 3  0 
 3  2 
2
10 x  3
x
x
lim 3
= lim
= 0.
x  2 x  4 x  3
x 
4 3
2 2  3
x
x
5
2 x  3x3  4 x
Пример 10. Вычислить lim
.
x  3 x 2  4 x  2

  

Решение. Имеем неопределенность вида   . Раскрываем ее

аналогично тому, как это сделано в примере 8.
3 4 2

  
2  2  4  0 
5
3
2 x  3x  4 x
x
x = .
lim 2
= lim
x  3 x  4 x  2
x  3
4 2
 
x3 x 4 x5
5 x 1  3x
.
Пример 11. Вычислить lim x
x  5  4 x 1

Решение. Имеем неопределенность вида   . Избавимся от нее

следующим образом: разделим числитель и знаменатель на степень с
наивысшим основанием, т.е. на 5 x . Затем воспользуемся равенством
lim a x  0, если 0  a  1 .
x
x
3
5 
x 1
5 3
 5   5  0  5.
lim x x1 = lim
x
x  5  4
x 
 4  1 4  0
1 4  
5
x 2  3x  4
Пример 12. Вычислить lim
.
x 
x4  1  2

x   
x4  1  2  
и

x 2  3x  4   . Поэтому имеем неопределенность вида   . Далее

получаем:
3 4

  
1  2
2
x  3x  4
x x  1.
lim 4
= lim
x 
x 
1
2
x 1  2
1 4  2
x
x
Неопределенности вида    возникают, как правило, либо при
исследовании разности двух дробей (в этом случае рекомендуется
приводить дроби к общему знаменателю), либо при рассмотрении
Решение.
Очевидно,
что
при
22
x 
разности
иррациональных
выражений
(для
избавления
от
иррациональностей следует привести исходное выражение либо к виду
разности квадратов, либо суммы или разности кубов).
1 
 1
Пример 13. Вычислить lim 
 2 .
x1 x  1
x 1

Решение. В данном случае имеем неопределенность
Приведем дроби к общему знаменателю:
   .
 3 
1  
x 11
x  2  0 
 1
lim 
 2
 lim 2
= .
 = lim
x 1 x  1
x 1 x 2  1
x 1 x  1
x 1

Пример 14. Вычислить lim
x 


x2  x  x .
Решение. В данном случае, чтобы раскрыть неопределенность
   , необходимо умножить и разделить рассматриваемое выражение
на «сопряженное», чтобы прийти к разности квадратов. Для a  b таким
«сопряженным» является a b . Таким образом, получаем:
lim
x 
 lim

x2  x  x


=

lim
x2  x  x
x 


x2  x  x
x xx
2

  lim x  x  x
2
x 
2
x xx
2

x
.
x2  x  x
Таким образом, мы попали в ситуацию, разобранную при решении
примера 12. Проведем соответствующие преобразования в знаменателе:
x
x
x
1
1
lim 2
 lim
 lim
 lim

x
x
2

 x
1
1
x  x  x x 2  1 
1 1
x 1    x
x  1   1
x
x
 x


x
.
При вычислении пределов, содержащих тригонометрические
функции, полезно использовать первый «замечательный предел»
sin x
lim
 1.
x0
x
sin 4 x
.
x0
x
Решение. Очевидно, что при x  0 , 4 x  0 и sin 4 x  0 . Чтобы
применить первый «замечательный предел», необходимо получить в
знаменателе выражение, совпадающее с аргументом синуса. Для этого
числитель и знаменатель умножаем на число 4:
Пример 15. Вычислить lim
23
0
 0 
sin 4 x
4sin 4 x
sin 4 x
= lim
 4 lim
 4 1  4 .
x 0
x 0
x 0
x
4x
4x
tg(3x  6)
Пример 16. Вычислить lim 2
.
x 2
x 4
Решение. Знаменатель разложим на множители как разность
sin 
квадратов, а в числителе воспользуемся формулой tg  
:
cos 
lim
0
 0 
tg(3x  6)
3sin(3x  6)
= lim
2
x 2
x2 3( x  2)( x  2)cos(3 x  6)
x 4
3sin(3x  6)
3
 lim
 .
x2 (3x  6)( x  2)cos(3x  6)
4
1  cos3x
Пример 17. Вычислить lim
.
x0
x2
lim
0
Решение. В данном случае, чтобы раскрыть неопределенность   ,
0
x
можно воспользоваться формулой 1  cos x  2sin 2
:
2
2
2
3x 
3x 
0

3
2 3x
2sin
 sin 2 
 2 sin 2 
1  cos3x  0 
2
lim
= lim
 2 lim 
  2 lim
 3
 
x 0
x 0
x 0
x 0
x2
x2
x



x 


 2

2
3x 

2 sin
2


3
3 9
2
 2 lim   
  2   .
x 0 2
   3x 
2 2
 2 
В примерах с неопределенностью 1  выражение, стоящее под
знаком предела, представляет собой показательно-степенную функцию.
Неопределенность устраняется при помощи выделения второго
x
 1
«замечательного предела» lim 1    e .
x 
x

2 5 x
 2x 
Пример 18. Вычислить lim 
 .
x  2 x  3


Решение. Имеем неопределенность вида 1  . Для раскрытия этой
неопределенности воспользуемся вторым «замечательным пределом»:
24
2x 
lim 

x  2 x  3


25 x 1 
 
2x


= lim 1 
 1
x 
 2x  3 



2 5 x

3 

 1 1 

lim
 lim 1 


x  
x 
2x  3 
 2x  3 


 
3 

2 x 3
3
2 5 x






 2x  2x  3 
 lim 1 

x 
2x  3 

2 5 x

3 25 x 
2 x 3
е
lim
x 
3(25 x )
2 x 3
 е15 / 2 .
ln( x  4)  ln 4
.
x
3x

Решение. Имеем неопределенность вида   , преобразуем ее к

неопределенности вида 1  . Пользуясь свойствами логарифмов:
Пример 19. Найти предел функции lim
b
n log a b  log a bn и log a b  loga c  loga , получим:
c
1
ln( x  4)  ln 4
x4
 1
 x  4 3x
lim
 lim   ln

lim
ln


 .
x
x 3 x
3x
4  x  4 

Далее, учитывая непрерывность логарифмической
символы lim и ln можно переставить, получим
функции,
x 1

4 4 3x


x 1
1
x
lim 
x

4
x
1




x  4 3 x
12


ln lim 
 ln lim 1  
 ln e
 ln e  .

x 
x 
12
 4 
 4 


17 x
 4x  3 
Пример 20. Найти предел функции lim 
 .
x  2 x  5


Решение. В данном примере при выяснении вида неопределенности
1
3x

4 x  3   
43 x 4
видим, что таковой не имеется. Имеем lim
 lim
  2,
x 2 x  5
x  2  5 x
2
17 x
 4x  3 
тогда lim 

x  2 x  5


lim (17 x )
 2 x
 2  0 .
Пример 21. Найти предел функции lim 10  3x 
x 3
5
x 3
.
Решение. Имеем неопределенность вида 1  . Для раскрытия этой
неопределенности воспользуемся вторым «замечательным пределом»
1
lim 1  x  x  e :
x 0
25
lim 1  3(3  x) 
x3

1
3(3 x )


3(3 x ) 5

1
x 3
e
lim
x 3
3(3 x ) 5

1
x 3
 e15 .
72 x  1
Пример 22. Найти предел функции lim
.
x 0 ln 1  3 x 2


2
Решение. Выделим в числителе выражение вида
ay 1
, а в
y
ln(1  t )
. Затем воспользуемся следующими равенствами:
t
ay 1
ln(1  t )
lim
 ln a и lim
 1:
y 0
t 0
y
t
знаменателе –
72 x  1
 2 x2
2
2 x 2  ln 7 2ln 7
2x
.
 lim

lim

x0 ln 1  3 x 2
x0 1  3 x 2
3

  3x 2
2
3x
2
72 x  1
lim
x0 ln 1  3 x 2


2
0
 0 
Задания для самостоятельной работы
19. Доказать равенство:
2 x 2  15 x  7
 13 ;
а) lim
x  -7
x7
3x 2  5 x  2
 7 ;
в) lim
x  -2
x2
9 x2  1
д) lim
 6 ;
x  -1 3 x  1 3
2 x 2  9 x  10 1
 ;
б) lim
x 52
2x  5
2
2
6x  x  1
г) lim
 5;
x 12
x 1 2
2 x 2  9 x  10 1
 ;
е) lim
x 52
2x  5
2
6 x2  x  1
 5;
x 13
x 1 3
2 x 2  15 x  7
 13 ;
и) lim
x  -7
x7
5 x 2  24 x  5
 26 ;
з) lim
x 5
x5
2 x2  6 x  8
 10 .
к) lim
x  -4
x4
20. Вычислить:
2 x 2  3x  1
а) lim 2
;
x  2 2 x  5x  3
x2  x  2
в) lim 2
;
x  2 2x  x 1
2x2  7 x  3
д) lim 2
;
x  2 x  4 x  3
3 x 2  14 x  5
б) lim 2
;
x  2 x  2 x  15
x 2  7 x  10
г) lim 2
;
x  1 2 x  9 x  10
2 x2  7 x  4
е) lim 2
;
x  0 x  3x  4
ж) lim
26
2 x 2  13 x  20
ж) lim
;
x 2
x2  6 x  8
2 x3  3x  2
и) lim 2
;
x  2 x  2x  3
3 x 2  14 x  5
з) lim 2
;
x  2 x  6x  5
2 x2  5x  3
к) lim 2
.
x 3 x  x2
21. Вычислить:
2 x 2  x  10
а) lim 2
;
x  2 x  5x  6
2 x 2  13 x  20
в) lim 2
;
x 4
x  2x  8
2 x2  7 x  3
д) lim 2
;
x  3 x  4 x  21
x 2  10 x  21
ж) lim
;
x  -3 2 x 2  5 x  3
2 x 2  x  10
и) lim 2
;
x  2 x  5x  6
2 x2  7 x  3
б) lim 2
;
x 3 x  x6
x2  2 x  8
г) lim 2
;
x  -4 2 x  7 x  4
x 2  8 x  15
е) lim 2
;
x  -3 2 x  5 x  3
x2  6 x  5
lim
з)
;
x  1 2 x2  x  1
2 x2  5x  2
к) lim 2
.
x  2 x  5x  6
22. Вычислить:
x3  3x  2
а) lim 2
;
x  1 ( x  x  2) 2
x 3  6 x 2  12 x  8
в) lim
;
x 2
x3  3x 2  4
x3  4 x 2  5 x  2
д) lim
;
x  1
x3  3x  2
(2 x 2  x  1) 2
ж) lim 3
;
x  1 x  2x2  x  2
x3  3x  2
и) lim
;
x  1
x  x2
x 2  3x  4
;
x  -1 x 3  2 x 2  x  2
x3  5 x 2  8 x  4
г) lim 3
;
x  -2 x  7 x 2  16 x  12
x3  5 x 2  8 x  4
е) lim
;
x -2
x3  3x 2  4
x3  3x  2
з) lim 3
;
x  1 x  x2  x  1
x3  3x  2
к) lim
.
x 2
x2
б) lim
23. Вычислить:
1  2x  3
а) lim
;
x  4
x 2
x  13  2 x  1
в) lim
;
x 3
x2  9
9  2x  5
д) lim 3
;
x 8
x 2
1 x  3
;
x  8 2  3 x
2x  9  5
г) lim
;
x 8
2 3 x
б) lim
2  3 10  x
е) lim
;
x2
x2
27
ж) lim
x 1
6 x 2  3  3x
3
x 1
и) lim
;
x 1
1  x  2x
x 1
x  2  3x  2
;
x2
x2  x  2
3  2х  х  4
к) lim
.
x 1
3x 2  4 x  1
;
з) lim
24. Вычислить:
3x3  5 x 2  2
а) lim 3
;
x   2 x  5x2  х
3x3  1
в) lim 3
;
x   2x  4х  2
2 x2  5х  3
lim
д)
;
x 
2 x2  3
3x3  5 х  1
ж) lim 3
;
x   2x  4х  5
2 x4  5х 2  3
и) lim 4
;
x   5x  2 х3  4 х
3  x  5x4
б) lim 4
;
x   x  12 х  3
3x3  3х  1
г) lim 3
;
x   5x  2х  1
7 x4  2 х3  2 х
lim
е)
;
x 
x 4  3х
8 x5  3х 2  9
з) lim 5
;
x   2x  2х2  5
12 x3  4
к) lim 3
.
x   3x  2 х  6
25. Вычислить:
3x  2
а) lim 3
;
x   5x  2 x2  3
3x 2  3x  5
в) lim 3
;
x   5x  2 x  1
3x
д) lim 2
;
x   x  2x  3
5 x 2  3x  1
ж) lim
;
x   x  5  3x3
3x 2  5 x  1
и) lim 3
;
x   3x  5 x 2  1
3x 2  2 x  5
;
x   4 x 4  3x3  2 х 2
2 x 2  3x 4  2
lim
;
x 
5 x5  3
3x  2
;
lim 3
x   3x  2 x 2  3
3x3  2 х  1
lim
;
x   2 x5  2 х  3
8x2  4 x  7
lim
.
x   6 x3  5 x  9
б) lim
г)
е)
з)
к)
26. Вычислить:
 x5  3
а) lim 2
;
x   2x  x  3
3x4  2 x  1
в) lim
;
x   3  2 x 2  x3
2 x3  5 x 4  6 x5
б) lim
;
x 
2  2x
3x 2  4 x  5
г) lim
;
x 
2 x  1
4 x5  3x3  2 x  1
д) lim
;
x 
x2
3x 2  2 x  1
е) lim
;
x 
5x  3
28
x 2  3x  2
ж) lim
;
x 
x5
4 x3  2 x  1
и) lim
;
x 
x2  3
2 x3  3x 2  2 x
з) lim
;
x 
3 x 2  1
5x4  2 x  3
к) lim
.
x 
3x 2  2
27. Вычислить:
6 x 3  2 x
а) lim x
;
x  6  3 x  2
2x  4x
в) lim x
;
x  4  2 x  2
5 x  2 x1
д) lim x1
;
x  5
 2 x 1
4 x 2  5 x
lim
ж)
;
x  2 2 x 3  5 x 3
2 x2  4 x
и) lim x 3
;
x  3
 4 x 3
2 x 3  3x
б) lim x
;
x  4  2 x  2
3x  4 x  2
г) lim x
;
x  4  2 x 1
4 x 5  3x1
е) lim x 4
;
x  4
 2 x 3
3x 2  4 x
lim
з)
;
x  3 x  4 x 3
2 x 1  4 x  4
к) lim x  2
.
x  3
 4 x 1
28. Вычислить:
5 x  2  5 x 5 3
а) lim
x  3
3x 3 1  4 x3  4
x 
г)
x 6  x6
8
в) lim
x 8
4
д) lim
x
ж) lim
x8  6  4 x16  6
x8  6  x  6
3 6 x  3 2 x6  1
14 x3  x5  1
14 x6  3  x
x
lim
x
2
 5 x 4  2   x8  3x3
x
е) lim
;
4 x4  5
x2  x2  3
x 4
3
з) lim
;
4
x 4  2  x  16
x 4
x 4  2  x  16
и) lim
;
2 x2  3  5 x
;
4x  7
б) lim
;
x
к) lim
;
x 
29. Вычислить:
2 
 1
 2 ;
а) lim 
x 1
 x 1 x 1
x8  2  x
;
x 2  15  3 x3  4
4
x  3 15 x3  1
6 x 2  x5  1
4 x6  3  x
.
 2 x3

 x;
б) lim  2
x  2 x  x


4
 3x

 x2  ;
г) lim  2
x  3 x  x


4 
 3
 3
в) lim 
;
x 2 x  2
x 8

29
;
;
2 
 1
д) lim 
 2
;
x 2
x

2
x

4


2 
 1
ж) lim  2
 2
;
x 0 2 x  x
x x

 2 x4

 2 x2  ;
е) lim  2
x  x  2 x


4
 4x

 4 x2  ;
з) lim  2
x  x  x  2


3 
 1
и) lim  2
 3 ;
x 1
 x  x x 1

3x3 
к) lim  x  2
.
x 
3x  7 

30. Вычислить:
а) lim x( x  2)  x ;
б) lim x  x( x  1 ;
x 


x 


д) lim  x  1  x  ;
ж) lim  x  3x  2  x  3  ;
и) lim  x( x  2)  x  3  ;
г) lim
x 
3
2
3
2
x 
3
2
x 
2

 x  x  x;
е) lim  x  x  x  ;
в) lim 9 x  81x 2  1 ;
3

x 
2
lim
x 
x 

з)
к) lim
2
x 
x 
31. Вычислить:
x 3 1
а) lim
;
x 1 sin 1  x 
б) lim
x 1
16  x 4
в) lim
;
x 2 sin  x  2 
г) lim
x 9
4  x2
д) lim
;
x 2 sin  x  2 
14 x
ж) lim
;
x0 arctg 2 x
arcsin 5 x
и) lim
;
x 0
6x

x( x  2)  x 2  2 x  3 ;

sin 1  x 
x 1
sin  9  x 
;
x 3
;
arcsin 2 x
;
x0
x
6x
з) lim
;
x 0 arctgx
7x
к) lim
.
x 0 arcsin 3 x
е) lim
32. Вычислить:
sin3x  sin5 x
а) lim
;
x0
6x
1  cos12 x
в) lim
;
x0
x  tg5 x
1  cos5 x
;
x0 x  tg12 x
cos x  cos3 x
г) lim
;
x 0
x2
б) lim
30

x 2  3x  2  x .
x  sin 2 x
;
x0 1  cos5 x
sin 2 x  tg 2 x
ж) lim
;
x 0
5x4
cos x  cos5 x
и) lim
;
x 0
4 x2
10 x 2
;
x 0 1  cos x
4 x2
з) lim
;
x 0 1  cos 4 x
3x tg x
к) lim
.
x0 sin 2 x
д) lim
е) lim
33. Вычислить:
х 1
 2 x2  3 
а) lim  2
 ;
x   2x  4х  1


 2 x 2  3х 
б) lim  2

x   3x  х  1


х
3 х 1
;
х
 x3
в) lim 
 ;
x  х 2


 2x  1 
г) lim 
 ;
x   2x  1


1 x 2
 x2  x  5 
д) lim  2

x  x  x3


 x2  x 
е) lim  2

x   x  x 1


х
 x3
з) lim 
 ;
x  x2


;
4х
 2x  7 
ж) lim 
 ;
x   2x  3


х
2
 x2  x  3 
к) lim  2

x  x  x 8


 x  3x  6 
и) lim  2
 ;
x   x  5x  1


2
3 x2
34. Вычислить:
а)
lim 10 x ln 1  2 x   ln(5  2 x)  ;
;
3 x 2 1
.
б) lim x 2 ln  2  x 2   2ln x  ;
x 
x  
в)
lim 2 x 2 ln(3x 2  5)  ln(3x 2  4)  ;
г)
lim  x 2  2  ln x 2  ln( x 2  3)  ;
x 
x 
д) lim 1  2 х  ln  x  1  ln x  ;
x 
е)
lim  4 х  3 ln 3x  2  ln3x  ;
x 
ж)
lim 2 x 2 ln(3x 2  5)  ln(3x 2  4)  ;
x 
x 
и)
lim 5x ln 3x  17   ln 3x  2  ;
к)
lim 1  4 x  ln  x  4  ln x  .
з)
lim 3х  2 ln  x  4   ln x  ;
x 
x 
35. Вычислить:
1 x
а) lim 1  4 x 
x 0
x
б) lim(2  x
;
x 1
31
1
3
) x 1 ;
2
в) lim  3 x  5 
x 2
x 2
д) lim(3  x
x 2
г) lim  5  2 x 
;
x 2
е) lim  3  x 
x2  4
x 2
1
x
ж) lim 1  2 x  ;
з) lim  7  3x 
x 0
x 1
к) lim  7  6 x 
;
б) lim

x
2
( x3   3 )sin 5 x
esin x  1
2
x 
ж) lim
x 3
и) lim1
x
2
6
г) lim

;
x
4
1
д) lim
;
x 2
x
tg ln
2
2x
2
x
x2 3 x  2
1
3 x 3
x 1
36. Вычислить:
2
2cos x  1
а) lim
;
 ln sin x
x
в) lim
;
x2
1
и) lim  3  2 x 
;
3
5
3 8
x
;
)
1 x2
1
4 x 2
2
е) lim
;
.
ln sin 3 x
;
(6 x   ) 2
ln  cos x  1
;
(2 x   ) 2
ln cos 2 x
 
1  
x

(2 x  1) 2
з) lim1 sin  x  sin 3 x ;
e
x e
2
x
2sin  x  1
;
ln( x 3  6 x  8)
2
ln(4 x  1)
;
1  cos  x  1
к) lim
x 3
ln(2 x  5)
.
esin  x  1
4. Бесконечно малые величины
Определение.
Функция
f ( x)
величиной (б. м. в.) при x  a ( a 
называется
бесконечно
малой
), если lim f ( x)  0 .
x a
Основные свойства бесконечно малых величин:
1. lim f ( x)  A  функция f ( x)  A является б. м. в. при x  a .
xa
2. Сумма, разность и произведение двух б. м. в. при x  a являются
б. м. в. при x  a .
3. Если функция f ( x) является б.м.в. при x  a , а функция g ( x)
ограничена в некоторой окрестности точки a , то произведение f ( x) g ( x)
является б.м.в. при x  a .
32
Определение. Пусть f ( x) и g ( x) – две б.м.в. при x  a и g ( x)  0 в
f ( x)
некоторой окрестности S ( a ) и существует lim
. Тогда:
x  a g ( x)
f ( x)
1) если lim
 0 , то f ( x) называют бесконечно малой более
x  a g ( x)
высокого порядка, чем g ( x) при x  a , и пишут f ( x)  o( g ( x)) при x  a
(читается: f ( x) равна «о» малое от g ( x) );
f ( x)
2) если lim
  , то g ( x) называют бесконечно малой более
x  a g ( x)
высокого порядка, чем f ( x) при x  a , и пишут g ( x)  o( f ( x)) при x  a
(читается: g ( x) равна «о» малое от f ( x) );
f ( x)
3) если lim
 C ( C  , C  0 ), то f ( x) и g ( x) называют
x  a g ( x)
бесконечно малыми одного порядка при x  a и пишут f ( x)  O ( g ( x))
f ( x)
при x  a . В частности, если lim
 1 , то f ( x) и g ( x) называют
x  a g ( x)
эквивалентными бесконечно малыми при x  a и пишут f ( x)~ g ( x) при
xa .
Основные эквивалентности при t  0
arcsint t
at  1 t ln a
t
n
1 t 1
n
sin t t
ln(1  t ) t
1  cos t
t2
2
Примеры решения типовых задач
Пример 1. Сравнить бесконечно малые f ( x)  tg x и g ( x)  x при
x 0.
Решение. Для того, чтобы сравнить бесконечно малые, необходимо
найти предел их отношения:
sin x
tg x
sin x
sin x
1
1
lim
 lim cos x  lim
 lim

 lim

x 0
x 0
x 0
x
x
cos xx x0
x
x  cos x x0 x
.
Итак, g ( x) является бесконечно малой более высокого порядка, чем
f ( x) , g ( x)  o( f ( x)) при x  0 .
33
Пример 2. Найти предел, используя эквивалентные бесконечно
arcsin8 x
малые функции lim
.
x0 ln(1  4 x)
0
Решение. Имеем неопределенность вида   . Для ее раскрытия
0
воспользуемся теоремой о замене бесконечно малых функций эквивалентными им бесконечно малыми. Так как arcsin8 x ~ 8 x и ln(1  4 x) 4 x , то
0
arcsin8 x  0 
8x
lim
 lim
 lim 2  2 .
x 0 ln(1  4 x )
x 0 4 x
x 0
Задания для самостоятельной работы
37. Сравнить бесконечно малые функции:
f ( x)  sin3x  sin x
а)
и
f ( x)  1  cos6 x
б)
и
 ( x)  x sin 3x при x  0 ;
 ( x)  5 x2 при x  0 ;
3x
x
г) f ( x) 
и  ( x) 
в) f ( x)  1  x  1 и  ( x)  4 x
2 x
7 x
при x  0 ;
при x  0 ;
4
2
д)
и
е)
и
f ( x)  x  x
f ( x)  tg 2 ( x 2  3x)
 ( x)  2sin 3 4 x при x  0 ;
 ( x)  x 2  3x при x  0 ;
f ( x)  tg( x 2  2 x)
ж)
 ( x)  x 4  8x при x  0 ;
f ( x)  cos x  cos3 x
и)
 ( x)  3x2 при x  0 ;
f ( x)  9  x  3
з)
 ( x)  4 x
при x  0 ;
к)
f ( x)  x tg 2 x
и
 ( x)  3x sin x
при x  0 .
и
и
и
38. Вычислить пределы, используя принцип замены эквивалентных
бесконечно малых функций:
1  cos7 x
arc tg( x  5)
а)
,
lim
б)
,
lim
x0 x sin 7 x
x5 x 2  6 x  5
x2   2
1  cos 2 x
lim
,
,
lim
x 
x 0 3 x arcsin x
sin x
tg(e 2 x  1)
2 x  16
lim
,
lim 5
,
x 0 ln(e  x )  1
x 4
5  x 1
lim
x 0
1 x 1
;
sin  ( x  2) 
ln(9  2 x 2 )
lim
;
x 2
sin 2 x
34
в)
lim
x 2
arc tg( x  4)
,
lim 2
x 4 x  3 x  4
1  sin 2 x
,
lim
2
x  4   4 x


ln x
lim 4
x 1
1 x  x 1
2
arcsin( x  2)
3
2 x  x 2
9
2
г)
,
tg3 2 x
,
lim
x 0  cos3 x  cos x  x
2cos x  1
lim
,
x  2 ln sin x
sin  x
2
;
д)
lim 4
x 1
lim
cos 2 x  cos x
x 0
e
2x
 1
2
,
е)
lim sin
x
3 9
,
x 2 arctg( x  2)
ln x  1
,
lim
xe x  e
ln(1  x 4 )
;
lim 5
x0
1  3x 4  1


arcsin 4 x 2
lim
,
x 0
tg 2 5 x
1
1
 ctg ,
5x
3x
з)
lim
x 0
x arc tg5 x 2
,
ln(1  x3 )
arcsin 2 ( x  3)
,
x 3 x 3  5 x 2  3 x  9
1
1
lim tg 2  ctg 2 ,
x
3x
2x
x
2 4
lim
;
x 2 ln( x  1)
1
1
 ctg ,
x
8x
x
7
1  x4  x2  1
lim
,
x 0 arcsin( x 3  4 x )
ln cos 2 x
;
lim
x ln cos 4 x
lim sin
и)
;
lim
lim tg   x   tg 2 x ;
x 0
2
ж)
x  x 1 1
3
x
arc tg( x 2  2 x)
lim
,
x 2
sin 3 x
ln cos 2 x
,
lim
2
x 
1   x 

e 4 x  1
lim 2
,
x 2 x  5 x  6
lim
lim
x3
arcsin( x  3)
,
x2  5x  6
4
x 
x
1  x2  x  1
lim
,
x 1
sin( x  1)
ln(1  7 x)
;
lim
x0 sin( ( x  7))
lim x  tg ,
к)
lim
x 0
arcsin(1  2 x)
,
4 x2  1
2
 x3   3  sin 5x
lim
1
x
lim
esin x  1
ln cos x
.
lim 4
x 0
1  x2  1
x 
35
2
,
arc tg 2 2 x
,
cos3 x  cos x
5. Непрерывность функции
5.1. Определение непрерывной функции в точке
Значение функции и предел функции в точке – это разные
математические понятия, существующие независимо друг от друга. В
случае, когда значение функции в точке f (a) равно пределу функции в
точке lim f ( x) , говорят о «непрерывности функции f ( x) в точке a ».
x a
Определение. Функцию f ( x) называют непрерывной в точке
a  D( f ) в двух случаях:
1) если a – изолированная точка D( f ) , т.е. существует окрестность
этой точки, которая не содержит точки из области определения;
2) если a — предельная точка для D( f ) и при этом имеет место
равенство: lim f ( x)  f (a) .
xa
На языке «  –  » это определение выглядит так: функцию f ( x)
называют непрерывной в точке a  D( f ) , если для каждого
положительного числа  найдется отвечающее ему положительное число
 такое, что для всех значений аргумента x  D( f ) , удовлетворяющих
условию x  a   , справедливо неравенство f ( x)  f (a)   .
Это определение непрерывности легко переводится на «язык
окрестностей». Функция f ( x) непрерывна в точке a  D( f ) , если:
u ( f (a),  ) u (a,  ) x  D( f )  x  u (a,  )  f ( x)  u ( f (a),  )  .
5.2. Одностороння непрерывность
Сформулируем теперь определение односторонней непрерывности
функции f ( x) в точке a , т.е. непрерывности функции f ( x) в точке a
либо только справа, либо только слева.
Определение. Функция f ( x) называется непрерывной в точке a
справа (слева), если правосторонний (левосторонний) предел этой
функции в точке a существует и равен значению f (a) функции f ( x) в
точке a .
То же определение на «    языке»:
Определение. Функция f ( x) называется непрерывной в точке a
справа (слева), если для любого положительного числа  найдется
отвечающее ему положительное число  такое, что для всех значений
x  D( f ) ,
a  x  a 
аргумента
удовлетворяющих
условию
( a    x  a ), справедливо неравенство f ( x)  f (a)   .
36
Определение. Функция f ( x) называется непрерывной на интервале
 a; b  , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Определение. Функция f ( x) называется непрерывной на отрезке
 a; b , если она непрерывна в каждой точке  a; b  и в точке а непрерывна
справа, а в точке b непрерывна слева.
5.3. Точки разрыва функции
Определение. Пусть функция
f ( x)
определена в некоторой
проколотой окрестности S ( a ) . Если функция не является непрерывной в
точке a , то точку a называют точкой разрыва функции f ( x) .
Пусть точка a является точкой разрыва функции f ( x) . Принята
следующая классификация точек разрыва:
1. Точка a является точкой разрыва I рода, если существуют
конечные пределы f (a  0) и f (a  0) . Если при этом окажется, что они
равны, то точка a называется точкой устранимого разрыва;
2. Точка a является точкой разрыва II рода, если хотя бы один из
односторонних пределов f (a  0) или f (a  0) не существует или равен
бесконечности.
5.4. Свойства непрерывных функций
Теорема 1 (об арифметических операциях с непрерывными
функциями). Если функции f ( x) и g ( x) непрерывны в точке a , то этим же
f ( x)
свойством обладают функции f ( x)  g ( x) , f ( x)  g ( x) и
(последняя
g ( x)
при условии, что g (a)  0 ).
Теорема 2 (о непрерывности сложной функции). Пусть функция
x  g (t ) непрерывна в точке t  b , а f ( x) непрерывна в точке x  a ,
причем a  g (b) . Тогда сложная функция F (t )  f ( g (t )) непрерывна в
точке t  b .
Теорема 3. Основные элементарные и элементарные функции
непрерывны во всех точках, в которых они определены.
Символом C [a; b] обозначают множество непрерывных на отрезке
[a; b] функций. Таким образом, запись f ( x)  C [a; b] будет означать, что
функция f ( x) определена и непрерывна на отрезке [a; b] .
Теорема 4 (первая теорема Вейерштрасса). Если f ( x)  C [a; b] , то
она ограничена на этом отрезке, т.е.
37
M   x [a, b] | f ( x) |  M  .
Ясно, что обратное утверждение не имеет места, так как функция
sgn x ограничена на [1;2] (  x [1;2] | sgn x |  1 ), однако не является
непрерывной на этом отрезке (разрыв I рода в точке x  0 ).
В том случае, когда f ( x)  C (a; b) , она может быть и
неограниченной. Действительно, f ( x)  tg x непрерывна на ( / 2;  / 2) ,
но является неограниченной на этом промежутке.
Если функция не является непрерывной на [a; b] , то ограниченности
на этом отрезке может и не быть. Например, функция
1/ x , если 0  x  1,
f ( x)  
0 , если x  0,
определена на отрезке [0;1] , однако не является ограниченной на
нем.
Теорема 5. Если функция f ( x)  C [a; b] и f (a)  f (b) , то f ( x)
принимает на  a; b любое значение  , лежащее между f (a) и f (b) , т.е.
существует такое c   a; b , что f (c)   .
Теорема 6 (вторая теорема Вейерштрасса). Если f ( x)  C [a; b] , то
f ( x) достигает на  a; b наименьшего m и наибольшего M значений.
Теорема 7 (Больцано – Коши). Пусть f  C [a, b] , причем
f (a)  f (b)  0 . Тогда существует точка x0  (a, b) такая, что f ( x0 )  0 .
Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если
непрерывная функция на концах отрезка [a, b] принимает значения разных
знаков, то график этой функции пересекает ось абсцисс (см. рис. 3).
y
a
0
x0
b
x
Рис. 3.
5.5. Понятие равномерной непрерывности
Определение. Функцию f ( x) называют равномерно непрерывной на
множестве X  D( f ) , если для каждого   0 найдется число   0 такое,
что для любых двух х1  Х и х2  Х таких, что x1  x2   , выполняется
неравенство f ( x1 )  f ( x2 )   .
38
Примеры решения типовых задач
Пример 1. Доказать непрерывность функции f ( x)  sin(2 x  3) при
любом значении х , пользуясь определением непрерывности функции
lim f ( x)  f ( x0 ) .
x x0
Решение. Возьмем любое значение x0 на числовой оси и составим
разность: sin(2 x  3)  sin(2 x0  3)  2cos( x  x0  3)sin( x  x0 )   ( x) .
Так как cos( x  x0  3)  1, а sin( x  x0 )  x  x0 , то при x  x0
sin( x  x0 ) есть бесконечно малая функция. Следовательно, и  ( x)
бесконечно мала при x  x0 как произведение ограниченной функции на
бесконечно
малую
функцию.
Отсюда
следует,
что
lim sin(2 x  3)  sin(2 x0  3) . Непрерывность sin(2 x  3) , таким образом,
xx0
показана.
Пример 2. Дана функция f ( x)  x  4 . Доказать на «    »-языке
непрерывность функции в точке x  5 .
Решение. В точке x  5 функция определена: f (5)  3 .
Зададим   0 . Составим разность f ( x)  f (5)  x  4  3 и оценим
ее по модулю. При   0 для значений х , удовлетворяющих неравенству
x  5   , будет также выполняться и неравенство
x4 3 
x 5
x4 3

x 5 
 .
3
3

  , т.е.   3 , то при значениях х , для которых
3
x  5  3 , будет выполняться неравенство x  4  3   . Непрерывность
Если положить
функции при x  5 доказана.
 1
 х  2 , x  0,

Пример 3. Дана функция f ( x)   x 2 , 0  x  2,
 6x

, x  2.
 х 1
Исследовать ее на непрерывность. Найти точки разрыва функции,
если они существуют. Определить характер точек разрыва и величину
скачка. Построить график f ( x) .
Решение. Функция f ( x) является неэлементарной, так как
представлена различными аналитическими выражениями на промежутках
(;0], (0;2), [2; ) . Внутри первого промежутка элементарная функция
39
1
имеет разрыв при x  2 . Разрыв также возможен в точках
х2
перехода от одного аналитического выражения к другому, т.е. в точках
x1  0 и x2  2 , и в точке x3  2 .
Исследуем непрерывность в точке x1  0 :
1 
1
1
1
lim f ( x)  lim  

  , т.е. f (0  0)   ;

x 00
x 00
02
2
2
 х2
2
lim f ( x)  lim x  0, т.е. f (0  0)  0 ;

x00
x00
Так как lim f ( x)  lim f ( x) , то функция f ( x) в точке x1  0 имеет
x 0  0
x 0  0
1
2
(т.к. 0  (;0] ). Так как f (0  0)  f (0) , то функция непрерывна в этой
точке слева.
Для точки x2  2 имеем:
lim f ( x)  lim x2  4, т.е. f (2  0)  4 ;
разрыв первого рода. Найдем значение функции в точке x1  0 : f (0)  
x20
x20
6x
62

 4, т.е. f (2  0)  4 .
x20
x20 х  1
2 1
Так как lim f ( x)  lim f ( x) , то lim f ( x)  4 . Найдем значение
lim f ( x)  lim
x 20
x 2 0
x2
функции в точке x2  2 : f (2)  4 (т.к. 2   2;   ). Таким образом,
lim f ( x)  f (2) . Итак, функция непрерывна в точке x2  2 .
x 2
Наконец, для точки x3  2 находим:
1 
lim f ( x)  lim  
  , т.е. f (2  0)   ;
x 20
x20
 х2
1 
lim f ( x)  lim  
  , т.е. f (2  0)   .
x 2 0
x2 0
 х2
Таким образом, в точке x3  2 функция имеет разрыв второго рода
(бесконечный скачок).
График функции представлен на рис. 4.
40
y
х
Рис. 4.
1
3 x
Пример 4. Исследовать функцию f ( x)  2
на непрерывность.
Построить график f ( x) .
Решение. Так как f ( x) – элементарная функция, определенная для
всех x  3: D( f )  (;3) (3; ) , поэтому она непрерывна на всей
области определения.
Поскольку значение f (3) не определено, функция терпит разрыв в
точке x  3 .
Найдем односторонние пределы в точке x  3 :
1
 1

1
1
3 x
lim 2  


 , 2     .
x 30
3  (3  0) 0
3  x

 1

1
1



 , 2  0   0.
x 3 0
3  (3  0) 0
3  x

Так как f (3  0)  , в точке x2  3 имеет место разрыв функции II
lim 2
1
3 x
рода.
Для того, чтобы построить график f ( x) , вычислим пределы
функции при x   и x   :
1
1
1
 1

3

(
 )
3 x
3 x

lim 2  2  2
 2  20  1  1,
x 


1
1
1
 1

3(  )
3 x
3 x
lim 2  2  2
 2   20  1  1.
x


График функции f ( x) изображен на рис. 5.
41
y
х
Рис. 5
x2  6 x  8
,
x3  x 2  12 x
установить их род. В точках устранимого разрыва доопределить функцию
таким образом, чтобы она стала непрерывной.
Решение. Так как f ( x) является элементарной функцией,
x3  x 2  12 x  0 ,
определенной
для
всех
для
которых
x,
т.е. D( f )   ; 4   4;0   0;3  3;   , то она непрерывна на всей
области определения.
Поскольку значения f (4) , f (0) и f (3) не определены, функция
терпит разрыв в точках x  4 , x  0 и x  3 .
Найдем односторонние пределы в точке x  4 :
x2  6 x  8
 x  2  x  4   lim x  2  4  2   1 ,
lim 3 2
 lim
x 40 x  x  12 x
x 40 x  x  4  x  3
x40 x  x  3
4  4  3
14
1
т.е. f (4  0)   ;
14
2
x  6x  8
 x  2  x  4   lim x  2  4  2   1 ,
lim 3 2
 lim
x 40 x  x  12 x
x40 x  x  4  x  3
x4 0 x  x  3
4  4  3
14
1
т.е. f (4  0)   .
14
f (4  0)  f (4  0)  lim f ( x) , но значение f (4) не определено.
Пример 5. Найти точки разрыва функции
f ( x) 
x 4
Таким образом, в точке x  4 имеет место разрыв I рода (устранимый
разрыв).
Доопределим функцию в точке x  4 таким образом, чтобы она
стала непрерывной в этой точке.
42
По определению непрерывности функции в точке должно иметь
 x2  6 x  8
 x3  x 2  12 x , x  4,
место равенство lim f ( x)  f ( x0 ) , т.е. f ( x)  
x  x0
1


, x  4.

14
Найдем односторонние пределы в точке x  0 :
x2  6 x  8
 x  2  x  4   lim x  2   ,
lim 3 2
 lim
x 00 x  x  12 x
x 00 x  x  4  x  3
x 00 x  x  3
т.е. f (0  0)  
x2  6 x  8
 x  2  x  4   lim x  2   ,
lim 3 2
 lim
x 0 0 x  x  12 x
x 0 0 x  x  4  x  3
x 0 0 x  x  3
т.е. f (0  0)   .
Таким образом, в точке x  0 имеет место разрыв II рода
(бесконечный скачок).
Найдем односторонние пределы в точке x  3 :
x2  6 x  8
 x  2  x  4   lim x  2   ,
lim 3 2
 lim
x 30 x  x  12 x
x 30 x  x  4  x  3
x 30 x  x  3
т.е. f (3  0)  
x2  6 x  8
 x  2  x  4   lim x  2   ,
lim 3 2
 lim
x 3 0 x  x  12 x
x 3 0 x  x  4  x  3
x 3 0 x  x  3
т.е. f (3  0)   .
Таким образом, в точке x  3 имеет место разрыв II рода
(бесконечный скачок).
Пример 6. Исследовать на равномерную непрерывность функцию
f ( x)  ln x на промежутке  0;1 .
Решение. Эта функция не является равномерно непрерывной на
1
промежутке  0;1 . Зададим   ln 2  0 .
2
1
1
Возьмем x1    0;1 и x2    0;1 , где n – натуральное число.
n
2n
1 1
1

Тогда x1  x2  
;
n 2n 2n
1
1
f ( x2 )  f ( x1 )  ln  ln
 ln 2 .
n
2n
Какое бы   0 мы ни выбрали, n можно выбрать настолько
1
большим,
что
будет
при
этом
x1  x2 
 ,
2n
43
1
Это
противоречит
определению
f ( x2 )  f ( x1 )  ln 2    ln 2 .
2
равномерно непрерывной функции.
Пример 7. Показать, что функция y  e x на промежутке   x  
не является равномерно непрерывной.
1
Решение. Зафиксируем   . Взяв x1  ln n и x2  ln(n  1) , получим
2
n
x1  x2  ln
 0 при n   , значит,   0 n   x1  x2    , но
n 1
1
e x1  e x2  eln n  eln( n1)  n  (n  1)  1  .
2
Задания для самостоятельной работы
39. Исходя из определения непрерывности функции в терминах
«    », доказать непрерывность функций:
x3
1
б) y  sin x для x   ;   ;
а) y 
в точке x  ;
2  3x
2
г)
для
y  arctg x
в) y  x для x  0;   ;
x   ;   ;
y  4 x2  1
е)
x   ;   ;
д) y  x для x   ;   ;
3
ж) y  arcctg x
x   ;   ;
y  4sin x  3
и)
x   ;   ;
для
для
з) y  3cos x для x   ;   ;
для
к) y  3 x для x   ;   .
40. Исследовать данную функцию на непрерывность. Найти точки
разрыва функции, если они существуют. Определить характер точек
разрыва и величину скачка. Построить график функции:

 x  4,
 2
а) y   x  2 ,

 х
 2
,

х 3
 x 1
х  2,

б) y   x  12 ,
  x  4,



x  1,
 1  x  1,
x  1;
44
x  0,
0<x  2,
x  2;

 x  2,
в) y   x 2  1,

 x  3

,
2

 ( х  4)
x


 х  1,
г) y   x  1 2 ,

 
 x3

,
2
 ( х  2)

x  1,
 1<x  1,
x  1;
д)
 2 1
x  2 ,
х
е) y  2 x,

 x2

,
2
 ( х  1)


 1 x,
x  0,

y  0,
0  x  2,
 x2
 2
,
x  2;
 х  5х  6
 2( x  1)
,
x  1,

х
ж) y   x  13 ,
 1<x  0,

 x

,
x  0;

х 2
x

 х  1 ,
 2
 x
и)
y
,
 х 1
 x 1
х  2,

x 4
 х 1 ,
 2
з)
 x
y
 2,
 х 1
3  x,


 x2
2 х  1 ,

к) y   x ,
 х 1
 2  x,


x  0,
0<x  2,
x  2;
x  0,
0<x  2,
x  2;
x  1,
1<x  3,
x  3;
x  0,
0  x  4,
x  4;
x  0,
0  x  1,
x  1.
41. Исследовать функцию на непрерывность. Построить график
функции:
5x
б) y  9
9  x2
а) y  4 ;
1 x
в) y 
1 ;
x
1 e
д) y  2
1 2
ж) y  1  2
x 1
x
е) y  5
;
1
x 2
1
2 4 x
з) y  1  e
;
к) y  1  e
;
45
;
1
x 1
;
1
2 x
2
и) y  e
;
1
г) y 
2
x
x3 1
x
4 2 x
;
x
3 x 9
.
42. Найти точки разрыва функции, установить их характер. В точках
устранимого разрыва доопределить функцию таким образом, чтобы она
стала непрерывной:
4 x3  4 x 2  x
x3  2 x 2  3x
а) y 
;
б) y 
;
1  2x
x
5 x  15
x3  3x 2  2 x
г) y  2
;
в) y 
;
x  5x  6
x2
2x  4
x 3
д) y  2
;
е) y  2
;
x  5x  6
3x  8 x  3
2x  1
x2  5x  6
з) y  2
;
ж) y  2
;
2 x  5x  3
x  x6
x2  1
x2  2 x  1
и) y  2
;
к) y  2
.
2x  x  1
x  5x  4
43. Исследовать на равномерную
областях следующие функции:
а) y  x 2 ( 1  x  1 );
в) y  sin x 2 ( 2  x  3 );
д) y  sin x (   x   );
1
( 0  x  1 );
x
и) y  e x (   x   );
ж) y 
46
непрерывность в заданных
б) y  ctg x ( 0  x  1 );
г) y  x (   x   );
е) y  x (1  x   );
tg 3 x
х  0;1 ;
з) y 
arcsin 2 x  2
к) y  sin x 2 (   x   ).